Mengingat distribusi variabel acak diskrit, temukan. Hukum distribusi variabel acak

X; arti F(5); probabilitas bahwa variabel acak X akan mengambil nilai dari segmen tersebut. Buatlah poligon distribusi.

1. Fungsi distribusi F(x) dari variabel acak diskrit diketahui X:

Tetapkan hukum distribusi variabel acak X dalam bentuk tabel.

1. Hukum distribusi variabel acak diberikan X:

1. Peluang toko tersebut mempunyai sertifikat mutu untuk seluruh rangkaian produk adalah 0,7. Komisi memeriksa ketersediaan sertifikat di empat toko di wilayah tersebut. Buatlah undang-undang distribusi, hitung ekspektasi matematis dan penyebaran jumlah toko di mana sertifikat mutu tidak ditemukan selama inspeksi.

1. Untuk mengetahui rata-rata waktu pembakaran lampu listrik dalam satu batch 350 kotak yang identik, diambil satu lampu listrik dari setiap kotak untuk pengujian. Perkirakan dari bawah peluang rata-rata lama pembakaran lampu listrik yang dipilih berbeda dengan rata-rata lama nyala seluruh batch dalam nilai absolut kurang dari 7 jam, jika diketahui simpangan baku lama nyala lampu listrik di setiap kotak kurang dari 9 jam.

1. Di sentral telepon, terjadi koneksi yang salah dengan probabilitas 0,002. Tentukan peluang bahwa di antara 500 sambungan akan terjadi kejadian berikut:

Temukan fungsi distribusi variabel acak X. Buatlah grafik fungsi dan . Hitung ekspektasi matematis, varians, modus, dan median suatu variabel acak X.

1. Mesin otomatis membuat roller. Diameternya diyakini merupakan variabel acak yang terdistribusi normal dengan nilai rata-rata 10 mm. Berapa simpangan bakunya jika, dengan probabilitas 0,99, diameternya berkisar antara 9,7 mm hingga 10,3 mm.

Contoh A: 6 9 7 6 4 4

Contoh B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Opsi 17.

1. Di antara 35 bagian, 7 di antaranya non-standar. Temukan probabilitas bahwa dua bagian yang diambil secara acak akan menjadi standar.

1. Tiga buah dadu dilempar. Tentukan peluang terambilnya jumlah poin pada sisi yang dijatuhkan adalah kelipatan 9.

1. Kata “ADVENTURE” terdiri dari kartu-kartu, masing-masing dengan satu huruf tertulis di atasnya. Kartu dikocok dan dikeluarkan satu per satu tanpa dikembalikan. Tentukan peluang terambilnya huruf-huruf menurut urutan kemunculannya membentuk kata: a) PETUALANGAN; b) TAHANAN.

1. Sebuah guci berisi 6 bola hitam dan 5 bola putih. 5 bola diambil secara acak. Temukan probabilitas bahwa di antara mereka ada:
1. 2 bola putih;
2. kurang dari 2 bola putih;
3. setidaknya satu bola hitam.

1. A dalam satu pengujian sama dengan 0,4. Temukan peluang kejadian berikut:
1. peristiwa A muncul 3 kali dalam rangkaian 7 uji coba independen;
2. peristiwa A akan muncul tidak kurang dari 220 dan tidak lebih dari 235 kali dalam rangkaian 400 percobaan.

1. Pabrik tersebut mengirimkan 5.000 produk berkualitas baik ke pangkalan. Kemungkinan kerusakan pada setiap produk dalam perjalanan adalah 0,002. Tentukan peluang tidak lebih dari 3 produk yang rusak selama perjalanan.

1. Guci pertama berisi 4 bola putih dan 9 bola hitam, dan guci kedua berisi 7 bola putih dan 3 bola hitam. Diambil 3 bola secara acak dari guci pertama, dan 4 bola dari guci kedua.Tentukan peluang terambilnya semua bola berwarna sama.

1. Hukum distribusi variabel acak diberikan X:

Hitung ekspektasi dan varians matematisnya.

1. Ada 10 pensil di dalam kotak. 4 buah pensil diambil secara acak. Nilai acak X– jumlah pensil biru di antara yang dipilih. Temukan hukum distribusinya, momen awal dan sentral orde ke-2 dan ke-3.

1. Departemen kontrol teknis memeriksa 475 produk untuk mengetahui adanya cacat. Peluang produk cacat adalah 0,05. Temukan, dengan probabilitas 0,95, batas di mana jumlah produk cacat di antara produk yang diuji akan termuat.

1. Di sentral telepon, terjadi koneksi yang salah dengan probabilitas 0,003. Tentukan peluang bahwa di antara 1000 sambungan akan terjadi hal-hal berikut:
1. setidaknya 4 koneksi salah;
2. lebih dari dua koneksi yang salah.

1. Variabel acak ditentukan oleh fungsi kepadatan distribusi:

Temukan fungsi distribusi variabel acak X. Buatlah grafik fungsi dan . Hitung ekspektasi matematis, varians, modus dan median dari variabel acak X.

1. Variabel acak ditentukan oleh fungsi distribusi:

1. Berdasarkan sampel A menyelesaikan permasalahan berikut:
1. membuat rangkaian variasi;

· rata-rata sampel;

· varian sampel;

Modus dan median;

Contoh A: 0 0 2 2 1 4

1. menghitung karakteristik numerik dari deret variasi:

· rata-rata sampel;

· varian sampel;

deviasi sampel standar;

· modus dan median;

Contoh B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Opsi 18.

1. Di antara 10 tiket lotere, 2 adalah yang menang. Tentukan peluang bahwa dari lima tiket yang diambil secara acak, satu tiket akan menjadi pemenang.

1. Tiga buah dadu dilempar. Tentukan peluang jumlah poin yang diperoleh lebih besar dari 15.

1. Kata “PERIMETER” terdiri dari kartu-kartu yang masing-masing kartu mempunyai satu huruf tertulis di atasnya. Kartu dikocok dan dikeluarkan satu per satu tanpa dikembalikan. Tentukan peluang terambilnya huruf-huruf yang membentuk kata: a) PERIMETER; b) METER.

1. Sebuah guci berisi 5 bola hitam dan 7 bola putih. 5 bola diambil secara acak. Temukan probabilitas bahwa di antara mereka ada:
1. 4 bola putih;
2. kurang dari 2 bola putih;
3. setidaknya satu bola hitam.

1. Kemungkinan terjadinya suatu peristiwa A dalam satu kali percobaan sama dengan 0,55. Temukan peluang kejadian berikut:
1. peristiwa A akan muncul 3 kali dalam rangkaian 5 tantangan;
2. peristiwa A akan muncul tidak kurang dari 130 dan tidak lebih dari 200 kali dalam rangkaian 300 percobaan.

1. Peluang pecahnya sekaleng makanan kaleng adalah 0,0005. Tentukan peluang di antara 2000 kaleng, ada dua yang bocor.

1. Guci pertama berisi 4 bola putih dan 8 bola hitam, dan guci kedua berisi 7 bola putih dan 4 bola hitam. Dua bola diambil secara acak dari guci pertama dan tiga bola diambil secara acak dari guci kedua. Tentukan peluang terambilnya semua bola berwarna sama.

1. Di antara suku cadang yang tiba untuk perakitan, 0,1% rusak pada mesin pertama, 0,2% pada mesin kedua, 0,25% pada mesin ketiga, dan 0,5% pada mesin keempat. Rasio produktivitas mesin masing-masing adalah 4:3:2:1. Bagian yang diambil secara acak ternyata standar. Temukan probabilitas bahwa bagian tersebut dibuat pada mesin pertama.

1. Hukum distribusi variabel acak diberikan X:

Hitung ekspektasi dan varians matematisnya.

1. Seorang tukang listrik mempunyai tiga buah bola lampu yang masing-masing mempunyai cacat dengan probabilitas 0,1. Bola lampu tersebut disekrup ke dalam soket dan arus dihidupkan. Saat arus dihidupkan, bola lampu yang rusak langsung padam dan diganti dengan yang lain. Temukan hukum distribusi, ekspektasi matematis, dan dispersi jumlah bola lampu yang diuji.

1. Kemungkinan mengenai sasaran adalah 0,3 untuk setiap 900 tembakan independen. Dengan menggunakan pertidaksamaan Chebyshev, perkirakan probabilitas bahwa target akan tercapai paling sedikit 240 kali dan paling banyak 300 kali.

1. Di sentral telepon, terjadi koneksi yang salah dengan probabilitas 0,002. Tentukan peluang bahwa di antara 800 sambungan akan terjadi kejadian berikut:
1. setidaknya tiga koneksi salah;
2. lebih dari empat koneksi yang salah.

1. Variabel acak ditentukan oleh fungsi kepadatan distribusi:

Temukan fungsi distribusi variabel acak X. Gambarlah grafik fungsi dan . Hitung ekspektasi matematis, varians, modus, dan median suatu variabel acak X.

1. Variabel acak ditentukan oleh fungsi distribusi:

1. Berdasarkan sampel A menyelesaikan permasalahan berikut:
1. membuat rangkaian variasi;
2. menghitung frekuensi relatif dan akumulasi;
3. menyusun fungsi distribusi empiris dan memplotnya;
4. menghitung karakteristik numerik dari deret variasi:

· rata-rata sampel;

· varian sampel;

deviasi sampel standar;

· modus dan median;

Contoh A: 4 7 6 3 3 4

1. Dengan menggunakan sampel B, selesaikan masalah berikut:
1. membuat rangkaian variasi yang dikelompokkan;
2. membangun histogram dan poligon frekuensi;
3. menghitung karakteristik numerik dari deret variasi:

· rata-rata sampel;

· varian sampel;

deviasi sampel standar;

· modus dan median;

Contoh B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Opsi 19.

1. Ada 16 perempuan dan 5 laki-laki yang bekerja di lokasi. 3 orang dipilih secara acak menggunakan nomor personelnya. Tentukan peluang bahwa semua orang yang terpilih adalah laki-laki.

2. Empat buah uang logam dilempar. Temukan probabilitas bahwa hanya dua koin yang memiliki “lambang”.

3. Kata “PSIKOLOGI” terdiri dari kartu-kartu yang masing-masing terdapat satu huruf di atasnya. Kartu dikocok dan dikeluarkan satu per satu tanpa dikembalikan. Tentukan peluang terambilnya huruf-huruf membentuk sebuah kata: a) PSIKOLOGI; b) STAF.

4. Guci tersebut berisi 6 bola hitam dan 7 bola putih. 5 bola diambil secara acak. Temukan probabilitas bahwa di antara mereka ada:

A. 3 bola putih;

B. kurang dari 3 bola putih;

C. setidaknya satu bola putih.

5. Kemungkinan terjadinya suatu peristiwa A dalam satu kali percobaan sama dengan 0,5. Temukan peluang kejadian berikut:

A. peristiwa A muncul 3 kali dalam rangkaian 5 uji coba independen;

B. peristiwa A akan muncul minimal 30 dan tidak lebih dari 40 kali dalam rangkaian 50 uji coba.

6. Terdapat 100 mesin dengan daya yang sama, beroperasi secara independen satu sama lain dalam mode yang sama, di mana penggeraknya dihidupkan selama 0,8 jam kerja. Berapa peluang bahwa pada suatu saat antara 70 hingga 86 mesin akan dihidupkan?

7. Guci pertama berisi 4 bola putih dan 7 bola hitam, dan guci kedua berisi 8 bola putih dan 3 bola hitam. 4 bola diambil secara acak dari guci pertama, dan 1 bola dari guci kedua. Tentukan peluang terambilnya hanya 4 bola hitam.

8. Ruang pamer penjualan mobil menerima mobil dari tiga merek setiap hari dalam volume: “Moskvich” – 40%; "Oke" - 20%; "Volga" - 40% dari semua mobil impor. Di antara mobil Moskvich, 0,5% memiliki perangkat anti maling, Oka – 0,01%, Volga – 0,1%. Tentukan peluang bahwa mobil yang diambil untuk diperiksa mempunyai alat anti maling.

9. Angka dan dipilih secara acak pada segmen tersebut. Temukan probabilitas bahwa angka-angka ini memenuhi pertidaksamaan.

10. Hukum distribusi variabel acak diberikan X:

Temukan fungsi distribusi variabel acak X; arti F(2); probabilitas bahwa variabel acak X akan mengambil nilai dari interval . Buatlah poligon distribusi.

Seperti diketahui, variabel acak disebut besaran variabel yang dapat mengambil nilai tertentu tergantung pada kasusnya. Variabel acak dilambangkan dengan huruf kapital alfabet Latin (X, Y, Z), dan nilainya dilambangkan dengan huruf kecil yang sesuai (x, y, z). Variabel acak dibagi menjadi diskontinyu (diskrit) dan kontinu.

Variabel acak diskrit adalah variabel acak yang hanya mengambil himpunan nilai berhingga atau tak terhingga (dapat dihitung) dengan probabilitas tertentu yang bukan nol.

Hukum distribusi variabel acak diskrit adalah fungsi yang menghubungkan nilai-nilai variabel acak dengan probabilitasnya yang bersesuaian. Hukum distribusi dapat ditentukan dengan salah satu cara berikut.

1 . Hukum distribusi dapat diberikan dalam tabel:

dimana λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) dengan menggunakan fungsi distribusi F(x) , yang menentukan untuk setiap nilai x probabilitas bahwa variabel acak X akan mengambil nilai kurang dari x, yaitu. F(x) = P(X< x).

Sifat-sifat fungsi F(x)

3 . Hukum distribusi dapat ditentukan secara grafis – poligon distribusi (poligon) (lihat soal 3).

Perhatikan bahwa untuk menyelesaikan beberapa masalah tidak perlu mengetahui hukum distribusi. Dalam beberapa kasus, cukup mengetahui satu atau beberapa angka yang mencerminkan ciri terpenting hukum distribusi. Ini bisa berupa angka yang memiliki arti “nilai rata-rata” dari suatu variabel acak, atau angka yang menunjukkan besarnya rata-rata deviasi suatu variabel acak dari nilai rata-ratanya. Bilangan semacam ini disebut ciri numerik suatu variabel acak.

Karakteristik numerik dasar dari variabel acak diskrit :

• Harapan matematis (nilai rata-rata) dari variabel acak diskrit M(X)=Σ x saya p saya.
  Untuk distribusi binomial M(X)=np, untuk distribusi Poisson M(X)=λ
• Penyebaran variabel acak diskrit D(X)=M2 atau D(X) = M(X 2)− 2. Selisih X–M(X) disebut deviasi suatu variabel acak dari ekspektasi matematisnya.
  Untuk distribusi binomial D(X)=npq, untuk distribusi Poisson D(X)=λ
• Deviasi standar (deviasi standar) σ(X)=√D(X).

Contoh penyelesaian masalah pada topik “Hukum distribusi variabel acak diskrit”

Tugas 1.

1000 tiket lotre diterbitkan: 5 di antaranya akan memenangkan 500 rubel, 10 akan memenangkan 100 rubel, 20 akan memenangkan 50 rubel, 50 akan memenangkan 10 rubel. Tentukan hukum distribusi probabilitas dari variabel acak X - kemenangan per tiket.

Larutan. Menurut kondisi soal, nilai variabel acak X berikut ini mungkin: 0, 10, 50, 100, dan 500.

Banyaknya tiket tanpa kemenangan adalah 1000 – (5+10+20+50) = 915, maka P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Demikian pula, kita menemukan semua probabilitas lainnya: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Mari kita sajikan hukum yang dihasilkan dalam bentuk tabel:

Mari kita cari ekspektasi matematis dari nilai X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Tugas 3.

Perangkat ini terdiri dari tiga elemen yang beroperasi secara independen. Peluang kegagalan setiap elemen dalam satu percobaan adalah 0,1. Buatlah hukum distribusi jumlah elemen yang gagal dalam satu percobaan, buatlah poligon distribusi. Temukan fungsi distribusi F(x) dan plotlah. Temukan ekspektasi matematis, varians, dan deviasi standar dari variabel acak diskrit.

Larutan. 1. Variabel acak diskrit X = (jumlah elemen yang gagal dalam satu percobaan) memiliki kemungkinan nilai berikut: x 1 = 0 (tidak ada elemen perangkat yang gagal), x 2 = 1 (satu elemen gagal), x 3 = 2 ( dua elemen gagal ) dan x 4 =3 (tiga elemen gagal).

Kegagalan elemen tidak bergantung satu sama lain, kemungkinan kegagalan setiap elemen adalah sama, oleh karena itu dapat diterapkan rumus Bernoulli . Mengingat, berdasarkan kondisi, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, kita menentukan probabilitas nilai:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;
Periksa: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Jadi, hukum distribusi binomial X yang diinginkan berbentuk:

Kami memplot kemungkinan nilai x i sepanjang sumbu absis, dan probabilitas p i yang sesuai sepanjang sumbu ordinat. Mari kita buat poin M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Dengan menghubungkan titik-titik tersebut dengan ruas garis lurus, diperoleh poligon distribusi yang diinginkan.

3. Mari kita cari fungsi distribusi F(x) = Р(Х

Grafik fungsi F(x)

4. Untuk distribusi binomial X:
- ekspektasi matematis M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- varians D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- simpangan baku σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

HUKUM DISTRIBUSI DAN KARAKTERISTIK

VARIABEL ACAK

Variabel acak, klasifikasinya dan metode deskripsinya.

Besaran acak adalah besaran yang, sebagai hasil percobaan, dapat mempunyai nilai tertentu, tetapi tidak diketahui sebelumnya. Oleh karena itu, untuk variabel acak, Anda hanya dapat menentukan nilai, yang salah satunya pasti akan diambil sebagai hasil eksperimen. Berikut ini kita akan menyebut nilai-nilai ini sebagai nilai yang mungkin dari variabel acak. Karena variabel acak secara kuantitatif mencirikan hasil acak suatu eksperimen, maka variabel acak dapat dianggap sebagai karakteristik kuantitatif dari peristiwa acak.

Variabel acak biasanya dilambangkan dengan huruf kapital alfabet Latin, misalnya X..Y..Z, dan kemungkinan nilainya dengan huruf kecil yang sesuai.

Ada tiga jenis variabel acak:

Diskrit; Kontinu; Campuran.

Diskrit adalah variabel acak yang banyaknya nilai yang mungkin membentuk himpunan yang dapat dihitung. Pada gilirannya, himpunan yang elemen-elemennya dapat diberi nomor disebut dapat dihitung. Kata “diskrit” berasal dari bahasa Latin discretus yang berarti “terputus-putus, terdiri dari bagian-bagian yang terpisah”.

Contoh 1. Variabel acak diskrit adalah jumlah bagian cacat X dalam suatu batch produk n. Memang, nilai yang mungkin dari variabel acak ini adalah rangkaian bilangan bulat dari 0 hingga n.

Contoh 2. Variabel acak diskrit adalah jumlah tembakan sebelum sasaran pertama mengenai sasaran. Di sini, seperti pada Contoh 1, nilai yang mungkin dapat diberi nomor, meskipun dalam kasus pembatas, nilai yang mungkin adalah bilangan yang sangat besar.

Kontinu adalah variabel acak yang nilai kemungkinannya terus menerus mengisi interval tertentu pada sumbu numerik, kadang disebut interval keberadaan variabel acak tersebut. Jadi, pada interval keberadaan berhingga, jumlah nilai yang mungkin dari variabel acak kontinu sangatlah besar.

Contoh 3. Variabel acak kontinu adalah konsumsi listrik bulanan suatu perusahaan.

Contoh 4. Variabel acak kontinu adalah kesalahan pengukuran tinggi badan dengan menggunakan altimeter. Diketahui dari prinsip pengoperasian altimeter bahwa kesalahan terletak pada rentang 0 sampai 2 m, oleh karena itu interval keberadaan variabel acak ini adalah interval 0 sampai 2 m.

Hukum distribusi variabel acak.

Variabel acak dianggap ditentukan sepenuhnya jika nilai yang mungkin ditunjukkan pada sumbu numerik dan hukum distribusi ditetapkan.

Hukum distribusi variabel acak adalah relasi yang menjalin hubungan antara nilai yang mungkin dari suatu variabel acak dan probabilitas yang bersesuaian.

Variabel acak dikatakan terdistribusi menurut hukum tertentu, atau tunduk pada hukum distribusi tertentu. Sejumlah probabilitas, fungsi distribusi, kepadatan probabilitas, dan fungsi karakteristik digunakan sebagai hukum distribusi.

Hukum distribusi memberikan gambaran kemungkinan yang lengkap tentang suatu variabel acak. Menurut hukum distribusi, sebelum melakukan percobaan, seseorang dapat menilai kemungkinan nilai mana dari suatu variabel acak yang akan lebih sering muncul dan mana yang lebih jarang.

Untuk variabel acak diskrit, hukum distribusinya dapat dinyatakan dalam bentuk tabel, secara analitis (dalam bentuk rumus) dan secara grafis.

Bentuk paling sederhana untuk menentukan hukum distribusi variabel acak diskrit adalah tabel (matriks), yang mencantumkan dalam urutan menaik semua nilai yang mungkin dari variabel acak dan probabilitasnya yang sesuai, yaitu.

Tabel seperti ini disebut deret distribusi variabel acak diskrit. 1

Peristiwa X 1, X 2,..., X n, yang terdiri dari kenyataan bahwa sebagai hasil pengujian, variabel acak X masing-masing akan mengambil nilai x 1, x 2,... x n adalah tidak konsisten dan satu-satunya yang mungkin (karena tabel mencantumkan semua kemungkinan nilai variabel acak), mis. membentuk kelompok yang lengkap. Oleh karena itu, jumlah probabilitasnya sama dengan 1. Jadi, untuk sembarang variabel acak diskrit

(Unit ini entah bagaimana terdistribusi di antara nilai-nilai variabel acak, oleh karena itu istilah "distribusi").

Deret distribusi dapat digambarkan secara grafis jika nilai-nilai variabel acak diplot sepanjang sumbu absis, dan probabilitas yang sesuai diplot sepanjang sumbu ordinat. Sambungan titik-titik yang diperoleh membentuk garis putus-putus yang disebut poligon atau poligon distribusi probabilitas (Gbr. 1).

Contoh Lotere tersebut meliputi: sebuah mobil senilai 5.000 sarang. unit, 4 TV seharga 250 den. unit, 5 perekam video senilai 200 sarang. unit Sebanyak 1000 tiket terjual selama 7 hari. unit Buatlah undang-undang pembagian kemenangan bersih yang diterima oleh seorang peserta lotere yang membeli satu tiket.

Larutan. Nilai yang mungkin dari variabel acak X - kemenangan bersih per tiket - sama dengan 0-7 = -7 uang. unit (bila tiket tidak menang), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. unit (jika tiketnya masing-masing berisi kemenangan VCR, TV, atau mobil). Mengingat dari 1000 tiket jumlah yang bukan pemenang adalah 990, dan kemenangan yang ditunjukkan masing-masing adalah 5, 4 dan 1, dan menggunakan definisi klasik tentang probabilitas, kita peroleh.

Serangkaian distribusi variabel acak diskrit diberikan. Temukan probabilitas yang hilang dan plot fungsi distribusinya. Hitung ekspektasi matematis dan varians kuantitas ini.

Variabel acak X hanya mengambil empat nilai: -4, -3, 1 dan 2. Masing-masing nilai tersebut diambil dengan probabilitas tertentu. Karena jumlah semua probabilitas harus sama dengan 1, maka probabilitas yang hilang sama dengan:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

Mari kita buat fungsi distribusi dari variabel acak X. Diketahui fungsi distribusi , maka:

Karena itu,

Mari kita plot fungsinya F(X) .

Ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit sama dengan jumlah produk dari nilai variabel acak dan probabilitas yang sesuai, yaitu.

Kami menemukan varians dari variabel acak diskrit menggunakan rumus:

APLIKASI

Elemen kombinatorik Di sini: - faktorial suatu bilangan

Tindakan pada acara Peristiwa adalah fakta apa pun yang mungkin terjadi atau tidak terjadi sebagai akibat dari suatu pengalaman. Penggabungan Acara A Dan DI DALAM- acara ini DENGAN yang terdiri dari suatu penampilan atau peristiwa A, atau peristiwa DI DALAM, atau kedua peristiwa secara bersamaan. Penamaan: ; Acara Persimpangan A Dan DI DALAM- acara ini DENGAN, yang terdiri dari terjadinya kedua peristiwa secara bersamaan. Penamaan: ;

Definisi klasik tentang probabilitas Kemungkinan kejadian A adalah rasio jumlah percobaan , menguntungkan bagi terjadinya suatu peristiwa A, dengan jumlah total percobaan :

Rumus perkalian probabilitas Kemungkinan kejadian dapat dicari dengan menggunakan rumus: - kemungkinan kejadian A, - kemungkinan kejadian DI DALAM, - kemungkinan kejadian DI DALAM asalkan acara tersebut A sudah terjadi. Jika kejadian A dan B saling bebas (kejadian yang satu tidak mempengaruhi kejadian yang lain), maka peluang kejadian tersebut sama dengan:

Rumus untuk menambahkan probabilitas Peluang suatu kejadian dapat dicari dengan menggunakan rumus: Kemungkinan kejadian A, Kemungkinan kejadian DI DALAM, - kemungkinan terjadinya peristiwa secara bersamaan A Dan DI DALAM. Jika kejadian A dan B tidak sesuai (tidak dapat terjadi secara bersamaan), maka peluang kejadian tersebut sama dengan:

Rumus Probabilitas Total Biarkan acaranya A dapat terjadi bersamaan dengan salah satu peristiwa , , …, - sebut saja hipotesis. Juga diketahui - kemungkinan eksekusi Saya hipotesis -th dan - kemungkinan terjadinya kejadian A saat dieksekusi Saya hipotesis -th. Maka kemungkinan kejadiannya A dapat dicari dengan rumus:

Skema Bernoulli Biarkan ada n tes independen. Probabilitas terjadinya (keberhasilan) suatu peristiwa A di masing-masingnya adalah konstan dan setara P, kemungkinan kegagalan (yaitu peristiwa tidak terjadi A) Q = 1 - P. Kemudian kemungkinan terjadinya k sukses di N tes dapat ditemukan menggunakan rumus Bernoulli: Kemungkinan besar jumlah keberhasilan dalam skema Bernoulli, ini adalah banyaknya kemunculan suatu peristiwa tertentu yang mempunyai probabilitas tertinggi. Dapat dicari dengan menggunakan rumus:

Variabel acak diskrit kontinyu (misalnya, jumlah anak perempuan dalam sebuah keluarga dengan 5 anak) (misalnya, waktu ketel berfungsi dengan baik) Karakteristik numerik dari variabel acak diskrit Misalkan besaran diskrit diberikan oleh deret distribusi: X R , , …, - nilai variabel acak X; , , …, adalah nilai probabilitas yang sesuai. Fungsi distribusi Fungsi distribusi variabel acak X adalah fungsi yang terdefinisi pada seluruh garis bilangan dan sama dengan probabilitasnya X akan ada lebih sedikit X:

Pertanyaan untuk ujian

Peristiwa. Operasi pada kejadian acak.

Konsep probabilitas suatu peristiwa.

Aturan untuk menjumlahkan dan mengalikan probabilitas. Probabilitas bersyarat.

Rumus probabilitas total. rumus Bayes.

Skema Bernoulli.

Variabel acak, fungsi distribusinya dan deret distribusinya.

Sifat dasar fungsi distribusi.

Nilai yang diharapkan. Sifat ekspektasi matematis.

Penyebaran. Sifat dispersi.

Kepadatan distribusi probabilitas variabel acak satu dimensi.

Jenis distribusi: distribusi seragam, eksponensial, normal, binomial dan Poisson.

Teorema lokal dan integral Moivre-Laplace.

Hukum dan fungsi distribusi sistem dua variabel acak.

Kepadatan distribusi sistem dua variabel acak.

Hukum distribusi bersyarat, ekspektasi matematis bersyarat.

Variabel acak terikat dan bebas. Koefisien korelasi.

Sampel. Pemrosesan sampel. Histogram poligon dan frekuensi. Fungsi distribusi empiris.

Konsep memperkirakan parameter distribusi. Persyaratan untuk penilaian. Interval kepercayaan. Konstruksi interval untuk memperkirakan ekspektasi matematis dan deviasi standar.

Hipotesis statistik. Kriteria persetujuan.

Dalam penerapan teori probabilitas, karakteristik kuantitatif eksperimen adalah hal yang paling penting. Besaran yang dapat ditentukan secara kuantitatif dan yang sebagai hasil percobaan dapat mempunyai nilai yang berbeda-beda tergantung pada kasusnya disebut variabel acak.

Contoh variabel acak:

1. Berapa kali muncul angka genap dalam sepuluh kali pelemparan sebuah dadu.

2. Jumlah pukulan tepat sasaran oleh seorang penembak yang melepaskan serangkaian tembakan.

3. Jumlah pecahan cangkang yang meledak.

Pada setiap contoh yang diberikan, variabel acak hanya dapat mengambil nilai terisolasi, yaitu nilai yang dapat diberi nomor menggunakan rangkaian angka natural.

Variabel acak seperti itu, yang nilai kemungkinannya adalah bilangan-bilangan terisolasi individual, yang diambil variabel ini dengan probabilitas tertentu, disebut terpisah.

Banyaknya nilai yang mungkin dari suatu variabel acak diskrit dapat berhingga atau tidak terbatas (dapat dihitung).

Hukum distribusi Variabel acak diskrit adalah daftar nilai yang mungkin dan probabilitas yang sesuai. Hukum distribusi suatu variabel acak diskrit dapat ditetapkan dalam bentuk tabel (deret distribusi probabilitas), secara analitis dan grafis (poligon distribusi probabilitas).

Saat melakukan percobaan, penting untuk mengevaluasi nilai yang dipelajari “rata-rata”. Peran nilai rata-rata suatu variabel acak dimainkan oleh karakteristik numerik yang disebut ekspektasi matematis, yang ditentukan oleh rumus

Di mana X 1 , X 2 ,.. , X N– nilai variabel acak X, A P 1 ,P 2 , ... , P N– probabilitas nilai-nilai ini (perhatikan itu P 1 + P 2 +…+ P N = 1).

Contoh. Penembakan dilakukan pada sasaran (Gbr. 11).

Pukulan di I menghasilkan tiga poin, di II – dua poin, di III – satu poin. Jumlah poin yang dicetak dalam satu tembakan oleh satu penembak memiliki bentuk hukum distribusi

Untuk membandingkan keterampilan penembak, cukup membandingkan nilai rata-rata poin yang diperoleh, yaitu. ekspektasi matematis M(X) Dan M(Y):

M(X) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

M(Y) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

Penembak kedua rata-rata memberikan jumlah poin yang sedikit lebih tinggi, yaitu. itu akan memberikan hasil yang lebih baik bila ditembakkan berulang kali.

Mari kita perhatikan sifat-sifat ekspektasi matematis:

1. Ekspektasi matematis dari suatu nilai konstanta sama dengan konstanta itu sendiri:

M(C) = C.

2. Ekspektasi matematis dari jumlah variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematis suku:

M =(X 1 + X 2 +…+ X N)= M(X 1)+ M(X 2)+…+ M(X N).

3. Ekspektasi matematis dari produk variabel acak yang saling independen sama dengan produk dari ekspektasi matematis faktor-faktor

M(X 1 X 2 … X N) = M(X 1)M(X 2)… M(X N).

4. Negasi matematis dari distribusi binomial sama dengan hasil kali jumlah percobaan dan peluang terjadinya suatu peristiwa dalam satu percobaan (tugas 4.6).

M(X) = pr.

Untuk menilai bagaimana suatu variabel acak “rata-rata” menyimpang dari ekspektasi matematisnya, mis. Untuk mengkarakterisasi penyebaran nilai suatu variabel acak dalam teori probabilitas digunakan konsep dispersi.

Perbedaan variabel acak X disebut ekspektasi matematis dari deviasi kuadrat:

D(X) = M[(X - M(X)) 2 ].

Dispersi adalah karakteristik numerik dari dispersi suatu variabel acak. Dari definisi tersebut jelas bahwa semakin kecil sebaran suatu variabel acak maka semakin dekat kemungkinan nilai-nilainya di sekitar ekspektasi matematisnya, yaitu semakin baik nilai-nilai variabel acak tersebut dicirikan oleh ekspektasi matematisnya. .

Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa varians dapat dihitung dengan menggunakan rumus

.

Lebih mudah untuk menghitung varians menggunakan rumus lain:

D(X) = M(X 2) - (M(X)) 2 .

Dispersi mempunyai sifat sebagai berikut:

1. Varians dari konstanta adalah nol:

D(C) = 0.

2. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda dispersi dengan mengkuadratkannya:

D(CX) = C 2 D(X).

3. Varians jumlah variabel acak bebas sama dengan jumlah varians suku:

D(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X N)= D(X 1)+ D(X 2)+…+ D(X N)

4. Varians distribusi binomial sama dengan hasil kali jumlah percobaan dan peluang terjadinya dan tidak terjadinya suatu peristiwa dalam satu percobaan:

D(X) = npq.

Dalam teori probabilitas, karakteristik numerik yang sama dengan akar kuadrat dari varians suatu variabel acak sering digunakan. Karakteristik numerik ini disebut deviasi kuadrat rata-rata dan dilambangkan dengan simbol

.

Ini mencirikan perkiraan ukuran penyimpangan variabel acak dari nilai rata-ratanya dan memiliki dimensi yang sama dengan variabel acak.

4.1. Penembak melepaskan tiga tembakan ke sasaran. Peluang mengenai sasaran dengan setiap tembakan adalah 0,3.

Buatlah deret distribusi untuk jumlah hit.

Larutan. Jumlah hit adalah variabel acak diskrit X. Setiap nilai X N variabel acak X sesuai dengan probabilitas tertentu P N .

Hukum distribusi variabel acak diskrit dalam hal ini dapat ditentukan dekat distribusi.

Dalam masalah ini X mengambil nilai 0, 1, 2, 3. Menurut rumus Bernoulli

,

Mari kita cari probabilitas nilai yang mungkin dari variabel acak:

R 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

R 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

R 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

R 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

Dengan menyusun nilai-nilai variabel acak X dalam urutan yang meningkat, kita memperoleh deret distribusi:

Perhatikan jumlahnya

berarti probabilitas bahwa variabel acak X akan mengambil setidaknya satu nilai dari nilai yang mungkin, dan oleh karena itu peristiwa ini dapat diandalkan

.

4.2 .Ada empat bola di dalam guci dengan nomor 1 sampai 4. Dua bola diambil. Nilai acak X– jumlah nomor bola. Buatlah deret distribusi variabel acak X.

Larutan. Nilai variabel acak X adalah 3, 4, 5, 6, 7. Mari kita cari peluang yang bersesuaian. Nilai variabel acak 3 X dapat diterima dalam satu-satunya kasus ketika salah satu bola yang dipilih memiliki nomor 1, dan yang lainnya 2. Banyaknya kemungkinan hasil tes sama dengan jumlah kombinasi empat (jumlah kemungkinan pasangan bola) dari dua.

Dengan menggunakan rumus probabilitas klasik, kita peroleh

Juga,

R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6.

Jumlah 5 dapat muncul dalam dua kasus: 1 + 4 dan 2 + 3, jadi

.

X memiliki bentuk:

Temukan fungsi distribusi F(X) variabel acak X dan merencanakannya. Hitung untuk X ekspektasi dan varians matematisnya.

Larutan. Hukum distribusi suatu variabel acak dapat ditentukan oleh fungsi distribusi

F(X) = hal(X X).

Fungsi distribusi F(X) adalah fungsi tak-menurun, kontinu ke kiri yang didefinisikan pada seluruh garis bilangan, sedangkan

F (- )= 0,F (+ )= 1.

Untuk variabel acak diskrit, fungsi ini dinyatakan dengan rumus

.

Oleh karena itu dalam hal ini

Grafik fungsi distribusi F(X) adalah garis berundak (Gbr. 12)

Nilai yang diharapkanM(X) adalah rata-rata aritmatika tertimbang dari nilai-nilai tersebut X 1 , X 2 ,……X N variabel acak X dengan timbangan ρ 1, ρ 2, …… , ρ N dan disebut nilai rata-rata dari variabel acak X. Menurut rumusnya

M(X)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 +……+x N ρ N

M(X) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.

Penyebaran mencirikan derajat dispersi nilai-nilai variabel acak dari nilai rata-ratanya dan dilambangkan D(X):

D(X)=M[(Hm(X)) 2 ]= M(X 2) –[M(X)] 2 .

Untuk variabel acak diskrit, variansnya berbentuk

atau bisa dihitung dengan rumus

Mengganti data numerik dari masalah ke dalam rumus, kita mendapatkan:

M(X 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D(X) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. Dua buah dadu dilempar dua kali secara bersamaan. Tuliskan hukum binomial distribusi variabel acak diskrit X- jumlah kemunculan jumlah poin genap pada dua dadu.

Larutan. Mari kita perkenalkan peristiwa acak

A= (dua dadu dengan sekali pelemparan menghasilkan jumlah poin genap).

Dengan menggunakan definisi klasik tentang probabilitas, kita temukan

R(A)= ,

Di mana N - jumlah kemungkinan hasil tes ditemukan menurut aturan

perkalian:

N = 6∙6 =36,

M - sejumlah orang yang mendukung acara tersebut A hasil - sama

M= 3∙6=18.

Jadi, peluang keberhasilan dalam satu kali percobaan adalah

ρ = hal(A)= 1/2.

Masalahnya diselesaikan dengan menggunakan skema uji Bernoulli. Salah satu tantangan di sini adalah melempar dua dadu sekaligus. Jumlah tes tersebut N = 2. Variabel acak X mengambil nilai 0, 1, 2 dengan probabilitas

R 2 (0) =,R 2 (1) =∙,R 2 (2) =

Distribusi binomial yang diperlukan dari variabel acak X dapat direpresentasikan sebagai rangkaian distribusi:

4.5 . Dalam kumpulan enam bagian ada empat bagian standar. Tiga bagian dipilih secara acak. Buatlah distribusi probabilitas dari variabel acak diskrit X– jumlah bagian standar di antara bagian yang dipilih dan temukan ekspektasi matematisnya.

Larutan. Nilai variabel acak X adalah angka 0,1,2,3. Sudah jelas itu R(X=0)=0, karena hanya ada dua bagian non-standar.

R(X=1) =
=1/5,

R(X= 2) =
= 3/5,

R(X=3) =
= 1/5.

Hukum distribusi variabel acak X Mari kita sajikan dalam bentuk rangkaian distribusi:

Nilai yang diharapkan

M(X)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Buktikan bahwa ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit X- jumlah kemunculan peristiwa tersebut A V N uji coba independen, yang masing-masing peluang terjadinya suatu peristiwa sama dengan ρ – sama dengan hasil kali jumlah percobaan dengan peluang terjadinya suatu kejadian dalam satu percobaan, yaitu untuk membuktikan bahwa ekspektasi matematis dari distribusi binomial

M(X) =N . ρ ,

dan dispersi

D(X) =n.p. .

Larutan. Nilai acak X dapat mengambil nilai 0, 1, 2..., N. Kemungkinan R(X= k) ditemukan menggunakan rumus Bernoulli:

R(X=k)= R N(k)= ρ Ke (1-ρ ) N- Ke

Rangkaian distribusi variabel acak X memiliki bentuk:

Di mana Q= 1- ρ .

Untuk ekspektasi matematis kita memiliki ekspresi:

M(X)=ρq N - 1 +2 ρ 2 Q N - 2 +…+.N ρ N

Dalam kasus satu tes, yaitu dengan n= 1 untuk variabel acak X 1 – jumlah kemunculan peristiwa A- rangkaian distribusinya berbentuk :

M(X 1)= 0∙q + 1 ∙ P = P

D(X 1) = P – P 2 = P(1- P) = hal.

Jika X k – jumlah kemunculan peristiwa A di tes mana, lalu R(X Ke)= ρ Dan

X = X 1 +X 2 +….+X N .

Dari sini kita dapatkan

M(X)=M(X 1 )+M(X 2)+ … +M(X N)= tidak,

D(X)=D(X 1)+D(X 2)+ ... +D(X N)=npq.

4.7. Departemen kendali mutu memeriksa standaritas produk. Peluang produk tersebut standar adalah 0,9. Setiap batch berisi 5 produk. Temukan ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit X- jumlah batch, yang masing-masing akan berisi 4 produk standar - jika 50 batch harus diperiksa.

Larutan. Probabilitas bahwa akan terdapat 4 produk standar dalam setiap batch yang dipilih secara acak adalah konstan; mari kita nyatakan dengan ρ .Kemudian ekspektasi matematis dari variabel acak X sama M(X)= 50∙ρ.

Mari kita cari kemungkinannya ρ menurut rumus Bernoulli:

ρ=P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

M(X)= 50∙0,32=16.

4.8 . Tiga buah dadu dilempar. Temukan ekspektasi matematis dari jumlah poin yang dijatuhkan.

Larutan. Anda dapat menemukan distribusi variabel acak X- jumlah poin yang dijatuhkan dan kemudian ekspektasi matematisnya. Namun, jalur ini terlalu rumit. Lebih mudah menggunakan teknik lain, yang mewakili variabel acak X, ekspektasi matematis yang perlu dihitung, berupa penjumlahan beberapa variabel acak yang lebih sederhana, ekspektasi matematisnya lebih mudah dihitung. Jika variabel acak X Saya adalah jumlah poin yang diperoleh Saya– tulang ( Saya= 1, 2, 3), maka jumlah poinnya X akan dinyatakan dalam bentuk

X = X 1 + X 2 + X 3 .

Untuk menghitung ekspektasi matematis dari variabel acak asli, yang tersisa hanyalah menggunakan properti ekspektasi matematis

M(X 1 + X 2 + X 3 )= M(X 1 )+ M(X 2)+ M(X 3 ).

Jelas sekali

R(X Saya = K)= 1/6, KE= 1, 2, 3, 4, 5, 6, Saya= 1, 2, 3.

Oleh karena itu, ekspektasi matematis dari variabel acak X Saya seperti

M(X Saya) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

M(X) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Tentukan ekspektasi matematis dari jumlah perangkat yang gagal selama pengujian jika:

a) kemungkinan kegagalan semua perangkat adalah sama R, dan jumlah perangkat yang diuji sama dengan N;

b) kemungkinan kegagalan untuk Saya – perangkat sama dengan P Saya , Saya= 1, 2, … , N.

Larutan. Biarkan variabel acak X adalah jumlah perangkat yang gagal

X = X 1 + X 2 + … + X N ,

X Saya =

Sudah jelas itu

R(X Saya = 1)= R Saya , R(X Saya = 0)= 1– R Saya ,saya= 1, 2, … ,N.

M(X Saya)= 1∙R Saya + 0∙(1-R Saya)=P Saya ,

M(X)=M(X 1)+M(X 2)+ … +M(X N)=P 1 +P 2 + … + P N .

Dalam kasus “a”, kemungkinan kegagalan perangkat adalah sama, yaitu

R Saya = hal,saya= 1, 2, … ,N.

M(X)= n.p..

Jawaban ini bisa langsung didapat jika kita memperhatikan variabel acaknya X memiliki distribusi binomial dengan parameter ( N, P).

4.10. Dua buah dadu dilempar secara bersamaan sebanyak dua kali. Tuliskan hukum binomial distribusi variabel acak diskrit X - jumlah pelemparan sejumlah poin genap pada dua dadu.

Larutan. Membiarkan

A=(menggulirkan bilangan genap pada dadu pertama),

B =(melempar angka genap pada dadu kedua).

Mendapatkan angka genap pada kedua dadu dalam satu pelemparan dinyatakan dengan hasil perkalian AB. Kemudian

R (AB) = R(A)∙R(DI DALAM) =
.

Hasil lemparan dua dadu yang kedua tidak bergantung pada lemparan pertama, sehingga berlaku rumus Bernoulli kapan

N = 2,hal = 1/4, Q = 1– hal = 3/4.

Nilai acak X dapat mengambil nilai 0, 1, 2 , probabilitasnya dapat dicari dengan menggunakan rumus Bernoulli:

R(X= 0)= hal 2 (0) = Q 2 = 9/16,

R(X= 1)= hal 2 (1)= C ,R∙Q = 6/16,

R(X= 2)= hal 2 (2)= C , R 2 = 1/16.

Rangkaian distribusi variabel acak X:

4.11. Perangkat ini terdiri dari sejumlah besar elemen yang beroperasi secara independen dengan kemungkinan kegagalan yang sangat kecil dari setiap elemen seiring waktu T. Temukan jumlah rata-rata penolakan dari waktu ke waktu T elemen, jika probabilitas paling sedikit satu elemen akan gagal selama waktu ini adalah 0,98.

Larutan. Jumlah orang yang menolak seiring berjalannya waktu T elemen – variabel acak X, yang terdistribusi menurut hukum Poisson, karena jumlah elemennya banyak, elemen-elemen tersebut bekerja secara independen dan kemungkinan kegagalan setiap elemen kecil. Jumlah rata-rata kemunculan suatu peristiwa di N tes sama

M(X) = n.p..

Karena kemungkinan kegagalan KE elemen dari N dinyatakan dengan rumus

R N (KE)
,

dimana  = n.p., maka kemungkinan tidak ada satu pun elemen yang gagal selama waktu tersebut T kita sampai K = 0:

R N (0)= e -  .

Oleh karena itu, kemungkinan terjadinya kejadian sebaliknya akan terjadi pada waktunya T setidaknya satu elemen gagal – sama dengan 1 - e -  . Berdasarkan kondisi soal, probabilitasnya adalah 0,98. Dari Persamaan.

1 - e -  = 0,98,

e -  = 1 – 0,98 = 0,02,

dari sini  = -ln 0,02  4.

Jadi, tepat waktu T pengoperasian perangkat, rata-rata 4 elemen akan gagal.

4.12 . Dadu dilempar sampai muncul angka “dua”. Temukan jumlah rata-rata lemparan.

Larutan. Mari kita perkenalkan variabel acak X– jumlah pengujian yang harus dilakukan hingga peristiwa yang menarik bagi kami terjadi. Kemungkinan itu X= 1 sama dengan peluang munculnya “dua” dalam satu pelemparan dadu, yaitu.

R(X= 1) = 1/6.

Peristiwa X= 2 berarti pada tes pertama tidak muncul “dua”, tetapi pada tes kedua muncul. Kemungkinan kejadian X= 2 ditemukan dengan aturan mengalikan peluang kejadian independen:

R(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

Juga,

R(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

dll. Kami memperoleh serangkaian distribusi probabilitas:

Jumlah rata-rata lemparan (percobaan) adalah ekspektasi matematis

M(X) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + KE (5/6) KE -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + KE (5/6) KE -1 + …)

Mari kita cari jumlah deretnya:

KEG KE -1 = (G KE) G 
.

Karena itu,

M(X) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

Oleh karena itu, Anda perlu melakukan rata-rata 6 lemparan dadu hingga muncul angka “dua”.

4.13. Tes independen dilakukan dengan probabilitas terjadinya suatu peristiwa yang sama A dalam setiap ujian. Temukan probabilitas suatu peristiwa terjadi A, jika varians banyaknya kemunculan suatu peristiwa dalam tiga percobaan bebas adalah 0,63 .

Larutan. Banyaknya kemunculan suatu peristiwa dalam tiga percobaan merupakan variabel acak X, didistribusikan menurut hukum binomial. Varians banyaknya kemunculan suatu peristiwa dalam percobaan bebas (dengan peluang terjadinya peristiwa yang sama pada setiap percobaan) sama dengan hasil kali banyaknya percobaan dengan peluang terjadinya dan tidak terjadinya peristiwa tersebut. (masalah 4.6)

D(X) = npq.

Dengan syarat N = 3, D(X) = 0,63, jadi Anda bisa R temukan dari persamaan

0,63 = 3∙R(1-R),

yang memiliki dua solusi R 1 = 0,7 dan R 2 = 0,3.