Rumus yang menghubungkan segmen garis proporsional dalam segitiga siku-siku. Segmen garis proporsional dalam segitiga siku-siku

Tanda kesamaan untuk segitiga siku-siku

Pertama-tama, mari kita perkenalkan kriteria kesamaan untuk segitiga siku-siku.

Teorema 1

Tanda kesamaan untuk segitiga siku-siku: dua segitiga siku-siku serupa jika mereka memiliki satu sudut lancip yang sama (gbr. 1).

Gambar 1. Segitiga siku-siku serupa

Bukti.

Mari kita ketahui bahwa $ \\ angle B \u003d \\ angle B_1 $. Karena segitiga berbentuk persegi panjang, maka $ \\ angle A \u003d \\ angle A_1 \u003d (90) ^ 0 $. Oleh karena itu, mereka serupa pada tanda pertama kemiripan segitiga.

Teorema tersebut terbukti.

Teorema ketinggian dalam segitiga siku-siku

Teorema 2

Tinggi segitiga siku-siku, yang diambil dari puncak sudut siku-siku, membagi segitiga menjadi dua segitiga siku-siku yang serupa, yang masing-masing mirip dengan segitiga ini.

Bukti.

Mari kita diberi segitiga siku-siku $ ABC $ dengan sudut siku-siku $ C $. Mari menggambar tinggi $ CD $ (Gbr. 2).

Gambar 2. Ilustrasi Teorema 2

Mari kita buktikan bahwa segitiga $ ACD $ dan $ BCD $ mirip dengan segitiga $ ABC $ dan bahwa segitiga $ ACD $ dan $ BCD $ mirip satu sama lain.

Karena $ \\ angle ADC \u003d (90) ^ 0 $, segitiga $ ACD $ berbentuk persegi panjang. Segitiga $ ACD $ dan $ ABC $ memiliki sudut yang sama $ A $, oleh karena itu, menurut Teorema 1, segitiga $ ACD $ dan $ ABC $ adalah serupa.

Karena $ \\ angle BDC \u003d (90) ^ 0 $, segitiga $ BCD $ berbentuk persegi panjang. Segitiga $ BCD $ dan $ ABC $ memiliki sudut yang sama $ B $, oleh karena itu, menurut Teorema 1, segitiga $ BCD $ dan $ ABC $ adalah serupa.

Pertimbangkan sekarang segitiga $ ACD $ dan $ BCD $

\\ [\\ sudut A \u003d (90) ^ 0- \\ sudut ACD \\] \\ [\\ sudut BCD \u003d (90) ^ 0- \\ sudut ACD \u003d \\ sudut A \\]

Oleh karena itu, menurut Teorema 1, segitiga $ ACD $ dan $ BCD $ adalah serupa.

Teorema tersebut terbukti.

Rata-rata proporsional

Teorema 3

Tinggi segitiga siku-siku, yang diambil dari titik sudut siku-siku, adalah rata-rata proporsional untuk ruas-ruas tempat tinggi membagi hipotenusa segitiga ini.

Bukti.

Menurut Teorema 2, kita mendapatkan bahwa segitiga $ ACD $ dan $ BCD $ serupa, karenanya

Teorema tersebut terbukti.

Teorema 4

Kaki segitiga siku-siku adalah rata-rata proporsional antara hipotenusa dan ruas hipotenusa, tertutup di antara kaki dan tinggi yang ditarik dari puncak sudut.

Bukti.

Dalam pembuktian teorema, kita akan menggunakan notasi dari Gambar 2.

Berdasarkan Teorema 2, kita mendapatkan bahwa segitiga $ ACD $ dan $ ABC $ serupa, karenanya

Teorema tersebut terbukti.

Tujuan pelajaran:

1. memperkenalkan konsep rata-rata proporsional (rata-rata geometris) dari dua segmen;
2. pertimbangkan masalah segmen proporsional dalam segitiga siku-siku: properti dari tinggi segitiga siku-siku, ditarik dari titik sudut siku-siku;
3. untuk membentuk keterampilan siswa dalam menggunakan topik yang dipelajari dalam proses pemecahan masalah.

Jenis pelajaran: pelajaran dalam mempelajari materi baru.

Rencana:

1. Momen organisasi.
2. Pembaruan pengetahuan.
3. Mempelajari properti tinggi segitiga siku-siku, yang digambar dari titik sudut siku-siku:
   - tahap persiapan;
   - pengantar;
   - asimilasi.
4. Pengenalan konsep mean proporsional dengan dua segmen.
5. Menguasai konsep rata-rata yang berbanding lurus dengan dua segmen.
6. Bukti konsekuensi:
   - tinggi segitiga siku-siku, yang diambil dari atas sudut siku-siku, adalah rata-rata proporsional antara segmen di mana sisi miring dibagi dengan tinggi ini;
   - kaki segitiga siku-siku adalah rata-rata proporsional antara hipotenusa dan ruas hipotenusa, tertutup di antara kaki dan tingginya.
7. Menyelesaikan masalah.
8. Meringkas.
9. Pengaturan pekerjaan rumah.

Selama kelas

I. ORGMOMENT

- Halo teman-teman, silakan duduk. Apakah semua orang siap untuk pelajaran?

Mulai.

II. PEMBARUAN PENGETAHUAN

- Konsep matematika penting apa yang Anda temui di pelajaran sebelumnya? ( dengan konsep kemiripan segitiga)

- Mari kita ingat dua segitiga mana yang disebut mirip? (dua segitiga dikatakan serupa jika sudutnya masing-masing sama dan sisi satu segitiga sebanding dengan sisi yang sama dari segitiga lainnya))

- Apa yang kita gunakan untuk membuktikan kesamaan dua segitiga? (

- Rumuskan tanda-tanda ini (merumuskan tiga kriteria kemiripan segitiga)

AKU AKU AKU. MEMPELAJARI SIFAT TINGGI SEGITIGA REKTANGULER YANG DIGAMBIL DARI ATAS SUDUT KANAN

a) tahap persiapan

- Teman-teman, silakan lihat slide pertama. ( aplikasi) Berikut adalah dua segitiga siku-siku - dan. dan - ketinggian dan, masing-masing. .

Tugas 1.a) Tentukan apakah dan serupa.

- Apa yang kita gunakan untuk membuktikan kesamaan segitiga? ( tanda-tanda kesamaan segitiga)

(tanda pertama, karena tidak ada yang diketahui tentang sisi-sisi segitiga dalam soal)

... (Dua pasang: 1.∟B \u003d ∟B1 (garis lurus), 2.∟A \u003d ∟A 1)

- Buat kesimpulan. ( oleh tanda pertama kesamaan segitiga ~)

Tugas 1.b) Tentukan apakah dan serupa.

- Tanda kesamaan apa yang akan kita gunakan dan mengapa? (tanda pertama, karena dalam soal tidak ada yang diketahui tentang sisi-sisi segitiga)

- Berapa pasang sudut yang sama yang perlu kita temukan? Temukan pasangan ini (karena segitiga berbentuk persegi panjang, maka sepasang sudut yang sama sudah cukup: ∟A \u003d ∟A 1)

- Buat kesimpulan. (dengan tanda pertama kemiripan segitiga, kami menyimpulkan bahwa segitiga ini serupa).

Hasil percakapan, slide 1 terlihat seperti ini:

b) penemuan teorema

Tugas 2.

- Tentukan apakah dan, dan serupa. Sebagai hasil dari percakapan, jawaban dibuat, yang tercermin pada slide.

- Gambar menunjukkan itu. Apakah kita menggunakan ukuran derajat ini saat menjawab pertanyaan tentang tugas? ( Tidak, tidak digunakan)

- Teman-teman, buatlah kesimpulan: di segitiga manakah segitiga siku-siku membagi tinggi yang ditarik dari titik sudut siku-siku? (menyimpulkan)

- Muncul pertanyaan: akankah kedua segitiga siku-siku ini, di mana ketinggiannya memecah segitiga siku-siku, akan serupa satu sama lain? Mari kita coba mencari pasangan sudut yang sama.

Sebagai hasil dari percakapan, sebuah rekaman dibuat:

- Sekarang mari kita buat kesimpulan lengkap. ( KESIMPULAN: tinggi segitiga siku-siku, diambil dari titik sudut siku-siku, membagi segitiga menjadi dua suka

- Jadi. kami telah merumuskan dan membuktikan teorema tentang properti tinggi segitiga siku-siku.

Mari kita membangun struktur teorema dan menggambar. Apa yang diberikan dalam teorema dan apa yang perlu dibuktikan? Siswa menulis di buku catatan:

- Mari kita buktikan item pertama dari teorema untuk gambar baru. Tanda kesamaan apa yang akan kita gunakan dan mengapa? (Yang pertama, karena dalam teorema tidak ada yang diketahui tentang sisi-sisi segitiga)

- Berapa pasang sudut yang sama yang perlu kita temukan? Temukan pasangan ini. (Dalam hal ini, satu pasang sudah cukup: ∟A-umum)

- Buat kesimpulan. Segitiga-segitiga itu serupa. Hasilnya, sampel teorema ditampilkan

- Tuliskan poin kedua dan ketiga di rumah sendiri.

c) asimilasi teorema

- Jadi, rumuskan lagi dalilnya (Tinggi segitiga siku-siku, yang diambil dari titik sudut siku-siku, membagi segitiga menjadi dua sukasegitiga siku-siku, yang masing-masing mirip dengan yang ini)

- Berapa banyak pasang segitiga serupa dalam konstruksi "dalam segitiga siku-siku yang ketinggiannya diambil dari titik sudut siku-siku" yang diizinkan oleh teorema ini? ( Tiga pasang)

Siswa ditawari tugas berikut:

IV. PENGANTAR KONSEP PROPORSI RATA-RATA DUA KAKI

- Dan sekarang kami akan mempelajari konsep baru dengan Anda.

Perhatian!

Definisi. Bagian XY dipanggil proporsional rata-rata (rata-rata geometris) antar segmen AB dan CD, jika sebuah

(tulis di buku catatan).

V. PENUGASAN KONSEP PROPORSI RATA-RATA DUA INTERSEK

- Sekarang mari beralih ke slide berikutnya.

Latihan 1.Tentukan panjang mean dari segmen proporsional MN dan KP, jika MN \u003d 9 cm, KP \u003d 16 cm.

- Apa yang diberikan dalam tugas? ( Dua ruas dan panjangnya: MN \u003d 9 cm, KP \u003d 16 cm)

- Apa yang perlu kamu temukan? ( Panjang rata-rata sebanding dengan ruas-ruas tersebut)

- Apa rumus mean proporsional dan bagaimana kita menemukannya?

(Kami mengganti data ke dalam rumus dan menemukan panjang prop rata-rata.)

Tugas nomor 2.Hitung panjang ruas AB jika rata-rata sebanding dengan ruas AB dan CD adalah 90 cm dan CD \u003d 100 cm

- Apa yang diberikan dalam tugas? (panjang ruas CD \u003d 100 cm dan rata-rata sebanding dengan ruas AB dan CD adalah 90 cm)

- Apa yang perlu Anda temukan dalam soal? ( Panjang segmen AB)

- Bagaimana kita akan menyelesaikan masalah ini? (Kami menulis rumus untuk rata-rata segmen proporsional AB dan CD, menyatakan panjang AB darinya dan mengganti data masalah.)

Vi. KESIMPULAN KONSEKUENSI

- Kerja bagus. Sekarang mari kita kembali ke kesamaan segitiga, yang telah kita buktikan dalam teorema. Rumuskan kembali teorema. ( Tinggi segitiga siku-siku, diambil dari titik sudut siku-siku, membagi segitiga menjadi dua sukasegitiga siku-siku, yang masing-masing mirip dengan yang diberikan)

- Pertama mari kita gunakan kesamaan segitiga dan. Apa selanjutnya dari ini? ( Menurut definisi kesamaan, sisi proporsional dengan kesamaan)

- Kesetaraan apa yang akan diperoleh dengan menggunakan properti utama proporsi? ()

- CD Ekspres dan buat kesimpulan (;.

Kesimpulan: tinggi segitiga siku-siku, yang diambil dari titik sudut siku-siku, adalah rata-rata proporsional antara segmen di mana sisi miring dibagi dengan tinggi ini)

- Dan sekarang buktikan sendiri bahwa kaki segitiga siku-siku adalah rata-rata proporsional antara hipotenusa dan ruas hipotenusa yang berada di antara kaki dan tingginya. Mari kita temukan dari - ... ruas tempat hipotenusa dibagi dengan tinggi ini )

Kaki segitiga siku-siku adalah rata-rata proporsional antara ... (- ... sisi miring dan ruas sisi miring antara kaki ini dan tinggi )

- Di mana kita menerapkan pernyataan yang dipelajari? ( Saat memecahkan masalah)

IX. PENUGASAN RUMAH

d / s: No. 571, No. 572 (a, e), karya independen dalam buku catatan, teori.

Hari ini kami mengundang perhatian Anda pada presentasi lain tentang subjek yang menakjubkan dan misterius - geometri. Dalam presentasi ini, kami akan memperkenalkan Anda pada properti baru bentuk geometris, khususnya, konsep garis proporsional dalam segitiga siku-siku.

Pertama, Anda perlu mengingat apa itu segitiga? Ini adalah poligon paling sederhana dengan tiga simpul yang dihubungkan oleh tiga ruas garis. Segitiga persegi panjang disebut segitiga yang salah satu sudutnya 90 derajat. Anda telah membiasakan diri dengan mereka secara lebih rinci dalam materi pelatihan kami sebelumnya yang disajikan kepada Anda.

Jadi, kembali ke topik kita hari ini, mari kita nyatakan secara berurutan bahwa tinggi segitiga siku-siku, yang diambil dari sudut 90 derajat, membaginya menjadi dua segitiga, yang serupa satu sama lain dan dengan aslinya. Semua gambar dan grafik yang Anda minati diberikan dalam presentasi yang diusulkan, dan kami menyarankan Anda untuk merujuk pada mereka, menyertai penjelasan yang dijelaskan.

Contoh grafik dari tesis di atas dapat dilihat pada slide kedua. Berdasarkan tanda pertama dari kemiripan segitiga, maka segitiga memiliki kemiripan, karena memiliki dua sudut yang identik. Jika Anda tentukan lebih detail, maka ketinggian yang diturunkan ke sisi miring membentuk sudut siku-siku dengannya, yaitu sudah ada sudut yang sama, dan masing-masing sudut yang terbentuk juga memiliki satu sudut yang sama seperti sudut awal. Hasilnya adalah dua sudut yang sama satu sama lain. Artinya, segitiga itu serupa.

Marilah kita juga menunjukkan apa arti konsep "mean proporsional" atau "mean geometris"? Ini adalah segmen XY tertentu untuk segmen AB dan CD, jika sama dengan akar kuadrat produk dari panjangnya.

Dari sini juga dapat disimpulkan bahwa kaki segitiga siku-siku adalah rata-rata geometris antara sisi miring dan proyeksi kaki ini ke sisi miring, yaitu kaki lainnya.

Sifat lain dari segitiga siku-siku adalah tingginya, yang diambil dari sudut 90 °, adalah proporsional rata-rata antara proyeksi kaki pada sisi miring. Jika Anda mengacu pada presentasi dan materi lain yang ditawarkan untuk perhatian Anda, Anda akan melihat bahwa ada bukti tesis yang ditunjukkan dalam bentuk yang sangat sederhana dan mudah diakses. Kami telah membuktikan bahwa segitiga yang dihasilkan mirip satu sama lain dan dengan segitiga asli. Kemudian, dengan menggunakan rasio kaki dari gambar-gambar geometris ini, kita sampai pada fakta bahwa tinggi segitiga siku-siku berbanding lurus dengan akar kuadrat dari hasil kali segmen yang terbentuk sebagai akibat dari penurunan tinggi dari sudut siku-siku segitiga asli.

Yang terakhir dalam presentasi menunjukkan bahwa kaki segitiga siku-siku adalah rata-rata geometris untuk sisi miring dan segmennya terletak di antara kaki dan tinggi, diambil dari sudut 90 derajat. Kasus ini harus dipertimbangkan dari sisi bahwa segitiga yang ditunjukkan mirip satu sama lain, dan kaki salah satunya diperoleh dengan sisi miring yang lain. Tetapi Anda akan mengenal ini lebih detail dengan mempelajari materi yang diusulkan.

Tanda kesamaan untuk segitiga siku-siku

Pertama-tama, mari kita perkenalkan kriteria kesamaan untuk segitiga siku-siku.

Teorema 1

Tanda kesamaan untuk segitiga siku-siku: dua segitiga siku-siku serupa jika mereka memiliki satu sudut lancip yang sama (gbr. 1).

Gambar 1. Segitiga siku-siku serupa

Bukti.

Mari kita ketahui bahwa $ \\ angle B \u003d \\ angle B_1 $. Karena segitiga berbentuk persegi panjang, maka $ \\ angle A \u003d \\ angle A_1 \u003d (90) ^ 0 $. Oleh karena itu, mereka serupa pada tanda pertama kemiripan segitiga.

Teorema tersebut terbukti.

Teorema ketinggian dalam segitiga siku-siku

Teorema 2

Tinggi segitiga siku-siku, yang diambil dari puncak sudut siku-siku, membagi segitiga menjadi dua segitiga siku-siku yang serupa, yang masing-masing mirip dengan segitiga ini.

Bukti.

Mari kita diberi segitiga siku-siku $ ABC $ dengan sudut siku-siku $ C $. Mari menggambar tinggi $ CD $ (Gbr. 2).

Gambar 2. Ilustrasi Teorema 2

Mari kita buktikan bahwa segitiga $ ACD $ dan $ BCD $ mirip dengan segitiga $ ABC $ dan bahwa segitiga $ ACD $ dan $ BCD $ mirip satu sama lain.

Karena $ \\ angle ADC \u003d (90) ^ 0 $, segitiga $ ACD $ berbentuk persegi panjang. Segitiga $ ACD $ dan $ ABC $ memiliki sudut yang sama $ A $, oleh karena itu, menurut Teorema 1, segitiga $ ACD $ dan $ ABC $ adalah serupa.

Karena $ \\ angle BDC \u003d (90) ^ 0 $, segitiga $ BCD $ berbentuk persegi panjang. Segitiga $ BCD $ dan $ ABC $ memiliki sudut yang sama $ B $, oleh karena itu, menurut Teorema 1, segitiga $ BCD $ dan $ ABC $ adalah serupa.

Pertimbangkan sekarang segitiga $ ACD $ dan $ BCD $

\\ [\\ sudut A \u003d (90) ^ 0- \\ sudut ACD \\] \\ [\\ sudut BCD \u003d (90) ^ 0- \\ sudut ACD \u003d \\ sudut A \\]

Oleh karena itu, menurut Teorema 1, segitiga $ ACD $ dan $ BCD $ adalah serupa.

Teorema tersebut terbukti.

Rata-rata proporsional

Teorema 3

Tinggi segitiga siku-siku, yang diambil dari titik sudut siku-siku, adalah rata-rata proporsional untuk ruas-ruas tempat tinggi membagi hipotenusa segitiga ini.

Bukti.

Menurut Teorema 2, kita mendapatkan bahwa segitiga $ ACD $ dan $ BCD $ serupa, karenanya

Teorema tersebut terbukti.

Teorema 4

Kaki segitiga siku-siku adalah rata-rata proporsional antara hipotenusa dan ruas hipotenusa, tertutup di antara kaki dan tinggi yang ditarik dari puncak sudut.

Bukti.

Dalam pembuktian teorema, kita akan menggunakan notasi dari Gambar 2.

Berdasarkan Teorema 2, kita mendapatkan bahwa segitiga $ ACD $ dan $ ABC $ serupa, karenanya

Teorema tersebut terbukti.

Pelajaran 40. Segmen garis proporsional dalam segitiga siku-siku. C. b. Sebuah. h. C. bc. H. ac. A. B. Tinggi segitiga siku-siku, yang diambil dari puncak sudut siku-siku, membagi segitiga tersebut menjadi 2 segitiga siku-siku yang serupa, yang masing-masing mirip dengan segitiga ini. Tanda kesamaan untuk segitiga siku-siku. Dua segitiga siku-siku dianggap serupa jika memiliki sudut lancip yang sama. Segmen XY disebut rata-rata proporsional (rata-rata geometris) untuk segmen AB dan CD jika Properti 1. Tinggi segitiga siku-siku, yang diambil dari titik sudut siku-siku, adalah rata-rata proporsional antara proyeksi kaki ke hipotenusa. Sifat 2. Kaki segitiga siku-siku adalah rata-rata proporsional antara sisi miring dan proyeksi kaki ini ke sisi miring.

Geometri kelas 8

"Memecahkan masalah pada teorema Pythagoras" - Segitiga ABC sama kaki. Aplikasi praktis dari teorema Pythagoras. AVSD berbentuk segi empat. Area persegi. Temukan pesawatnya. Bukti. Basis trapesium sama kaki. Pertimbangkan teorema Pythagoras. Luas segi empat. Segitiga persegi panjang. Teori Pitagoras. Kuadrat hipotenusa sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya.

"Menemukan luas jajaran genjang" - Alas. Tinggi. Penentuan ketinggian jajaran genjang. Tanda-tanda persamaan segitiga siku-siku. Area jajaran genjang. Temukan luas segitiga. Properti daerah. Latihan lisan. Temukan luas jajaran genjang. Tinggi genjang. Temukan keliling persegi. Luas segitiga. Temukan luas persegi. Temukan luas persegi panjang. Area persegi.

"Kotak" kelas 8 "- Kotak hitam. Tugas untuk pekerjaan lisan di sekeliling persegi. Area persegi. Tanda-tanda persegi. Alun-alun ada di antara kita. Persegi adalah persegi panjang dengan semua sisinya sama. Kotak. Tas dengan alas persegi. Tugas lisan. Berapa kotak yang ditunjukkan pada gambar. Properti persegi. Pedagang kaya. Tugas untuk pekerjaan lisan di area persegi. Garis keliling persegi.

"Penentuan simetri aksial" - Titik-titik yang terletak pada tegak lurus yang sama. Gambarlah dua garis lurus. Konstruksi. Poin plot. Cepat. Bentuk yang tidak simetris secara aksial. Bagian. Koordinat hilang. Angka. Bentuk dengan lebih dari dua sumbu simetri. Simetri. Simetri dalam puisi. Bangun segitiga. Sumbu simetri. Pembuatan segmen. Pembangunan sebuah titik. Bentuk dengan dua sumbu simetri. Rakyat. Segitiga. Proporsionalitas.

"Definisi Segitiga Serupa" - Poligon. Segmen garis proporsional. Rasio luas segitiga serupa. Dua segitiga disebut mirip. Kondisi. Buat segitiga menggunakan dua sudut yang diberikan dan garis-bagi pada puncak. Katakanlah Anda perlu menentukan jarak ke pos. Tanda ketiga kemiripan segitiga. Mari kita buat semacam segitiga. ABC. Segitiga ABC dan ABC sama pada tiga sisi. Penentuan ketinggian benda.

"Solusi dari teorema Pythagoras" - Bagian dari jendela. Bukti paling sederhana. Hammurabi. Diagonal. Bukti lengkap. Bukti pengurangan. Pythagoras. Bukti dengan metode ekspansi. Sejarah teorema. Diameter. Pembuktian dengan metode pelengkap. Bukti Epstein. Penyanyi. Segitiga. Pengikut. Penerapan teorema Pythagoras. Teori Pitagoras. Pernyataan teorema. Bukti Perigal. Penerapan teorema.