Integral berganda (soal dan latihan). Integral Berganda Koordinat pusat massa suatu bangun datar

Def . Membiarkan ,
,

.

Suatu himpunan disebut interval tertutup atau bar tertutup .

Himpunan tersebut disebut interval terbuka

atau sinar terbuka masuk .

Def . Ukuran interval Dan besarannya disebut:

(Lebih tepatnya
).

Def . Jika
seperti yang
lalu intervalnya disebut merosot dan
.

Sifat-sifat ukuran kesenjangan:

A). Positif:
, Dan
saat itu dan hanya kapan – merosot.

B). Homogenitas positif: .

V). Aditivitas:

* Untuk
seperti yang
;

* Untuk
Dan

.

G). Monotonisitas ukuran: .

Def . Diameter balok (celah) adalah nilai:

Perhatikan itu
Dan
– ini bukan hal yang sama. Misalnya jika – merosot, kalau begitu
,A
(secara umum).

Di mana: * ;

* ;*
.

Def . Keseluruhan
subspan dari interval disebut partisi interval , Jika: *;

*
; *
; *
; *
.

Besarnya
disebut parameter partisi P(di mana
).

Def . Pemisahan disebut penyempurnaan partisi , jika semua elemen partisi diperoleh dengan mempartisi elemen partisi .

Ditunjukkan oleh:
. Membaca: lebih kecil atau lebih besar .

Untuk rasio “lebih besar – lebih kecil” hal berikut ini benar:

*. transitivitas – ; *.
;

*.


; *.

|
.

§. Definisi integral berganda

Membiarkan
– kayu (celah) masuk ,
– mempartisi kesenjangan SAYA. Pada setiap interval partisi tandai intinya
.

Kita mendapatkan
partisi dengan titik-titik yang ditandai untuk
.

Besarnya
disebut jumlah integral Riemann untuk fungsi tersebut F (X) pada intervalnya SAYA dengan partisi dengan titik-titik yang ditandai
.

Def :
=
=
.

Menunjuk – banyak fungsi terintegrasi pada balok SAYA Mari menulis:

Def : ε > 0 δ>0<.

Jika untuk fungsinya F(X) pada SAYA dan partisi
- dilambangkan dengan
– nilai fungsi terbesar dan terkecil F(X) pada SAYA k lalu nilainya
=
Dan
=
disebut jumlah Darboux bawah dan atas.

§. Kriteria Darboux untuk keberadaan integral berganda.

T 0 . Untuk berfungsi
terintegrasi pada balok (itu.
) diperlukan dan cukup untuk itu

. Δ▲.

Integrasi suatu fungsi pada balok dalam ruang Euclidean didefinisikan. Bagaimana seseorang dapat mengintegrasikan suatu fungsi pada himpunan berbatas sembarang dari ruang Euclidean?

Mari kita definisikan integral dari fungsi tersebut F oleh banyak orang
.

Def : Membiarkan
Dan
– terbatas, yaitu
. Fungsi
kita sebut fungsi karakteristik himpunan M.

Kemudian:
≡
.

Definisi integral himpunan tidak bergantung pada balok mana yang dikandungnya M dipilih, yaitu

.

Artinya definisi integral pada suatu himpunan sudah benar.

Kondisi yang diperlukan untuk keterintegrasian. Untuk berfungsi F(X) pada M menjadi terintegrasi, hal ini diperlukan F(X) terbatas pada M. Δ▲.

§. Sifat-sifat integral berganda.

1  . Linearitas: Banyak R M fungsi-fungsi yang dapat diintegrasikan pada suatu himpunan M - linier

ruang, dan
– fungsional linier.

2  . Kondisi normalisasi:
. Bentuk masuk lainnya
pada dasarnya menentukan ukuran himpunan sembarang dari ruang Euclidean.

3  . Jika integral pada himpunan Lebesgue berukuran nol ada, maka integral tersebut

sama dengan nol.

Catatan: Sekelompok M disebut himpunan ukuran Lebesgue nol,

Jika

seperti yang
Dan
.

4  . A.;B.;

V. Jika
Dan – dipisahkan dari nol sebesar M, Itu

5  .
Dan F=G hal.v. (hampir di mana-mana) aktif M, Itu
.

6  . Aditivitas: Jika
Dan
Itu

,

Secara umum:
.

Δ. Berikut persamaannya: ▲

7  . Nada datar:
Dan
Itu
.

8  . Mengintegrasikan ketidaksetaraan: jika
itu

.

9  . Membiarkan


. Untuk
, perlu dan cukup agar ada titik interior himpunan M, di mana F (X) > 0 dan berkelanjutan.

10  . Integrasi modul fungsi yang dapat diintegrasikan:
.

11  . Teorema nilai rata-rata:
,
pada M melestarikan tanda dan
, Itu

.

Jika set M– koheren dan F(X) – terus menerus aktif
Itu
seperti yang
.

12  . Agar integral fungsi non-negatif sama dengan 0

perlu dan cukup untuk F(X) = 0 hampir di semua tempat M.

13  . teorema Fubini. Untuk integral ganda:

Biarkan daerah itu
- persegi panjang:. Kemudian, asalkan integral tunggal internal ada, untuk mencari integral ganda, Anda dapat melanjutkan ke integrasi berulang (lihat Gambar a):

, atau

E

Catatan: Batas eksternal integrasi harus konstan; batas internal integrasi mungkin bergantung pada variabel yang integrasinya belum dilakukan.

Rumus (*) dapat diperoleh dengan menggunakan fungsi himpunan karakteristik D.

Untuk integral berganda:

Biarkan dan beberapa himpunan bagian dari ruang Euclidean Dan . Mari kita definisikan hasil kali Kartesius dari himpunan-himpunan ini, yang merupakan bagian dari ruang Euclidean
:.

Kemudian teorema Fubini untuk
memiliki bentuk:
.

Teorema ini juga berlaku untuk balok X Dan Y, dan untuk konfigurasi yang lebih kompleks.

Contoh:

1 0 . Menghitung
, jika batas daerah
diberikan oleh persamaan:

A).
;

2

–

.

Resep: Saat menetapkan batas integrasi dalam integral ganda, disarankan untuk memulai dengan batas integrasi terluar.

3

Meneruskan ke integral berulang memberikan:
.

Sementara itu, dalam integral rangkap tiga, penempatan limitnya harus dimulai dengan limit internal integrasi. Kemudian proyeksikan area tersebut V ke pesawat xOy

menetapkan batas-batas di wilayah tersebut D– berbaring di pesawat xOy.

4 0 . Ubah urutan integrasi dalam integral iterasi:
.

Integral berganda

integral dari suatu fungsi yang ditentukan dalam suatu luas pada bidang, dalam tiga dimensi atau N ruang -dimensi. Di antara K. dan. membedakan integral ganda, integral rangkap tiga, dan sebagainya. N-beberapa integral.

Biarkan fungsinya F(x, kamu) diberikan di beberapa area D pesawat xOy. Mari kita bagi wilayahnya D pada N sebagian wilayah aku, yang luasnya sama ya, pilih di setiap area d saya titik ( saya, saya) (cm. beras. ) dan buatlah jumlah integralnya

Jika, dengan pengurangan tak terbatas pada diameter maksimum sebagian luas d saya jumlah S memiliki batas terlepas dari pilihan poin ( saya, saya), maka limit ini disebut integral ganda dari fungsi tersebut F(x, kamu) menurut wilayah D dan menunjukkan

Integral rangkap tiga didefinisikan dengan cara yang sama dan, secara umum, N-beberapa integral.

Untuk adanya integral ganda saja sudah cukup, misalnya daerah D adalah wilayah kuadrat tertutup (Lihat wilayah kuadrat), dan fungsinya F(x, kamu) terus menerus masuk D. K.dan. mempunyai sejumlah sifat yang mirip dengan sifat Integral sederhana . Untuk menghitung K. dan. biasanya membawanya ke integral yang diulang (Lihat Integral yang diulang). Dalam kasus khusus untuk informasi K. dan. Rumus Green dan rumus Ostrogradsky dapat berfungsi sebagai integral dimensi rendah. K.dan. memiliki penerapan yang luas: digunakan untuk menyatakan volume benda, massanya, momen statis, momen inersia, dll.

Ensiklopedia Besar Soviet. - M.: Ensiklopedia Soviet. 1969-1978 .

Lihat apa itu "Integral berganda" di kamus lain:

Integral suatu fungsi beberapa variabel. Hal ini ditentukan dengan menggunakan jumlah integral, mirip dengan integral tertentu dari fungsi satu variabel (lihat Kalkulus Integral). Tergantung pada jumlah variabelnya, ada double, triple, n... ... Kamus Ensiklopedis Besar

Integral pasti suatu fungsi beberapa variabel. Ada berbagai konsep K. dan. (Integral Riemann, Integral Lebesgue, Integral Lebesgue Stieltjes, dll.). Integral Riemann berganda diperkenalkan berdasarkan ukuran Jordan. Misalkan E adalah Jordan terukur... ... Ensiklopedia Matematika

Dalam analisis matematis, integral berganda atau multiple adalah himpunan integral yang diambil dari variabel. Contoh: Catatan: Integral kelipatan adalah integral tertentu, perhitungannya selalu menghasilkan bilangan. Isi 1... ...Wikipedia

Integral suatu fungsi beberapa variabel. Hal ini ditentukan dengan menggunakan jumlah integral, mirip dengan integral tertentu dari fungsi satu variabel (lihat Kalkulus Integral). Tergantung pada jumlah variabelnya, ada double, triple, n... ... kamus ensiklopedis

Integral suatu fungsi beberapa variabel. Ditentukan dengan menggunakan jumlah integral, didefinisikan dengan cara yang sama. integral dari fungsi satu variabel (lihat Kalkulus Integral). Tergantung pada jumlah variabelnya, ada double, triple, i... ... Ilmu pengetahuan Alam. kamus ensiklopedis

Catatan: di mana pun dalam artikel ini yang menggunakan tanda, yang dimaksud adalah integral Riemann (ganda), kecuali dinyatakan lain; Di mana pun dalam artikel ini di mana kita berbicara tentang keterukuran suatu himpunan, yang kami maksud adalah keterukuran Yordania, jika tidak... ... Wikipedia

Integral berganda berbentuk dimana, yaitu nilai rata-rata derajat 2k modulus jumlah trigonometri. Teorema Vinogradov tentang nilai integral ini, teorema nilai rata-rata, mendasari perkiraan jumlah Weyl. Sastra Vinogradova inte... Wikipedia

Integral pasti sebagai luas suatu bangun Istilah ini mempunyai arti lain, lihat Integral (arti). Integral suatu fungsi ... Wikipedia

Integral yang integrasi antar variabel berbeda dilakukan secara berurutan, yaitu integral berbentuk (1) Fungsi f(x, y) terdefinisi pada himpunan A yang terletak pada hasil kali langsung XX Y dari ruang X dan Y, di mana s diberikan ukuran terbatas mx dan my,… … Ensiklopedia Matematika

Integral yang diambil sepanjang kurva apa pun pada bidang atau ruang. Ada K. dan. Tipe 1 dan 2. K.dan. Tipe 1 muncul, misalnya, ketika mempertimbangkan masalah penghitungan massa pada kurva kepadatan variabel; itu ditunjuk... ... Ensiklopedia Besar Soviet

Perhatian: Saat menghitung integral tak wajar dengan titik tunggal di dalam interval integrasi, Anda tidak dapat menerapkan rumus Newton–Leibniz secara mekanis, karena hal ini dapat menyebabkan kesalahan.

Peraturan umum: Rumus Newton–Leibniz benar jika antiturunan dari f(x) pada titik tunggal yang terakhir adalah kontinu.

Contoh 2.11.

Mari kita perhatikan integral tak wajar dengan titik tunggal x = 0. Rumus Newton–Leibniz, yang diterapkan secara formal, memberikan

Namun, aturan umum tidak berlaku di sini; untuk f(x) = 1/x antiturunan ln |x| tidak terdefinisi pada x = 0 dan sangat besar pada titik ini, yaitu tidak berkelanjutan pada saat ini. Sangat mudah untuk memverifikasi dengan verifikasi langsung bahwa integralnya divergen. Benar-benar,

Ketidakpastian yang dihasilkan dapat diungkapkan dengan cara yang berbeda karena e dan d cenderung nol secara independen. Secara khusus, dengan menetapkan e = d, kita memperoleh nilai pokok integral tak wajar sama dengan 0. Jika e = 1/n, dan d =1/n 2, yaitu. d cenderung 0 lebih cepat dari e, maka kita dapatkan

kapan dan sebaliknya,

itu. integralnya divergen.n

Contoh 2.12.

Mari kita perhatikan integral tak wajar dengan titik tunggal x = 0. Antiturunan dari fungsi tersebut berbentuk dan kontinu di titik x = 0. Oleh karena itu, kita dapat menerapkan rumus Newton – Leibniz:

Generalisasi alami dari konsep integral Riemann pasti pada kasus fungsi beberapa variabel adalah konsep integral berganda. Untuk kasus dua variabel, integral seperti ini disebut dobel.

Pertimbangkan dalam ruang Euclidean dua dimensi R´R, yaitu. pada bidang dengan sistem koordinat kartesius, suatu himpunan E daerah akhir S.

Mari kita nyatakan dengan ( Saya = 1, …, k) mengatur partisi E, yaitu. sistem himpunan bagiannya seperti itu E saya, saya = 1,. . ., k, itu Ø untuk i ¹ j dan (Gbr. 2.5). Di sini kami menunjukkan subset E saya tanpa batasnya, mis. titik-titik internal dari himpunan bagian E i , yang bersama-sama dengan batasnya gr e saya membentuk subset tertutup E Saya, . Jelas bahwa daerah tersebut S(E i) himpunan bagian E saya bertepatan dengan luas bagian dalamnya, karena luas batasnya Yunani saya sama dengan nol.

Misalkan d(E i) menyatakan mengatur diameter E saya, yaitu. jarak maksimum antara dua titiknya. Besaran l(t) = d(E i) akan dipanggil kehalusan partisi T. Jika fungsi f(x),x = (x, y), didefinisikan pada E sebagai fungsi dari dua argumen, maka jumlah apa pun dalam bentuk

X saya О E saya , saya = 1, . . . , k, x saya = (xi , y saya),

bergantung pada fungsi f dan partisi t, dan pada pilihan titik x i О E i М t, disebut jumlah integral dari fungsi f .

Jika untuk suatu fungsi f terdapat nilai yang tidak bergantung pada partisi t atau pilihan titik (i = 1, ..., k), maka limit ini disebut integral Riemann ganda dari f(x,y) dan dilambangkan

Fungsi f sendiri dipanggil dalam kasus ini Integral Riemann.

Ingatlah hal itu dalam kasus suatu fungsi dengan satu argumen sebagai satu set E di mana integrasi dilakukan, segmen biasanya diambil , dan partisinya t dianggap sebagai partisi yang terdiri dari segmen. Dalam hal lain, seperti yang mudah dilihat, definisi integral Riemann ganda mengulangi definisi integral Riemann pasti untuk fungsi satu argumen.

Integral Riemann ganda dari fungsi terbatas dua variabel mempunyai sifat integral tertentu yang biasa untuk fungsi satu argumen – linearitas, aditif sehubungan dengan himpunan di mana integrasi dilakukan, kelestarian saat mengintegrasikan kesenjangan yang tidak ketat, keterintegrasian produk fungsi terintegrasi, dll.

Perhitungan beberapa integral Riemann direduksi menjadi perhitungan integral berulang. Mari kita perhatikan kasus integral Riemann ganda. Biarkan fungsinya f(x,y) didefinisikan pada himpunan E yang terletak pada hasil kali Kartesius dari himpunan X ´ Y, E М X ´ Y.

Dengan integral berulang dari fungsi f(x, y) disebut integral yang integrasinya dilakukan secara berurutan terhadap variabel-variabel yang berbeda, yaitu integral dari formulir

Himpunan E(y) = (x: О E) М X dipanggil persilangan himpunan E sesuai dengan y tertentu, y О E y ; himpunan E y disebut – proyeksi atur E pada sumbu Y.

Untuk integral iterasi, notasi berikut juga digunakan:

yang, seperti yang sebelumnya, berarti yang pertama, untuk yang tetap kamu, kamu О E kamu , fungsinya terintegrasi f(x, kamu) Oleh X sepanjang segmen E(kamu), yang merupakan bagian dari himpunan E sesuai dengan ini kamu. Akibatnya, integral dalam mendefinisikan beberapa fungsi dari satu variabel - kamu. Fungsi ini kemudian diintegrasikan sebagai fungsi dari satu variabel, yang ditunjukkan dengan simbol integral luar.

Saat mengubah orde integrasi, kita memperoleh bentuk integral berulang

di mana integrasi internal dilakukan kamu, dan eksternal - oleh X. Bagaimana hubungan integral berulang ini dengan integral berulang yang didefinisikan di atas?

Jika terdapat integral ganda dari fungsi tersebut F, yaitu.

maka kedua integral berulang itu ada, dan besarnya sama dan sama dengan dua kali lipat, yaitu.

Kami tekankan bahwa kondisi yang dirumuskan dalam pernyataan ini untuk kemungkinan perubahan orde integrasi pada integral iterasi hanyalah memadai, tapi tidak perlu.

Syarat lain yang cukup kemungkinan perubahan orde integrasi pada integral iterasi dirumuskan sebagai berikut:

jika paling sedikit salah satu integralnya ada

lalu fungsinya f(x, kamu) Riemann terintegrasi di lokasi syuting E, kedua integral berulangnya ada dan sama dengan integral rangkap. N

Mari kita tentukan notasi proyeksi dan bagian dalam notasi integral iterasi.

Jika himpunan E adalah persegi panjang

Itu E x = (x: a £ x £ b), E y = (y: c £ y £ d); di mana E(y) = E x untuk sembarang y, y О E y . , A E(x) = Ey untuk x apa pun , x О E x ..

Entri resmi: " y y О E yÞ E(y) = ExÙ" x x О E xÞ E(x) = Ey

Jika himpunan E mempunyai perbatasan melengkung dan memungkinkan representasi

Dalam hal ini, integral berulang ditulis sebagai berikut:

Contoh 2.13.

Hitung integral ganda pada luas persegi panjang, kurangi menjadi iteratif.

Karena kondisi sin 2 (x+ y) =| sin 2 (x + y)|, kemudian memeriksa terpenuhinya kondisi cukup keberadaan integral rangkap I berupa keberadaan integral berulang mana pun

tidak perlu melakukan ini secara khusus dan Anda dapat langsung melanjutkan menghitung integral berulang

Jika ada, maka integral rangkap juga ada, dan I = I 1 . Karena

Jadi saya = .n

Contoh 2.14.

Hitung integral ganda pada daerah segitiga (lihat Gambar 2.6), kurangi menjadi berulang

Gr(E) = ( : x = 0, y = 0, x + y = 2).

Pertama, mari kita verifikasi keberadaan integral ganda I. Untuk melakukan ini, cukup memverifikasi keberadaan integral berulang

itu. integralnya kontinu pada interval integrasi, karena semuanya merupakan fungsi pangkat. Oleh karena itu, integral I 1 ada. Dalam hal ini, integral ganda juga ada dan sama dengan integral berulang, yaitu.

Contoh 2.15.

Untuk lebih memahami hubungan antara konsep integral ganda dan integral berulang, perhatikan contoh berikut, yang mungkin dihilangkan pada pembacaan pertama. Fungsi dari dua variabel f(x, y) diberikan

Perhatikan bahwa untuk x tetap, fungsi ini ganjil di y, dan untuk y tetap, fungsi ini ganjil di x. Sebagai himpunan E yang terintegrasi dengan fungsi ini, kita ambil kuadrat E = ( : -1 £ x £ 1, -1 £ y £ 1 ).

Pertama kita pertimbangkan integral iterasi

Integral dalam

diambil untuk y tetap, -1 £ y £ 1. Karena integran untuk y tetap ganjil di x, dan integrasi variabel ini dilakukan pada segmen [-1, 1], simetris terhadap titik 0, maka integral dalam sama dengan 0. Jelasnya, integral luar pada variabel y dari fungsi nol juga sama dengan 0, yaitu.

Alasan serupa untuk integral iterasi kedua menghasilkan hasil yang sama:

Jadi, untuk fungsi f(x, y) yang ditinjau, integral berulang ada dan sama satu sama lain. Namun, tidak ada integral ganda dari fungsi f(x, y). Untuk memahaminya, mari kita beralih ke pengertian geometri menghitung integral berulang.

Untuk menghitung integral iterasi

tipe khusus partisi persegi E digunakan, serta perhitungan khusus jumlah integral. Yaitu, persegi E dibagi menjadi garis-garis horizontal (lihat Gambar 2.7), dan setiap garis dibagi menjadi persegi panjang kecil. Setiap strip berhubungan dengan nilai tertentu dari variabel y; misalnya, ini bisa berupa ordinat sumbu horizontal strip.

Perhitungan jumlah integral dilakukan sebagai berikut: pertama, jumlah dihitung untuk setiap pita secara terpisah, yaitu. pada y tetap untuk x yang berbeda, dan kemudian jumlah antara ini dijumlahkan untuk pita yang berbeda, yaitu untuk y yang berbeda. Jika kehalusan partisi cenderung nol, maka pada batasnya kita memperoleh integral berulang tersebut di atas.

Jelas bahwa untuk integral iterasi kedua

himpunan E dibagi menjadi garis-garis vertikal yang bersesuaian dengan x yang berbeda. Jumlah antara dihitung dalam setiap pita dalam persegi panjang kecil, mis. sepanjang y, dan kemudian dijumlahkan untuk band yang berbeda, mis. oleh x. Dalam batasnya, ketika kehalusan partisi cenderung nol, kita memperoleh integral iterasi yang sesuai.

Untuk membuktikan bahwa integral ganda tidak ada, cukup diberikan salah satu contoh partisi, perhitungan jumlah integralnya yang pada batas kehalusan partisi cenderung nol memberikan hasil yang berbeda dengan nilainya. dari integral berulang. Mari kita beri contoh partisi yang sesuai dengan sistem koordinat kutub (r, j) (lihat Gambar 2.8).

Dalam sistem koordinat kutub, posisi suatu titik pada bidang M 0 (x 0 , y 0), di mana x 0 , y 0 adalah koordinat Cartesian dari titik M 0, ditentukan oleh panjang jari-jari r 0 menghubungkannya dengan titik asal dan sudut j 0 yang dibentuk oleh jari-jari ini dengan arah sumbu x positif (sudut dihitung berlawanan arah jarum jam). Hubungan antara koordinat kartesius dan koordinat kutub terlihat jelas:

kamu 0 = r 0 × sinj 0 .

Partisi dibangun sebagai berikut. Pertama, persegi E dibagi menjadi sektor-sektor yang jari-jarinya berasal dari pusat koordinat, kemudian setiap sektor dibagi menjadi trapesium kecil dengan garis-garis yang tegak lurus sumbu sektor. Perhitungan jumlah integral dilakukan sebagai berikut: pertama sepanjang trapesium kecil di dalam setiap sektor sepanjang sumbunya (sepanjang r), dan kemudian pada semua sektor (sepanjang j). Posisi setiap sektor dicirikan oleh sudut sumbunya j, dan panjang sumbunya r(j) bergantung pada sudut ini:

jika atau , maka ;

jika kemudian ;

jika kemudian

jika kemudian .

Melewati limit jumlah integral partisi polar ketika kehalusan partisi cenderung nol, kita memperoleh representasi integral ganda dalam koordinat polar. Notasi seperti itu dapat diperoleh dengan cara formal murni dengan mengganti koordinat Cartesian (x, y) dengan koordinat polar (r, j).

Menurut aturan transisi integral dari koordinat Kartesius ke koordinat kutub, menurut definisi, kita harus menulis:

Pada koordinat kutub, fungsi f(x, y) ditulis sebagai berikut:

Akhirnya kita punya

Integral dalam (tidak wajar) pada rumus terakhir

dimana fungsi r(j) ditunjukkan di atas, 0 £ j £ 2p , sama dengan +¥ untuk sembarang j, karena

Oleh karena itu, integran dalam integral luar yang dievaluasi pada j tidak terdefinisi untuk j mana pun. Tetapi integral luar itu sendiri tidak terdefinisi, mis. integral rangkap aslinya tidak terdefinisi.

Perhatikan bahwa fungsi f(x, y) tidak memenuhi syarat cukup untuk keberadaan integral rangkap pada himpunan E. Mari kita tunjukkan bahwa integral tersebut

tidak ada. Benar-benar,

Demikian pula, hasil yang sama juga diperoleh untuk integral

Unduh dari Depositfiles

Kuliah 5-6

Topik2. Integral berganda.

Integral ganda.

Pertanyaan kontrol.

1. Integral rangkap, arti geometri dan fisisnya

2. Sifat-sifat integral ganda.

3. Perhitungan integral ganda dalam koordinat kartesius.

4. Perubahan variabel pada integral ganda. Perhitungan integral ganda dalam koordinat kutub.

Biarkan fungsinya z = F (X , kamu) didefinisikan dalam wilayah tertutup terbatas D pesawat. Mari kita bagi wilayahnya D menyala secara acak N area tertutup dasar  1 , … , N, memiliki luas   1 , …,   N dan diameter D 1 , …, D N masing-masing. Mari kita tunjukkan D diameter area terbesar  1 , … ,  N. Di setiap area  k pilih titik sembarang P k (X k ,y k) dan menulis jumlah integral fungsi F(x, y)

S =
(1)

Definisi. Integral ganda fungsi F(x, y) menurut wilayah D disebut limit jumlah integral

, (2)

jika itu ada.

Komentar. Jumlah kumulatif S tergantung pada bagaimana wilayah itu dibagi D dan memilih poin P k (k=1, …, N). Namun, batasannya
, jika ada, tidak bergantung pada bagaimana area tersebut dipartisi D dan memilih poin P k .

Syarat cukup bagi adanya integral ganda. Integral ganda (1) ada jika fungsinya F(x, y) terus menerus masuk D kecuali untuk sejumlah kurva mulus sepotong-sepotong yang terbatas dan dibatasi D. Berikut ini kita asumsikan bahwa semua integral ganda yang dibahas ada.

Arti geometris dari integral ganda.

Jika F(x, y) ≥0 di daerah D, maka integral ganda (1) sama dengan volume benda “silinder” yang ditunjukkan pada gambar:

V =
(3)

Badan silinder dibatasi di bawah oleh wilayah D, dari atas - bagian permukaan z = F (X , kamu), dari samping - sepanjang segmen lurus vertikal yang menghubungkan batas-batas permukaan dan wilayah tertentu D.

Arti fisis integral ganda. Massa pelat datar.

Biar dikasih piring datar D dengan fungsi kepadatan yang diketahui γ( X,pada), lalu pecahkan pelat D menjadi beberapa bagian D Saya dan memilih titik sewenang-wenang
, kita peroleh massa pelat
, atau, bandingkan dengan rumus (2):

(4)

4. Beberapa sifat integral ganda.

Linearitas. Jika DENGAN adalah konstanta numerik

Aditivitas. Jika daerah tersebut D “dipecah” menjadi beberapa area D 1 Dan D 2, lalu

3) Luas wilayah yang terbatas D sama dengan

(5)

Perhitungan integral ganda dalam koordinat kartesius.

Biarlah luasnya diberikan

Gambar 1

D= { (X , kamu ): a ≤ x ≤ b , φ 1 (X ) ≤ y≤ φ 2 (X ) } (6)

Wilayah D diapit dalam strip di antara garis-garis lurus X = A , kamu = B, masing-masing dibatasi dari bawah dan atas oleh kurva kamu = φ 1 (X ) Dan kamu = φ 2 (X ) .

Integral ganda (1) pada suatu wilayah D(4) dihitung dengan meneruskan ke integral iterasi:

(7)

Integral berulang ini dihitung sebagai berikut. Pertama, integral dalam dihitung

berdasarkan variabel kamu, di mana X dianggap konstan. Hasilnya akan menjadi fungsi dari variabel X, dan kemudian integral "luar" dari fungsi ini terhadap variabel dihitung X .

Komentar. Proses peralihan ke integral berulang menurut rumus (7) sering disebut penempatan batas integrasi pada integral ganda. Saat menetapkan batas integrasi, Anda perlu mengingat dua hal. Pertama, batas bawah integrasi tidak boleh melebihi batas atas, dan kedua, batas integral luar harus konstan, dan batas dalam harus, secara umum, bergantung pada variabel integrasi integral luar.

Biarkan sekarang daerah tersebut D seperti

D= { (X , kamu ) : c ≤ y ≤ d , ψ 1 (kamu ) ≤ x ≤ ψ 2 (kamu ) } . (8)

Kemudian

. (9)

Anggap saja luasnya D dapat direpresentasikan sebagai (6) dan (8) secara bersamaan. Kemudian kesetaraan berlaku

(10)

Transisi dari satu integral iterasi ke integral lain dalam persamaan (10) disebut mengubah urutan integrasi dalam integral ganda.

Contoh.

1) Ubah urutan integrasi dalam integral

Larutan. Dengan menggunakan bentuk integral iterasi, kita mencari wilayahnya

D= { (X , kamu ): 0 ≤ x ≤ 1, 2 x ≤ y≤ 2 } .

Mari kita gambarkan area tersebut D. Dari gambar terlihat bahwa daerah ini terletak pada garis mendatar di antara garis lurus kamu =0, kamu=2 dan antar baris X =0 Dan X=D

Terkadang, untuk menyederhanakan perhitungan, dilakukan perubahan variabel:

,
(11)

Jika fungsi (11) dapat terdiferensiasi secara kontinyu dan determinannya (Jacobian) bukan nol dalam domain yang dipertimbangkan:

(12)

Kementerian Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Federasi Rusia

Pekerjaan kursus

Disiplin: Matematika yang lebih tinggi

(Dasar-Dasar Pemrograman Linier)

Pada topik: INTEGRAL GANDA

Diselesaikan oleh: ______________

Guru:___________

Tanggal ___________________

Nilai _________________

Tanda tangan ________________

VORONEZH 2008

1 Integral berganda

1.1 Integral ganda

1.2 Integral rangkap tiga

1.3 Integral berganda pada koordinat lengkung

1.4 Penerapan geometri dan fisika integral berganda

2 Integral lengkung dan permukaan

2.1 Integral lengkung

2.2 Integral permukaan

2.3 Aplikasi geometris dan fisik

Bibliografi

1 Integral berganda

1.1 Integral ganda

Mari kita perhatikan suatu daerah tertutup D pada bidang Oxy, dibatasi oleh garis L. Mari kita bagi daerah ini menjadi n bagian dengan beberapa garis

Misalkan suatu fungsi z = f(x, y) diberikan di domain D. Mari kita nyatakan dengan f(P 1), f(P 2),…, f(P n) nilai fungsi ini pada titik-titik yang dipilih dan buatlah jumlah produk dalam bentuk f(P i)ΔS i:

disebut jumlah integral untuk fungsi f(x, y) di domain D.

Jika terdapat limit jumlah integral (1) yang sama untuk

Perhitungan integral ganda pada daerah D yang dibatasi garis

1.2 Integral rangkap tiga

Konsep integral rangkap tiga diperkenalkan dengan analogi integral ganda.

Misalkan suatu daerah V diberikan dalam ruang, dibatasi oleh permukaan tertutup S. Mari kita definisikan suatu fungsi kontinu f(x, y, z) pada daerah tertutup tersebut. Kemudian kita membagi daerah V menjadi beberapa bagian Δv i, dengan menganggap volume setiap bagian sama dengan Δv i, dan menyusun jumlah integral dari bentuk

Batasi pada

Integral rangkap tiga dari fungsi f(x,y,z) pada daerah V sama dengan integral rangkap tiga pada daerah yang sama:

1.3 Integral berganda pada koordinat lengkung

Mari kita perkenalkan koordinat lengkung pada bidang yang disebut koordinat kutub. Mari kita pilih titik O (kutub) dan sinar yang memancar darinya (sumbu kutub).

Beras. 2 Gambar. 3

Koordinat titik M (Gbr. 2) adalah panjang segmen MO - jari-jari kutub ρ dan sudut φ antara MO dan sumbu kutub: M(ρ,φ). Perhatikan bahwa untuk semua titik pada bidang, kecuali kutub, ρ > 0, dan sudut kutub φ akan dianggap positif jika diukur berlawanan arah jarum jam dan negatif jika diukur dalam arah berlawanan.

Hubungan antara koordinat kutub dan koordinat kartesius titik M dapat diatur dengan menyelaraskan titik asal sistem koordinat kartesius dengan kutub, dan sumbu semi positif Ox dengan sumbu kutub (Gbr. 3). Maka x=ρcosφ, y=ρsinφ. Dari sini

Mari kita definisikan di daerah D yang dibatasi oleh kurva ρ=Φ 1 (φ) dan ρ=Φ 2 (φ), dimana φ 1< φ < φ 2 , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).

Dalam ruang tiga dimensi, koordinat silinder dan bola diperkenalkan.

Koordinat silinder dari titik P(ρ,φ,z) adalah koordinat kutub ρ, φ dari proyeksi titik ini ke bidang Oxy dan penerapan titik z ini (Gbr. 5).

Gambar.5 Gambar.6

Rumus peralihan dari koordinat silinder ke kartesius dapat ditentukan sebagai berikut:

x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z. (8)

Dalam koordinat bola, posisi suatu titik dalam ruang ditentukan oleh koordinat linier r - jarak dari titik ke titik asal sistem koordinat Cartesian (atau kutub sistem bola), φ - sudut kutub antara positif semi-sumbu Ox dan proyeksi titik pada bidang Ox, dan θ - sudut antara sumbu semi-positif sumbu Oz dan segmen OP (Gbr. 6). Di mana

Mari kita tentukan rumus transisi dari koordinat bola ke koordinat Cartesian:

x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ. (9)

Maka rumus transisi ke koordinat silinder atau bola pada integral rangkap tiga akan terlihat seperti ini:

dimana F 1 dan F 2 adalah fungsi yang diperoleh dengan mensubstitusi ekspresi mereka melalui koordinat silinder (8) atau bola (9) ke dalam fungsi f, bukan x, y, z.

1.4 Penerapan geometri dan fisika integral berganda

1) Luas daerah datar S :

Contoh 1.

Temukan luas gambar D yang dibatasi oleh garis

Lebih mudah untuk menghitung luas ini dengan menghitung y sebagai variabel eksternal. Kemudian batas-batas wilayah diberikan oleh persamaan