Definisi bola. Matematika

Bola adalah suatu benda yang terdiri dari semua titik dalam ruang yang terletak pada jarak tidak lebih jauh dari suatu titik tertentu. Titik ini disebut pusat bola, dan jarak ini disebut jari-jari bola. Batas suatu bola disebut permukaan bola atau bola. Titik-titik bola adalah semua titik-titik bola yang berjarak sama dengan jari-jari dari pusatnya. Setiap ruas yang menghubungkan pusat bola dengan suatu titik pada permukaan bola disebut juga jari-jari. Ruas yang melalui pusat bola dan menghubungkan dua titik pada permukaan bola disebut diameter. Ujung-ujung diameter berapa pun disebut titik-titik bola yang berlawanan secara diametral.

Bola adalah benda yang berputar, seperti kerucut dan silinder. Sebuah bola diperoleh dengan memutar setengah lingkaran di sekitar diameternya sebagai sumbu.

Luas permukaan bola dapat dicari dengan menggunakan rumus:

dimana r adalah jari-jari bola, d adalah diameter bola.

Volume bola dicari dengan rumus:

V = 4/3 πr 3,

di mana r adalah jari-jari bola.

Dalil. Setiap bagian bola pada bidang adalah lingkaran. Pusat lingkaran ini adalah alas garis tegak lurus yang ditarik dari pusat bola ke bidang potong.

Berdasarkan teorema tersebut, jika sebuah bola berpusat O dan berjari-jari R dipotong oleh bidang α, maka hasil penampangnya adalah lingkaran berjari-jari r dengan pusat K. Jari-jari potongan bola oleh bidang tersebut adalah ditemukan oleh rumus

Dari rumus tersebut jelas bahwa bidang-bidang yang berjarak sama dari pusat memotong bola dalam lingkaran yang sama. Semakin besar jari-jari penampang, semakin dekat bidang potong ke pusat bola, semakin kecil jarak OK. Jari-jari terbesar dimiliki oleh bidang yang melewati pusat bola. Jari-jari lingkaran ini sama dengan jari-jari bola.

Bidang yang melalui pusat bola disebut bidang tengah. Bagian bola pada bidang diametris disebut lingkaran besar, bagian bola disebut lingkaran besar, dan bagian bola disebut lingkaran besar.

Dalil. Setiap bidang diametris pada bola adalah bidang simetrinya. Pusat bola adalah pusat simetrinya.

Bidang yang melalui titik A pada permukaan bola dan tegak lurus terhadap jari-jari yang ditarik ke titik A disebut bidang singgung. Titik A disebut titik singgung.

Dalil. Bidang singgung hanya memiliki satu titik yang sama dengan bola - titik kontak.

Garis lurus yang melalui titik A pada permukaan bola yang tegak lurus jari-jari yang ditarik ke titik tersebut disebut garis singgung.

Dalil. Jumlah garis singgung yang tak terhingga melalui suatu titik pada permukaan bola, dan semuanya terletak pada bidang singgung bola.

Ruas bola adalah bagian bola yang dipotong oleh bidang datar. Lingkaran ABC merupakan alas ruas bola. Ruas tegak lurus MN yang ditarik dari pusat N lingkaran ABC sampai perpotongan dengan permukaan bola adalah tinggi ruas bola tersebut. Titik M adalah titik puncak ruas bola.

Luas permukaan ruas bola dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Volume ruas bola dapat dicari dengan rumus:

V = πh 2 (R – 1/3h),

dimana R adalah jari-jari lingkaran besar, h adalah tinggi ruas bola.

Sektor bola diperoleh dari ruas bola dan kerucut sebagai berikut. Jika ruas bola lebih kecil dari belahan bumi, maka ruas bola tersebut dilengkapi dengan kerucut yang titik sudutnya berada di tengah bola, dan alasnya adalah alas ruas tersebut. Jika ruas tersebut lebih besar dari belahan bumi, maka kerucut yang ditentukan dikeluarkan darinya.

Sektor bola adalah bagian bola yang dibatasi oleh permukaan lengkung segmen bola (dalam gambar kita, ini adalah AMCB) dan permukaan kerucut (dalam gambar kita, ini adalah OABC), yang alasnya adalah alas dari bola. ruas (ABC), dan titik puncaknya adalah pusat bola O.

Volume sektor bola dicari dengan rumus:

V = 2/3 πR 2 H.

Lapisan bola adalah bagian bola yang tertutup di antara dua bidang sejajar (bidang ABC dan DEF pada gambar) yang memotong permukaan bola. Permukaan melengkung dari lapisan bola disebut sabuk bola (zona). Lingkaran ABC dan DEF merupakan alas sabuk bola. Jarak NK antara alas sabuk bola adalah tingginya.

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Bola dan bola, pertama-tama, adalah bangun ruang, dan jika bola adalah benda geometris, maka bola adalah permukaan bola. Angka-angka ini menarik perhatian ribuan tahun yang lalu SM.

Selanjutnya, ketika ditemukan bahwa Bumi adalah bola dan langit adalah bola langit, arah baru yang menarik dalam geometri dikembangkan - geometri pada bola atau geometri bola. Untuk membicarakan ukuran dan volume bola, Anda harus mendefinisikannya terlebih dahulu.

Bola

Bola berjari-jari R yang berpusat di titik O dalam geometri adalah benda yang tercipta dari semua titik dalam ruang yang mempunyai sifat yang sama. Titik-titik ini terletak pada jarak tidak melebihi jari-jari bola, yaitu mengisi seluruh ruang yang kurang dari jari-jari bola ke segala arah dari pusatnya. Jika kita hanya mempertimbangkan titik-titik yang berjarak sama dari pusat bola, kita akan mempertimbangkan permukaannya atau cangkang bola.

Bagaimana saya bisa mendapatkan bolanya? Kita dapat memotong lingkaran dari kertas dan mulai memutarnya sesuai diameternya. Artinya, diameter lingkaran akan menjadi sumbu rotasi. Sosok yang terbentuk akan menjadi sebuah bola. Oleh karena itu, bola disebut juga benda rotasi. Karena dapat dibentuk dengan memutar suatu bangun datar – lingkaran.

Ayo naik pesawat dan potong bola kita dengannya. Ibarat kita memotong jeruk dengan pisau. Bagian yang kita potong dari bola disebut ruas bola.

Di Yunani Kuno, mereka tidak hanya tahu cara bekerja dengan bola dan bola sebagai bentuk geometris, misalnya, menggunakannya dalam konstruksi, tetapi juga tahu cara menghitung luas permukaan bola dan volume bola.

Bola adalah nama lain dari permukaan bola. Sebuah bola bukanlah sebuah benda, ia adalah permukaan dari sebuah benda revolusi. Namun, karena Bumi dan banyak benda mempunyai bentuk bulat, misalnya setetes air, studi tentang hubungan geometri di dalam bola telah tersebar luas.

Misalnya, jika kita menghubungkan dua titik pada sebuah bola dengan sebuah garis lurus, maka garis lurus tersebut disebut tali busur, dan jika tali busur ini melewati pusat bola yang berimpit dengan pusat bola, maka tali busurnya disebut diameter bola.

Jika kita menggambar garis lurus yang menyentuh bola di satu titik saja, maka garis tersebut disebut garis singgung. Selain itu, garis singgung bola pada titik ini akan tegak lurus terhadap jari-jari bola yang ditarik ke titik kontak.

Jika kita memanjangkan tali busur menjadi suatu garis lurus pada satu arah atau arah lainnya dari bola, maka tali busur ini disebut garis potong. Atau kita dapat mengatakannya secara berbeda - potongan pada bola berisi tali busurnya.

Volume bola

Rumus untuk menghitung volume bola adalah:

dimana R adalah jari-jari bola.

Jika Anda ingin mencari volume ruas bola, gunakan rumus:

V seg =πh 2 (R-h/3), h adalah tinggi ruas bola.

Luas permukaan suatu bola atau bola

Untuk menghitung luas bola atau luas permukaan bola (sama saja):

dimana R adalah jari-jari bola.

Archimedes sangat menyukai bola dan bola, bahkan ia meminta untuk meninggalkan gambar di makamnya yang bertuliskan bola di dalam silinder. Archimedes percaya bahwa volume bola dan permukaannya sama dengan dua pertiga volume dan permukaan silinder tempat bola tersebut berada.”

Bola (bola)

Permukaan bulat. Bola (bola). Bagian bola: lingkaran.

Teorema Archimedes. Bagian-bagian bola: ruas bola,

lapisan bola, sabuk bola, sektor bola.

Permukaan bulat - Ini tempat kedudukan poin(itu. banyakjumlah semua poin)dalam ruang, berjarak sama dari satu titik HAI , yang disebut pusat permukaan bola (Gbr.90). Radius AOi diameter AB ditentukan dengan cara yang sama seperti dalam lingkaran.

Bola (bola) - Ini benda yang dibatasi oleh permukaan bola. Bisa ambil bola dengan cara memutar setengah lingkaran ( atau lingkaran ) di sekitar diameternya. Semua bagian bidang bola adalah lingkaran ( Gambar.90 ). Lingkaran terbesar terletak pada bagian yang melewati pusat bola dan disebut lingkaran besar. Jari-jarinya sama dengan jari-jari bola. Dua lingkaran besar mana pun berpotongan sepanjang diameter bola ( AB, Gambar.91 ).Diameter ini juga merupakan diameter lingkaran besar yang berpotongan. Melalui dua titik permukaan bola yang terletak di ujung-ujungnya dengan diameter yang sama(A dan B, Gambar.91 ), Anda dapat menggambar lingkaran besar yang tak terhitung jumlahnya. Misalnya, meridian yang jumlahnya tak terhingga dapat ditarik melalui kutub-kutub bumi.

Volume bola satu setengah kali lebih kecil dari volume silinder yang mengelilinginya. (Gbr.92 ), A permukaan bola satu setengah kali lebih kecil dari total permukaan silinder yang sama ( Teorema Archimedes):

Di Sini S bola Dan V bola - masing-masing permukaan dan volume bola;

S silinder Dan V silinder - total permukaan dan volume silinder yang dibatasi.

Bagian dari bola. Bagian dari bola (sphere) ), terputus darinya oleh suatu pesawat ( ABC, Gambar.93), ditelepon bola(bulat ) segmen. Lingkari ABC ditelepon dasar segmen bola. Segmen garis M N tegak lurus ditarik dari pusat N lingkaran ABC sampai berpotongan dengan permukaan bola disebut tinggi segmen bola. Dot M ditelepon atas segmen bola.

Bagian dari bola yang tertutup di antara dua bidang sejajar ABC dan DEF berpotongan dengan permukaan bola (Gbr. 93), ditelepon lapisan bola; permukaan melengkung pada lapisan bola disebut sabuk bola(daerah). lingkaran ABC dan DEF – alasan sabuk bola. Jarak N.K. antara dasar sabuk bola - itu tinggi. Bagian bola yang dibatasi oleh permukaan lengkung suatu ruas bola ( AMCB, Gambar 93) dan permukaan berbentuk kerucut OABC , yang alasnya merupakan alas ruas ( ABC ), dan titik puncaknya adalah titik tengah bola HAI , ditelepon sektor bola.

Ketika ditanya perbedaan antara bola dan bola, banyak yang hanya mengangkat bahu, berpikir bahwa sebenarnya keduanya adalah hal yang sama (analogi lingkaran dan lingkaran). Memangnya apakah kita semua mengetahui geometri dengan baik dari kurikulum sekolah dan bisa langsung menjawab pertanyaan tersebut? Bola memiliki beberapa perbedaan dengan bola, yang perlu diketahui tidak hanya oleh anak sekolah agar mendapat nilai bagus atas ilmu yang diperagakannya, tetapi juga banyak orang lain, misalnya yang pekerjaannya berhubungan langsung dengan menggambar.

Definisi

Bola– himpunan semua titik dalam ruang. Semua titik ini terletak dari pusat benda geometris pada jarak yang tidak lebih dari jarak tertentu. Jarak ini sendiri disebut radius. Sebuah bola, sebagai benda geometris, dibentuk sebagai berikut: sebuah setengah lingkaran berputar mendekati diameternya. Adapun bola adalah permukaan bola (misalnya bola tertutup termasuk, bola terbuka tidak). Menghitung luas atau volume bola melibatkan seluruh rumus geometri yang sangat kompleks, meskipun bentuk geometri itu sendiri tampak sederhana.

Bola, seperti disebutkan di atas, adalah permukaan bola, cangkangnya. Semua titik dalam ruang mempunyai jarak yang sama dari pusat bola. Adapun jari-jari suatu benda geometris disebut sembarang ruas, yang salah satu titiknya langsung menjadi pusat bola, dan titik lainnya dapat terletak di sembarang titik pada permukaan. Kita dapat mengatakan bahwa bola adalah cangkang bola tanpa isi apapun (contoh yang lebih spesifik akan diberikan di bawah). Sama seperti bola, bola adalah benda revolusi. Ngomong-ngomong, banyak juga yang bertanya-tanya apa perbedaan antara lingkaran dan lingkaran dari bola dan bola. Semuanya sederhana di sini: dalam kasus pertama ini adalah angka-angka di pesawat, yang kedua - di luar angkasa.

Perbandingan

Telah dikatakan bahwa bola adalah permukaan bola, yang memungkinkan kita berbicara tentang satu tanda perbedaan yang signifikan. Perbedaan antara kedua benda geometris tersebut terlihat pada beberapa aspek lainnya:

• Semua titik bola berada pada jarak yang sama dari pusat, sedangkan benda dibatasi oleh permukaan (bola yang bagian dalamnya kosong). Dengan kata lain, bola tersebut berongga. Biasanya untuk memudahkan pemahaman diberikan contoh sederhana dengan balon dan bola bilyar. Kedua benda ini disebut bola, tetapi dalam kasus pertama kita berurusan dengan bola, dan yang kedua dengan bola penuh dengan isinya sendiri di dalamnya.
• Bola mempunyai luasnya sendiri, tetapi tidak mempunyai volume. Bola adalah kebalikannya: volumenya dapat dihitung, namun tidak mempunyai luas. Beberapa orang mungkin mengatakan bahwa ini adalah tanda utama perbedaan, tetapi ini hanya muncul jika perlu melakukan beberapa perhitungan (rumus geometri yang kompleks). Oleh karena itu, perbedaan utamanya adalah bola berongga, dan bola adalah benda yang isinya ada di dalamnya.
• Perbedaan lainnya terletak pada radiusnya. Misalnya, jari-jari sebuah bola bukan hanya jarak titik-titik ke pusatnya. Jari-jari dapat berupa segmen apa pun yang menghubungkan suatu titik pada bola dengan pusatnya. Semua segmen ini sama satu sama lain. Sedangkan untuk bola, titik-titik yang terletak di dalamnya dipindahkan dari pusat kurang dari satu jari-jari (tepatnya karena bola membatasinya).

Situs web kesimpulan

1. Bola itu berongga, sedangkan bola adalah benda yang terisi di dalamnya. Misalnya, balon udara adalah bola, bola bilyar adalah bola utuh.
2. Bola mempunyai luas dan tidak mempunyai volume, tetapi bola mempunyai sifat sebaliknya.
3. Perbedaan ketiga adalah pengukuran jari-jari dua benda geometris.

Definisi.

Bola dapat digambarkan sebagai bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk dengan memutar lingkaran pada diameternya sebesar 180° atau setengah lingkaran pada diameternya sebesar 360°.

Definisi.

Bola dapat digambarkan sebagai bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk dengan memutar lingkaran pada diameternya sebesar 180° atau setengah lingkaran pada diameternya sebesar 360°.

Definisi. Jari-jari bola (bola)(R) adalah jarak dari pusat bola (bola) HAI ke titik mana pun pada bola (permukaan bola).

Definisi. Diameter bola (bola).(D) adalah segmen yang menghubungkan dua titik pada bola (permukaan bola) dan melalui pusatnya.

Rumus. Volume bola:

Rumus. Luas permukaan suatu bola melalui radius atau diameter:

S = 4π R 2 = π D 2

Persamaan bola

1. Persamaan bola berjari-jari R dan berpusat di titik asal sistem koordinat kartesius:

x 2 + kamu 2 + z 2 = R 2

2. Persamaan bola berjari-jari R dan berpusat di suatu titik dengan koordinat (x 0, y 0, z 0) pada sistem koordinat kartesius:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Definisi. Titik-titik yang berlawanan secara diametral adalah dua titik pada permukaan bola (bola) yang dihubungkan oleh suatu diameter.

Sifat dasar bola dan bola

1. Semua titik bola mempunyai jarak yang sama dari pusat.

2. Setiap bagian bola yang didekati bidang adalah lingkaran.

3. Setiap bagian bola pada bidang datar adalah lingkaran.

4. Bola mempunyai volume terbesar di antara semua bangun ruang yang luas permukaannya sama.

5. Melalui dua titik yang berlawanan secara diametral, Anda dapat menggambar banyak lingkaran besar untuk sebuah bola atau lingkaran untuk sebuah bola.

6. Melalui dua titik mana pun, kecuali titik-titik yang berhadapan secara diametris, Anda hanya dapat menggambar satu lingkaran besar untuk sebuah bola atau sebuah lingkaran besar untuk sebuah bola.

7. Dua lingkaran besar dari satu bola berpotongan sepanjang garis lurus yang melalui pusat bola, dan lingkaran-lingkaran tersebut berpotongan di dua titik yang berlawanan secara diametral.

8. Jika jarak antara pusat dua bola lebih kecil dari jumlah jari-jarinya dan lebih besar dari modulus selisih jari-jarinya, maka bola tersebut memotong, dan sebuah lingkaran terbentuk pada bidang perpotongan.

Garis potong, tali busur, bidang potong suatu bola dan sifat-sifatnya

Definisi. Garis potong bola adalah garis lurus yang memotong bola di dua titik. Titik potongnya disebut titik-titik yang menusuk permukaan atau titik masuk dan keluar pada permukaan.

Definisi. Tali busur sebuah bola (bola)- ini adalah segmen yang menghubungkan dua titik pada sebuah bola (permukaan bola).

Definisi. Memotong pesawat adalah bidang yang memotong bola.

Definisi. Bidang diametral- ini adalah bidang garis potong yang melewati pusat bola atau bola, bagian tersebut terbentuk sesuai dengan itu lingkaran besar Dan lingkaran besar. Lingkaran besar dan lingkaran besar mempunyai pusat yang berimpit dengan pusat bola (bola).

Tali busur apa pun yang melalui pusat bola (bola) disebut diameter.

Tali busur adalah segmen garis potong.

Jarak d dari pusat bola ke garis potong selalu lebih kecil dari jari-jari bola:

D< R

Jarak m antara bidang potong dan pusat bola selalu lebih kecil dari jari-jari R:

M< R

Letak bagian bidang potong pada bola akan selalu sama lingkaran kecil, dan pada bola bagiannya adalah lingkaran kecil. Lingkaran kecil dan lingkaran kecil mempunyai pusat masing-masing yang tidak berimpit dengan pusat bola (bola). Jari-jari r lingkaran tersebut dapat dicari dengan menggunakan rumus:

r = √R 2 - m 2,

Dimana R adalah jari-jari bola (bola), m adalah jarak pusat bola ke bidang potong.

Definisi. Belahan bumi (belahan bumi)- ini adalah setengah dari bola (bola), yang terbentuk ketika dipotong oleh bidang diametris.

Garis singgung, bidang singgung suatu bola dan sifat-sifatnya

Definisi. Bersinggungan dengan sebuah bola adalah garis lurus yang menyentuh bola hanya pada satu titik.

Definisi. Bidang singgung pada suatu bola adalah bidang yang menyentuh bola hanya pada satu titik.

Garis singgung (bidang) selalu tegak lurus terhadap jari-jari bola yang ditarik ke titik kontak

Jarak pusat bola ke garis singgung (bidang) sama dengan jari-jari bola.

Definisi. Segmen bola- ini adalah bagian bola yang dipotong dari bola dengan bidang potong. Dasar segmen disebut lingkaran yang terbentuk pada lokasi potongan tersebut. Tinggi segmen h adalah panjang garis tegak lurus yang ditarik dari titik tengah alas ruas ke permukaan ruas.

Rumus. Luas permukaan luar suatu segmen bola dengan tinggi h melalui jari-jari bola R:

S = 2πRh