Koordinat umum dan gaya umum. Koordinat umum dan gaya-gaya yang digeneralisasi Seperti apa kerja gaya-gaya dalam koordinat umum

Mekanika analitik. Klasifikasi koneksi. Contoh. Kemungkinan gerakan.

Koneksi– ini adalah hubungan antara koordinat dan kecepatan titik-titik dalam sistem, disajikan dalam bentuk persamaan atau pertidaksamaan.

Klasifikasi:

Geometris– menerapkan pembatasan hanya pada koordinat titik sistem (tidak termasuk kecepatan)

Kinematis– kecepatan masuk ke dalam persamaan. Jika Anda dapat menghilangkan kecepatan, maka koneksi sudah terintegrasi.

Koneksi holonomis– koneksi diferensial geometris dan terintegrasi.

Sambungannya disebut memegang(dikenakan atau pembatasan tetap ada di posisi mana pun dalam sistem) dan bebas, yang tidak memiliki properti ini (dari koneksi seperti itu, seperti yang mereka katakan, sistem dapat “dibebaskan”

Kemungkinan relokasi

Mental apa pun

Kecil sekali

Memindahkan titik sistem diperbolehkan

Pada saat ini

Koneksi dikenakan pada sistem.

Gerakan sebenarnya– tergantung pada gaya, waktu, koneksi, kondisi awal.

Kemungkinan pergerakan hanya bergantung pada koneksi.

Untuk sambungan stasioner, pergerakan sebenarnya adalah salah satu kemungkinan.

Koneksi yang ideal. Prinsip kemungkinan gerakan.

Ideal disebut senyawa yang jumlah usaha dasar semua reaksinya pada setiap perpindahan yang mungkin sama dengan 0.

Prinsip kemungkinan gerakan.

Untuk keseimbangan sistem mekanis dengan sambungan stasioner yang ideal, jumlah kerja dasar semua gaya aktif pada setiap perpindahan yang mungkin harus sama dengan 0. Dalam hal ini, agar kecukupan, kecepatan awal harus sama ke nol. Saldo yang diperlukan => Cukup => saldo.

Koordinat umum. Jumlah derajat kebebasan sistem. Kekuatan yang digeneralisasi, metode untuk menghitungnya. Kondisi kesetimbangan untuk sistem dengan batasan holonomis, dinyatakan dalam gaya umum.

Koordinat umum– parameter independen yang sepenuhnya menentukan posisi sistem dan melaluinya semua koordinat titik Cartesian dalam sistem dapat dinyatakan.

Jumlah derajat kebebasan ditentukan oleh jumlah koordinat umum

Banyaknya besaran skalar yang saling bebas dan secara unik menentukan posisi suatu sistem mekanik dalam ruang disebut bilangan derajat kebebasan.

Koordinat umum suatu sistem mekanik adalah besaran geometri yang tidak bergantung satu sama lain yang secara unik menentukan posisi sistem dalam ruang.

Q i = δA j /δq j atau δA j = Q i ⋅ δq j .

Kekuatan yang digeneralisasi- ini adalah gaya yang melakukan usaha yang sama pada kemungkinan perpindahan sepanjang koordinat umumnya dengan semua gaya yang diterapkan pada sistem pada perpindahan yang sesuai dari titik penerapannya.

Untuk mencari gaya umum, kita berikan kemungkinan perpindahan sepanjang koordinat umum, tanpa mengubah koordinat lainnya. Kemudian kita mencari usaha yang dilakukan oleh semua gaya yang diterapkan pada sistem dan membaginya dengan perpindahan yang mungkin terjadi.

Prinsip kemungkinan perpindahan dalam gaya umum.

Karena dalam kesetimbangan jumlah usaha dasar pada setiap kemungkinan perpindahan ( ba=BQ J , yang tidak saling bergantung, maka hal berikut ini harus benar: Q 1 =0; Q 2 =0; QK =0

Definisi kekuatan umum

Untuk sistem dengan satu derajat kebebasan, gaya umum yang sesuai dengan koordinat umum Q, disebut besaran yang ditentukan oleh rumus

dimana D Q– kenaikan kecil pada koordinat umum; – jumlah kerja dasar gaya-gaya sistem pada kemungkinan pergerakannya.

Mari kita ingat kembali bahwa kemungkinan pergerakan sistem didefinisikan sebagai pergerakan sistem ke posisi yang sangat dekat yang diperbolehkan oleh koneksi pada saat tertentu (untuk lebih jelasnya lihat Lampiran 1).

Diketahui bahwa jumlah usaha yang dilakukan oleh gaya-gaya reaksi ikatan ideal pada setiap kemungkinan perpindahan sistem adalah sama dengan nol. Oleh karena itu, untuk sistem dengan koneksi ideal, hanya kerja gaya aktif sistem yang harus diperhitungkan dalam ekspresi. Jika sambungannya tidak ideal, maka gaya reaksinya, misalnya gaya gesekan, secara konvensional dianggap sebagai gaya aktif (lihat petunjuk di bawah pada diagram pada Gambar 1.5). Ini termasuk kerja dasar gaya aktif dan kerja dasar momen pasangan gaya aktif. Mari kita tuliskan rumus untuk menentukan hasil kali ini. Katakanlah gaya ( F kx ,F ky ,F kz) diterapkan pada titik tersebut KE, yang vektor radiusnya adalah ( xk ,yk ,zk), dan kemungkinan perpindahan – ​​(d xk, D ya, D zk). Pekerjaan dasar suatu gaya pada perpindahan yang mungkin sama dengan produk skalar, yang dalam bentuk analitis sesuai dengan ekspresi

D A( ) = F ke D r ke cos(), (1.3a)

dan dalam bentuk koordinat – ekspresi

D A( ) = Fkx D xk + Fky D kamu k + F kz D zk. (1.3b)

Jika beberapa kekuatan dengan momen M diterapkan pada benda berputar yang koordinat sudutnya j, dan perpindahan yang mungkin terjadi adalah dj, maka usaha dasar momen M kemungkinan perpindahan dj ditentukan dengan rumus

D SAYA) = ± M D J. (1.3v)

Di sini tanda (+) sesuai dengan kasus saat ini M dan kemungkinan pergerakan dj searah; tanda (–) bila berlawanan arah.

Untuk dapat menentukan gaya umum dengan menggunakan rumus (1.3), perlu dinyatakan kemungkinan pergerakan benda dan titik dalam melalui pertambahan kecil pada koordinat umum d Q, menggunakan dependensi (1)…(7) adj. 1.

Definisi kekuatan umum Q, sesuai dengan koordinat umum yang dipilih Q, disarankan untuk melakukannya dengan urutan berikut.

· Gambarkan pada diagram desain semua gaya aktif sistem.

· Berikan kenaikan kecil pada koordinat umum d q> 0; tunjukkan pada diagram perhitungan kemungkinan perpindahan yang sesuai dari semua titik di mana gaya diterapkan, dan kemungkinan perpindahan sudut semua benda di mana momen pasangan gaya diterapkan.

· Tulislah persamaan kerja dasar semua gaya aktif sistem pada gerak tersebut, nyatakan kemungkinan gerak melalui d Q.

· Tentukan gaya umum menggunakan rumus (1.3).

Contoh 1.4 (lihat kondisi pada Gambar 1.1).

Mari kita definisikan gaya umum yang bersesuaian dengan koordinat umum S(Gbr. 1.4).

Gaya aktif bekerja pada sistem: P- berat kargo; G– berat dan torsi drum M.

Bidang miring yang kasar adalah untuk beban A koneksi yang tidak sempurna. Gaya gesekan geser F tr, bekerja pada beban A dari hubungan ini, sama dengan F tr = f N.

Untuk menentukan kekuatannya N tekanan normal suatu beban pada suatu bidang selama pergerakan, kita menggunakan prinsip D'Alembert: jika gaya inersia bersyarat diterapkan pada setiap titik sistem, selain gaya aktif aktif dan gaya reaksi sambungan, maka himpunan yang dihasilkan gaya akan seimbang dan persamaan dinamis dapat diberikan bentuk persamaan keseimbangan statis. Mengikuti metode terkenal dalam menerapkan prinsip ini, kami akan menggambarkan semua gaya yang bekerja pada beban A(Gbr. 1.5), – dan , dimana adalah gaya tegangan kabel.

Beras. 1.4 Gambar. 1.5

Mari kita tambahkan gaya inersia, dimana percepatan beban. Persamaan prinsip d'Alembert dalam proyeksi ke sumbu kamu seperti N–Pcos A = 0.

Dari sini N = Pcos A. Gaya gesekan geser sekarang dapat ditentukan dengan rumus F tr = f P cos A.

Mari kita berikan koordinat umum S peningkatan kecil d s> 0. Dalam hal ini, beban (Gbr. 1.4) akan bergerak ke atas bidang miring hingga jarak d S, dan drum akan berputar berlawanan arah jarum jam dengan sudut dj.

Dengan menggunakan rumus seperti (1.3a) dan (1.3c), mari kita buat ekspresi untuk jumlah kerja torsi dasar M, kekuatan P Dan F tr:

Mari kita nyatakan dj dalam persamaan ini melalui d S: , Kemudian

kita mendefinisikan gaya umum menggunakan rumus (1.3)

Mari kita perhatikan rumus yang ditulis sebelumnya untuk F tr dan akhirnya kita akan mendapatkannya

Jika dalam contoh yang sama kita mengambil sudut j sebagai koordinat umum, maka gaya umum Qj dinyatakan dengan rumus

1.4.2. Penentuan kekuatan sistem umum
dengan dua derajat kebebasan

Jika sistem memiliki N derajat kebebasan, posisinya ditentukan N koordinat umum. Masing-masing koordinat qi(saya = 1,2,…,N) sesuai dengan kekuatan umum Qi, yang ditentukan oleh rumus

di mana adalah jumlah usaha dasar gaya-gaya aktif pada Saya-kemungkinan pergerakan sistem ketika d q saya > 0, dan koordinat umum lainnya tidak berubah.

Saat menentukan, perlu mempertimbangkan instruksi untuk menentukan gaya umum menurut rumus (1.3).

Direkomendasikan untuk menentukan gaya umum suatu sistem dengan dua derajat kebebasan dengan urutan sebagai berikut.

· Tunjukkan pada diagram desain semua gaya aktif sistem.

· Tentukan gaya umum pertama Pertanyaan 1. Untuk melakukan ini, berikan sistem kemungkinan pergerakan pertama ketika d q 1 > 0, dan d q 2 =pertanyaan 1 kemungkinan pergerakan semua benda dan titik dalam sistem; menyusun - ekspresi kerja dasar gaya-gaya sistem pada kemungkinan perpindahan pertama; kemungkinan pergerakan yang di nyatakan melalui d pertanyaan 1; menemukan Pertanyaan 1 menurut rumus (1.4), mengambil saya = 1.

· Tentukan gaya umum kedua Pertanyaan 2. Untuk melakukan ini, berikan kemungkinan pergerakan kedua pada sistem ketika d q 2 > 0, dan d q 1 = 0; tunjukkan d yang sesuai pada diagram desain pertanyaan 2 kemungkinan pergerakan semua benda dan titik dalam sistem; menyusun - ekspresi kerja dasar gaya sistem pada kemungkinan perpindahan kedua; kemungkinan pergerakan yang di nyatakan melalui d pertanyaan 2; menemukan Pertanyaan 2 menurut rumus (1.4), mengambil saya = 2.

Contoh 1.5 (lihat kondisi pada Gambar 1.2)

Mari kita definisikan Pertanyaan 1 Dan Pertanyaan 2, sesuai dengan koordinat umum xD Dan xA(Gbr. 1.6, A).

Ada tiga gaya aktif yang bekerja pada sistem: PA = 2P, P B = P D = P.

Definisi Pertanyaan 1. Mari kita berikan sistem kemungkinan pergerakan pertama ketika d xD> 0, d x A = 0 (Gbr. 1.6, A). Pada saat yang sama, bebannya D xD, memblokir B akan berputar berlawanan arah jarum jam dengan sudut dj B, sumbu silinder A akan tetap tidak bergerak, silinder A akan berputar pada suatu sumbu A di sudut dj A searah jarum jam. Mari kita kompilasi jumlah pekerjaan pada gerakan-gerakan yang ditunjukkan:

mari kita definisikan

Mari kita definisikan Pertanyaan 2. Mari kita beri sistem kemungkinan pergerakan kedua ketika d x D = 0, d xA> 0 (Gbr. 1.6, B). Dalam hal ini, sumbu silinder A akan bergerak vertikal ke bawah sejauh d xA, silinder A akan berputar pada suatu sumbu A searah jarum jam ke sudut dj A, memblokir B dan kargo D akan tetap tidak bergerak. Mari kita kompilasi jumlah pekerjaan pada gerakan-gerakan yang ditunjukkan:

mari kita definisikan

Contoh 1.6 (lihat kondisi pada Gambar 1.3)

Mari kita definisikan Pertanyaan 1 Dan Pertanyaan 2, sesuai dengan koordinat umum j, S(Gbr. 1.7, A). Ada empat gaya aktif yang bekerja pada sistem: berat batang P, berat bola, gaya elastis pegas dan .

Mari kita pertimbangkan hal itu. Modulus gaya elastis ditentukan dengan rumus (a).

Perhatikan bahwa titik penerapan gaya F 2 tidak bergerak, oleh karena itu kerja gaya ini pada setiap kemungkinan perpindahan sistem adalah nol, dalam ekspresi gaya umum, gaya F 2 tidak akan masuk.

Definisi Pertanyaan 1. Mari kita berikan sistem kemungkinan gerakan pertama saat dj > 0, d s = 0 (Gbr. 1.7, A). Dalam hal ini, batangnya AB akan berputar pada suatu sumbu z berlawanan arah jarum jam dengan sudut dj, kemungkinan pergerakan bola D dan pusat E batang diarahkan tegak lurus terhadap ruas tersebut IKLAN, panjang pegas tidak akan berubah. Mari kita masukkan ke dalam bentuk koordinat [lihat. rumus (1.3b)]:

(Harap dicatat bahwa, oleh karena itu, usaha yang dilakukan oleh gaya ini pada perpindahan pertama yang mungkin adalah nol).

Mari kita nyatakan perpindahannya d x E dan d xD melalui dj. Untuk melakukan ini, pertama-tama kita menulis

Kemudian sesuai dengan rumus (7) adj. 1 kita akan menemukan

Mengganti nilai yang ditemukan ke dalam , kita mendapatkan

Dengan menggunakan rumus (1.4), dengan mempertimbangkan bahwa , kita tentukan

Definisi Pertanyaan 2. Mari kita beri sistem kemungkinan pergerakan kedua saat dj = 0, d s> 0 (Gbr. 1.7, B). Dalam hal ini, batangnya AB akan tetap tidak bergerak, dan bola M akan bergerak sepanjang batang sejauh d S. Mari kita kompilasi jumlah pekerjaan pada gerakan-gerakan yang ditunjukkan:

mari kita definisikan

mengganti nilai gaya F 1 dari rumus (a), kita peroleh

1.5. Menyatakan energi kinetik suatu sistem
dalam koordinat umum

Energi kinetik suatu sistem sama dengan jumlah energi kinetik benda dan titiknya (Lampiran 2). Untuk mendapatkan T Ekspresi (1.2) harus menyatakan kecepatan semua benda dan titik sistem melalui kecepatan umum menggunakan metode kinematika. Dalam hal ini, sistem dianggap berada dalam posisi sewenang-wenang, semua kecepatan umum dianggap positif, yaitu diarahkan ke peningkatan koordinat umum.

Contoh 1. 7 (lihat kondisi pada Gambar 1.1)

Mari kita tentukan energi kinetik sistem (Gbr. 1.8), dengan mengambil jarak sebagai koordinat umum S,

T = TA + T B.

Menurut rumus (2) dan (3) adj. 2 kita punya: .

Mengganti data ini ke dalam T dan dengan mempertimbangkan itu, kita dapatkan

Contoh 1.8(lihat kondisi pada Gambar 1.2)

Mari kita tentukan energi kinetik sistem pada Gambar. 1.9, mengambil besaran-besaran sebagai koordinat umum xD Dan xA,

T = T A + T B + T D.

Menurut rumus (2), (3), (4) adj. 2 kami akan menuliskannya

Mari berekspresi V A , V D , w B dan W A melalui :

Saat menentukan w A diperhitungkan bahwa intinya HAI(Gbr. 1.9) – pusat kecepatan silinder sesaat A Dan V k = V D(lihat penjelasan terkait contoh 2 lampiran 2).

Menggantikan hasil yang diperoleh ke dalam T dan mengingat itu

mari kita definisikan

Contoh 1.9(lihat kondisi pada Gambar 1.3)

Mari kita tentukan energi kinetik sistem pada Gambar. 1.10, mengambil j dan sebagai koordinat umum S,

T = T AB + T D.

Menurut rumus (1) dan (3) adj. 2 kita punya

Mari kita ungkapkan w AB Dan V D melalui dan :

dimana adalah kecepatan perpindahan bola D, modulusnya ditentukan oleh rumus

Diarahkan tegak lurus terhadap segmen tersebut IKLAN dalam arah pertambahan sudut j; – kecepatan relatif bola, modulusnya ditentukan oleh rumus yang diarahkan pada peningkatan koordinat S. Oleh karena itu, perhatikan bahwa itu tegak lurus

Mengganti hasil ini ke dalam T dan mengingat itu

1.6. Menyusun persamaan diferensial
pergerakan sistem mekanis

Untuk mendapatkan persamaan yang diperlukan, perlu untuk mengganti persamaan Lagrange (1.1) dengan ekspresi energi kinetik sistem yang ditemukan sebelumnya dalam koordinat umum dan gaya umum. Q 1 , Q 2 , … , Qn.

Saat menemukan turunan parsial T menggunakan koordinat umum dan kecepatan umum, variabel harus diperhitungkan Q 1 , Q 2 , … , qn; dianggap independen satu sama lain. Artinya ketika mendefinisikan turunan parsial T untuk salah satu variabel ini, semua variabel lain dalam ekspresi untuk T harus dianggap sebagai konstanta.

Saat melakukan suatu operasi, semua variabel yang termasuk dalam variabel harus dibedakan berdasarkan waktu.

Kami menekankan bahwa persamaan Lagrange ditulis untuk setiap koordinat umum qi (saya = 1, 2,…N) sistem.

Dalam mekanika analitik, bersama dengan konsep gaya sebagai besaran vektor yang mencirikan pengaruh benda tertentu dari benda material lain, mereka menggunakan konsep kekuatan umum. Untuk menentukan kekuatan yang digeneralisasi Mari kita perhatikan kerja virtual gaya-gaya yang diterapkan pada titik-titik sistem.

Jika sistem mekanis dengan gaya penahan holonomis dikenakan padanya H memiliki koneksi s =3n-h derajat kebebasan , kemudian posisi sistem ini ditentukan ( saya = s)

koordinat umum dan (2.11) : Menurut (2.13), (2.14) perpindahan maya k – poin ke-

(2.13)

(2.14)

Mengganti (2.14): ke dalam rumus kerja gaya maya

(2.24), kita peroleh

Besaran skalar = (2.26)

ditelepon kekuatan umum, sesuai Saya koordinat umum.

Kekuatan yang digeneralisasisesuai dengan saya-koordinat umum adalah besaran yang sama dengan pengali variasi koordinat umum tertentu dalam ekspresi kerja maya gaya-gaya yang bekerja pada sistem mekanik.

Pekerjaan maya ditentukan dari

¾ kekuatan aktif tertentu, tidak bergantung pada batasan dan

¾ reaksi kopling (jika kopling tidak ideal, maka untuk menyelesaikan masalah perlu juga mengatur ketergantungan fisik T j dari N J , ( T j ¾ biasanya merupakan gaya gesek atau momen hambatan terhadap gesekan guling, yang dapat kita tentukan).

Secara umum kekuatan umum adalah fungsi dari koordinat umum, kecepatan titik sistem dan waktu. Dari definisi tersebut berikut ini kekuatan umum¾ adalah besaran skalar yang bergantung pada koordinat umum yang dipilih untuk sistem mekanis tertentu. Artinya ketika himpunan koordinat umum yang menentukan posisi suatu sistem berubah, maka kekuatan umum.

Contoh 2.10. Untuk disk dengan radius R dan massa M, yang menggelinding tanpa meluncur pada bidang miring (Gbr. 2.9), dapat diambil sebagai koordinat umum:

¾ atau q = s¾ pergerakan pusat massa piringan,

¾baik Q= j ¾ sudut putaran piringan. Jika kita mengabaikan hambatan gelinding, maka:

¾ dalam kasus pertama kekuatan umum akan

Beras. 2.9 Q s = mg sina, a

¾ dalam kasus kedua ¾ Q j = mg r cosa.

Koordinat umum juga menentukan satuan pengukuran yang bersesuaian kekuatan yang digeneralisasi. Dari ekspresi (2.25)

(2.27)

maka satuan pengukuran kekuatan yang digeneralisasi sama dengan satuan kerja dibagi satuan koordinat umum.

Jika, sebagai koordinat umum Q menerima q = s¾ pergerakan suatu titik, maka satuan ukurannya kekuatan yang digeneralisasi Q s ¾ akan menjadi [newton] ,

Jika, sebagai Q= j ¾ diambil sudut rotasi (dalam radian) benda, lalu satuan ukurannya kekuatan yang digeneralisasi Q j 2 akan menjadi [ newton´ meter].

Mari kita tuliskan jumlah kerja dasar gaya-gaya yang bekerja pada titik-titik sistem dengan kemungkinan perpindahan sistem:

Biarkan sistem holonomis melakukannya derajat kebebasan dan, oleh karena itu, posisinya dalam ruang ditentukan koordinat umum
.

Mengganti (225) menjadi (226) dan mengubah urutan penjumlahan berdasarkan indeks Dan , kita mendapatkan

. (226")

dimana adalah besaran skalar

ditelepon gaya umum yang berhubungan dengan koordinat umum . Menggunakan ekspresi terkenal untuk produk skalar dua vektor, gaya yang diberikan juga dapat direpresentasikan sebagai

– proyeksi gaya pada sumbu koordinat;
– koordinat titik penerapan gaya.

Dimensi gaya umum menurut (226") bergantung pada dimensi sebagai berikut , bertepatan dengan dimensi :

, (228)

yaitu, dimensi gaya yang digeneralisasi sama dengan dimensi kerja gaya (energi) atau momen gaya, dibagi dengan dimensi koordinat umum yang diberi gaya umum tersebut. Oleh karena itu, suatu gaya yang digeneralisasi dapat mempunyai dimensi gaya atau momen gaya.

Perhitungan kekuatan umum

1. Gaya umum dapat dihitung dengan menggunakan rumus (227), yang mendefinisikannya, yaitu.

2. Gaya-gaya yang digeneralisasi dapat dihitung sebagai koefisien untuk variasi-variasi yang bersesuaian dari koordinat-koordinat umum dalam persamaan untuk usaha dasar (226"), yaitu.

3. Cara yang paling tepat untuk menghitung gaya-gaya umum yang diperoleh dari (226""), adalah jika sistem diberikan kemungkinan gerak sedemikian rupa sehingga hanya satu koordinat umum yang berubah, sedangkan koordinat lainnya tidak berubah. Jadi jika
, dan sisanya
, lalu dari (179") kita punya

.

Indeks menunjukkan bahwa jumlah usaha dasar dihitung pada kemungkinan perpindahan, yang selama itu hanya koordinatnya yang berubah (bervariasi) . Jika koordinat variabelnya adalah , Itu

. (227")

Kondisi keseimbangan sistem gaya dalam kaitannya dengan gaya umum

Kondisi keseimbangan sistem berasal dari prinsip kemungkinan gerakan. Prinsip ini berlaku pada sistem yang menerapkan prinsip ini: untuk kesetimbangan sistem mekanis yang tunduk pada batasan holonomis, stasioner, ideal, dan tak lepas, pada saat kecepatan semua titik sistem sama dengan nol, maka semua gaya umum harus sama dengan nol dan cukup

. (228")

3.6.7. Persamaan umum dinamika

Persamaan umum dinamika suatu sistem dengan koneksi apa pun (gabungan prinsip d'Alembert-Lagrange atau persamaan umum mekanika):

, (229)

Di mana – kekuatan aktif diterapkan pada -titik sistem; – kekuatan reaksi ikatan;
– gaya inersia titik; – kemungkinan pergerakan.

Dalam kasus kesetimbangan sistem, ketika semua gaya inersia dari titik-titik sistem hilang, prinsip perpindahan yang mungkin terjadi. Biasanya digunakan untuk sistem dengan koneksi ideal, yang kondisinya terpenuhi

Dalam hal ini (229) mengambil salah satu bentuk:

,

,

. (230)

Dengan demikian, menurut persamaan umum dinamika, pada setiap momen gerak suatu sistem dengan ikatan ideal, jumlah kerja dasar semua gaya aktif dan gaya inersia titik-titik sistem sama dengan nol pada setiap kemungkinan pergerakan sistem yang diperbolehkan. oleh koneksi.

Persamaan umum dinamika dapat diberikan bentuk lain yang setara. Memperluas produk skalar vektor, dapat dinyatakan sebagai

Di mana
– koordinat -titik sistem. Mengingat proyeksi gaya inersia pada sumbu koordinat melalui proyeksi percepatan pada sumbu tersebut dinyatakan dengan hubungan

,

persamaan umum dinamika dapat diberikan bentuk

Dalam bentuk ini disebut persamaan umum dinamika dalam bentuk analitis.

Saat menggunakan persamaan umum dinamika, seseorang harus mampu menghitung kerja dasar gaya inersia sistem terhadap perpindahan yang mungkin terjadi. Untuk melakukan ini, terapkan rumus yang sesuai untuk pekerjaan dasar yang diperoleh untuk gaya biasa. Mari kita pertimbangkan penerapannya pada gaya inersia benda tegar dalam kasus-kasus tertentu geraknya.

Selama gerakan maju. Dalam hal ini, benda memiliki tiga derajat kebebasan dan, karena batasan yang dikenakan, hanya dapat melakukan gerak translasi. Kemungkinan gerakan tubuh yang memungkinkan koneksi juga bersifat translasi.

Gaya inersia selama gerak translasi direduksi menjadi resultan
. Untuk jumlah karya dasar gaya inersia pada kemungkinan gerak translasi suatu benda, kita peroleh

Di mana
– kemungkinan pergerakan pusat massa dan titik mana pun pada benda, karena kemungkinan perpindahan translasi semua titik pada benda adalah sama: percepatannya juga sama, yaitu.
.

Ketika benda tegar berputar pada sumbu tetap. Tubuh dalam hal ini mempunyai satu derajat kebebasan. Itu bisa berputar di sekitar sumbu tetap
. Kemungkinan gerakan yang diperbolehkan melalui sambungan yang ditumpangkan juga merupakan rotasi benda dengan sudut dasar
di sekitar sumbu tetap.

Gaya inersia berkurang sampai pada titik tertentu pada sumbu rotasi, direduksi menjadi vektor utama dan poin utama
. Vektor utama gaya inersia diterapkan pada suatu titik tetap, dan usaha dasarnya pada kemungkinan perpindahan adalah nol. Untuk momen utama gaya inersia, usaha elementer bukan nol hanya akan dilakukan dengan proyeksinya ke sumbu rotasi
. Jadi, untuk jumlah kerja gaya inersia terhadap kemungkinan perpindahan yang kita pertimbangkan, kita punya

,

jika sudutnya
laporkan ke arah panah busur percepatan sudut .

Dalam gerakan datar. Dalam hal ini, batasan yang dikenakan pada benda tegar hanya memungkinkan terjadinya pergerakan planar. Dalam kasus umum, ini terdiri dari kemungkinan gerak translasi bersama dengan kutub, yang pusat massanya kita pilih, dan rotasi melalui sudut elementer.
di sekitar sumbu
, melewati pusat massa dan tegak lurus terhadap bidang yang sejajar tempat benda dapat melakukan gerak bidang.

Karena gaya inersia pada gerak bidang suatu benda tegar dapat direduksi menjadi vektor utama dan poin utama
(jika kita memilih pusat massa sebagai pusat reduksi), maka jumlah usaha dasar gaya inersia pada suatu bidang kemungkinan perpindahan akan direduksi menjadi usaha dasar vektor gaya inersia
tentang kemungkinan pergerakan pusat massa dan kerja dasar gaya momen inersia utama pada gerak rotasi dasar mengelilingi suatu sumbu
, melewati pusat massa. Dalam hal ini, usaha dasar bukan nol hanya dapat dilakukan dengan memproyeksikan momen utama gaya inersia ke sumbu.
, yaitu.
. Jadi, dalam kasus yang sedang kita pertimbangkan

jika rotasinya sebesar sudut elementer
mengarahkan panah melengkung ke .

Tentu saja, ketika menghitung gaya umum ini, energi potensial harus ditentukan sebagai fungsi dari koordinat umum

P = P( Q 1 , Q 2 , Q 3 ,…,qs).

Catatan.

Pertama. Saat menghitung gaya reaksi umum, ikatan ideal tidak diperhitungkan.

Kedua. Dimensi gaya umum bergantung pada dimensi koordinat umum. Jadi jika dimensi [ Q] – meter, lalu dimensi

[Q]= Nm/m = Newton, jika [ Q] – radian, maka [Q] = Nm; Jika [ Q] = m 2, lalu [Q] = H/m, dst.

Contoh 4. Sebuah cincin meluncur sepanjang batang yang berayun pada bidang vertikal. M berat R(Gbr. 10). Kami menganggap tongkat itu tidak berbobot. Mari kita definisikan gaya-gaya yang digeneralisasikan.

Gambar 10

Larutan. Sistem ini mempunyai dua derajat kebebasan. Kami menetapkan dua koordinat umum S Dan .

Mari kita cari gaya umum yang bersesuaian dengan koordinatnya S. Kami memberikan kenaikan pada koordinat ini, membiarkan koordinat tidak berubah, dan menghitung kerja satu-satunya gaya aktif R, kita memperoleh kekuatan umum

Kemudian kita menambah koordinatnya, dengan asumsi S= konstanta. Ketika batang diputar membentuk sudut, titik penerapan gaya R, cincin M, akan pindah ke . Kekuatan umum akan menjadi

Karena sistemnya konservatif, gaya-gaya umum juga dapat dicari dengan menggunakan energi potensial. Kita mendapatkan Dan . Ternyata jauh lebih sederhana.

Persamaan kesetimbangan Lagrange

Menurut definisi (7) kekuatan umum , k = 1,2,3,…,S, Di mana S– jumlah derajat kebebasan.

Jika sistem berada dalam keadaan setimbang, maka menurut prinsip perpindahan yang mungkin terjadi (1) . Berikut adalah gerakan-gerakan yang diperbolehkan oleh koneksi, gerakan-gerakan yang mungkin terjadi. Oleh karena itu, ketika suatu sistem material berada dalam kesetimbangan, semua gaya umum sama dengan nol:

Qk= 0, (k=1,2,3,…, S). (10)

Persamaan ini persamaan kesetimbangan dalam koordinat umum atau Persamaan kesetimbangan Lagrange , izinkan satu metode lagi untuk menyelesaikan masalah statika.

Jika sistemnya konservatif, maka . Artinya berada pada posisi setimbang. Artinya, dalam posisi setimbang sistem material tersebut, energi potensialnya adalah maksimum atau minimum, yaitu. fungsi П(q) mempunyai titik ekstrem.

Hal ini terlihat dari analisis contoh paling sederhana (Gbr. 11). Energi potensial bola pada posisinya M 1 memiliki minimum, pada posisi M 2 – maksimal. Dapat dilihat bahwa pada posisinya M 1 keseimbangan akan stabil; hamil M 2 – tidak stabil.

Gambar 11

Kesetimbangan dianggap stabil jika benda pada posisi ini diberi kecepatan rendah atau dipindahkan pada jarak yang kecil dan simpangan tersebut tidak bertambah di kemudian hari.

Dapat dibuktikan (teorema Lagrange-Dirichlet) jika pada posisi setimbang suatu sistem konservatif energi potensialnya minimum, maka posisi setimbang tersebut stabil.

Untuk sistem konservatif dengan satu derajat kebebasan, kondisi energi potensial minimum, dan oleh karena itu kestabilan posisi kesetimbangan, ditentukan oleh turunan kedua, nilainya pada posisi kesetimbangan,

Contoh 5. Inti OA berat R dapat berputar pada bidang vertikal pada suatu sumbu TENTANG(Gbr. 12). Mari kita cari dan pelajari kestabilan posisi keseimbangan.

Gambar 12

Larutan. Batang mempunyai satu derajat kebebasan. Koordinat umum – sudut.

Sehubungan dengan posisi nol yang lebih rendah, energi potensial P = Ph atau

Seharusnya ada dalam posisi setimbang . Oleh karena itu kita mempunyai dua posisi kesetimbangan yang berhubungan dengan sudut dan (posisi OA 1 dan OA 2). Mari kita jelajahi stabilitasnya. Menemukan turunan kedua. Tentu saja dengan , . Posisi kesetimbangannya stabil. Pada , . Posisi kesetimbangan kedua tidak stabil. Hasilnya jelas.

Gaya inersia umum.

Menggunakan metode yang sama (8) dimana gaya-gaya umum dihitung Qk, sesuai dengan gaya aktif, tertentu, gaya umum juga ditentukan S k, sesuai dengan gaya inersia titik-titik sistem:

Dan sejak itu Itu

Beberapa transformasi matematika.

Jelas sekali,

Karena a qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), maka

Artinya turunan parsial kecepatan terhadap

Selain itu, pada suku terakhir (14) Anda dapat mengubah urutan diferensiasi:

Substitusikan (15) dan (16) ke dalam (14), lalu (14) ke dalam (13), kita peroleh

Membagi jumlah terakhir dengan dua dan mengingat bahwa jumlah turunannya sama dengan turunan dari jumlah tersebut, kita peroleh

dimana adalah energi kinetik sistem, dan merupakan kecepatan umum.

Persamaan Lagrange.

Menurut definisi (7) dan (12) kekuatan umum

Namun berdasarkan persamaan dinamika umum (3), ruas kanan persamaan sama dengan nol. Dan karena semuanya ( k = 1,2,3,…,S) berbeda dari nol, maka . Mengganti nilai gaya inersia umum (17), kita memperoleh persamaan

Persamaan ini disebut persamaan diferensial gerak dalam koordinat umum, persamaan Lagrange jenis kedua atau sederhananya – Persamaan Lagrange.

Jumlah persamaan tersebut sama dengan jumlah derajat kebebasan sistem material.

Jika sistem konservatif dan bergerak di bawah pengaruh gaya medan potensial, ketika gaya umum adalah , persamaan Lagrange dapat disusun dalam bentuk

Di mana L = T– P dipanggil Fungsi lagrange (diasumsikan bahwa energi potensial P tidak bergantung pada kecepatan umum).

Seringkali, ketika mempelajari gerak sistem material, ternyata beberapa koordinat umum qj tidak disertakan secara eksplisit dalam fungsi Lagrange (atau di T dan P). Koordinat seperti ini disebut berhubung dgn putaran. Persamaan Lagrange yang berhubungan dengan koordinat ini diperoleh dengan lebih sederhana.

Integral pertama dari persamaan tersebut dapat segera ditemukan. Ini disebut integral siklik:

Studi lebih lanjut dan transformasi persamaan Lagrange membentuk subjek bagian khusus mekanika teoretis - “Mekanika analitik”.

Persamaan Lagrange memiliki sejumlah keunggulan dibandingkan metode lain dalam mempelajari gerak sistem. Keuntungan utama: cara menyusun persamaan sama di semua soal, reaksi senyawa ideal tidak diperhitungkan saat menyelesaikan soal.

Dan satu hal lagi - persamaan ini dapat digunakan untuk mempelajari tidak hanya sistem mekanis, tetapi juga sistem fisik lainnya (listrik, elektromagnetik, optik, dll.).

Contoh 6. Mari kita lanjutkan studi kita tentang pergerakan cincin M pada batang ayun (contoh 4).

Koordinat umum diberikan – dan s (Gbr. 13). Kekuatan umum didefinisikan: dan .

Gambar 13

Larutan. Energi kinetik cincin Dimana a dan .

Kami menyusun dua persamaan Lagrange

maka persamaannya terlihat seperti ini:

Kami telah memperoleh dua persamaan diferensial orde kedua nonlinier, yang penyelesaiannya memerlukan metode khusus.

Contoh 7. Mari kita buat persamaan diferensial gerak balok AB, yang menggelinding tanpa meluncur sepanjang permukaan silinder (Gbr. 14). Panjang balok AB = aku, berat - R.

Dalam posisi setimbang, balok berada pada posisi horizontal dan pusat gravitasi DENGAN itu terletak di bagian atas silinder. Sinar tersebut mempunyai satu derajat kebebasan. Posisinya ditentukan oleh koordinat umum - sudut (Gbr. 76).

Gambar 14

Larutan. Sistemnya konservatif. Oleh karena itu, kita akan menyusun persamaan Lagrange menggunakan energi potensial P=mgh, dihitung relatif terhadap posisi horizontal. Pada titik kontak terdapat pusat kecepatan sesaat dan (sama dengan panjang busur lingkaran dengan sudut).

Oleh karena itu (lihat Gambar 76) dan .

Energi kinetik (balok mengalami gerak bidang sejajar)

Kami menemukan turunan yang diperlukan untuk persamaan dan

Mari kita buat persamaan

atau, akhirnya,

Pertanyaan tes mandiri

Pergerakan yang mungkin terjadi pada suatu sistem mekanis yang dibatasi disebut?

Bagaimana hubungan antara pergerakan yang mungkin dan aktual dari sistem?

Sambungan apa yang disebut: a) stasioner; b) ideal?

Merumuskan prinsip kemungkinan gerakan. Tuliskan ekspresi formulanya.

Apakah mungkin menerapkan prinsip gerakan virtual pada sistem dengan koneksi yang tidak ideal?

Apa koordinat umum dari sistem mekanik?

Berapa derajat kebebasan suatu sistem mekanis?

Dalam hal apa koordinat titik-titik Cartesian dalam sistem tidak hanya bergantung pada koordinat umum, tetapi juga pada waktu?

Pergerakan yang mungkin terjadi pada suatu sistem mekanik disebut?

Apakah kemungkinan pergerakan bergantung pada gaya yang bekerja pada sistem?

Hubungan sistem mekanis apa yang disebut ideal?

Mengapa ikatan yang dibuat dengan gesekan bukanlah ikatan ideal?

Bagaimana prinsip kemungkinan gerakan dirumuskan?

Jenis persamaan kerja apa saja yang bisa dimiliki?

Mengapa prinsip perpindahan yang mungkin menyederhanakan penurunan kondisi kesetimbangan gaya-gaya yang diterapkan pada sistem terbatas yang terdiri dari sejumlah besar benda?

Bagaimana persamaan kerja untuk gaya-gaya yang bekerja pada sistem mekanik yang memiliki beberapa derajat kebebasan?

Apa hubungan antara gaya penggerak dan gaya penahan pada mesin sederhana?

Bagaimana aturan emas mekanika dirumuskan?

Bagaimana reaksi ikatan ditentukan dengan menggunakan prinsip gerak yang mungkin terjadi?

Ikatan apa yang disebut holonomis?

Berapa derajat kebebasan suatu sistem mekanis?

Berapakah koordinat umum sistem tersebut?

Berapa banyak koordinat umum yang dimiliki sistem mekanik tak bebas?

Berapa derajat kebebasan yang dimiliki setir mobil?

Apa itu kekuatan umum?

Tuliskan rumus yang menyatakan kerja dasar total semua gaya yang diterapkan pada sistem dalam koordinat umum.

Bagaimana dimensi gaya umum ditentukan?

Bagaimana gaya umum dihitung dalam sistem konservatif?

Tuliskan salah satu rumus yang menyatakan persamaan umum dinamika sistem dengan ikatan ideal. Apa arti fisis dari persamaan ini?

Berapa gaya umum gaya aktif yang diterapkan pada suatu sistem?

Berapakah gaya inersia umum?

Merumuskan prinsip d'Alembert dalam gaya umum.

Apa persamaan umum dinamika?

Apa yang disebut gaya umum yang bersesuaian dengan koordinat umum tertentu dari sistem, dan dimensi apa yang dimilikinya?

Apa reaksi umum dari ikatan ideal?

Turunkan persamaan umum dinamika dalam gaya umum.

Apa bentuk kondisi kesetimbangan gaya-gaya yang diterapkan pada sistem mekanis yang diperoleh dari persamaan umum dinamika gaya-gaya yang digeneralisasi?

Rumus apa yang menyatakan gaya umum melalui proyeksi gaya ke sumbu tetap koordinat Cartesian?

Bagaimana kekuatan umum ditentukan dalam kasus kekuatan konservatif dan non-konservatif?

Koneksi apa yang disebut geometris?

Berikan representasi vektor tentang prinsip perpindahan yang mungkin terjadi.

Sebutkan syarat perlu dan syarat cukup bagi kesetimbangan sistem mekanik dengan hubungan geometri stasioner yang ideal.

Sifat apa yang dimiliki fungsi gaya sistem konservatif dalam keadaan setimbang?

Tuliskan sistem persamaan diferensial Lagrange jenis kedua.

Berapa banyak persamaan Lagrange jenis kedua yang dapat dibangun untuk sistem mekanik terbatas?

Apakah banyaknya persamaan Lagrange suatu sistem mekanik bergantung pada jumlah benda yang termasuk dalam sistem tersebut?

Berapakah potensi kinetik suatu sistem?

Untuk sistem mekanis manakah fungsi Lagrange ada?

Apa argumen fungsi vektor kecepatan suatu titik yang termasuk dalam sistem mekanik dengan S derajat kebebasan?

Berapakah turunan parsial vektor kecepatan suatu titik dalam sistem terhadap kecepatan umum?

Fungsi argumen manakah yang menjadikan energi kinetik suatu sistem tunduk pada batasan non-stasioner holonomis?

Apa bentuk persamaan Lagrange jenis kedua? Berapakah jumlah persamaan tersebut untuk setiap sistem mekanik?

Apa bentuk persamaan Lagrange jenis kedua jika sistem dikenai gaya konservatif dan non-konservatif secara bersamaan?

Apa fungsi Lagrange, atau potensi kinetik?

Apa bentuk persamaan Lagrange jenis kedua untuk sistem konservatif?

Bergantung pada variabel apa energi kinetik sistem mekanik harus dinyatakan saat menyusun persamaan Lagrange?

Bagaimana energi potensial suatu sistem mekanik ditentukan di bawah pengaruh gaya elastis?

Masalah untuk diselesaikan secara mandiri

Tugas 1. Dengan menggunakan prinsip kemungkinan perpindahan, tentukan reaksi sambungan struktur komposit. Diagram struktural ditunjukkan pada Gambar. 15, dan data yang diperlukan untuk penyelesaiannya diberikan dalam tabel. 1. Dalam gambar, semua dimensi dalam meter.

Tabel 1

Opsi 1 Opsi 2

Opsi 3 Opsi 4

Opsi 5 Opsi 6

Opsi 7 Opsi 8

Gambar.16 Gambar.17

Larutan. Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa dalam soal ini semua kondisi untuk penerapan prinsip Lagrange terpenuhi (sistem berada dalam kesetimbangan, sambungan stasioner, holonomis, terbatas dan ideal).

Mari kita bebaskan diri kita dari hubungan yang berhubungan dengan reaksi X A (Gbr. 17). Untuk melakukan ini, pada titik A, engsel tetap harus diganti, misalnya, dengan penyangga batang, dalam hal ini sistem menerima satu derajat kebebasan. Sebagaimana telah disebutkan, kemungkinan pergerakan suatu sistem ditentukan oleh batasan yang dikenakan padanya dan tidak bergantung pada gaya yang diterapkan. Oleh karena itu, menentukan kemungkinan perpindahan merupakan masalah kinematik. Karena dalam contoh ini bingkai hanya dapat bergerak pada bidang gambar, kemungkinan pergerakannya juga bersifat bidang. Dalam gerak bidang, gerak suatu benda dapat dianggap sebagai rotasi mengelilingi pusat kecepatan sesaat. Jika pusat kecepatan sesaat terletak pada tak terhingga, maka hal ini sesuai dengan kasus gerak translasi sesaat, ketika perpindahan semua titik pada benda adalah sama.

Untuk mencari pusat kecepatan sesaat, perlu diketahui arah kecepatan dua titik mana pun pada benda. Oleh karena itu, penentuan kemungkinan perpindahan suatu struktur komposit harus dimulai dengan mencari kemungkinan perpindahan elemen yang kecepatannya diketahui. Dalam hal ini, Anda harus mulai dengan bingkai CDB, sejak itu DI DALAM tidak bergerak dan oleh karena itu, kemungkinan pergerakan bingkai ini adalah rotasinya melalui sudut mengelilingi sumbu yang melewati engsel B. Sekarang, mengetahui kemungkinan pergerakan titik DENGAN(secara bersamaan milik kedua kerangka sistem) dan kemungkinan pergerakan titik A(kemungkinan pergerakan titik A adalah pergerakannya sepanjang sumbu X), carilah pusat kecepatan sesaat C 1 dari bingkai AES. Dengan demikian, kemungkinan pergerakan frame AES adalah rotasinya di sekitar titik C 1 dengan sudut . Hubungan antar sudut dan ditentukan melalui pergerakan titik C (lihat Gambar 17)

Dari persamaan segitiga EC 1 C dan BCD kita peroleh

Hasilnya, kami mendapatkan dependensi:

Menurut prinsip kemungkinan gerakan

Mari kita hitung secara berurutan kemungkinan pekerjaan yang termasuk di sini:

Q=2q – resultan beban terdistribusi, titik penerapannya ditunjukkan pada Gambar. 79; usaha yang mungkin dilakukan olehnya adalah sama.