Kasus-kasus khusus yang membawa sistem kekuatan spasial yang sewenang-wenang ke pusat. Kasus reduksi ke bentuk paling sederhana Bentuk persamaan kesetimbangan sistem gaya bidang

Biarkan beberapa pasang gaya dengan momen yang bekerja pada bidang berbeda diterapkan secara bersamaan pada benda tegar. Mungkinkah sistem berpasangan ini direduksi menjadi bentuk yang lebih sederhana? Ternyata hal itu mungkin, dan jawabannya ditunjukkan oleh teorema penjumlahan dua pasangan berikut.

Dalil. Dua pasang gaya yang bekerja pada bidang berbeda setara dengan sepasang gaya yang momennya sama dengan jumlah geometri momen dari pasangan gaya tersebut.

Biarkan pasangan ditentukan oleh momennya dan (Gbr. 36, a). Mari kita buat dua bidang yang tegak lurus terhadap vektor-vektor ini (bidang kerja pasangan) dan, dengan memilih segmen AB tertentu pada garis perpotongan bidang untuk bahu yang sama pada kedua pasangan, kita akan membuat pasangan yang bersesuaian: (Gbr. 36,b).

Sesuai dengan pengertian momen suatu pasangan, kita dapat menuliskannya

Di titik A dan B kita mempunyai gaya-gaya yang konvergen. Menerapkan aturan jajaran genjang gaya (aksioma 3), kita akan mendapatkan:

Pasangan yang diberikan ternyata setara dengan dua gaya, yang juga membentuk pasangan. Dengan demikian, teorema bagian pertama terbukti. Teorema bagian kedua dibuktikan dengan perhitungan langsung momen pasangan yang dihasilkan:

Jika terdapat sejumlah pasangan, maka dengan menjumlahkannya secara berpasangan sesuai dengan teorema ini, sejumlah pasangan dapat dikurangi menjadi satu pasangan. Hasilnya, kita sampai pada kesimpulan berikut: himpunan (sistem) pasangan gaya yang diterapkan pada benda tegar mutlak dapat direduksi menjadi satu pasangan dengan momen yang sama dengan jumlah geometri momen dari semua pasangan yang diberikan.

Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut:

Pada Gambar. Gambar 37 memberikan ilustrasi geometris dari kesimpulan yang dihasilkan.

Untuk kesetimbangan pasangan gaya, momen pasangan gaya yang dihasilkan harus sama dengan nol, sehingga menghasilkan persamaan

Kondisi ini dapat dinyatakan dalam bentuk geometri dan analitis. Kondisi geometris untuk kesetimbangan pasangan gaya: agar suatu sistem pasangan gaya berada dalam kesetimbangan, poligon vektor yang dibangun dari momen semua pasangan harus ditutup.

Kondisi analitis untuk kesetimbangan pasangan gaya: agar suatu sistem pasangan gaya berada dalam kesetimbangan, jumlah aljabar proyeksi vektor momen semua pasangan pada sumbu koordinat yang dipilih secara acak Oxyz harus sama dengan nol:

Jika semua pasangan terletak pada bidang yang sama, yaitu membentuk sistem pasangan datar, hanya satu kondisi kesetimbangan analitik yang diperoleh—jumlah momen aljabar pasangan sama dengan nol.

Pertanyaan tes mandiri

1. Apa yang dimaksud dengan aturan poligon gaya? Untuk apa poligon pangkat digunakan?

2. Bagaimana cara mencari resultan gaya-gaya yang konvergen secara analitis?

3. Bagaimana kondisi geometri kesetimbangan gaya-gaya konvergen? Bagaimana kondisi yang sama dirumuskan secara analitis?

4. Nyatakan teorema tiga gaya.

5. Masalah statika mana yang disebut terdefinisi secara statis dan mana yang disebut statis tak tentu? Berikan contoh soal statis tak tentu.

6. Apa yang disebut dengan pasangan gaya?

7. Apa yang disebut momen (momen vektor) dari sepasang gaya? Berapakah arah, besaran dan titik penerapan momen tersebut?

8. Apa yang disebut momen aljabar suatu pasangan?

9. Merumuskan aturan penjumlahan pasangan-pasangan yang terletak secara sembarang dalam ruang.

10. Apa syarat vektor, geometri, dan analitik untuk kesetimbangan sistem pasangan gaya?

Teorema utama statika tentang membawa sistem gaya arbitrer ke pusat tertentu: Setiap sistem gaya bidang setara dengan satu gaya yang sama dengan vektor utama sistem yang diterapkan pada suatu titik (pusat reduksi) dan sepasang gaya, yang momennya sama dengan momen utama gaya-gaya relatif sistem. ke pusat reduksi.

Pembuktian teorema dilakukan dengan urutan sebagai berikut: pilih suatu titik tertentu (misalnya suatu titik TENTANG) sebagai pusat reduksi dan pindahkan setiap gaya ke titik ini, tambahkan, menurut teorema transfer gaya paralel, pasangan gaya yang bersesuaian. Hasilnya, diperoleh sistem gaya konvergen yang diterapkan pada titik tersebut TENTANG, dimana , dan sistem pasangan gaya tambahan yang momennya adalah . Kemudian sistem gaya-gaya yang konvergen digantikan oleh resultan yang sama dengan vektor utama sistem, dan sistem pasangan gaya digantikan oleh sepasang gaya yang momennya sama dengan momen utama sistem relatif terhadap pusat. pengurangan . Hasilnya, kami mendapatkan itu ~. Oleh karena itu, teorema tersebut terbukti.

Kasus-kasus reduksi sistem gaya spasial ke bentuk yang paling sederhana:

1, a – sistem direduksi menjadi sepasang gaya dengan momen yang sama dengan momen utama sistem, dan nilai momen utama sistem tidak bergantung pada pilihan pusat reduksi.

2, a – sistem gaya-gaya direduksi menjadi resultan yang sama dengan vektor utama sistem, yang garis kerjanya melalui pusat reduksi O.

3, dan – sistem gaya-gaya tersebut direduksi menjadi satu resultan, sama dengan vektor utama sistem, yang garis kerjanya digeser dari pusat reduksi sebelumnya sebesar jarak.

4 Jika vektor utama dan momen utama adalah , maka sistem gaya-gaya tersebut akan seimbang, yaitu. ~0.

2.1.5 Kondisi keseimbangan sistem gaya bidang

Kondisi yang diperlukan dan cukup untuk keseimbangan sistem gaya bidang apa pun ditentukan oleh persamaan:

Besarnya vektor utama sistem gaya bidang ditentukan oleh ketergantungan: , dan momen utama - oleh ketergantungan .

Vektor utama akan sama dengan nol hanya jika secara bersamaan . Akibatnya, kondisi kesetimbangan terpenuhi jika persamaan analitik berikut dipenuhi:

Persamaan ini adalah dasar ( Pertama ) bentuk kondisi analitis kesetimbangan sistem gaya bidang sembarang, yang dirumuskan sebagai berikut: untuk keseimbangan sistem gaya-gaya bidang sembarang, jumlah proyeksi semua gaya pada masing-masing dua sumbu koordinat dan jumlah aljabar momen gaya-gaya tersebut terhadap titik mana pun pada bidang tersebut perlu dan cukup. aksi gaya sama dengan nol.

Perhatikan bahwa jumlah persamaan kesetimbangan untuk sistem gaya bidang sembarang dalam kasus umum adalah tiga. Mereka dapat disajikan dalam berbagai bentuk.

Ada dua lagi bentuk persamaan kesetimbangan untuk sistem gaya bidang sembarang, yang pemenuhannya menyatakan kondisi kesetimbangan ().

Kedua bentuk kondisi keseimbangan analitik memberikan: untuk keseimbangan sistem gaya bidang sembarang, jumlah momen semua gaya relatif terhadap dua titik dan jumlah proyeksi gaya-gaya ini pada sumbu yang tidak tegak lurus terhadap garis lurus yang ditarik melalui titik-titik tersebut harus dan cukup. poin sama dengan nol:

(garis AB tidak tegak lurus terhadap sumbu Oh)

Mari kita rumuskan ketiga bentuk kondisi analitis untuk keseimbangan sistem gaya yang dipertimbangkan: untuk kesetimbangan suatu sistem gaya bidang sembarang, jumlah momen gaya-gaya sistem terhadap tiga titik yang tidak terletak pada garis lurus yang sama harus dan cukup sama dengan nol.:

Dalam kasus sistem bidang gaya paralel, Anda dapat mengarahkan sumbunya kamu sejajar dengan kekuatan sistem. Kemudian proyeksi masing-masing gaya sistem ke sumbu Oh akan sama dengan nol. Akibatnya, untuk sistem bidang gaya paralel akan tetap terdapat dua bentuk kondisi keseimbangan.

Untuk keseimbangan sistem bidang gaya-gaya paralel, jumlah proyeksi semua gaya pada sumbu yang sejajar dengannya dan jumlah momen semua gaya relatif terhadap titik mana pun harus sama dengan nol:

Bentuk pertama dari kondisi kesetimbangan analitik untuk sistem bidang gaya paralel mengikuti persamaan ().

Kita memperoleh bentuk kedua kondisi kesetimbangan untuk sistem bidang gaya paralel dari persamaan ().

Untuk keseimbangan sistem bidang gaya-gaya paralel, jumlah momen semua gaya sistem relatif terhadap dua titik yang tidak terletak pada garis lurus yang sejajar gaya-gaya harus sama dengan nol:

Seperti yang ditunjukkan pada § 12, gaya apa pun dalam kasus umum direduksi menjadi gaya yang sama dengan vektor utama R dan diterapkan pada pusat sembarang O, dan menjadi pasangan dengan momen yang sama dengan momen utama (lihat Gambar 40, b ). Mari kita temukan bentuk paling sederhana apa yang dapat direduksi oleh sistem gaya spasial yang tidak berada dalam keseimbangan. Hasilnya bergantung pada nilai yang dimiliki sistem ini untuk besaran R dan

1. Jika untuk suatu sistem gaya tertentu , maka gaya tersebut direduksi menjadi pasangan gaya yang momennya sama dan dapat dihitung dengan menggunakan rumus (50). Dalam hal ini, seperti yang ditunjukkan pada § 12, nilainya tidak bergantung pada pilihan pusat O.

2. Jika untuk suatu sistem gaya-gaya tertentu, maka direduksi menjadi resultan sama dengan R, yang garis kerjanya melalui pusat O. Nilai R dapat dicari dengan menggunakan rumus (49).

3. Jika untuk suatu sistem gaya-gaya tertentu tetapi maka sistem ini juga direduksi menjadi resultan sama dengan R, tetapi tidak melalui pusat O.

Memang benar, ketika pasangan, diwakili oleh vektor, dan gaya R terletak pada bidang yang sama (Gbr. 91).

Kemudian, pilih gaya-gaya pasangan yang sama dalam modulus R dan susun seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 91, kita menemukan bahwa gaya-gaya akan saling seimbang, dan sistem akan digantikan oleh satu garis aksi resultan yang melalui titik O (lihat, § 15, paragraf 2, b). Jarak ) ditentukan dengan rumus (28), dimana

Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa kasus yang dipertimbangkan, khususnya, akan selalu terjadi untuk sistem gaya paralel atau gaya apa pun yang terletak pada bidang yang sama, jika vektor utama sistem ini Jika untuk sistem gaya tertentu dan vektornya sejajar dengan R (Gbr. 92, a) , ini berarti sistem gaya direduksi menjadi kombinasi gaya R dan pasangan P, P yang terletak pada bidang yang tegak lurus gaya (Gbr. 92, b). Kombinasi gaya dan kopel seperti itu disebut sekrup dinamis, dan garis lurus yang dilalui vektor R adalah sumbu sekrup. Penyederhanaan lebih lanjut dari sistem kekuatan ini tidak mungkin dilakukan. Faktanya, jika kita mengambil titik C lain sebagai pusat reduksi (Gbr. 92, a), maka vektor dapat ditransfer ke titik C sebagai bebas, dan ketika gaya R ditransfer ke titik C (lihat § 11) , pasangan lain dengan momen tegak lurus terhadap vektor R, dan oleh karena itu . Akibatnya momen pasangan yang dihasilkan akan lebih besar secara numerik, sehingga momen pasangan yang dihasilkan mempunyai nilai terkecil dalam hal ini jika dibawa ke pusat O. Sistem gaya-gaya ini tidak dapat direduksi menjadi satu gaya (resultan) atau menjadi satu pasangan.

Jika salah satu gaya dari pasangan, misalnya P, ditambahkan ke gaya R, maka sistem gaya yang dipertimbangkan juga dapat digantikan oleh dua gaya yang bersilangan, yaitu gaya Q dan tidak terletak pada bidang yang sama (Gbr. .93). Karena sistem gaya yang dihasilkan setara dengan sekrup dinamis, maka sistem tersebut juga tidak mempunyai resultan.

5. Jika untuk suatu sistem gaya-gaya tertentu dan pada saat yang sama vektor-vektor dan R tidak tegak lurus satu sama lain atau sejajar, maka sistem gaya-gaya tersebut juga direduksi menjadi sekrup dinamis, tetapi sumbu sekrup tidak akan melewati pusat O.

Untuk membuktikannya, mari kita dekomposisi vektor menjadi komponen-komponen: berarah sepanjang R, dan tegak lurus R (Gbr. 94). Dalam hal ini, di mana adalah vektor dan R. Pasangan yang diwakili oleh vektor dan gaya R dapat berupa, seperti pada kasus yang ditunjukkan pada Gambar. 91, diganti dengan satu gaya R yang diterapkan di titik O. Kemudian sistem gaya ini akan digantikan oleh gaya dan sepasang torsi paralel, dan vektor sebagai vektor bebas juga dapat diterapkan di titik O. Hasilnya akan nyata menjadi sekrup dinamis, tetapi dengan sumbu melewati titik

Jika, setelah membawa sistem gaya spasial ke pusat yang dipilih O, vektor utama dan momen utama sama dengan nol, yaitu.

Sistem kekuatannya seimbang. Di bawah pengaruh sistem gaya seperti itu, benda padat akan berada dalam keseimbangan. Jelasnya, dalam kasus umum, dua persamaan vektor (4.1) berhubungan dengan enam persamaan skalar, yang mencerminkan persamaan hingga nol dari proyeksi vektor-vektor ini pada sumbu sistem koordinat yang dipilih (misalnya, Cartesian).

Jika, setelah membawa sistem gaya spasial ke pusat yang dipilih O, vektor utama sama dengan nol, dan momen utama tidak sama dengan nol, yaitu.

Sepasang gaya yang dihasilkan bekerja pada benda, cenderung memutarnya. Perhatikan bahwa dalam hal ini pilihan pusat reduksi tidak mempengaruhi hasilnya.

Jika, setelah membawa sistem gaya spasial ke pusat yang dipilih O, vektor utama tidak sama dengan nol, dan momen utama sama dengan nol, yaitu.

Benda tersebut ditindaklanjuti oleh sistem resultan gaya-gaya yang melewati pusat reduksi dan cenderung menggerakkan benda sepanjang garis kerjanya. Jelaslah bahwa relasi (4.3.) berlaku untuk semua titik pada garis resultan.

Perhatikan bahwa aksi suatu sistem gaya-gaya konvergen direduksi menjadi kasus ini jika titik perpotongan garis-garis kerja gaya-gaya sistem tersebut diambil sebagai pusat reduksi (karena momen gaya-gaya relatif terhadap titik ini adalah sama ke nol).

Jika, setelah membawa sistem gaya spasial ke pusat yang dipilih O, vektor utama dan momen utama tidak sama dengan nol, dan arahnya membentuk sudut siku-siku, yaitu.

maka sistem gaya seperti itu juga dapat direduksi menjadi resultan, tetapi melalui pusat reduksi lain - suatu titik. Untuk melakukan operasi ini, pertama-tama kita perhatikan sistem gaya ekivalen yang ditunjukkan pada Gambar. 4.2.b dan gambar. 4.1. Jelasnya, jika kita mengubah notasi (titik B disebut pusat O, titik A disebut pusat), tugas yang kita hadapi memerlukan operasi yang berbanding terbalik dengan yang dilakukan pada lemma transfer gaya paralel. Dengan memperhatikan hal-hal di atas, maka titik tersebut harus, pertama, terletak pada bidang yang tegak lurus terhadap vektor momen utama yang melalui pusat O, dan kedua, terletak pada garis yang sejajar dengan garis kerja vektor utama. gaya dan dipisahkan darinya pada jarak h sama dengan

Dari dua garis yang ditemukan, Anda harus memilih salah satu titik yang vektor momen utama sama dengan nol (momen vektor gaya utama relatif terhadap pusat baru harus sama besarnya dan berlawanan arah dengan momen utama sistem gaya relatif terhadap titik O).

Dalam kasus umum, setelah sistem gaya spasial dibawa ke pusat O yang dipilih, vektor utama dan momen utama, yang tidak sama dengan nol, tidak membentuk sudut siku-siku satu sama lain (Gbr. 4.5.a).

Jika momen utama didekomposisi menjadi dua komponen - sepanjang vektor gaya utama dan tegak lurus terhadapnya, maka sesuai dengan (4.5), dapat ditemukan pusat reduksi yang komponen tegak lurus momen utama menjadi sama dengan nol, dan besar serta arah vektor utama dan komponen pertama momen utama tetap sama (Gbr. 4.5.b). Kumpulan vektor disebut sekrup listrik atau dinamo.

Penyederhanaan lebih lanjut tidak mungkin dilakukan.

Karena dengan perubahan pusat reduksi seperti itu, hanya proyeksi momen utama yang berubah ke arah tegak lurus terhadap vektor utama sistem gaya, nilai produk skalar dari vektor-vektor ini tetap tidak berubah, yaitu.

Ungkapan ini disebut invarian kedua

statika.

Contoh 4.1. Titik-titik sudut suatu persegi panjang sejajar dengan sisi-sisinya dan dikenai gaya dan (lihat Gambar 4.6). Dengan mengambil titik asal sistem koordinat Kartesius yang ditunjukkan pada gambar sebagai pusat reduksi sistem gaya, tuliskan ekspresi proyeksi vektor utama dan momen utama.

Mari kita tuliskan hubungan trigonometri untuk menentukan sudut:

Sekarang kita dapat menulis ekspresi untuk proyeksi vektor utama dan momen gaya utama sistem:

Catatan: pengetahuan tentang proyeksi vektor ke sumbu koordinat akan memungkinkan, jika perlu, menghitung besaran dan arahnya cosinus.

Sebagaimana telah dibuktikan di atas, suatu sistem gaya sembarang, yang ditempatkan secara sembarang dalam ruang, dapat direduksi menjadi gaya tunggal yang sama dengan vektor utama sistem dan diterapkan pada pusat reduksi yang berubah-ubah. TENTANG, dan satu pasang dengan momen yang sama dengan momen utama sistem relatif terhadap pusat yang sama. Oleh karena itu, di masa depan, sistem gaya yang berubah-ubah dapat digantikan oleh himpunan dua vektor yang setara - gaya dan momen yang diterapkan pada suatu titik. TENTANG. Saat mengubah posisi pusat reduksi TENTANG vektor utama akan mempertahankan besar dan arah, tetapi momen utama akan berubah. Mari kita buktikan jika vektor utamanya bukan nol dan tegak lurus terhadap momen utama, maka sistem gaya-gaya tersebut direduksi menjadi satu gaya, yang dalam hal ini kita sebut resultan (Gbr. 8). Momen utama dapat dinyatakan dengan sepasang gaya ( , ) dengan bahu , kemudian gaya-gaya dan vektor utama membentuk sistem dua

gaya yang setara dengan nol, yang dapat dibuang. Akan tetap ada satu gaya yang bekerja sepanjang garis lurus yang sejajar dengan gaya utama

Gambar 8 terhadap vektor dan melintas pada jarak tertentu

H= dari bidang yang dibentuk oleh vektor dan . Kasus yang dibahas menunjukkan bahwa jika sejak awal kita memilih pusat reduksi pada garis lurus aku, maka sistem gaya-gaya tersebut akan segera dibawa ke resultan, momen utama akan sama dengan nol. Sekarang kita buktikan bahwa jika vektor utama bukan nol dan tidak tegak lurus terhadap momen utama, maka titik tersebut dapat dipilih sebagai pusat reduksi. TENTANG* bahwa momen utama terhadap titik ini dan vektor utama akan terletak pada garis lurus yang sama. Untuk membuktikannya, mari kita dekomposisi momen menjadi dua komponen - satu diarahkan sepanjang vektor utama, dan yang lainnya tegak lurus terhadap vektor utama. Jadi, pasangan gaya didekomposisi menjadi dua pasang dengan momen: dan , dan bidang pasangan pertama tegak lurus , maka bidang pasangan kedua tegak lurus vektor (Gbr. 9) memuat vektor . Gabungan pasangan dengan momen dan gaya membentuk sistem gaya, yang dapat direduksi menjadi satu gaya (Gbr. 8) yang melalui titik O*. Jadi (Gbr. 9), himpunan vektor utama dan momen utama pada suatu titik TENTANG direduksi menjadi gaya yang melalui suatu titik TENTANG*, dan pasangan dengan momen yang sejajar dengan garis tersebut, yang perlu dibuktikan. Gabungan gaya dan pasangan, yang bidangnya tegak lurus terhadap garis kerja gaya, disebut dinamisme (Gbr. 10). Sepasang gaya dapat diwakili oleh dua gaya ( , ) yang besarnya sama, terletak seperti ditunjukkan pada Gambar 10. Namun dengan menjumlahkan kedua gaya dan , kita memperoleh jumlah gaya tersebut dan gaya yang tersisa , yang kemudian menjadi hasilnya (Gambar 10 ) yang merupakan kombinasi vektor utama dan momen utama dalam satu titik TENTANG, dapat direduksi menjadi dua gaya yang tidak berpotongan dan .

Mari kita perhatikan beberapa kasus pengurangan suatu sistem gaya.

1. Sistem gaya datar. Untuk lebih pastinya, biarkan semua gaya berada pada bidangnya OKSI. Kemudian dalam kasus yang paling umum

Vektor utamanya bukan nol, momen utamanya bukan nol, hasil kali titiknya juga nol

oleh karena itu, vektor utama tegak lurus terhadap momen utama: sistem gaya bidang direduksi menjadi resultan.

2. Sistem gaya paralel. Untuk lebih pastinya, biarkan semua gaya sejajar dengan sumbu ONS. Kemudian dalam kasus yang paling umum

Di sini juga vektor utama tidak sama dengan nol, momen utama tidak sama dengan nol, dan hasil kali skalarnya sama dengan nol.

oleh karena itu, dalam hal ini, vektor utama tegak lurus terhadap momen utama: sistem gaya paralel direduksi menjadi resultan. Dalam kasus tertentu, jika sama dengan nol, maka vektor gaya utama sama dengan nol, dan sistem gaya direduksi menjadi sepasang gaya, yang vektor momennya berada pada bidang OKSI. Sekarang mari kita mensistematisasikan kasus-kasus yang dipertimbangkan. Mari kita ingat kembali: sistem gaya spasial sembarang yang diterapkan pada benda tegar secara statis setara dengan gaya yang sama dengan vektor utama yang diterapkan pada titik sembarang benda (pusat reduksi), dan sepasang gaya dengan momen sama dengan momen utama sistem gaya relatif terhadap pusat reduksi tertentu.