Osztás maradéka 45-tel. Osztás maradékkal
Nézzünk egy egyszerű példát:
15:5=3
Ebben a példában elosztottuk a természetes számot 15-tel teljesen 3-mal, maradék nélkül.
Néha egy természetes szám nem osztható teljesen. Vegyük például a problémát:
16 játék volt a szekrényben. Öt gyerek volt a csoportban. Minden gyerek ugyanannyi játékot vett el. Hány játéka van minden gyereknek?
Megoldás:
Osszuk el a 16-ot 5-tel egy oszlop segítségével, és kapjuk:
Tudjuk, hogy 16 nem osztható 5-tel. A legközelebbi kisebb szám, amely osztható 5-tel, 15, a maradék 1. A 15-ös számot felírhatjuk 5⋅3-nak. Ennek eredményeként (16 – osztalék, 5 – osztó, 3 – hiányos hányados, 1 – maradék). Kapott képlet osztás maradékkal amit meg lehet tenni a megoldás ellenőrzése.
a=
b⋅
c+
d
a - osztható,
b - elválasztó,
c - nem teljes hányados,
d - maradék.
Válasz: minden gyerek 3 játékot visz el, és egy játék marad.
A hadosztály maradéka
A maradéknak mindig kisebbnek kell lennie, mint az osztó.
Ha az osztás során a maradék nulla, akkor ez azt jelenti, hogy az osztalék felosztásra kerül teljesen vagy az osztó maradéka nélkül.
Ha az osztás során a maradék nagyobb, mint az osztó, ez azt jelenti, hogy a talált szám nem a legnagyobb. Van egy nagyobb szám, amely elosztja az osztalékot, és a maradék kisebb lesz, mint az osztó.
Kérdések a „Megosztás a maradékkal” témában:
Lehet-e a maradék nagyobb, mint az osztó?
Válasz: nem.
A maradék egyenlő lehet az osztóval?
Válasz: nem.
Hogyan találjuk meg az osztalékot a hiányos hányados, osztó és maradék felhasználásával?
Válasz: A képletbe behelyettesítjük a parciális hányados, osztó és maradék értékeit, és megkeressük az osztalékot. Képlet:
a=b⋅c+d
1. példa:
Hajtsa végre az osztást maradékkal, és ellenőrizze: a) 258:7 b) 1873:8
Megoldás:
a) Osztás oszlopokkal: 
258 – osztalék,
7 – elválasztó,
36 – nem teljes hányados,
6 – maradék. A maradék kisebb, mint a 6-os osztó<7.
7⋅36+6=252+6=258
b) Oszlopok szerint: 
1873 – osztható,
8 – osztó,
234 – nem teljes hányados,
1 – maradék. A maradék kisebb, mint osztó 1<8.
Helyettesítsük be a képletbe, és ellenőrizzük, hogy jól oldottuk-e meg a példát:
8⋅234+1=1872+1=1873
2. példa:
Milyen maradékokat kapunk természetes számok osztásakor: a) 3 b)8?
Válasz:
a) A maradék kisebb, mint az osztó, ezért kisebb, mint 3. Esetünkben a maradék lehet 0, 1 vagy 2.
b) A maradék kisebb, mint az osztó, ezért kisebb, mint 8. Esetünkben a maradék lehet 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 vagy 7.
3. példa:
Mekkora a legnagyobb maradék, amit természetes számok osztásakor kaphatunk: a) 9 b) 15?
Válasz:
a) A maradék kisebb, mint az osztó, ezért kisebb, mint 9. De meg kell jelölnünk a legnagyobb maradékot. Vagyis az osztóhoz legközelebb eső szám. Ez a 8-as szám.
b) A maradék kisebb, mint az osztó, ezért kisebb, mint 15. De meg kell jelölnünk a legnagyobb maradékot. Vagyis az osztóhoz legközelebb eső szám. Ez a szám 14.
4. példa:
Keresse meg az osztalékot: a) a:6=3(több.4) b) c:24=4(több.11)
Megoldás:
a) Oldja meg a következő képlettel:
a=b⋅c+d
(a – osztalék, b – osztó, c – részhányados, d – maradék.)
a:6=3(rest.4)
(a – osztalék, 6 – osztó, 3 – részhányados, 4 – maradék.) Helyettesítsük be a számokat a képletbe:
a=6⋅3+4=22
Válasz: a=22
b) Oldja meg a következő képlettel:
a=b⋅c+d
(a – osztalék, b – osztó, c – részhányados, d – maradék.)
s:24=4(rest.11)
(c – osztalék, 24 – osztó, 4 – részhányados, 11 – maradék.) Helyettesítsük be a számokat a képletbe:
с=24⋅4+11=107
Válasz: c=107
Feladat:
Vezeték 4m. 13 cm-es darabokra kell vágni. Hány ilyen darab lesz?
Megoldás:
Először át kell konvertálnia a métereket centiméterekre.
4m = 400cm.
Oszthatjuk egy oszloppal, vagy gondolatban kapjuk:
400:13=30 (a maradék 10)
Ellenőrizzük:
13⋅30+10=390+10=400
Válasz: Kapsz 30 darabot és 10 cm drót marad.
Ebben a cikkben megvizsgáljuk egész számok osztása maradékkal. Kezdjük az egész számok maradékkal való osztásának általános elvével, fogalmazzuk meg és bizonyítsuk be az egész számok maradékkal való oszthatóságáról szóló tételt, és nyomon követjük az osztó, osztó, hiányos hányados és maradék közötti összefüggéseket. Ezután felvázoljuk azokat a szabályokat, amelyek alapján az egész számokat maradékkal osztjuk fel, és figyelembe vesszük ezek alkalmazását a példák megoldása során. Ezek után megtanuljuk, hogyan ellenőrizzük az egész számok maradékkal való osztásának eredményét.
Oldalnavigáció.
Az egész számok maradékkal való osztásának általános ismerete
Az egész számok maradékkal való osztását a természetes számok maradékával való osztás általánosításának tekintjük. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a természetes számok az egész számok összetevői.
Kezdjük a leírásban használt kifejezésekkel és megjelölésekkel.
A természetes számok maradékkal való osztásával analóg módon feltételezzük, hogy a két a és b maradékból álló osztás eredménye (b nem egyenlő nullával) két c és d egész szám. Az a és b számokat hívják oszthatóÉs osztó ennek megfelelően a d szám – a maradék attól, hogy a-t elosztjuk b-vel, és a c egész számot hívjuk hiányos privát(vagy egyszerűen magán, ha a maradék nulla).
Tegyük fel, hogy a maradék egy nem negatív egész szám, és értéke nem haladja meg a b-t, azaz (hasonló egyenlőtlenségi láncokkal találkoztunk, amikor három vagy több egész szám összehasonlításáról beszéltünk).
Ha a c szám egy nem teljes hányados, és a d szám az a egész szám b egész számmal való osztásának maradéka, akkor ezt a tényt röviden a:b=c alakú egyenlőségként írjuk fel (a maradék d).
Vegye figyelembe, hogy ha egy a egész számot elosztunk egy b egész számmal, a maradék nulla lehet. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a osztható b-vel nyom nélkül(vagy teljesen). Így az egész számok maradék nélküli felosztása az egész számok maradékkal való felosztásának speciális esete.
Érdemes azt is elmondani, hogy amikor nullát valamilyen egész számmal osztunk, akkor mindig maradék nélküli osztásról van szó, mivel ebben az esetben a hányados nullával lesz egyenlő (lásd a nulla egész számmal való osztásának elméleti részét), a maradék pedig nullával is egyenlő lesz.
Elhatároztuk a terminológiát és a jelölést, most értsük meg az egész számok maradékkal való osztásának jelentését.
Egy a negatív egész szám elosztása egy b pozitív egész számmal is jelentést kaphat. Ehhez tekintsünk egy negatív egész számot adósságnak. Képzeljük el ezt a helyzetet. A tételeket képező tartozást b személynek egyenlő hozzájárulással kell törlesztenie. Ebben az esetben a c hiányos hányados abszolút értéke határozza meg ezeknek az embereknek az adósság összegét, a maradék d pedig azt, hogy hány tétel marad a tartozás kifizetése után. Mondjunk egy példát. Tegyük fel, hogy 2 ember tartozik 7 almával. Ha feltételezzük, hogy mindegyiküknek 4 almával tartozik, akkor az adósság kifizetése után 1 alma marad. Ez a helyzet a (−7):2=−4 egyenlőségnek felel meg (a maradék 1).
A tetszőleges a negatív egész számmal való osztásnak nem tulajdonítunk jelentést, de fenntartjuk a létezés jogát.
Tétel az egész számok maradékkal való oszthatóságáról
Amikor a természetes számok maradékkal való osztásáról beszéltünk, azt találtuk, hogy az a osztó, a b osztó, a c részhányados és a d maradék az a=b·c+d egyenlőséggel függ össze. Az a, b, c és d egész számok között ugyanaz a kapcsolat. A kapcsolat megerősítése a következőképpen történik oszthatósági tétel maradékkal.
Tétel.
Bármely a egész szám egyértelmûen ábrázolható egész és nem nulla b számon keresztül a=b·q+r formában, ahol q és r néhány egész szám, és .
Bizonyíték.
Először is bizonyítjuk az a=b·q+r ábrázolásának lehetőségét.
Ha az a és b egész számok olyanok, hogy a osztható b-vel, akkor definíció szerint van olyan q egész szám, amelyre a=b·q. Ebben az esetben az a=b·q+r egyenlőség érvényes r=0-nál.
Most feltételezzük, hogy b egy pozitív egész szám. Válasszunk egy q egész számot úgy, hogy a b·q szorzat ne haladja meg az a számot, és a b·(q+1) szorzat már nagyobb legyen a-nál. Vagyis úgy vesszük q-t, hogy a b q egyenlőtlenségek Be kell bizonyítani az a=b·q+r ábrázolásának lehetőségét negatív b esetén. Mivel a b szám modulusa ebben az esetben egy pozitív szám, akkor létezik olyan ábrázolás, ahol q 1 valamilyen egész szám, r pedig olyan egész szám, amely teljesíti a feltételeket. Ekkor q=−q 1-et véve megkapjuk azt a reprezentációt, amelyre szükségünk van a=b·q+r negatív b-hez. Térjünk át az egyediség bizonyítására. Tegyük fel, hogy az a=b·q+r ábrázoláson kívül q és r egész és , van egy másik a=b·q 1 +r 1 reprezentáció, ahol q 1 és r 1 néhány egész szám, és q 1 ≠ q és . Miután kivontuk a második egyenlőség bal és jobb oldalát az első egyenlőség bal és jobb oldalából, megkapjuk a 0=b·(q−q 1)+r−r 1 értéket, ami ekvivalens az r− egyenlőséggel. r 1 =b·(q 1 −q) . Ezután a forma egyenlősége A feltételekből arra következtethetünk. Mivel q és q 1 egész számok, és q≠q 1, akkor arra a következtetésre jutunk, hogy Az a=b·c+d egyenlőség lehetővé teszi, hogy megtaláljuk az a ismeretlen osztót, ha ismert a b osztó, a c parciális hányados és a d maradék. Nézzünk egy példát. Példa. Mekkora az osztalék értéke, ha a −21 egész számmal elosztva 5 nem teljes hányadosa és 12 maradéka lesz? Megoldás. Ki kell számolnunk az a osztót, ha ismert a b=−21 osztó, a c=5 parciális hányados és a d=12 maradék. Az a=b·c+d egyenlőségre áttérve a=(−21)·5+12-t kapjuk. Megfigyelve először megszorozzuk a −21 és 5 egész számokat a különböző előjelű egészek szorzási szabálya szerint, majd elvégezzük a különböző előjelű egészek összeadását: (−21)·5+12=−105+12=−93 . Válasz: −93
.
Az osztó, osztó, parciális hányados és maradék közötti összefüggéseket a b=(a−d):c, c=(a−d):b és d=a−b·c formájú egyenlőségek is kifejezik. Ezek az egyenlőségek lehetővé teszik az osztó, a parciális hányados és a maradék kiszámítását. Gyakran meg kell találnunk a maradékot, amikor egy a egész számot elosztunk egy b egész számmal, ha ismert az osztó, az osztó és a parciális hányados, a d=a−b·c képlet segítségével. A további kérdések elkerülése érdekében nézzünk meg egy példát a maradék kiszámítására. Példa. Keresse meg a maradékot, amikor a −19 egész számot elosztja 3-mal, ha tudja, hogy a parciális hányados egyenlő -7-tel. Megoldás. Az osztás maradékának kiszámításához egy d=a-b·c képletet használunk. A feltételből minden szükséges adatunk megvan a=−19, b=3, c=−7. d=a−b·c=−19−3·(−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (a különbséget −19−(−21) a szabály alapján számoltuk ki. negatív egész szám kivonása ). Válasz: Amint azt már többször megjegyeztük, a pozitív egész számok természetes számok. Ezért a pozitív egész számok maradékával való osztás a természetes számok maradékával való osztás összes szabálya szerint történik. Nagyon fontos, hogy könnyen tudjunk osztást végrehajtani a természetes számok maradékával, hiszen ez az alapja nem csak a pozitív egészek osztásának, hanem az összes tetszőleges egész szám maradékával való osztási szabály alapja is. A mi szempontunkból a legkényelmesebb az oszloposztást végrehajtani, ezzel a módszerrel nem teljes hányadost (vagy egyszerűen hányadost) és maradékot is kaphatunk. Nézzünk egy példát a pozitív egész számok maradékával való osztásra. Példa. A maradék 14 671-et oszd el 54-gyel. Megoldás. Osszuk el ezeket a pozitív egész számokat egy oszloppal: A parciális hányados 271-nek bizonyult, a maradék pedig 37. Válasz: 14 671:54=271 (többi 37.) . Fogalmazzuk meg azt a szabályt, amely lehetővé teszi, hogy osztást végezzünk egy pozitív egész szám maradékával egy negatív egész számmal. Egy pozitív a pozitív egész szám egy negatív b egész számmal való osztásának parciális hányadosa ellentéte annak a parciális hányadosának, amikor a-t osztjuk b modulusával, és az a-t b-vel való osztásának maradéka egyenlő az osztás maradékával. Ebből a szabályból az következik, hogy a pozitív egész szám negatív egész számmal való osztásának parciális hányadosa egy nem pozitív egész szám. Alakítsuk át a megadott szabályt egy olyan algoritmussá, amely egy pozitív egész számot a maradékkal oszt egy negatív egész számmal: Nézzünk egy példát a pozitív egész szám negatív egész számmal való osztására szolgáló algoritmus használatára. Példa. Osszuk el a 17 pozitív egész szám maradékával a −5 negatív egész számmal. Megoldás. Használjuk az algoritmust egy pozitív egész szám egy negatív egész számmal való elosztására. Osztással A 3 ellentétes száma −3. Így a 17 -5-tel való osztásához szükséges parciális hányados -3, a maradék pedig 2. Válasz: 17 :(-5)=-3 (maradék 2). Példa. Feloszt 45 x -15. Megoldás. Az osztalék és az osztó modulja 45, illetve 15. A 45-ös szám maradék nélkül osztható 15-tel, hányadosa pedig 3. Ezért a 45 pozitív egész számot maradék nélkül elosztjuk a −15 negatív egész számmal, és a hányados egyenlő a 3-mal ellentétes számmal, azaz −3. Valóban, a különböző előjelű egész számok osztására vonatkozó szabály szerint . Válasz: 45:(−15)=−3
.
Adjuk meg annak a szabálynak a megfogalmazását, hogy egy negatív egész számot egy pozitív egész számmal kell osztani maradékkal. Ahhoz, hogy egy a negatív egész számot egy pozitív b egész számmal osztva hiányos c hányadost kapjunk, ki kell venni a hiányos hányadossal ellentétes számot az eredeti számok modulusainak elosztásából, és ki kell vonni belőle egyet, ami után kiszámítjuk a d maradékot. a d=a-b·c képlet segítségével. Ebből a maradékkal való osztás szabályából az következik, hogy a negatív egész szám pozitív egész számmal való osztásának parciális hányadosa negatív egész szám. A leírt szabályból következik egy algoritmus, amely egy negatív egész számot a maradékkal oszt egy pozitív egész számmal b: Elemezzük a példa megoldását, amelyben az írott osztási algoritmust használjuk maradékkal. Példa. Határozzuk meg a parciális hányadost és a maradékot, amikor a −17 negatív egész számot elosztjuk az 5 pozitív egész számmal. Megoldás. A −17 osztó modulusa 17, az 5 osztó modulusa pedig 5. Osztással 17-tel 5-tel kapjuk a 3-as parciális hányadost, a maradék pedig 2-t. A 3 ellentéte −3. Vonjon ki egyet a −3-ból: −3−1=−4. Tehát a szükséges parciális hányados egyenlő -4. Már csak a maradékot kell kiszámítani. Példánkban a=-17, b=5, c=-4, majd d=a-b·c=-17-5·(-4)= -17-(-20)=-17+20=3 . Így a −17 negatív egész szám 5 pozitív egész számmal való részleges hányadosa −4, a maradék pedig 3. Válasz: (−17):5=−4 (maradék 3) . Példa. Osszuk el a −1,404 negatív egész számot a 26 pozitív egész számmal. Megoldás. Az osztalék modulja 1404, az osztó modulja 26. Oszd el 1404-et 26-tal egy oszlop segítségével: Mivel az osztó modulját maradék nélkül osztjuk az osztó moduljával, az eredeti egész számokat maradék nélkül osztjuk, és a kívánt hányados egyenlő az 54-gyel szemközti számmal, azaz −54. Válasz: (−1 404):26=−54
.
Fogalmazzuk meg a negatív egész számok maradékával való osztás szabályát. Ahhoz, hogy egy a negatív egész számot egy negatív b egész számmal osztva hiányos c hányadost kapjunk, ki kell számítanunk a hiányos hányadost az eredeti számok moduljainak elosztásából, és hozzá kell adni egyet, majd a d maradékot a d képlet segítségével kell kiszámítani. =a−b·c. Ebből a szabályból az következik, hogy a negatív egész számok osztó hányadosa pozitív egész szám. Írjuk át a megadott szabályt egy algoritmus formájában negatív egész számok osztására: Tekintsük a negatív egész számok felosztására szolgáló algoritmus használatát egy példa megoldása során. Példa. Határozzuk meg a parciális hányadost és a maradékot, amikor egy negatív egész számot –17 elosztunk egy negatív egész számmal –5. Megoldás. Használjuk a megfelelő osztási algoritmust maradékkal. Az osztalék modulja 17, az osztó modulja 5. Osztály A 17 5 felett a 3-as parciális hányadost adja, a maradék pedig 2-t. A 3. hiányos hányadoshoz adunk egyet: 3+1=4. Ezért a −17 -5-tel való osztásához szükséges parciális hányados egyenlő 4-gyel. Már csak a maradékot kell kiszámítani. Ebben a példában a=-17, b=-5, c=4, majd d=a-b·c=-17-(-5)·4= -17-(-20)=-17+20=3 . Tehát a −17 negatív egész szám elosztásának egy negatív egész számmal −5 parciális hányadosa 4, a maradék pedig 3. Válasz: (−17):(−5)=4 (maradék 3) . Az egész számok maradékkal való elosztása után célszerű ellenőrizni az eredményt. Az ellenőrzés két szakaszban történik. Az első lépésben azt ellenőrzik, hogy a d maradék nem-negatív szám-e, és azt is, hogy a feltétel teljesül-e. Ha az ellenőrzés első szakaszának minden feltétele teljesül, akkor folytathatja az ellenőrzés második szakaszát, ellenkező esetben vitatható, hogy valahol hiba történt a maradékkal való megosztáskor. A második lépésben az a=b·c+d egyenlőség érvényességét ellenőrizzük. Ha ez az egyenlőség igaz, akkor a maradékkal való osztás helyesen történt, különben valahol hiba történt. Nézzünk olyan példák megoldásait, amelyekben az egész számok maradékkal való osztásának eredményét ellenőrizzük. Példa. Ha a −521 számot elosztjuk −12-vel, a parciális hányados 44, a maradék pedig 7, ellenőrizze az eredményt. Megoldás. −2, ha b=−3, c=7, d=1. Nekünk van b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20. Így az a=b·c+d egyenlőség hibás (példánkban a=−19). Ezért a maradékkal való felosztást helytelenül hajtották végre. A cikk az egész számok maradékkal való osztásának fogalmát vizsgálja. Bizonyítsuk be az egész számok maradékkal való oszthatóságáról szóló tételt, és nézzük meg az osztók és osztók, a hiányos hányadosok és a maradékok közötti összefüggéseket. Nézzük meg az egész számok maradékokkal való felosztásának szabályait, és nézzük meg őket részletesen példákon keresztül. A megoldás végén ellenőrzést végzünk. Az egész számok maradékkal való osztása a természetes számok maradékával általánosított osztásnak tekinthető. Ez azért van így, mert a természetes számok az egész számok összetevői. Egy tetszőleges szám maradékával való osztás azt jelenti, hogy az a egész számot egy nullától eltérő b számmal osztjuk. Ha b = 0, akkor ne osszuk maradékkal. Csakúgy, mint a természetes számok maradékkal való osztásakor, az a és b egész számokat c-vel és d-vel osztjuk, ahol b nem nulla. Ebben az esetben a-t és b-t osztónak és osztónak nevezzük, d pedig az osztás maradéka, c egész szám vagy nem teljes hányados. Ha feltételezzük, hogy a maradék nemnegatív egész szám, akkor értéke nem nagyobb, mint a b szám modulusa. Írjuk fel így: 0 ≤ d ≤ b. Ezt az egyenlőtlenségi láncot 3 vagy több szám összehasonlításakor használjuk. Ha c egy nem teljes hányados, akkor d az a egész szám b-vel való osztásának maradéka, amely röviden megfogalmazható: a: b = c (maradék d). Az a szám b-vel való osztásakor a maradék nulla lehet, akkor azt mondják, hogy a teljesen osztható b-vel, azaz maradék nélkül. A maradék nélküli osztás az osztás speciális esetének számít. Ha nullát elosztunk valamilyen számmal, az eredmény nulla. Az osztás maradéka is nulla lesz. Ez a nulla egész számmal való osztásának elméletéből követhető. Most nézzük meg az egész számok maradékkal való osztásának jelentését. Ismeretes, hogy a pozitív egész számok természetes számok, akkor maradékkal osztva ugyanazt a jelentést kapjuk, mint a természetes számok maradékkal való osztásakor. Az a negatív egész szám elosztása egy pozitív b egész számmal van értelme. Nézzünk egy példát. Képzeljünk el egy olyan helyzetet, amikor a tételes tartozásunk van, amelyet b személynek vissza kell fizetnie. Ennek eléréséhez mindenkinek egyformán hozzá kell járulnia. Az egyes tartozás összegének meghatározásához figyelni kell a magánjellegű s értékére. A maradék d azt jelzi, hogy a tartozások törlesztése utáni tételek száma ismert. Nézzük az alma példáját. Ha 2 ember tartozik 7 almával. Ha úgy számolunk, hogy mindenkinek 4 almát kell visszaadnia, akkor a teljes számítás után 1 alma marad. Írjuk fel ezt egyenlőségként: (− 7) : 2 = − 4 (t. 1-ből) . Egy tetszőleges a szám egész számmal való elosztása értelmetlen, de lehetőségként lehetséges. Megállapítottuk, hogy a az osztó, majd b az osztó, c a parciális hányados és d a maradék. Össze vannak kötve egymással. Ezt az összefüggést az a = b · c + d egyenlőséggel fogjuk bemutatni. A köztük lévő kapcsolatot a maradékkal való oszthatósági tétel jellemzi. Tétel Bármely egész szám csak egész számon és nem nulla b számon keresztül ábrázolható a következő módon: a = b · q + r, ahol q és r néhány egész szám. Itt 0 ≤ r ≤ b. Bizonyítsuk be a = b · q + r létezésének lehetőségét. Bizonyíték Ha két a és b szám van, és a osztható b-vel maradék nélkül, akkor a definícióból következik, hogy van q szám, és igaz lesz az a = b · q egyenlőség. Ekkor az egyenlőség igaznak tekinthető: a = b · q + r r = 0 esetén. Ekkor olyan q-t kell venni, hogy a b · q egyenlőtlenség adja meg< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b . Megvan, hogy az a − b · q kifejezés értéke nagyobb nullánál és nem nagyobb a b szám értékénél, ebből következik, hogy r = a − b · q. Azt találjuk, hogy az a szám a = b · q + r alakban ábrázolható. Most meg kell fontolnunk az a = b · q + r ábrázolását b negatív értékeire. A szám modulusa pozitívnak bizonyul, ekkor kapjuk a = b · q 1 + r, ahol a q 1 érték valamilyen egész szám, r olyan egész szám, amely megfelel a 0 ≤ r feltételnek.< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b . Az egyediség bizonyítéka Tegyük fel, hogy a = b q + r, q és r egész számok, amelyek feltétele 0 ≤ r igaz< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1És r 1 van néhány szám, ahol q 1 ≠ q, 0 ≤ r 1< b . Ha az egyenlőtlenséget kivonjuk a bal és a jobb oldalról, akkor 0 = b · (q − q 1) + r − r 1 -t kapunk, ami r - r 1 = b · q 1 - q. Mivel a modult használjuk, az r - r 1 = b · q 1 - q egyenlőséget kapjuk. Az adott feltétel azt mondja, hogy 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что qÉs q 1- egész, és q ≠ q 1, akkor q 1 - q ≥ 1. Innen azt kapjuk, hogy b · q 1 - q ≥ b. A kapott r - r 1 egyenlőtlenségek< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае. Ebből következik, hogy az a szám nem ábrázolható más módon, csak az a = b · q + r felírásával. Az a = b · c + d egyenlőség segítségével megtalálhatja az ismeretlen a osztót, ha ismert a b osztó a hiányos c hányadossal és a d maradékkal. 1. példa Határozzuk meg az osztalékot, ha osztáskor -21-et kapunk, a parciális hányados 5, a maradék pedig 12. Megoldás
Ki kell számítani az a osztót ismert osztóval b = − 21, hiányos hányadossal c = 5 és maradékkal d = 12. Az a = b · c + d egyenlőségre kell rátérnünk, innen a = (− 21) · 5 + 12 egyenlőséget kapjuk. Ha követjük a műveletek sorrendjét, a - 21-et megszorozzuk 5-tel, ami után (− 21) · 5 + 12 = − 105 + 12 = − 93-at kapunk. Válasz: - 93 . Az osztó és a parciális hányados és maradék közötti összefüggés a b = (a − d) : c , c = (a − d) : b és d = a − b · c egyenlőségekkel fejezhető ki. Segítségükkel kiszámolhatjuk az osztót, a parciális hányadost és a maradékot. Ez abból adódik, hogy állandóan meg kell keresni a maradékot, amikor az a egész számot elosztjuk b-vel, ismert osztóval, osztóval és parciális hányadossal. A d = a − b · c képletet alkalmazzuk. Nézzük részletesen a megoldást. 2. példa Keresse meg a maradékot, amikor a - 19 egész számot elosztja a 3 egész számmal, amelynek ismert hiányos hányadosa egyenlő -7. Megoldás
Az osztás maradékának kiszámításához d = a − b · c képletet alkalmazunk. Feltétel szerint minden adat elérhető: a = −19, b = 3, c = −7. Innen kapjuk, hogy d = a − b · c = − 19 − 3 · (− 7) = − 19 − (− 21) = − 19 + 21 = 2 (különbség − 19 − (− 21). a kivonási szabály segítségével egy negatív egész szám. Válasz: 2 . Minden pozitív egész szám természetes szám. Ebből következik, hogy az osztás az összes osztási szabály szerint történik a természetes számok maradékával. A természetes számok maradékával való osztás sebessége fontos, hiszen nem csak a pozitív számok osztása, hanem a tetszőleges egészek osztásának szabályai is ezen alapulnak. Az osztás legkényelmesebb módja az oszlop, mivel könnyebben és gyorsabban lehet hiányos vagy egyszerűen hányadost kapni a maradékkal. Nézzük meg részletesebben a megoldást. 3. példa Ossza el az 14671-et 54-gyel. Megoldás
Ezt a felosztást egy oszlopban kell elvégezni: Vagyis a parciális hányados 271, a maradék pedig 37. Válasz: 14 671: 54 = 271. (többi 37) Egy pozitív szám maradékával egy negatív egész számmal való osztás végrehajtásához meg kell fogalmazni egy szabályt. 1. definíció Az a pozitív egész szám b negatív egész számmal való elosztásának hiányos hányadosa olyan számot eredményez, amely ellentétes az a számok modulusainak b-vel való elosztásának hiányos hányadosával. Ekkor a maradék egyenlő a maradékkal, ha a-t osztjuk b-vel. Ebből következik, hogy a pozitív egész szám negatív egész számmal való elosztásának hiányos hányadosát nem pozitív egész számnak tekintjük. Megkapjuk az algoritmust: Nézzük meg a pozitív egész szám negatív egész számmal való osztására szolgáló algoritmus példáját. 4. példa A maradék 17-tel oszd el -5-tel. Megoldás
Alkalmazzuk azt az algoritmust, hogy egy pozitív egész számot egy negatív egész számmal elosztunk maradékkal. A 17-et el kell osztani 5-tel modulo. Innen azt kapjuk, hogy a parciális hányados egyenlő 3-mal, a maradék pedig 2-vel. Azt kapjuk, hogy a szükséges számot elosztjuk 17-tel - 5 = - 3-mal, és a maradék egyenlő 2-vel. Válasz: 17: (− 5) = − 3 (maradék 2). 5. példa A 45-öt el kell osztani 15-tel. Megoldás
A számokat modulo kell osztani. A 45-ös számot elosztjuk 15-tel, maradék nélkül megkapjuk a 3 hányadosát. Ez azt jelenti, hogy a 45-ös szám maradék nélkül osztható 15-tel. A válasz - 3, mivel a felosztás modulo módon történt. 45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3 Válasz: 45: (− 15) = − 3 . A maradékkal való osztás szabályának megfogalmazása a következő. 2. definíció Ahhoz, hogy egy a negatív egész számot pozitív b-vel osztva hiányos c hányadost kapjunk, az adott szám ellentétét kell alkalmazni, és ki kell vonni belőle 1-et, majd a d maradékot a következő képlettel számítjuk ki: d = a − időszámításunk előtt. A szabály alapján azt a következtetést vonhatjuk le, hogy osztáskor nemnegatív egész számot kapunk. A megoldás pontosságának biztosítása érdekében használja az a-t b-vel egy maradékkal osztó algoritmust: Nézzünk egy példát egy olyan megoldásra, ahol ezt az algoritmust használják. 6. példa Határozzuk meg a 17 5-tel osztás parciális hányadosát és maradékát. Megoldás
A megadott számokat elosztjuk modulo. Azt találjuk, hogy osztáskor a hányados 3, a maradék pedig 2. Mivel 3-at kaptunk, az ellenkezője a 3. 1-et ki kell vonni. − 3 − 1 = − 4 . A kívánt érték egyenlő -4. A maradék kiszámításához a = − 17, b = 5, c = − 4, majd d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = szükséges. 3. Ez azt jelenti, hogy az osztás hiányos hányadosa a - 4, a maradék pedig 3. Válasz:(− 17) : 5 = − 4 (maradék 3). 7. példa Osszuk el a negatív egész számot - 1404 a pozitív 26-tal. Megoldás
Oszlopokra és modulokra kell osztani. A számok moduljainak felosztását maradék nélkül megkaptuk. Ez azt jelenti, hogy az osztás maradék nélkül történik, és a kívánt hányados = -54. Válasz: (− 1 404) : 26 = − 54 . Meg kell fogalmazni egy szabályt a negatív egész számok maradékával való osztáshoz. 3. definíció Ahhoz, hogy egy a negatív egész számot egy b negatív egész számmal elosztva hiányos c hányadost kapjunk, modulo számításokat kell végezni, majd össze kell adni 1-et, majd a d = a − b · c képlet alapján végezhetünk számításokat. Ebből következik, hogy a negatív egészek osztó hányadosa pozitív szám lesz. Fogalmazzuk meg ezt a szabályt algoritmus formájában: Nézzük meg ezt az algoritmust egy példa segítségével. 8. példa Határozza meg a parciális hányadost és a maradékot, amikor a -17-et osztja -5-tel. Megoldás
A megoldás helyessége érdekében a maradékkal való osztás algoritmusát alkalmazzuk. Először osszuk el a számokat modulo. Ebből azt kapjuk, hogy a parciális hányados = 3, a maradék pedig 2. A szabály szerint össze kell adni a hiányos hányadost és az 1-et. Azt kapjuk, hogy 3 + 1 = 4. Innen azt kapjuk, hogy a megadott számok elosztásának parciális hányadosa 4. A maradék kiszámításához a képletet használjuk. Feltétellel azt kapjuk, hogy a = − 17, b = − 5, c = 4, akkor a képlet segítségével azt kapjuk, hogy d = a − b c = − 17 − (− 5) 4 = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 . A szükséges válasz, vagyis a maradék egyenlő 3-mal, a részhányados pedig 4-gyel. Válasz:(− 17) : (− 5) = 4 (maradék 3). Miután elosztotta a számokat maradékkal, ellenőriznie kell. Ez az ellenőrzés 2 szakaszból áll. Először a d maradékot ellenőrizzük a negativitás szempontjából, a 0 ≤ d feltétel teljesül< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка. Nézzünk példákat. 9. példa A felosztás - 521-re - 12. A hányados 44, a maradék 7. Végezzen ellenőrzést. Megoldás
Mivel a maradék egy pozitív szám, értéke kisebb, mint az osztó modulusa. Az osztó - 12, ami azt jelenti, hogy a modulusa 12. Továbbléphet a következő ellenőrző pontra. Feltétel alapján azt kapjuk, hogy a = − 521, b = − 12, c = 44, d = 7. Innen számítjuk ki a b · c + d értéket, ahol b · c + d = − 12 · 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521. Ebből következik, hogy az egyenlőség igaz. Az ellenőrzés sikeres. 10. példa Hajtsa végre az osztásellenőrzést (− 17): 5 = − 3 (maradék − 2). Igaz az egyenlőség? Megoldás
Az első szakasz lényege, hogy ellenőrizni kell az egész számok osztását maradékkal. Ebből egyértelmű, hogy a műveletet helytelenül hajtották végre, mivel a - 2-vel egyenlő maradékot adjuk meg. A maradék nem negatív szám. Megvan, hogy a második feltétel teljesül, de nem elegendő erre az esetre. Válasz: Nem. 11. példa A 19-es számot elosztottuk 3-mal. A parciális hányados 7, a maradék pedig 1. Ellenőrizze, hogy ezt a számítást helyesen végezte-e el. Megoldás
Adott egy 1-gyel egyenlő maradék. Pozitív. Az érték kisebb, mint az elválasztó modulé, ami azt jelenti, hogy az első szakasz befejeződik. Térjünk át a második szakaszra. Számítsuk ki a b · c + d kifejezés értékét. Feltétellel azt kapjuk, hogy b = − 3, c = 7, d = 1, ami azt jelenti, hogy a számértékeket behelyettesítve b · c + d = − 3 · 7 + 1 = − 21 + 1 = − 20. Ebből következik, hogy a = b · c + d az egyenlőség nem teljesül, mivel a feltétel a = - 19-et adja. Ebből az következik, hogy a felosztás hibával történt. Válasz: Nem. Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt A számok oszthatóságának jelei- ezek olyan szabályok, amelyek lehetővé teszik, hogy viszonylag gyorsan, osztás nélkül megtudja, hogy ez a szám osztható-e egy adott számmal maradék nélkül. Ez az oszthatóság egyik legegyszerűbb jele. Ez így hangzik: ha egy természetes szám jelölése páros számjegyre végződik, akkor páros (maradék nélkül osztható 2-vel), és ha egy természetes szám jelölése páratlan számjegyre végződik, akkor ez a szám páratlan . Ennek az oszthatósági jelnek egészen más szabályai vannak: ha egy szám számjegyeinek összege osztható 3-mal, akkor a szám osztható 3-mal; Ha egy szám számjegyeinek összege nem osztható 3-mal, akkor a szám nem osztható 3-mal. Ez az oszthatóság jele bonyolultabb lesz. Ha egy szám utolsó 2 jegye 4-gyel osztható számot alkot, vagy 00, akkor a szám osztható 4-gyel, ellenkező esetben az adott szám nem osztható 4-gyel maradék nélkül. És megint van egy meglehetősen egyszerű oszthatósági jelünk: ha egy természetes szám jelölése 0-ra vagy 5-re végződik, akkor ez a szám maradék nélkül osztható 5-tel. Ha egy szám jelölése egy másik számjegyre végződik, akkor a szám nem osztható 5-tel maradék nélkül. Előttünk áll az összetett 6-os szám, amely a 2 és 3 szám szorzata. Ezért a 6-tal való oszthatóság jele is összetett: ahhoz, hogy egy szám osztható legyen 6-tal, meg kell felelnie a 6-tal való oszthatóság két előjelének. oszthatóság egyben: a 2-vel oszthatóság előjele és a 3-mal való oszthatóság előjele. Vegye figyelembe, hogy egy ilyen összetett számnak, mint a 4, van egyéni oszthatósági előjele, mert ez önmagában a 2-es szám szorzata. De térjünk vissza a 6-tal oszthatóság tesztjéhez. Ez az oszthatósági teszt bonyolultabb: egy szám osztható 7-tel, ha a szám tízeseinek számából az utolsó számjegy kétszeresének kivonása osztható 7-tel vagy egyenlő 0-val. A 8-cal való oszthatóság tesztje így hangzik: ha az utolsó 3 számjegy 8-cal osztható számot alkot, vagy 000, akkor az adott szám osztható 8-cal. Ez az oszthatóság jele hasonló a 3-mal való oszthatóság jeléhez: ha egy szám számjegyeinek összege osztható 9-cel, akkor a szám osztható 9-cel; Ha egy szám számjegyeinek összege nem osztható 9-cel, akkor a szám nem osztható 9-cel. Ezeket az oszthatósági jeleket azért kombináltam, mert ugyanúgy leírhatók: egy számot akkor osztunk el egy számjegyegységgel, ha a szám végén lévő nullák száma nagyobb vagy egyenlő, mint egy adott számjegyegységben lévő nullák száma . Annak megállapításához, hogy egy szám osztható-e 11-gyel, meg kell kapnia a szám páros és páratlan számjegyeinek összege közötti különbséget. Ha ez a különbség egyenlő 0-val, vagy maradék nélkül osztható 11-gyel, akkor maga a szám osztható 11-gyel maradék nélkül. A 12-es szám összetett. Oszthatósági jele a 3-mal és 4-gyel való oszthatóság előjeleinek egyidejű megfelelés. A 13-mal való oszthatóság jele, hogy ha egy szám 4-gyel szorzott egységeihez hozzáadott tízesek száma 13 többszöröse vagy egyenlő 0-val, akkor maga a szám osztható 13-mal. Amint az a fentiekből látható, feltételezhető, hogy bármelyik természetes számhoz kiválaszthatja saját egyéni oszthatósági jelét, vagy „összetett” jelet, ha a szám több különböző szám többszöröse. De a gyakorlat azt mutatja, hogy alapvetően minél nagyobb a szám, annál összetettebb a jele. Lehetséges, hogy az oszthatósági kritérium ellenőrzésére fordított idő egyenlő vagy nagyobb, mint maga az osztás. Ezért szoktuk az oszthatóság legegyszerűbb jeleit használni.
, és a számok modulusának tulajdonságaiból adódóan az egyenlőség 
.
. A kapott egyenlőtlenségekből és ebből következik, hogy a forma egyenlősége feltételezésünk szerint lehetetlen. Ezért az a számnak nincs más reprezentációja, mint a=b·q+r.Kapcsolatok osztalék, osztó, parciális hányados és maradék között
Osztás pozitív egész számok maradékával, példák
Pozitív egész szám negatív egész számmal való elosztásának szabálya, példák
Osztás negatív egész szám maradékával pozitív egész számmal, példák
Osztási szabály maradékkal negatív egész számokhoz, példák
Egész számok maradékkal való osztásának eredményének ellenőrzése
Az egész számok maradékokkal való felosztásának általános ismerete
Tétel az egész számok maradékkal való oszthatóságáról
Osztalék, osztó, parciális hányados és maradék kapcsolata
Pozitív egész szám negatív egész számmal való elosztásának szabálya, példák
Osztási szabály maradékkal negatív egész számokhoz, példák
Egész számok maradékkal való osztásának eredményének ellenőrzése
Néhány az oszthatóság jelei elég egyszerű, néhány bonyolultabb. Ezen az oldalon megtalálja a prímszámok oszthatóságának jeleit, mint például a 2, 3, 5, 7, 11, és az összetett számok oszthatóságának jeleit, mint például a 6 vagy 12.
Remélem, ez az információ hasznos lesz az Ön számára.
Boldog tanulást! Tesztelje a 2-vel való oszthatóságot
Más szóval, ha egy szám utolsó számjegye 2
, 4
, 6
, 8
vagy 0
- a szám osztható 2-vel, ha nem, akkor nem osztható
Például számok: 23 4
, 8270
, 1276
, 9038
, 502
oszthatók 2-vel, mert párosak.
A számok: 23 5
, 137
, 2303
Nem oszthatók 2-vel, mert páratlanok. Tesztelje az oszthatóságot 3-mal
Ez azt jelenti, hogy annak megértéséhez, hogy egy szám osztható-e 3-mal, csak össze kell adni az azt alkotó számokat.
Így néz ki: 3987 és 141 osztható 3-mal, mert az első esetben 3+9+8+7= 27
(27:3=9 - osztható 3-mal), a másodikban pedig 1+4+1= 6
(6:3=2 – osztható 3-mal is).
De a számok: 235 és 566 nem oszthatók 3-mal, mert 2+3+5= 10
és 5+6+6= 17
(és tudjuk, hogy sem 10, sem 17 nem osztható 3-mal maradék nélkül). Tesztelje a 4-gyel való oszthatóságot
Például: 1 00
és 3 64
oszthatóak 4-gyel, mert az első esetben a szám erre végződik 00
, a másodikban pedig tovább 64
, ami viszont maradék nélkül osztható 4-gyel (64:4=16)
Számok 3 57
és 8 86
nem oszthatók 4-gyel, mert egyik sem 57
se 86
nem oszthatók 4-gyel, ami azt jelenti, hogy nem felelnek meg ennek az oszthatósági kritériumnak. 5-tel oszthatósági teszt
Ez azt jelenti, hogy minden számjegyre végződő szám 0
És 5
például 1235 5
és 43 0
, a szabály hatálya alá tartoznak, és oszthatók 5-tel.
És például 1549 3
és 56 4
ne végződjön 5-tel vagy 0-val, ami azt jelenti, hogy nem oszthatók 5-tel maradék nélkül. Tesztelje az oszthatóságot 6-tal
A 138 és 474 számok párosak, és megfelelnek a 3-mal osztható kritériumoknak (1+3+8=12, 12:3=4 és 4+7+4=15, 15:3=5), ami azt jelenti, hogy oszthatók De 123 és 447, bár oszthatók 3-mal (1+2+3=6, 6:3=2 és 4+4+7=15, 15:3=5), de páratlanok, ami azt jelenti, hogy nem felelnek meg a 2-vel oszthatóság kritériumának, ezért nem felelnek meg a 6-tal oszthatóság kritériumának. Tesztelje a 7-tel való oszthatóságot
Elég zavaróan hangzik, de a gyakorlatban egyszerű. Nézd meg magad: a szám 95
A 9 osztható 7-tel, mert 95
-2*9=95-18=77, 77:7=11 (77-et maradék nélkül osztjuk 7-tel). Sőt, ha nehézségek adódnak az átalakítás során kapott számmal (a mérete miatt nehéz megérteni, hogy osztható-e 7-tel vagy sem, akkor ezt az eljárást annyiszor lehet folytatni, ahányszor szükségesnek tartja).
Például, 45
5 és 4580
1-nek a 7-tel való oszthatósága van. Az első esetben minden nagyon egyszerű: 45
-2*5=45-10=35, 35:7=5. A második esetben ezt tesszük: 4580
-2*1=4580-2=4578. Nehéz megértenünk, hogy vajon 457
8:7, tehát ismételjük meg a folyamatot: 457
-2*8=457-16=441. És ismét az oszthatósági tesztet fogjuk használni, mivel még mindig van előttünk egy háromjegyű szám 44
1. Szóval, 44
-2*1=44-2=42, 42:7=6, azaz. A 42 maradék nélkül osztható 7-tel, ami azt jelenti, hogy a 45801 osztható 7-tel.
Itt vannak a számok 11
1 és 34
Az 5 nem osztható 7-tel, mert 11
-2*1=11-2=9 (9 nem osztható 7-tel) és 34
-2*5=34-10=24 (a 24 nem osztható 7-tel maradék nélkül). Oszthatósági teszt 8-cal
Számok 1 000
vagy 1 088
osztható 8-cal: az első végződik 000
, a második 88
:8=11 (osztható 8-cal maradék nélkül).
És itt vannak az 1-es számok 100
vagy 4 757
nem oszthatók 8-cal, mert a számok 100
És 757
maradék nélkül nem osztható 8-cal. 9-cel oszthatósági teszt
Például: 3987 és 144 osztható 9-cel, mert az első esetben 3+9+8+7= 27
(27:9=3 - osztható 9-cel maradék nélkül), a másodikban pedig 1+4+4= 9
(9:9=1 - osztható 9-cel is).
De a számok: 235 és 141 nem oszthatók 9-cel, mert 2+3+5= 10
és 1+4+1= 6
(és tudjuk, hogy sem 10, sem 6 nem osztható 9-cel maradék nélkül). A 10, 100, 1000 és egyéb számjegyekkel való oszthatóság jelei
Más szavakkal, például a következő számaink vannak: 654 0
, 46400
, 867000
, 6450
. amelyek mindegyike osztható 1-gyel 0
; 46400
és 867 000
is oszthatók 1-gyel 00
; és csak az egyik a 867 000
osztható 1-gyel 000
.
Azok a számok, amelyeknek kevesebb a nullája a számjegy egységénél, nem oszthatók ezzel a számjegyegységgel, például 600 30
és 7 93
nem osztható 1 00
.Oszthatósági teszt 11-gyel
Az érthetőség kedvéért javaslom, hogy nézzen meg példákat: 2
35
A 4 osztható 11-gyel, mert ( 2
+5
)-(3+4)=7-7=0. 29
19
A 4 is osztható 11-gyel, mivel ( 9
+9
)-(2+1+4)=18-7=11.
Itt az 1 1
1 ill 4
35
A 4 nem osztható 11-gyel, mivel az első esetben (1+1)- 1
=1, a másodikban pedig ( 4
+5
)-(3+4)=9-7=2.Oszthatósági teszt 12-vel
Például a 300 és a 636 megfelel mind a 4-gyel osztható előjeleknek (az utolsó 2 számjegy nulla vagy osztható 4-gyel), mind a 3-mal osztható (mind az első, mind a harmadik szám számjegyeinek összege osztható 3-mal), de végül maradék nélkül oszthatók 12-vel.
De 200 vagy 630 nem osztható 12-vel, mert az első esetben a szám csak a 4-gyel való oszthatóság kritériumának felel meg, a másodikban pedig csak a 3-mal való oszthatóság feltétele, de nem mindkét kritérium egyidejűleg. Oszthatósági teszt 13-mal
Vegyük például 70
2. Szóval, 70
+4*2=78, 78:13=6 (78 maradék nélkül osztható 13-mal), ami azt jelenti, hogy 70
A 2 maradék nélkül osztható 13-mal. Egy másik példa egy szám 114
4. 114
+4*4=130, 130:13=10. A 130-as szám maradék nélkül osztható 13-mal, ami azt jelenti, hogy a megadott szám megfelel a 13-mal való oszthatóság kritériumának.
Ha a számokat vesszük 12
5 vagy 21
2, akkor megkapjuk 12
+4*5=32 és 21
+4*2=29, és sem 32, sem 29 nem osztható 13-mal maradék nélkül, ami azt jelenti, hogy a megadott számok nem oszthatók 13-mal maradék nélkül.A számok oszthatósága
