Egy x x komplex függvény deriváltja. Komplex származékok

Példák a deriváltak kiszámítására egy komplex függvény deriváltjának képletével.

Lásd még: Egy komplex függvény deriváltjának képletének bizonyítása

Alapképletek

Az alábbiakban példákat adunk a következő függvények deriváltjainak kiszámítására:
; ; ; ; .

Ha egy függvény összetett függvényként ábrázolható a következő formában:
,
akkor a származékát a következő képlet határozza meg:
.
Az alábbi példákban ezt a képletet a következőképpen írjuk fel:
.
Ahol .
Itt a származékjel alatt található alsó indexek vagy jelölik azokat a változókat, amelyek alapján a differenciálás történik.

Általában a derivált táblázatokban az x változóból származó függvények deriváltjait adjuk meg. Az x azonban formális paraméter. Az x változó bármely más változóval helyettesíthető. Ezért amikor egy függvényt változótól megkülönböztetünk, egyszerűen a derivált táblázatban az x változót u változóra cseréljük.

Egyszerű példák

1. példa

Keresse meg egy komplex függvény deriváltját!
.

Írjuk fel az adott függvényt ekvivalens formában:
.
A származékok táblázatában a következőket találjuk:
;
.

Az összetett függvény deriváltjának képlete szerint a következőket kapjuk:
.
Itt .

2. példa

Keresse meg a származékot
.

A derivált előjelből kivesszük az 5-ös konstanst, és a deriváltak táblázatából ezt kapjuk:
.

.
Itt .

3. példa

Keresse meg a származékot
.

Kiveszünk egy állandót -1 a derivált előjelére és a származéktáblázatból ezt találjuk:
;
A származékok táblázatából a következőket találjuk:
.

Az összetett függvény deriváltjának képletét alkalmazzuk:
.
Itt .

Bonyolultabb példák

Bonyolultabb példákban többször alkalmazzuk az összetett függvény megkülönböztetésének szabályát. Ebben az esetben a deriváltot a végétől számítjuk. Ez azt jelenti, hogy a függvényt komponensrészekre bontjuk, és a legegyszerűbb részek deriváltjait használjuk származékok táblázata. Mi is használjuk összegek megkülönböztetésének szabályai, termékek és frakciók. Ezután behelyettesítéseket végzünk, és alkalmazzuk a komplex függvény deriváltjának képletét.

4. példa

Keresse meg a származékot
.

Válasszuk ki a képlet legegyszerűbb részét, és keressük meg a származékát. .

.
Itt a jelölést használtuk
.

A kapott eredmények felhasználásával megtaláljuk az eredeti függvény következő részének deriváltját. Az összeg megkülönböztetésére a következő szabályt alkalmazzuk:
.

Ismét alkalmazzuk az összetett függvények differenciálásának szabályát.

.
Itt .

5. példa

Keresse meg a függvény deriváltját!
.

Válasszuk ki a képlet legegyszerűbb részét, és keressük meg a deriváltját a deriválttáblából. .

Alkalmazzuk az összetett függvények differenciálásának szabályát.
.
Itt
.

A kapott eredmények alapján különböztessük meg a következő részt.
.
Itt
.

Különböztessük meg a következő részt.

.
Itt
.

Most megtaláljuk a kívánt függvény deriváltját.

.
Itt
.

Az összetett típusú függvények nem mindig felelnek meg az összetett függvény definíciójának. Ha van egy y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 alakú függvény, akkor az y = sin 2 x-től eltérően nem tekinthető komplexnek.

Ez a cikk bemutatja a komplex függvény fogalmát és azonosítását. Dolgozzunk képletekkel a derivált megtalálásához, a következtetésben megoldási példákkal. A derivált táblázat és a differenciálási szabályok használata jelentősen csökkenti a derivált megtalálásának idejét.

Alapvető definíciók

Komplex függvény az, amelynek argumentuma egyben függvény is.

Ezt így jelöljük: f (g (x)). Megvan, hogy a g (x) függvényt f (g (x) argumentumnak tekintjük).

2. definíció

Ha van f függvény, és az egy kotangens függvény, akkor g(x) = ln x a természetes logaritmusfüggvény. Azt találjuk, hogy az f (g (x)) komplex függvény arctg(lnx) lesz. Vagy egy f függvény, amely egy 4. hatványra emelt függvény, ahol g (x) = x 2 + 2 x - 3 teljes racionális függvénynek tekinthető, megkapjuk, hogy f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Nyilvánvaló, hogy g(x) lehet összetett is. Az y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 példából jól látható, hogy g értékéhez tartozik a tört kockagyöke. Ezt a kifejezést úgy jelölhetjük, hogy y = f (f 1 (f 2 (x))). Abból, hogy f szinuszfüggvény, f 1 pedig a négyzetgyök alatti függvény, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 egy tört racionális függvény.

3. definíció

A beágyazás mértékét bármely természetes szám határozza meg, és a következőképpen írjuk fel: y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

4. definíció

A függvényösszetétel fogalma a beágyazott függvények számát jelenti a probléma feltételeinek megfelelően. A megoldáshoz használja a képletet az alak komplex függvényének deriváltjának megtalálásához

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Példák

Határozzuk meg egy y = (2 x + 1) 2 alakú komplex függvény deriváltját!

Megoldás

A feltétel azt mutatja, hogy f négyzetes függvény, és g(x) = 2 x + 1 lineáris függvénynek tekinthető.

Alkalmazzuk a derivált képletet egy komplex függvényre, és írjuk fel:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Meg kell találni a származékot a függvény egyszerűsített eredeti alakjával. Kapunk:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Innentől ez megvan

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Az eredmények ugyanazok voltak.

Az ilyen típusú feladatok megoldása során fontos megérteni, hogy az f és g (x) alakú függvény hol helyezkedik el.

2. példa

Meg kell találni az y = sin 2 x és y = sin x 2 alakú komplex függvények deriváltjait.

Megoldás

Az első függvényjelölés azt mondja, hogy f a négyzetes függvény, és g(x) a szinuszfüggvény. Akkor azt kapjuk

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

A második bejegyzés azt mutatja, hogy f szinuszfüggvény, és g(x) = x 2 hatványfüggvényt jelöl. Ebből következik, hogy egy komplex függvény szorzatát így írjuk

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Az y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) derivált képlete a következőképpen lesz felírva: y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (.. . . ( f n (x))))) · f 1" (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2" (f 3 (... (f n (x)) )) )) · . . . fn "(x)

3. példa

Határozzuk meg az y = sin függvény deriváltját (ln 3 a r c t g (2 x)).

Megoldás

Ez a példa bemutatja a függvények írásának és helyének meghatározásának nehézségeit. Ekkor y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) jelöli ahol f, f 1, f 2, f 3, f 4 (x) a szinuszfüggvény, az emelkedés függvénye 3 fokig, függvény logaritmussal és e bázissal, arctangens és lineáris függvény.

A komplex függvény definiáló képletéből azt kapjuk

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Megkapjuk, amit meg kell találnunk

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) a szinusz deriváltjaként a deriválttáblázat szerint, majd f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 () x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) mint egy hatványfüggvény deriváltja, akkor f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) logaritmikus deriváltként, majd f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) az arctangens deriváltjaként, akkor f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Amikor megtalálja az f 4 (x) = 2 x deriváltot, vegye ki a 2-t a derivált előjeléből az 1-gyel egyenlő kitevőjű hatványfüggvény deriváltjának képletével, majd f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Összevonjuk a köztes eredményeket, és azt kapjuk

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Az ilyen funkciók elemzése a fészkelő babákra emlékeztet. A differenciálási szabályok nem mindig alkalmazhatók kifejezetten származékos tábla használatával. Gyakran egy képletet kell használnia az összetett függvények származékainak megtalálásához.

Van néhány különbség az összetett megjelenés és az összetett funkciók között. Ennek egyértelmű megkülönböztetésének képességével különösen könnyű lesz származékokat találni.

4. példa

Érdemes megfontolni egy ilyen példát. Ha létezik y = t g 2 x + 3 t g x + 1 alakú függvény, akkor az g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 alakú komplex függvénynek tekinthető. . Nyilvánvaló, hogy egy összetett származékhoz a képletet kell használni:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Az y = t g x 2 + 3 t g x + 1 alakú függvény nem tekinthető komplexnek, mivel t g x 2, 3 t g x és 1 összege van. A t g x 2-t azonban komplex függvénynek tekintjük, ekkor kapunk egy g (x) = x 2 és f alakú hatványfüggvényt, amely érintőfüggvény. Ehhez különböztesse meg az összeget. Ezt értjük

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2x

Térjünk át egy komplex függvény deriváltjának megkeresésére (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Azt kapjuk, hogy y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Az összetett típusú függvények beépíthetők az összetett függvényekbe, és maguk az összetett függvények is lehetnek összetett típusú függvények összetevői.

5. példa

Például vegyünk egy y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) alakú komplex függvényt.

Ez a függvény a következőképpen ábrázolható: y = f (g (x)), ahol f értéke a 3-as alapú logaritmus függvénye, g (x) pedig két h (x) = alakú függvény összegének tekinthető. x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 és k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Nyilvánvaló, hogy y = f (h (x) + k (x)).

Tekintsük a h(x) függvényt. Ez az arány l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 - m (x) = e x 2 + 3 3

Megvan, hogy l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) két függvény összege: n (x) = x 2 + 7 és p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , ahol p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) egy komplex függvény 3-as numerikus együtthatóval, p 1 pedig egy kockafüggvény, p 2 koszinuszfüggvénnyel, p 3 (x) = 2 x + 1 lineáris függvénnyel.

Azt találtuk, hogy m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) két q (x) = e x 2 és r (x) = 3 3 függvény összege, ahol q (x) = q 1 (q 2 (x)) egy komplex függvény, q 1 egy exponenciális függvény, q 2 (x) = x 2 egy hatványfüggvény.

Ez azt mutatja, hogy h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Ha egy k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) alakú kifejezésre lépünk, akkor egyértelmű, hogy a függvény egy s () komplex formájában jelenik meg x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) racionális egész számmal t (x) = x 2 + 1, ahol s 1 négyzetes függvény, és s 2 (x) = ln x logaritmikus alap e.

Ebből következik, hogy a kifejezés a következő formában lesz: k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Akkor azt kapjuk

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 () x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

A függvény szerkezetei alapján világossá vált, hogyan és milyen képleteket kell használni a kifejezés egyszerűsítéséhez a megkülönböztetés során. Az ilyen problémák megismeréséhez és megoldási koncepciójához el kell fordulni egy függvény megkülönböztetéséhez, vagyis a származékának megtalálásához.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Ha g(x) És f(u) – argumentumaik differenciálható függvényei, illetve pontokban xÉs u= g(x), akkor a komplex függvény is differenciálható a pontban xés a képlet alapján találjuk meg

A derivált feladatok megoldásának tipikus hibája az egyszerű függvények megkülönböztetésének szabályainak mechanikus átvitele összetett függvényekre. Tanuljuk meg elkerülni ezt a hibát.

2. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Rossz megoldás: Számítsa ki a zárójelben lévő egyes tagok természetes logaritmusát, és keresse meg a származékok összegét:

Helyes megoldás: ismét meghatározzuk, hol van az „alma” és hol a „darált hús”. Itt a zárójelben lévő kifejezés természetes logaritmusa egy „alma”, azaz egy függvény a köztes argumentum felett. u, a zárójelben lévő kifejezés pedig „darált hús”, vagyis egy köztes érv u független változó szerint x.

Ezután (a származéktáblázat 14-es képletével)

Sok valós problémában a logaritmusos kifejezés valamivel bonyolultabb lehet, ezért van egy tanulság

3. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Rossz megoldás:

Korrekt megoldás. Még egyszer meghatározzuk, hol van az „alma” és hol a „darált hús”. Itt a zárójelben lévő kifejezés koszinusza (a származéktáblázatban 7. képlet) egy „alma”, 1-es módban készül, ami csak őt érinti, és a zárójelben lévő kifejezés (a fokozat deriváltja a 3. a származékok táblázatában) a „darált hús”, a 2. móddal készül, ami csak azt érinti. És mint mindig, két származékot kapcsolunk össze a termékjellel. Eredmény:

Az összetett logaritmikus függvény deriváltja gyakori feladat a tesztekben, ezért erősen javasoljuk, hogy vegyen részt a „Logaritmikus függvény deriváltja” leckében.

Az első példák összetett függvényekre vonatkoztak, amelyekben a független változó köztes argumentuma egy egyszerű függvény volt. A gyakorlati feladatokban azonban gyakran meg kell találni egy komplex függvény deriváltját, ahol a köztes argumentum vagy maga egy komplex függvény, vagy tartalmaz ilyen függvényt. Mi a teendő ilyen esetekben? Keresse meg az ilyen függvények deriváltjait táblázatok és differenciálási szabályok segítségével. Amikor a köztes argumentum származékát megtaláljuk, egyszerűen behelyettesítjük a megfelelő helyre a képletben. Az alábbiakban két példa látható ennek megvalósítására.

Ezen kívül hasznos tudni a következőket. Ha egy komplex függvény három függvényből álló láncként ábrázolható

akkor a származékát az egyes függvények deriváltjainak szorzataként kell megtalálni:

Számos házi feladat megkövetelheti, hogy új ablakban nyissa meg az útmutatókat. Erőkkel és gyökerekkel rendelkező cselekvésekÉs Műveletek törtekkel .

4. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Alkalmazzuk az összetett függvény differenciálásának szabályát, nem feledve, hogy a derivált szorzatban van egy köztes argumentum a független változóhoz képest. x nem változik:

Elkészítjük a szorzat második tényezőjét, és alkalmazzuk az összeg megkülönböztetésének szabályát:

A második kifejezés a gyökér, tehát

Így azt találtuk, hogy a közbülső argumentum, amely egy összeg, az egyik kifejezésként egy komplex függvényt tartalmaz: a hatványra emelés egy komplex függvény, a hatványra emelés pedig egy köztes argumentum a függetlenhez képest. változó x.

Ezért ismét alkalmazzuk az összetett függvény megkülönböztetésének szabályát:

Az első tényező fokát gyökké alakítjuk, és a második tényező megkülönböztetésekor ne felejtsük el, hogy az állandó deriváltja nulla:

Most megtaláljuk annak a köztes argumentumnak a deriváltját, amely a problémafelvetésben szükséges komplex függvény deriváltjának kiszámításához szükséges y:

5. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Először a szabályt használjuk az összeg megkülönböztetésére:

Megkaptuk két komplex függvény deriváltjának összegét. Keressük az elsőt:

Itt a szinusz hatványra emelése összetett függvény, és maga a szinusz a független változó köztes argumentuma. x. Ezért egy komplex függvény differenciálási szabályát fogjuk használni zárójelből kivéve a tényezőt :

Most megtaláljuk a függvény deriváltjainak második tagját y:

Itt a koszinusz hatványra emelése összetett függvény f, és maga a koszinusz egy köztes argumentum a független változóban x. Használjuk ismét a szabályt egy összetett függvény megkülönböztetésére:

Az eredmény a szükséges derivált:

Néhány összetett függvény deriváltjának táblázata

Összetett függvényeknél az összetett függvény differenciálási szabálya alapján az egyszerű függvény deriváltjának képlete más formát ölt.

1. Komplex hatványfüggvény deriváltja, ahol u x
2. A kifejezés gyökerének származéka
3. Exponenciális függvény deriváltja
4. Exponenciális függvény speciális esete
5. Tetszőleges pozitív bázisú logaritmikus függvény deriváltja A
6. Komplex logaritmikus függvény deriváltja, ahol u– az argumentum differenciálható funkciója x
7. A szinusz származéka
8. A koszinusz származéka
9. Az érintő származéka
10. A kotangens származéka
11. Az arcszinusz származéka
12. Az ív koszinusz származéka
13. Arktangens származéka
14. Az ívkotangens származéka

Nagyon könnyű megjegyezni.

Nos, ne menjünk messzire, azonnal vegyük figyelembe az inverz függvényt. Melyik függvény az exponenciális függvény inverze? Logaritmus:

Esetünkben az alap a szám:

Egy ilyen logaritmust (vagyis egy bázissal rendelkező logaritmust) „természetesnek” nevezünk, és erre egy speciális jelölést használunk: írunk helyette.

Mivel egyenlő? Természetesen, .

A természetes logaritmus deriváltja is nagyon egyszerű:

Példák:

1. Keresse meg a függvény deriváltját!
2. Mi a függvény deriváltja?

Válaszok: Az exponenciális és a naturális logaritmus derivált szempontból egyedülállóan egyszerű függvények. Az exponenciális és logaritmikus függvények bármely más bázissal eltérő deriválttal rendelkeznek, amit később, a differenciálás szabályainak áttekintése után elemezünk.

A megkülönböztetés szabályai

Mi szabályai? Megint egy új kifejezés, megint?!...

Különbségtétel a származék megtalálásának folyamata.

Ez minden. Mi másnak nevezhetjük ezt a folyamatot egy szóval? Nem derivált... A matematikusok a differenciált a függvény azonos növekményének nevezik. Ez a kifejezés a latin differentia - differencia szóból származik. Itt.

Mindezen szabályok származtatása során két függvényt fogunk használni, például, és. Szükségünk lesz képletekre is a növekedésükhöz:

Összesen 5 szabály van.

Az állandót kivesszük a derivált előjelből.

Ha - valamilyen állandó szám (konstans), akkor.

Nyilvánvalóan a különbségre is érvényes ez a szabály: .

Bizonyítsuk be. Legyen, vagy egyszerűbben.

Példák.

Keresse meg a függvények származékait:

1. egy ponton;
2. egy ponton;
3. egy ponton;
4. azon a ponton.

Megoldások:

1. (a derivált minden pontban ugyanaz, mivel lineáris függvény, emlékszel?);

A termék származéka

Itt minden hasonló: vezessünk be egy új függvényt, és keressük meg a növekményét:

Derivált:

Példák:

1. Keresse meg az és függvények deriváltjait;
2. Keresse meg a függvény deriváltját egy pontban.

Megoldások:

Exponenciális függvény deriváltja

Most már elegendő tudása ahhoz, hogy megtanulja, hogyan kell megtalálni bármely exponenciális függvény deriváltját, és nem csak a kitevőket (elfelejtette már, mi az?).

Szóval, hol van egy szám.

A függvény deriváltját már ismerjük, ezért próbáljuk meg a függvényünket egy új bázisra redukálni:

Ehhez egy egyszerű szabályt fogunk használni: . Akkor:

Nos, sikerült. Most próbálja meg megtalálni a származékot, és ne felejtse el, hogy ez a függvény összetett.

Megtörtént?

Itt ellenőrizd magad:

A képlet nagyon hasonlított egy kitevő deriváltjához: úgy ahogy volt, ugyanaz marad, csak egy tényező jelent meg, ami csak egy szám, de nem változó.

Példák:
Keresse meg a függvények származékait:

Válaszok:

Ez csak egy szám, amit számológép nélkül nem lehet kiszámolni, vagyis nem lehet egyszerűbb formában leírni. Ezért ebben a formában hagyjuk a válaszban.

Vegye figyelembe, hogy itt két függvény hányadosa van, ezért alkalmazzuk a megfelelő differenciálási szabályt:

Ebben a példában két függvény szorzata:

Logaritmikus függvény deriváltja

Itt is hasonló a helyzet: már ismeri a természetes logaritmus deriváltját:

Ezért egy tetszőleges logaritmus más bázisú kereséséhez, például:

Ezt a logaritmust az alapra kell redukálnunk. Hogyan lehet megváltoztatni a logaritmus alapját? Remélem emlékszel erre a képletre:

Csak most írjuk helyette:

A nevező egyszerűen egy állandó (állandó szám, változó nélkül). A származékot nagyon egyszerűen kapjuk meg:

Az exponenciális és logaritmikus függvények származékai szinte soha nem találhatók meg az Egységes Államvizsgában, de ezek ismerete nem lesz felesleges.

Komplex függvény származéka.

Mi az a "komplex függvény"? Nem, ez nem logaritmus és nem arctangens. Ezeket a függvényeket nehéz lehet megérteni (bár ha nehéznek találja a logaritmust, olvassa el a „Logaritmusok” témakört, és minden rendben lesz), de matematikai szempontból a „komplex” szó nem azt jelenti, hogy „nehéz”.

Képzeljen el egy kis futószalagot: két ember ül, és valamilyen tárggyal valamilyen műveletet végez. Például az első egy csokoládét csomagol egy csomagolóanyagba, a második pedig egy szalaggal köti össze. Az eredmény egy összetett tárgy: egy szalaggal becsomagolt és átkötött csokoládé. Egy csokoládé szelet elfogyasztásához fordított sorrendben kell végrehajtania a fordított lépéseket.

Készítsünk egy hasonló matematikai csővezetéket: először megkeressük egy szám koszinuszát, majd négyzetre emeljük a kapott számot. Tehát kapunk egy számot (csokoládé), megkeresem a koszinuszát (csomagolóanyag), majd négyzetre teszed, amit kaptam (szalaggal megkötöd). Mi történt? Funkció. Ez egy példa egy összetett függvényre: amikor az érték meghatározásához az első műveletet közvetlenül a változóval hajtjuk végre, majd egy második műveletet az elsőből eredővel.

Más szavakkal, a komplex függvény olyan függvény, amelynek argumentuma egy másik függvény: .

Példánkra .

Könnyen megtehetjük ugyanezeket a lépéseket fordított sorrendben: először négyzetre tesszük, majd megkeresem a kapott szám koszinuszát: . Könnyű kitalálni, hogy az eredmény szinte mindig más lesz. Az összetett függvények fontos jellemzője: ha megváltozik a műveletek sorrendje, akkor a funkció megváltozik.

Második példa: (ugyanaz). .

Az a művelet, amelyet utoljára hajtunk végre, el lesz nevezve "külső" funkció, és az elsőként végrehajtott művelet - ennek megfelelően "belső" funkció(ezek informális elnevezések, csak az anyag egyszerű nyelvezetű magyarázatára használom).

Próbáld meg eldönteni, hogy melyik funkció külső és melyik belső:

Válaszok: A belső és külső függvények szétválasztása nagyon hasonló a változók megváltoztatásához: például egy függvényben

1. Milyen műveletet hajtunk végre először? Először számoljuk ki a szinust, és csak azután kockázzuk fel. Ez azt jelenti, hogy ez egy belső funkció, de külső.
   Az eredeti funkció pedig az összetételük: .
2. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .
3. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .
4. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .
5. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .

Változókat változtatunk és függvényt kapunk.

Nos, most kibontjuk a csokoládét, és megkeressük a származékát. Az eljárás mindig fordított: először megkeressük a külső függvény deriváltját, majd az eredményt megszorozzuk a belső függvény deriváltjával. Az eredeti példához képest így néz ki:

Egy másik példa:

Tehát végül fogalmazzuk meg a hivatalos szabályt:

Algoritmus egy komplex függvény deriváltjának megtalálására:

Egyszerűnek tűnik, igaz?

Vizsgáljuk meg példákkal:

Megoldások:

1) Belső: ;

Külső: ;

2) Belső: ;

(Csak most ne próbáld megvágni! Semmi sem jön ki a koszinusz alól, emlékszel?)

3) Belső: ;

Külső: ;

Azonnal világos, hogy ez egy háromszintű komplex függvény: elvégre ez már önmagában is komplex funkció, és a gyökeret is kivonjuk belőle, vagyis végrehajtjuk a harmadik műveletet (csomagolóba tesszük a csokoládét és szalaggal az aktatáskában). De nincs okunk félni: ezt a funkciót továbbra is a megszokott sorrendben „pakoljuk ki”: a végétől.

Vagyis először megkülönböztetjük a gyökér, majd a koszinusz, és csak azután a zárójelben lévő kifejezést. És akkor az egészet megszorozzuk.

Ilyen esetekben célszerű a műveleteket számozni. Vagyis képzeljük el, mit tudunk. Milyen sorrendben hajtjuk végre a műveleteket a kifejezés értékének kiszámításához? Nézzünk egy példát:

Minél később hajtják végre a műveletet, annál „külsőbb” lesz a megfelelő funkció. A műveletek sorrendje ugyanaz, mint korábban:

Itt a fészekrakás általában 4 szintű. Határozzuk meg a cselekvés menetét.

1. Radikális kifejezés. .

2. Gyökér. .

3. Szinusz. .

4. Négyzet. .

5. Az egészet összerakva:

DERIVÁLT. RÖVIDEN A FŐ DOLOGOKRÓL

Függvény származéka- a függvény növekményének és az argumentum növekményének aránya az argumentum végtelenül kicsiny növekedéséhez:

Alapvető származékok:

A megkülönböztetés szabályai:

Az állandót kivesszük a derivált előjelből:

Az összeg származéka:

A termék származéka:

A hányados származéka:

Egy összetett függvény származéka:

Algoritmus egy komplex függvény deriváltjának megtalálására:

1. Meghatározzuk a „belső” függvényt, és megkeressük a származékát.
2. Meghatározzuk a „külső” függvényt, és megkeressük a származékát.
3. Az első és a második pont eredményét megszorozzuk.

A „régi” tankönyvekben „lánc” szabálynak is nevezik. Tehát, ha y = f (u), és u = φ (x), vagyis

y = f (φ (x))

komplex - összetett függvény (függvények összetétele) akkor

Ahol , a számítás után figyelembe kell venni a u = φ (x).

Vegyük észre, hogy itt ugyanazokból a funkciókból „különböző” kompozíciókat vettünk, és a differenciálás eredménye természetesen a „keverés” sorrendjétől függ.

A láncszabály természetesen három vagy több funkciót tartalmazó kompozíciókra is kiterjed. Ebben az esetben három vagy több „link” lesz a származékot alkotó „láncban”. Íme egy analógia a szorzással: „van” egy származéktáblázatunk; „ott” - szorzótábla; A „velünk” a láncszabály, az „ott” pedig az „oszlop” szorzási szabály. Az ilyen „összetett” származékok kiszámításakor természetesen nem vezetnek be segédargumentumot (u¸v stb.), de miután magukra figyelték a kompozícióban részt vevő függvények számát és sorrendjét, a megfelelő hivatkozásokat „felfűzik”. a jelzett sorrendben.

. Itt az „x”-el az „y” értékének megszerzéséhez öt műveletet hajtunk végre, azaz öt függvényből áll: „külső” (az utolsó közülük) - exponenciális - e  ; majd fordított sorrendben a hatalom. (♦) 2 ; trigonometrikus sin(); nyugodt. () 3 és végül logaritmikus ln.(). Ezért

A következő példákkal „egy csapásra megölünk pár madarat”: gyakoroljuk az összetett függvények megkülönböztetését, és kiegészítjük az elemi függvények deriváltjainak táblázatát. Így:

4. Hatványfüggvényhez - y = x α - átírva a jól ismert „alaplogaritmikus azonossággal” - b=e ln b - x α = x α ln x formában kapjuk.

5. Tetszőleges exponenciális függvényhez, ugyanazt a technikát használva, mint mi

6. Egy tetszőleges logaritmikus függvényhez az új bázisra való áttérés jól ismert képletével következetesen megkapjuk

.

7. Az érintő (kotangens) megkülönböztetésére a hányadosok megkülönböztetésére vonatkozó szabályt használjuk:

Az inverz trigonometrikus függvények deriváltjainak megszerzéséhez azt a relációt használjuk, amelyet két kölcsönösen inverz függvény deriváltjai teljesítenek, azaz a relációkkal összefüggő φ (x) és f (x) függvények:

Ez az arány

Ebből a kölcsönösen inverz függvények képletéből származik

És
,

Végül foglaljuk össze ezeket és néhány más, szintén könnyen beszerezhető származékot a következő táblázatban.