Cara menghitung rumus perkembangan aritmatika. Perkembangan aritmatika: apa itu? Perbedaan perkembangan: definisi

Atau aritmatika adalah jenis barisan numerik terurut, yang sifat-sifatnya dipelajari dalam mata pelajaran aljabar sekolah. Artikel ini membahas secara rinci pertanyaan bagaimana mencari jumlah suatu barisan aritmatika.

Kemajuan macam apa ini?

Sebelum melanjutkan ke pertanyaan (bagaimana mencari jumlah suatu barisan aritmatika), ada baiknya memahami apa yang sedang kita bicarakan.

Setiap barisan bilangan real yang diperoleh dengan menjumlahkan (mengurangi) suatu nilai dari setiap bilangan sebelumnya disebut barisan aljabar (aritmatika). Definisi ini jika diterjemahkan ke dalam bahasa matematika berbentuk:

Disini i adalah nomor urut elemen baris a i. Jadi, dengan mengetahui hanya satu nomor awal, Anda dapat dengan mudah memulihkan seluruh rangkaian. Parameter d dalam rumus disebut selisih perkembangan.

Dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa untuk rangkaian bilangan yang dipertimbangkan, persamaan berikut berlaku:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Artinya, untuk mencari nilai elemen ke-n secara berurutan, selisih d harus dijumlahkan dengan elemen pertama a sebanyak 1 n-1 kali.

Berapa jumlah barisan aritmatika: rumus

Sebelum memberikan rumus untuk jumlah yang ditunjukkan, ada baiknya mempertimbangkan kasus khusus sederhana. Mengingat perkembangan bilangan asli dari 1 hingga 10, Anda perlu mencari jumlahnya. Karena hanya ada sedikit suku dalam barisan (10), maka masalah dapat diselesaikan secara langsung, yaitu dengan menjumlahkan semua elemen secara berurutan.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Satu hal yang menarik perlu dipertimbangkan: karena setiap suku berbeda dari suku berikutnya dengan nilai yang sama d = 1, maka penjumlahan berpasangan suku pertama dengan suku kesepuluh, suku kedua dengan suku kesembilan, dan seterusnya akan memberikan hasil yang sama. Benar-benar:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Seperti yang Anda lihat, hanya ada 5 dari jumlah ini, yaitu tepat dua kali lebih kecil dari jumlah elemen deret tersebut. Kemudian mengalikan banyaknya penjumlahan (5) dengan hasil setiap penjumlahan (11), Anda akan mendapatkan hasil yang diperoleh pada contoh pertama.

Jika kita menggeneralisasi argumen-argumen ini, kita dapat menulis ekspresi berikut:

S n = n * (a 1 + an) / 2.

Ungkapan ini menunjukkan bahwa tidak perlu menjumlahkan semua elemen dalam satu baris, cukup mengetahui nilai a 1 pertama dan an terakhir, serta jumlah suku n.

Dipercaya bahwa Gauss pertama kali memikirkan persamaan ini ketika dia mencari solusi untuk masalah yang diberikan oleh guru sekolahnya: jumlahkan 100 bilangan bulat pertama.

Jumlah elemen dari m ke n: rumus

Rumus yang diberikan pada paragraf sebelumnya menjawab pertanyaan bagaimana mencari jumlah suatu barisan aritmatika (elemen pertama), namun seringkali dalam soal perlu menjumlahkan serangkaian angka di tengah barisan tersebut. Bagaimana cara melakukannya?

Cara termudah untuk menjawab pertanyaan ini adalah dengan memperhatikan contoh berikut: misalkan kita perlu mencari jumlah suku dari ke-m sampai ke-n. Untuk menyelesaikan soal tersebut, Anda harus menyajikan segmen tertentu dari m ke n perkembangannya dalam bentuk deret bilangan baru. Dalam representasi ini, suku ke-m a m akan menjadi suku pertama, dan a n akan diberi nomor n-(m-1). Dalam hal ini, dengan menerapkan rumus standar untuk penjumlahan, diperoleh ekspresi berikut:

S m n = (n - m + 1) * (am + an) / 2.

Contoh penggunaan rumus

Mengetahui cara mencari jumlah suatu barisan aritmatika, ada baiknya mempertimbangkan contoh sederhana penggunaan rumus di atas.

Di bawah ini adalah barisan numerik, Anda harus mencari jumlah suku-sukunya, dimulai dari tanggal 5 dan diakhiri dengan tanggal 12:

Angka-angka yang diberikan menunjukkan bahwa selisih d sama dengan 3. Dengan menggunakan ekspresi elemen ke-n, Anda dapat mencari nilai suku ke-5 dan ke-12 dari perkembangan tersebut. Ternyata:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Mengetahui nilai-nilai bilangan pada ujung-ujung barisan aljabar yang ditinjau, serta mengetahui bilangan-bilangan dalam deret yang ditempatinya, Anda dapat menggunakan rumus jumlah yang diperoleh pada paragraf sebelumnya. Ternyata:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Perlu diperhatikan bahwa nilai ini dapat diperoleh dengan cara yang berbeda: pertama carilah jumlah 12 elemen pertama menggunakan rumus standar, lalu hitung jumlah 4 elemen pertama menggunakan rumus yang sama, lalu kurangi jumlah kedua dari jumlah pertama.

Jadi, mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Misalnya:
Anda dapat menulis angka apa saja, dan jumlahnya bisa sebanyak yang Anda suka (dalam kasus kami, ada angka tersebut). Berapapun banyaknya angka yang kita tulis, kita selalu bisa mengatakan mana yang pertama, mana yang kedua, dan seterusnya sampai yang terakhir, yaitu kita bisa memberi nomor pada mereka. Ini adalah contoh barisan bilangan:

Urutan nomor
Misalnya, untuk urutan kami:

Nomor yang ditetapkan khusus hanya untuk satu nomor dalam urutan. Dengan kata lain, tidak ada tiga angka kedua dalam barisan tersebut. Angka kedua (seperti angka ke-th) selalu sama.
Bilangan yang mempunyai bilangan disebut suku ke-th barisan tersebut.

Kita biasanya menyebut seluruh barisan dengan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota barisan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nomor anggota ini: .

Dalam kasus kami:

Katakanlah kita mempunyai barisan bilangan yang selisih antara bilangan-bilangan yang berdekatan adalah sama dan sama.
Misalnya:

dll.
Barisan bilangan ini disebut barisan aritmatika.
Istilah "perkembangan" diperkenalkan oleh penulis Romawi Boethius pada abad ke-6 dan dipahami dalam arti yang lebih luas sebagai barisan numerik yang tak terhingga. Nama "aritmatika" berasal dari teori proporsi kontinu yang dipelajari oleh orang Yunani kuno.

Ini adalah barisan bilangan yang masing-masing sukunya sama dengan suku sebelumnya ditambah dengan bilangan yang sama. Bilangan ini disebut selisih suatu barisan aritmatika dan dilambangkan.

Coba tentukan barisan bilangan mana yang merupakan barisan aritmatika dan mana yang bukan:

A)
B)
C)
D)

Mengerti? Mari kita bandingkan jawaban kita:
Adalah perkembangan aritmatika - b, c.
Tidak perkembangan aritmatika - a, d.

Mari kita kembali ke barisan berikut () dan mencoba mencari nilai suku ke-nya. Ada dua cara untuk menemukannya.

1. Metode

Kita dapat menambahkan bilangan perkembangan ke nilai sebelumnya hingga kita mencapai suku ke-progresi. Ada baiknya kita tidak perlu meringkas banyak hal - hanya tiga nilai:

Jadi, suku ke-th dari barisan aritmatika yang dijelaskan adalah sama dengan.

2. Metode

Bagaimana jika kita perlu mencari nilai suku ke-1 dari perkembangan tersebut? Penjumlahannya akan memakan waktu lebih dari satu jam, dan bukan fakta bahwa kami tidak akan membuat kesalahan saat menjumlahkan angka.
Tentu saja, ahli matematika telah menemukan cara yang tidak perlu menjumlahkan selisih suatu barisan aritmatika ke nilai sebelumnya. Perhatikan lebih dekat gambar yang digambar... Pasti Anda sudah memperhatikan pola tertentu, yaitu:

Sebagai contoh, mari kita lihat terdiri dari apa nilai suku ke-th dari barisan aritmatika ini:

Dengan kata lain:

Cobalah untuk menemukan sendiri nilai suatu suku dari perkembangan aritmatika tertentu dengan cara ini.

Apakah Anda menghitung? Bandingkan catatan Anda dengan jawabannya:

Harap dicatat bahwa Anda mendapatkan angka yang persis sama seperti pada metode sebelumnya, ketika kami menambahkan suku-suku perkembangan aritmatika secara berurutan ke nilai sebelumnya.
Mari kita coba untuk “mendepersonalisasikan” rumus ini - mari kita letakkan dalam bentuk umum dan dapatkan:

Persamaan perkembangan aritmatika.

Perkembangan aritmatika dapat meningkat atau menurun.

Meningkat- perkembangan di mana setiap nilai suku berikutnya lebih besar dari suku sebelumnya.
Misalnya:

Menurun- perkembangan di mana setiap nilai suku berikutnya lebih kecil dari suku sebelumnya.
Misalnya:

Rumus turunan digunakan dalam menghitung suku-suku dalam suku naik dan turun dari suatu barisan aritmatika.
Mari kita periksa ini dalam praktiknya.
Kita diberikan barisan aritmatika yang terdiri dari angka-angka berikut: Mari kita periksa berapa bilangan ke-th dari barisan aritmatika tersebut jika kita menggunakan rumus kita untuk menghitungnya:

Dari dulu:

Jadi, kami yakin bahwa rumus tersebut berfungsi baik dalam perkembangan aritmatika menurun maupun meningkat.
Cobalah mencari sendiri suku ke-th dan ke-th dari perkembangan aritmatika ini.

Mari kita bandingkan hasilnya:

Properti perkembangan aritmatika

Mari kita memperumit masalahnya - kita akan memperoleh sifat perkembangan aritmatika.
Katakanlah kita diberikan kondisi berikut:
- perkembangan aritmatika, temukan nilainya.
Gampang, ucapkan dan mulailah menghitung sesuai rumus yang sudah Anda ketahui:

Biarkan, ah, kalau begitu:

Benar-benar tepat. Ternyata kita cari dulu, lalu dijumlahkan dengan angka pertama dan mendapatkan apa yang kita cari. Jika perkembangannya diwakili oleh nilai-nilai kecil, maka tidak ada yang ribet, tapi bagaimana jika kita diberi angka pada kondisi tersebut? Setuju, ada kemungkinan terjadi kesalahan dalam perhitungan.
Sekarang pikirkan apakah mungkin menyelesaikan masalah ini dalam satu langkah menggunakan rumus apa pun? Tentu saja ya, dan itulah yang akan kami coba tampilkan sekarang.

Mari kita nyatakan suku yang diperlukan dari barisan aritmatika sebagai, rumus untuk mencarinya kita ketahui - ini adalah rumus yang sama yang kita turunkan di awal:
, Kemudian:

suku perkembangan sebelumnya adalah:
suku perkembangan berikutnya adalah:

Mari kita rangkum suku-suku perkembangan sebelumnya dan selanjutnya:

Ternyata jumlah suku-suku perkembangan sebelumnya dan suku-suku selanjutnya adalah dua kali lipat nilai suku-suku perkembangan yang terletak di antara keduanya. Dengan kata lain, untuk mencari nilai suku perkembangan dengan nilai sebelumnya dan nilai berurutan yang diketahui, Anda perlu menjumlahkannya dan membaginya.

Benar, kami mendapat nomor yang sama. Mari amankan materinya. Hitung sendiri nilai kemajuannya, sama sekali tidak sulit.

Bagus sekali! Anda tahu hampir segalanya tentang kemajuan! Tinggal menemukan satu rumus saja, yang menurut legenda, dengan mudah disimpulkan oleh salah satu ahli matematika terhebat sepanjang masa, "raja ahli matematika" - Karl Gauss...

Ketika Carl Gauss berusia 9 tahun, seorang guru, yang sibuk memeriksa pekerjaan siswa di kelas lain, menugaskan tugas berikut di kelas: “Hitung jumlah semua bilangan asli dari ke (menurut sumber lain hingga) inklusif.” Bayangkan betapa terkejutnya sang guru ketika salah satu muridnya (ini adalah Karl Gauss) semenit kemudian memberikan jawaban yang benar untuk tugas tersebut, sementara sebagian besar teman sekelas pemberani, setelah perhitungan yang panjang, menerima hasil yang salah...

Carl Gauss muda memperhatikan pola tertentu yang juga dapat Anda perhatikan dengan mudah.
Misalkan kita mempunyai barisan aritmatika yang terdiri dari suku -th: Kita perlu mencari jumlah suku-suku barisan aritmatika tersebut. Tentu saja, kita dapat menjumlahkan semua nilai secara manual, tetapi bagaimana jika tugas tersebut memerlukan pencarian jumlah suku-sukunya, seperti yang dicari Gauss?

Mari kita gambarkan kemajuan yang diberikan kepada kita. Perhatikan lebih dekat angka-angka yang disorot dan coba lakukan berbagai operasi matematika dengannya.

Sudahkah Anda mencobanya? Apa yang kamu perhatikan? Benar! Jumlah mereka sama

Sekarang beritahu saya, berapa total pasangan tersebut dalam perkembangan yang diberikan kepada kita? Tentu saja, tepat setengah dari seluruh angka.
Berdasarkan fakta bahwa jumlah dua suku suatu barisan aritmatika adalah sama, dan pasangan-pasangan sebangun adalah sama, kita peroleh bahwa jumlah totalnya sama dengan:
.
Jadi, rumus jumlah suku pertama suatu barisan aritmatika adalah:

Dalam beberapa soal kita tidak mengetahui suku ke-nya, tetapi kita mengetahui perbedaan perkembangannya. Coba substitusikan rumus suku ke dalam rumus penjumlahan.
Apa yang kamu dapatkan?

Bagus sekali! Sekarang mari kita kembali ke soal yang ditanyakan kepada Carl Gauss: hitung sendiri berapa jumlah bilangan yang dimulai dari th dan jumlah bilangan yang dimulai dari th.

Berapa banyak yang kamu dapat?
Gauss menemukan bahwa jumlah suku-sukunya sama, dan jumlah suku-sukunya sama. Itukah yang kamu putuskan?

Faktanya, rumus jumlah suku-suku suatu barisan aritmatika telah dibuktikan oleh ilmuwan Yunani kuno Diophantus pada abad ke-3, dan selama ini, orang-orang cerdas memanfaatkan sepenuhnya sifat-sifat barisan aritmatika.
Misalnya, bayangkan Mesir Kuno dan proyek konstruksi terbesar pada masa itu - pembangunan piramida... Gambar menunjukkan salah satu sisinya.

Di mana kemajuannya, kata Anda? Perhatikan baik-baik dan temukan pola jumlah balok pasir di setiap baris dinding limas.

Mengapa bukan perkembangan aritmatika? Hitung berapa banyak balok yang dibutuhkan untuk membangun satu dinding jika balok bata ditempatkan di alasnya. Saya harap Anda tidak menghitung sambil menggerakkan jari Anda melintasi monitor, Anda ingat rumus terakhir dan semua yang kami katakan tentang perkembangan aritmatika?

Dalam hal ini, perkembangannya terlihat seperti ini: .
Perbedaan perkembangan aritmatika.
Banyaknya suku suatu barisan aritmatika.
Mari kita substitusikan data kita ke dalam rumus terakhir (hitung jumlah blok dengan 2 cara).

Metode 1.

Metode 2.

Dan sekarang Anda dapat menghitung di monitor: bandingkan nilai yang diperoleh dengan jumlah blok yang ada di piramida kita. Mengerti? Bagus sekali, Anda telah menguasai penjumlahan suku ke-n suatu barisan aritmatika.
Tentu saja, Anda tidak dapat membangun piramida dari balok-balok di dasarnya, tetapi dari? Coba hitung berapa jumlah batu bata pasir yang dibutuhkan untuk membangun tembok dengan kondisi seperti ini.
Apakah Anda berhasil?
Jawaban yang benar adalah blok:

Pelatihan

Tugas:

Masha semakin bugar untuk musim panas. Setiap hari dia menambah jumlah squatnya. Berapa kali Masha melakukan squat dalam seminggu jika dia melakukan squat pada sesi latihan pertama?
Berapa jumlah semua bilangan ganjil yang terdapat pada.
Saat menyimpan log, logger menumpuknya sedemikian rupa sehingga setiap lapisan atas berisi satu log lebih sedikit dari yang sebelumnya. Berapa banyak kayu gelondongan dalam satu pasangan bata, jika fondasi pasangan bata tersebut adalah kayu gelondongan?

Jawaban:

Mari kita tentukan parameter barisan aritmatika. Pada kasus ini
(minggu = hari).
Menjawab: Dalam dua minggu, Masha harus melakukan squat sekali sehari.
Angka ganjil pertama, angka terakhir.
Perbedaan perkembangan aritmatika.
Banyaknya bilangan ganjil adalah setengahnya, namun mari kita periksa fakta ini menggunakan rumus mencari suku ke-th suatu barisan aritmatika:
Angka memang mengandung angka ganjil.
Mari kita substitusikan data yang tersedia ke dalam rumus:
Menjawab: Jumlah semua bilangan ganjil yang terdapat di dalamnya adalah sama.
Mari kita ingat masalah tentang piramida. Untuk kasus kita, a , karena setiap lapisan atas dikurangi satu log, maka totalnya ada banyak lapisan, yaitu.
Mari kita substitusikan data tersebut ke dalam rumus:
Menjawab: Ada kayu gelondongan di pasangan bata.

Mari kita simpulkan

- barisan bilangan yang selisih antara bilangan-bilangan yang berdekatan adalah sama dan sama. Bisa saja bertambah atau berkurang.
Menemukan rumus Suku ke-th suatu barisan aritmatika ditulis dengan rumus - , dimana adalah banyaknya bilangan pada barisan tersebut.
Properti anggota perkembangan aritmatika- - dimana banyaknya angka yang berurutan.
Jumlah suku-suku suatu barisan aritmatika dapat ditemukan dengan dua cara:

, di mana jumlah nilainya.

PROGRESI ARITMATIK. LEVEL RATA-RATA

Urutan nomor

Mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Misalnya:

Anda dapat menulis angka apa saja, dan jumlahnya bisa sebanyak yang Anda suka. Tapi kita selalu bisa mengatakan mana yang pertama, mana yang kedua, dan seterusnya, kita bisa memberi nomor pada mereka. Ini adalah contoh barisan bilangan.

Urutan nomor adalah sekumpulan angka, yang masing-masing dapat diberi nomor unik.

Dengan kata lain, setiap bilangan dapat diasosiasikan dengan bilangan asli tertentu, dan bilangan unik. Dan kami tidak akan menetapkan nomor ini ke nomor lain dari kumpulan ini.

Bilangan yang mempunyai bilangan disebut anggota barisan ke-th.

Kita biasanya menyebut seluruh barisan dengan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota barisan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nomor anggota ini: .

Sangat mudah jika suku ke-th suatu barisan dapat ditentukan dengan suatu rumus. Misalnya saja rumusnya

mengatur urutannya:

Dan rumusnya adalah urutan berikut:

Misalnya, barisan aritmatika adalah suatu barisan (suku pertama di sini sama, dan selisihnya adalah). Atau (, perbedaan).

rumus suku ke-n

Kami menyebut rumus berulang di mana, untuk mengetahui suku ke-th, Anda perlu mengetahui suku sebelumnya atau beberapa suku sebelumnya:

Misalnya, untuk mencari suku ke-th suatu barisan dengan menggunakan rumus ini, kita harus menghitung sembilan suku sebelumnya. Misalnya, biarkan saja. Kemudian:

Nah, sekarang sudah jelas apa rumusnya?

Di setiap baris yang kita tambahkan, dikalikan dengan beberapa angka. Yang mana? Sederhana sekali: ini jumlah anggota saat ini dikurangi:

Jauh lebih nyaman sekarang, bukan? Kami memeriksa:

Putuskan sendiri:

Dalam barisan aritmatika, carilah rumus suku ke-n dan carilah suku keseratus.

Larutan:

Suku pertama sama. Apa bedanya? Inilah yang:

(Inilah mengapa disebut selisih karena sama dengan selisih suku-suku perkembangan yang berurutan).

Jadi rumusnya:

Maka suku keseratus sama dengan:

Berapa jumlah semua bilangan asli dari ke?

Menurut legenda, ahli matematika hebat Carl Gauss, saat masih berusia 9 tahun, menghitung jumlah ini dalam beberapa menit. Ia memperhatikan bahwa jumlah bilangan pertama dan terakhir adalah sama, jumlah bilangan kedua dan kedua dari belakang sama, jumlah bilangan ketiga dan ketiga dari akhir adalah sama, dan seterusnya. Berapa banyak total pasangan seperti itu? Itu benar, tepatnya setengah dari jumlah semua angka. Jadi,

Rumus umum jumlah suku pertama suatu barisan aritmatika adalah:

Contoh:
Temukan jumlah semua kelipatan dua digit.

Larutan:

Nomor pertama adalah ini. Setiap bilangan berikutnya diperoleh dengan menjumlahkan bilangan sebelumnya. Jadi, bilangan-bilangan yang kita minati membentuk barisan aritmatika dengan suku pertama dan selisihnya.

Rumus suku ke-1 perkembangan ini:

Berapa banyak suku dalam deret tersebut jika semuanya harus terdiri dari dua digit?

Sangat mudah: .

Suku terakhir perkembangannya akan sama. Maka jumlahnya:

Menjawab: .

Sekarang putuskan sendiri:

Setiap hari atlet berlari lebih banyak meter dibandingkan hari sebelumnya. Berapa kilometer total yang akan dia tempuh dalam seminggu jika dia berlari km m pada hari pertama?
Seorang pengendara sepeda menempuh jarak lebih jauh setiap hari dibandingkan hari sebelumnya. Pada hari pertama dia menempuh perjalanan km. Berapa hari yang harus dia tempuh untuk menempuh jarak satu kilometer? Berapa kilometer yang akan dia tempuh pada hari terakhir perjalanannya?
Harga lemari es di toko turun dengan jumlah yang sama setiap tahun. Tentukan berapa penurunan harga sebuah lemari es setiap tahunnya jika, dijual dengan harga rubel, enam tahun kemudian lemari es tersebut dijual dengan harga rubel.

Jawaban:

Hal terpenting di sini adalah mengenali barisan aritmatika dan menentukan parameternya. Dalam hal ini, (minggu = hari). Anda perlu menentukan jumlah suku pertama dari perkembangan ini:
.
Menjawab:
Di sini diberikan: , harus ditemukan.
Tentunya, Anda perlu menggunakan rumus penjumlahan yang sama seperti pada soal sebelumnya:
.
Gantikan nilainya:
Akarnya jelas tidak cocok, jadi jawabannya.
Mari kita hitung jarak yang ditempuh selama sehari terakhir menggunakan rumus suku ke-th:
(km).
Menjawab:
Diberikan: . Menemukan: .
Ini sangat sederhana:
(menggosok).
Menjawab:

PROGRESI ARITMATIK. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

Ini adalah barisan bilangan yang selisih antara bilangan-bilangan yang berdekatan adalah sama dan sama.

Perkembangan aritmatika dapat meningkat () dan menurun ().

Misalnya:

Rumus mencari suku ke-n suatu barisan aritmatika

ditulis dengan rumus dimana adalah banyaknya bilangan yang berurutan.

Properti anggota perkembangan aritmatika

Hal ini memungkinkan Anda dengan mudah menemukan suku suatu barisan jika suku-suku tetangganya diketahui - di mana jumlah bilangan dalam barisan tersebut.

Jumlah suku suatu barisan aritmatika

Ada dua cara untuk mencari jumlahnya:

Dimana jumlah nilainya.

2/3 ARTIKEL SISANYA HANYA TERSEDIA UNTUK SISWA YANG CERDAS!

Menjadi siswa YouClever,

Mempersiapkan Ujian Negara Terpadu atau Unified State Exam matematika dengan harga “secangkir kopi per bulan”,

Dan juga dapatkan akses tak terbatas ke buku teks “YouClever”, program persiapan “100gia” (buku pemecah), uji coba tak terbatas Ujian Negara Terpadu dan Ujian Negara Terpadu, 6000 soal dengan analisis solusi, dan layanan YouClever dan 100gia lainnya.

Dalam matematika, kumpulan bilangan apa pun yang mengikuti satu sama lain, yang disusun dengan cara tertentu, disebut barisan. Dari semua barisan bilangan yang ada, ada dua kasus menarik yang dibedakan: barisan aljabar dan barisan geometri.

Apa yang dimaksud dengan perkembangan aritmatika?

Harus segera dikatakan bahwa perkembangan aljabar sering disebut aritmatika, karena sifat-sifatnya dipelajari oleh cabang matematika - aritmatika.

Perkembangan ini adalah barisan bilangan yang setiap suku berikutnya berbeda dari suku sebelumnya dengan bilangan tetap tertentu. Ini disebut selisih barisan aljabar. Untuk lebih jelasnya, kami melambangkannya dengan huruf latin d.

Contoh barisan tersebut adalah sebagai berikut: 3, 5, 7, 9, 11 ..., di sini Anda dapat melihat bahwa angka 5 lebih besar dari angka 3 kali 2, 7 lebih besar dari 5 kali 2, dan segera. Jadi, pada contoh yang disajikan, d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.

Apa saja jenis-jenis barisan aritmatika?

Sifat barisan bilangan yang berurutan ini sangat ditentukan oleh tanda bilangan d. Jenis perkembangan aljabar berikut ini dibedakan:

meningkat ketika d positif (d>0);
konstan ketika d = 0;
menurun ketika d negatif (d<0).

Contoh yang diberikan pada paragraf sebelumnya menunjukkan kemajuan yang meningkat. Contoh barisan menurun adalah barisan bilangan berikut: 10, 5, 0, -5, -10, -15 ... Perkembangan tetap, sebagai berikut definisinya, adalah himpunan bilangan-bilangan identik.

periode kemajuan yang ke-n

Karena kenyataan bahwa setiap bilangan berikutnya dalam perkembangan yang dipertimbangkan berbeda konstanta d dari bilangan sebelumnya, suku ke-nnya dapat dengan mudah ditentukan. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengetahui tidak hanya d, tetapi juga a 1 - suku pertama dari perkembangan tersebut. Dengan menggunakan pendekatan rekursif, seseorang dapat memperoleh rumus perkembangan aljabar untuk mencari suku ke-n. Bentuknya seperti: an = a 1 + (n-1)*d. Rumus ini cukup sederhana dan dapat dipahami secara intuitif.

Cara menggunakannya juga tidak sulit. Misalnya, pada barisan yang diberikan di atas (d=2, a 1 =3), kita mendefinisikan suku ke-35. Menurut rumusnya akan sama dengan: a 35 = 3 + (35-1)*2 = 71.

Rumus jumlah

Pada suatu barisan aritmatika, penjumlahan n suku pertamanya merupakan soal yang sering ditemui, begitu pula dengan penentuan nilai suku ke-n. Rumus jumlah barisan aljabar ditulis dalam bentuk berikut: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2, di sini simbol ∑ n 1 menunjukkan bahwa suku ke-1 sampai ke-n dijumlahkan.

Ekspresi di atas dapat diperoleh dengan menggunakan properti rekursi yang sama, namun ada cara yang lebih mudah untuk membuktikan validitasnya. Mari kita tuliskan 2 suku pertama dan 2 suku terakhir dari jumlah ini, nyatakan dalam bilangan a 1, a n dan d, dan kita peroleh: a 1, a 1 +d,...,an -d, a n. Sekarang perhatikan bahwa jika kita menambahkan suku pertama ke suku terakhir, maka suku tersebut akan sama persis dengan jumlah suku kedua dan suku kedua dari belakang, yaitu a 1 +an. Dengan cara serupa, dapat ditunjukkan bahwa jumlah yang sama dapat diperoleh dengan menjumlahkan suku ketiga dan suku kedua dari belakang, dan seterusnya. Dalam kasus sepasang bilangan dalam barisan tersebut, kita memperoleh jumlah n/2, yang masing-masing sama dengan a 1 +a n. Artinya, kita memperoleh rumus perkembangan aljabar di atas untuk jumlah: ∑ n 1 = n*(a 1 +an)/2.

Untuk sejumlah suku n yang tidak berpasangan, rumus serupa diperoleh jika Anda mengikuti alasan yang dijelaskan. Ingatlah untuk menambahkan sisa suku, yang berada di tengah perkembangan.

Mari kita tunjukkan cara menggunakan rumus di atas menggunakan contoh perkembangan sederhana yang diperkenalkan di atas (3, 5, 7, 9, 11…). Misalnya, kita perlu menentukan jumlah 15 suku pertamanya. Pertama, mari kita definisikan 15. Dengan menggunakan rumus suku ke-n (lihat paragraf sebelumnya), kita peroleh: a 15 = a 1 + (n-1)*d = 3 + (15-1)*2 = 31. Sekarang kita bisa menerapkan rumus untuk jumlah barisan aljabar: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255.

Menarik untuk mengutip fakta sejarah yang menarik. Rumus jumlah suatu barisan aritmatika pertama kali diperoleh oleh Carl Gauss (ahli matematika terkenal Jerman abad ke-18). Ketika dia baru berusia 10 tahun, gurunya memintanya untuk menemukan jumlah angka dari 1 hingga 100. Mereka mengatakan bahwa Gauss kecil memecahkan masalah ini dalam beberapa detik, memperhatikan bahwa dengan menjumlahkan angka dari awal dan akhir barisan. berpasangan, Anda selalu bisa mendapatkan 101, dan karena ada 50 jumlah tersebut, dia dengan cepat memberikan jawabannya: 50*101 = 5050.

Contoh penyelesaian masalah

Untuk melengkapi topik barisan aljabar, kami akan memberikan contoh penyelesaian masalah menarik lainnya, sehingga memperkuat pemahaman tentang topik yang sedang dibahas. Misalkan diberikan suatu barisan tertentu yang diketahui selisih d = -3, serta suku ke-35 a 35 = -114. Kita perlu mencari suku ke-7 dari barisan tersebut a 7 .

Terlihat dari kondisi soal, nilai a 1 tidak diketahui, oleh karena itu rumus suku ke-n tidak dapat digunakan secara langsung. Metode rekursi juga merepotkan, sulit diterapkan secara manual, dan kemungkinan besar terjadi kesalahan. Mari kita lanjutkan sebagai berikut: tuliskan rumus untuk a 7 dan a 35, kita mendapatkan: a 7 = a 1 + 6*d dan a 35 = a 1 + 34*d. Kurangi yang kedua dari ekspresi pertama, kita mendapatkan: a 7 - a 35 = a 1 + 6*d - a 1 - 34*d. Berikut ini: a 7 = a 35 - 28*d. Tetap mengganti data yang diketahui dari rumusan masalah dan menuliskan jawabannya: a 7 = -114 - 28*(-3) = -30.

Kemajuan geometris

Untuk mengungkap topik artikel lebih lengkap, kami memberikan deskripsi singkat tentang jenis perkembangan lainnya - geometris. Dalam matematika, nama ini dipahami sebagai barisan bilangan yang setiap suku berikutnya berbeda dari suku sebelumnya dengan faktor tertentu. Mari kita nyatakan faktor ini dengan huruf r. Ini disebut penyebut dari jenis perkembangan yang sedang dipertimbangkan. Contoh barisan bilangan ini adalah: 1, 5, 25, 125, ...

Seperti dapat dilihat dari definisi di atas, barisan aljabar dan geometri memiliki gagasan yang serupa. Perbedaan di antara keduanya adalah perubahan yang pertama lebih lambat dibandingkan yang kedua.

Kemajuan geometri juga dapat meningkat, konstan atau menurun. Jenisnya bergantung pada nilai penyebut r: jika r>1, maka terjadi perkembangan yang meningkat, jika r<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.

Rumus perkembangan geometris

Seperti halnya aljabar, rumus suatu barisan geometri direduksi menjadi menentukan suku ke-n dan jumlah n sukunya. Di bawah ini adalah ungkapan-ungkapan tersebut:

a n = a 1 *r (n-1) - rumus ini mengikuti definisi barisan geometri.
∑ n 1 = a 1 *(rn -1)/(r-1). Perlu diperhatikan bahwa jika r = 1, maka rumus di atas memberikan ketidakpastian sehingga tidak dapat digunakan. Dalam hal ini, jumlah n suku akan sama dengan hasil kali sederhana a 1 *n.

Sebagai contoh, carilah jumlah 10 suku barisan 1, 5, 25, 125, ... Diketahui bahwa a 1 = 1 dan r = 5, kita peroleh: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1 )/4 = 2441406. Nilai yang dihasilkan adalah contoh nyata seberapa cepat perkembangan geometri berkembang.

Mungkin yang pertama kali menyebutkan perkembangan ini dalam sejarah adalah legenda papan catur, ketika seorang teman salah satu Sultan, setelah mengajarinya bermain catur, meminta gandum untuk jasanya. Selain itu, jumlah butirnya seharusnya sebagai berikut: satu butir harus diletakkan di kotak pertama papan catur, di kotak kedua dua kali lebih banyak dari kotak pertama, di kotak ketiga dua kali lebih banyak dari kotak kedua, dan seterusnya. . Sultan bersedia memenuhi permintaan ini, tetapi dia tidak tahu bahwa dia harus mengosongkan semua sampah di negaranya untuk menepati janjinya.