Memecahkan masalah geometri: menyelesaikan segiempat. Luas jajar genjang Luas jajar genjang sama dengan setengah hasil kali diagonal-diagonalnya

Tugas 4.

Salah satu diagonal jajar genjang yang panjangnya 4√6 membentuk sudut 60° dengan alasnya, dan diagonal kedua membentuk sudut 45° dengan alas yang sama. Temukan diagonal kedua.

Larutan.

1.AO = 2√6.

2. Kita terapkan teorema sinus pada segitiga AOD.

AO/dosa D = OD/dosa A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Jawaban: 12.

Tugas 5.

Untuk jajar genjang dengan sisi 5√2 dan 7√2, sudut terkecil antara diagonal-diagonalnya sama dengan sudut jajar genjang yang lebih kecil. Temukan jumlah panjang diagonalnya.

Larutan.

Misalkan d 1, d 2 adalah diagonal-diagonal jajar genjang, dan sudut antara diagonal-diagonal tersebut dengan sudut terkecil jajar genjang sama dengan φ.

1. Mari kita hitung dua hal yang berbeda
cara wilayahnya.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

Kita peroleh persamaan 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f atau

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Dengan menggunakan hubungan antara sisi dan diagonal jajar genjang, kita tuliskan persamaannya

(AB 2 + IKLAN 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Mari kita buat sistem:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Mari kalikan persamaan kedua sistem dengan 2 dan tambahkan ke persamaan pertama.

Kita peroleh (d 1 + d 2) 2 = 576. Jadi Id 1 + d 2 I = 24.

Karena d 1, d 2 adalah panjang diagonal-diagonal jajar genjang, maka d 1 + d 2 = 24.

Jawaban: 24.

Tugas 6.

Sisi-sisi jajar genjang adalah 4 dan 6. Sudut lancip antara diagonal-diagonalnya adalah 45 derajat. Temukan luas jajaran genjang.

Larutan.

1. Dari segitiga AOB, dengan menggunakan teorema kosinus, kita tuliskan hubungan antara sisi jajar genjang dan diagonalnya.

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. Demikian pula, kita menulis relasi segitiga AOD.

Mari kita pertimbangkan hal itu<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Kita mendapatkan persamaan d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Kami memiliki sistem
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua, kita mendapatkan 2d 1 · d 2 √2 = 80 atau

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Catatan: Dalam soal ini dan soal sebelumnya tidak perlu menyelesaikan sistem secara menyeluruh, karena dalam soal ini kita memerlukan hasil kali diagonal untuk menghitung luas.

Jawaban: 10.

Tugas 7.

Luas jajar genjang adalah 96 dan sisi-sisinya 8 dan 15. Tentukan luas diagonal yang lebih kecil.

Larutan.

1. S ABCD = AB · IKLAN · sin ВAD. Mari kita lakukan substitusi pada rumusnya.

Kita peroleh 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Jadi sin ВAD = 4/5.

2. Carilah cos VAD. dosa 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9/25.

Berdasarkan kondisi soal, kita mencari panjang diagonal yang lebih kecil. Diagonal ВD akan lebih kecil jika sudut ВАD lancip. Maka cos VAD = 3/5.

3. Dari segitiga ABD, dengan menggunakan teorema kosinus, kita mencari kuadrat diagonal BD.

ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145.

Jawaban: 145.

Masih ada pertanyaan? Tidak tahu cara menyelesaikan soal geometri?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor -.
Pelajaran pertama gratis!

blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.

Teorema 1. Luas trapesium sama dengan hasil kali setengah jumlah alas dan tingginya:

Teorema 2. Diagonal trapesium membaginya menjadi empat segitiga, dua di antaranya sebangun dan dua lainnya mempunyai luas yang sama:

Teorema 3. Luas jajar genjang sama dengan hasil kali alas dan tinggi yang diturunkan oleh alas tertentu, atau hasil kali dua sisi dan sinus sudut di antara keduanya:

Teorema 4. Pada jajar genjang, jumlah kuadrat diagonal-diagonalnya sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisinya:

Teorema 5. Luas segi empat cembung sembarang sama dengan setengah hasil kali diagonal-diagonalnya dan sinus sudut di antara keduanya:

Teorema 6. Luas segiempat yang dibatasi di sekitar lingkaran sama dengan hasil kali setengah keliling segi empat tersebut dan jari-jari lingkaran tersebut:

Teorema 7. Segi empat yang titik sudutnya merupakan titik tengah sisi-sisi segi empat cembung sembarang adalah jajar genjang yang luasnya sama dengan setengah luas segi empat asal:

Teorema 8. Jika suatu segi empat cembung mempunyai diagonal-diagonal yang saling tegak lurus, maka jumlah kuadrat sisi-sisi yang berhadapan pada segiempat tersebut adalah sama:

AB2 + CD2 = BC2 + AD2.

Artikel ini diterbitkan dengan dukungan dari perusahaan "DKROST". Perosotan anak-anak, rumah, kotak pasir, dan banyak lagi - produksi dan penjualan taman bermain anak secara grosir dan eceran. Harga terendah, diskon, waktu produksi singkat, kunjungan dan konsultasi spesialis, jaminan kualitas. Anda dapat mengetahui lebih lanjut tentang perusahaan, melihat katalog produk, harga dan kontak di situs web yang terletak di: http://dkrost.ru/.

Bukti beberapa teorema

Bukti Teorema 2. Misalkan ABCD adalah suatu trapesium tertentu, AD dan BC alasnya, O titik potong diagonal AC dan BD trapesium tersebut. Mari kita buktikan bahwa segitiga AOB dan COD mempunyai luas yang sama. Caranya, turunkan garis tegak lurus BP dan CQ dari titik B dan C ke garis AD. Maka luas segitiga ABD adalah

Dan luas segitiga ACD adalah

Karena BP = CQ, maka S∆ABD = S∆ACD. Namun luas segitiga AOB adalah selisih luas segitiga ABD dan AOD, dan luas segitiga COD adalah selisih luas segitiga ACD dan AOD. Oleh karena itu, luas segitiga AOB dan COD adalah sama, sebagaimana harus dibuktikan.

Bukti Teorema 4. Misalkan ABCD adalah jajar genjang, AB = CD = A, IKLAN = SM = b,
AC = d1, BD = d2, ∠BAD = α, ∠ADC = 180° – α. Mari kita terapkan teorema kosinus pada segitiga ABD:

Sekarang dengan menerapkan teorema kosinus pada segitiga ACD, kita mendapatkan:

Menambahkan persamaan yang dihasilkan suku demi suku, kita memperolehnya Q.E.D.

Bukti Teorema 5. Misalkan ABCD adalah segi empat cembung sembarang, E titik potong diagonal-diagonalnya, AE = A, MENJADI = b,
CE = c, DE = d, ∠AEB = ∠CED = ϕ, ∠BEC =
= ∠AED = 180° – ϕ. Kita punya:

Q.E.D.

Bukti Teorema 6. Misalkan ABCD adalah segiempat sembarang yang dibatasi pada sebuah lingkaran, O adalah pusat lingkaran tersebut, OK, OL, OM dan ON adalah garis tegak lurus yang ditarik dari titik O ke garis AB, BC, CD dan AD. Kita punya:

dimana r adalah jari-jari lingkaran dan p adalah setengah keliling segiempat ABCD.

Bukti Teorema 7. Misalkan ABCD adalah segi empat cembung sembarang, K, L, M dan N berturut-turut merupakan titik tengah sisi AB, BC, CD dan AD. Karena KL adalah garis tengah segitiga ABC, maka garis KL sejajar dengan garis AC dan begitu pula garis MN sejajar dengan garis AC, maka KLMN adalah jajar genjang. Perhatikan segitiga KBL. Luasnya sama dengan seperempat luas segitiga ABC. Luas segitiga MDN juga sama dengan seperempat luas segitiga ACD. Karena itu,

Juga,

Artinya

kemana kelanjutannya

Bukti Teorema 8. Misalkan ABCD adalah segi empat cembung sembarang yang diagonal-diagonalnya saling tegak lurus, misalkan E adalah titik potong diagonal-diagonalnya,
AE = A, BE = b, CE = c, DE = d. Mari kita terapkan teorema Pythagoras pada segitiga ABE dan CDE:
AB2 = AE2 + BE2 = A 2 + b2,
CD2 = CE2 + DE2 = c2 + d2,
karena itu,
AB2 + CD2 = A 2 + b2 + c2 + d2 .
Sekarang dengan menerapkan teorema Pythagoras pada segitiga ADE dan BCE, kita memperoleh:
AD2 = AE2 + DE2 = A 2 + d2,
BC2 = BE2 + CE2 = b2 + c2,
kemana kelanjutannya
AD2 + BC2 = A 2 + b2 + c2 + d2 .
Artinya AB2 + CD2 = AD2 + BC2 yang perlu dibuktikan.

Solusi masalah

Masalah 1. Sebuah trapesium dengan sudut alas α dan β digambarkan mengelilingi lingkaran. Temukan perbandingan luas trapesium dengan luas lingkaran.

Larutan. Misalkan ABCD adalah trapesium tertentu, AB dan CD alasnya, DK dan CM adalah garis tegak lurus yang ditarik dari titik C dan D ke garis AB. Perbandingan yang dibutuhkan tidak bergantung pada jari-jari lingkaran. Oleh karena itu, kita asumsikan jari-jarinya adalah 1. Maka luas lingkaran sama dengan π, mari kita cari luas trapesium. Karena segitiga ADK siku-siku, maka

Demikian pula, dari segitiga siku-siku BCM kita menemukan bahwa Karena sebuah lingkaran dapat dimasukkan ke dalam trapesium tertentu, jumlah sisi-sisi yang berhadapan adalah sama:
AB + CD = IKLAN + SM,
dari mana kita menemukannya?

Jadi luas trapesium tersebut adalah

dan rasio yang dibutuhkan sama dengan
Menjawab:

Masalah 2. Pada segi empat ABCD cembung, sudut A sama dengan 90°, dan sudut C tidak melebihi 90°. Dari titik B dan D garis tegak lurus BE dan DF dijatuhkan ke diagonal AC. Diketahui AE = CF. Buktikan bahwa sudut C siku-siku.

Bukti. Karena sudut A adalah 90°,
dan sudut C tidak melebihi 90°, maka titik E dan F terletak pada diagonal AC. Tanpa kehilangan sifat umum, kita dapat berasumsi bahwa AE< AF (в противном случае следует повторить все нижеследующие рассуждения с заменой точек B и D). Пусть ∠ABE = α,
∠EBC = β, ∠FDA = γ, ∠FDC = δ. Kita cukup membuktikan bahwa α + β + γ + δ = π. Karena

dari mana kita mendapatkan apa yang perlu dibuktikan.

Masalah 3. Keliling trapesium sama kaki yang dibatasi pada lingkaran adalah p. Hitunglah jari-jari lingkaran tersebut jika diketahui sudut lancip pada alas trapesium sama dengan α.
Larutan. Misalkan ABCD adalah trapesium sama kaki dengan alas AD dan BC, misalkan BH adalah tinggi trapesium yang dijatuhkan dari titik sudut B.
Karena sebuah lingkaran dapat ditulisi pada trapesium tertentu, maka

Karena itu,

Dari segitiga siku-siku ABH kita temukan,

Menjawab:

Masalah 4. Diketahui trapesium ABCD dengan basis AD dan BC. Diagonal AC dan BD berpotongan di titik O, dan garis AB dan CD berpotongan di titik K. Garis KO memotong sisi BC dan AD masing-masing di titik M dan N, dan sudut BAD adalah 30°. Diketahui sebuah lingkaran dapat ditulisi pada trapesium ABMN dan NMCD. Tentukan perbandingan luas segitiga BKC dan trapesium ABCD.

Larutan. Seperti diketahui, untuk trapesium sembarang, garis lurus yang menghubungkan titik potong diagonal dan titik potong perpanjangan sisi-sisi lateralnya membagi masing-masing alasnya menjadi dua. Jadi BM = MC dan AN = ND. Selanjutnya, karena sebuah lingkaran dapat dituliskan pada trapesium ABMN dan NMCD, maka
BM + AN = AB + MN,
MC + ND = CD + MN.
Maka AB = CD, yaitu trapesium ABCD sama kaki. Perbandingan luas yang dibutuhkan tidak bergantung pada skala, sehingga kita asumsikan KN = x, KM = 1. Dari segitiga siku-siku AKN dan BKM kita peroleh bahwa Menulis kembali relasi yang sudah digunakan di atas
BM + AN = AB + MN ⇔

Kita perlu menghitung rasionya:

Di sini kita menggunakan fakta bahwa luas segitiga AKD dan BKC berhubungan sebagai kuadrat sisi KN dan KM, yaitu sebagai x2.

Menjawab:

Tugas 5. Pada segiempat ABCD cembung, titik E, F, H, G masing-masing merupakan titik tengah sisi AB, BC, CD, DA, dan O adalah titik potong ruas EH dan FG. Diketahui EH = A, FG = b, Tentukan panjang diagonal-diagonal segiempat tersebut.

Larutan. Diketahui bahwa jika Anda menghubungkan titik tengah sisi-sisi segi empat sembarang secara seri, Anda mendapatkan jajar genjang. Dalam kasus kita, EFHG adalah jajar genjang dan O adalah titik potong diagonal-diagonalnya. Kemudian

Mari kita terapkan teorema kosinus pada segitiga FOH:

Karena FH adalah garis tengah segitiga BCD, maka

Demikian pula, dengan menerapkan teorema kosinus pada segitiga EFO, kita memperolehnya

Menjawab:

Tugas 6. Sisi lateral trapesium adalah 3 dan 5. Diketahui sebuah lingkaran dapat ditulisi pada trapesium. Garis tengah trapesium membaginya menjadi dua bagian, perbandingan luasnya sama dengan Tentukan alas trapesium.

Larutan. Misalkan ABCD adalah trapesium tertentu, AB = 3 dan CD = 5 sisi lateralnya, titik K dan M berturut-turut merupakan titik tengah sisi AB dan CD. Misalkan AD > BC, maka luas trapesium AKMD akan lebih besar dari luas trapesium KBCM. Karena KM adalah garis tengah trapesium ABCD, maka trapesium AKMD dan KBCM mempunyai tinggi yang sama. Karena luas trapesium sama dengan hasil kali setengah jumlah alas dan tingginya, persamaan berikut ini benar:

Selanjutnya, karena pada trapesium ABCD terdapat sebuah lingkaran, maka AD + BC = AB + CD = 8. Maka KM = 4 sebagai garis tengah trapesium ABCD. Misalkan BC = x, maka AD = 8 – x. Kita punya:
Jadi BC = 1 dan AD = 7.

Menjawab: 1 dan 7.

Masalah 7. Alas AB trapesium ABCD dua kali panjang alas CD dan dua kali panjang sisi AD. Panjang diagonal AC adalah A, dan panjang sisi BC sama dengan b. Temukan luas trapesium.

Larutan. Misalkan E adalah titik potong perpanjangan sisi lateral trapesium dan CD = x, maka AD = x, AB = 2x. Ruas CD sejajar dengan ruas AB dan panjangnya setengah, artinya CD adalah garis tengah segitiga ABE. Jadi CE = BC = b dan DE = AD = x, maka AE = 2x. Jadi segitiga ABE sama kaki (AB = AE) dan AC adalah mediannya. Oleh karena itu AC juga merupakan tinggi segitiga tersebut, artinya

Karena segitiga DEC sebangun dengan segitiga AEB maka koefisien kemiripannya adalah

Menjawab:

Masalah 8. Diagonal trapesium ABCD berpotongan di titik E. Hitunglah luas segitiga BCE jika panjang alas trapesium tersebut AB = 30, DC = 24, sisi AD = 3 dan sudut DAB 60°.

Larutan. Misalkan DH adalah tinggi trapesium. Dari segitiga ADH kita temukan bahwa

Karena tinggi segitiga ABC yang dijatuhkan dari titik sudut C sama dengan tinggi DH trapesium, maka diperoleh:

Menjawab:

Masalah 9. Pada trapesium, garis tengahnya adalah 4, dan sudut salah satu alasnya adalah 40° dan 50°. Tentukan alas trapesium jika ruas yang menghubungkan titik tengah alasnya sama dengan 1.

Larutan. Misalkan ABCD adalah trapesium tertentu, AB dan CD alasnya (AB< CD), M, N - середины AB и CD соответственно. Пусть также ∠ADC = 50°, ∠BCD = 40°. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому
AB + CD = 8. Perluas sisi DA dan CB hingga perpotongan di titik E. Perhatikan segitiga ABE yang ∠EAB = 50°. ∠EBA = 40°,
oleh karena itu, ∠AEB = 90°. Median EM segitiga ini, yang ditarik dari titik sudut siku-siku, sama dengan setengah sisi miring: EM = AM. Misalkan EM = x, maka AM = x, DN = 4 – x. Sesuai dengan kondisi soal MN = 1, maka,
EN = x + 1. Dari persamaan segitiga AEM dan DEN kita peroleh:

Artinya AB = 3 dan CD = 5.

Menjawab: 3 dan 5.

Masalah 10. Segiempat ABCD cembung dibatasi pada sebuah lingkaran yang berpusat di titik O, dengan AO = OC = 1, BO = OD = 2. Tentukan keliling segiempat ABCD.

Larutan. Misalkan K, L, M, N adalah titik singgung lingkaran dengan sisi AB, BC, CD, DA berturut-turut, dan r adalah jari-jari lingkaran. Karena garis singgung lingkaran tegak lurus dengan jari-jari yang ditarik ke titik singgung tersebut, maka segitiga AKO, BKO, BLO, CLO, CMO, DMO, DNO, ANO adalah persegi panjang. Menerapkan teorema Pythagoras pada segitiga-segitiga ini, kita memperolehnya

Jadi AB = BC = CD = DA, artinya ABCD adalah belah ketupat. Diagonal-diagonal belah ketupat saling tegak lurus, dan titik potongnya adalah pusat lingkaran yang tertulis. Dari sini kita dengan mudah mengetahui bahwa sisi-sisi belah ketupat itu sama besar dan oleh karena itu keliling belah ketupat itu sama

Menjawab:

Masalah untuk diselesaikan secara mandiri

S-1. Trapesium ABCD sama sisi dibatasi pada lingkaran berjari-jari r. Misalkan E dan K adalah titik singgung lingkaran tersebut dengan sisi-sisi trapesium. Sudut antara alas AB dan sisi AD trapesium adalah 60°. Buktikan EK sejajar AB dan tentukan luas trapesium ABEK.
S-2. Pada trapesium, diagonal-diagonalnya adalah 3 dan 5, dan ruas yang menghubungkan titik tengah alasnya adalah 2. Tentukan luas trapesium tersebut.
S-3. Apakah lingkaran yang mengelilingi segiempat ABCD dapat dilukiskan jika ADC = 30°, AB = 3, BC = 4, AC = 6?
S-4. Pada trapesium ABCD (AB adalah alasnya), nilai sudut DAB, BCD, ADC, ABD dan ADB membentuk barisan aritmatika (sesuai urutan penulisannya). Hitunglah jarak titik sudut C ke diagonal BD jika tinggi trapesium tersebut h.
S-5. Diketahui sebuah trapesium sama kaki yang didalamnya terdapat sebuah lingkaran dan disekitarnya terdapat lingkaran. Perbandingan tinggi trapesium dengan jari-jari lingkaran yang dibatasi adalah Tentukan sudut-sudut trapesium tersebut.
S-6. Luas persegi panjang ABCD adalah 48 dan panjang diagonalnya 10. Pada bidang tempat persegi panjang tersebut berada, dipilih titik O sehingga OB = OD = 13. Tentukan jarak titik O ke titik tersebut titik sudut persegi panjang yang terjauh darinya.
S-7. Keliling jajar genjang ABCD adalah 26. Sudut ABC adalah 120°. Jari-jari lingkaran pada segitiga BCD adalah Tentukan panjang sisi-sisi jajar genjang jika diketahui AD > AB.
S-8. Segiempat ABCD terdapat pada sebuah lingkaran yang berpusat di titik O. Jari-jari OA tegak lurus jari-jari OB, dan jari-jari OC tegak lurus terhadap jari-jari OD. Panjang garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik C ke garis AD sama dengan 9. Panjang ruas BC adalah setengah panjang ruas AD. Temukan luas segitiga AOB.
S-9. Pada segi empat ABCD cembung, titik sudut A dan C berhadapan, dan panjang sisi AB adalah 3. Sudut ABC sama dengan sudut BCD sama dengan Carilah panjang sisi AD jika diketahui luas segiempat tersebut adalah sama dengan

S-10. Pada segiempat ABCD cembung digambar diagonal AC dan BD. Diketahui bahwa
AD = 2, ∠ABD = ∠ACD = 90°, dan jarak antara titik potong bagi segitiga ABD dan titik potong bagi segitiga ACD adalah Tentukan panjang sisi BC.
S-11. Misalkan M adalah titik potong diagonal-diagonal segiempat ABCD cembung yang sisi-sisinya AB, AD dan BC sama panjang. Carilah sudut CMD jika diketahui DM = MC,
dan ∠CAB ≠ ∠DBA.
S-12. Pada segi empat ABCD kita mengetahui bahwa ∠A = 74°, ∠D = 120°. Tentukan sudut antara garis bagi sudut B dan C.
S-13. Sebuah lingkaran dapat dituliskan pada segiempat ABCD. Misalkan K adalah titik potong diagonal-diagonalnya. Diketahui AB > BC > KC, keliling dan luas segitiga BKC masing-masing adalah 14 dan 7. Tentukan DC.
S-14. Pada trapesium yang dibatasi lingkaran diketahui BC AD, AB = CD, ∠BAD =
= 45°. Carilah AB jika luas trapesium ABCD adalah 10.
S-15. Pada trapesium ABCD dengan basis AB dan CD diketahui bahwa ∠CAB = 2∠DBA. Temukan luas trapesium.
S-16. Pada jajar genjang ABCD diketahui AC = A, ∠CAB = 60°. Temukan luas jajaran genjang.
S-17. Pada segi empat ABCD, diagonal AC dan BD berpotongan di titik K. Titik L dan M masing-masing merupakan titik tengah sisi BC dan AD. Ruas LM memuat titik K. Segiempat ABCD sedemikian rupa sehingga dapat dibuat lingkaran di dalamnya. Hitunglah jari-jari lingkaran tersebut jika AB = 3, dan LK: KM = 1:3.
S-18. Pada segiempat ABCD cembung digambar diagonal AC dan BD. Dalam hal ini ∠BAC =
= ∠BDC, dan luas lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga BDC adalah sama dengan
a) Tentukan jari-jari lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga ABC.
b) Diketahui BC = 3, AC = 4, ∠BAD = 90°, tentukan luas segiempat ABCD.

Catatan. Ini adalah bagian dari pelajaran soal geometri (bagian jajar genjang). Jika Anda perlu menyelesaikan soal geometri yang tidak ada di sini, tulislah di forum. Untuk menunjukkan tindakan mengekstraksi akar kuadrat dalam penyelesaian masalah, simbol √ atau sqrt() digunakan, dengan ekspresi radikal ditunjukkan dalam tanda kurung.

Materi teori

Penjelasan rumus mencari luas jajar genjang:

1. Luas jajar genjang sama dengan hasil kali panjang salah satu sisinya dan tinggi sisi tersebut
2. Luas jajar genjang sama dengan hasil kali dua sisi yang berdekatan dan sinus sudut di antara keduanya
3. Luas jajar genjang sama dengan setengah hasil kali diagonal-diagonalnya dan sinus sudut di antara keduanya

Soal mencari luas jajar genjang

Larutan.
Mari kita nyatakan tinggi jajar genjang ABCD yang lebih kecil diturunkan dari titik B ke alas AD yang lebih besar sebagai BK.
Mari kita cari nilai kaki segitiga siku-siku ABK yang dibentuk oleh tinggi yang lebih kecil, sisi yang lebih kecil, dan sebagian alas yang lebih besar. Menurut teorema Pythagoras:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 +AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK = 1

Mari kita perpanjang alas atas jajar genjang BC dan turunkan tinggi AN dari alas bawahnya. AN = BK sebagai sisi-sisi persegi panjang ANBK. Mari kita cari kaki NC dari segitiga siku-siku ANC yang dihasilkan.
SEBUAH 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC 2 = √144
NC=12

Sekarang carilah basis BC yang lebih besar dari jajar genjang ABCD.
BC = NC - NB
Mari kita perhatikan bahwa NB = AK sebagai sisi-sisi persegi panjang
SM = 12 - 1 = 11

Luas jajar genjang sama dengan hasil kali alas dan tinggi alas tersebut.
S = ah
S = SM * BK
S = 11 * 9 = 99

Menjawab: 99cm 2 .

Tugas

Larutan.
Mari kita jatuhkan DK tegak lurus lainnya ke diagonal AC.
Dengan demikian, segitiga AOB dan DKC, COB dan AKD berpasangan sama besar. Salah satu sisinya adalah sisi yang berhadapan dengan jajar genjang, salah satu sudutnya adalah sudut siku-siku, karena tegak lurus terhadap diagonalnya, dan salah satu sudut yang tersisa adalah salib dalam yang terletak pada sisi-sisi sejajar jajar genjang dan garis potongnya. diagonal.

Jadi, luas jajar genjang sama dengan luas segitiga yang ditunjukkan. Itu adalah
Paralel = 2S AOB +2S Dewan Komisaris

Luas segitiga siku-siku sama dengan setengah hasil kali kaki-kakinya. Di mana
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 cm 2
Menjawab: 56 cm 2 .

Rumus luas jajar genjang

Luas jajar genjang sama dengan hasil kali sisinya dan tinggi sisi tersebut.

Bukti

Jika jajar genjang berbentuk persegi panjang, maka persamaan tersebut dipenuhi oleh teorema luas persegi panjang. Selanjutnya kita asumsikan bahwa sudut-sudut jajar genjang tidak siku-siku.

Misalkan $\angle BAD$ adalah sudut lancip pada jajar genjang $ABCD$ dan $AD > AB$. Jika tidak, kami akan mengganti nama simpulnya. Maka tinggi $BH$ dari titik sudut $B$ ke garis $AD$ jatuh pada sisi $AD$, karena kaki $AH$ lebih pendek dari sisi miring $AB$, dan $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.

Mari kita bandingkan luas jajar genjang $ABCD$ dan luas persegi panjang $HBCK$. Luas jajar genjang lebih besar luas $\segitiga ABH$, tetapi lebih kecil luas $\segitiga DCK$. Karena segitiga-segitiga ini sama besar, maka luasnya juga sama. Artinya luas jajar genjang sama dengan luas persegi panjang yang panjang sisi-sisinya dan tinggi jajar genjang tersebut.

Rumus luas jajar genjang menggunakan sisi dan sinus

Luas jajar genjang sama dengan hasil kali sisi-sisi yang berdekatan dan sinus sudut di antara keduanya.

Bukti

Tinggi jajar genjang $ABCD$ yang dijatuhkan ke sisi $AB$ sama dengan hasil kali ruas $BC$ dan sinus sudut $\sudut ABC$. Tetap menerapkan pernyataan sebelumnya.

Rumus luas jajar genjang menggunakan diagonal

Luas jajar genjang sama dengan setengah hasil kali diagonal-diagonalnya dan sinus sudut di antara keduanya.

Bukti

Misalkan diagonal-diagonal jajar genjang $ABCD$ berpotongan di titik $O$ dengan sudut $\alpha$. Kemudian $AO=OC$ dan $BO=OD$ dengan properti jajaran genjang. Sinus-sinus sudut-sudut yang berjumlah $180^\circ$ adalah sama, $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$. Artinya sinus sudut pada perpotongan diagonalnya sama dengan $\sin \alpha$.

$S_(ABCD)=S_(\segitiga AOB) + S_(\segitiga Dewan Komisaris) + S_(\segitiga COD) + S_(\segitiga AOD)$

sesuai dengan aksioma pengukuran luas. Kita terapkan rumus luas segitiga $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ untuk segitiga dan sudut yang diagonalnya berpotongan. Sisi-sisinya sama dengan setengah diagonalnya, dan sinusnya juga sama. Oleh karena itu, luas keempat segitiga sama dengan $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \ dfrac(AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. Menyimpulkan semua hal di atas, kita mendapatkan

$S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$

Saat memecahkan masalah pada topik ini, kecuali sifat dasar genjang dan rumus terkait, Anda dapat mengingat dan menerapkan hal berikut:

1. Garis bagi sudut dalam jajar genjang memotong segitiga sama kaki darinya
2. Garis bagi sudut dalam yang berdekatan dengan salah satu sisi jajar genjang saling tegak lurus
3. Garis-bagi yang datang dari sudut-sudut dalam jajar genjang yang berhadapan adalah sejajar satu sama lain atau terletak pada satu garis lurus
4. Jumlah kuadrat diagonal-diagonal jajar genjang sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisinya
5. Luas jajar genjang sama dengan setengah hasil kali diagonal-diagonalnya dan sinus sudut di antara keduanya

Mari kita pertimbangkan permasalahan yang menggunakan properti ini.

Tugas 1.

Garis bagi sudut C jajar genjang ABCD memotong sisi AD di titik M dan lanjutan sisi AB di luar titik A di titik E. Hitunglah keliling jajar genjang jika AE = 4, DM = 3.

Larutan.

1. Segitiga CMD sama kaki. (Properti 1). Jadi CD = MD = 3 cm.

2. Segitiga EAM sama kaki.
Jadi, AE = AM = 4 cm.

3. IKLAN = AM + MD = 7 cm.

4. Keliling ABCD = 20 cm.

Menjawab. 20 cm.

Tugas 2.

Diagonal digambar pada segi empat ABCD cembung. Diketahui luas segitiga ABD, ACD, BCD adalah sama besar. Buktikan bahwa segi empat tersebut merupakan jajar genjang.

Larutan.

1. Misalkan BE adalah tinggi segitiga ABD, CF adalah tinggi segitiga ACD. Karena menurut kondisi soal, luas segitiga-segitiga itu sama dan mempunyai alas yang sama AD, maka tinggi segitiga-segitiga itu adalah sama. MENJADI = CF.

2. BE, CF tegak lurus AD. Titik B dan C terletak pada sisi yang sama terhadap garis lurus AD. MENJADI = CF. Oleh karena itu, garis lurus BC || IKLAN. (*)

3. Misalkan AL adalah tinggi segitiga ACD, BK adalah tinggi segitiga BCD. Karena menurut kondisi soal, luas segitiga-segitiga itu sama dan mempunyai alas CD yang sama, maka tinggi segitiga-segitiga itu adalah sama. AL = BK.

4. AL dan BK tegak lurus CD. Titik B dan A terletak pada sisi yang sama terhadap garis lurus CD. AL = BK. Oleh karena itu, garis lurus AB || CD(**)

5. Dari kondisi (*), (**) maka ABCD adalah jajar genjang.

Menjawab. Terbukti. ABCD adalah jajar genjang.

Tugas 3.

Pada sisi BC dan CD jajar genjang ABCD diberi tanda titik M dan H berturut-turut sehingga ruas BM dan HD berpotongan di titik O;<ВМD = 95 о,