Kiszámoljuk a paralelogramma szögeinek és területeinek összegét: tulajdonságai és jellemzői. A paralelogramma definíciója és tulajdonságai A paralelogramma szemközti oldalai és szögei tulajdonságainak bizonyítása

Óra témája

A paralelogramma átlóinak tulajdonságai.

Az óra céljai

Ismerkedjen meg új definíciókkal, és emlékezzen néhány már tanulmányozott definícióra.
Állapítsa meg és igazolja egy paralelogramma átlóinak tulajdonságát!
Tanuld meg alkalmazni az alakzatok tulajdonságait feladatok megoldása során.
Fejlesztő – a tanulók figyelmének, kitartásának, kitartásának, logikus gondolkodásának, matematikai beszédkészségének fejlesztése.
Oktatási - a leckén keresztül fejleszteni kell az egymás iránti figyelmes hozzáállást, elsajátítani az elvtársak meghallgatásának képességét, a kölcsönös segítségnyújtást és a függetlenséget.

Az óra céljai

Tesztelje a tanulók problémamegoldó képességeit.

Tanterv

Bevezetés.
Korábban tanult anyag ismétlése.
A paralelogramma, tulajdonságai és jellemzői.
Példák a feladatokra.
Önellenőrzés.

Bevezetés

"Egy nagy tudományos felfedezés megoldást ad egy nagy problémára, de minden probléma megoldásában van egy szemcsés felfedezés."

A paralelogramma szemközti oldalainak tulajdonsága

A paralelogrammának vannak egymással ellentétes oldalai, amelyek egyenlőek.

Bizonyíték.

Legyen ABCD az adott paralelogramma. És az átlói az O pontban metsszék egymást.
Mivel a háromszögek egyenlőségének első feltétele szerint Δ AOB = Δ COD (∠ AOB = ∠ COD, mint függőlegesek, AO=OC, DO=OB, egy paralelogramma átlóinak tulajdonsága alapján), akkor AB=CD. Ugyanígy a BOC és DOA háromszögek egyenlőségéből az következik, hogy BC = DA. A tétel bizonyítást nyert.

A paralelogramma szemközti szögeinek tulajdonsága

A paralelogrammában a szemközti szögek egyenlőek.

Bizonyíték.

Legyen ABCD az adott paralelogramma. És az átlói az O pontban metsszék egymást.
A Δ ABC = Δ CDA paralelogramma ellentétes oldalainak tulajdonságairól szóló tételből bebizonyítottakból három oldalon (AB=CD, BC=DA a bizonyítottból, AC – általános). A háromszögek egyenlőségéből az következik, hogy ∠ ABC = ∠ CDA.
Az is bebizonyosodott, hogy ∠ DAB = ∠ BCD, ami abból következik, hogy ∠ ABD = ∠ CDB. A tétel bizonyítást nyert.

A paralelogramma átlóinak tulajdonsága

A paralelogramma átlói metszik egymást, és a metszéspontban felezik.

Bizonyíték.

Legyen ABCD az adott paralelogramma. Rajzoljuk meg az AC átlót. Jelöljük rajta a középső O-t.A DO szakasz folytatásán félretesszük a DO-val egyenlő OB 1 szakaszt.
Az előző tétel szerint AB 1 CD paralelogramma. Ezért az AB 1 egyenes párhuzamos a DC-vel. De az A ponton keresztül csak egy DC-vel párhuzamos egyenes húzható. Ez azt jelenti, hogy az AB 1 egyenes egybeesik az AB egyenessel.
Az is bebizonyosodott, hogy Kr.e. 1 egybeesik Kr. e. Ez azt jelenti, hogy a C pont egybeesik C 1-gyel. Az ABCD paralelogramma egybeesik az AB 1 CD paralelogrammával. Következésképpen a paralelogramma átlói metszik egymást, és a metszéspontban feleződnek. A tétel bizonyítást nyert.

A normál iskolák tankönyveiben (például Pogorelovóban) ez így van bebizonyítva: az átlók egy paralelogrammát 4 háromszögre osztanak. Tekintsünk egy párt, és derítsük ki - egyenlők: alapjaik ellentétes oldalak, a mellette lévő megfelelő szögek egyenlőek, mint a függőleges szögek párhuzamos vonalakkal. Vagyis az átlók szakaszai páronként egyenlőek. Minden.

Ez minden?
Fentebb bebizonyosodott, hogy a metszéspont felezi az átlókat - ha létezik. A fenti okfejtés semmiképpen sem bizonyítja a létezését. Vagyis „a paralelogramma átlói metszik egymást” tétel egy része bizonyítatlan marad.

Az a vicces, hogy ezt a részt sokkal nehezebb bizonyítani. Ez egyébként egy általánosabb eredményből következik: bármely konvex négyszög átlói metszik egymást, de a nem konvex négyszögeket nem.

Az oldal és két szomszédos szög mentén lévő háromszögek egyenlőségéről (a háromszögek egyenlőségének második jele) és mások.

Thales fontos gyakorlati alkalmazást talált a két oldal és két szomszédos szög egyenlőségére vonatkozó tételre. Egy távolságmérőt építettek Milétosz kikötőjében, hogy meghatározzák a tengeren lévő hajó távolságát. Három meghajtott csapból A, B és C (AB = BC) és egy CA-ra merőleges SC jelű egyenesből állt. Amikor egy hajó megjelent az SK egyenesen, a D pontot úgy találtuk, hogy a D, .B és E pontok ugyanazon az egyenesen voltak. Amint az a rajzon látható, a talajon lévő távolság CD a kívánt távolság a hajótól.

Kérdések

Egy négyzet átlói ketté vannak osztva a metszésponttal?
Egy paralelogramma átlói egyenlők?
Egy paralelogramma szemközti szögei egyenlők?
Mondja el a paralelogramma definícióját?
Hány előjelű paralelogramma?
Lehet-e a rombusz paralelogramma?

A felhasznált források listája

Kuznetsov A.V., matematikatanár (5-9. osztály), Kijev
„Egységes államvizsga 2006. Matematika. Oktatási és képzési anyagok a diákok felkészítéséhez / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
Mazur K. I. „A M. I. Skanavi által szerkesztett gyűjtemény matematikai versenyfeladatainak megoldása”
L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina „Geometria, 7–9: tankönyv oktatási intézmények számára”

Dolgoztunk a leckén

Kuznetsov A.V.

Poturnak S.A.

Jevgenyij Petrov

Felvethet egy kérdést a modern oktatással kapcsolatban, megfogalmazhat egy ötletet vagy megoldhat egy sürgető problémát a címen Oktatási fórum, ahol a friss gondolatok és cselekvések oktatási tanácsa találkozik nemzetközi szinten. Miután létrehozta blog, Nemcsak hozzáértő tanári státuszát javítja, hanem jelentős mértékben hozzájárul a jövő iskolájának fejlődéséhez is. Nevelési Vezetők Céhe ajtót nyit a legmagasabb rangú szakemberek előtt, és felkéri őket, hogy működjenek együtt a világ legjobb iskoláinak létrehozásában.

Tantárgyak > Matematika > Matematika 8. osztály

A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak. Ez a definíció már elegendő, hiszen a paralelogramma többi tulajdonságai is ebből következnek, és tételek formájában bizonyítottak.

A paralelogramma fő tulajdonságai a következők:

a paralelogramma konvex négyszög;
A paralelogrammának vannak ellentétes oldalai, amelyek páronként egyenlőek;
A paralelogrammában a szemközti szögek páronként egyenlőek;
A paralelogramma átlóit kettéosztjuk a metszésponttal.

Parallelogramma - konvex négyszög

Először bizonyítsuk be azt a tételt, hogy a paralelogramma egy konvex négyszög. Egy sokszög konvex, ha bármelyik oldalát meghosszabbítják egyenessé, a sokszög összes többi oldala ennek az egyenesnek az ugyanazon az oldalán lesz.

Adjunk meg egy ABCD paralelogrammát, amelyben az AB a CD, a BC pedig az AD szemközti oldala. Ekkor a paralelogramma definíciójából következik, hogy AB || CD, BC || HIRDETÉS.

A párhuzamos szakaszoknak nincs közös pontja, és nem metszik egymást. Ez azt jelenti, hogy a CD az AB egyik oldalán fekszik. Mivel a BC szakasz az AB szakasz B pontját a CD szakasz C pontjával, az AD szakasz pedig az AB és CD többi pontját köti össze, a BC és AD szakaszok szintén az AB egyenes ugyanazon az oldalán helyezkednek el, ahol a CD. Így mindhárom oldal - CD, BC, AD - az AB ugyanazon az oldalán fekszik.

Hasonlóképpen bebizonyosodott, hogy a paralelogramma másik oldalához képest a másik három oldal ugyanazon az oldalon fekszik.

A szemközti oldalak és a szögek egyenlőek

A paralelogramma egyik tulajdonsága az A paralelogrammában a szemközti oldalak és a szemközti szögek páronként egyenlőek. Például, ha adott egy ABCD paralelogramma, akkor AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Ezt a tételt a következőképpen bizonyítjuk.

A paralelogramma négyszög. Ez azt jelenti, hogy két átlója van. Mivel a paralelogramma konvex négyszög, bármelyikük két háromszögre osztja. Tekintsük az ABCD paralelogrammán az AC átló megrajzolásával kapott ABC és ADC háromszögeket.

Ezeknek a háromszögeknek van egy közös oldaluk - AC. A BCA szög egyenlő a CAD szöggel, csakúgy, mint a függőleges, ha BC és AD párhuzamosak. A BAC és az ACD szögek szintén megegyeznek a függőleges szögekkel, ha AB és CD párhuzamosak. Ezért ∆ABC = ∆ADC két szögnél és a köztük lévő oldalnál.

Ezekben a háromszögekben az AB oldal a CD oldalnak, a BC oldal pedig az AD oldalnak felel meg. Ezért AB = CD és BC = AD.

A B szög a D szögnek felel meg, azaz ∠B = ∠D. A paralelogramma A szöge két szög – ∠BAC és ∠CAD – összege. A C szög egyenlő ∠BCA-val és ∠ACD-vel. Mivel a szögpárok egyenlőek egymással, akkor ∠A = ∠C.

Így bebizonyosodott, hogy egy paralelogrammában a szemközti oldalak és a szögek egyenlőek.

Az átlók ketté vannak osztva

Mivel a paralelogramma konvex négyszög, két átlója van, és ezek metszik egymást. Legyen adott az ABCD paralelogramma, melynek AC és BD átlói az E pontban metszik egymást. Tekintsük az általuk alkotott ABE és CDE háromszögeket.

Ezeknek a háromszögeknek AB és CD oldalai megegyeznek a paralelogramma szemközti oldalaival. Az ABE szög egyenlő a CDE szöggel, amely keresztben fekszik az AB és CD párhuzamos egyenesekkel. Ugyanezen okból ∠BAE = ∠DCE. Ez azt jelenti, hogy két szögben ∆ABE = ∆CDE és a közöttük lévő oldal.

Azt is észreveheti, hogy az AEB és a CED szögek függőlegesek, ezért egymással is egyenlők.

Mivel az ABE és CDE háromszögek egyenlőek egymással, ezért minden hozzájuk tartozó elem egyenlő. Az első háromszög AE oldala a második CE oldalának felel meg, ami azt jelenti, hogy AE = CE. Hasonlóan BE = DE. Minden pár egyenlő szakasz egy paralelogramma átlóját alkotja. Így bebizonyosodott, hogy A paralelogramma átlóit metszéspontjuk felezi.

A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai párhuzamosak, azaz párhuzamos egyeneseken fekszenek (1. ábra).

1. tétel. A paralelogramma oldalainak és szögeinek tulajdonságairól. A paralelogrammában a szemközti oldalak egyenlőek, a szemközti szögek egyenlőek, és a paralelogramma egyik oldalával szomszédos szögek összege 180°.

Bizonyíték. Ebben az ABCD paralelogrammában rajzolunk egy AC átlót, és két ABC és ADC háromszöget kapunk (2. ábra).

Ezek a háromszögek egyenlőek, mivel ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (párhuzamos egyenesek keresztirányú szögei), és az AC oldal közös. Az Δ ABC = Δ ADC egyenlőségből az következik, hogy AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Az egyik oldallal szomszédos szögek összege, például az A és D szögek, egyoldalúként egyenlő 180°-kal. párhuzamos vonalakhoz. A tétel bizonyítást nyert.

Megjegyzés. A paralelogramma szemközti oldalainak egyenlősége azt jelenti, hogy a párhuzamosak által levágott párhuzamos szakaszok egyenlőek.

Következmény 1. Ha két egyenes párhuzamos, akkor az egyik egyenes minden pontja azonos távolságra van a másik egyenestől.

Bizonyíték. Valóban, legyen egy || b (3. ábra).

Rajzoljunk BA és CD merőlegeseket az a egyenesre a b egyenes két B és C pontjából. Mivel az AB || CD, akkor ábra ABCD paralelogramma, ezért AB = CD.

A két párhuzamos egyenes távolsága az egyik egyenes tetszőleges pontjától a másik egyenesig mért távolság.

A bebizonyítottak szerint egyenlő az egyik párhuzamos egyenes valamelyik pontjából a másik egyenesre húzott merőleges hosszával.

1. példa A paralelogramma kerülete 122 cm. Az egyik oldala 25 cm-rel nagyobb, mint a másik Keresse meg a paralelogramma oldalait!

Megoldás. Az 1. tétel szerint a paralelogramma szemközti oldalai egyenlőek. Jelöljük a paralelogramma egyik oldalát x-szel, a másikat y-vel. Ezután a $$\left\(\begin(mátrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(mátrix)\right feltétellel.$$ Ezt a rendszert megoldva x = 43, y = 18 Így tehát a paralelogramma oldalai 18, 43, 18 és 43 cm-esek.

2. példa

Megoldás. A 4. ábra feleljen meg a feladat feltételeinek.

Jelöljük AB-t x-szel, BC-t y-vel. A feltétel szerint a paralelogramma kerülete 10 cm, azaz 2(x + y) = 10, vagy x + y = 5. Az ABD háromszög kerülete 8 cm. És mivel AB + AD = x + y = 5, majd BD = 8 - 5 = 3. Tehát BD = 3 cm.

3. példa Határozzuk meg a paralelogramma szögeit, tudva, hogy az egyik 50°-kal nagyobb, mint a másik.

Megoldás. Az 5. ábra feleljen meg a feladat feltételeinek.

Jelöljük az A szög mértékét x-szel. Ekkor a D szög fokmértéke x + 50°.

A BAD és ADC szögek egyoldalú belső szögek AB és DC párhuzamos vonalakkal és AD szekánssal. Ekkor ezeknek a megnevezett szögeknek az összege 180° lesz, azaz.
x + x + 50° = 180° vagy x = 65°. Így ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

4. példa A paralelogramma oldalai 4,5 dm és 1,2 dm. Egy hegyesszög csúcsából felezőt húzunk. Milyen részekre osztja a paralelogramma nagyobbik oldalát?

Megoldás. A 6. ábra feleljen meg a feladat feltételeinek.

Az AE egy paralelogramma hegyesszögének felezőpontja. Ezért ∠ 1 = ∠ 2.

A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak. A paralelogramma területe egyenlő az alapja (a) és magassága (h) szorzatával. A területét két oldalon és egy szögben és átlókban is megtalálhatja.

A paralelogramma tulajdonságai

1. A szemközti oldalak azonosak

Először is rajzoljuk meg az $AC$ átlót. Két háromszöget kapunk: $ABC$ és $ADC$.

Mivel az $ABCD$ egy paralelogramma, a következő igaz:

$HIRDETÉS || BC \Jobbra \angle 1 = \angle 2$ mint keresztben fekve.

$AB || CD \Jobbra \angle3 = \angle 4$ mint keresztben fekve.

Ezért (a második kritérium szerint: és $AC$ gyakori).

És az azt jelenti $\háromszög ABC = \háromszög ADC$, majd $AB = CD$ és $AD = BC$ .

2. Az ellentétes szögek azonosak

A bizonyíték szerint tulajdonságok 1 Tudjuk $\angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4$. Így az ellentétes szögek összege: $\angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4$. Tekintve, hogy $\háromszög ABC = \háromszög ADC$ kapjuk a $\angle A = \angle C $ , $\angle B = \angle D $ .

3. Az átlókat kettéosztjuk a metszésponttal

Által tulajdonság 1 tudjuk, hogy a szemközti oldalak azonosak: $AB = CD$ . Még egyszer vegye figyelembe a keresztben fekvő egyenlő szögeket.

Így egyértelmű, hogy $\háromszög AOB = \háromszög COD$ a háromszögek (két szög és a közöttük lévő oldal) egyenlőségének második jele szerint. Azaz $BO = OD$ (a $\angle 2$ és $\angle 1$ szögekkel szemben) és $AO = OC$ (a $\angle 3\ szögekkel) és \( \angle 4$ rendre).

A paralelogramma jelei

Ha csak egy jellemző szerepel a feladatban, akkor az ábra paralelogramma, és ennek az ábra összes tulajdonságát használhatja.

A jobb memorizálás érdekében vegye figyelembe, hogy a paralelogramma jel a következő kérdésre válaszol: "hogyan lehet megtudni?". Vagyis hogyan lehet kideríteni, hogy egy adott ábra paralelogramma.

1. A paralelogramma olyan négyszög, amelynek két oldala egyenlő és párhuzamos

$AB = CD$ ; $AB || CD \Jobbra ABCD$- paralelogramma.

Nézzük meg közelebbről. Miért $AD || BC $ ?

$\háromszög ABC = \háromszög ADC$Által tulajdonság 1: $AB = CD $ , $\angle 1 = \angle 2 $ keresztben fekszik, ha $AB $ és $CD $ és a szekáns $AC $ párhuzamos.

De ha $\háromszög ABC = \háromszög ADC$, majd $\angle 3 = \angle 4 $ (szemben $AD || BC $ ($\angle 3 $ és $\angle 4 $ - a keresztben fekvők is egyenlők).

Az első jel helyes.

2. A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai egyenlőek

$AB = CD $ , $AD = BC \Jobbra ABCD $ egy paralelogramma.

Tekintsük ezt a jelet. Rajzoljuk meg újra az $AC$ átlót.

Által tulajdonság 1$\háromszög ABC = \háromszög ACD$.

Ebből következik, hogy: $\angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC $És $\angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD $, azaz $ABCD$ egy paralelogramma.

A második jel helyes.

3. A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti szögei egyenlőek

$\angle A = \angle C$ , $\angle B = \angle D \Jobbra ABCD$- paralelogramma.

$2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ) $(mivel $\angle A = \angle C$ , $\angle B = \angle D$ feltétel szerint).

Kiderül, . De a $\alpha $ és a $\beta $ belső egyoldali az $AB $ szekánsnál.

És akkor $\alpha + \beta = 180^(\circ) $ azt is mondja, hogy $Kr. || Kr.e. $ .

Bizonyíték

Először is rajzoljuk meg az AC átlót. Két háromszöget kapunk: ABC és ADC.

Mivel az ABCD egy paralelogramma, a következő igaz:

AD || BC \Jobbra \angle 1 = \angle 2 mint keresztben fekve.

AB || CD\Rightarrow\angle3 =\angle 4 mint keresztben fekve.

Ezért \triangle ABC = \triangle ADC (a második kritérium szerint: és az AC közös).

Ezért \háromszög ABC = \háromszög ADC, majd AB = CD és AD = BC.

Igazolt!

2. Az ellentétes szögek azonosak.

Bizonyíték

A bizonyíték szerint tulajdonságok 1 Tudjuk \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4. Így az ellentétes szögek összege: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4. Figyelembe véve, hogy \háromszög ABC = \háromszög ADC, \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Igazolt!

3. Az átlókat kettéosztjuk a metszésponttal.

Bizonyíték

Rajzoljunk még egy átlót.

Által tulajdonság 1 tudjuk, hogy a szemközti oldalak azonosak: AB = CD. Még egyszer vegye figyelembe a keresztben fekvő egyenlő szögeket.

Így világos, hogy \triangle AOB = \triangle COD a háromszögek (két szög és a köztük lévő oldal) egyenlőségének második kritériuma szerint. Vagyis BO = OD (a \angle 2 és \angle 1 sarkokkal szemben) és AO = OC (szemben a \angle 3 és \angle 4 sarkokkal).

Igazolt!

A paralelogramma jelei

Ha csak egy jellemző szerepel a feladatban, akkor az ábra paralelogramma, és ennek az ábra összes tulajdonságát használhatja.

1. A paralelogramma olyan négyszög, amelynek két oldala egyenlő és párhuzamos.

AB = CD ; AB || A CD\Rightarrow ABCD egy paralelogramma.

Bizonyíték

Nézzük meg közelebbről. Miért AD || IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT?

\triangle ABC = \triangle ADC by tulajdonság 1: AB = CD, AC - közös és \angle 1 = \angle 2 keresztben fekvő párhuzamos AB és CD és szekáns AC.

De ha \háromszög ABC = \háromszög ADC , akkor \angle 3 = \angle 4 (az AB-vel és CD-vel szemben helyezkedik el). És ezért AD || BC (\angle 3 és \angle 4 - a keresztben fekvők is egyenlők).

Az első jel helyes.

2. A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai egyenlőek.

AB = CD, AD = BC \Jobbra nyíl ABCD egy paralelogramma.

Bizonyíték

Tekintsük ezt a jelet. Rajzoljuk meg újra az AC átlót.

Által tulajdonság 1\triangle ABC = \háromszög ACD .

Ebből következik, hogy: \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.És \angle 3 = \angle 4 \Jobbra AB || CD, vagyis az ABCD paralelogramma.

A második jel helyes.

3. A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti szögei egyenlőek.

\angle A = \angle C , \angle B = \angle D \Jobbra ABCD- paralelogramma.

Bizonyíték

2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ)(mivel az ABCD négyszög, és \angle A = \angle C , \angle B = \angle D feltétel szerint).

Kiderült, hogy \alpha + \beta = 180^(\circ) . De az \alpha és \beta belső egyoldalúak az AB szekánsnál.

És az a tény, hogy \alpha + \beta = 180^(\circ) azt is jelenti, hogy AD || IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.

Ezenkívül az \alpha és \beta belső egyoldalúak a szekantáló AD-nál. És ez azt jelenti, hogy AB || CD.

A harmadik jel helyes.

4. A paralelogramma olyan négyszög, amelynek átlóit a metszéspontja kettéosztja.

AO = OC; BO = OD\Jobbra mutató paralelogramma.

Bizonyíték

BO = OD; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 mint függőleges \Jobbra \triangle AOB = \háromszög COD, \Jobbra \angle 3 = \angle 4, és \Rightarrow AB || CD.

Hasonlóan BO = OD; AO = OC, \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \háromszög BOC \Jobbra \angle 7 = \angle 8, és \Rightarrow AD || IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.

A negyedik jel helyes.