Tentang metode aksiomatik dalam membangun sebuah teori. Definisi bilangan asli

Ketika secara aksiomatis membangun teori matematika apa pun, pasti aturan:

· beberapa konsep teori dipilih sebagai dasar dan diterima tanpa definisi;

· setiap konsep teori yang tidak termasuk dalam daftar dasar diberikan definisi;

· aksioma dirumuskan - proposisi yang dalam teori tertentu diterima tanpa bukti; mereka mengungkapkan sifat-sifat konsep dasar;

· setiap dalil teori yang tidak tercantum dalam daftar aksioma harus dibuktikan; Proposisi yang demikian disebut teorema dan dibuktikan berdasarkan aksioma dan teorema.

Dalam konstruksi aksiomatik suatu teori, semua pernyataan diturunkan dari aksioma melalui pembuktian.

Oleh karena itu, persyaratan khusus berlaku untuk sistem aksioma. persyaratan:

· konsistensi (suatu sistem aksioma disebut konsisten jika dua proposisi yang saling lepas tidak dapat disimpulkan secara logis darinya);

· independensi (suatu sistem aksioma disebut independen jika tidak ada satu pun aksioma sistem ini yang merupakan akibat dari aksioma lain).

Suatu himpunan dengan relasi yang ditentukan di dalamnya disebut model sistem aksioma tertentu jika semua aksioma sistem tertentu terpenuhi di dalamnya.

Ada banyak cara untuk membangun sistem aksioma untuk himpunan bilangan asli. Misalnya, penjumlahan bilangan atau relasi keteraturan dapat diambil sebagai konsep dasar. Bagaimanapun, Anda perlu mendefinisikan sistem aksioma yang menggambarkan sifat-sifat konsep dasar.

Mari kita berikan sistem aksioma, dengan menerima konsep dasar operasi penjumlahan.

Himpunan yang tidak kosong N kita menyebutnya himpunan bilangan asli jika operasinya didefinisikan di dalamnya (A; b) → a+b, disebut penjumlahan dan memiliki properti berikut:

1. penjumlahan bersifat komutatif, yaitu a + b = b + a.

2. penjumlahan bersifat asosiatif, yaitu. (a + b) + c = a + (b + c).

4. dalam set apa pun A, yang merupakan bagian dari himpunan N, Di mana A ada nomor dan semuanya Ha, adalah sama a+b, Di mana bN.

Aksioma 1 - 4 cukup untuk menyusun seluruh aritmatika bilangan asli. Namun dengan konstruksi seperti itu tidak mungkin lagi mengandalkan sifat-sifat himpunan berhingga yang tidak tercermin dalam aksioma-aksioma tersebut.

Mari kita ambil sebagai konsep dasar relasi “langsung mengikuti…”, yang didefinisikan pada himpunan tak kosong N. Maka deret bilangan asli akan menjadi himpunan N, yang di dalamnya terdefinisikan relasi “segera mengikuti”, dan semua elemen dari N akan disebut bilangan asli, dan berlaku sebagai berikut: Aksioma Peano:

AKSIOM 1.

Dalam kelimpahanNada elemen yang tidak langsung mengikuti elemen mana pun dari himpunan ini. Kita akan menyebutnya kesatuan dan dilambangkan dengan simbol 1.

AKSIOM 2.

Untuk setiap elemen a dariNada satu elemen a tepat setelah a.

AXIOM 3.

Untuk setiap elemen a dariNTerdapat paling banyak satu unsur yang diikuti oleh a.

AKSOIMA 4.

Subset M apa pun dari himpunan tersebutNbertepatan denganN, jika mempunyai sifat sebagai berikut: 1) 1 terkandung dalam M; 2) dari kenyataan bahwa a terdapat pada M, maka a juga terdapat pada M.

Sekelompok N, untuk unsur-unsur yang hubungan “langsung mengikuti...” yang memenuhi aksioma 1 - 4, disebut himpunan bilangan asli , dan elemen-elemennya adalah bilangan asli.

Jika sebagai satu set N pilih himpunan tertentu yang di dalamnya diberikan relasi tertentu "langsung mengikuti...", yang memenuhi aksioma 1 - 4, lalu kita mendapatkan yang berbeda interpretasi (model) diberikan sistem aksioma.

Model standar sistem aksioma Peano adalah rangkaian angka yang muncul dalam proses sejarah perkembangan masyarakat: 1, 2, 3, 4, 5, ...

Model aksioma Peano dapat berupa himpunan apa pun yang dapat dihitung.

Misalnya I, II, III, III, ...

oh oh oh oh oh...

satu dua tiga empat, …

Mari kita perhatikan barisan himpunan yang himpunan (oo) adalah elemen awalnya, dan setiap himpunan berikutnya diperoleh dari himpunan sebelumnya dengan menambahkan lingkaran lain (Gbr. 15).

Kemudian N ada himpunan yang terdiri dari himpunan-himpunan dengan bentuk yang dijelaskan, dan merupakan model sistem aksioma Peano.

Memang, di banyak tempat N ada elemen (oo) yang tidak langsung mengikuti elemen mana pun dari himpunan tertentu, mis. Aksioma 1 terpenuhi Untuk setiap set A dari populasi yang dipertimbangkan ada satu set yang diperoleh A dengan menambahkan satu lingkaran, mis. Aksioma 2 berlaku.Untuk setiap set A paling banyak terdapat satu himpunan yang darinya suatu himpunan terbentuk A dengan menambahkan satu lingkaran, mis. Aksioma 3 berlaku.Jika MN dan diketahui banyak A terkandung di dalamnya M, maka himpunan tersebut mempunyai satu lingkaran lebih banyak daripada himpunan tersebut A, juga terkandung di dalamnya M, Itu M =N, dan oleh karena itu aksioma 4 terpenuhi.

Dalam definisi bilangan asli, tidak ada satupun aksioma yang dapat dihilangkan.

Mari kita tentukan himpunan mana yang ditunjukkan pada Gambar. 16 adalah model aksioma Peano.

Larutan. Gambar 16 a) menunjukkan himpunan yang memenuhi aksioma 2 dan 3. Memang, untuk setiap elemen ada elemen unik yang mengikutinya, dan ada elemen unik yang mengikutinya. Namun dalam himpunan ini, aksioma 1 tidak terpenuhi (aksioma 4 tidak masuk akal, karena tidak ada elemen dalam himpunan yang tidak langsung mengikuti elemen lainnya). Oleh karena itu, himpunan ini bukanlah model aksioma Peano.

Gambar 16 b) menunjukkan himpunan yang memenuhi aksioma 1, 3 dan 4, tetapi di belakang elemen A dua elemen segera menyusul, dan bukan satu, seperti yang disyaratkan dalam aksioma 2. Oleh karena itu, himpunan ini bukan model aksioma Peano.

Pada Gambar. 16 c) menunjukkan himpunan yang aksioma 1, 2, 4 terpenuhi, tetapi elemennya Dengan segera mengikuti dua elemen sekaligus. Oleh karena itu, himpunan ini bukanlah model aksioma Peano.

Pada Gambar. 16 d) menunjukkan himpunan yang memenuhi aksioma 2, 3, dan jika kita mengambil bilangan 5 sebagai elemen awal, maka himpunan tersebut akan memenuhi aksioma 1 dan 4. Artinya, dalam himpunan ini untuk setiap elemen terdapat elemen yang unik sekaligus mengikutinya, dan ada satu elemen yang mengikutinya. Ada juga elemen yang tidak langsung mengikuti elemen mana pun dari himpunan ini, yaitu 5 , itu. Aksioma 1 terpenuhi, maka Aksioma 4 juga terpenuhi, oleh karena itu himpunan ini merupakan model dari aksioma Peano.

Dengan menggunakan aksioma Peano, kita dapat membuktikan beberapa pernyataan, misalnya kita akan membuktikan bahwa untuk semua bilangan asli pertidaksamaan xx.

Bukti. Mari kita nyatakan dengan A himpunan bilangan asli yang mana A A. Nomor 1 milik A, karena tidak mengikuti nomor apa pun N, yang artinya tidak mengikuti dengan sendirinya: 1 1. Membiarkan A A, Kemudian A A. Mari kita tunjukkan A melalui B. Berdasarkan aksioma 3, AB, itu. bb Dan bA.

Sistem aksioma teori bilangan bulat yang diberikan tidak independen, seperti dijelaskan dalam Latihan 3.1.4.

Teorema 1. Teori aksiomatik bilangan bulat konsisten.

Bukti. Kita akan membuktikan konsistensi teori aksiomatik bilangan bulat, berdasarkan asumsi bahwa teori aksiomatik bilangan asli konsisten. Untuk melakukan ini, kita akan membangun model yang memenuhi semua aksioma teori kita.

Pertama, mari kita buat sebuah cincin. Pertimbangkan setnya

N´ N = {(a, b)ï a, bÎ N}.

a, b) bilangan asli. Dengan pasangan seperti itu kita akan memahami perbedaan bilangan asli a–b. Tetapi sampai keberadaan sistem bilangan bulat yang didalamnya terdapat perbedaan tersebut terbukti, kita tidak mempunyai hak untuk menggunakan sebutan tersebut. Pada saat yang sama, pemahaman ini memberi kita kesempatan untuk mengatur sifat-sifat pasangan sesuai kebutuhan.

Kita tahu bahwa perbedaan bilangan asli bisa sama dengan bilangan bulat yang sama. Oleh karena itu, izinkan kami memperkenalkan di lokasi syuting N´ N hubungan kesetaraan:

(a, b) = (CD) Û a + d = b + c.

Sangat mudah untuk melihat bahwa hubungan ini bersifat refleksif, simetris dan transitif. Oleh karena itu, merupakan relasi ekivalensi dan berhak disebut kesetaraan. Himpunan faktor dari himpunan N´ N Z. Kami akan menyebut elemennya bilangan bulat. Mereka mewakili kelas kesetaraan pada himpunan pasangan. Kelas berisi pasangan
(a, b), dilambangkan dengan [ a, b].

Z a, b] bagaimana dengan perbedaannya a–b

[a, b] + [CD] = [a+c, b+d];

[a, b] × [ CD] = [ac+bd, iklan+bc].

Perlu diingat bahwa sebenarnya penggunaan simbol operasi di sini tidak sepenuhnya benar. Simbol + yang sama menunjukkan penjumlahan bilangan asli dan pasangan. Namun karena selalu jelas di himpunan mana suatu operasi tertentu dilakukan, di sini kami tidak akan memperkenalkan notasi terpisah untuk operasi ini.

Diperlukan untuk memeriksa kebenaran definisi operasi-operasi ini, yaitu bahwa hasilnya tidak bergantung pada pilihan elemen A Dan B, mendefinisikan pasangan [ a, b]. Memang benar, biarlah

[a, b] = [A 1 , B 1 ], [s, d] = [Dengan 1 ,D 1 ].

Artinya a+b 1 = b+a 1 , c + d 1 =D + Dengan 1 . Menambahkan persamaan ini, kita mendapatkan

a+b 1 + c + d 1 = b+a 1 +D + Dengan 1Þ[ a + b, c + d] = [A 1 +Dengan 1 , B 1 + D 1]Þ

Þ [ a, b] + [CD] = [A 1 , B 1 ] + [C 1 ,D 1 ].

Kebenaran definisi perkalian ditentukan dengan cara yang sama. Namun di sini Anda harus memeriksa terlebih dahulu bahwa [ a, b] × [ CD] = [A 1 , B 1 ] × [ CD].

Sekarang kita harus memeriksa bahwa aljabar yang dihasilkan adalah sebuah ring, yaitu aksioma (Z1) – (Z6).

Mari kita periksa, misalnya, komutatifitas penjumlahan, yaitu aksioma (Z2). Kita punya

[CD] + [a, b] = = [a+c, b+d] = [a, b] + [CD].

Komutatifitas penjumlahan bilangan bulat diturunkan dari komutatifitas penjumlahan bilangan asli yang dianggap sudah diketahui.

Aksioma (Z1), (Z5), (Z6) diperiksa dengan cara yang sama.

Peran nol dimainkan oleh pasangan. Mari kita nyatakan dengan 0 . Benar-benar,

[a, b] + 0 = [a, b] + = [sebuah+ 1,b+ 1] = [a, b].

Akhirnya, -[ a, b] = [b,a]. Benar-benar,

[a, b] + [b,a] = [a+b, b+a] = = 0 .

Sekarang mari kita periksa aksioma ekstensi. Perlu diingat bahwa dalam ring yang dibangun tidak ada bilangan asli, karena elemen ring adalah kelas pasangan bilangan asli. Oleh karena itu, kita perlu mencari isomorfik subaljabar terhadap semigelanggang bilangan asli. Di sini sekali lagi gagasan tentang pasangan [ a, b] bagaimana dengan perbedaannya a–b. Bilangan asli N dapat direpresentasikan sebagai selisih dua alam, misalnya sebagai berikut: N = (N+ 1) – 1. Oleh karena itu timbul usulan untuk mengadakan korespondensi F: N ® Z sesuai aturan

F(N) = [N + 1, 1].

Korespondensi ini bersifat injektif:

F(N) = F(M) Þ [ N + 1, 1]= [M+ 1, 1] Þ ( N + 1) + 1= 1 + (M+ 1) Þ n = m.

Akibatnya, kita mempunyai korespondensi satu-satu di antara keduanya N dan beberapa subset Z, yang kami tunjukkan dengan N*. Mari kita periksa apakah ini menghemat operasi:

F(N) + F(M) = [N + 1, 1]+ [M + 1, 1] = [N + m+ 2, 2]= [N + M+ 1, 1] = F(n+m);

F(N) × F(M) = [N+ 1, 1]× [ M + 1, 1] = [nm + n + m+ 2, n+m+ 2]= [nm+ 1, 1] = F(nm).

Hal ini membuktikan hal itu N* formulir di Z sehubungan dengan operasi penjumlahan dan perkalian suatu subaljabar isomorfik N

Mari kita nyatakan pasangan [ N+ 1, 1] dari N* N, melalui N a, b] kita punya

[a, b] = [A + 1, 1] + = [A + 1, 1] – [B + 1, 1] = A – B .

Ini akhirnya memperkuat gagasan tentang pasangan [ a, b] sebagai selisih bilangan asli. Pada saat yang sama, ditetapkan bahwa setiap elemen dari himpunan yang dibangun Z direpresentasikan sebagai perbedaan dua yang alami. Ini akan membantu memverifikasi aksioma minimalis.

Membiarkan M - bagian Z, mengandung N* dan bersama-sama dengan elemen apa pun A Dan B perbedaan mereka a – b. Mari kita buktikan dalam kasus ini M =Z. Memang, elemen apa pun dari Z direpresentasikan sebagai selisih dua bilangan asli, yang menurut syarat termasuk M beserta perbedaannya.

Z

Teorema 2. Teori aksiomatik bilangan bulat bersifat kategoris.

Bukti. Mari kita buktikan bahwa dua model mana pun yang memenuhi semua aksioma teori ini adalah isomorfik.

Biarkan á Z 1 , +, ×, N 1 ñ dan á Z 2 , +,×, N 2 ñ – dua model teori kami. Sebenarnya, operasi di dalamnya harus ditandai dengan simbol yang berbeda. Kami akan menjauh dari persyaratan ini agar tidak mengacaukan perhitungan: setiap saat jelas operasi apa yang sedang kita bicarakan. Elemen milik model yang dipertimbangkan akan diberikan indeks 1 atau 2 yang sesuai.

Kita akan mendefinisikan pemetaan isomorfik dari model pertama ke model kedua. Karena N 1 dan N 2 adalah semigelanggang bilangan asli, maka terdapat pemetaan isomorfik j dari semigelanggang pertama ke semigelanggang kedua. Mari kita definisikan pemetaannya F: Z 1® Z 2. Setiap bilangan bulat X 1Î Z 1 direpresentasikan sebagai selisih dua bilangan asli:
X 1 = sebuah 1 -B 1 . Kami percaya

F (X 1) =j( A 1) – J( B 1).

Mari kita buktikan itu F– isomorfisme. Pemetaan didefinisikan dengan benar: jika X 1 = pada 1 dimana kamu 1 = C 1 – D 1, lalu

A 1 -B 1 = C 1 – D 1Þ A 1 +d 1 = B 1 + C 1Þ j( A 1 +d 1) =j( B 1 + C 1) Þ

Þj( A 1) + J( D 1) =j( B 1) + j( C 1) Þj( A 1)– j( B 1)=j( C 1) – j( D 1) Þ F(X 1) =F (kamu 1).

Oleh karena itu F - pemetaan satu-ke-satu Z 1 masuk Z 2. Tapi untuk siapa pun X 2 dari Z 2 Anda dapat menemukan unsur-unsur alami A 2 dan B 2 seperti itu X 2 = sebuah 2 -B 2. Karena j adalah isomorfisme, elemen-elemen ini memiliki bayangan terbalik A 1 dan B 1 . Cara, X 2 = j( A 1) – J( B 1) =
= F (A 1 -B 1), dan untuk setiap elemen dari Z 2 adalah prototipe. Oleh karena itu korespondensi F satu lawan satu. Mari kita periksa apakah ini menghemat operasi.

Jika X 1 = sebuah 1 -B 1 , kamu 1 =c 1 - D 1, lalu

X 1 + kamu 1 = (A 1 + C 1) – (B 1 +D 1),

F(X 1 + kamu 1) =j( A 1 + C 1) – J( B 1 +D 1) =j( A 1)+ j( C 1) – J( B 1) – J( D 1) =

J( A 1) – J( B 1)+ j( C 1)– J( D 1) =F(X 1) + F(kamu 1).

Demikian pula, telah diverifikasi bahwa perkalian dipertahankan. Hal ini membuktikan hal itu F adalah isomorfisme, dan teorema terbukti.

Latihan

1. Buktikan bahwa setiap ring yang mencakup sistem bilangan asli juga mencakup ring bilangan bulat.

2. Buktikan bahwa setiap ring komutatif terurut minimal dengan identitas isomorfik terhadap ring bilangan bulat.

3. Buktikan bahwa setiap ring terurut dengan satu dan tanpa pembagi nol hanya berisi satu subring yang isomorfik terhadap ring bilangan bulat.

4. Buktikan bahwa ring matriks orde kedua pada bidang bilangan real mengandung banyak sekali subring yang isomorfik terhadap ring bilangan bulat.

Bidang bilangan rasional

Definisi dan konstruksi sistem bilangan rasional dilakukan dengan cara yang sama seperti yang dilakukan pada sistem bilangan bulat.

Definisi. Sistem bilangan rasional adalah bidang minimal yang merupakan perpanjangan dari ring bilangan bulat.

Sesuai dengan definisi ini, kita memperoleh konstruksi aksiomatik sistem bilangan rasional berikut ini.

Istilah utama:

Q– himpunan bilangan rasional;

0, 1 – konstanta;

+, × – operasi biner aktif Q;

Z– bagian Q, himpunan bilangan bulat;

Å, Ä – operasi biner aktif Z.

Aksioma:

SAYA. Aksioma lapangan.

(Q1) A+ (b+c) = (a+b) + C.

(Q2) a + b = b + a.

(Q3) (" A) A + 0 = A.

(Q4) (" A)($(–A)) A + (–A) = 0.

(Q5) A× ( B× C) = (A× B) × C.

(Q6) A× b = b× A.

(Q7) A× 1 = A.

(Q8) (" A¹ 0)($ A –1) A × A –1 = 1.

(Q9) ( a+b) × c = a × c + b× C.

II. Aksioma ekstensi.

(Q10)b Z, Å, Ä, 0, 1ñ – gelanggang bilangan asli.

(Q11) Z Í Q.

(Pertanyaan 12) (" a,bÎ Z) a + b = aÅ B.

(Pertanyaan 13) (" a,bÎ Z) A× b = sebuahÄ B.

AKU AKU AKU. Aksioma minimalis.

(Q14) MÍ Q, ZÍ M, ("a, bÎ M)(B ¹ 0 ® A× B–1 tentang M)Þ M = Q.

Nomor A× B–1 disebut hasil bagi bilangan A Dan B, dilambangkan A/B atau .

Teorema 1. Setiap bilangan rasional dapat direpresentasikan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat.

Bukti. Membiarkan M– himpunan bilangan rasional yang dapat direpresentasikan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat. Jika N- utuh, kalau begitu n = n/1 milik M, karena itu, ZÍ M. Jika a, bÎ M, Itu sebuah = k/aku, b = m/N, Di mana k, aku, m, nÎ Z. Karena itu, A/B=
= (buku) / (aku)Î M. Menurut aksioma (Q14) M= Q, dan teorema tersebut terbukti.

Teorema 2. Bidang bilangan rasional dapat diurutkan secara linier dan ketat, dan dengan cara yang unik. Urutan dalam bidang bilangan rasional adalah Archimedean dan melanjutkan urutan dalam lingkaran bilangan bulat.

Bukti. Mari kita nyatakan dengan Q+ sekumpulan angka yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan, di mana kl> 0. Sangat mudah untuk melihat bahwa kondisi ini tidak bergantung pada jenis pecahan yang mewakili bilangan tersebut.

Mari kita periksa itu Q + – bagian positif dari lapangan Q. Karena untuk bilangan bulat kl tiga kasus mungkin terjadi: kl = 0, klÎ N, –kl Î N, maka untuk a = kita memperoleh salah satu dari tiga kemungkinan: a = 0, aО Q+ , –aО Q + . Selanjutnya jika a = , b = termasuk Q+ , lalu kl > 0, M N> 0. Maka a + b = , dan ( kn + ml)ln = kln 2 + mnl 2 > 0. Jadi a + bО Q + . Hal ini dapat diverifikasi dengan cara yang sama seperti abО Q + . Dengan demikian, Q + – bagian positif dari lapangan Q.

Membiarkan Q++ – beberapa bagian positif dari bidang ini. Kita punya

aku =.l 2 О Q ++ .

Dari sini NÍ Q++. Menurut Teorema 2.3.4, invers bilangan asli juga termasuk dalam Q++. Kemudian Q + Í Q++. Berdasarkan Teorema 2.3.6 Q + =Q++. Oleh karena itu, orde yang ditentukan oleh bagian positif juga bertepatan Q+ dan Q ++ .

Karena Z + = NÍ Q+ , maka urutannya adalah Q melanjutkan pesanan masuk Z.

Misalkan sekarang a => 0, b => 0. Karena orde pada ring bilangan bulat Archimedean, maka untuk positif buku Dan ml ada sesuatu yang alami Dengan seperti yang Dengan× buku>ml. Dari sini Dengan sebuah = Dengan> = b. Artinya ordo pada bidang bilangan rasional adalah Archimedean.

Latihan

1. Buktikan bahwa bidang bilangan rasional padat, yaitu untuk sembarang bilangan rasional A < B ada yang rasional R seperti yang A < R < B.

2. Buktikan persamaan tersebut X 2 = 2 tidak memiliki solusi Q.

3. Buktikan bahwa himpunan tersebut Q dapat dihitung.

Teorema 3. Teori aksiomatik bilangan rasional konsisten.

Bukti. Konsistensi teori aksiomatik bilangan rasional dibuktikan dengan cara yang sama seperti bilangan bulat. Untuk melakukan ini, sebuah model dibangun yang memenuhi semua aksioma teori.

Sebagai dasar kami mengambil set

Z´ Z* = {(a, b)ï a, bÎ Z, B ¹ 0}.

Unsur-unsur himpunan ini berpasangan ( a, b) bilangan bulat. Dengan pasangan seperti itu kita akan memahami hasil bagi bilangan bulat A/B. Sesuai dengan ini, kami mengatur properti pasangan.

Mari kita perkenalkan di lokasi syuting Z´ Z* hubungan kesetaraan:

(a, b) = (CD) Û iklan = SM.

Kami mencatat bahwa ini adalah hubungan kesetaraan dan berhak disebut kesetaraan. Himpunan faktor dari himpunan Z´ Z* menurut hubungan kesetaraan ini kami dilambangkan dengan Q. Kita akan menyebut unsur-unsurnya sebagai bilangan rasional. Kelas yang berisi pasangan ( a, b), dilambangkan dengan [ a, b].

Mari kita perkenalkan di set yang dibangun Q operasi penjumlahan dan perkalian. Ini akan membantu kita memahami elemen [ a, b] sebagai pribadi A/B. Sesuai dengan ini, kami berasumsi menurut definisi:

[a, b] + [CD] = [iklan+bc, bd];

[a, b] × [ CD] = [ac, bd].

Kami memeriksa kebenaran definisi operasi ini, yaitu bahwa hasilnya tidak bergantung pada pilihan elemen A Dan B, mendefinisikan pasangan [ a, b]. Hal ini dilakukan dengan cara yang sama seperti pembuktian Teorema 3.2.1.

Peran nol dimainkan oleh pasangan. Mari kita nyatakan dengan 0 . Benar-benar,

[a, b] + 0 = [a, b] + = [sebuah× 1+0× b, b× 1] = [a, b].

Berlawanan dengan [ a, b] adalah pasangan –[ a, b] = [–a, b]. Benar-benar,

[a, b] + [–a, b]= [ab – ab, bb] = = 0 .

Satuannya adalah pasangan = 1 . Balik ke pasangan [ a, b] - pasangan [ b,a].

Sekarang mari kita periksa aksioma ekstensi. Mari kita menjalin korespondensi
F: Z ® Q sesuai aturan

F(N) = [N, 1].

Kami memeriksa bahwa ini adalah korespondensi satu-ke-satu antara Z dan beberapa subset Q, yang kami tunjukkan dengan Z*. Kami selanjutnya memeriksa apakah ia mempertahankan operasi, yang berarti ia membentuk isomorfisme di antara keduanya Z dan di bawah ring Z* V Q. Artinya aksioma perluasan telah diverifikasi.

Mari kita nyatakan pasangan [ N, 1] dari Z*, sesuai dengan bilangan asli N, melalui N . Kemudian untuk pasangan sembarang [ a, b] kita punya

[a, b] = [A, 1] × = [ A, 1] / [B, 1] = A /B .

Ini membenarkan gagasan tentang pasangan [ a, b] sebagai hasil bagi bilangan bulat. Pada saat yang sama, ditetapkan bahwa setiap elemen dari himpunan yang dibangun Q direpresentasikan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat. Ini akan membantu memverifikasi aksioma minimalis. Verifikasinya dilakukan seperti pada Teorema 3.2.1.

Demikian untuk sistem yang dibangun Q semua aksioma teori bilangan bulat terpenuhi, yaitu kami telah membangun model teori ini. Teorema tersebut telah terbukti.

Teorema 4. Teori aksiomatik bilangan rasional bersifat kategoris.

Pembuktiannya mirip dengan Teorema 3.2.2.

Teorema 5. Bidang terurut Archimedean merupakan perpanjangan dari bidang bilangan rasional.

Buktinya adalah latihan.

Teorema 6. Membiarkan F– Bidang perintah Archimedean, A > B, Di mana a, bÎ F. Ada bilangan rasional Î F seperti yang A > > B.

Bukti. Membiarkan A > B³ 0. Lalu a–b> 0, dan ( a–b) –1 > 0. Ada yang alami T seperti yang M×1 > ( a–b) –1 , dari mana M –1 < a–b £ A. Selanjutnya ada yang alami k seperti yang k× M–1 ³ A. Membiarkan k adalah bilangan terkecil yang memenuhi pertidaksamaan ini. Karena k> 1, maka kita dapat memasukkan k = n + 1, N Î N. Di mana
(N+ 1)× M–1 ³ A, N× M –1 < A. Jika N× M–1 £ B, Itu A = B + (a–b) > b+m–1 ³ N× M –1 + M –1 =
= (N+ 1)× M-1 . Kontradiksi. Cara, A >N× M –1 > B.

Latihan

4. Buktikan bahwa setiap bidang yang mencakup gelanggang bilangan bulat juga mencakup bidang bilangan rasional.

5. Buktikan bahwa setiap bidang terurut minimal isomorfik terhadap bidang bilangan rasional.

Bilangan nyata

Dalam mata pelajaran matematika sekolah, bilangan real didefinisikan secara konstruktif, berdasarkan kebutuhan untuk melakukan pengukuran. Definisi ini tidak tegas dan seringkali membawa peneliti menemui jalan buntu. Misalnya pertanyaan tentang kesinambungan bilangan real, yaitu apakah ada kekosongan pada himpunan ini. Oleh karena itu, dalam melakukan penelitian matematika perlu adanya definisi yang tegas terhadap konsep-konsep yang dipelajari, setidaknya dalam kerangka beberapa asumsi intuitif (aksioma) yang sesuai dengan praktik.

Definisi: Sekumpulan elemen x, y, z, …, terdiri dari lebih dari satu unsur, disebut satu set R bilangan real, jika operasi dan relasi berikut dibuat untuk objek-objek ini:

Saya sekelompok aksioma– aksioma operasi penjumlahan.

Dalam kelimpahan R operasi penjumlahan diperkenalkan, yaitu untuk setiap pasangan elemen A Dan B jumlah dan ditunjuk A + B
saya 1. A+B=B+A, a, b R .

saya 2. A+(b+c)=(a+b)+C,A, B, C R .

I 3. Ada unsur yang disebut nol dan dilambangkan dengan 0, yang mana untuk sembarang A R kondisi terpenuhi A+0=A.

saya 4. Untuk elemen apa pun A R ada elemen yang menyebutnya di depan dan dilambangkan dengan - A, untuk itu A+(-A)=0. Elemen A+(-B), A, B R , ditelepon perbedaan elemen A Dan B dan ditunjuk A - B.

II – kelompok aksioma - aksioma operasi perkalian. Dalam kelimpahan R operasi dimasukkan perkalian, yaitu untuk pasangan elemen apa pun A Dan B satu elemen didefinisikan, disebut mereka bekerja dan ditunjuk sebuah b, sehingga kondisi berikut terpenuhi:
II 1. ab=ba, a, B R .

II 2 A(SM)=(ab)C, A, B, C R .

II 3. Ada elemen yang disebut satuan dan dilambangkan dengan 1, yang mana untuk sembarang A R kondisi terpenuhi A 1=A.

II 4. Untuk siapa pun A 0 ada elemen yang menyebutnya balik dan dilambangkan dengan atau 1/ A, untuk itu A=1. Elemen A , B 0, dipanggil pribadi dari divisi A pada B dan ditunjuk A:B atau atau A/B.

II 5. Hubungan antara operasi penjumlahan dan perkalian: untuk apa saja A, B, C R kondisi terpenuhi ( ac + b)c=ac+bc.

Kumpulan objek yang memenuhi aksioma kelompok I dan II disebut bidang bilangan atau sekadar bidang. Dan aksioma yang bersesuaian disebut aksioma lapangan.

III – kelompok aksioma ketiga – aksioma keteraturan. Untuk elemen R hubungan keteraturan didefinisikan. Ini adalah sebagai berikut. Untuk dua elemen berbeda A Dan B salah satu dari dua hubungan berlaku: baik A B(membaca " A kurang atau sama B"), atau A B(membaca " A lebih atau sama B"). Diasumsikan kondisi berikut terpenuhi:

AKU AKU AKU 1. A A untuk setiap A. Dari A b, b sebaiknya Sebuah=b.

AKU AKU AKU 2. Transitivitas. Jika A B Dan B C, Itu A C.

AKU AKU AKU 3. Jika A B, lalu untuk elemen apa pun C terjadi A+C B+C.

AKU AKU AKU 4. Jika A 0,b 0, Itu ab 0 .

Aksioma golongan IV terdiri dari satu aksioma – aksioma kontinuitas. Untuk himpunan yang tidak kosong X Dan Y dari R sedemikian rupa untuk setiap pasangan elemen X X Dan kamu Y ketimpangan tetap terjadi X < kamu, ada elemen A R, memenuhi kondisi

X < A < kamu, X X, kamu Y(Gbr. 2). Properti yang terdaftar sepenuhnya mendefinisikan himpunan bilangan real dalam arti bahwa semua properti lainnya mengikuti properti ini. Definisi ini secara unik mendefinisikan himpunan bilangan real hingga sifat spesifik elemen-elemennya. Peringatan bahwa suatu himpunan mengandung lebih dari satu elemen diperlukan karena himpunan yang hanya terdiri dari nol jelas memenuhi semua aksioma. Berikut ini kita akan menyebut unsur-unsur himpunan R dengan bilangan.

Sekarang mari kita definisikan konsep bilangan natural, rasional, dan irasional yang sudah dikenal. Bilangan 1, 2 1+1, 3 2+1, ... disebut bilangan asli, dan himpunannya dilambangkan N . Dari definisi himpunan bilangan asli diketahui bahwa ia mempunyai sifat-sifat sebagai berikut: Jika

1) A N ,

3) untuk setiap elemen x A penyertaan x+ 1 A, lalu A=N .

Memang, menurut kondisi 2) kita punya 1 A, oleh karena itu, berdasarkan properti 3) dan 2 A, dan kemudian menurut properti yang sama kita mendapatkan 3 A. Sejak bilangan asli apa pun N diperoleh dari 1 dengan menambahkan 1 yang sama secara berurutan N A, yaitu. N A, dan karena dengan kondisi 1 penyertaan A N , Itu A=N .

Prinsip pembuktian didasarkan pada sifat bilangan asli ini dengan induksi matematika. Jika terdapat banyak pernyataan, masing-masing pernyataan diberi bilangan asli (bilangannya sendiri) N=1, 2, ..., dan jika terbukti:

1) pernyataan nomor 1 benar;

2) dari keabsahan pernyataan dengan nomor berapa pun N N mengikuti keabsahan pernyataan yang diberi nomor N+1;

maka keabsahan semua pernyataan dibuktikan, yaitu. pernyataan apa pun dengan nomor sembarang N N .

Angka 0, + 1, + 2, ... disebut bilangan bulat, himpunannya dilambangkan Z .

Nomor formulir M N, Di mana M Dan N utuh, dan N 0, dipanggil angka rasional. Himpunan semua bilangan rasional dilambangkan dengan Q .

Bilangan real yang tidak rasional disebut irasional, himpunannya dilambangkan SAYA .

Timbul pertanyaan bahwa mungkin bilangan rasional menghabiskan semua elemen himpunan R? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh aksioma kontinuitas. Memang benar, aksioma ini tidak berlaku untuk bilangan rasional. Misalnya, pertimbangkan dua set:

Sangat mudah untuk melihat bahwa untuk setiap elemen dan ketidaksetaraannya. Namun rasional tidak ada angka yang memisahkan kedua himpunan ini. Faktanya, angka tersebut hanya bisa , tetapi tidak rasional. Fakta ini menunjukkan bahwa terdapat bilangan irasional dalam himpunan tersebut R.

Selain empat operasi aritmatika pada bilangan, Anda dapat melakukan operasi eksponensial dan ekstraksi akar. Untuk nomor berapa pun A R dan alami N derajat sebuah didefinisikan sebagai produk N faktor sama A:

A-priori A 0 1, A>0, A- n 1/ A N, A 0, N- bilangan asli.

Contoh. Pertidaksamaan Bernoulli: ( 1+x)n> 1+nx Buktikan dengan induksi.

Membiarkan A>0, N- bilangan asli. Nomor B ditelepon akar n gelar dari kalangan A, Jika bn =a. Dalam hal ini ada tertulis. Eksistensi dan keunikan akar positif dalam derajat apapun N dari bilangan positif mana pun akan dibuktikan di bawah ini pada Bagian 7.3.
Bahkan akar, A 0, memiliki dua arti: jika B = , k N , Kemudian -B= . Memang dari b 2k = A mengikuti itu

(-B)2k = ((-B) 2 )k = (b 2)k = b 2k

Nilai non-negatif disebut nya nilai aritmatika.
Jika R = hal/q, Di mana P Dan Q utuh, Q 0, yaitu R adalah bilangan rasional, maka untuk A > 0

Jadi, gelarnya sebuah r didefinisikan untuk sembarang bilangan rasional R. Dari definisinya dapat disimpulkan bahwa untuk setiap rasional R ada kesetaraan

sebuah -r = 1/sebuah r.

Derajat sebuah x(nomor X ditelepon eksponen) untuk bilangan real apa pun X diperoleh dengan menggunakan perbanyakan derajat secara kontinyu dengan eksponen rasional (lihat Bagian 8.2 untuk informasi lebih lanjut). Untuk nomor berapa pun A R bilangan non-negatif

ini disebut nilai mutlak atau modul. Untuk nilai absolut suatu bilangan, pertidaksamaan berikut ini berlaku:

|A + B| < |A| + |B|,
||A - B|| < |A - B|, A, B R

Pembuktiannya menggunakan sifat I-IV bilangan real.

Peran aksioma kontinuitas dalam konstruksi analisis matematis

Pentingnya aksioma kontinuitas sedemikian rupa sehingga tanpanya konstruksi analisis matematis yang cermat tidak mungkin dilakukan. [ sumber tidak ditentukan 1351 hari] Sebagai ilustrasi, kami menyajikan beberapa pernyataan analisis mendasar, yang pembuktiannya didasarkan pada kontinuitas bilangan real:

· (Teorema Weierstrass). Setiap barisan yang meningkat secara monoton dan berbatas konvergen

· (Teorema Bolzano-Cauchy). Suatu fungsi yang kontinu pada suatu segmen, yang mengambil nilai-nilai tanda yang berbeda di ujungnya, menghilang di suatu titik dalam segmen tersebut

· (Keberadaan fungsi pangkat, eksponensial, logaritmik, dan semua fungsi trigonometri di seluruh domain definisi “alami”). Misalnya, terbukti bahwa untuk setiap orang dan keseluruhan terdapat , yaitu solusi persamaan. Ini memungkinkan Anda menentukan nilai ekspresi untuk semua rasional:

Akhirnya, sekali lagi berkat kontinuitas garis bilangan, nilai ekspresi untuk ekspresi sembarang dapat ditentukan. Demikian pula, dengan menggunakan sifat kontinuitas, keberadaan suatu bilangan dibuktikan untuk sembarang .

Selama periode sejarah yang panjang, para ahli matematika membuktikan teorema dari analisis, di “tempat yang halus” mengacu pada pembenaran geometris, dan lebih sering - melewatkan semuanya karena sudah jelas. Konsep kontinuitas yang sangat penting digunakan tanpa definisi yang jelas. Baru pada sepertiga terakhir abad ke-19 ahli matematika Jerman Karl Weierstrass melakukan aritmatika analisis, membangun teori ketat pertama tentang bilangan real sebagai pecahan desimal tak hingga. Dia mengusulkan definisi klasik tentang batas dalam bahasa tersebut, membuktikan sejumlah pernyataan yang telah dianggap “jelas” sebelumnya, dan dengan demikian menyelesaikan konstruksi landasan analisis matematis.

Belakangan, pendekatan lain untuk menentukan bilangan real diusulkan. Dalam pendekatan aksiomatik, kontinuitas bilangan real secara eksplisit ditonjolkan sebagai aksioma tersendiri. Dalam pendekatan konstruktif terhadap teori bilangan real, misalnya, ketika menyusun bilangan real menggunakan bagian Dedekind, sifat kontinuitas (dalam satu bentuk atau lainnya) dibuktikan sebagai teorema.

Rumusan lain tentang sifat kesinambungan dan persamaan kalimat[sunting | edit teks wiki]

Ada beberapa pernyataan berbeda yang menyatakan sifat kontinuitas bilangan real. Masing-masing prinsip ini dapat digunakan sebagai dasar untuk membangun teori bilangan real sebagai aksioma kontinuitas, dan semua prinsip lainnya dapat diturunkan darinya. Masalah ini dibahas lebih rinci di bagian berikutnya.

Kontinuitas menurut Dedekind[sunting | edit teks wiki]

Artikel utama:Teori pemotongan dalam bidang bilangan rasional

Dedekind membahas pertanyaan tentang kesinambungan bilangan real dalam karyanya “Kontinuitas dan Bilangan Irasional”. Di dalamnya, ia membandingkan bilangan rasional dengan titik-titik pada garis lurus. Sebagaimana diketahui, korespondensi dapat dibuat antara bilangan rasional dan titik-titik pada suatu garis ketika titik awal dan satuan pengukuran segmen-segmen tersebut dipilih pada garis tersebut. Dengan menggunakan yang terakhir, Anda dapat membuat segmen yang sesuai untuk setiap bilangan rasional, dan dengan memindahkannya ke kanan atau kiri, bergantung pada apakah ada bilangan positif atau negatif, Anda bisa mendapatkan titik yang sesuai dengan bilangan tersebut. Jadi, untuk setiap bilangan rasional terdapat satu dan hanya satu titik pada garis tersebut.

Ternyata ada banyak sekali titik pada garis yang tidak bersesuaian dengan bilangan rasional apa pun. Misalnya, titik yang diperoleh dengan memplot panjang diagonal persegi yang dibangun pada satuan segmen. Jadi, daerah bilangan rasional tidak memiliki hal tersebut kelengkapan, atau kontinuitas, yang melekat pada garis lurus.

Untuk mengetahui apa saja kesinambungan tersebut, Dedekind mengemukakan pendapatnya sebagai berikut. Jika terdapat suatu titik tertentu pada suatu garis, maka semua titik pada garis tersebut terbagi dalam dua kelas: titik yang terletak di sebelah kiri, dan titik yang terletak di sebelah kanan. Intinya sendiri dapat secara sewenang-wenang ditugaskan ke kelas bawah atau atas. Dedekind melihat esensi kesinambungan dalam prinsip sebaliknya:

Secara geometris, prinsip ini tampak jelas, namun kami tidak dapat membuktikannya. Dedekind menekankan bahwa pada hakikatnya asas ini merupakan dalil yang mengungkapkan hakikat sifat yang dikaitkan dengan garis lurus, yang kita sebut kontinuitas.

Untuk lebih memahami hakikat kesinambungan garis bilangan dalam pengertian Dedekind, perhatikan bagian sembarang dari himpunan bilangan real, yaitu pembagian semua bilangan real menjadi dua kelas tak kosong, sehingga semua bilangan suatu kelas terletak pada garis bilangan di sebelah kiri semua bilangan kelas kedua. Kelas-kelas ini diberi nama yang sesuai lebih rendah Dan kelas atas bagian. Secara teori ada 4 kemungkinan:

1. Kelas bawah mempunyai unsur maksimal, kelas atas tidak mempunyai unsur minimal

2. Kelas bawah tidak memiliki elemen maksimal, tetapi kelas atas memiliki elemen minimum

3. Kelas bawah mempunyai unsur maksimum dan kelas atas mempunyai unsur minimum

4. Tidak ada unsur maksimal pada kelas bawah, dan tidak ada unsur minimal pada kelas atas

Dalam kasus pertama dan kedua, masing-masing elemen maksimum di bawah atau elemen minimum di atas menghasilkan bagian ini. Dalam kasus ketiga yang kita miliki melompat, dan yang keempat - ruang angkasa. Jadi, kesinambungan garis bilangan berarti bahwa pada himpunan bilangan real tidak ada lompatan atau celah, yaitu secara kiasan tidak ada celah.

Jika kita mengenalkan konsep bagian himpunan bilangan real, maka prinsip kontinuitas Dedekind dapat dirumuskan sebagai berikut.

Prinsip kesinambungan (kelengkapan) Dedekind. Untuk setiap bagian himpunan bilangan real, terdapat bilangan yang menghasilkan bagian tersebut.

Komentar. Rumusan Aksioma Kontinuitas tentang adanya titik yang memisahkan dua himpunan sangat mengingatkan pada rumusan prinsip kontinuitas Dedekind. Pada kenyataannya, pernyataan-pernyataan ini setara, dan pada dasarnya merupakan rumusan berbeda dari hal yang sama. Oleh karena itu, kedua pernyataan ini disebut Prinsip Dedekind tentang kesinambungan bilangan real.

Lemma pada segmen bersarang (prinsip Cauchy-Cantor)[sunting | edit teks wiki]

Artikel utama:Lemma pada segmen bersarang

Lemma pada segmen bersarang (Cauchy - Penyanyi). Sistem segmen bersarang apa pun

mempunyai perpotongan tidak kosong, yaitu paling sedikit terdapat satu bilangan yang dimiliki oleh semua segmen suatu sistem tertentu.

Selain itu, jika panjang segmen suatu sistem cenderung nol, maka demikianlah

maka perpotongan ruas-ruas sistem ini terdiri dari satu titik.

Properti ini disebut kontinuitas himpunan bilangan real dalam pengertian Cantor. Di bawah ini kami akan menunjukkan bahwa untuk bidang terurut Archimedean, kontinuitas Cantor setara dengan kontinuitas Dedekind.

Prinsip tertinggi[sunting | edit teks wiki]

Prinsip tertinggi. Setiap himpunan bilangan real tak kosong yang dibatasi di atas mempunyai supremum.

Dalam mata kuliah kalkulus, proposisi ini biasanya berupa teorema dan pembuktiannya pada dasarnya memanfaatkan kontinuitas himpunan bilangan real dalam beberapa bentuk. Pada saat yang sama, sebaliknya, seseorang dapat mendalilkan keberadaan supremum untuk setiap himpunan tak kosong yang dibatasi di atas, dan mengandalkan hal ini untuk membuktikan, misalnya, prinsip kontinuitas menurut Dedekind. Dengan demikian, teorema supremum merupakan salah satu rumusan ekuivalen sifat kontinuitas bilangan real.

Komentar. Alih-alih supremum, seseorang dapat menggunakan konsep ganda infimum.

Prinsip minimum. Setiap himpunan bilangan real tak kosong yang dibatasi dari bawah mempunyai nilai infimum.

Usulan ini juga setara dengan prinsip kontinuitas Dedekind. Selain itu, dapat ditunjukkan bahwa pernyataan teorema supremum langsung mengikuti pernyataan teorema infimum, dan sebaliknya (lihat di bawah).

Lemma penutup hingga (prinsip Heine-Borel)[sunting | edit teks wiki]

Artikel utama:Lemma Heine-Borel

Lemma Sampul Terbatas (Heine - Borel). Dalam sistem interval apa pun yang mencakup suatu segmen, terdapat subsistem berhingga yang mencakup segmen tersebut.

Lemma titik batas (prinsip Bolzano-Weierstrass)[sunting | edit teks wiki]

Artikel utama:Teorema Bolzano-Weierstrass

Lemma titik batas (Bolzano - Weierstrass). Setiap himpunan bilangan terbatas tak terhingga mempunyai paling sedikit satu titik batas.

Kesetaraan kalimat yang menyatakan kesinambungan himpunan bilangan real[sunting | edit teks wiki]

Mari kita membuat beberapa catatan awal. Menurut definisi aksiomatik bilangan real, himpunan bilangan real memenuhi tiga kelompok aksioma. Kelompok pertama adalah aksioma lapangan. Kelompok kedua menyatakan fakta bahwa himpunan bilangan real adalah himpunan terurut linier, dan hubungan keteraturannya konsisten dengan operasi dasar lapangan. Jadi, aksioma kelompok pertama dan kedua berarti bahwa himpunan bilangan real mewakili bidang terurut. Kelompok aksioma ketiga terdiri dari satu aksioma - aksioma kontinuitas (atau kelengkapan).

Untuk menunjukkan kesetaraan formulasi yang berbeda tentang kontinuitas bilangan real, perlu dibuktikan bahwa jika salah satu dari pernyataan ini berlaku untuk bidang terurut, maka validitas semua pernyataan lainnya mengikuti dari ini.

Dalil. Misalkan himpunan terurut linier sembarang. Pernyataan berikut ini setara:

1. Apa pun himpunan tak kosong yang berlaku untuk dua elemen dan pertidaksamaannya, maka terdapat elemen yang berlaku untuk semua dan relasinya.

2. Untuk setiap bagian di dalamnya terdapat elemen yang memproduksi bagian ini

3. Setiap himpunan tak kosong yang dibatasi di atasnya mempunyai supremum

4. Setiap himpunan tak kosong yang dibatasi dari bawah mempunyai nilai minimum

Terlihat dari teorema ini, keempat kalimat tersebut hanya menggunakan fakta bahwa relasi tatanan linier diperkenalkan, dan tidak menggunakan struktur medan. Jadi, masing-masing himpunan tersebut menyatakan sifat himpunan terurut linier. Sifat ini (dari himpunan terurut linier sembarang, belum tentu himpunan bilangan real) disebut kesinambungan, atau kelengkapan, menurut Dedekind.

Pembuktian kesetaraan kalimat lain sudah memerlukan adanya struktur lapangan.

Dalil. Biarkan menjadi bidang terurut sembarang. Kalimat berikut ini setara:

1. (sebagai himpunan terurut linier) adalah Dedekind lengkap

2. Untuk memenuhi prinsip Archimedes Dan prinsip segmen bersarang

3. Karena prinsip Heine-Borel terpenuhi

4. Prinsip Bolzano-Weierstrass terpenuhi

Komentar. Seperti dapat dilihat dari teorema, prinsip segmen bersarang itu sendiri tidak setara Prinsip kontinuitas Dedekind. Prinsip kontinuitas Dedekind mengikuti prinsip segmen bersarang, tetapi sebaliknya perlu juga mensyaratkan bahwa bidang terurut memenuhi aksioma Archimedes.

Bukti teorema di atas dapat ditemukan pada buku-buku dari daftar referensi di bawah ini.

· Kudryavtsev, L.D. Kursus analisis matematika. - edisi ke-5. - M.: “Drofa”, 2003. - T. 1. - 704 hal. - ISBN 5-7107-4119-1.

· Fikhtengolts, G.M. Dasar-dasar analisis matematika. - edisi ke-7. - M.: “FIZMATLIT”, 2002. - T. 1. - 416 hal. - ISBN 5-9221-0196-X.

· Dedekind, R. Kontinuitas dan bilangan irasional = Stetigkeit und irasionale Zahlen. - Edisi revisi ke-4. - Odessa: Matematika, 1923. - 44 hal.

· Zorich, V.A. Analisis matematis. Bagian I. - Ed. 4, dikoreksi - M.: "MCNMO", 2002. - 657 hal. - ISBN 5-94057-056-9.

· Kontinuitas fungsi dan domain numerik: B. Bolzano, L. O. Cauchy, R. Dedekind, G. Cantor. - edisi ke-3. - Novosibirsk: ANT, 2005. - 64 hal.

4.5. Aksioma kontinuitas

Berapakah dua himpunan bilangan real A dan yang tidak kosong

B , yang untuk setiap elemen a ∈ A dan b ∈ B terdapat pertidaksamaan

a ≤ b, terdapat bilangan λ sehingga untuk semua a ∈ A, b ∈ B berlaku:

persamaan a ≤ λ ≤ b.

Sifat kontinuitas bilangan real berarti pada bilangan real

tidak ada “kekosongan” pada garis vena, yaitu titik-titik yang mewakili angka terisi

seluruh sumbu nyata.

Mari kita berikan rumusan lain tentang aksioma kontinuitas. Untuk melakukan ini, kami perkenalkan

Definisi 1.4.5. Kami akan menyebut dua set A dan B sebagai bagian

himpunan bilangan real, jika

1) himpunan A dan B tidak kosong;

2) gabungan himpunan A dan B merupakan himpunan semua real

angka;

3) setiap bilangan pada himpunan A lebih kecil dari bilangan pada himpunan B.

Artinya, setiap himpunan yang membentuk suatu bagian memuat paling sedikit satu

elemen, himpunan ini tidak mengandung elemen yang sama dan, jika a ∈ A dan b ∈ B, maka

Kita akan menyebut himpunan A sebagai kelas bawah, dan himpunan B sebagai kelas atas.

kelas bagian. Kami akan menyatakan bagian tersebut dengan A B.

Contoh bagian yang paling sederhana adalah bagian yang diperoleh berikut ini

cara bertiup. Mari kita ambil beberapa nomor α dan letakkan

SEBUAH = ( xx< α } , B = { x x ≥ α } . Легко видеть, что эти множества не пусты, не пере-

dipotong dan jika a ∈ A dan b ∈ B, maka a< b , поэтому множества A и B образуют

bagian. Demikian pula, Anda dapat membentuk bagian demi set

A =(x x ≤ α ) , B =(x x > α ) .

Kami akan menyebut bagian tersebut bagian yang dihasilkan oleh nomor α atau

kita akan mengatakan bahwa angka α menghasilkan bagian ini. Ini dapat ditulis sebagai

Bagian yang dihasilkan oleh nomor apa pun memiliki dua bagian yang menarik

properti:

Sifat 1. Kelas atas berisi bilangan terkecil, dan kelas bawah

kelas tidak memiliki angka terbesar, atau kelas bawah berisi angka terbesar

lo, dan di kalangan atas pun tak kalah pentingnya.

Properti 2. Nomor yang menghasilkan bagian tertentu adalah unik.

Ternyata aksioma kontinuitas yang dirumuskan di atas ekuivalen dengan

konsisten dengan pernyataan yang disebut prinsip Dedekind:

Prinsip Dedekind. Untuk setiap bagian ada pembangkit nomor

ini adalah bagian.

Mari kita buktikan kesetaraan pernyataan-pernyataan ini.

Biarkan aksioma kontinuitas menjadi kenyataan, dan beberapa contoh

membaca A B . Kemudian, karena kelas A dan B memenuhi syarat, maka rumusnya

dinyatakan dalam aksioma, ada bilangan λ sehingga a ≤ λ ≤ b untuk sembarang bilangan

a ∈ A dan b ∈ B. Tetapi bilangan λ harus menjadi milik satu-satunya

kelas A atau B, oleh karena itu salah satu pertidaksamaan a ≤ λ akan terpenuhi< b или

A< λ ≤ b . Таким образом, число λ либо является наибольшим в нижнем классе,

atau yang terkecil di kelas atas dan menghasilkan bagian tertentu.

Sebaliknya, biarkan prinsip Dedekind terpenuhi dan dua prinsip tidak kosong

himpunan A dan B sedemikian sehingga untuk semua a ∈ A dan b ∈ B terdapat pertidaksamaan

a ≤ b. Mari kita nyatakan dengan B himpunan bilangan b sehingga a ≤ b untuk sembarang

b ∈ B dan semua a ∈ A. Maka B ⊂ B. Untuk himpunan A kita ambil himpunan semua bilangan

desa yang tidak termasuk dalam B.

Mari kita buktikan bahwa himpunan A dan B membentuk suatu bagian.

Memang jelas bahwa himpunan B tidak kosong, karena mengandung

himpunan tak kosong B. Himpunan A juga tidak kosong, karena jika suatu bilangan a ∈ A,

maka bilangan a − 1∉ B, karena bilangan apa pun yang termasuk dalam B haruslah paling sedikit

bilangan a, oleh karena itu, a − 1∈ A.

himpunan semua bilangan real, karena pilihan himpunan.

Dan terakhir, jika a ∈ A dan b ∈ B, maka a ≤ b. Memang benar, jika ada

bilangan c akan memenuhi pertidaksamaan c > b, dimana b ∈ B, maka salah

persamaan c > a (a adalah elemen sembarang dari himpunan A) dan c ∈ B.

Jadi, A dan B membentuk satu bagian, dan berdasarkan prinsip Dedekind, ada bilangan

lo λ menghasilkan bagian ini, yaitu menjadi yang terbesar di kelasnya

Mari kita buktikan bahwa bilangan tersebut tidak mungkin termasuk kelas A. Sah

tetapi, jika λ ∈ A, maka terdapat bilangan a* ∈ A sehingga λ< a* . Тогда существует

bilangan a′ yang terletak di antara bilangan λ dan a*. Dari pertidaksamaan a′< a* следует, что

a′ ∈ A , lalu dari pertidaksamaan λ< a′ следует, что λ не является наибольшим в

kelas A, yang bertentangan dengan prinsip Dedekind. Oleh karena itu, bilangan λ adalah

adalah yang terkecil di kelas B dan untuk semua a ∈ A dan pertidaksamaan akan berlaku

a ≤ λ ≤ b , yang perlu dibuktikan.◄

Jadi, sifat dirumuskan dalam aksioma dan sifat

dirumuskan dalam prinsip Dedekind adalah ekuivalen. Di masa depan ini

Sifat-sifat himpunan bilangan real disebut kontinuitas

menurut Dedekind.

Dari kesinambungan himpunan bilangan real menurut Dedekind berikut ini

dua teorema penting.

Teorema 1.4.3. (Prinsip Archimedes) Berapa pun bilangan realnya

a, ada bilangan asli n sehingga a< n .

Mari kita asumsikan bahwa pernyataan teorema tersebut salah, yaitu ada a

suatu bilangan b0 sedemikian sehingga pertidaksamaan n ≤ b0 berlaku untuk semua bilangan asli

N. Mari kita bagi himpunan bilangan real menjadi dua kelas: ke dalam kelas B kita sertakan

semua bilangan b memenuhi pertidaksamaan n ≤ b untuk sembarang n alami.

Kelas ini tidak kosong karena berisi nomor b0. Kami akan menempatkan semuanya di kelas A

angka-angka yang tersisa. Kelas ini juga tidak kosong, karena bilangan asli apa pun

termasuk dalam A . Kelas A dan B tidak berpotongan dan kesatuannya berpotongan

himpunan semua bilangan real.

Jika kita mengambil bilangan sembarang a ∈ A dan b ∈ B, maka ada bilangan asli

nomor n0 sedemikian rupa sehingga a< n0 ≤ b , откуда следует, что a < b . Следовательно, классы

A dan B memenuhi prinsip Dedekind dan terdapat bilangan α itu

menghasilkan bagian A B, yaitu, α adalah yang terbesar di kelas A atau

atau yang terkecil di kelas B. Jika kita berasumsi bahwa α ada di kelas A, maka

seseorang dapat menemukan bilangan asli n1 yang pertidaksamaannya α< n1 .

Karena n1 juga termasuk dalam A, maka bilangan α bukanlah bilangan terbesar pada kelas ini,

oleh karena itu, asumsi kami salah dan α adalah yang terkecil

kelas B.

Sebaliknya, ambil bilangan α − 1 yang termasuk dalam kelas A. Sledova-

Oleh karena itu, terdapat bilangan asli n2 sehingga α − 1< n2 , откуда получим

α < n2 + 1 . Так как n2 + 1 - натуральное число, то из последнего неравенства

maka α ∈ A. Kontradiksi yang dihasilkan membuktikan teorema.◄

Konsekuensi. Berapapun bilangan a dan b sedemikian sehingga 0< a < b , существует

bilangan asli n yang memiliki pertidaksamaan na > b.

Untuk membuktikannya cukup menerapkan prinsip Archimedes pada bilangan tersebut

dan menggunakan sifat pertidaksamaan.◄

Akibat wajarnya memiliki makna geometris yang sederhana: Apapun keduanya

segmen, jika lebih besar, dari salah satu ujungnya secara berurutan

letakkan yang lebih kecil, maka dalam jumlah langkah yang terbatas Anda dapat melampauinya

segmen yang lebih besar.

Contoh 1. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan non-negatif a ada

satu-satunya bilangan real non-negatif t sedemikian rupa

t n = a, n ∈ , n ≥ 2 .

Teorema tentang keberadaan akar aritmatika derajat ke-n

dari bilangan non-negatif dalam mata pelajaran aljabar sekolah diterima tanpa pembuktian

perbuatan.

☺Jika a = 0, maka x = 0, maka pembuktian adanya aritmatika

Akar sebenarnya dari a diperlukan hanya untuk a > 0.

Mari kita asumsikan a > 0 dan membagi himpunan semua bilangan real

untuk dua kelas. Di kelas B kita memasukkan semua bilangan positif x yang memenuhi

buat pertidaksamaan x n > a, di kelas A, semua orang.

Menurut aksioma Archimedes, ada bilangan asli k dan m sedemikian rupa sehingga

< a < k . Тогда k 2 ≥ k >a dan 2 ≤< a , т.е. оба класса непусты, причем класс

A berisi bilangan positif.

Jelasnya, A ∪ B = dan jika x1 ∈ A dan x2 ∈ B, maka x1< x2 .

Jadi, kelas A dan B membentuk suatu penampang. Nomor yang membentuk ini

bagian, dilambangkan dengan t. Maka t adalah bilangan terbesar di kelas tersebut

ce A, atau yang terkecil di kelas B.

Mari kita asumsikan bahwa t ∈ A dan t n< a . Возьмем число h , удовлетворяющее нера-

kedaulatan 0< h < 1 . Тогда

(t + h)n = t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h2 + ... + Cnn hn< t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h =

T n + h (Cnt n−1 + Cn t n−2 + ... + Cn + Cn t n) − hCn t n = t n + h (t + 1) − ht n =

T n + jam (t + 1) − t n

Kemudian kita mendapatkan (t + h)< a . Это означает,

Oleh karena itu, jika kita mengambil h<

bahwa t + h ∈ A, yang bertentangan dengan fakta bahwa t adalah unsur terbesar di kelas A.

Demikian pula, jika kita berasumsi bahwa t adalah elemen terkecil dari kelas B,

kemudian, ambil bilangan h yang memenuhi pertidaksamaan 0< h < 1 и h < ,

kita peroleh (t − h) = t n − Cnt n−1h + Cn t n−2 h 2 − ... + (−1) Cn h n >

> t n − Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h = t n − h (t + 1) − t n > a .

Artinya t − h ∈ B dan t tidak bisa menjadi elemen terkecil

kelas B. Oleh karena itu, t n = a.

Keunikan berasal dari fakta bahwa jika t1< t2 , то t1n < t2 .☻ n

Contoh 2. Buktikan jika a< b , то всегда найдется рациональное число r

sedemikian rupa sehingga a< r < b .

☺Jika bilangan a dan b rasional, maka bilangan tersebut rasional dan memuaskan

memenuhi syarat-syarat yang dipersyaratkan. Mari kita asumsikan bahwa setidaknya salah satu bilangan a atau b

irasional, misalnya bilangan b tidak rasional. Agaknya

Kita asumsikan juga bahwa a ≥ 0, maka b > 0. Mari kita tuliskan representasi bilangan a dan b dalam bentuk

pecahan desimal: a = α 0,α1α 2α 3.... dan b = β 0, β1β 2 β3..., dimana pecahan kedua tak terhingga

intermiten dan non-periodik. Adapun representasi bilangan a akan kita pertimbangkan

Perlu diperhatikan bahwa jika suatu bilangan a rasional, maka notasinya berhingga atau tidak

pecahan periodik yang periodenya tidak sama dengan 9.

Karena b > a, maka β 0 ≥ α 0; jika β 0 = α 0, maka β1 ≥ α1; jika β1 = α1, maka β 2 ≥ α 2

dll., dan ada nilai i yang untuk pertama kalinya akan ada

pertidaksamaan tegas βi > α i terpenuhi. Maka bilangan β 0, β1β 2 ...βi akan rasional

final dan akan terletak di antara angka a dan b.

Jika sebuah< 0 , то приведенное рассуждение надо применить к числам a + n и

b + n, dimana n adalah bilangan asli sehingga n ≥ a. Adanya angka tersebut

mengikuti aksioma Archimedes. ☻

Definisi 1.4.6. Misalkan barisan segmen garis bilangan diberikan

([ sebuah ; bn ]), sebuah< bn . Эту последовательность будем называть системой вло-

segmen jika untuk sembarang n pertidaksamaan an ≤ an+1 dan

Untuk sistem seperti itu, penyertaan dilakukan

[a1; b1 ] ⊃ [ a2 ; b2 ] ⊃ [ a3 ; b3 ] ⊃ ... ⊃ [ sebuah ; bn ] ⊃ ... ,

artinya, setiap segmen berikutnya termuat dalam segmen sebelumnya.

Teorema 1.4.4. Untuk sistem segmen bersarang apa pun, ada

setidaknya satu titik yang termasuk dalam masing-masing segmen ini.

Mari kita ambil dua himpunan A = (an) dan B = (bn). Mereka tidak kosong dan untuk siapa pun

n dan m pertidaksamaan an< bm . Докажем это.

Jika n ≥ m, maka an< bn ≤ bm . Если n < m , то an ≤ am < bm .

Jadi, kelas A dan B memenuhi aksioma kontinuitas dan,

oleh karena itu, ada bilangan λ sedemikian rupa sehingga ≤ λ ≤ bn untuk sembarang n, yaitu Ini

nomor tersebut milik segmen mana pun [ sebuah ; bn ] .◄

Berikut ini (Teorema 2.1.8) kita akan menyempurnakan teorema ini.

Pernyataan yang dirumuskan pada Teorema 1.4.4 disebut prinsip

Penyanyi, dan himpunan yang memenuhi syarat ini disebut non-

terputus-putus menurut Cantor.

Telah kita buktikan jika suatu himpunan terurut bersifat Dede-kontinyu

kindu, maka asas Archimedes terpenuhi di dalamnya dan berkesinambungan menurut Cantor.

Dapat dibuktikan bahwa suatu himpunan terurut yang memenuhi prinsip-prinsipnya

cipes Archimedes dan Cantor, akan berkesinambungan menurut Dedekind. Bukti

Fakta ini misalnya terkandung dalam.

Prinsip Archimedes memungkinkan setiap ruas garis membandingkan non-

yang merupakan satu-satunya bilangan positif yang memenuhi syarat:

1. segmen yang sama berhubungan dengan angka yang sama;

2. Jika titik B pada ruas AC dan ruas AB dan BC bersesuaian dengan bilangan a dan

b, maka ruas AC sesuai dengan bilangan a + b;

3. Angka 1 sesuai dengan segmen tertentu.

Jumlah yang sesuai dengan setiap segmen dan memenuhi kondisi 1-3 di-

disebut panjang segmen ini.

Prinsip Cantor memungkinkan kita membuktikannya untuk setiap hal positif

bilangan tersebut, Anda dapat menemukan ruas yang panjangnya sama dengan bilangan tersebut. Dengan demikian,

antara himpunan bilangan real positif dan himpunan segmen

kovs, yang diberhentikan dari titik tertentu pada garis lurus sepanjang sisi tertentu

dari titik ini, korespondensi satu-ke-satu dapat dilakukan.

Hal ini memungkinkan kita untuk menentukan sumbu numerik dan memperkenalkan korespondensi di antaranya

Saya menunggu bilangan real dan titik pada sebuah garis. Untuk melakukan ini, mari kita ambil beberapa

baris pertama dan pilih titik O di atasnya, yang akan membagi garis ini menjadi dua

balok. Kami akan menyebut salah satu sinar ini positif, dan yang kedua negatif.

no. Kemudian kita akan mengatakan bahwa kita telah memilih arah pada garis lurus ini.

Definisi 1.4.7. Kami akan menyebut sumbu bilangan sebagai garis lurus di mana

a) titik O disebut titik asal atau asal koordinat;

b) arah;

c) suatu segmen dengan satuan panjang.

Sekarang untuk setiap bilangan real a kita mengasosiasikan titik M dengan sebuah bilangan

melolong lurus sehingga

a) angka 0 berhubungan dengan titik asal koordinat;

b) OM = a - panjang ruas dari titik asal sampai titik M sama dengan

nomor modulo;

c) jika a positif, maka titiknya diambil pada sinar positif dan jika

Jika negatif, maka negatif.

Aturan ini menetapkan korespondensi satu-satu antara

himpunan bilangan real dan himpunan titik pada suatu garis.

Kita juga akan menyebut garis bilangan (sumbu) sebagai garis nyata

Ini juga menyiratkan arti geometris dari modulus bilangan real.

la: modulus suatu bilangan sama dengan jarak dari titik asal ke titik yang digambarkan

menekan angka ini pada garis bilangan.

Sekarang kita dapat memberikan interpretasi geometris pada properti 6 dan 7

modulus bilangan real. Untuk C positif dari bilangan x, saya memuaskan

sifat memuaskan 6, isi interval (−C, C), dan bilangan x memuaskan

sifat 7, terletak pada sinar (−∞,C) atau (C, +∞).

Mari kita perhatikan satu lagi sifat geometris yang luar biasa dari modul materi:

bilangan real.

Modulus selisih dua bilangan sama dengan jarak antara titik-titik yang bersesuaian

sesuai dengan angka-angka ini pada sumbu nyata.

ry set numerik standar.

Himpunan bilangan asli;

Himpunan bilangan bulat;

Himpunan bilangan rasional;

Himpunan bilangan real;

Himpunan bilangan bulat, rasional dan real, masing-masing

bilangan real bukan negatif;

Kumpulan bilangan kompleks.

Selain itu, himpunan bilangan real dinotasikan sebagai (−∞, +∞) .

Subset dari himpunan ini:

(a, b) = ( x | x ∈ R, a< x < b} - интервал;

[ a, b] = ( x | x ∈ R, a ≤ x ≤ b) - segmen;

(a, b] = ( x | x ∈ R, a< x ≤ b} или [ a, b) = { x | x ∈ R, a ≤ x < b} - полуинтерва-

ly atau setengah segmen;

(a, +∞) = ( x | x ∈ R, a< x} или (−∞, b) = { x | x ∈ R, x < b} - открытые лучи;

[ a, +∞) = ( x | x ∈ R, a ≤ x) atau (−∞, b] = ( x | x ∈ R, x ≤ b) - sinar tertutup.

Terakhir, terkadang kita membutuhkan celah yang tidak kita pedulikan

apakah ujung-ujungnya termasuk dalam interval ini atau tidak. Kita akan mengalami periode seperti itu

menunjukkan a, b.

§ 5 Keterbatasan himpunan numerik

Definisi 1.5.1. Himpunan bilangan X disebut berbatas

dari atas jika ada bilangan M sehingga x ≤ M untuk setiap elemen x dari

atur X.

Definisi 1.5.2. Himpunan bilangan X disebut berbatas

di bawah, jika ada bilangan m sehingga x ≥ m untuk setiap elemen x dari

atur X.

Definisi 1.5.3. Himpunan bilangan X disebut berbatas,

jika dibatasi atas dan bawah.

Dalam notasi simbolik, definisi tersebut akan terlihat seperti ini:

himpunan X dibatasi dari atas jika ∃M ∀x ∈ X: x ≤ M,

dibatasi di bawah jika ∃m ∀x ∈ X: x ≥ m dan

terbatas jika ∃m, M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M .

Teorema 1.5.1. Himpunan bilangan X dibatasi jika dan hanya jika

bila ada bilangan C sedemikian rupa sehingga untuk semua elemen x dari himpunan ini

Pertidaksamaan x ≤ C berlaku.

Biarkan himpunan X dibatasi. Misalkan C = max (m, M) - paling banyak

bilangan terbesar m dan M. Kemudian, menggunakan properti modul real

bilangan, kita memperoleh pertidaksamaan x ≤ M ≤ M ≤ C dan x ≥ m ≥ − m ≥ −C , yang darinya berikut ini

Benar bahwa x ≤ C.

Sebaliknya, jika pertidaksamaan x ≤ C terpenuhi, maka −C ≤ x ≤ C. Ini adalah tiga-

diharapkan jika kita memasukkan M = C dan m = −C .◄

Bilangan M yang membatasi himpunan X dari atas disebut atas

batas himpunan. Jika M adalah batas atas himpunan X, maka sembarang

bilangan M ′ yang lebih besar dari M juga akan menjadi batas atas himpunan ini.

Dengan demikian, kita dapat berbicara tentang himpunan batas atas himpunan tersebut

X. Mari kita nyatakan himpunan batas atas dengan M. Maka, ∀x ∈ X dan ∀M ∈ M

pertidaksamaan x ≤ M akan dipenuhi, oleh karena itu, menurut aksioma, terus menerus

Terdapat bilangan M 0 sehingga x ≤ M 0 ≤ M . Angka ini disebut eksak

tidak ada batas atas himpunan numerik X atau batas atas ini

himpunan atau supremum suatu himpunan X dan dilambangkan dengan M 0 = sup X .

Jadi, kami telah membuktikan bahwa setiap himpunan bilangan tak kosong,

dibatasi di atas selalu memiliki batas atas yang tepat.

Jelas sekali bahwa persamaan M 0 = sup X ekuivalen dengan dua kondisi:

1) ∀x ∈ X pertidaksamaan x ≤ M 0 berlaku, mis. M 0 - batas atas multiplisitas

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X sehingga pertidaksamaan xε > M 0 − ε berlaku, yaitu. permainan ini

Harganya tidak bisa diperbaiki (dikurangi).

Contoh 1. Perhatikan himpunan X = ⎨1 − ⎬ . Mari kita buktikan bahwa sup X = 1.

☺Memang benar, pertama, ketimpangan 1 −< 1 выполняется для любого

n ∈ ; kedua, jika kita mengambil bilangan positif sembarang ε, maka dengan

Dengan menggunakan prinsip Archimedes, seseorang dapat mencari bilangan asli nε sehingga nε > . Itu-

dimana pertidaksamaan 1 − > 1 − ε terpenuhi, yaitu ditemukan elemen xnε multi-

dari X, lebih besar dari 1 − ε, yang berarti 1 adalah batas atas terkecil

Demikian pula, dapat dibuktikan bahwa jika suatu himpunan dibatasi di bawah, maka

ia memiliki batas bawah yang tepat, yang juga disebut batas bawah

baru atau terkecil dari himpunan X dan dilambangkan dengan inf X.

Persamaan m0 = inf X ekuivalen dengan kondisi:

1) ∀x ∈ X berlaku pertidaksamaan x ≥ m0;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X sehingga pertidaksamaan xε berlaku< m0 + ε .

Jika himpunan X mempunyai elemen terbesar x0, maka kita akan menyebutnya

elemen maksimum himpunan X dan menyatakan x0 = max X . Kemudian

sup X = x0 . Demikian pula jika ada elemen terkecil dalam suatu himpunan, maka

kita akan menyebutnya minimal, menyatakan min X dan itu akan menjadi in-

fimum dari himpunan X.

Misalnya, himpunan bilangan asli memiliki elemen terkecil -

satuan yang juga merupakan himpunan terkecil. Supre-

Himpunan ini tidak mempunyai muma, karena tidak dibatasi dari atas.

Definisi batas atas dan bawah yang tepat dapat diperluas hingga

himpunan yang tidak dibatasi di atas atau di bawah, dengan asumsi sup X = +∞ atau, dengan demikian,

Oleh karena itu, inf X = −∞ .

Kesimpulannya, kami merumuskan beberapa sifat batas atas dan bawah.

Sifat 1. Misalkan X adalah suatu himpunan bilangan. Mari kita nyatakan dengan

− X himpunan (− x | x ∈ X ) . Maka sup (− X) = − inf X dan inf (− X) = − sup X .

Sifat 2. Misalkan X adalah himpunan bilangan λ yang real

nomor. Mari kita nyatakan dengan λ X himpunan (λ x | x ∈ X ) . Lalu jika λ ≥ 0, maka

sup (λ X) = λ sup X , inf (λ X) = λ inf X dan, jika λ< 0, то

sup (λ X) = λ inf X , inf (λ X) = λ sup X .

Properti 3. Misalkan X1 dan X2 adalah himpunan bilangan. Mari kita nyatakan dengan

X1 + X 2 adalah himpunan ( x1 + x2 | x1 ∈ X 1, x2 ∈ X 2 ) dan melalui X1 − X 2 himpunan tersebut

( x1 − x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2) . Maka sup (X 1 + X 2) = sup X 1 + sup X 2 ,

inf (X1 + X 2) = inf X1 + inf X 2 , sup (X 1 − X 2) = sup X 1 − inf X 2 dan

inf (X1 − X 2) = inf X1 − sup X 2 .

Sifat 4. Misalkan X1 dan X2 adalah himpunan bilangan yang semua anggotanya

ryh tidak negatif. Kemudian

sup (X1 X 2) = sup X1 ⋅ sup X 2 , inf (X1 X 2) = inf X 1 ⋅ inf X 2 .

Mari kita buktikan, misalnya, persamaan pertama pada Sifat 3.

Misal x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2 dan x = x1 + x2. Maka x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X 2 dan

x ≤ sup X1 + sup X 2 , maka sup (X1 + X 2) ≤ sup X1 + sup X 2 .

Untuk membuktikan pertidaksamaan kebalikannya, ambil nomornya

kamu< sup X 1 + sup X 2 . Тогда можно найти элементы x1 ∈ X1 и x2 ∈ X 2 такие,

x1 itu< sup X1 и x2 < sup X 2 , и выполняется неравенство

kamu< x1 + x2 < sup X1 + sup X 2 . Это означает, что существует элемент

x = +x1 x2 ∈ X1+ X2, yang lebih besar dari bilangan y dan

sup X1 + sup X 2 = sup (X1 + X 2) .◄

Pembuktian properti lainnya dilakukan dan disediakan dengan cara yang sama

diungkapkan kepada pembaca.

§ 6 Himpunan yang dapat dihitung dan tidak dapat dihitung

Definisi 1.6.1. Perhatikan himpunan n bilangan asli pertama

n = (1,2,..., n) dan beberapa himpunan A. Jika memungkinkan untuk menjalin hubungan timbal balik

korespondensi satu-satu antara A dan n, maka disebut himpunan A

terakhir.

Definisi 1.6.2. Biarkan beberapa set A diberikan. kalau boleh

mengadakan korespondensi satu-satu antara himpunan A dan

himpunan bilangan asli, maka himpunan A disebut hitung-

Definisi 1.6.3. Jika himpunan A berhingga atau dapat dihitung, maka kita akan melakukannya

percaya bahwa itu tidak lebih dari terhitung.

Jadi, suatu himpunan akan terhitung jika unsur-unsurnya dapat dihitung

letakkan secara berurutan.

Contoh 1. Himpunan bilangan genap dapat dihitung, karena pemetaannya n ↔ 2n

adalah korespondensi satu-satu antara himpunan natural

bilangan dan banyak bilangan genap.

Jelasnya, korespondensi semacam itu dapat dilakukan tidak hanya di

zom. Misalnya, Anda dapat membuat korespondensi antara himpunan dan multi-

gestion (bilangan bulat), membuat korespondensi dengan cara ini

Rekomendasi ini ditujukan bagi mahasiswa universitas pedagogi yang mempelajari disiplin ilmu "Aljabar dan Teori Bilangan". Dalam kerangka disiplin ilmu ini, sesuai dengan standar negara, pada semester 6 dipelajari bagian “Sistem Numerik”. Rekomendasi ini menyajikan materi tentang konstruksi aksiomatik sistem bilangan asli (sistem aksioma Peano), sistem bilangan bulat dan bilangan rasional. Aksiomatik ini memungkinkan kita untuk lebih memahami apa itu bilangan, yang merupakan salah satu konsep dasar mata pelajaran matematika sekolah. Untuk asimilasi materi yang lebih baik, diberikan masalah pada topik yang relevan. Di akhir rekomendasi terdapat jawaban, petunjuk, dan solusi permasalahan.

Reviewer: Doktor Ilmu Pedagogis, Prof. Dalinger V.A.

(c) Mozhan N.N.

Ditandatangani untuk publikasi - 22/10/98

1. ANGKA ALAM.

1.1 Sistem aksioma Peano dan konsekuensi paling sederhana.

Konsep awal dalam teori aksiomatik Peano adalah himpunan N (yang kita sebut himpunan bilangan asli), bilangan khusus nol (0) darinya, dan relasi biner "mengikuti" N, dinotasikan S(a) (atau A()).
Aksioma:
1. ((a(N) a"(0 (Ada bilangan asli 0 yang tidak mengikuti bilangan apa pun.)
2. a=b (a"=b" (Untuk setiap bilangan asli a ada bilangan asli a" yang mengikutinya, dan hanya satu.)
3. a"=b" (a=b (Setiap bilangan asli mengikuti paling banyak satu bilangan.)
4. (aksioma induksi) Jika himpunan M(N dan M memenuhi dua kondisi:
SEBUAH) 0(L;
B) ((a(N) a(M ® a"(M, maka M=N.
Dalam terminologi fungsional, ini berarti pemetaan S:N®N bersifat injektif. Dari Aksioma 1 dapat disimpulkan bahwa pemetaan S:N®N tidak bersifat dugaan. Aksioma 4 adalah dasar pembuktian pernyataan “dengan metode induksi matematika”.
Mari kita perhatikan beberapa sifat bilangan asli yang langsung mengikuti aksioma.
Sifat 1. Setiap bilangan asli a(0 mengikuti satu dan hanya satu bilangan.
Bukti. Misalkan M menyatakan himpunan bilangan asli yang mengandung nol dan semua bilangan asli tersebut, yang masing-masing mengikuti suatu bilangan. Cukup ditunjukkan bahwa M=N, keunikan mengikuti aksioma 3. Mari kita terapkan aksioma induksi 4:
A) 0(M - dengan konstruksi himpunan M;
B) jika a(M, maka a"(M, karena a" mengikuti a.
Artinya, berdasarkan aksioma 4, M=N.
Sifat 2. Jika a(b, maka a"(b".
Sifat tersebut dibuktikan dengan kontradiksi menggunakan aksioma 3. Sifat 3 berikut ini dibuktikan dengan cara yang sama menggunakan aksioma 2.
Sifat 3. Jika a"(b", maka a(b.
Sifat 4. ((a(N)a(a". (Tidak ada bilangan asli yang mengikuti dirinya sendiri.)
Bukti. Misalkan M=(x (x(N, x(x")). Cukup ditunjukkan bahwa M=N. Karena menurut aksioma 1 ((x(N)x"(0, maka khususnya 0"(0 , dan dengan demikian, kondisi A) dari aksioma 4 0(M - terpenuhi. Jika x(M, yaitu x(x", maka berdasarkan properti 2 x"((x")", yang berarti kondisi B) x ( M ® x"(M. Tapi kemudian, menurut aksioma 4, M=N.
Misalkan ( adalah suatu sifat dari bilangan asli. Fakta bahwa suatu bilangan a mempunyai sifat (, kita tuliskan ((a).
Tugas 1.1.1. Buktikan bahwa Aksioma 4 dari definisi himpunan bilangan asli ekuivalen dengan pernyataan berikut: untuk sembarang sifat (, jika ((0) dan, maka.
Tugas 1.1.2. Pada himpunan tiga elemen A=(a,b,c), operasi unary ( didefinisikan sebagai berikut: a(=c, b(=c, c(=a). Aksioma Peano manakah yang benar pada himpunan tersebut A dengan operasi (?
Tugas 1.1.3. Misalkan A=(a) adalah himpunan tunggal, a(=a). Aksioma Peano manakah yang benar pada himpunan A dengan operasi (?
Tugas 1.1.4. Pada himpunan N kita mendefinisikan operasi unary, dengan asumsi operasi apa saja. Cari tahu apakah pernyataan aksioma Peano yang dirumuskan dalam operasi akan benar di N.
Soal 1.1.5. Biarlah. Buktikan bahwa A tertutup pada operasi (. Verifikasikan kebenaran aksioma Peano pada himpunan A dengan operasi (.
Masalah 1.1.6. Biarlah, . Mari kita definisikan operasi unary pada A, setting. Aksioma Peano manakah yang benar pada himpunan A dengan operasi tersebut?

1.2. Konsistensi dan kategorisalitas sistem aksioma Peano.

Suatu sistem aksioma disebut konsisten jika dari aksiomanya tidak mungkin dibuktikan teorema T dan negasinya (T. Jelas bahwa sistem aksioma yang kontradiktif tidak ada artinya dalam matematika, karena dalam teori seperti itu seseorang dapat membuktikan apa saja dan semacamnya. teori tidak mencerminkan hukum dunia nyata. Oleh karena itu, konsistensi sistem aksioma merupakan syarat yang mutlak diperlukan.
Jika teorema T dan negasinya (T) tidak ditemukan dalam suatu teori aksiomatik, bukan berarti sistem aksioma tersebut konsisten, mungkin saja teori-teori tersebut akan muncul di kemudian hari, oleh karena itu konsistensi sistem aksioma tersebut harus dibuktikan. Cara paling umum untuk membuktikan konsistensi adalah metode penafsiran, berdasarkan fakta bahwa jika ada penafsiran sistem aksioma dalam teori S yang jelas-jelas konsisten, maka sistem aksioma itu sendiri konsisten. Memang benar, jika sistem aksioma tidak konsisten, maka teorema T dan (T akan dapat dibuktikan di dalamnya, tetapi kemudian teorema ini juga valid dalam penafsirannya, dan ini bertentangan dengan konsistensi teori S. Metode interpretasi hanya memungkinkan seseorang untuk membuktikan konsistensi relatif dari teori tersebut.
Banyak interpretasi berbeda yang dapat dibangun untuk sistem aksioma Peano. Teori himpunan sangat kaya akan interpretasi. Mari kita tunjukkan salah satu interpretasi ini. Kita akan menganggap himpunan (, ((), ((()), (((())),... sebagai bilangan asli; kita akan menganggap nol sebagai bilangan istimewa (. Relasi “mengikuti” akan diartikan sebagai berikut: himpunan M diikuti oleh himpunan (M), yang anggotanya hanya M itu sendiri. Jadi, ("=((), (()"=((()), dst. Kelayakan dari Aksioma 1-4 dapat dengan mudah diverifikasi. Namun, keefektifan interpretasi tersebut kecil: ini menunjukkan bahwa sistem aksioma Peano konsisten jika teori himpunan konsisten. Namun membuktikan konsistensi sistem aksioma teori himpunan adalah hal yang lebih sulit lagi. tugas Interpretasi yang paling meyakinkan dari sistem aksioma Peano adalah aritmatika intuitif, yang konsistensinya dikonfirmasi oleh pengalaman perkembangannya selama berabad-abad.
Suatu sistem aksioma yang konsisten disebut independen jika setiap aksioma sistem ini tidak dapat dibuktikan sebagai teorema berdasarkan aksioma lain. Untuk membuktikan bahwa aksioma (tidak bergantung pada aksioma lain dari sistem
(1, (2, ..., (n, ((1)
itu cukup untuk membuktikan bahwa sistem aksiomanya konsisten
(1, (2, ..., (n, (((2)
Memang jika (dibuktikan berdasarkan sisa aksioma sistem (1), maka sistem (2) akan kontradiktif, karena di dalamnya terdapat teorema (dan aksioma ((.
Jadi, untuk membuktikan independensi aksioma tersebut (dari aksioma lain pada sistem (1), cukup dengan mengkonstruksi interpretasi terhadap sistem aksioma (2).
Independensi sistem aksioma merupakan persyaratan opsional. Kadang-kadang, untuk menghindari pembuktian teorema yang “sulit”, sistem aksioma yang sengaja dibuat berlebihan (bergantung). Namun, aksioma “ekstra” mempersulit studi tentang peran aksioma dalam teori, serta hubungan logis internal antara berbagai bagian teori. Selain itu, membangun interpretasi untuk sistem aksioma yang bergantung jauh lebih sulit daripada sistem aksioma yang independen; Bagaimanapun, kita harus memeriksa validitas aksioma “ekstra”. Karena alasan ini, isu ketergantungan antar aksioma telah menjadi hal yang sangat penting sejak zaman kuno. Pada suatu waktu, upaya untuk membuktikan postulat 5 dalam aksioma Euclid “Paling banyak ada satu garis yang melalui titik A sejajar dengan garis (“” adalah teorema (yaitu, bergantung pada aksioma yang tersisa) dan mengarah pada penemuan Lobachevsky geometri.
Sistem yang konsisten disebut lengkap secara deduktif jika ada proposisi A dari suatu teori tertentu yang dapat dibuktikan atau disangkal, yaitu A atau (A adalah teorema teori ini. Jika ada proposisi yang tidak dapat dibuktikan atau disangkal, maka sistem aksioma disebut tidak lengkap secara deduktif. Kelengkapan deduktif juga bukan syarat wajib. Misalnya sistem aksioma teori grup, teori cincin, teori medan tidak lengkap; karena ada grup, cincin, bidang berhingga dan tak terhingga , maka dalam teori-teori ini tidak mungkin untuk membuktikan atau menyangkal proposisi : "Suatu gugus (cincin, bidang) mengandung sejumlah elemen yang terbatas."
Perlu dicatat bahwa dalam banyak teori aksiomatik (yaitu, dalam teori yang tidak diformalkan), himpunan proposisi tidak dapat dianggap didefinisikan secara tepat dan oleh karena itu tidak mungkin untuk membuktikan kelengkapan deduktif dari sistem aksioma teori tersebut. Rasa kelengkapan lainnya disebut kategorikalitas. Suatu sistem aksioma disebut kategoris jika dua interpretasinya bersifat isomorfik, yaitu terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan objek awal dari interpretasi yang satu dan interpretasi lainnya yang dipertahankan dalam semua relasi awal. Kategorikalitas juga merupakan kondisi opsional. Misalnya, sistem aksioma teori grup tidak bersifat kategoris. Hal ini mengikuti fakta bahwa grup berhingga tidak dapat bersifat isomorfik terhadap grup tak hingga. Namun, ketika melakukan aksiomatisasi teori sistem numerik apa pun, kategorisasi adalah wajib; misalnya, sifat kategoris dari sistem aksioma yang mendefinisikan bilangan asli berarti, hingga isomorfisme, hanya ada satu deret natural.
Mari kita buktikan sifat kategoris dari sistem aksioma Peano. Misalkan (N1, s1, 01) dan (N2, s2, 02) adalah dua interpretasi sistem aksioma Peano. Diperlukan untuk menunjukkan pemetaan bijektif (satu-ke-satu) f:N1®N2 yang memenuhi kondisi berikut:
a) f(s1(x)=s2(f(x)) untuk sembarang x dari N1;
b) f(01)=02
Jika kedua operasi unary s1 dan s2 dilambangkan dengan bilangan prima yang sama, maka kondisi a) akan ditulis ulang dalam bentuk
a) f(x()=f(x)(.
Mari kita definisikan relasi biner f pada himpunan N1(N2) dengan ketentuan berikut:
1) 01f02;
2) jika xfy, maka x(fy(.
Mari kita pastikan bahwa relasi ini merupakan pemetaan dari N1 ke N2, yaitu untuk setiap x dari N1
(((y(N2) xfy (1)
Misalkan M1 menyatakan himpunan semua elemen x dari N1 yang kondisi (1) terpenuhi. Kemudian
A) 01(M1 karena 1);
B) x(M1 ® x((M1 berdasarkan 2) dan sifat 1 paragraf 1.
Dari sini berdasarkan aksioma 4 disimpulkan bahwa M1=N1, artinya relasi f merupakan pemetaan dari N1 ke N2. Selain itu, dari 1) maka f(01)=02. Kondisi 2) ditulis dalam bentuk: jika f(x)=y, maka f(x()=y(. Maka f(x()=f(x)(). Jadi, untuk menampilkan kondisi f a ) dan b) terpenuhi Masih perlu dibuktikan bahwa pemetaan f bersifat bijektif.
Mari kita nyatakan dengan M2 himpunan elemen-elemen dari N2, yang masing-masing merupakan bayangan dari satu dan hanya satu elemen dari N1 di bawah pemetaan f.
Karena f(01)=02, maka 02 adalah bayangan. Selain itu, jika x(N2 dan x(01), maka berdasarkan properti 1 item 1 x mengikuti beberapa elemen c dari N1 dan kemudian f(x)=f(c()=f(c)((02. Artinya 02 adalah gambar dari satu-satunya elemen 01, yaitu 02(M2.
Misalkan y(M2 dan y=f(x), dimana x adalah satu-satunya bayangan invers dari elemen y. Maka, dengan syarat a) y(=f(x)(=f(x()), yaitu, y(adalah bayangan elemen x (. Misalkan c adalah sembarang bayangan kebalikan dari elemen y(, yaitu f(c)=y(. Karena y((02, maka c(01 dan untuk c adalah yang sebelumnya elemen, yang kita nyatakan dengan d. Maka y(=f( c)=f(d()=f(d)(), kemudian dengan Aksioma 3 y=f(d). Namun karena y(M2, maka d= x, maka c=d(=x(. Kita telah membuktikan, bahwa jika y adalah bayangan suatu unsur unik, maka y(adalah bayangan suatu unsur unik, yaitu, y(M2 ® y((M2. Keduanya kondisi aksioma 4 terpenuhi dan, oleh karena itu, M2=N2, yang melengkapi pembuktian kategorisitas.
Semua matematika pra-Yunani bersifat empiris. Elemen-elemen teori yang terpisah tenggelam dalam kumpulan metode empiris untuk memecahkan masalah-masalah praktis. Orang Yunani menjadikan materi empiris ini diproses secara logis dan mencoba menemukan hubungan antara berbagai informasi empiris. Dalam pengertian ini, Pythagoras dan alirannya (abad ke-5 SM) memainkan peran utama dalam geometri. Ide-ide metode aksiomatik terdengar jelas dalam karya-karya Aristoteles (abad ke-4 SM). Namun implementasi praktis dari ide-ide tersebut dilakukan oleh Euclid dalam bukunya Elements (abad ke-3 SM).
Saat ini, ada tiga bentuk teori aksiomatik yang dapat dibedakan.
1). Sebuah aksiomatik yang bermakna, yang merupakan satu-satunya hingga pertengahan abad terakhir.
2). Aksioma semi formal yang muncul pada kuartal terakhir abad terakhir.
3). Aksioma formal (atau formal), yang tanggal lahirnya dapat dianggap tahun 1904, ketika D. Hilbert menerbitkan programnya yang terkenal tentang prinsip-prinsip dasar matematika formal.
Setiap bentuk baru tidak meniadakan bentuk sebelumnya, melainkan pengembangan dan klarifikasinya, sehingga tingkat ketelitian setiap bentuk baru lebih tinggi dari bentuk sebelumnya.
Aksioma intensif dicirikan oleh fakta bahwa konsep awal memiliki makna yang jelas secara intuitif bahkan sebelum aksioma dirumuskan. Jadi, dalam Elemen Euclid, sebuah titik memiliki arti persis seperti yang secara intuitif kita pahami melalui konsep ini. Dalam hal ini, bahasa biasa dan logika intuitif biasa digunakan, sejak Aristoteles.
Teori aksiomatik semiformal juga menggunakan bahasa biasa dan logika intuitif. Namun, tidak seperti aksiomatik yang bermakna, konsep asli tidak diberi makna intuitif apa pun; konsep tersebut hanya dicirikan oleh aksioma. Hal ini meningkatkan ketelitian, karena intuisi sampai batas tertentu mengganggu ketelitian. Selain itu, keumuman diperoleh karena setiap teorema yang dibuktikan dalam teori tersebut akan valid dalam penafsiran apa pun. Contoh teori aksiomatik semiformal adalah teori Hilbert yang dituangkan dalam bukunya “Foundations of Geometry” (1899). Contoh teori semiformal juga teori cincin dan sejumlah teori lain yang disajikan pada mata kuliah aljabar.
Contoh teori yang diformalkan adalah kalkulus proposisional, yang dipelajari dalam mata kuliah logika matematika. Berbeda dengan aksiomatik substantif dan semiformal, teori formal menggunakan bahasa simbolik khusus. Yakni diberikan alfabet teori, yaitu sekumpulan simbol tertentu yang berperan sama dengan huruf dalam bahasa biasa. Urutan karakter yang terbatas disebut ekspresi atau kata. Di antara ekspresi, kelas rumus dibedakan, dan kriteria pasti ditunjukkan yang memungkinkan setiap ekspresi mengetahui apakah itu rumus. Rumus mempunyai peran yang sama dengan kalimat dalam bahasa biasa. Beberapa rumus dinyatakan sebagai aksioma. Selain itu, aturan inferensi logis ditentukan; Setiap aturan tersebut berarti bahwa rumus tertentu langsung mengikuti kumpulan rumus tertentu. Pembuktian teorema itu sendiri adalah rangkaian rumus berhingga, yang rumus terakhirnya adalah teorema itu sendiri dan setiap rumus merupakan aksioma, atau teorema yang telah dibuktikan sebelumnya, atau langsung mengikuti rumus rantai sebelumnya menurut salah satu dari aturan inferensi. Dengan demikian, sama sekali tidak ada pertanyaan mengenai ketelitian bukti: apakah rangkaian tertentu merupakan bukti atau bukan; tidak ada bukti yang meragukan. Dalam hal ini, aksiomatik yang diformalkan digunakan dalam pertanyaan-pertanyaan halus tentang pembuktian teori-teori matematika, ketika logika intuitif biasa dapat menyebabkan kesimpulan yang salah, yang terjadi terutama karena ketidakakuratan dan ambiguitas bahasa kita sehari-hari.
Karena dalam teori yang diformalkan seseorang dapat mengatakan tentang setiap ekspresi apakah itu suatu rumus, maka himpunan kalimat dari teori yang diformalkan dapat dianggap pasti. Dalam hal ini, pada prinsipnya, seseorang dapat mengajukan pertanyaan tentang pembuktian kelengkapan deduktif, serta pembuktian konsistensi, tanpa menggunakan interpretasi. Dalam beberapa kasus sederhana hal ini dapat dicapai. Misalnya, konsistensi kalkulus proposisional dibuktikan tanpa interpretasi.
Dalam teori-teori yang tidak diformalkan, banyak proposisi yang tidak didefinisikan dengan jelas, sehingga tidak ada gunanya mengajukan pertanyaan tentang pembuktian konsistensi tanpa menggunakan interpretasi. Hal yang sama berlaku untuk pertanyaan pembuktian kelengkapan deduktif. Namun, jika ditemukan usulan teori yang belum diformalkan dan tidak dapat dibuktikan atau disangkal, maka teori tersebut jelas tidak lengkap secara deduktif.
Metode aksiomatik telah lama digunakan tidak hanya dalam matematika, tetapi juga dalam fisika. Upaya pertama ke arah ini dilakukan oleh Aristoteles, tetapi metode aksiomatik menerima penerapan nyata dalam fisika hanya dalam karya Newton tentang mekanika.
Sehubungan dengan pesatnya proses matematisasi ilmu pengetahuan, maka terjadi pula proses aksiomatisasi. Saat ini, metode aksiomatik bahkan digunakan di beberapa bidang biologi, misalnya genetika.
Meskipun demikian, kemungkinan metode aksiomatik tidak terbatas.
Pertama-tama, kami mencatat bahwa bahkan dalam teori-teori yang diformalkan pun tidak mungkin untuk sepenuhnya menghindari intuisi. Teori yang diformalkan itu sendiri tanpa interpretasi tidak ada artinya. Oleh karena itu, sejumlah pertanyaan muncul mengenai hubungan antara teori yang diformalkan dan interpretasinya. Selain itu, seperti dalam teori formal, muncul pertanyaan tentang konsistensi, independensi, dan kelengkapan sistem aksioma. Totalitas dari semua pertanyaan tersebut merupakan isi dari teori lain, yang disebut metatheory dari teori yang diformalkan. Berbeda dengan teori yang diformalkan, bahasa metatheory adalah bahasa sehari-hari biasa, dan penalaran logis dilakukan berdasarkan aturan logika intuitif biasa. Dengan demikian, intuisi, yang sepenuhnya dikeluarkan dari teori yang diformalkan, muncul kembali dalam metateorinya.
Namun ini bukanlah kelemahan utama metode aksiomatik. Kami telah menyebutkan program D. Hilbert, yang meletakkan dasar bagi metode aksiomatik yang diformalkan. Ide utama Hilbert adalah mengungkapkan matematika klasik sebagai teori aksiomatik yang diformalkan dan kemudian membuktikan konsistensinya. Namun program ini pada pokoknya ternyata bersifat utopis. Pada tahun 1931, ahli matematika Austria K. Gödel membuktikan teorema terkenalnya, yang kemudian menyatakan bahwa kedua masalah utama yang diajukan oleh Hilbert adalah mustahil. Dengan menggunakan metode pengkodeannya, ia berhasil mengungkapkan beberapa asumsi yang benar dari metatheory menggunakan rumus aritmatika formal dan membuktikan bahwa rumus tersebut tidak dapat dideduksi dalam aritmatika formal. Dengan demikian, aritmatika yang diformalkan ternyata tidak lengkap secara deduktif. Dari hasil Gödel dapat disimpulkan bahwa jika rumus yang tidak dapat dibuktikan ini termasuk dalam sejumlah aksioma, maka akan ada rumus lain yang tidak dapat dibuktikan yang menyatakan suatu proposisi yang benar. Semua ini berarti bahwa tidak hanya semua matematika, tetapi bahkan aritmatika - bagian paling sederhana - tidak dapat diformalkan sepenuhnya. Secara khusus, Gödel membuat rumus yang sesuai dengan kalimat “Aritmatika yang diformalkan konsisten” dan menunjukkan bahwa rumus ini juga tidak dapat diturunkan. Fakta ini berarti bahwa konsistensi aritmatika yang diformalkan tidak dapat dibuktikan dalam aritmatika itu sendiri. Tentu saja, dimungkinkan untuk membangun teori formal yang lebih kuat dan menggunakan sarana tersebut untuk membuktikan konsistensi aritmatika formal, namun kemudian muncul pertanyaan yang lebih sulit tentang konsistensi teori baru ini.
Hasil Gödel menunjukkan keterbatasan metode aksiomatik. Namun, sama sekali tidak ada dasar bagi kesimpulan pesimistis dalam teori pengetahuan bahwa ada kebenaran yang tidak dapat diketahui. Adanya kebenaran aritmatika yang tidak dapat dibuktikan dalam aritmatika formal bukan berarti ada kebenaran yang tidak dapat diketahui dan bukan berarti pemikiran manusia terbatas. Ini hanya berarti bahwa kemungkinan pemikiran kita tidak terbatas pada prosedur yang sepenuhnya diformalkan dan bahwa umat manusia belum menemukan dan menciptakan prinsip-prinsip pembuktian yang baru.

1.3.Penjumlahan bilangan asli

Operasi penjumlahan dan perkalian bilangan asli tidak didalilkan oleh sistem aksioma Peano; kami akan mendefinisikan operasi ini.
Definisi. Penjumlahan bilangan asli merupakan operasi aljabar biner + pada himpunan N yang mempunyai sifat sebagai berikut:
1 detik. ((Sebuah(N) Sebuah+0=Sebuah;
2c. ((a,b(N) a+b(=(a+b)(.
Timbul pertanyaan: apakah ada operasi seperti itu, dan jika ya, apakah ini satu-satunya?
Dalil. Hanya ada satu penjumlahan bilangan asli.
Bukti. Operasi aljabar biner pada himpunan N adalah pemetaan (:N(N®N. Diperlukan pembuktian bahwa terdapat pemetaan unik (:N(N®N) dengan sifat: 1) ((x(N) ( (x,0)=x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y)(). Jika untuk setiap bilangan asli x kita buktikan adanya pemetaan fx:N®N dengan properti 1() fx(0 )=x; 2() fx(y()=fx(y)(), maka fungsi ((x,y), didefinisikan oleh persamaan ((x ,y) (fx(y), akan memenuhi kondisi 1) dan 2 ).
Pada himpunan N, kita mendefinisikan relasi biner fx dengan ketentuan:
a) 0fxx;
b) jika yfxz, maka y(fxz(.
Mari kita pastikan bahwa relasi ini merupakan pemetaan dari N ke N, yaitu untuk setiap y dari N
(((z(N) yfxz (1)
Misalkan M menyatakan himpunan bilangan asli y yang kondisi (1) terpenuhi. Maka dari kondisi a) maka 0(M, dan dari kondisi b) dan sifat 1 ayat 1 maka jika y(M, maka y((M. Oleh karena itu, berdasarkan aksioma 4, kita simpulkan bahwa M = N , dan ini berarti relasi fx merupakan pemetaan dari N ke N. Untuk pemetaan ini kondisi berikut terpenuhi:
1() fx(0)=x - karena a);
2() fx((y)=fx(y() - berdasarkan b).
Dengan demikian, adanya penambahan terbukti.
Mari buktikan keunikannya. Misalkan + dan ( adalah dua operasi aljabar biner pada himpunan N dengan sifat 1c dan 2c. Kita perlu membuktikan bahwa
((x,y(N) x+y=x(y
Mari kita perbaiki bilangan sembarang x dan dilambangkan dengan S himpunan bilangan asli y yang persamaannya
x+y=x(y (2)
dilakukan. Karena menurut 1c x+0=x dan x(0=x, maka
SEBUAH) 0(S
Misalkan sekarang y(S, yaitu persamaan (2) terpenuhi. Karena x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y)(dan x+y=x(y), maka dengan aksioma 2 x+y(=x(y(), yaitu kondisi terpenuhi
B) kamu(S ® kamu((S.
Oleh karena itu, menurut aksioma 4, S=N, yang melengkapi pembuktian teorema.
Mari kita buktikan beberapa sifat penjumlahan.
1. Bilangan 0 merupakan unsur penjumlahan yang netral, yaitu a+0=0+a=a untuk setiap bilangan asli a.
Bukti. Persamaan a+0=a mengikuti kondisi 1c. Mari kita buktikan persamaan 0+a=a.
Mari kita nyatakan dengan M himpunan semua bilangan yang dimilikinya. Jelasnya, 0+0=0 dan oleh karena itu 0(M. Misalkan a(M, yaitu, 0+a=a. Maka 0+a(=(0+a)(=a(dan, oleh karena itu, a((M Artinya M=N yang perlu dibuktikan.
Selanjutnya kita membutuhkan lemma.
Kata pengantar singkat. a(+b=(a+b)(.
Bukti. Misalkan M adalah himpunan semua bilangan asli b yang persamaan a(+b=(a+b) benar untuk sembarang nilai a. Maka:
A) 0(M, karena a(+0=(a+0)(;
B) b(M ® b((M. Memang, dari fakta bahwa b(M dan 2c, kita punya
a(+b(=(a(+b))(=((a+b)()(=(a+b())(,
yaitu b((M. Artinya M=N yang perlu dibuktikan.
2. Penjumlahan bilangan asli bersifat komutatif.
Bukti. Misalkan M=(a(a(N(((b(N))a+b=b+a). Cukup dibuktikan bahwa M=N. Kita mempunyai:
A) 0(M - karena properti 1.
B) a(M ® a((M. Memang, dengan menerapkan lemma dan fakta bahwa a(M, kita memperoleh:
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.
Artinya a((M, dan berdasarkan aksioma 4 M=N.
3. Penjumlahan bersifat asosiatif.
Bukti. Membiarkan
M=(c(c(N(((a,b(N)(a+b)+c=a+(b+c))
Perlu dibuktikan bahwa M=N. Karena (a+b)+0=a+b dan a+(b+0)=a+b, maka 0(M. Misalkan c(M, yaitu (a+b)+c=a+(b+c ) . Kemudian
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c().
Ini berarti c((M dan berdasarkan aksioma 4 M=N.
4. a+1=a(, dimana 1=0(.
Bukti. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Jika b(0, maka ((a(N)a+b(a.
Bukti. Misalkan M=(a(a(N(a+b(a). Karena 0+b=b(0, maka 0(M. Selanjutnya, jika a(M, yaitu a+b(a), maka dengan properti 2 item 1 (a+b)((a(atau a(+b(a(. Jadi a((M dan M=N.
6. Jika b(0, maka ((a(N)a+b(0.
Bukti. Jika a=0, maka 0+b=b(0, tetapi jika a(0 dan a=c(, maka a+b=c(+b=(c+b)(0. Jadi, bagaimanapun juga a + b(0.
7. (Hukum trikotomi penjumlahan). Untuk bilangan asli a dan b, hanya satu dari tiga relasi yang benar:
1) sebuah=b;
2) b=a+u, dimana u(0;
3) a=b+v, di mana v(0.
Bukti. Mari kita perbaiki suatu bilangan sembarang a dan dilambangkan dengan M himpunan semua bilangan asli b yang paling sedikit memiliki salah satu relasi 1), 2), 3). Perlu dibuktikan bahwa M=N. Misalkan b=0. Kemudian jika a=0, maka relasi 1 benar), dan jika a(0, maka relasi 3 benar), karena a=0+a. Jadi 0(M.
Sekarang mari kita asumsikan bahwa b(M, yaitu, untuk a yang dipilih, salah satu relasi 1), 2), 3) terpenuhi. Jika a=b, maka b(=a(=a+1, yaitu untuk b(relasi 2 berlaku). Jika b=a+u, maka b(=a+u(, yaitu untuk b( relasi 2). Jika a=b+v, maka ada dua kasus yang mungkin terjadi: v=1 dan v(1. Jika v=1, maka a=b+v=b", yaitu, untuk b" relasi 1 adalah puas). Jika sama v(1, maka v=c", di mana c(0 dan kemudian a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, di mana c(0, itu adalah untuk b" relasi 3 terpenuhi). Jadi, kita telah membuktikan bahwa b(M®b"(M, dan oleh karena itu M=N, yaitu, untuk setiap a dan b setidaknya satu dari relasi 1), 2), 3 terpenuhi). Mari kita pastikan, bahwa tidak ada dua dari keduanya yang dapat dipenuhi secara bersamaan. Memang benar: jika relasi 1) dan 2) terpenuhi, maka relasi tersebut akan memiliki b=b+u, di mana u(0, dan ini bertentangan dengan properti 5. Ketidakmungkinan kepuasan dari 1) dan 3). Terakhir, jika relasi 2) dan 3) terpenuhi, maka kita akan mempunyai a=(a+u)+v = a+ +(u+v), dan ini adalah tidak mungkin karena sifat 5 dan 6. Sifat 7 terbukti sepenuhnya.
Tugas 1.3.1. Misalkan 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9). Buktikan bahwa 3+5=8, 2+4=6.

1.4. PERKALIAN ANGKA ALAM.

1.5. KETERATURAN SISTEM ANGKA ALAMI.

1.6. ORDERAN LENGKAP SISTEM ANGKA ALAM.

1.7. PRINSIP INDUKSI.

1.8. SUBTRAK DAN PEMBAGIAN ANGKA ALAM.

1.10. SISTEM ANGKA ALAM SEBAGAI himpunan TERTERA DISKRIT.

2. BILANGAN BULAT DAN ANGKA RASIONAL.

2.2. KEBERADAAN SISTEM ANGKA SELURUH.

2.3. KEUNIKAN SISTEM ANGKA SELURUH.

2.4. DEFINISI DAN SIFAT-SIFAT SISTEM ANGKA RASIONAL.

2.5. KEBERADAAN SISTEM ANGKA RASIONAL.

2.6. KEUNIKAN SISTEM ANGKA RASIONAL.

JAWABAN, PETUNJUK, SOLUSI.

LITERATUR

Sistem bilangan bulat

Mari kita ingat bahwa deret natural muncul untuk membuat daftar objek. Namun jika kita ingin melakukan beberapa tindakan dengan objek, maka kita memerlukan operasi aritmatika pada bilangan. Artinya, jika kita ingin menumpuk apel atau membagi kue, kita perlu menerjemahkan tindakan tersebut ke dalam bahasa angka.

Harap dicatat bahwa untuk memperkenalkan operasi + dan * ke dalam bahasa bilangan asli, perlu menambahkan aksioma yang menentukan sifat-sifat operasi ini. Namun himpunan bilangan asli itu sendiri juga demikian memperluas.

Mari kita lihat bagaimana himpunan bilangan asli mengembang. Operasi paling sederhana, yang merupakan salah satu operasi pertama yang diperlukan, adalah penjumlahan. Jika kita ingin mendefinisikan operasi penjumlahan, kita harus mendefinisikan kebalikannya - pengurangan. Padahal kalau kita tahu apa yang akan menjadi hasil penjumlahan, misalnya 5 dan 2, maka kita harus bisa menyelesaikan soal-soal seperti: apa yang harus dijumlahkan dengan 4 agar mendapat 11. Artinya, soal-soal yang berkaitan dengan penjumlahan pasti akan membutuhkan kemampuan untuk melakukan tindakan sebaliknya - pengurangan. Tetapi jika penjumlahan bilangan asli menghasilkan bilangan asli lagi, maka pengurangan bilangan asli memberikan hasil yang tidak sesuai dengan N. Diperlukan beberapa bilangan lain. Dengan analogi dengan pengurangan bilangan yang lebih kecil dari bilangan yang lebih besar, aturan pengurangan bilangan yang lebih besar dari bilangan yang lebih kecil diperkenalkan - ini adalah bagaimana bilangan bulat negatif muncul.

Dengan melengkapi deret natural dengan operasi + dan -, kita sampai pada himpunan bilangan bulat.

Z=N+operasi(+-)

Sistem bilangan rasional sebagai bahasa aritmatika

Sekarang mari kita pertimbangkan tindakan paling rumit berikutnya - perkalian. Intinya, ini adalah penjumlahan berulang. Dan hasil kali bilangan bulat tetaplah bilangan bulat.

Namun kebalikan dari perkalian adalah pembagian. Namun tidak selalu memberikan hasil terbaik. Dan lagi-lagi kita dihadapkan pada dilema - menerima begitu saja bahwa hasil pembagian mungkin “tidak ada”, atau menghasilkan bilangan-bilangan jenis baru. Beginilah munculnya bilangan rasional.

Mari kita ambil sistem bilangan bulat dan melengkapinya dengan aksioma yang mendefinisikan operasi perkalian dan pembagian. Kami memperoleh sistem bilangan rasional.

Q=Z+operasi(*/)

Jadi, bahasa bilangan rasional memungkinkan kita berproduksi semua operasi aritmatika atas angka-angka. Bahasa bilangan asli saja tidak cukup untuk ini.

Mari kita berikan definisi aksiomatik tentang sistem bilangan rasional.

Definisi. Himpunan Q disebut himpunan bilangan rasional, dan elemen-elemennya disebut bilangan rasional, jika himpunan kondisi berikut, yang disebut aksiomatik bilangan rasional, terpenuhi:

Aksioma operasi penjumlahan. Untuk setiap pasangan yang dipesan x, y elemen dari Q beberapa elemen didefinisikan x+yОQ, disebut jumlah X Dan pada. Dalam hal ini, kondisi berikut terpenuhi:

1. (Keberadaan nol) Ada unsur 0 (nol) sedemikian rupa sehingga untuk sembarang XÎQ

X+0=0+X=X.

2. Untuk elemen apa pun XО Q ada elemen - XО Q (sebaliknya X) seperti yang

X+ (-X) = (-X) + X = 0.

3. (Komutatifitas) Untuk apapun x, y tentang Q

4. (Asosiasi) Untuk sembarang x,y,zО Q

x + (kamu + z) = (x + kamu) + z

Aksioma operasi perkalian.

Untuk setiap pasangan yang dipesan x, kamu elemen dari Q beberapa elemen didefinisikan xyО Q, disebut produk X Dan kamu. Dalam hal ini, kondisi berikut terpenuhi:

5. (Keberadaan unsur satuan) Ada unsur 1 О Q sedemikian rupa sehingga untuk sembarang X tentang Q

X . 1 = 1. x = x

6. Untuk elemen apa pun X tentang Q , ( X≠ 0) ada unsur inversnya X-1 ≠0 sedemikian rupa sehingga

X. x -1 = x -1. x = 1

7. (Asosiasi) Untuk apapun x, kamu, z tentang Q

X . (y . z) = (x . kamu) . z

8. (Komutatifitas) Untuk apapun x, kamu tentang Q

Aksioma hubungan antara penjumlahan dan perkalian.

9. (Distributivitas) Untuk apapun x, kamu, z tentang Q

(x+y) . z = x . z+y . z

Aksioma keteraturan.

Dua elemen apa pun x, kamu,О Q masuk ke dalam relasi perbandingan ≤. Dalam hal ini, kondisi berikut terpenuhi:

10. (X≤pada)L ( pada≤X) ó x=kamu

11. (X≤kamu) L ( kamu≤ z) => X≤z

12. Untuk siapa pun x, kamu tentang Q atau x< у, либо у < x .

Sikap< называется строгим неравенством,

Relasi = disebut persamaan unsur-unsur dari Q.

Aksioma hubungan antara penjumlahan dan urutan.

13. Untuk sembarang x, y, z ОQ, (x £ y) Þ x+z £ y+z

Aksioma hubungan antara perkalian dan urutan.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)

Aksioma kontinuitas Archimedes.

15. Untuk sembarang a > b > 0, terdapat m О N dan n О Q sehingga m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Jadi, sistem bilangan rasional adalah bahasa aritmatika.

Namun, bahasa ini tidak cukup untuk memecahkan masalah komputasi praktis.