A labda meghatározása. Matematika

A labda egy olyan test, amely a tér összes olyan pontjából áll, amelyek egy adott ponttól nem nagyobb távolságra helyezkednek el, mint egy adott. Ezt a pontot a labda középpontjának, ezt a távolságot pedig a labda sugarának nevezzük. A labda határát gömbfelületnek vagy gömbnek nevezzük. A gömb pontjai a labda minden olyan pontja, amely a sugárral egyenlő távolságra távolodik el a középponttól. Minden olyan szakaszt, amely a golyó középpontját a gömbfelület egy pontjával köti össze, sugárnak is nevezzük. A golyó középpontján áthaladó és a gömbfelület két pontot összekötő szakaszát átmérőnek nevezzük. Bármilyen átmérőjű végeit a golyó átmérőjűen ellentétes pontjainak nevezzük.

A labda egy forgástest, akárcsak a kúp és a henger. Egy golyót úgy kapunk, hogy egy félkört forgatunk az átmérője, mint tengely körül.

A labda felülete a következő képletekkel határozható meg:

ahol r a golyó sugara, d a golyó átmérője.

A labda térfogatát a következő képlet határozza meg:

V = 4/3 πr 3,

ahol r a golyó sugara.

Tétel. A labda minden szakasza egy sík mentén kör. Ennek a körnek a középpontja a golyó középpontjából a vágási síkra húzott merőleges alapja.

E tétel alapján, ha egy O középpontú és R sugarú golyót az α sík metsz, akkor a keresztmetszet egy r sugarú kört eredményez, amelynek középpontja K. Megtalálható a golyó síkmetszetének sugara képlet szerint

A képletből jól látható, hogy a középponttól egyenlő távolságra lévő síkok egyenlő körökben metszik a labdát. Minél nagyobb a metszet sugara, minél közelebb van a vágási sík a labda középpontjához, vagyis annál kisebb az OK távolság. A legnagyobb sugárnak a labda középpontján átmenő sík metszete van. Ennek a körnek a sugara megegyezik a labda sugarával.

A labda közepén áthaladó síkot középsíknak nevezzük. A golyó átmérős sík szerinti metszetét nagykörnek, a gömb metszetét nagykörnek, a gömb metszetét pedig nagykörnek nevezzük.

Tétel. A golyó bármely átmérős síkja a szimmetriasíkja. A labda középpontja a szimmetriaközéppontja.

A gömbfelület A pontján átmenő és az A pontra húzott sugárra merőleges síkot érintősíknak nevezzük. Az A pontot érintőpontnak nevezzük.

Tétel. Az érintősíknak csak egy közös pontja van a labdával - az érintkezési pont.

Érintőnek nevezzük azt az egyenest, amely a gömbfelület A pontján áthalad az erre a pontra húzott sugárra merőlegesen.

Tétel. A gömbfelület bármely pontján végtelen számú érintő halad át, és mindegyik a golyó érintősíkjában fekszik.

A gömb alakú szakasz a golyónak az a része, amelyet egy sík levág róla. Az ABC kör a gömbszakasz alapja. Az ABC kör N középpontjától a gömbfelülettel való metszéspontig húzott merőleges MN szakasz a gömbszakasz magassága. Az M pont a gömbszakasz csúcsa.

Egy gömb alakú szegmens felülete a következő képlettel számítható ki:

A gömb alakú szegmens térfogata a következő képlettel határozható meg:

V = πh 2 (R – 1/3h),

ahol R a nagykör sugara, h a gömbszakasz magassága.

Egy gömb alakú szegmensből és egy kúpból gömb alakú szektort kapunk a következőképpen. Ha egy gömbszakasz kisebb, mint egy félgömb, akkor a gömbszelvényt egy kúp egészíti ki, amelynek csúcsa a golyó közepén van, az alap pedig a szakasz alapja. Ha a szegmens nagyobb, mint egy félgömb, akkor a megadott kúpot eltávolítják róla.

A gömbalakú szektor egy gömb alakú szegmens (ábránkon ez AMCB) és egy kúpos felület (ábránkon ez az OABC) ívelt felülete által határolt golyó azon része, amelynek alapja a gömbszelvény alapja. szakasz (ABC), a csúcs pedig az O golyó középpontja.

A gömbszektor térfogatát a következő képlet határozza meg:

V = 2/3 πR 2 H.

A gömbréteg a gömbfelületet metsző két párhuzamos sík (az ábrán az ABC és DEF sík) közé zárt része. A gömb alakú réteg ívelt felületét gömbövnek (zónának) nevezzük. Az ABC és DEF körök a gömböv alapjai. A gömböv alapjai közötti NK távolság a magassága.

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

A golyó és a gömb mindenekelőtt geometriai alakzatok, és ha a golyó geometriai test, akkor a gömb a golyó felülete. Ezek a számok érdekesek voltak Kr.e. sok ezer évvel ezelőtt.

Ezt követően, amikor felfedezték, hogy a Föld egy golyó, az ég pedig egy égi gömb, a geometriában egy új, lenyűgöző irányt fejlesztettek ki - a gömb geometriáját vagy a gömbgeometriát. Ahhoz, hogy a labda méretéről és térfogatáról beszélhessen, először meg kell határoznia azt.

Labda

Az R sugarú golyó, amelynek középpontja a geometriában az O pontban van, olyan test, amelyet a tér összes olyan pontja hoz létre, amelyeknek közös tulajdonsága van. Ezek a pontok olyan távolságban helyezkednek el, amely nem haladja meg a labda sugarát, vagyis a teljes teret kisebb mértékben töltik ki, mint a labda sugara a középpontjától minden irányban. Ha csak azokat a pontokat vesszük figyelembe, amelyek egyenlő távolságra vannak a labda középpontjától, akkor a felületét vagy a labda héját vesszük figyelembe.

Hogyan szerezhetem meg a labdát? Kivághatunk egy kört a papírból, és elkezdhetjük forgatni a saját átmérője körül. Vagyis a kör átmérője lesz a forgástengely. A megformált figura labda lesz. Ezért a labdát forradalomtestnek is nevezik. Mert egy lapos figura – kör – elforgatásával alakítható ki.

Vegyünk egy gépet, és vágjuk el vele a labdánkat. Mint ahogy a narancsot késsel vágjuk. Azt a darabot, amelyet levágunk a labdáról, gömbszelvénynek nevezzük.

Az ókori Görögországban tudták, hogyan kell nemcsak labdával és gömbbel dolgozni geometriai alakzatként, például felhasználni őket az építőiparban, hanem tudták, hogyan kell kiszámítani a labda felületét és a labda térfogatát.

A gömb a golyó felületének másik neve. A gömb nem test, hanem egy forradalmi test felülete. Mivel azonban a Földnek és sok testnek is gömb alakú, például vízcseppje van, a gömbön belüli geometriai összefüggések vizsgálata széles körben elterjedt.

Például, ha egy gömb két pontját összekötjük egymással egy egyenessel, akkor ezt az egyenest húrnak nevezzük, és ha ez a húr átmegy a gömb középpontján, amely egybeesik a golyó középpontjával, akkor a húrt a gömb átmérőjének nevezzük.

Ha olyan egyenest húzunk, amely csak egy pontban érinti a gömböt, akkor ezt az egyenest érintőnek nevezzük. Ezen túlmenően a gömb ezen érintője ezen a ponton merőleges lesz a gömb érintkezési pontra húzott sugarára.

Ha a húrt a gömbből az egyik vagy a másik irányban egy egyenesre kiterjesztjük, akkor ezt az akkordot szekánsnak nevezzük. Vagy mondhatjuk másként is – a gömbhöz vezető szekáns tartalmazza az akkordját.

Ball hangerő

A golyó térfogatának kiszámítására szolgáló képlet a következő:

ahol R a labda sugara.

Ha meg kell találnia egy gömb alakú szegmens térfogatát, használja a következő képletet:

V seg =πh 2 (R-h/3), h a gömbszakasz magassága.

Egy golyó vagy gömb felülete

Egy gömb vagy egy golyó felületének kiszámításához (ezek ugyanazok):

ahol R a gömb sugara.

Arkhimédész nagyon szerette a labdát és a gömböt, még azt is kérte, hogy hagyjanak a sírjára egy rajzot, amelybe egy golyót hengerbe írtak. Arkhimédész úgy gondolta, hogy a golyó térfogata és felülete megegyezik a golyót tartalmazó henger térfogatának és felületének kétharmadával.

Labda (gömb)

Gömb alakú felület. Labda (gömb). Labdaszakaszok: körökben.

Archimedes tétele. A labda részei: gömb alakú szegmens,

gömbréteg, gömböv, gömbszektor.

Gömb alakú felület - Ezt pontok helye(azok. sokaz összes pont száma)térben, egy ponttól egyenlő távolságra O , amelyet a gömbfelület középpontjának nevezünk (90. ábra). Sugár AOi átmérő AB ugyanúgy határozzuk meg, mint egy körben.

Labda (gömb) - Ezt gömbfelület által határolt test. Tud szerezd meg a labdát a félkör elforgatásával ( vagy körbe ) az átmérő körül. A labda minden sík szakasza körökben ( 90. ábra ). A legnagyobb kör a labda közepén áthaladó szakaszon fekszik, és ún nagy kör. A sugara megegyezik a labda sugarával. Bármely két nagy kör metszi egymást a labda átmérője mentén ( AB, 91. ábra ).Ez az átmérő egyben az egymást metsző nagykörök átmérője is. Egy gömbfelület két azonos átmérőjű végein elhelyezkedő pontján keresztül(A és B, 91. ábra ), számtalan nagy kört rajzolhat. Például végtelen számú meridián húzható át a Föld pólusain.

A gömb térfogata másfélszer kisebb, mint a körülötte körülírt henger térfogata. (92. ábra ), A a labda felülete másfélszer kisebb, mint ugyanazon henger teljes felülete ( Archimedes tétele):

Itt S labda És V labda - a labda felülete és térfogata;

S cyl És V cyl - a körülírt henger teljes felülete és térfogata.

A labda részei. egy golyó (gömb) része ), valami sík levágja róla ( ABC, 93. ábra), hívott labda(gömbölyű ) szegmens. ABC kör hívott alapján labdaszegmens. Vonalszakasz MN a középpontból húzott merőleges N kör ABC amíg nem metszi egy gömbfelületet, ún magasság labdaszegmens. Pont M hívott tetejére labdaszegmens.

Két párhuzamos sík közé zárt gömb része gömbfelületet metsző ABC és DEF (93. ábra), hívott gömb alakú réteg; gömb alakú réteg ívelt felületét ún golyós öv(zóna). Körök ABC és DEF – okokból golyós öv. Távolság N.K. a gömböv alapjai között - annak magasság. A golyónak egy gömb alakú szakasz ívelt felülete által határolt része ( AMCB, 93. ábra) és kúpos felület OABC , melynek alapja a szegmens alapja ( ABC ), a csúcs pedig a labda közepe O , hívott gömbi szektor.

Amikor az embereket megkérdezik, mi a különbség a gömb és a labda között, sokan egyszerűen megvonják a vállukat, és azt gondolják, hogy valójában ugyanaz a dolog (hasonlat a körrel és a körrel). Valóban, mindannyian jól ismerjük a geometriát az iskolai tantervből, és azonnal válaszolunk erre a kérdésre? A gömbnek van néhány különbsége a labdához képest, amit nemcsak az iskolásoknak kell tudniuk ahhoz, hogy bizonyított tudásukért jó osztályzatot kapjanak, hanem sok más embernek is, például, akinek munkája közvetlenül kapcsolódik a rajzokhoz.

Meghatározás

Labda– a tér összes pontjának halmaza. Mindezek a pontok a geometriai test középpontjától olyan távolságra helyezkednek el, amely nem nagyobb, mint egy adott. Ezt a távolságot magát sugárnak nevezzük. A golyó, mint geometriai test a következőképpen alakul ki: az átmérője közelében egy félkör forog. Ami a gömböt illeti, ez a labda felülete (például egy zárt labda tartalmazza, a nyitott nem). A labda területének vagy térfogatának kiszámítása egész geometriai képleteket foglal magában, amelyek nagyon összetettek, annak ellenére, hogy a geometriai alakzat látszólagos egyszerűsége.

Gömb, mint fentebb megjegyeztük, a labda felülete, héja. A tér minden pontja egyenlő távolságra van a gömb középpontjától. Ami a geometriai test sugarát illeti, azt tetszőleges szakasznak nevezzük, amelynek egyik pontja közvetlenül a gömb középpontja, a másik pedig a felület bármely pontján elhelyezhető. Azt mondhatjuk, hogy a gömb egy golyó héja, tartalom nélkül (a továbbiakban konkrét példákat mutatunk be). Csakúgy, mint a golyó, a gömb is egy forgástest. Sokan egyébként arra is kíváncsiak, hogy mi a különbség a kör és a kör között a gömbtől és a golyótól. Itt minden egyszerű: az első esetben ezek a figurák egy síkon, a másodikban - a térben.

Összehasonlítás

Azt már mondták, hogy a gömb a golyó felülete, ami már lehetővé teszi, hogy a különbség egyetlen jelentős jeléről beszéljünk. A két geometriai test közötti különbség néhány más szempontból is megfigyelhető:

• A labda minden pontja azonos távolságra van a középponttól, míg a testet a felület (egy belül üres gömb) határolja. Más szóval, a gömb üreges. Általában a könnyebb érthetőség kedvéért egy egyszerű példát adunk egy léggömbre és egy biliárdlabdára. Mindkét tárgyat golyónak nevezzük, de az első esetben egy gömbről van szó, a másodiknál ​​pedig egy teljes értékű labdáról, amelynek saját tartalma van benne.
• A gömbnek van saját területe, de nincs térfogata. A gömb ennek az ellenkezője: a térfogata kiszámítható, miközben nincs területe. Egyesek azt mondhatják, hogy ez a különbség fő jele, de ez csak akkor jelenik meg, ha valamilyen számításra (összetett geometriai képletekre) van szükség. Ezért a fő különbség az, hogy a gömb üreges, a labda pedig egy test, amelynek tartalma benne van.
• Egy másik különbség a sugárban rejlik. Például egy gömb sugara nem csak a pontok távolsága a középponttól. A sugár bármely olyan szakasz lehet, amely a gömb egy pontját a középpontjával összeköti. Mindezek a szegmensek egyenlőek egymással. Ami a labdát illeti, a benne lévő pontok egy sugárnál kisebb távolságra vannak a középponttól (pontosan az azt határoló gömb miatt).

Következtetések honlapja

1. A gömb üreges, míg a labda egy belül töltött test. Például a hőlégballon egy gömb, a biliárdlabda egy teljes értékű labda.
2. A gömbnek van területe és nincs térfogata, de a gömbnek az ellenkezője van.
3. A harmadik különbség két geometriai test sugarának mérése.

Meghatározás.

A gömb háromdimenziós alakzatként írható le, amely úgy jön létre, hogy egy kört az átmérője körül 180°-kal, vagy egy félkört az átmérője körül 360°-kal elforgatunk.

Meghatározás.

A labdát úgy írhatjuk le, mint egy háromdimenziós figurát, amely úgy jön létre, hogy egy kört az átmérője körül 180°-kal, vagy egy félkört az átmérője körül 360°-kal elforgatunk.

Meghatározás. A gömb sugara (golyó)(R) a távolság a gömb (golyó) középpontjától O a gömb bármely pontjára (a labda felületére).

Meghatározás. Gömb (golyó) átmérője(D) egy szakasz, amely egy gömb (a golyó felületének) két pontját összeköti, és áthalad a középpontján.

Képlet. Gömb térfogata:

Képlet. Egy gömb felülete sugáron vagy átmérőn keresztül:

S = 4π R 2 = π D 2

Gömbegyenlet

1. A derékszögű koordináta-rendszer origójában lévő R sugarú és középpontú gömb egyenlete:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Egy R sugarú és középpontú gömb egyenlete a derékszögű koordinátarendszerben egy pontban, amelynek koordinátái (x 0, y 0, z 0):

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Meghatározás. Átmérőben ellentétes pontok egy golyó (gömb) felületén bármely két olyan pont, amelyeket átmérő köt össze.

A gömb és a golyó alapvető tulajdonságai

1. A gömb minden pontja egyenlő távolságra van a középponttól.

2. A gömb bármely síkmetszete kör.

3. A labda bármely síkbeli szakasza kör.

4. A gömb térfogata a legnagyobb az azonos felületű térbeli alakzatok közül.

5. Bármely két, egymással átlósan ellentétes ponton keresztül sok nagy kört rajzolhat egy gömbhöz, vagy kört egy labdához.

6. Bármely két ponton keresztül, kivéve az egymással átlósan ellentétes pontokat, csak egy nagy kört rajzolhat egy gömbhöz, vagy egy nagy kört egy labdához.

7. Egy golyó bármely két nagyköre metszi egymást a golyó középpontján áthaladó egyenes mentén, és a körök két, egymással átlósan ellentétes pontban metszik egymást.

8. Ha bármely két golyó középpontja közötti távolság kisebb, mint a sugaruk összege és nagyobb, mint a sugaruk különbségének modulusa, akkor az ilyen golyók metszik egymást, és a metszéssíkban kör keletkezik.

A gömb szöge, húrja, szekáns síkja és tulajdonságai

Meghatározás. Gömbszekáns egy egyenes, amely a gömböt két pontban metszi. A metszéspontokat ún piercing pontok felületek vagy belépési és kilépési pontok a felületen.

Meghatározás. Egy gömb (labda) akkordja- ez egy gömb (a golyó felülete) két pontját összekötő szakasz.

Meghatározás. Vágó sík az a sík, amely metszi a gömböt.

Meghatározás. Átmérős sík- ez egy gömb vagy golyó középpontján áthaladó metszősík, a szakasz ennek megfelelően alakul nagy körÉs nagy kör. A nagykörnek és a nagykörnek van egy középpontja, amely egybeesik a gömb (gömb) középpontjával.

A gömb (gömb) közepén áthaladó bármely húr átmérője.

Az akkord egy szekáns vonal szakasza.

A gömb középpontja és a szekáns közötti d távolság mindig kisebb, mint a gömb sugara:

d< R

A vágási sík és a gömb középpontja közötti m távolság mindig kisebb, mint az R sugár:

m< R

A vágási sík metszetének helye a gömbön mindig az lesz kis kör, a labdán pedig a szakasz lesz kis kör. A kis körnek és a kis körnek saját középpontja van, amelyek nem esnek egybe a gömb (golyó) középpontjával. Egy ilyen kör r sugarát a következő képlettel találjuk meg:

r = √R 2 - m 2,

Ahol R a gömb (golyó) sugara, m a golyó középpontja és a vágási sík távolsága.

Meghatározás. Félgömb (félteke)- ez egy gömb (golyó) fele, amely egy átmérős sík általi elvágáskor keletkezik.

Egy gömb érintője, érintősíkja és tulajdonságai

Meghatározás. Egy gömb érintője egy egyenes, amely csak egy pontban érinti a gömböt.

Meghatározás. Egy gömb érintősíkja olyan sík, amely csak egy pontban érinti a gömböt.

Az érintővonal (sík) mindig merőleges az érintkezési pontra húzott gömb sugarára

A gömb középpontja és az érintővonal (sík) távolsága megegyezik a gömb sugarával.

Meghatározás. Labdaszegmens- ez a labda azon része, amelyet egy vágósík levág a labdáról. A szegmens alapja a szakasz helyén kialakult kört nevezték el. Szegmens magasság h a szakasz alapjának közepétől a szakasz felületéig húzott merőleges hossza.

Képlet. Egy gömbszegmens külső felülete h magassággal az R gömb sugarán keresztül:

S = 2πRh