Pembagian bilangan bulat dengan sisa, aturan, contoh. Pembagian dengan sisa
Tanda-tanda pembagian bilangan- ini adalah aturan yang memungkinkan Anda mengetahui dengan relatif cepat, tanpa membagi, apakah bilangan ini habis dibagi bilangan tertentu tanpa sisa.
Beberapa tanda-tanda perpecahan cukup sederhana, ada pula yang lebih rumit. Di halaman ini Anda akan menemukan tanda-tanda habis dibagi bilangan prima, seperti misalnya 2, 3, 5, 7, 11, dan tanda-tanda habis dibagi bilangan komposit, seperti 6 atau 12.
Saya harap informasi ini bermanfaat bagi Anda.
Selamat belajar!
Uji pembagian dengan 2
Ini adalah salah satu tanda paling sederhana dari keterbagian. Bunyinya begini: jika notasi bilangan asli diakhiri dengan angka genap, maka bilangan tersebut genap (habis dibagi 2 tanpa sisa), dan jika notasi bilangan asli diakhiri dengan angka ganjil, maka bilangan tersebut ganjil .
Dengan kata lain, jika digit terakhir suatu bilangan adalah 2
, 4
, 6
, 8
atau 0
- bilangan tersebut habis dibagi 2, jika tidak maka tidak habis dibagi
Misalnya angka: 23 4
, 8270
, 1276
, 9038
, 502
habis dibagi 2 karena genap.
Angka: 23 5
, 137
, 2303
Tidak habis dibagi 2 karena ganjil.
Uji pembagian dengan 3
Tanda habis dibagi ini memiliki aturan yang sangat berbeda: jika jumlah angka-angka suatu bilangan habis dibagi 3, maka bilangan tersebut habis dibagi 3; Jika jumlah angka-angka suatu bilangan tidak habis dibagi 3, maka bilangan tersebut tidak habis dibagi 3.
Artinya untuk mengetahui apakah suatu bilangan habis dibagi 3, Anda hanya perlu menjumlahkan bilangan-bilangan penyusunnya.
Tampilannya seperti ini: 3987 dan 141 habis dibagi 3, karena pada kasus pertama 3+9+8+7= 27
(27:3=9 - habis dibagi 3), dan yang kedua 1+4+1= 6
(6:3=2 - juga habis dibagi 3).
Namun bilangan: 235 dan 566 tidak habis dibagi 3, karena 2+3+5= 10
dan 5+6+6= 17
(dan kita tahu bahwa baik 10 maupun 17 tidak habis dibagi 3 tanpa sisa).
Uji pembagian dengan 4
Tanda keterbagian ini akan menjadi lebih rumit. Jika 2 angka terakhir suatu bilangan membentuk bilangan yang habis dibagi 4 atau 00, maka bilangan tersebut habis dibagi 4, sebaliknya bilangan tersebut tidak habis dibagi 4 tanpa sisa.
Misalnya: 1 00
dan 3 64
habis dibagi 4 karena bilangan yang pertama berakhiran 4 00
, dan yang kedua aktif 64
, yang habis dibagi 4 tanpa sisa (64:4=16)
Nomor 3 57
dan 8 86
tidak habis dibagi 4 karena keduanya tidak habis dibagi 4 57
juga tidak 86
tidak habis dibagi 4, artinya tidak memenuhi kriteria habis dibagi ini.
Uji keterbagian sebanyak 5
Dan sekali lagi, kita mempunyai tanda habis dibagi yang cukup sederhana: jika notasi suatu bilangan asli diakhiri dengan angka 0 atau 5, maka bilangan tersebut habis dibagi 5 tanpa sisa. Jika notasi suatu bilangan diakhiri dengan angka lain, maka bilangan tersebut tidak habis dibagi 5 tanpa sisa.
Artinya, angka apa pun yang diakhiri dengan angka 0
Dan 5
, misalnya 1235 5
dan 43 0
, termasuk dalam aturan dan habis dibagi 5.
Dan, misalnya, tahun 1549 3
dan 56 4
tidak diakhiri dengan angka 5 atau 0, artinya tidak dapat habis dibagi 5 tanpa sisa.
Uji keterbagian dengan 6
Di hadapan kita terdapat bilangan komposit 6, yang merupakan hasil kali bilangan 2 dan 3. Oleh karena itu, tanda habis dibagi 6 juga bersifat komposit: agar suatu bilangan habis dibagi 6, ia harus bersesuaian dengan dua tandanya. dapat dibagi sekaligus: tanda habis dibagi 2 dan tanda habis dibagi 3. Perlu diketahui bahwa bilangan komposit seperti 4 mempunyai tanda habis dibagi tersendiri, karena merupakan hasil kali bilangan 2 itu sendiri. Tapi mari kita kembali ke uji pembagian dengan 6.
Bilangan 138 dan 474 adalah bilangan genap dan memenuhi kriteria habis dibagi 3 (1+3+8=12, 12:3=4 dan 4+7+4=15, 15:3=5), artinya bilangan tersebut habis dibagi dengan 6. Tetapi 123 dan 447, meskipun habis dibagi 3 (1+2+3=6, 6:3=2 dan 4+4+7=15, 15:3=5), tetapi keduanya ganjil, yaitu berarti mereka tidak memenuhi kriteria dapat dibagi 2, dan oleh karena itu tidak memenuhi kriteria dapat dibagi 6.
Uji keterbagian dengan 7
Uji habis dibagi ini lebih rumit: suatu bilangan habis dibagi 7 jika hasil pengurangan dua kali angka terakhir dari bilangan puluhan bilangan tersebut habis dibagi 7 atau sama dengan 0.
Kedengarannya cukup membingungkan, namun dalam praktiknya sederhana. Lihat sendiri: nomornya 95
9 habis dibagi 7 karena 95
-2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 dibagi 7 tanpa sisa). Apalagi jika timbul kesulitan dengan bilangan yang diperoleh selama transformasi (karena ukurannya sulit untuk memahami apakah bilangan tersebut habis dibagi 7 atau tidak, maka prosedur ini dapat dilanjutkan sebanyak yang Anda anggap perlu).
Misalnya, 45
5 dan 4580
1 memiliki sifat habis dibagi 7. Dalam kasus pertama, semuanya cukup sederhana: 45
-2*5=45-10=35, 35:7=5. Dalam kasus kedua kita akan melakukan ini: 4580
-2*1=4580-2=4578. Sulit bagi kita untuk memahami apakah 457
8 kali 7, jadi mari kita ulangi prosesnya: 457
-2*8=457-16=441. Dan sekali lagi kita akan menggunakan uji keterbagian, karena kita masih memiliki angka tiga digit di depan kita 44
1. Jadi, 44
-2*1=44-2=42, 42:7=6, mis. 42 habis dibagi 7 tanpa sisa, artinya 45801 habis dibagi 7.
Berikut angka-angkanya 11
1 dan 34
5 tidak habis dibagi 7 karena 11
-2*1=11-2=9 (9 tidak habis dibagi 7) dan 34
-2*5=34-10=24 (24 tidak habis dibagi 7 tanpa sisa).
Uji keterbagian sebesar 8
Uji habis dibagi 8 adalah sebagai berikut: jika 3 angka terakhir membentuk suatu bilangan yang habis dibagi 8, atau 000, maka bilangan tersebut habis dibagi 8.
Nomor 1 000
atau 1 088
habis dibagi 8: yang pertama berakhiran 000
, kedua 88
:8=11 (habis dibagi 8 tanpa sisa).
Dan inilah angka 1 100
atau 4 757
tidak habis dibagi 8 karena bilangan 100
Dan 757
tidak habis dibagi 8 tanpa sisa.
Uji keterbagian sebesar 9
Tanda habis dibagi 3 ini mirip dengan tanda habis dibagi 3: jika jumlah angka-angka suatu bilangan habis dibagi 9, maka bilangan tersebut habis dibagi 9; Jika jumlah angka-angka suatu bilangan tidak habis dibagi 9, maka bilangan tersebut tidak habis dibagi 9.
Contoh: 3987 dan 144 habis dibagi 9, karena pada kasus pertama 3+9+8+7= 27
(27:9=3 - habis dibagi 9 tanpa sisa), dan pada detik 1+4+4= 9
(9:9=1 - juga habis dibagi 9).
Namun bilangan: 235 dan 141 tidak habis dibagi 9, karena 2+3+5= 10
dan 1+4+1= 6
(dan kita tahu bahwa baik 10 maupun 6 tidak habis dibagi 9 tanpa sisa).
Tanda-tanda habis dibagi 10, 100, 1000 dan satuan angka lainnya
Saya menggabungkan tanda-tanda habis dibagi ini karena dapat dijelaskan dengan cara yang sama: suatu bilangan habis dibagi satuan digit jika banyaknya angka nol di akhir bilangan lebih besar atau sama dengan banyaknya angka nol pada satuan digit tertentu .
Dengan kata lain, misalnya kita mempunyai bilangan berikut: 654 0
, 46400
, 867000
, 6450
. yang semuanya habis dibagi 1 0
; 46400
dan 867 000
juga habis dibagi 1 00
; dan hanya satu yang berjumlah 867 000
habis dibagi 1 000
.
Bilangan apa pun yang angka nol di belakangnya lebih kecil dari satuan angkanya tidak habis dibagi satuan angka tersebut, misalnya 600 30
dan 7 93
tidak habis dibagi 1 00
.
Uji keterbagian sebesar 11
Untuk mengetahui apakah suatu bilangan habis dibagi 11, Anda perlu mencari selisih antara jumlah angka genap dan ganjil dari bilangan tersebut. Jika selisihnya sama dengan 0 atau habis dibagi 11 tanpa sisa, maka bilangan itu sendiri habis dibagi 11 tanpa sisa.
Agar lebih jelas, saya sarankan untuk melihat contoh: 2
35
4 habis dibagi 11 karena ( 2
+5
)-(3+4)=7-7=0. 29
19
4 juga habis dibagi 11, karena ( 9
+9
)-(2+1+4)=18-7=11.
Ini 1 1
1 atau 4
35
4 tidak habis dibagi 11, karena pada kasus pertama kita peroleh (1+1)- 1
=1, dan yang kedua ( 4
+5
)-(3+4)=9-7=2.
Uji keterbagian sebesar 12
Angka 12 adalah bilangan komposit. Tanda habis dibaginya adalah sesuai dengan tanda habis dibagi 3 dan 4 sekaligus.
Misalnya, 300 dan 636 menunjukkan tanda habis dibagi 4 (2 angka terakhir adalah nol atau habis dibagi 4) dan tanda habis dibagi 3 (jumlah angka dari bilangan pertama dan ketiga habis dibagi dengan 3), namun akhirnya habis dibagi 12 tanpa sisa.
Tetapi 200 atau 630 tidak habis dibagi 12, karena dalam kasus pertama bilangan tersebut hanya memenuhi kriteria habis dibagi 4, dan dalam kasus kedua, hanya kriteria habis dibagi 3. tetapi tidak kedua kriteria sekaligus.
Uji keterbagian sebesar 13
Tanda habis dibagi 13 adalah jika bilangan puluhan suatu bilangan yang dijumlahkan dengan satuan bilangan tersebut dikalikan 4 adalah kelipatan 13 atau sama dengan 0, maka bilangan itu sendiri habis dibagi 13.
Mari kita ambil contoh 70
2. Jadi, 70
+4*2=78, 78:13=6 (78 habis dibagi 13 tanpa sisa), artinya 70
2 habis dibagi 13 tanpa sisa. Contoh lainnya adalah angka 114
4. 114
+4*4=130, 130:13=10. Bilangan 130 habis dibagi 13 tanpa sisa, artinya bilangan tersebut memenuhi kriteria habis dibagi 13.
Jika kita mengambil angkanya 12
5 atau 21
2, lalu kita dapatkan 12
+4*5=32 dan 21
+4*2=29, masing-masing, dan baik 32 maupun 29 tidak habis dibagi 13 tanpa sisa, artinya bilangan-bilangan tersebut tidak habis dibagi 13 tanpa sisa.
Pembagian angka
Seperti dapat dilihat dari penjelasan di atas, dapat diasumsikan bahwa untuk bilangan asli mana pun, Anda dapat memilih tanda habis dibaginya sendiri atau tanda “gabungan” jika bilangan tersebut merupakan kelipatan dari beberapa bilangan yang berbeda. Namun seperti yang ditunjukkan oleh praktik, umumnya semakin besar angkanya, semakin kompleks tandanya. Ada kemungkinan bahwa waktu yang dihabiskan untuk memeriksa kriteria pembagian mungkin sama atau lebih besar dari pembagian itu sendiri. Itu sebabnya kita biasanya menggunakan tanda-tanda keterbagian yang paling sederhana.
Mari kita lihat contoh sederhana:
15:5=3
Dalam contoh ini kita membagi bilangan asli dengan 15 sama sekali sebanyak 3, tanpa sisa.
Terkadang suatu bilangan asli tidak dapat habis dibagi seluruhnya. Misalnya, pertimbangkan masalahnya:
Ada 16 mainan di lemari. Ada lima anak dalam kelompok itu. Setiap anak mengambil mainan dalam jumlah yang sama. Berapa banyak mainan yang dimiliki setiap anak?
Larutan:
Bagilah angka 16 dengan 5 menggunakan kolom dan kita mendapatkan:
Kita tahu bahwa 16 tidak dapat dibagi 5. Bilangan terkecil terdekat yang habis dibagi 5 adalah 15 dan sisa 1. Kita dapat menuliskan bilangan 15 sebagai 5⋅3. Hasilnya (16 – pembagian, 5 – pembagi, 3 – hasil bagi tidak lengkap, 1 – sisa). Telah mendapatkan rumus pembagian dengan sisanya yang bisa dilakukan memeriksa solusinya.
A=
B⋅
C+
D
A – habis dibagi,
B - pembagi,
C – hasil bagi tidak lengkap,
D - sisa.
Jawaban: setiap anak akan mengambil 3 mainan dan tersisa satu mainan.
Sisa divisi
Sisanya harus selalu lebih kecil dari pembaginya.
Jika pada saat pembagian sisanya nol, berarti dividennya habis dibagi sama sekali atau tanpa sisa pada pembagi.
Jika pada pembagian sisanya lebih besar dari pembaginya, berarti bilangan yang didapat bukan yang terbesar. Ada bilangan yang lebih besar yang membagi dividen dan sisanya lebih kecil dari pembaginya.
Pertanyaan tentang topik “Pembagian dengan sisa”:
Bisakah sisanya lebih besar dari pembaginya?
Jawaban: tidak.
Bisakah sisanya sama dengan pembaginya?
Jawaban: tidak.
Bagaimana cara mencari pembagian dengan menggunakan hasil bagi, pembagi, dan sisa yang tidak lengkap?
Jawaban: Kita substitusikan nilai hasil bagi parsial, pembagi dan sisa ke dalam rumus dan cari pembagiannya. Rumus:
a=b⋅c+d
Contoh 1:
Lakukan pembagian dengan sisanya dan periksa: a) 258:7 b) 1873:8
Larutan:
a) Bagi berdasarkan kolom: 
258 – dividen,
7 – pembagi,
36 – hasil bagi tidak lengkap,
6 – sisa. Sisanya lebih kecil dari pembagi 6<7.
7⋅36+6=252+6=258
b) Bagi berdasarkan kolom: 
1873 – habis dibagi,
8 – pembagi,
234 – hasil bagi tidak lengkap,
1 – sisa. Sisanya kurang dari pembagi 1<8.
Mari kita substitusikannya ke dalam rumus dan periksa apakah kita menyelesaikan contohnya dengan benar:
8⋅234+1=1872+1=1873
Contoh #2:
Berapa sisa pembagian bilangan asli: a) 3 b)8?
Menjawab:
a) Sisanya lebih kecil dari pembagi, sehingga kurang dari 3. Dalam kasus kita, sisanya bisa berupa 0, 1, atau 2.
b) Sisanya lebih kecil dari pembaginya, sehingga kurang dari 8. Dalam kasus kita, sisanya bisa berupa 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 atau 7.
Contoh #3:
Berapa sisa terbesar yang diperoleh dari pembagian bilangan asli: a) 9 b) 15?
Menjawab:
a) Sisanya lebih kecil dari pembaginya, sehingga kurang dari 9. Namun kita perlu menunjukkan sisa terbesarnya. Yaitu bilangan yang paling dekat dengan pembaginya. Ini adalah angka 8.
b) Sisanya lebih kecil dari pembaginya, sehingga kurang dari 15. Namun kita perlu menunjukkan sisa terbesarnya. Yaitu bilangan yang paling dekat dengan pembaginya. Angka ini adalah 14.
Contoh #4:
Hitunglah pembagiannya: a) a:6=3(sisanya.4) b) c:24=4(sisanya.11)
Larutan:
a) Selesaikan dengan rumus:
a=b⋅c+d
(a – dividen, b – pembagi, c – hasil bagi sebagian, d – sisa.)
a:6=3(sisanya.4)
(a – pembagian, 6 – pembagi, 3 – hasil bagi sebagian, 4 – sisa.) Mari kita substitusikan angka-angka tersebut ke dalam rumus:
a=6⋅3+4=22
Jawaban: a=22
b) Selesaikan dengan rumus:
a=b⋅c+d
(a – dividen, b – pembagi, c – hasil bagi sebagian, d – sisa.)
s:24=4(istirahat.11)
(c – dividen, 24 – pembagi, 4 – hasil bagi sebagian, 11 – sisa.) Mari kita substitusikan angka-angka tersebut ke dalam rumus:
с=24⋅4+11=107
Jawaban: c=107
Tugas:
Kawat 4m. perlu dipotong-potong berukuran 13cm. Berapa banyak potongan seperti itu yang akan ada?
Larutan:
Pertama, Anda perlu mengubah meter ke sentimeter.
4m=400cm.
Kita dapat membaginya dengan kolom atau dalam pikiran kita kita mendapatkan:
400:13=30(sisa 10)
Mari kita periksa:
13⋅30+10=390+10=400
Jawaban: Anda akan mendapatkan 30 buah dan sisa kawat 10 cm.
Artikel ini membahas tentang konsep pembagian bilangan bulat dengan sisanya. Mari kita buktikan teorema pembagian bilangan bulat dengan sisa dan melihat hubungan antara pembagi dan pembagi, hasil bagi tidak lengkap, dan sisa. Mari kita lihat aturan pembagian bilangan bulat dengan sisa, lihat secara detail menggunakan contoh. Di akhir solusi kami akan melakukan pemeriksaan.
Pengertian umum pembagian bilangan bulat dengan sisa
Pembagian bilangan bulat dengan sisa dianggap sebagai pembagian umum dengan sisa bilangan asli. Hal ini dilakukan karena bilangan asli merupakan komponen bilangan bulat.
Pembagian dengan sisa suatu bilangan sembarang menyatakan bahwa bilangan bulat a habis dibagi dengan bilangan b selain nol. Jika b = 0, maka jangan dibagi dengan sisanya.
Sama seperti membagi bilangan asli dengan sisa, bilangan bulat a dan b dibagi, dengan b bukan nol, oleh c dan d. Dalam hal ini, a dan b disebut pembagian dan pembagi, dan d adalah sisa pembagian, c adalah hasil bagi bilangan bulat atau tidak lengkap.
Jika kita berasumsi bahwa sisanya adalah bilangan bulat non-negatif, maka nilainya tidak lebih besar dari modulus bilangan b. Mari kita tuliskan seperti ini: 0 ≤ d ≤ b. Rantai pertidaksamaan ini digunakan ketika membandingkan 3 bilangan atau lebih.
Jika c adalah hasil bagi tidak lengkap, maka d adalah sisa pembagian bilangan bulat a dengan b, yang secara singkat dapat dinyatakan: a: b = c (sisa d).
Sisa pembagian bilangan a dengan b bisa sama dengan nol, maka dikatakan a habis dibagi b, yaitu tanpa sisa. Pembagian tanpa sisa dianggap sebagai kasus khusus pembagian.
Jika kita membagi nol dengan suatu bilangan, maka hasilnya adalah nol. Sisa pembagiannya juga akan menjadi nol. Hal ini dapat ditelusuri dari teori pembagian nol dengan bilangan bulat.
Sekarang mari kita lihat pengertian membagi bilangan bulat dengan sisanya.
Diketahui bilangan bulat positif adalah bilangan asli, maka bila dibagi dengan sisa akan diperoleh arti yang sama seperti bila membagi bilangan asli dengan sisa.
Membagi bilangan bulat negatif a dengan bilangan bulat positif b masuk akal. Mari kita lihat sebuah contoh. Bayangkan sebuah situasi di mana kita mempunyai hutang barang sebesar a yang harus dilunasi oleh b orang. Untuk mencapai hal ini, setiap orang perlu memberikan kontribusi yang setara. Untuk menentukan besarnya utang masing-masing, Anda perlu memperhatikan nilai privatnya. Sisa d menunjukkan bahwa jumlah barang setelah pelunasan utang diketahui.
Mari kita lihat contoh apel. Jika 2 orang berhutang 7 buah apel. Jika kita hitung setiap orang harus mengembalikan 4 buah apel, setelah perhitungan penuh mereka akan mempunyai sisa 1 buah apel. Mari kita tuliskan ini sebagai persamaan: (− 7) : 2 = − 4 (dari t. 1) .
Membagi bilangan apa pun a dengan bilangan bulat tidak masuk akal, tetapi hal ini dapat dilakukan sebagai opsi.
Teorema pembagian bilangan bulat dengan sisa
Kita telah mengetahui bahwa a adalah pembagian, kemudian b adalah pembagi, c adalah hasil bagi parsial, dan d adalah sisanya. Mereka terhubung satu sama lain. Kita akan menunjukkan hubungan ini menggunakan persamaan a = b · c + d. Hubungan antara keduanya dicirikan oleh teorema pembagian dengan sisa.
Dalil
Setiap bilangan bulat hanya dapat direpresentasikan melalui bilangan bulat dan bukan nol b dengan cara ini: a = b · q + r, dimana q dan r adalah beberapa bilangan bulat. Di sini kita punya 0 ≤ r ≤ b.
Mari kita buktikan kemungkinan adanya a = b · q + r.
Bukti
Jika ada dua bilangan a dan b, dan a habis dibagi b tanpa sisa, maka dari definisi tersebut terdapat bilangan q, dan persamaan a = b · q benar. Maka persamaan tersebut dapat dianggap benar: a = b · q + r untuk r = 0.
Maka perlu untuk mengambil q sedemikian rupa sehingga diberikan oleh pertidaksamaan b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .
Kita mempunyai nilai ekspresi a − b · q lebih besar dari nol dan tidak lebih besar dari nilai bilangan b, maka r = a − b · q. Kita menemukan bahwa bilangan a dapat direpresentasikan dalam bentuk a = b · q + r.
Sekarang kita perlu mempertimbangkan representasi a = b · q + r untuk nilai negatif b.
Modulus bilangan tersebut ternyata positif, maka diperoleh a = b · q 1 + r, dimana nilai q 1 adalah suatu bilangan bulat, r adalah bilangan bulat yang memenuhi syarat 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .
Bukti keunikan
Misalkan a = b q + r, q dan r adalah bilangan bulat dengan syarat 0 ≤ r benar< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где pertanyaan 1 Dan r 1 adalah beberapa nomor di mana q 1 ≠ q, 0 ≤ r 1< b .
Jika pertidaksamaan tersebut dikurangkan pada ruas kiri dan kanan, diperoleh 0 = b · (q − q 1) + r − r 1, yang setara dengan r - r 1 = b · q 1 - q. Karena modul yang digunakan maka diperoleh persamaan r - r 1 = b · q 1 - q.
Kondisi yang diberikan menyatakan bahwa 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что Q Dan pertanyaan 1- utuh, dan q ≠ q 1, lalu q 1 - q ≥ 1. Dari sini kita mendapatkan b · q 1 - q ≥ b. Pertidaksamaan yang dihasilkan r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.
Oleh karena itu bilangan a tidak dapat direpresentasikan dengan cara lain kecuali dengan menulis a = b · q + r.
Hubungan antara dividen, pembagi, hasil bagi sebagian dan sisa
Dengan menggunakan persamaan a = b · c + d, Anda dapat mencari pembagian a yang tidak diketahui jika pembagi b dengan hasil bagi tidak lengkap c dan sisa d diketahui.
Contoh 1
Tentukan pembagiannya jika, setelah dibagi, kita mendapatkan - 21, hasil bagi parsial adalah 5 dan sisanya adalah 12.
Larutan
Dividen a harus dihitung dengan pembagi b = − 21 yang diketahui, hasil bagi tidak lengkap c = 5 dan sisa d = 12. Kita perlu beralih ke persamaan a = b · c + d, dari sini kita mendapatkan a = (− 21) · 5 + 12. Jika kita mengikuti urutan tindakannya, kita mengalikan - 21 dengan 5, setelah itu kita mendapatkan (− 21) · 5 + 12 = − 105 + 12 = − 93.
Menjawab: - 93 .
Hubungan antara pembagi dan hasil bagi parsial serta sisa dapat dinyatakan dengan menggunakan persamaan: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b dan d = a − b · c . Dengan bantuan mereka, kita dapat menghitung pembagi, hasil bagi parsial, dan sisanya. Hal ini dilakukan dengan mencari sisa secara konstan ketika membagi bilangan bulat a dengan b dengan pembagian, pembagi, dan hasil bagi parsial yang diketahui. Rumus d = a − b · c diterapkan. Mari kita pertimbangkan solusinya secara detail.
Contoh 2
Temukan sisanya ketika membagi bilangan bulat - 19 dengan bilangan bulat 3 dengan hasil bagi tidak lengkap yang diketahui sama dengan - 7.
Larutan
Untuk menghitung sisa pembagian, kita menerapkan rumus berbentuk d = a − b · c. Dengan syarat, semua data tersedia: a = − 19, b = 3, c = − 7. Dari sini kita peroleh d = a − b · c = − 19 − 3 · (− 7) = − 19 − (− 21) = − 19 + 21 = 2 (selisih − 19 − (− 21). Contoh ini dihitung menggunakan aturan pengurangan bilangan bulat negatif.
Menjawab: 2 .
Semua bilangan bulat positif adalah bilangan asli. Oleh karena itu pembagian dilakukan menurut semua aturan pembagian dengan sisa bilangan asli. Kecepatan pembagian dengan sisa bilangan asli adalah penting, karena tidak hanya pembagian bilangan positif, tetapi juga aturan pembagian bilangan bulat sembarang didasarkan padanya.
Metode pembagian yang paling mudah adalah dengan kolom, karena lebih mudah dan cepat untuk mendapatkan hasil bagi tidak lengkap atau sekadar hasil bagi dengan sisa. Mari kita lihat solusinya lebih detail.
Contoh 3
Bagilah 14671 dengan 54.
Larutan
Pembagian ini harus dilakukan dalam satu kolom:
Artinya, hasil bagi parsial sama dengan 271, dan sisanya adalah 37.
Menjawab: 14.671 : 54 = 271. (istirahat 37)
Aturan pembagian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif dengan sisa, contohnya
Untuk melakukan pembagian sisa bilangan positif dengan bilangan bulat negatif, perlu dirumuskan suatu aturan.
Definisi 1
Hasil bagi tidak lengkap dari pembagian bilangan bulat positif a dengan bilangan bulat negatif b menghasilkan bilangan yang berlawanan dengan hasil bagi tidak lengkap dari pembagian modulus bilangan a dengan b. Maka sisanya sama dengan sisa bila a dibagi b.
Oleh karena itu, kita mengetahui bahwa hasil bagi tidak lengkap dari pembagian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif dianggap sebagai bilangan bulat non-positif.
Kami mendapatkan algoritmanya:
- membagi modulus pembagi dengan modulus pembagi, maka kita mendapatkan hasil bagi tidak lengkap dan
- sisa;
- Mari kita tuliskan kebalikan dari bilangan yang kita peroleh.
Mari kita lihat contoh algoritma pembagian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif.
Contoh 4
Bagilah dengan sisa 17 dengan - 5.
Larutan
Mari kita terapkan algoritma untuk membagi bilangan bulat positif dengan sisa bilangan bulat negatif. Anda perlu membagi 17 dengan - 5 modulo. Dari sini kita memperoleh bahwa hasil bagi parsial sama dengan 3, dan sisanya sama dengan 2.
Kita mendapatkan bilangan yang diperlukan dari membagi 17 dengan - 5 = - 3 dengan sisa sama dengan 2.
Menjawab: 17: (− 5) = − 3 (sisa 2).
Contoh 5
Anda perlu membagi 45 dengan - 15.
Larutan
Hal ini diperlukan untuk membagi angka modulo. Bagilah angka 45 dengan 15, kita mendapatkan hasil bagi 3 tanpa sisa. Artinya bilangan 45 habis dibagi 15 tanpa sisa. Jawabannya - 3, karena pembagiannya dilakukan secara modulo.
45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3
Menjawab: 45: (− 15) = − 3 .
Rumusan aturan pembagian dengan sisa adalah sebagai berikut.
Definisi 2
Untuk mendapatkan hasil bagi tidak lengkap c ketika membagi bilangan bulat negatif a dengan b positif, Anda perlu menerapkan kebalikan dari bilangan yang diberikan dan mengurangi 1 darinya, maka sisanya d akan dihitung dengan rumus: d = a − b · c.
Berdasarkan aturan tersebut, kita dapat menyimpulkan bahwa ketika membagi kita mendapatkan bilangan bulat non-negatif. Untuk memastikan keakuratan solusi, gunakan algoritma pembagian a dengan b dengan sisanya:
- temukan modul pembagi dan pembagi;
- membagi modulo;
- tuliskan kebalikan dari bilangan yang diberikan dan kurangi 1;
- gunakan rumus sisanya d = a − b · c.
Mari kita lihat contoh solusi yang menggunakan algoritma ini.
Contoh 6
Temukan hasil bagi parsial dan sisa pembagian - 17 dengan 5.
Larutan
Kami membagi angka yang diberikan modulo. Diketahui bahwa ketika membagi, hasil bagi adalah 3 dan sisanya adalah 2. Karena kita mendapat 3, kebalikannya adalah 3. Anda perlu mengurangi 1.
− 3 − 1 = − 4 .
Nilai yang diinginkan sama dengan - 4.
Untuk menghitung sisanya, Anda memerlukan a = − 17, b = 5, c = − 4, lalu d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3.
Artinya hasil bagi pembagian yang tidak lengkap adalah bilangan - 4 dengan sisa sama dengan 3.
Menjawab:(− 17) : 5 = − 4 (sisa 3).
Contoh 7
Bagilah bilangan bulat negatif - 1404 dengan bilangan positif 26.
Larutan
Hal ini diperlukan untuk membagi berdasarkan kolom dan modul.
Kami mendapat pembagian modul angka tanpa sisa. Artinya pembagian dilakukan tanpa sisa, dan hasil bagi yang diinginkan = - 54.
Menjawab: (− 1 404) : 26 = − 54 .
Aturan pembagian dengan sisa bilangan bulat negatif, contoh
Perlu dirumuskan aturan pembagian dengan sisa bilangan bulat negatif.
Definisi 3
Untuk memperoleh hasil bagi tidak lengkap c dari membagi bilangan bulat negatif a dengan bilangan bulat negatif b, maka perlu dilakukan perhitungan modulo, kemudian dijumlahkan 1, selanjutnya kita dapat melakukan perhitungan dengan rumus d = a − b · c.
Oleh karena itu, hasil bagi tidak lengkap dari pembagian bilangan bulat negatif akan menjadi bilangan positif.
Mari kita rumuskan aturan ini dalam bentuk algoritma:
- temukan modul pembagi dan pembagi;
- bagi modulus pembagi dengan modulus pembagi untuk mendapatkan hasil bagi tidak lengkap dengan
- sisa;
- menambahkan 1 pada hasil bagi tidak lengkap;
- perhitungan sisanya berdasarkan rumus d = a − b · c.
Mari kita lihat algoritma ini menggunakan sebuah contoh.
Contoh 8
Tentukan hasil bagi parsial dan sisa pembagian - 17 dengan - 5.
Larutan
Untuk kebenaran solusi, kami menerapkan algoritma pembagian dengan sisa. Pertama, bagi bilangan modulo. Dari sini kita peroleh hasil bagi parsial = 3 dan sisanya adalah 2. Menurut aturan, Anda perlu menambahkan hasil bagi tidak lengkap dan 1. Kita mendapatkan bahwa 3 + 1 = 4. Dari sini kita memperoleh bahwa hasil bagi parsial pembagian bilangan-bilangan tertentu adalah 4.
Untuk menghitung sisanya kita akan menggunakan rumus. Dengan syarat a = − 17, b = − 5, c = 4, maka dengan menggunakan rumus tersebut kita peroleh d = a − b c = − 17 − (− 5) 4 = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 . Jawaban yang diminta, yaitu sisanya, sama dengan 3, dan hasil bagi parsial sama dengan 4.
Menjawab:(− 17) : (− 5) = 4 (sisa 3).
Mengecek hasil pembagian bilangan bulat dengan sisanya
Setelah membagi angka dengan sisanya, Anda harus melakukan pengecekan. Pemeriksaan ini melibatkan 2 tahap. Pertama, sisa d diperiksa non-negatifnya, kondisi 0 ≤ d terpenuhi< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.
Mari kita lihat contohnya.
Contoh 9
Pembagiannya dilakukan - 521 kali - 12. Hasil bagi adalah 44, sisanya 7. Lakukan pemeriksaan.
Larutan
Karena sisanya adalah bilangan positif, maka nilainya lebih kecil dari modulus pembaginya. Pembaginya adalah - 12, artinya modulusnya adalah 12. Anda dapat melanjutkan ke titik pemeriksaan berikutnya.
Dengan syarat, kita mendapatkan a = − 521, b = − 12, c = 44, d = 7. Dari sini kita menghitung b · c + d, dimana b · c + d = − 12 · 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521. Oleh karena itu, persamaan itu benar. Verifikasi berhasil.
Contoh 10
Lakukan pengecekan pembagian (− 17): 5 = − 3 (sisa − 2). Apakah kesetaraan itu benar?
Larutan
Maksud dari tahap pertama adalah perlunya memeriksa pembagian bilangan bulat dengan sisanya. Dari sini jelas bahwa tindakan tersebut dilakukan secara tidak benar, karena diberikan sisa sama dengan - 2. Sisanya bukanlah angka negatif.
Kami mendapati kondisi kedua terpenuhi, namun tidak cukup untuk kasus ini.
Menjawab: TIDAK.
Contoh 11
Angka - 19 dibagi - 3. Hasil bagi parsial adalah 7 dan sisanya adalah 1. Periksa apakah perhitungan ini dilakukan dengan benar.
Larutan
Diberikan sisa sama dengan 1. Dia positif. Nilainya lebih kecil dari modul pembagi, artinya tahap pertama sudah selesai. Mari kita lanjutkan ke tahap kedua.
Mari kita hitung nilai ekspresi b · c + d. Dengan syarat, kita mendapatkan b = − 3, c = 7, d = 1, yang berarti, dengan mensubstitusi nilai numeriknya, kita mendapatkan b · c + d = − 3 · 7 + 1 = − 21 + 1 = − 20. Oleh karena itu a = b · c + d persamaan tersebut tidak berlaku, karena kondisinya menghasilkan a = - 19.
Dari sini dapat disimpulkan bahwa pembagian itu dilakukan dengan suatu kesalahan.
Menjawab: TIDAK.
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter
Pada artikel ini kita akan melihat pembagian bilangan bulat dengan sisa. Mari kita mulai dengan prinsip umum membagi bilangan bulat dengan sisa, merumuskan dan membuktikan teorema pembagian bilangan bulat dengan sisa, dan menelusuri hubungan antara pembilang, pembagi, hasil bagi tidak lengkap, dan sisa. Selanjutnya, kami akan menguraikan aturan pembagian bilangan bulat dengan sisanya, dan mempertimbangkan penerapan aturan ini saat menyelesaikan contoh. Setelah itu, kita akan mempelajari cara memeriksa hasil pembagian bilangan bulat dengan sisanya.
Navigasi halaman.
Pengertian umum pembagian bilangan bulat dengan sisanya
Pembagian bilangan bulat dengan sisa akan kita anggap sebagai generalisasi pembagian dengan sisa bilangan asli. Hal ini disebabkan bilangan asli merupakan komponen bilangan bulat.
Mari kita mulai dengan istilah dan sebutan yang digunakan dalam deskripsi.
Dengan analogi pembagian bilangan asli dengan sisa, kita asumsikan bahwa hasil pembagian dengan sisa dua bilangan bulat a dan b (b tidak sama dengan nol) adalah dua bilangan bulat c dan d. Bilangan a dan b dipanggil terbagi Dan pembagi karenanya, angka d – pengingat dari membagi a dengan b, dan bilangan bulat c disebut pribadi yang tidak lengkap(atau sederhananya pribadi, jika sisanya nol).
Mari kita sepakat untuk berasumsi bahwa sisanya adalah bilangan bulat non-negatif, dan nilainya tidak melebihi b, yaitu (kita menemukan rantai pertidaksamaan serupa ketika kita berbicara tentang membandingkan tiga bilangan bulat atau lebih).
Jika bilangan c adalah hasil bagi tidak lengkap, dan bilangan d adalah sisa pembagian bilangan bulat a dengan bilangan bulat b, maka kita akan menuliskan fakta ini secara singkat sebagai persamaan bentuk a:b=c (sisa d).
Perhatikan bahwa ketika membagi bilangan bulat a dengan bilangan bulat b, sisanya mungkin nol. Dalam hal ini kita katakan a habis dibagi b tanpa jejak(atau sama sekali). Jadi, pembagian bilangan bulat tanpa sisa merupakan kasus khusus pembagian bilangan bulat dengan sisa.
Perlu juga dikatakan bahwa ketika membagi nol dengan bilangan bulat, kita selalu berurusan dengan pembagian tanpa sisa, karena dalam hal ini hasil bagi akan sama dengan nol (lihat bagian teori membagi nol dengan bilangan bulat), dan sisanya juga akan sama dengan nol.
Kita sudah menentukan terminologi dan notasinya, sekarang mari kita pahami arti membagi bilangan bulat dengan sisanya.
Pembagian bilangan bulat negatif a dengan bilangan bulat positif b juga dapat mempunyai arti. Untuk melakukan ini, anggap bilangan bulat negatif sebagai utang. Mari kita bayangkan situasi ini. Hutang yang berupa barang-barang tersebut harus dilunasi oleh b orang dengan memberikan kontribusi yang sama. Nilai absolut dari hasil bagi c yang tidak lengkap dalam hal ini akan menentukan jumlah hutang masing-masing orang tersebut, dan sisanya d akan menunjukkan berapa banyak barang yang tersisa setelah hutang tersebut dilunasi. Mari kita beri contoh. Katakanlah 2 orang berhutang 7 buah apel. Jika kita asumsikan masing-masing dari mereka berhutang 4 buah apel, maka setelah melunasi hutang tersebut mereka akan mempunyai sisa 1 buah apel. Situasi ini sesuai dengan persamaan (−7):2=−4 (sisa 1).
Kami tidak akan memberi arti apa pun pada pembagian dengan sisa bilangan bulat sembarang a dengan bilangan bulat negatif, tetapi kami akan mempertahankan haknya untuk tetap ada.
Teorema pembagian bilangan bulat dengan sisa
Ketika kita berbicara tentang pembagian bilangan asli dengan sisa, kita menemukan bahwa pembagian a, pembagi b, hasil bagi parsial c, dan sisa d dihubungkan oleh persamaan a=b·c+d. Bilangan bulat a, b, c dan d mempunyai hubungan yang sama. Koneksi ini dikonfirmasi sebagai berikut teorema pembagian dengan sisa.
Dalil.
Setiap bilangan bulat a dapat direpresentasikan secara unik melalui bilangan bulat dan bukan nol b dalam bentuk a=b·q+r, di mana q dan r adalah beberapa bilangan bulat, dan .
Bukti.
Pertama, kita buktikan kemungkinan merepresentasikan a=b·q+r.
Jika bilangan bulat a dan b sedemikian rupa sehingga a habis dibagi b, maka menurut definisi terdapat bilangan bulat q sedemikian rupa sehingga a=b·q. Dalam hal ini, persamaan a=b·q+r pada r=0 berlaku.
Sekarang kita asumsikan b adalah bilangan bulat positif. Mari kita pilih bilangan bulat q sehingga hasil kali b·q tidak melebihi bilangan a, dan hasil kali b·(q+1) sudah lebih besar dari a. Artinya, kita ambil q sedemikian rupa sehingga pertidaksamaan b q Masih harus dibuktikan kemungkinan merepresentasikan a=b·q+r untuk b negatif. Karena modulus bilangan b dalam hal ini adalah bilangan positif, maka terdapat representasi dimana q 1 adalah suatu bilangan bulat, dan r adalah bilangan bulat yang memenuhi syarat. Kemudian, dengan mengambil q=−q 1, kita memperoleh representasi yang kita perlukan a=b·q+r untuk b negatif. Mari beralih ke bukti keunikannya. Misalkan selain representasi a=b·q+r, q dan r adalah bilangan bulat dan , ada representasi lain a=b·q 1 +r 1, di mana q 1 dan r 1 adalah beberapa bilangan bulat, dan q 1 ≠ q dan . Setelah mengurangkan ruas kiri dan kanan persamaan kedua dari ruas kiri dan kanan persamaan pertama, kita memperoleh 0=b·(q−q 1)+r−r 1, yang setara dengan persamaan r− r 1 =b·(q 1 −q) . Kemudian persamaan bentuk Dari kondisi tersebut kita dapat menyimpulkan bahwa. Karena q dan q 1 adalah bilangan bulat dan q≠q 1, maka kita simpulkan bahwa Persamaan a=b·c+d memungkinkan Anda mencari pembagian a yang belum diketahui jika pembagi b, hasil bagi parsial c, dan sisa d diketahui. Mari kita lihat sebuah contoh. Contoh. Berapa nilai dividennya jika dibagi dengan bilangan bulat −21, hasilnya adalah hasil bagi tidak lengkap 5 dan sisa 12? Larutan. Kita perlu menghitung pembagian a ketika pembagi b=−21, hasil bagi parsial c=5 dan sisanya d=12 diketahui. Beralih ke persamaan a=b·c+d, kita memperoleh a=(−21)·5+12. Perhatikan, pertama-tama kita kalikan bilangan bulat −21 dan 5 sesuai aturan perkalian bilangan bulat yang berbeda tanda, setelah itu kita lakukan penjumlahan bilangan bulat yang berbeda tanda: (−21)·5+12=−105+12=−93 . Menjawab: −93
.
Hubungan antara pembagian, pembagi, hasil bagi parsial, dan sisa juga dinyatakan dengan persamaan berbentuk b=(a−d):c, c=(a−d):b dan d=a−b·c. Persamaan ini memungkinkan Anda menghitung pembagi, hasil bagi parsial, dan sisanya. Kita sering kali harus mencari sisa ketika membagi bilangan bulat a dengan bilangan bulat b ketika dividen, pembagi, dan hasil bagi parsial diketahui, menggunakan rumus d=a−b·c. Untuk menghindari pertanyaan lebih lanjut, mari kita lihat contoh penghitungan sisanya. Contoh. Temukan sisanya saat membagi bilangan bulat −19 dengan bilangan bulat 3 jika Anda mengetahui bahwa hasil bagi parsial sama dengan −7. Larutan. Untuk menghitung sisa pembagian, kita menggunakan rumus berbentuk d=a−b·c. Dari kondisi tersebut kita memiliki semua data yang diperlukan a=−19, b=3, c=−7. Kita mendapatkan d=a−b·c=−19−3·(−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (kita menghitung selisih −19−(−21) menggunakan aturan mengurangkan bilangan bulat negatif). Menjawab: Seperti yang telah kita catat lebih dari sekali, bilangan bulat positif adalah bilangan asli. Oleh karena itu, pembagian dengan sisa bilangan bulat positif dilakukan menurut semua aturan pembagian dengan sisa bilangan asli. Sangatlah penting untuk dapat dengan mudah melakukan pembagian dengan sisa bilangan asli, karena hal inilah yang mendasari pembagian tidak hanya bilangan bulat positif, tetapi juga dasar dari semua aturan pembagian dengan sisa bilangan bulat sembarang. Dari sudut pandang kami, cara paling mudah adalah melakukan pembagian kolom, metode ini memungkinkan Anda memperoleh hasil bagi tidak lengkap (atau sekadar hasil bagi) dan sisanya. Mari kita lihat contoh pembagian dengan sisa bilangan bulat positif. Contoh. Bagilah dengan sisa 14.671 dengan 54. Larutan. Mari kita bagi bilangan bulat positif ini dengan sebuah kolom: Hasil bagi parsial ternyata sama dengan 271, dan sisanya sama dengan 37. Menjawab: 14 671:54=271 (istirahat 37) . Mari kita rumuskan aturan yang memungkinkan kita melakukan pembagian dengan sisa bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif. Hasil bagi parsial pembagian bilangan bulat positif a dengan bilangan bulat negatif b adalah kebalikan dari hasil bagi parsial pembagian a dengan modulus b, dan sisa pembagian a dengan b sama dengan sisa pembagian dengan. Dari aturan ini dapat disimpulkan bahwa hasil bagi parsial pembagian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat non-positif. Mari kita ubah aturan yang dinyatakan menjadi algoritma untuk membagi bilangan bulat positif dengan sisa bilangan bulat negatif: Mari kita beri contoh penggunaan algoritma untuk membagi bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif. Contoh. Bagilah sisa bilangan bulat positif 17 dengan bilangan bulat negatif −5. Larutan. Mari kita gunakan algoritma untuk membagi sisa bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif. Dengan membagi Kebalikan dari 3 adalah −3. Jadi, hasil bagi parsial yang diperlukan untuk membagi 17 dengan −5 adalah −3, dan sisanya adalah 2. Menjawab: 17 :(−5)=−3 (sisa 2). Contoh. Membagi 45 kali −15. Larutan. Modul pembagi dan pembagi masing-masing berjumlah 45 dan 15. Bilangan 45 habis dibagi 15 tanpa sisa, dan hasil bagi adalah 3. Oleh karena itu, bilangan bulat positif 45 dibagi dengan bilangan bulat negatif −15 tanpa sisa, dan hasil bagi sama dengan bilangan lawan 3, yaitu −3. Memang, menurut aturan membagi bilangan bulat dengan tanda berbeda, kita punya . Menjawab: 45:(−15)=−3
.
Mari kita berikan rumusan aturan pembagian bilangan bulat negatif dengan sisa bilangan bulat positif. Untuk mendapatkan hasil bagi tidak lengkap c dari membagi bilangan bulat negatif a dengan bilangan bulat positif b, Anda perlu mengambil bilangan yang berlawanan dengan hasil bagi tidak lengkap dari membagi modulus bilangan asli dan menguranginya dengan satu, setelah itu sisanya d dihitung menggunakan rumus d=a−b·c. Dari aturan pembagian dengan sisa ini, hasil bagi parsial dari pembagian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif adalah bilangan bulat negatif. Dari aturan yang disebutkan, berikut algoritma untuk membagi sisa bilangan bulat negatif a dengan bilangan bulat positif b: Mari kita menganalisis solusi dari contoh di mana kita menggunakan algoritma pembagian tertulis dengan sisa. Contoh. Temukan hasil bagi parsial dan sisanya saat membagi bilangan bulat negatif −17 dengan bilangan bulat positif 5. Larutan. Modulus pembagi −17 sama dengan 17, dan modulus pembagi 5 sama dengan 5. Dengan membagi 17 kali 5, kita mendapatkan hasil bagi parsial 3 dan sisanya 2. Kebalikan dari 3 adalah −3. Kurangi satu dari −3: −3−1=−4. Jadi, hasil bagi parsial yang dibutuhkan sama dengan −4. Yang tersisa hanyalah menghitung sisanya. Dalam contoh kita a=−17 , b=5 , c=−4 , maka d=a−b·c=−17−5·(−4)= −17−(−20)=−17+20=3 . Jadi, hasil bagi parsial pembagian bilangan bulat negatif −17 dengan bilangan bulat positif 5 adalah −4, dan sisanya adalah 3. Menjawab: (−17):5=−4 (sisa 3) . Contoh. Bagilah bilangan bulat negatif −1,404 dengan bilangan bulat positif 26. Larutan. Modul pembaginya adalah 1404, modul pembaginya adalah 26. Bagilah 1.404 dengan 26 menggunakan kolom: Karena modul pembagian dibagi dengan modul pembagi tanpa sisa, maka bilangan bulat asli habis dibagi tanpa sisa, dan hasil bagi yang diinginkan sama dengan bilangan lawan 54, yaitu −54. Menjawab: (−1 404):26=−54
.
Mari kita rumuskan aturan pembagian dengan sisa bilangan bulat negatif. Untuk mendapatkan hasil bagi tidak lengkap c dari membagi bilangan bulat negatif a dengan bilangan bulat negatif b, Anda perlu menghitung hasil bagi tidak lengkap dari membagi modul bilangan asli dan menambahkan satu ke dalamnya, setelah itu sisanya d dihitung menggunakan rumus d =a−b·c. Dari aturan ini dapat disimpulkan bahwa hasil bagi parsial pembagian bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif. Mari kita tulis ulang aturan yang disebutkan dalam bentuk algoritma untuk membagi bilangan bulat negatif: Mari kita pertimbangkan penggunaan algoritma untuk membagi bilangan bulat negatif saat menyelesaikan sebuah contoh. Contoh. Temukan hasil bagi parsial dan sisanya saat membagi bilangan bulat negatif −17 dengan bilangan bulat negatif −5. Larutan. Mari kita gunakan algoritma pembagian yang sesuai dengan sisanya. Modul pembaginya adalah 17, modul pembaginya adalah 5. Divisi 17 per 5 menghasilkan hasil bagi parsial 3 dan sisanya 2. Pada hasil bagi tidak lengkap 3 kita tambahkan satu: 3+1=4. Oleh karena itu, hasil bagi parsial yang diperlukan untuk membagi −17 dengan −5 sama dengan 4. Yang tersisa hanyalah menghitung sisanya. Dalam contoh ini a=−17 , b=−5 , c=4 , maka d=a−b·c=−17−(−5)·4= −17−(−20)=−17+20=3 . Jadi, hasil bagi parsial pembagian bilangan bulat negatif −17 dengan bilangan bulat negatif −5 adalah 4, dan sisanya adalah 3. Menjawab: (−17):(−5)=4 (sisa 3) . Setelah membagi bilangan bulat dengan sisanya, ada baiknya untuk memeriksa hasilnya. Verifikasi dilakukan dalam dua tahap. Tahap pertama diperiksa apakah sisa d merupakan bilangan non-negatif, dan juga diperiksa apakah kondisinya terpenuhi. Jika semua syarat verifikasi tahap pertama terpenuhi, maka Anda dapat melanjutkan ke verifikasi tahap kedua, jika tidak, dapat dikatakan bahwa terjadi kesalahan di suatu tempat saat membagi dengan sisanya. Pada tahap kedua, validitas persamaan a=b·c+d diperiksa. Jika persamaan ini benar, maka pembagian dengan sisa dilakukan dengan benar, jika tidak maka akan terjadi kesalahan di suatu tempat. Mari kita lihat solusi dari contoh di mana hasil pembagian bilangan bulat dengan sisanya dicentang. Contoh. Saat membagi bilangan −521 dengan −12, hasil bagi parsialnya adalah 44 dan sisanya 7, periksa hasilnya. Larutan. −2 untuk b=−3, c=7, d=1. Kita punya b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20. Jadi, persamaan a=b·c+d salah (dalam contoh kita a=−19). Oleh karena itu pembagian dengan sisa dilakukan secara tidak benar.
, dan karena sifat modulus bilangan, persamaan 
.
. Dari pertidaksamaan yang diperoleh dan maka persamaan bentuk tidak mungkin berdasarkan asumsi kami. Oleh karena itu, tidak ada representasi lain dari bilangan a selain a=b·q+r.Hubungan antara dividen, pembagi, hasil bagi parsial dan sisa
Pembagian dengan sisa bilangan bulat positif, contohnya
Aturan pembagian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif dengan sisa, contohnya
Pembagian sisa bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif, contohnya
Aturan pembagian dengan sisa bilangan bulat negatif, contoh
Mengecek hasil pembagian bilangan bulat dengan sisanya
