Modul definíciók. Mekkora egy szám modulusa a matematikában

Utasítás

Ha egy modult folytonos függvényként ábrázolunk, akkor argumentumának értéke lehet pozitív vagy negatív: |x| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

A modulus nulla, és bármely pozitív szám modulusa . Ha az argumentum negatív, akkor a zárójelek kinyitása után az elője mínuszról pluszra változik. Ennek alapján az a következtetés következik, hogy az ellentétek moduljai egyenlők: |-x| = |x| = x.

Egy komplex szám modulusát a következő képlet határozza meg: |a| = √b ² + c ², és |a + b| ≤ |a| + |b|. Ha az argumentum pozitív számot tartalmaz szorzóként, akkor kivehető a zárójelből, például: |4*b| = 4*|b|.

Ha az argumentumot komplex számként adjuk meg, akkor a számítások megkönnyítése érdekében a kifejezés téglalap alakú zárójelekbe tett kifejezéseinek sorrendje megengedett: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, mert (2-3) kisebb, mint nulla.

A hatványra emelt argumentum egyidejűleg az azonos rendű gyök előjele alatt áll – a megoldás a következőképpen történik: √a² = |a| = ±a.

Ha olyan feladatunk van, amelyben a modultartók bővítésének feltétele nincs megadva, akkor nem kell megszabadulni tőlük - ez lesz a végeredmény. És ha ki kell nyitnia őket, akkor jeleznie kell a ± jelet. Például meg kell találnia a √(2 * (4-b))² kifejezés értékét. Megoldása így néz ki: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Mivel a 4-b kifejezés előjele ismeretlen, ezért zárójelben kell hagyni. Ha további feltételt ad hozzá, például |4-b| >

A nulla modulusa egyenlő nullával, és bármely pozitív szám modulusa egyenlő önmagával. Ha az argumentum negatív, akkor a zárójelek kinyitása után az elője mínuszról pluszra változik. Ennek alapján az a következtetés, hogy az ellentétes számú modulok egyenlők: |-x| = |x| = x.

Egy komplex szám modulusát a következő képlet határozza meg: |a| = √b ² + c ², és |a + b| ≤ |a| + |b|. Ha az argumentum pozitív egész számot tartalmaz tényezőként, akkor kivehető a zárójelből, például: |4*b| = 4*|b|.

A modulus nem lehet negatív, ezért minden negatív szám pozitívvá alakul: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Ha az argumentumot komplex szám formájában adjuk meg, akkor a számítások megkönnyítése érdekében meg lehet változtatni a téglalap alakú zárójelekbe tett kifejezés feltételeinek sorrendjét: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, mert (2-3) kisebb, mint nulla.

Számok modulusa magát ezt a számot hívják, ha nem negatív, vagy ugyanazt a számot ellenkező előjellel, ha negatív.

Például az 5-ös szám modulusa 5, és a –5-ös szám modulusa is 5.

Vagyis egy szám modulusa az abszolút érték, ennek a számnak az abszolút értéke, előjelének figyelembe vétele nélkül.

Jelölése a következő: |5|, | x|, |A| stb.

Szabály:

Magyarázat:

|5| = 5
Így hangzik: az 5-ös szám modulusa 5.

|–5| = –(–5) = 5
Így hangzik: a –5 szám modulusa 5.

|0| = 0
Így hangzik: a nulla modulusa nulla.

Modul tulajdonságai:

1) Egy szám modulusa egy nem negatív szám:

|A| ≥ 0

2) Az ellentétes számú modulok egyenlőek:

|A| = |–A|

3) Egy szám modulusának négyzete egyenlő ennek a számnak a négyzetével:

|A| 2 = egy 2

4) A számok szorzatának modulusa egyenlő ezen számok modulusainak szorzatával:

|A · b| = |A| · | b|

6) Egy hányadosszám modulusa egyenlő ezen számok modulusainak arányával:

|A : b| = |A| : |b|

7) A számok összegének modulusa kisebb vagy egyenlő, mint a moduljuk összege:

|A + b| ≤ |A| + |b|

8) A számok különbségének modulusa kisebb vagy egyenlő, mint modulusaik összege:

|A – b| ≤ |A| + |b|

9) A számok összegének/különbségének modulusa nagyobb vagy egyenlő, mint a modulusaik különbségének modulusa:

|A ± b| ≥ ||A| – |b||

10) A modulus előjelből kivehető egy állandó pozitív szorzó:

|m · a| = m · | A|, m >0

11) Egy szám hatványa kivehető a modulusjelből:

|A k | = | A| k ha létezik egy k

12) Ha | A| = |b|, akkor a = ± b

A modul geometriai jelentése.

Egy szám modulusa a nulla és a szám közötti távolság.

Vegyük például ismét az 5-ös számot. A 0-tól 5-ig terjedő távolság megegyezik a 0-tól –5-ig terjedő távolsággal (1. ábra). És amikor fontos, hogy csak a szakasz hosszát ismerjük, akkor a jelnek nemcsak jelentése van, hanem jelentése is. Ez azonban nem teljesen igaz: távolságot csak pozitív számokkal mérünk - vagy nem negatív számokkal. Legyen skálánk osztási ára 1 cm, ekkor a nullától 5-ig terjedő szakasz hossza 5 cm, nullától –5-ig szintén 5 cm.

A gyakorlatban a távolságot gyakran nem csak nullától mérik – a referenciapont tetszőleges szám lehet (2. ábra). De ez a lényegen nem változtat. Az |a – b| forma jelölése pontok közötti távolságot fejezi ki AÉs b a számegyenesen.

1. példa Oldja meg a |. egyenletet x – 1| = 3.

Megoldás .

Az egyenlet jelentése a pontok közötti távolság xés 1 egyenlő 3-mal (2. ábra). Ezért az 1. ponttól három osztást számolunk balra és három osztást jobbra - és jól látjuk mindkét értéket x:
x 1 = –2, x 2 = 4.

Ki tudjuk számolni.

│x – 1 = 3
│x – 1 = –3

│x = 3 + 1
│x = –3 + 1

│x = 4
│ x = –2.

Válasz: x 1 = –2; x 2 = 4.

2. példa kifejezési modul keresése:

Megoldás .

Először is nézzük meg, hogy a kifejezés pozitív vagy negatív. Ehhez a kifejezést úgy alakítjuk át, hogy homogén számokból álljon. Ne keressük az 5 gyökerét – elég nehéz. Tegyük egyszerűbben: emeljük a 3-at és a 10-et a gyökérre, majd hasonlítsuk össze a különbséget alkotó számok nagyságát:

3 = √9. Ezért 3√5 = √9 √5 = √45

10 = √100.

Látjuk, hogy az első szám kisebb, mint a második. Ez azt jelenti, hogy a kifejezés negatív, azaz a válasza kisebb, mint nulla:

3√5 – 10 < 0.

De a szabály szerint egy negatív szám modulusa ugyanaz a szám, amelynek az ellenkező előjele van. Van egy negatív kifejezésünk. Ezért meg kell változtatni a jelét az ellenkezőjére. A 3√5 – 10 ellentétes kifejezése –(3√5 – 10). Nyissuk ki a benne lévő zárójeleket, és kapjuk meg a választ:

–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.

Válasz .

A modul egyike azoknak a dolgoknak, amelyekről úgy tűnik, mindenki hallott, de valójában senki sem érti. Ezért ma egy nagy lecke lesz az egyenletek modulokkal történő megoldásával.

Azonnal mondom: a lecke nem lesz nehéz. És általában a modulok viszonylag egyszerű téma. „Igen, persze, ez nem bonyolult! Feldobja a fejemet!” - mondja sok diák, de mindezek az agytörések abból fakadnak, hogy a legtöbb embernek nem tudás van a fejében, hanem valami baromság. Ennek a leckének az a célja, hogy a szart tudássá változtassuk. :)

Egy kis elmélet

Akkor gyerünk. Kezdjük a legfontosabbal: mi az a modul? Hadd emlékeztesselek arra, hogy egy szám modulusa egyszerűen ugyanaz a szám, de mínuszjel nélkül. Ez például a $\left| -5 \jobbra|=5$. Vagy $\left| -129,5 \jobbra|=129,5 USD.

Ilyen egyszerű? Igen, egyszerű. Mi akkor egy pozitív szám abszolút értéke? Itt még egyszerűbb: egy pozitív szám modulusa egyenlő ezzel a számmal: $\left| 5 \jobbra|=5$; $\left| 129,5 \right|=129,5 USD stb.

\[\bal| -a \right|=\left| a\right|\]

Egy másik fontos tény: a modulus soha nem negatív. Bármilyen számot veszünk is – legyen az pozitív vagy negatív –, a modulusa mindig pozitívnak (vagy szélsőséges esetben nullának) bizonyul. Ezért szokták a modulust egy szám abszolút értékének nevezni.

Ezen túlmenően, ha kombináljuk a modulus definícióját egy pozitív és negatív számra, akkor megkapjuk a modulus globális definícióját minden számra. Nevezetesen: egy szám modulusa egyenlő magával a számmal, ha a szám pozitív (vagy nulla), vagy egyenlő az ellenkező számmal, ha a szám negatív. Ezt felírhatod képletként:

Van egy nulla modulus is, de ez mindig egyenlő nullával. Ráadásul a nulla az egyetlen szám, amelynek nincs ellentéte.

Így ha figyelembe vesszük a $y=\left| függvényt x \right|$ és próbáld meg lerajzolni a grafikonját, valami ilyesmit kapsz:

Moduluszgráf és példa az egyenlet megoldására

Erről a képről azonnal kiderül, hogy $\left| -m \jobbra|=\left| m \right|$, és a modulusgráf soha nem esik az x tengely alá. De ez még nem minden: a piros vonal az $y=a$ egyenest jelöli, ami pozitív $a$ esetén egyszerre két gyöket ad: $((x)_(1))$ és $((x) _(2)) $, de erről majd később. :)

A tisztán algebrai definíción kívül létezik egy geometriai is. Tegyük fel, hogy két pont van a számegyenesen: $((x)_(1))$ és $((x)_(2))$. Ebben az esetben a $\left| kifejezés ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ egyszerűen a megadott pontok közötti távolság. Vagy, ha úgy tetszik, az ezeket a pontokat összekötő szakasz hossza:

A modulus a számegyenes pontjai közötti távolság

Ez a meghatározás azt is jelenti, hogy a modulus mindig nem negatív. De elég a definíciókból és az elméletből – térjünk át a valódi egyenletekre. :)

Alapképlet

Rendben, megoldottuk a definíciót. De ez nem könnyítette meg. Hogyan lehet pontosan ezt a modult tartalmazó egyenleteket megoldani?

Nyugi, csak nyugalom. Kezdjük a legegyszerűbb dolgokkal. Gondoljunk valami ilyesmire:

\[\bal| x\right|=3\]

Tehát $x$ modulusa 3. Mivel lehet egyenlő $x$? Nos, a definícióból ítélve nagyon elégedettek vagyunk a $x=3$ értékkel. Igazán:

\[\bal| 3\jobbra|=3\]

Vannak más számok is? Úgy tűnik, a sapka arra utal, hogy van. Például $x=-3$ egyben $\left| -3 \jobbra|=3$, azaz. az előírt egyenlőség teljesül.

Talán ha keresünk és gondolkodunk, több számot is találunk? De valljuk be: nincs több szám. $\left| egyenlet Az x \right|=3$-nak csak két gyöke van: $x=3$ és $x=-3$.

Most bonyolítsuk egy kicsit a feladatot. Hagyja, hogy a $f\left(x \right)$ függvény a modulusjel alatt lógjon ki a $x$ változó helyett, és tegyen egy tetszőleges $a$ számot a jobb oldali hármas helyére. Kapjuk az egyenletet:

\[\bal| f\left(x \right) \right|=a\]

Szóval hogyan tudjuk ezt megoldani? Hadd emlékeztesselek: $f\left(x \right)$ egy tetszőleges függvény, az $a$ tetszőleges szám. Azok. Bármi a világon! Például:

\[\bal| 2x+1 \right|=5\]

\[\bal| 10x-5 \jobbra|=-65\]

Figyeljünk a második egyenletre. Rögtön elmondható róla: nincsenek gyökerei. Miért? Minden helyes: mert ehhez az kell, hogy a modulus egyenlő legyen egy negatív számmal, ami soha nem történik meg, hiszen már tudjuk, hogy a modulus mindig pozitív szám, vagy szélsőséges esetben nulla.

De az első egyenlettel minden szórakoztatóbb. Két lehetőség van: vagy van egy pozitív kifejezés a modulusjel alatt, majd $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, vagy ez a kifejezés továbbra is negatív, majd $\left| 2x+1 \jobbra|=-\left(2x+1 \jobbra)=-2x-1$. Az első esetben az egyenletünket a következőképpen írjuk át:

\[\bal| 2x+1 \jobbra|=5\Jobbra 2x+1=5\]

És hirtelen kiderül, hogy a $2x+1$ szubmoduláris kifejezés valóban pozitív – egyenlő az 5-ös számmal. biztonságosan megoldhatjuk ezt az egyenletet - a kapott gyök a válasz egy darabja lesz:

Azok, akik különösen bizalmatlanok, megpróbálhatják behelyettesíteni a talált gyöket az eredeti egyenletbe, és megbizonyosodhatnak arról, hogy valóban pozitív szám van a modulus alatt.

Most nézzük meg egy negatív szubmoduláris kifejezés esetét:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(igazítás) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Jobbra 2x+1=-5\]

Hoppá! Ismét minden világos: feltételeztük, hogy $2x+1 \lt 0$, és ennek eredményeként azt kaptuk, hogy $2x+1=-5$ - ez a kifejezés valóban kisebb, mint nulla. Megoldjuk a kapott egyenletet, miközben már biztosan tudjuk, hogy a talált gyök megfelel nekünk:

Összesen ismét két választ kaptunk: $x=2$ és $x=3$. Igen, a számítások mennyisége kicsit nagyobbnak bizonyult, mint a nagyon egyszerű egyenletben: $\left| x \right|=3$, de alapvetően semmi sem változott. Szóval lehet, hogy van valami univerzális algoritmus?

Igen, létezik ilyen algoritmus. És most elemezzük.

A modulus jeltől való megszabadulás

Adjuk meg a $\left| egyenletet f\left(x \right) \right|=a$ és $a\ge 0$ (egyébként, mint már tudjuk, nincsenek gyökerek). Ezután a következő szabály segítségével megszabadulhat a modulus előjelétől:

\[\bal| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Így a modulusos egyenletünk ketté válik, de modulus nélkül. Ennyi a technológia! Próbáljunk meg megoldani pár egyenletet. Kezdjük ezzel

\[\bal| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Vizsgáljuk meg külön, hogy mikor van tíz plusz a jobb oldalon, és külön, ha mínusz van. Nekünk van:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\vége(igazítás)\]

Ez minden! Két gyökeret kaptunk: $x=1,2$ és $x=-2,8$. Az egész megoldás szó szerint két sort vett igénybe.

Ok, nem kérdés, nézzünk egy kicsit komolyabbat:

\[\bal| 7-5x\jobbra|=13\]

Ismét megnyitjuk a modult plusz és mínusz jelekkel:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\vége(igazítás)\]

Ismét pár sor – és kész a válasz! Mint mondtam, a modulokban nincs semmi bonyolult. Csak emlékeznie kell néhány szabályra. Ezért továbblépünk, és valóban összetettebb feladatokkal kezdünk.

Egy jobb oldali változó esete

Most nézzük meg ezt az egyenletet:

\[\bal| 3x-2 \jobbra|=2x\]

Ez az egyenlet alapvetően különbözik az összes korábbi egyenlettől. Hogyan? És az, hogy az egyenlőségjeltől jobbra van a $2x$ kifejezés - és nem tudhatjuk előre, hogy pozitív vagy negatív.

Mi a teendő ebben az esetben? Először is egyszer s mindenkorra meg kell értenünk ha az egyenlet jobb oldala negatívnak bizonyul, akkor az egyenletnek nem lesz gyöke- már tudjuk, hogy a modul nem lehet egyenlő negatív számmal.

Másodszor, ha a jobb oldali rész továbbra is pozitív (vagy egyenlő nullával), akkor pontosan ugyanúgy járhat el, mint korábban: egyszerűen nyissa meg a modult külön egy pluszjellel, és külön egy mínuszjellel.

Így megfogalmazunk egy szabályt tetszőleges $f\left(x \right)$ és $g\left(x \right)$ függvényekre:

\[\bal| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(igazítás) \jobbra.\]

Az egyenletünkkel kapcsolatban a következőket kapjuk:

\[\bal| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Nos, valahogy megbirkózunk a $2x\ge 0$ követelménysel. Végül ostobán helyettesíthetjük az első egyenletből kapott gyököket, és ellenőrizhetjük, hogy az egyenlőtlenség fennáll-e vagy sem.

Tehát oldjuk meg magát az egyenletet:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\vége(igazítás)\]

Nos, a két gyök közül melyik felel meg a $2x\ge 0$ követelménynek? Igen mindkettő! Ezért a válasz két szám lesz: $x=(4)/(3)\;$ és $x=0$. Ez a megoldás. :)

Gyanítom, hogy néhány diák már kezd unatkozni? Nos, nézzünk egy még összetettebb egyenletet:

\[\bal| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \jobbra|=x-((x)^(3))\]

Bár gonosznak tűnik, valójában ugyanaz a „modulus egyenlő függvény” formájú egyenlet:

\[\bal| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

És pontosan ugyanígy van megoldva:

\[\bal| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \jobbra|=x-((x)^(3))\jobbra \balra\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \jobbra), \\& x-((x) )^(3))\ge 0. \\\end(igazítás) \jobbra.\]

Az egyenlőtlenséggel később foglalkozunk - ez valahogy túl gonosz (sőt, egyszerű, de nem oldjuk meg). Egyelőre jobb az eredményül kapott egyenletekkel foglalkozni. Tekintsük az első esetet - ez az, amikor a modul pluszjellel bővül:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Nos, az nem ötlet, hogy balról kell összegyűjteni mindent, hozni hasonlókat, és meglátjuk, mi történik. És ez történik:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\vége(igazítás)\]

Kivesszük a $((x)^(2))$ közös tényezőt a zárójelekből, és egy nagyon egyszerű egyenletet kapunk:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Jobbra \balra[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(igazítás) \jobbra.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Itt kihasználtuk a szorzat egy fontos tulajdonságát, aminek érdekében az eredeti polinomot faktoráltuk: a szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla.

Most pontosan ugyanúgy foglalkozzunk a második egyenlettel, amelyet a modul mínuszjellel történő bővítésével kapunk:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \jobbra); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\vége(igazítás)\]

Ismét ugyanaz: a szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla. Nekünk van:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(igazítás) \jobbra.\]

Nos, három gyökeret kaptunk: $x=0$, $x=1.5$ és $x=(2)/(3)\;$. Nos, ebből a halmazból melyik kerül be a végső válaszba? Ehhez ne feledje, hogy van egy további megszorításunk az egyenlőtlenség formájában:

Hogyan kell ezt a követelményt figyelembe venni? Cseréljük ki a talált gyököket, és nézzük meg, hogy az egyenlőtlenség érvényes-e ezekre a $x$-okra vagy sem. Nekünk van:

\[\begin(align)& x=0\Jobbra x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Jobbra x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Jobbra x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\vége(igazítás)\]

Így a $x=1,5$ gyök nem felel meg nekünk. És válaszul csak két gyökér lesz:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Mint látható, ebben az esetben sem volt semmi bonyolult - a modulokkal kapcsolatos egyenleteket mindig algoritmussal oldják meg. Csak jól kell értened a polinomokat és az egyenlőtlenségeket. Ezért áttérünk az összetettebb feladatokra - már nem egy, hanem két modul lesz.

Egyenletek két modullal

Eddig csak a legegyszerűbb egyenleteket tanulmányoztuk – volt egy modul és még valami. Ezt a „valami mást” elküldtük az egyenlőtlenség másik, a modultól távolabbi részére, hogy végül minden egy $\left| formájú egyenletre redukálódjon. f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ vagy még egyszerűbb $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

De az óvodának vége – ideje valami komolyabbat fontolóra venni. Kezdjük a következő egyenletekkel:

\[\bal| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

Ez egy „modulus egyenlő modulus” alakú egyenlet. Az alapvetően fontos szempont az egyéb kifejezések és tényezők hiánya: csak egy modul a bal oldalon, egy modul a jobb oldalon - és semmi több.

Valaki most azt gondolja, hogy az ilyen egyenleteket nehezebb megoldani, mint amit eddig tanulmányoztunk. De nem: ezek az egyenletek még könnyebben megoldhatók. Íme a képlet:

\[\bal| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Minden! Egyszerűen egyenlőségjelet teszünk a szubmoduláris kifejezések közé, ha az egyik elé plusz vagy mínusz jelet teszünk. És akkor megoldjuk a kapott két egyenletet - és készen is vannak a gyökerek! Nincsenek további korlátozások, nincsenek egyenlőtlenségek stb. Minden nagyon egyszerű.

Próbáljuk meg megoldani ezt a problémát:

\[\bal| 2x+3 \jobbra|=\left| 2x-7 \jobbra|\]

Elemi Watson! A modulok bővítése:

\[\bal| 2x+3 \jobbra|=\left| 2x-7 \jobbra|\Jobbra 2x+3=\pm \left(2x-7 \jobbra)\]

Tekintsünk minden esetet külön:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Jobbra 2x+3=-2x+7. \\\vége(igazítás)\]

Az első egyenletnek nincs gyöke. Mert mikor van $3=-7$? Mekkora $x$ értéknél? „Mi a franc az a $x$? Megköveztek? Egyáltalán nincs ott $x$” – mondod. És igazad lesz. Olyan egyenlőséget kaptunk, amely nem függ a $x$ változótól, ugyanakkor maga az egyenlőség helytelen. Ezért nincsenek gyökerei. :)

A második egyenlettel minden kicsit érdekesebb, de nagyon-nagyon egyszerű is:

Mint látható, minden szó szerint pár sorban megoldódott – nem is vártunk mást egy lineáris egyenlettől. :)

Ennek eredményeként a végső válasz: $x=1$.

Szóval hogyan? Nehéz? Természetesen nem. Próbáljunk meg valami mást:

\[\bal| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \jobbra|\]

Megint van egy $\left| alakú egyenletünk f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Ezért azonnal átírjuk, felfedve a modulus jelét:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Talán most valaki megkérdezi: „Hé, micsoda hülyeség? Miért jelenik meg a „plusz-mínusz” a jobb oldali kifejezésen, és miért nem a bal oldalon? Nyugi, most mindent elmagyarázok. Valóban, jó értelemben át kellett volna írnunk az egyenletünket a következőképpen:

Ezután nyisd ki a zárójeleket, mozgasd az összes tagot az egyenlőségjel egyik oldalára (mivel az egyenlet természetesen mindkét esetben négyzet alakú lesz), majd keresd meg a gyököket. De el kell ismernie: amikor a „plusz-mínusz” három kifejezés előtt jelenik meg (különösen, ha az egyik kifejezés másodfokú kifejezés), az valahogy bonyolultabbnak tűnik, mint az a helyzet, amikor a „plusz-mínusz” csak két kifejezés előtt jelenik meg.

De semmi sem akadályoz meg bennünket abban, hogy az eredeti egyenletet a következőképpen írjuk át:

Mi történt? Semmi különös: csak felcserélték a bal és a jobb oldalt. Egy apróság, ami végső soron egy kicsit megkönnyíti az életünket. :)

Általában megoldjuk ezt az egyenletet, figyelembe véve a plusz és mínusz opciókat:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Jobbra ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Jobbra ((x)^(2))-2x+1=0. \\\vége(igazítás)\]

Az első egyenlet gyökei $x=3$ és $x=1$. A második általában egy pontos négyzet:

\[((x)^(2))-2x+1=((\bal(x-1 \jobb))^(2))\]

Ezért csak egy gyöke van: $x=1$. De ezt a gyökeret már korábban megkaptuk. Így csak két szám kerül a végső válaszba:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Küldetés teljesítve! Levehetsz egy pitét a polcról és megeheted. 2 db van, a tiéd a középső. :)

Fontos jegyzet. Az azonos gyökök jelenléte a modul bővítésének különböző változataihoz azt jelenti, hogy az eredeti polinomok faktorizáltak, és ezek között a tényezők között biztosan lesz egy közös. Igazán:

\[\begin(align)& \left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \jobbra|; \\& \left| x-1 \right|=\left| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\vége(igazítás)\]

A modul egyik tulajdonsága: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (azaz a szorzat modulusa egyenlő a modulusok szorzatával), így az eredeti egyenlet a következőképpen írható át:

\[\bal| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \jobbra|\]

Amint látja, valóban van egy közös tényezőnk. Most, ha összegyűjti az összes modult az egyik oldalon, akkor ezt a tényezőt kiveheti a zárójelből:

\[\begin(align)& \left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \jobbra|; \\& \left| x-1 \jobbra|-\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \jobbra|=0; \\& \left| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\vége(igazítás)\]

Nos, most ne feledje, hogy a szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \jobbra|=1. \\\end(igazítás) \jobbra.\]

Így az eredeti, két modulból álló egyenletet a két legegyszerűbb egyenletre redukáltuk, amelyekről a lecke legelején beszéltünk. Az ilyen egyenletek szó szerint pár sorban megoldhatók. :)

Ez a megjegyzés szükségtelenül összetettnek és a gyakorlatban alkalmazhatatlannak tűnhet. A valóságban azonban sokkal összetettebb problémákkal találkozhat, mint amelyekkel ma foglalkozunk. Bennük a modulok kombinálhatók polinomokkal, aritmetikai gyökökkel, logaritmusokkal stb. És ilyen helyzetekben nagyon-nagyon hasznos lehet az a képesség, hogy csökkentsük az egyenlet általános mértékét oly módon, hogy valamit kiveszünk a zárójelekből. :)

Most egy másik egyenletet szeretnék megnézni, ami első pillantásra őrültségnek tűnhet. Sok diák elakad rajta, még azok is, akik úgy gondolják, hogy jól értenek a modulokhoz.

Ez az egyenlet azonban még könnyebben megoldható, mint amit korábban megvizsgáltunk. És ha megérti, miért, akkor kap egy újabb trükköt az egyenletek modulusokkal történő gyors megoldására.

Tehát az egyenlet:

\[\bal| x-((x)^(3)) \jobbra|+\left| ((x)^(2))+x-2 \jobbra|=0\]

Nem, ez nem elírás: ez egy plusz a modulok között. És meg kell találnunk, hogy mekkora $x$-nál egyenlő két modul összege nullával. :)

Egyébként mi a probléma? De a probléma az, hogy minden modul egy pozitív szám, vagy szélsőséges esetben nulla. Mi történik, ha összeadunk két pozitív számot? Nyilván ismét pozitív szám:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(igazítás)\]

Az utolsó sor egy ötletet adhat: a modulok összege csak akkor lehet nulla, ha minden modul nulla:

És mikor egyenlő a modul nullával? Csak egy esetben - ha a szubmoduláris kifejezés nulla:

\[((x)^(2))+x-2=0\jobbra \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\jobbra \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(igazítás) \jobbra.\]

Így három pontunk van, ahol az első modul nullára áll: 0, 1 és -1; valamint két pont, ahol a második modul nullázódik: −2 és 1. Azonban mindkét modult egyszerre kell nullára állítani, így a talált számok közül ki kell választanunk azokat, amelyek benne vannak mindkét készlet. Nyilvánvalóan csak egy ilyen szám van: $x=1$ - ez lesz a végső válasz.

Hasítási módszer

Nos, már egy csomó problémával foglalkoztunk, és rengeteg technikát tanultunk. Szerinted ennyi? De nem! Most megnézzük a végső technikát - és egyben a legfontosabbat. Szó lesz az egyenletek modulusos felosztásáról. Egyáltalán miről fogunk beszélni? Menjünk vissza egy kicsit, és nézzünk meg néhány egyszerű egyenletet. Például ezt:

\[\bal| 3x-5 \jobbra|=5-3x\]

Elvileg már tudjuk, hogyan kell megoldani egy ilyen egyenletet, mert ez egy $\left| formájú szabványos konstrukció. f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. De próbáljuk meg kicsit más szemszögből nézni ezt az egyenletet. Pontosabban tekintsük a modulusjel alatti kifejezést. Hadd emlékeztesselek arra, hogy bármely szám modulusa lehet egyenlő magával a számmal, vagy ellentétes is lehet vele:

\[\bal| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Valójában ez a kétértelműség az egész probléma: mivel a modulus alatti szám változik (változótól függ), nem világos számunkra, hogy pozitív vagy negatív.

De mi van akkor, ha először azt szeretné, hogy ez a szám pozitív legyen? Például megköveteljük, hogy $3x-5 \gt 0$ - ebben az esetben garantáltan pozitív számot kapunk a modulusjel alatt, és ettől a modulustól teljesen megszabadulhatunk:

Így az egyenletünk lineárissá válik, ami könnyen megoldható:

Igaz, ezeknek a gondolatoknak csak a $3x-5 \gt 0$ feltétellel van értelme - mi magunk vezettük be ezt a követelményt, hogy egyértelműen felfedjük a modult. Ezért cseréljük be a talált $x=\frac(5)(3)$-t ebbe a feltételbe, és ellenőrizzük:

Kiderül, hogy a megadott $x$ értékre a követelményünk nem teljesül, mert a kifejezés egyenlőnek bizonyult nullával, és szigorúan nagyobbnak kell lennie nullánál. Szomorú. :(

De ez rendben van! Hiszen van még egy lehetőség $3x-5 \lt 0$. Sőt: van még $3x-5=0$ eset is - ezt is figyelembe kell venni, különben hiányos lesz a megoldás. Tehát fontolja meg a $3x-5 \lt 0$ esetet:

Nyilvánvaló, hogy a modul mínuszjellel fog megnyílni. Ekkor azonban furcsa helyzet adódik: az eredeti egyenletben mind a bal, mind a jobb oldalon ugyanaz a kifejezés fog kilógni:

Kíváncsi vagyok, hogy a $5-3x$ kifejezés hány $x$-nál lesz egyenlő a $5-3x$ kifejezéssel? Még a Nyilvánvaló Kapitánynak is megfulladna a nyála az ilyen egyenletektől, de tudjuk: ez az egyenlet egy azonosság, i.e. a változó bármely értékére igaz!

Ez azt jelenti, hogy bármelyik $x$ megfelel nekünk. Van azonban egy korlátozásunk:

Más szóval, a válasz nem egyetlen szám lesz, hanem egy teljes intervallum:

Végül még egy esetet kell figyelembe venni: $3x-5=0$. Itt minden egyszerű: a modulus alatt nulla lesz, és a nulla modulusa is egyenlő nullával (ez közvetlenül következik a definícióból):

De akkor az eredeti egyenlet $\left| A 3x-5 \right|=5-3x$ a következőképpen lesz átírva:

Ezt a gyökeret már fentebb megkaptuk, amikor figyelembe vettük a $3x-5 \gt 0$ esetét. Sőt, ez a gyökér a $3x-5=0$ egyenlet megoldása - ez az a megszorítás, amelyet mi magunk vezettünk be a modul visszaállításához. :)

Így az intervallumon kívül megelégszünk az intervallum legvégén fekvő számmal is:

Gyökök kombinálása modulo egyenletekben

Teljes végső válasz: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Nem túl gyakori, hogy ekkora baromságot látni egy meglehetősen egyszerű (lényegében lineáris) modulusos egyenletre adott válaszban, Nos, szokja meg: a modul nehézsége az, hogy az ilyen egyenletekben a válaszok teljesen megjósolhatatlanok lehetnek.

Valami más sokkal fontosabb: most elemeztünk egy univerzális algoritmust egy modulusos egyenlet megoldására! És ez az algoritmus a következő lépésekből áll:

Egyenlítse az egyenlet minden modulját nullával. Több egyenletet kapunk;
Oldja meg ezeket az egyenleteket, és jelölje meg a gyököket a számegyenesen. Ennek eredményeként az egyenes több intervallumra lesz felosztva, amelyek mindegyikében az összes modul egyedileg megjelenik;
Oldja meg az eredeti egyenletet minden intervallumhoz, és kombinálja a válaszait.

Ez minden! Már csak egy kérdés maradt: mi a teendő az 1. lépésben kapott gyökerekkel? Tegyük fel, hogy két gyökünk van: $x=1$ és $x=5$. A számsort 3 részre osztják:

A számegyenes intervallumokra bontása pontok segítségével

Tehát mik az intervallumok? Nyilvánvaló, hogy három van belőlük:

A bal szélső: $x \lt 1$ — maga az egység nincs benne az intervallumban;
Központi: $1\le x \lt 5$ - itt egy benne van az intervallumban, de öt nincs benne;
Legjobb: $x\ge 5$ - itt csak az öt szerepel!

Szerintem már érted a mintát. Minden intervallum tartalmazza a bal végét, és nem tartalmazza a jobb oldalt.

Első pillantásra egy ilyen bejegyzés kényelmetlennek, logikátlannak és általában valami őrültnek tűnhet. De higgyen nekem: egy kis gyakorlás után rá fog jönni, hogy ez a megközelítés a legmegbízhatóbb, és nem zavarja a modulok egyértelmű megnyitását. Jobb egy ilyen sémát használni, mint minden alkalommal gondolkodni: adja meg a bal/jobb végét az aktuális intervallumnak, vagy „dobja” a következőbe.

Ezzel a lecke véget is ér. Töltse le a feladatokat önálló megoldásra, gyakoroljon, hasonlítsa össze a válaszokkal - és találkozunk a következő leckében, amely a modulusokkal való egyenlőtlenségeknek lesz szentelve. :)

Először definiáljuk a kifejezés jelét a modul jele alatt, majd kibontjuk a modult:

ha a kifejezés értéke nagyobb nullánál, akkor egyszerűen eltávolítjuk a modulus jel alól,
ha a kifejezés kisebb, mint nulla, akkor eltávolítjuk a modulusjel alól, megváltoztatva az előjelet, ahogy korábban a példákban tettük.

Nos, megpróbáljuk? Értékeljük:

(Elfelejtett, ismételje meg.)

Ha igen, milyen jele van? Hát persze!

Ezért kibővítjük a modul jelét a kifejezés előjelének megváltoztatásával:

Megvan? Akkor próbáld ki magad:

Válaszok:

Milyen egyéb tulajdonságokkal rendelkezik a modul?

Ha a modulusjelen belüli számokat kell szoroznunk, akkor ezeknek a számoknak a modulusait könnyen meg tudjuk szorozni!!!

Matematikai értelemben, A számok szorzatának modulusa egyenlő e számok modulusainak szorzatával.

Például:

Mi van, ha két számot (kifejezést) kell elosztanunk a modulusjel alatt?

Igen, ugyanaz, mint a szorzásnál! Bontsuk két külön számra (kifejezésre) a modulus jele alatt:

feltéve, hogy (mivel nem lehet nullával osztani).

Érdemes megjegyezni a modul még egy tulajdonságát:

A számok összegének modulusa mindig kisebb vagy egyenlő ezen számok modulusainak összegével:

Miert van az? Minden nagyon egyszerű!

Mint emlékszünk, a modulus mindig pozitív. De a modulus jel alatt tetszőleges szám lehet: pozitív és negatív is. Tegyük fel, hogy a és a számok egyaránt pozitívak. Ekkor a bal oldali kifejezés egyenlő lesz a jobb oldali kifejezéssel.

Nézzünk egy példát:

Ha a modulusjel alatt az egyik szám negatív, a másik pozitív, a bal oldali kifejezés mindig kisebb lesz, mint a jobb:

Ezzel a tulajdonsággal minden egyértelműnek tűnik, nézzük meg a modul további hasznos tulajdonságait.

Mi van, ha ezt a kifejezést használjuk:

Mit tehetünk ezzel a kifejezéssel? Az x értéke ismeretlen számunkra, de már tudjuk, hogy mit, ami azt jelenti.

A szám nagyobb, mint nulla, ami azt jelenti, hogy egyszerűen beírhatja:

Elérkeztünk tehát egy másik tulajdonsághoz, amely általában a következőképpen ábrázolható:

Mit jelent ez a kifejezés:

Tehát meg kell határoznunk az előjelet a modulus alatt. Szükséges itt jelet meghatározni?

Természetesen nem, ha emlékszel arra, hogy bármely négyzetes szám mindig nagyobb nullánál! Ha nem emlékszel, nézd meg a topicot. Szóval mi történik? Íme:

Remek, igaz? Elég kényelmes. És most egy konkrét példa a megerősítésre:

Nos, miért a kétségek? Cselekedjünk bátran!

Mindent kitaláltál? Akkor menj és gyakorolj példákkal!

1. Keresse meg az if kifejezés értékét.

2. Mely számok modulusa azonos?

3. Keresse meg a kifejezések jelentését:

Ha még nem minden világos, és nehézségek vannak a megoldásokban, akkor találjuk ki:

1. megoldás:

Tehát helyettesítsük az értékeket és a kifejezést

2. megoldás:

Mint emlékszünk, az ellentétes számok modulusa egyenlő. Ez azt jelenti, hogy a modulus értéke két számmal egyenlő: és.

3. megoldás:

A)
b)
V)
G)

mindent elkaptál? Akkor ideje áttérni valami összetettebbre!

Próbáljuk meg leegyszerűsíteni a kifejezést

Megoldás:

Emlékezzünk tehát arra, hogy a modulus értéke nem lehet kisebb nullánál. Ha a modulusjel pozitív számmal rendelkezik, akkor egyszerűen elvethetjük az előjelet: a szám modulusa egyenlő lesz ezzel a számmal.

De ha negatív szám van a modulusjel alatt, akkor a modulus értéke megegyezik az ellenkező számmal (vagyis a „-” jellel vett számmal).

Bármely kifejezés modulusának megtalálásához először meg kell találnia, hogy pozitív vagy negatív értéket vesz fel.

Kiderül, hogy a modul alatti első kifejezés értéke.

Ezért a modulusjel alatti kifejezés negatív. A modulusjel alatti második kifejezés mindig pozitív, mivel két pozitív számot adunk össze.

Tehát a modulusjel alatti első kifejezés értéke negatív, a második pozitív:

Ez azt jelenti, hogy az első kifejezés modulusjelének bővítésekor ezt a kifejezést a „-” jellel kell venni. Mint ez:

A második esetben egyszerűen eldobjuk a modulusjelet:

Egyszerűsítsük le ezt a kifejezést teljes egészében:

A számmodul és tulajdonságai (szigorú definíciók és bizonyítások)

Meghatározás:

Egy szám modulusa (abszolút értéke) maga a szám, ha, és a szám, ha:

Például:

Példa:

Egyszerűsítse a kifejezést.

Megoldás:

A modul alapvető tulajdonságai

Mindenkinek:

Példa:

5. számú tulajdonság bizonyítása.

Bizonyíték:

Tegyük fel, hogy vannak ilyenek

Négyzetre emeljük az egyenlőtlenség bal és jobb oldalát (ez megtehető, mivel az egyenlőtlenség mindkét oldala mindig nem negatív):

és ez ellentmond a modul definíciójának.

Következésképpen ilyen emberek nem léteznek, ami azt jelenti, hogy az egyenlőtlenség mindenkire érvényes

Példák független megoldásokra:

1) Bizonyítsd be a 6. számú tulajdonságot.

2) Egyszerűsítse a kifejezést.

Válaszok:

1) Használjuk a 3. számú tulajdonságot: , és mivel, akkor

Az egyszerűsítés érdekében ki kell bővítenie a modulokat. A modulok bővítéséhez pedig meg kell találnia, hogy a modul alatti kifejezések pozitívak vagy negatívak?

a. Hasonlítsuk össze a számokat és:

b. Most pedig hasonlítsuk össze:

Összeadjuk a modulok értékeit:

Egy szám abszolút értéke. Röviden a lényegről.

Egy szám modulusa (abszolút értéke) maga a szám, ha, és a szám, ha:

Modul tulajdonságai:

Egy szám modulusa nemnegatív szám: ;
Az ellentétes számú modulok egyenlőek: ;
Két (vagy több) szám szorzatának modulusa egyenlő modulusaik szorzatával: ;
Két szám hányadosának modulusa egyenlő modulusuk hányadosával: ;
A számok összegének modulusa mindig kisebb vagy egyenlő ezen számok modulusainak összegével: ;
A modulus előjelből egy állandó pozitív szorzót lehet kivenni: at;

A számmodul egy új fogalom a matematikában. Nézzük meg közelebbről, mi is az a számmodul, és hogyan kell vele dolgozni?

Nézzünk egy példát:

Kimentünk a házból a boltba. 300 m-t gyalogoltunk, matematikailag ez a kifejezés +300-nak írható, a „+” jelből származó 300-as szám jelentése nem változik. Egy szám távolsága vagy modulusa a matematikában ugyanaz, és így írható fel: |300|=300. Egy szám modulusjelét két függőleges vonal jelzi.

Aztán 200 métert gyalogoltunk az ellenkező irányba. Matematikailag a visszatérési utat -200-nak írhatjuk. De nem azt mondjuk, hogy „mínusz kétszáz métert mentünk”, bár visszatértünk, mert a távolság mint mennyiség pozitív marad. Ennek érdekében a matematikában bevezették a modul fogalmát. A -200 szám távolságát vagy modulusát így írhatjuk fel: |-200|=200.

Modul tulajdonságai.

Meghatározás:
Egy szám modulusa vagy egy szám abszolút értéke a kiindulási pont és a célpont távolsága.

A nullával nem egyenlő egész szám modulusa mindig pozitív szám.

A modul így van megírva:

1. Egy pozitív szám modulusa megegyezik magával a számmal.
| a|=a

2. Egy negatív szám modulusa egyenlő az ellenkező számmal.
|- a|=a

3. A nulla modul egyenlő nullával.
|0|=0

4. Az ellentétes számú modulok egyenlőek.
| a|=|-a|=a

Kapcsolódó kérdések:
Mi egy szám modulusa?
Válasz: A modulus a kiindulási pont és a célpont távolsága.

Ha egy „+” jelet tesz egy egész szám elé, mi történik?
Válasz: a szám nem változtatja meg a jelentését, például 4=+4.

Ha egy „-” jelet tesz egy egész szám elé, mi történik?
Válasz: a szám például 4-re és -4-re változik.

Mely számok modulusa azonos?
Válasz: a pozitív számok és a nulla modulusa azonos lesz. Például 15=|15|.

Mely számok modulusa ellentétes?
Válasz: negatív számok esetén a modulus egyenlő lesz az ellenkező számmal. Például |-6|=6.

1. példa:
Keresse meg a számok modulusát: a) 0 b) 5 c) -7?

Megoldás:
a) |0|=0
b) |5|=5
c)|-7|=7

2. példa:
Van két különböző szám, amelyek moduljai egyenlőek?

Megoldás:
|10|=10
|-10|=10

Az ellentétes számok modulusai egyenlőek.

3. példa:
Melyik két ellentétes szám modulusa 9?

Megoldás:
|9|=9
|-9|=9

Válasz: 9 és -9.

4. példa:
Kövesse az alábbi lépéseket: a) |+5|+|-3| b) |-3|+|-8| c)|+4|-|+1|

Megoldás:
a) |+5|+|-3|=5+3=8
b) |-3|+|-8|=3+8=11
c)|+4|-|+1|=4-1=3

5. példa:
Keresse meg: a) a 2-es modulusát b) a 6-os modulusát c) a 8-as modulusát d) az 1-es modulusát e) a 0-s modulusát.
Megoldás:

a) a 2-es szám modulusát |2|-ként jelöljük vagy |+2| Ez ugyanaz.
|2|=2

b) a 6-os szám modulusát |6|-ként jelöljük vagy |+6| Ez ugyanaz.
|6|=6

c) a 8-as szám modulusát |8|-ként jelöljük vagy |+8| Ez ugyanaz.
|8|=8

d) az 1-es szám modulusát |1|-ként jelöljük vagy |+1| Ez ugyanaz.
|1|=1

e) a 0 szám modulusát |0|, |+0|-ként jelöljük vagy |-0| Ez ugyanaz.
|0|=0