Segmen proporsional dalam segitiga siku-siku. Segmen proporsional dalam segitiga siku-siku Rata-rata segmen proporsional dalam bukti segitiga siku-siku
Tujuan pelajaran:
- memperkenalkan konsep mean proporsional (mean geometri) dua segmen;
- pertimbangkan masalah segmen proporsional dalam segitiga siku-siku: sifat ketinggian segitiga siku-siku yang ditarik dari titik sudut siku-siku;
- untuk mengembangkan keterampilan siswa dalam menggunakan topik yang dipelajari dalam proses pemecahan masalah.
Jenis pelajaran: pelajaran mempelajari materi baru.
Rencana:
- Momen organisasi.
- Memperbarui pengetahuan.
- Mempelajari sifat-sifat tinggi segitiga siku-siku yang ditarik dari titik sudut siku-siku:
- tahap persiapan;
- perkenalan;
– asimilasi. - Pengenalan konsep rata-rata sebanding dengan dua segmen.
- Menguasai konsep rata-rata proporsional dua ruas.
- Bukti akibat:
– tinggi segitiga siku-siku yang ditarik dari titik sudut siku-siku adalah perbandingan rata-rata antara ruas-ruas yang sisi miringnya dibagi dengan tinggi tersebut;
– kaki segitiga siku-siku adalah perbandingan rata-rata antara sisi miring dan ruas sisi miring yang terletak di antara kaki dan tingginya. - Penyelesaian masalah.
- Meringkas.
- Menetapkan pekerjaan rumah.
Selama kelas
I. MOMEN ORGANISASI
- Halo teman-teman, silakan duduk. Apakah semua orang siap untuk kelas?
Mari kita mulai bekerja.
II. PENGETAHUAN DIPERBARUI
– Konsep matematika penting apa yang Anda pelajari pada pelajaran sebelumnya? ( dengan konsep kesebangunan segitiga)
- Mari kita ingat dua segitiga manakah yang disebut sebangun? (dua segitiga disebut sebangun jika sudut-sudutnya masing-masing sama besar dan sisi-sisi suatu segitiga sebanding dengan sisi-sisi sebangun pada segitiga lainnya.)
– Apa yang kita gunakan untuk membuktikan persamaan dua segitiga? (
– Rumuskan tanda-tanda ini (merumuskan tiga tanda kesebangunan segitiga)
AKU AKU AKU. MEMPELAJARI SIFAT-SIFAT TINGGI SEGITIGA PERSEGI PANJANG YANG DILAKUKAN DARI ATAS SUDUT KANAN
a) tahap persiapan
– Guys, silahkan lihat di slide pertama. ( Aplikasi) Di sini diperlihatkan dua segitiga siku-siku – dan . dan adalah ketinggian dan masing-masing. 
.
Tugas 1.a) Tentukan apakah dan serupa.
– Apa yang kita gunakan untuk membuktikan kesebangunan segitiga? ( tanda-tanda kesebangunan segitiga)
(tanda pertama, karena dalam soal tidak diketahui sisi-sisi segitiga)
. (Dua pasang: 1. ∟B= ∟B1 (lurus), 2. ∟A= ∟A 1)
- Menarik kesimpulan.( dengan kriteria pertama keserupaan segitiga ~)
Tugas 1.b) Tentukan apakah dan serupa.
– Tanda kesamaan apa yang akan kita gunakan dan mengapa? (tanda pertama, karena dalam soal tidak diketahui sisi-sisi segitiga)
– Berapa pasang sudut yang sama besar yang perlu kita cari? Temukan pasangan ini (karena segitiga-segitiga itu siku-siku, maka sepasang sudut yang sama besar sudah cukup: ∟A= ∟A 1)
- Menarik kesimpulan. (berdasarkan kriteria keserupaan segitiga yang pertama, kita simpulkan bahwa segitiga-segitiga tersebut sebangun).
Hasil percakapannya, slide 1 terlihat seperti ini:
b) penemuan teorema
Tugas 2.
– Tentukan apakah dan serupa. Sebagai hasil dari percakapan tersebut, dibangun jawaban-jawaban yang tercermin pada slide.
– Gambar menunjukkan bahwa. Apakah kita menggunakan ukuran derajat ini saat menjawab pertanyaan tugas? ( Tidak, kami tidak menggunakannya)
– Teman-teman, buatlah kesimpulan: segitiga siku-siku terbagi menjadi segitiga apa dengan tinggi yang ditarik dari titik sudut siku-siku? (menyimpulkan)
– Timbul pertanyaan: apakah kedua segitiga siku-siku yang tingginya membagi segitiga siku-siku ini akan sebangun? Mari kita coba mencari pasangan sudut yang sama besar.
Sebagai hasil dari percakapan tersebut, sebuah rekor dibuat:
– Sekarang mari kita buat kesimpulan lengkapnya.( KESIMPULAN: tinggi segitiga siku-siku yang ditarik dari titik sudut siku-siku membagi segitiga menjadi dua serupa
- Itu. Kami merumuskan dan membuktikan teorema tentang sifat-sifat tinggi segitiga siku-siku.
Mari kita buat struktur teorema dan buat gambarnya. Apa yang diberikan dalam teorema dan apa yang perlu dibuktikan? Siswa menulis di buku catatan mereka:
– Mari kita buktikan poin pertama teorema untuk gambar baru. Fitur kesamaan apa yang akan kami gunakan dan mengapa? (Yang pertama, karena dalam teorema tidak ada yang diketahui tentang sisi-sisi segitiga)
– Berapa pasang sudut yang sama besar yang perlu kita cari? Temukan pasangan ini. (Dalam hal ini, satu pasang saja sudah cukup: ∟A-umum)
- Menarik kesimpulan. Segitiga-segitiga itu sebangun. Hasilnya, contoh teorema ditampilkan
– Tuliskan sendiri poin kedua dan ketiga di rumah.
c) menguasai teorema
- Jadi, rumuskan teoremanya lagi (Ketinggian segitiga siku-siku yang ditarik dari titik sudut siku-siku membagi segitiga menjadi dua serupa segitiga siku-siku yang masing-masing sebangun dengan segitiga ini)
– Berapa banyak pasang segitiga sebangun dalam konstruksi “dalam segitiga siku-siku yang tingginya diambil dari titik sudut siku-siku” yang dapat Anda temukan dari teorema ini? ( Tiga pasang)
Siswa diberikan tugas sebagai berikut:
IV. PENGENALAN KONSEP RATA-RATA PROPORSIONAL DUA SEGMEN
– Dan sekarang kami akan mempelajari konsep baru dengan Anda.
Perhatian!
Definisi. Segmen garis XY ditelepon rata-rata proporsional (rata-rata geometrik) antar segmen AB Dan CD, Jika
(tuliskan di buku catatan).
V. PEMAHAMAN KONSEP RATA-RATA PROPORSIONAL DUA SEGMEN
– Sekarang mari kita beralih ke slide berikutnya.
Latihan 1. Hitunglah panjang rata-rata ruas proporsional MN dan KP, jika MN = 9 cm, KP = 16 cm.
– Apa yang diberikan dalam soal? ( Dua ruas beserta panjangnya : MN = 9 cm, KP = 16 cm)
– Apa yang perlu Anda temukan? ( Panjangnya rata-rata sebanding dengan ruas-ruas tersebut)
– Rumus apa yang menyatakan mean proporsional dan bagaimana cara mencarinya?
(Gantikan data tersebut ke dalam rumus dan carilah panjang penyangga rata-rata.)
Tugas No.2. Hitunglah panjang ruas AB jika rata-rata perbandingan ruas AB dan CD adalah 90 cm dan CD = 100 cm
– Apa yang diberikan dalam soal? (panjang ruas CD = 100 cm dan rata-rata perbandingan ruas AB dan CD adalah 90 cm)
– Apa yang harus ditemukan dalam permasalahan tersebut? ( Panjang ruas AB)
– Bagaimana kita memecahkan masalah tersebut? (Mari kita tuliskan rumus rata-rata proporsional ruas AB dan CD, nyatakan panjang AB darinya dan substitusikan datanya ke dalam soal.)
VI. KESIMPULAN IMPLIKASI
- Bagus sekali, teman-teman. Sekarang mari kita kembali ke persamaan segitiga, yang telah kita buktikan dalam teorema. Nyatakan kembali teorema tersebut. ( Ketinggian segitiga siku-siku yang ditarik dari titik sudut siku-siku membagi segitiga menjadi dua serupa segitiga siku-siku, yang masing-masing sebangun dengan segitiga yang diberikan)
– Mari kita gunakan persamaan segitiga dan . Apa yang berikut ini? ( Menurut definisinya, sisi-sisi yang sebangun sebanding dengan sisi-sisi yang sebangun)
– Persamaan apa yang akan dihasilkan jika menggunakan sifat dasar proporsi? ()
– Ekspresikan CD dan buat kesimpulan (
;
.
Kesimpulan: tinggi segitiga siku-siku yang ditarik dari titik sudut siku-siku adalah perbandingan rata-rata antara ruas-ruas yang sisi miringnya dibagi dengan tinggi tersebut)
– Sekarang buktikan sendiri bahwa kaki suatu segitiga siku-siku adalah perbandingan rata-rata antara sisi miring dan ruas sisi miring yang berada di antara kaki dan tingginya. Kita akan mencari dari -... ruas-ruas yang membagi sisi miring dengan ketinggian ini )
Kaki suatu segitiga siku-siku adalah perbandingan rata-rata antara...(-...sisi miring dan bagian sisi miring yang terletak di antara kaki ini dan tingginya )
– Dimana kita menerapkan pernyataan yang telah kita pelajari? ( Saat memecahkan masalah)
IX. MENGATUR PEKERJAAN RUMAH
d/z: 571, No. 572 (a, d), kerja mandiri di buku catatan, teori.
Tes kemiripan segitiga siku-siku
Mari kita perkenalkan terlebih dahulu kriteria kesamaan segitiga siku-siku.
Teorema 1
Tes kemiripan segitiga siku-siku: dua segitiga siku-siku sebangun jika masing-masing mempunyai satu sudut lancip yang sama besar (Gbr. 1).
Gambar 1. Segitiga siku-siku sebangun
Bukti.
Misalkan $\angle B=\angle B_1$. Karena segitiga tersebut siku-siku, maka $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Oleh karena itu, mereka sebangun menurut kriteria keserupaan segitiga yang pertama.
Teorema tersebut telah terbukti.
Teorema tinggi pada segitiga siku-siku
Teorema 2
Ketinggian segitiga siku-siku yang ditarik dari titik sudut siku-siku membagi segitiga tersebut menjadi dua segitiga siku-siku yang sebangun, yang masing-masing sebangun dengan segitiga tersebut.
Bukti.
Misalkan kita diberi segitiga siku-siku $ABC$ dengan sudut siku-siku $C$. Mari menggambar tinggi $CD$ (Gbr. 2).
Gambar 2. Ilustrasi Teorema 2
Mari kita buktikan bahwa segitiga $ACD$ dan $BCD$ sebangun dengan segitiga $ABC$ dan segitiga $ACD$ dan $BCD$ sebangun.
Karena $\angle ADC=(90)^0$, maka segitiga $ACD$ adalah siku-siku. Segitiga $ACD$ dan $ABC$ mempunyai sudut yang sama $A$, oleh karena itu, berdasarkan Teorema 1, segitiga $ACD$ dan $ABC$ sebangun.
Karena $\angle BDC=(90)^0$, maka segitiga $BCD$ adalah siku-siku. Segitiga $BCD$ dan $ABC$ mempunyai sudut yang sama $B$, oleh karena itu, berdasarkan Teorema 1, segitiga $BCD$ dan $ABC$ sebangun.
Sekarang mari kita perhatikan segitiga $ACD$ dan $BCD$
\[\sudut A=(90)^0-\sudut ACD\] \[\sudut BCD=(90)^0-\sudut ACD=\sudut A\]
Oleh karena itu, berdasarkan Teorema 1, segitiga $ACD$ dan $BCD$ adalah sebangun.
Teorema tersebut telah terbukti.
Rata-rata proporsional
Teorema 3
Tinggi suatu segitiga siku-siku yang ditarik dari titik sudut suatu sudut siku-siku adalah rata-rata sebanding dengan ruas-ruas yang menjadi garis pemisah antara sisi miring segitiga tersebut.
Bukti.
Berdasarkan Teorema 2, kita mengetahui bahwa segitiga $ACD$ dan $BCD$ adalah sebangun
Teorema tersebut telah terbukti.
Teorema 4
Kaki suatu segitiga siku-siku adalah perbandingan rata-rata antara sisi miring dan ruas sisi miring yang terletak di antara kaki dan tinggi yang ditarik dari titik sudut.
Bukti.
Dalam pembuktian teorema kita akan menggunakan notasi dari Gambar 2.
Berdasarkan Teorema 2, kita mengetahui bahwa segitiga $ACD$ dan $ABC$ adalah sebangun
Teorema tersebut telah terbukti.
Pelajaran 40. Ruas-ruas proporsional pada segitiga siku-siku. C.b. A. H. S.bc. N.ac. A. B. Ketinggian segitiga siku-siku yang ditarik dari titik sudut siku-siku membagi segitiga tersebut menjadi 2 segitiga siku-siku yang sebangun, yang masing-masing sebangun dengan segitiga tersebut. Tes kemiripan segitiga siku-siku. Dua segitiga siku-siku dikatakan sebangun jika masing-masing mempunyai sudut lancip yang sama besar. Ruas XY disebut rata-rata proporsional (rata-rata geometri) untuk ruas AB dan CD jika Sifat 1. Ketinggian suatu segitiga siku-siku yang ditarik dari titik sudut siku-siku adalah rata-rata proporsional antara proyeksi kaki-kakinya ke sisi miring. Sifat 2. Kaki suatu segitiga siku-siku adalah rata-rata proporsional antara sisi miring dan proyeksi kaki tersebut ke sisi miring.
Geser 28 dari presentasi “Geometri “Segitiga Serupa””. Ukuran arsip dengan presentasi adalah 232 KB.Geometri kelas 8
ringkasan presentasi lainnya“Menyelesaikan masalah dengan teorema Pythagoras” - Segitiga ABC sama kaki. Penerapan praktis teorema Pythagoras. ABCD adalah segi empat. Luas persegi. Temukan matahari. Bukti. Alas trapesium sama kaki. Perhatikan teorema Pythagoras. Luas segi empat. Segitiga siku-siku. Teori Pitagoras. Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya.
"Menemukan luas jajaran genjang" - Basis. Tinggi. Menentukan tinggi jajar genjang. Tanda-tanda persamaan segitiga siku-siku. Luas jajar genjang. Temukan luas segitiga. Properti area. Latihan lisan. Temukan luas jajaran genjang. Ketinggian jajaran genjang. Temukan keliling persegi. Luas segitiga. Temukan luas persegi. Temukan luas persegi panjang. Luas persegi.
""Kotak" kelas 8" - Kotak Hitam. Tugas untuk pekerjaan lisan di sekeliling alun-alun. Luas persegi. Tanda-tanda persegi. Alun-alun ada di antara kita. Persegi adalah persegi panjang yang semua sisinya sama panjang. Persegi. Tas dengan alas persegi. tugas lisan. Berapa banyak persegi yang ditunjukkan pada gambar? Sifat-sifat persegi. Pedagang kaya. Tugas untuk karya lisan pada luas persegi. Keliling suatu persegi.
“Definisi simetri aksial” - Titik-titik yang terletak pada tegak lurus yang sama. Gambarlah dua garis lurus. Konstruksi. Plot poin-poinnya. Petunjuk. Bangun datar yang tidak mempunyai simetri aksial. Segmen garis. Koordinat hilang. Angka. Gambar yang mempunyai lebih dari dua sumbu simetri. Simetri. Simetri dalam puisi. Bangunlah segitiga. Sumbu simetri. Konstruksi suatu segmen. Konstruksi suatu titik. Gambar dengan dua sumbu simetri. masyarakat. Segitiga. Proporsionalitas.
“Definisi segitiga sebangun” - Poligon. Segmen proporsional. Perbandingan luas segitiga sebangun. Dua segitiga disebut sebangun. Kondisi. Buatlah sebuah segitiga menggunakan dua sudut yang diberikan dan garis bagi di titik sudutnya. Katakanlah kita perlu menentukan jarak ke pilar. Tanda ketiga persamaan segitiga. Mari kita membangun semacam segitiga. ABC. Segitiga ABC dan ABC sama panjang pada ketiga sisinya. Menentukan ketinggian suatu benda.
"Solusi Teorema Pythagoras" - Bagian dari jendela. Bukti paling sederhana. Hammurabi. Diagonal. Bukti lengkap. Buktikan dengan metode pengurangan. Pythagoras. Pembuktian dengan metode dekomposisi. Sejarah teorema. Diameter. Buktikan dengan metode penjumlahan. bukti Epstein. Penyanyi. Segitiga. Pengikut. Penerapan teorema Pythagoras. Teori Pitagoras. Pernyataan teorema. Bukti Perigal. Penerapan teorema.
Hari ini kami menyampaikan kepada Anda presentasi lain tentang subjek yang menakjubkan dan misterius - geometri. Dalam presentasi ini kami akan memperkenalkan Anda pada properti baru bentuk geometris, khususnya konsep segmen proporsional pada segitiga siku-siku.
Pertama, kita harus ingat apa itu segitiga? Ini adalah poligon paling sederhana, terdiri dari tiga simpul yang dihubungkan oleh tiga segmen. Segitiga yang salah satu sudutnya sama dengan 90 derajat disebut segitiga siku-siku. Anda telah mengenal mereka secara lebih rinci dalam materi pendidikan kami sebelumnya yang disajikan kepada Anda.
Jadi, kembali ke topik kita hari ini, mari kita nyatakan bahwa tinggi segitiga siku-siku yang ditarik dari sudut 90 derajat membaginya menjadi dua segitiga yang sebangun satu sama lain dan dengan segitiga aslinya. Semua gambar dan grafik yang Anda minati diberikan dalam presentasi yang diusulkan, kami menyarankan Anda merujuknya, disertai dengan penjelasan yang dijelaskan.
Contoh grafis dari skripsi di atas dapat dilihat pada slide kedua. Berdasarkan tanda kesebangunan segitiga yang pertama, segitiga-segitiga tersebut sebangun karena mempunyai dua sudut yang identik. Jika kita tentukan lebih detail, maka tinggi yang diturunkan ke sisi miring membentuk sudut siku-siku, yaitu sudah ada sudut-sudut yang identik, dan masing-masing sudut yang terbentuk juga mempunyai satu sudut yang sama dengan sudut aslinya. Hasilnya adalah dua sudut yang sama besar. Artinya, segitiga-segitiga tersebut sebangun.
Mari kita jelaskan juga apa yang dimaksud dengan konsep “rata-rata proporsional” atau “rata-rata geometris”? Ini adalah ruas XY tertentu untuk ruas AB dan CD, jika sama dengan akar kuadrat hasil kali panjangnya.
Dari sini juga dapat disimpulkan bahwa kaki segitiga siku-siku adalah rata-rata geometri antara sisi miring dan proyeksi kaki ini ke sisi miring, yaitu kaki lainnya.
Sifat lain dari segitiga siku-siku adalah tingginya, jika ditarik dari sudut 90°, merupakan perbandingan rata-rata antara proyeksi kaki-kakinya ke sisi miring. Jika Anda melihat presentasi dan materi lain yang menarik perhatian Anda, Anda akan melihat bahwa ada bukti tesis ini dalam bentuk yang sangat sederhana dan mudah diakses. Sebelumnya kita telah membuktikan bahwa segitiga-segitiga yang dihasilkan sebangun satu sama lain dan dengan segitiga aslinya. Kemudian, dengan menggunakan perbandingan kaki-kaki bangun geometri tersebut, kita sampai pada kesimpulan bahwa tinggi suatu segitiga siku-siku berbanding lurus dengan akar kuadrat hasil kali ruas-ruas yang terbentuk akibat penurunan tinggi dari tinggi. sudut siku-siku segitiga asal.
Hal terakhir dalam pemaparan adalah bahwa kaki suatu segitiga siku-siku merupakan rata-rata geometri sisi miring dan ruasnya yang terletak di antara kaki dan tinggi yang ditarik dari sudut sebesar 90 derajat. Kasus ini harus dipertimbangkan dari sudut pandang bahwa segitiga-segitiga yang ditunjukkan serupa satu sama lain, dan kaki salah satunya ternyata merupakan sisi miring dari segitiga lainnya. Namun Anda akan menjadi lebih familiar dengan hal ini dengan mempelajari materi yang diusulkan.
Tes kemiripan segitiga siku-siku
Mari kita perkenalkan terlebih dahulu kriteria kesamaan segitiga siku-siku.
Teorema 1
Tes kemiripan segitiga siku-siku: dua segitiga siku-siku sebangun jika masing-masing mempunyai satu sudut lancip yang sama besar (Gbr. 1).
Gambar 1. Segitiga siku-siku sebangun
Bukti.
Misalkan $\angle B=\angle B_1$. Karena segitiga tersebut siku-siku, maka $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Oleh karena itu, mereka sebangun menurut kriteria keserupaan segitiga yang pertama.
Teorema tersebut telah terbukti.
Teorema tinggi pada segitiga siku-siku
Teorema 2
Ketinggian segitiga siku-siku yang ditarik dari titik sudut siku-siku membagi segitiga tersebut menjadi dua segitiga siku-siku yang sebangun, yang masing-masing sebangun dengan segitiga tersebut.
Bukti.
Misalkan kita diberi segitiga siku-siku $ABC$ dengan sudut siku-siku $C$. Mari menggambar tinggi $CD$ (Gbr. 2).
Gambar 2. Ilustrasi Teorema 2
Mari kita buktikan bahwa segitiga $ACD$ dan $BCD$ sebangun dengan segitiga $ABC$ dan segitiga $ACD$ dan $BCD$ sebangun.
Karena $\angle ADC=(90)^0$, maka segitiga $ACD$ adalah siku-siku. Segitiga $ACD$ dan $ABC$ mempunyai sudut yang sama $A$, oleh karena itu, berdasarkan Teorema 1, segitiga $ACD$ dan $ABC$ sebangun.
Karena $\angle BDC=(90)^0$, maka segitiga $BCD$ adalah siku-siku. Segitiga $BCD$ dan $ABC$ mempunyai sudut yang sama $B$, oleh karena itu, berdasarkan Teorema 1, segitiga $BCD$ dan $ABC$ sebangun.
Sekarang mari kita perhatikan segitiga $ACD$ dan $BCD$
\[\sudut A=(90)^0-\sudut ACD\] \[\sudut BCD=(90)^0-\sudut ACD=\sudut A\]
Oleh karena itu, berdasarkan Teorema 1, segitiga $ACD$ dan $BCD$ adalah sebangun.
Teorema tersebut telah terbukti.
Rata-rata proporsional
Teorema 3
Tinggi suatu segitiga siku-siku yang ditarik dari titik sudut suatu sudut siku-siku adalah rata-rata sebanding dengan ruas-ruas yang menjadi garis pemisah antara sisi miring segitiga tersebut.
Bukti.
Berdasarkan Teorema 2, kita mengetahui bahwa segitiga $ACD$ dan $BCD$ adalah sebangun
Teorema tersebut telah terbukti.
Teorema 4
Kaki suatu segitiga siku-siku adalah perbandingan rata-rata antara sisi miring dan ruas sisi miring yang terletak di antara kaki dan tinggi yang ditarik dari titik sudut.
Bukti.
Dalam pembuktian teorema kita akan menggunakan notasi dari Gambar 2.
Berdasarkan Teorema 2, kita mengetahui bahwa segitiga $ACD$ dan $ABC$ adalah sebangun
Teorema tersebut telah terbukti.
