Bagaimana cara mencari luas segitiga. Menghitung luas poligon dari koordinat titik-titiknya Menentukan luas segitiga dari koordinat titik-titiknya

Metode koordinat, yang diusulkan pada abad ke-17 oleh matematikawan Perancis R. Descartes (1596-1650) dan P. Fermat (1601-1665), adalah alat canggih yang memungkinkan seseorang menerjemahkan konsep geometris ke dalam bahasa aljabar. Metode ini didasarkan pada konsep sistem koordinat. Kami akan mempertimbangkan menghitung luas poligon dari koordinat titik-titiknya dalam sistem koordinat persegi panjang.

Luas segitiga

Teorema 1. Jika adalah luas segitiga

maka persamaan tersebut benar

kita sebut saja determinan luas segitiga.

Bukti. Misalkan titik sudut segitiga terletak pada kuadran koordinat pertama. Ada dua kemungkinan kasus.

Kasus 1. Arah (atau, atau) letak titik-titik sudut segitiga bertepatan dengan arah pergerakan ujung jarum jam (Gbr. 1.30).

Karena bangun tersebut berbentuk trapesium.

Demikian pula kita menemukannya

Dengan melakukan transformasi aljabar

kita mendapatkan bahwa:

Oleh karena itu, pada persamaan (1.9), determinan luas adalah tanda minus di depan ekspresi, karena.

Mari kita tunjukkan itu. Memang benar, di sini

(luas persegi panjang dengan alas dan tinggi lebih besar dari jumlah luas persegi panjang dengan alas dan tinggi; (Gbr. 1.30), maka

Kasus 2. Arah yang ditunjukkan pada kasus 1 berlawanan dengan arah pergerakan ujung jarum jam (Gbr. 1.31)

karena bangun tersebut adalah trapesium, dan

Di mana. Memang benar, di sini

Teorema tersebut terbukti jika titik sudut suatu segitiga terletak pada kuadran koordinat pertama.

Dengan menggunakan konsep modulus, persamaan (1.9) dan (1.10) dapat ditulis sebagai berikut:

Catatan 1. Kami memperoleh rumus (1.8) dengan mempertimbangkan susunan simpul paling sederhana, yang ditunjukkan pada Gambar 1.30 dan 1.31; namun, rumus (1.8) berlaku untuk semua susunan simpul.

Perhatikan kasus yang digambarkan pada Gambar 1.32.

Oleh karena itu, dengan melakukan transformasi geometri sederhana:

kita mendapatkan lagi apa, dimana

Luas n-gon

Sebuah poligon dapat berbentuk cembung atau non-cembung; urutan penomoran simpul dianggap negatif jika simpul-simpul tersebut diberi nomor searah jarum jam. Poligon yang tidak mempunyai sisi-sisi yang berpotongan sendiri disebut poligon sederhana. Sederhananya memang begitu N-gon berikut ini benar

Teorema 2. Jika adalah luas bilangan prima N-gon, dimana, maka persamaan tersebut benar

kita akan menyebut determinan luas suatu bilangan prima N-gon.

Bukti. Ada dua kemungkinan kasus.

Kasus 1. N-gon - cembung. Mari kita buktikan rumus (1.11) dengan menggunakan metode induksi matematika.

Sebab sudah terbukti (Teorema 1). Mari kita berasumsi bahwa ini benar N-gon; mari kita buktikan bahwa tetap valid untuk cembung ( N+1)-gon.

Mari tambahkan satu titik sudut lagi ke poligon (Gbr. 1.33).

Jadi, rumus tersebut berlaku untuk ( N+1)-gon, dan oleh karena itu, kondisi induksi matematika terpenuhi, yaitu rumus (1.11) untuk kasus cembung N-gon telah terbukti.

Kasus 2. N-gon - tidak cembung.

Dalam bentuk non-cembung apa pun N-gon seseorang dapat menggambar diagonal yang terletak di dalamnya, dan oleh karena itu bukti kasus 2 untuk non-cembung N-gon mirip dengan pembuktian cembung N-gon.

Catatan 2. Ekspresi untuk tidak mudah diingat. Oleh karena itu, untuk menghitung nilainya, akan lebih mudah untuk menuliskan koordinat pertama, kedua, ketiga, ..., dalam sebuah kolom. N-th dan lagi simpul pertama N-gon dan kalikan sesuai skema:

Tanda-tanda pada kolom (1.12) harus disusun seperti terlihat pada diagram (1.13).

Catatan 3. Saat membuat kolom (1.12) untuk sebuah segitiga, Anda dapat memulai dari titik mana pun.

Catatan 4. Saat menyusun kolom (1.12) untuk N-gon () perlu mengikuti urutan penulisan koordinat simpul N-gon (tidak masalah dari titik mana traversal akan dimulai). Oleh karena itu, hitunglah luasnya N-gon harus dimulai dengan pembuatan gambar "kasar".

Segitiga adalah salah satu bentuk geometris yang paling umum kita kenal di sekolah dasar. Setiap siswa dihadapkan pada pertanyaan bagaimana mencari luas segitiga dalam pelajaran geometri. Jadi, ciri-ciri pencarian luas suatu bangun apa yang dapat diidentifikasi? Pada artikel ini kita akan melihat rumus dasar yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas seperti itu, dan juga menganalisis jenis-jenis segitiga.

Jenis-jenis segitiga

Anda dapat mencari luas segitiga dengan cara yang sangat berbeda, karena dalam geometri terdapat lebih dari satu jenis bangun datar yang memuat tiga sudut. Jenis-jenis tersebut antara lain:

Tumpul.
Sama sisi (benar).
Segitiga siku-siku.
Sama kaki.

Mari kita lihat lebih dekat masing-masing jenis segitiga yang ada.

Sosok geometris ini dianggap paling umum dalam menyelesaikan masalah geometri. Ketika ada kebutuhan untuk menggambar segitiga sembarang, opsi ini bisa membantu.

Pada segitiga lancip, seperti namanya, semua sudutnya lancip dan berjumlah 180°.

Jenis segitiga ini juga sangat umum, tetapi kurang umum dibandingkan segitiga lancip. Misalnya, ketika menyelesaikan sebuah segitiga (yaitu, beberapa sisi dan sudutnya diketahui dan Anda perlu mencari elemen yang tersisa), terkadang Anda perlu menentukan apakah sudut tersebut tumpul atau tidak. Cosinus adalah bilangan negatif.

B, nilai salah satu sudut melebihi 90°, sehingga dua sudut lainnya dapat bernilai kecil (misalnya 15° atau bahkan 3°).

Untuk mencari luas segitiga jenis ini, Anda perlu mengetahui beberapa nuansanya, yang akan kita bahas nanti.

Segitiga beraturan dan sama kaki

Poligon beraturan adalah bangun datar yang mempunyai n sudut dan semua sisi serta sudutnya sama besar. Inilah yang dimaksud dengan segitiga beraturan. Karena jumlah seluruh sudut suatu segitiga adalah 180°, maka ketiga sudut tersebut masing-masing adalah 60°.

Segitiga beraturan, karena sifat-sifatnya, disebut juga bangun datar sama sisi.

Perlu juga dicatat bahwa hanya satu lingkaran yang dapat ditulisi dalam segitiga beraturan, dan hanya satu lingkaran yang dapat digambarkan di sekitarnya, dan pusat-pusatnya terletak pada titik yang sama.

Selain tipe sama sisi, segitiga sama kaki juga dapat dibedakan, yang sedikit berbeda dengannya. Dalam segitiga seperti itu, dua sisi dan dua sudut sama besar, dan sisi ketiga (yang berdekatan dengan sudut yang sama besar) adalah alasnya.

Gambar tersebut menunjukkan segitiga sama kaki DEF yang sudut D dan F sama besar dan DF adalah alasnya.

Segitiga siku-siku

Segitiga siku-siku dinamakan demikian karena salah satu sudutnya siku-siku, yaitu sama dengan 90°. Dua sudut lainnya berjumlah 90°.

Sisi terbesar segitiga tersebut, yang terletak di hadapan sudut 90°, adalah sisi miring, sedangkan dua sisi sisanya adalah kaki. Untuk segitiga jenis ini berlaku teorema Pythagoras:

Jumlah kuadrat panjang kaki sama dengan kuadrat panjang sisi miring.

Gambar tersebut menunjukkan segitiga siku-siku BAC dengan sisi miring AC dan kaki AB dan BC.

Untuk mencari luas segitiga siku-siku, Anda perlu mengetahui nilai numerik kaki-kakinya.

Mari kita beralih ke rumus untuk mencari luas suatu bangun tertentu.

Rumus dasar mencari luas

Dalam geometri, ada dua rumus yang cocok untuk mencari luas sebagian besar jenis segitiga, yaitu segitiga lancip, tumpul, beraturan, dan sama kaki. Mari kita lihat masing-masingnya.

Berdasarkan sisi dan tinggi

Rumus ini bersifat universal untuk mencari luas bangun yang sedang kita pertimbangkan. Untuk melakukan ini, cukup mengetahui panjang sisi dan panjang tinggi yang ditariknya. Rumusnya sendiri (setengah hasil kali alas dan tinggi) adalah sebagai berikut:

dimana A adalah sisi suatu segitiga, dan H adalah tinggi segitiga tersebut.

Misalnya, untuk mencari luas segitiga lancip ACB, Anda perlu mengalikan sisi AB dengan tinggi CD dan membagi nilai yang dihasilkan dengan dua.

Namun, tidak selalu mudah untuk mencari luas segitiga dengan cara ini. Misalnya, untuk menggunakan rumus segitiga tumpul ini, Anda perlu memanjangkan salah satu sisinya, lalu menggambar tingginya.

Dalam praktiknya, rumus ini lebih sering digunakan dibandingkan rumus lainnya.

Di kedua sisi dan sudut

Rumus ini, seperti rumus sebelumnya, cocok untuk sebagian besar segitiga dan maknanya merupakan konsekuensi dari rumus mencari luas sisi dan tinggi suatu segitiga. Artinya, rumus yang dimaksud dapat dengan mudah diturunkan dari rumus sebelumnya. Rumusannya seperti ini:

S = ½*sinO*A*B,

dimana A dan B adalah sisi-sisi segitiga, dan O adalah sudut antara sisi A dan B.

Mari kita ingat bahwa sinus suatu sudut dapat dilihat dalam tabel khusus yang dinamai menurut nama ahli matematika Soviet terkemuka V. M. Bradis.

Sekarang mari beralih ke rumus lain yang hanya cocok untuk jenis segitiga luar biasa.

Luas segitiga siku-siku

Selain rumus universal yang memuat kebutuhan untuk mencari tinggi suatu segitiga, luas segitiga yang mempunyai sudut siku-siku juga dapat dicari dari kaki-kakinya.

Jadi, luas segitiga yang mempunyai sudut siku-siku adalah setengah hasil kali kaki-kakinya, atau:

dimana a dan b adalah kaki-kaki segitiga siku-siku.

Segitiga beraturan

Jenis bangun geometri ini berbeda karena luasnya dapat ditemukan dengan nilai yang ditunjukkan hanya pada salah satu sisinya (karena semua sisi segitiga beraturan adalah sama besar). Jadi, ketika dihadapkan pada tugas “mencari luas segitiga jika sisi-sisinya sama panjang”, Anda perlu menggunakan rumus berikut:

S = SEBUAH 2 *√3 / 4,

dimana A adalah sisi segitiga sama sisi.

Rumus bangau

Pilihan terakhir untuk mencari luas segitiga adalah rumus Heron. Untuk menggunakannya, Anda perlu mengetahui panjang ketiga sisi gambar. Rumus Heron terlihat seperti ini:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

dimana a, b dan c adalah sisi-sisi suatu segitiga.

Kadang-kadang diberikan soal: “luas segitiga beraturan adalah mencari panjang sisinya.” Dalam hal ini, kita perlu menggunakan rumus yang sudah kita ketahui untuk mencari luas segitiga beraturan dan menurunkan nilai sisi (atau perseginya):

SEBUAH 2 = 4S / √3.

Tugas pemeriksaan

Ada banyak rumus dalam soal GIA dalam matematika. Selain itu, seringkali perlu mencari luas segitiga di atas kertas kotak-kotak.

Dalam hal ini, akan lebih mudah untuk menggambar tinggi ke salah satu sisi gambar, menentukan panjangnya dari sel dan menggunakan rumus universal untuk mencari luas:

Jadi, setelah mempelajari rumus-rumus yang disajikan pada artikel tersebut, Anda tidak akan kesulitan mencari luas segitiga apa pun.