Egy termelési elem általános technológiai halmaza lehet. A gyártás leírása technológiai készlet segítségével

2. Gyártókészletek és gyártási funkciók

2.1. Gyártókészletek és tulajdonságaik

Tekintsük a gazdasági folyamatok legfontosabb résztvevőjét - egy egyedi gyártót. A gyártó céljait csak a fogyasztón keresztül valósítja meg, ezért ki kell találnia, meg kell értenie, mit akar, és kielégítenie kell az igényeit. Feltesszük, hogy n különböző áru van, az n-edik szorzat mennyiségét x n jelöli, majd egy bizonyos áruhalmazt X = (x 1, ..., x n) jelölünk. Csak a nem negatív árumennyiségeket fogjuk figyelembe venni, így x i  0 bármely i = 1, ..., n vagy X > 0 esetén. Az összes áruhalmaz halmazát a C áruk terének nevezzük. az áruk kosárként kezelhetők, amelyben ezek az áruk megfelelő mennyiségben vannak.

Működjön a gazdaság a javak C = (X = (x 1, x 2, …, x n): x 1, …, x n  0) terében. A szorzattér nem negatív n-dimenziós vektorokból áll. Tekintsünk most egy n dimenziójú T vektort, amelynek első m komponense nem pozitív: x 1, …, x m  0, az utolsó (n-m) komponens pedig nem negatív: x m +1, …, x n  0. X vektor = (x 1,…, x m ) hívjuk költségvektor, és Y vektor = (x m+1 , …, x n) – felszabadulási vektor. Nevezzük a T = (X,Y) vektort input-output vektor vagy technológia.

Jelentésében a technológia (X,Y) az erőforrások késztermékké való feldolgozásának módja: X mennyiségű erőforrást „keverve” Y mennyiségű terméket kapunk. Minden egyes gyártót egy bizonyos τ halmaz jellemez. technológiákról, ami az ún gyártási készlet. Egy tipikus árnyékolt készlet látható az ábrán. 2.1. Ez a gyártó az egyik terméket egy másik gyártásához használ fel.

Rizs. 2.1. Gyártókészlet

A gyártási készlet tükrözi a gyártó képességeinek szélességét: minél nagyobb, annál szélesebbek a képességei. A gyártási készletnek meg kell felelnie a következő feltételeknek:

zárt - ez azt jelenti, hogy ha a T bemeneti-kimeneti vektort a kívánt pontossággal közelítik a τ-ból származó vektorok, akkor T is τ-hoz tartozik (ha a T vektor minden pontja τ-ban van, akkor Tτ lásd az ábrát. 2,1 pont C és B) ;

in τ(-τ) = (0), azaz ha Tτ, T ≠ 0, akkor -Tτ – a költségek és a kibocsátás nem cserélhetők fel, azaz a termelés visszafordíthatatlan folyamat (halmaz – τ a negyedik negyedben van , ahol y értéke 0);

a halmaz konvex, ez a feltevés a feldolgozott erőforrások megtérülésének csökkenéséhez vezet a termelési volumen növekedésével (a késztermékek kiadási arányának növekedéséhez). Tehát az ábra alapján. 2.1 világos, hogy y/x  csökken x  -. A konvexitás feltételezése különösen a munkatermelékenység csökkenéséhez vezet a kibocsátás növekedésével.

Gyakran a konvexitás egyszerűen nem elég, és akkor a termelési halmaz (vagy annak egy része) szigorú konvexitása szükséges.

2.2. Termelési lehetőségek görbe

és alternatív költségek

A vizsgált termelési halmaz fogalmát nagyfokú absztrakció jellemzi, és szélsőséges általánossága miatt kevéssé hasznos a közgazdaságtan számára.

Vegyük például a 2. ábrát. 2.1. Kezdjük a B és C pontokkal. Ezeknek a technológiáknak a költségei azonosak, de a kimenet eltérő. A gyártó, ha nem híján van a józan észnek, soha nem választja a B technológiát, mivel van jobb C technológia. Ebben az esetben (lásd 2.1. ábra) minden x  0 esetén megtaláljuk a legmagasabb pontot (x, y). ) a gyártókészletben. Nyilvánvaló, hogy x költség mellett a technológia (x, y) a legjobb. Nincs technológia (x, b) b termelési funkcióval. A termelési függvény pontos meghatározása:

Y = f(x)(x, y) τ, és ha (x, b)  τ és b  y, akkor b = x .

ábrából 2.1 világos, hogy bármely x  0 esetén egy ilyen y = f(x) pont egyedi, ami tulajdonképpen lehetővé teszi, hogy termelési függvényről beszéljünk. De ilyen egyszerű a helyzet, ha csak egy terméket gyártanak. Általános esetben az X költségvektorra az M x = (Y:(X,Y)τ) halmazt jelöljük. M x készlet – az összes lehetséges kimeneti költség halmaza X. Ebben a halmazban vegyük figyelembe a termelési lehetőségek „görbéjét” K x = (YM x: ha ZM x és Z  Y, akkor Z = X), azaz K x – ez a sok a legjobb kiadás, nincs jobb. Ha két árut állítanak elő, akkor ez egy görbe, de ha kettőnél több árut állítanak elő, akkor ez egy felület, egy test vagy egy még nagyobb dimenziójú halmaz.

Tehát bármely X költségvektor esetén az összes legjobb eredmény a termelési lehetőségek görbéjén (felületén) található. Ezért gazdasági okokból a gyártónak onnan kell kiválasztania a technológiát. Két y 1, y 2 áru kiadása esetén a kép az ábrán látható. 2.2.

Ha csak fizikai mutatókkal (tonna, méter, stb.) operálunk, akkor egy adott X költségvektorhoz csak a termelési lehetőségek görbéjén kell kiválasztanunk az Y output vektort, de hogy melyik konkrét kibocsátást válasszuk, azt még nem lehet eldönteni. Ha maga a τ termelési halmaz konvex, akkor M x is konvex bármely X költségvektorra. A következőkben az M x halmaz szigorú konvexitására lesz szükségünk. Két áru kibocsátása esetén ez azt jelenti, hogy a K x termelési lehetőségek görbe érintőjének csak egy közös pontja van ezzel a görbével.

Rizs. 2.2. Termelési lehetőség görbe

Tekintsük most az ún eseti kiadások. Tételezzük fel, hogy a kimenet az A(y 1 , y 2) pontban rögzített, lásd a 2. ábrát. 2.2. Most a 2. termék kibocsátását kell y 2-vel növelni, természetesen ugyanazzal a költségkészlettel. Ez megtehető, amint az az ábrán látható. 2.2, a technológia áthelyezése a B pontba, amelyhez a második termék kibocsátásának y 2-vel történő növelésével az első termék kibocsátását y 1-el kell csökkenteni.

Imputáltköltségeketaz első termék a másodikhoz képest a ponton A hívott
. Ha a termelési lehetőségek görbéjét az F(y 1 ,y 2) = 0 implicit egyenlet adja, akkor δ 1 2 (A) = (F/y 2)/(F/y 1), ahol a A parciális deriváltokat az A pontban vesszük. Ha alaposan megnézzük a kérdéses ábrát, akkor egy érdekes mintát találunk: a termelési lehetőségek görbéjén balról lefelé haladva az alternatív költségek nagyon nagy értékekről nagyon kicsikre csökkennek. .

2.3. Gyártási funkciók és tulajdonságaik

A termelési függvény egy olyan analitikus kapcsolat, amely a költségek (tényezők, erőforrások) változó értékeit összekapcsolja a kibocsátás mennyiségével. Történelmileg a termelési függvények felépítésével és használatával kapcsolatos első munkák egyike az Egyesült Államok mezőgazdasági termelésének elemzése volt. 1909-ben Mitscherlich egy nemlineáris termelési függvényt javasolt: műtrágyák - hozam. Ettől függetlenül Spillman egy exponenciális hozamegyenletet javasolt. Ezek alapján számos egyéb agrotechnikai termelési funkciót építettek ki.

A termelési funkciók egy bizonyos gazdasági egység termelési folyamatának modellezésére szolgálnak: egy külön vállalat, ipar vagy az állam egész gazdasága. A termelési függvények segítségével a következő problémákat oldjuk meg:

az erőforrások megtérülésének felmérése a termelési folyamatban;

gazdasági növekedés előrejelzése;

termelésfejlesztési terv lehetőségeinek kidolgozása;

egy üzleti egység működésének optimalizálása adott kritérium és erőforrás korlátok függvényében.

A termelési függvény általános formája: Y = Y(X 1, X 2, ..., X i, ..., X n), ahol Y a termelési eredményeket jellemző mutató; X – az i-edik termelési erőforrás faktormutatója; n – faktormutatók száma.

A termelési függvényeket a feltételezések két csoportja határozza meg: a matematikai és a gazdasági. Matematikailag a termelési függvény folyamatos és kétszeresen differenciálható. A gazdasági feltételezések a következők: legalább egy termelési erőforrás hiányában a termelés lehetetlen, azaz Y(0, X 2, ..., X i, ..., X n) =

Y(X 1 , 0, …, X i , …, X n) = …

Y(X 1, X 2, …, 0, …, X n) = …

Y(X 1, X 2, …, X i, …, 0) = 0.

Az egyetlen Y kibocsátást azonban adott X költségek mellett természetes mutatók segítségével nem lehet kielégítően meghatározni: választásunk csak a K x termelési lehetőségek „görbéjére” szűkült. Ezen okok miatt csak a termelők termelési funkcióinak elmélete került kidolgozásra, amelynek kibocsátása egyetlen értékkel jellemezhető - vagy a kibocsátás mennyiségével, ha egy terméket állítanak elő, vagy a teljes kibocsátás összértékével.

A költségtér m-dimenziós. Az X = (x 1, ..., x m) költségtér minden pontja egyetlen maximális teljesítménynek felel meg (lásd a 2.1. ábrát), amelyet ezen költségek felhasználásával állítanak elő. Ezt a kapcsolatot termelési függvénynek nevezzük. A termelési függvényt azonban általában kevésbé megszorítóan értelmezik, és a ráfordítások és a kimenetek közötti bármilyen funkcionális kapcsolat termelési függvénynek minősül. A következőkben feltételezzük, hogy a termelési függvény rendelkezik a szükséges származékokkal. Feltételezzük, hogy az f(X) termelési függvény két axiómát teljesít. Ezek közül az első kimondja, hogy a költségterületnek van egy ún gazdasági terület E, amelyben bármely típusú bemenet növekedése nem vezet a kibocsátás csökkenéséhez. Így, ha X 1, X 2 ennek a tartománynak a két pontja, akkor X 1  X 2 azt jelenti, hogy f(X 1)  f(X 2). Differenciális formában ez abban fejeződik ki, hogy ebben a tartományban a függvény összes első parciális deriváltja nem negatív: f/x 1 ≥ 0 (bármely növekvő függvény esetén a derivált nagyobb, mint nulla). Ezeket a származékokat ún marginális termékek, és a f/X = (f/x 1 , …, f/x m) vektor – határtermékek vektora (megmutatja, hogy a termelés hányszorosára változik a költségek változása esetén).

A második axióma szerint a gazdasági tartománynak van egy S konvex részhalmaza, amelyre az (XS:f(X)  a) részhalmazok konvexek minden a  0 esetén. Ebben az S részhalmazban a Hess-mátrix a Az f(X) függvény második deriváltja negatív határozott, ezért  2 f/x 2 i

Foglalkozzunk ezen axiómák közgazdasági tartalmával. Az első axióma kimondja, hogy a termelési függvény nem valami teljesen absztrakt függvény, amelyet egy matematikai teoretikus talált ki. Ez, ha nem is a teljes definíciós tartományban, hanem csak részben, egy gazdaságilag fontos, vitathatatlan és egyben triviális állítást tükröz: VEgy ésszerű gazdaságban a költségek növekedése nem vezethet a kibocsátás csökkenéséhez. A második axiómából csak annak a követelménynek a közgazdasági értelmét magyarázzuk meg, hogy a  2 f/x 2 i derivált minden költségtípus esetén nullánál kisebb legyen. Ezt a tulajdonságot közgazdaságtannak nevezik mögöttA csökkenő hozam vagy a csökkenő hozam törvénye: a költségek növekedésével, egy bizonyos pillanattól kezdve (az S régióba való belépéskor!), kba határtermék csökkenni kezd. Ennek a törvénynek a klasszikus példája az, hogy egy meghatározott földterületen egyre több munkaerőt adnak a gabonatermeléshez. A következőkben feltételezzük, hogy a termelési függvényt egy olyan S régión tekintjük, amelyben mindkét axióma érvényes.

Létrehozhat termelési függvényt egy adott vállalkozáshoz anélkül, hogy bármit is tudna róla. Csak egy számlálót kell elhelyezni (akár egy személyt, akár valamilyen automata eszközt) a vállalkozás kapujában, amely rögzíti X - importált erőforrásokat és Y - a vállalkozás által előállított termék mennyiségét. Ha elegendő mennyiségű ilyen statikus információt halmoz fel, és figyelembe veszi a vállalat működését különböző módokban, akkor előre jelezheti a kibocsátást, csak az importált erőforrások mennyiségének ismeretében, és ez a termelési funkció ismerete.

2.4. Cobb-Douglas gyártási funkció

Tekintsük az egyik leggyakoribb termelési függvényt, a Cobb-Douglas függvényt: Y = AK  L , ahol A, ,  > 0 állandók,  + 

Y/K = AαK α -1 L β > 0, Y/L = AβK α L β -1 > 0.

Második parciális deriváltok, azaz csökkenő határtermékek negativitása: Y 2 /K 2 = Aα(α–1)K α -2 L β 0.

Térjünk át a Cobb-Douglas termelési függvény fő gazdasági és matematikai jellemzőire. Átlagos munkatermelékenység y = Y/L – az előállított termék mennyiségének a ráfordított munkaerő mennyiségéhez viszonyított aránya; átlagos tőketermelékenység k = I/K – az előállított termék mennyiségének és a pénzeszközök értékének aránya.

A Cobb-Douglas függvény esetében az átlagos munkatermelékenység y = AK  L  , a  feltétel miatt pedig a munkaerőköltségek növekedésével az átlagos munkatermelékenység csökken. Ez a következtetés természetes magyarázatra ad lehetőséget - mivel a második K tényező értéke változatlan marad, ez azt jelenti, hogy az újonnan bevonzott munkaerő nem kap további termelési eszközöket, ami a munkatermelékenység csökkenéséhez vezet (ez igaz a a legáltalánosabb eset - a termelési készletek szintjén).

Munka határtermelékenysége Y/L = AβK α L β -1 > 0, ami azt mutatja, hogy a Cobb-Douglas függvény esetében a határmunkatermelékenység arányos az átlagos termelékenységgel, és kisebb annál. Az átlagos és a határtőke-termelékenységet hasonlóan határozzák meg. Rájuk is érvényes a feltüntetett arány - a határtőke-termelékenység arányos az átlagos tőketermelékenységgel, és kisebb annál.

Fontos jellemzője, hogy pl tőke-munka arány f = K/L, az egy alkalmazottra jutó pénzeszközök mennyiségét mutatja (munkaegységenként).

Határozzuk meg most a termelés munkaerő-rugalmasságát:

(Y/L):(Y/L) = (Y/L)L/Y = AβK α L β -1 L/(AK α L β) = β.

Tehát a jelentés világos paraméter - Ezt a munkaerőnkénti kibocsátás rugalmassága (a határmunkatermelékenység és az átlagos munkatermelékenység aránya).. A termelés munkaerő-rugalmassága azt jelenti, hogy a kibocsátás 1%-os növeléséhez %-kal kell növelni a munkaerő-erőforrás mennyiségét. Hasonló jelentése van paraméter – a termelés rugalmassága az alapok között.

És még egy jelentés érdekesnek tűnik. Legyen  +  = 1. Könnyen ellenőrizhető, hogy Y = (Y/K)/K + (Y/L)L (az előzőleg kiszámított Y/K, Y/L helyett ez a képlet). Tegyük fel, hogy a társadalom csak munkásokból és vállalkozókból áll. Ezután az Y bevétel két részre oszlik - a munkavállalók és a vállalkozók jövedelmére. Mivel a cég optimális méreténél a Y/L érték - a munka határterméke - egybeesik a bérekkel (ez bizonyítható), akkor (Y/L)L a munkások jövedelmét jelenti. Hasonlóan, az Y/K érték a tőke határhozama, melynek közgazdasági jelentése a profitráta, ezért (Y/K)K a vállalkozók jövedelmét jelenti.

A Cobb-Douglas funkció a leghíresebb az összes gyártási funkció közül. A gyakorlatban a megalkotásakor néha eltekintenek bizonyos követelményektől (például az  +  összeg nagyobb lehet 1-nél stb.).

1. példa Legyen a termelési függvény a Cobb-Douglas függvény. A kibocsátás a = 3%-os növeléséhez b = 6%-kal kell növelni a tárgyi eszközöket vagy c = 9%-kal a foglalkoztatottak számát. Jelenleg egy munkás havonta M = 10 4 rubel értékű termékeket állít elő . , az alkalmazottak összlétszáma pedig L = 1000. A befektetett eszközök értéke K = 10 8 rubel. Keresse meg a termelési függvényt.

Megoldás. Keressük a ,  együtthatókat:  = a/b = 3/6 = 1/2,  = a/c = = 3/9 = 1/3, tehát Y = AK 1/2 L 1/3. Az A megtalálásához behelyettesítjük a K, L, M értékeket ebbe a képletbe, szem előtt tartva, hogy Y = ML = 1000 . 10 4 = 10 7 – – 10 7 = A(10 8) 1/2 1000 1/3. Ezért A = 100. Így a termelési függvény alakja: Y = 100K 1/2 L 1/3.

2.5. A cég elmélete

Az előző részben a gyártó viselkedésének elemzése és modellezése során csak természetes mutatókat használtunk, és nem tudtuk az árakat, de nem tudtuk véglegesen megoldani a gyártó problémáját, azaz a jelenlegi egyetlen cselekvési irányt jelezni számára. körülmények. Most nézzük az árakat. Legyen P egy árvektor. Ha T = (X,Y) egy technológia, azaz egy input-output vektor, X a költségek, Y a kimenet, akkor a PT = PX + PY skalárszorzat a T technológia használatából származó nyereség (a költségek negatív mennyiségek) . Most fogalmazzuk meg a gyártó viselkedését leíró axióma matematikai formalizálását.

Gyártói probléma: A gyártó a profit maximalizálására törekvő technológiát választ ki a gyártási készletéből . Tehát a gyártó a következő problémát oldja meg: PT→max, Tτ. Ez az axióma nagyban leegyszerűsíti a választás helyzetét. Tehát, ha az árak pozitívak, ami természetes, akkor a probléma megoldásának „output” összetevője automatikusan a termelési lehetőségek görbéjén fog feküdni. Valóban, legyen T = (X,Y) valami megoldás a gyártó problémájára. Ekkor létezik ZK x , Z  Y, tehát P(X, Z)  P(X, Y), ami azt jelenti, hogy az (X, Z) pont is megoldás a gyártó problémájára.

Kétféle termék esetén a probléma grafikusan megoldható (2.3. ábra). Ehhez a P vektorra merőleges egyenest kell „mozgatni” abba az irányba, amerre mutat; akkor az utolsó pont, amikor ez az egyenes még metszi a termelési halmazt, lesz a megoldás (a 2.3. ábrán ez a T pont). Amint az könnyen belátható, a második kvadránsban a gyártási halmaz kívánt részének szigorú konvexitása garantálja a megoldás egyediségét. Ugyanez az érvelés érvényes általános esetben, nagyobb számú be- és kimenettípusra. Mi azonban nem ezt az utat fogjuk követni, hanem a termelési funkciók apparátusát használjuk, és cégnek nevezzük a gyártót. Tehát a vállalat kibocsátása egy értékkel jellemezhető - vagy a kibocsátás mennyiségével, ha egy terméket állítanak elő, vagy a teljes kibocsátás összértékével. A költségtér m-dimenziós, a költségvektor X = (x 1, ..., x m). A költségek egyértelműen meghatározzák az Y kimenetet, és ez az összefüggés az Y = f(X) termelési függvény.

Rizs. 2.3. A gyártó problémájának megoldása

Ebben a helyzetben jelöljük P-vel az áru-költségek árának vektorát, és legyen v az iparcikk egységének ára. Ezért a W profit, amely végső soron X (és árak, de ezek állandónak tekinthetők) függvénye, W(X) = vf(X) – PX→max, X  0. A W függvény parciális deriváltjainak egyenlítése nullához kapjuk:

v(f/x j) = p j, ha j = 1, …, m vagy v(f/X) = P (2,1)

Feltételezzük, hogy minden költség szigorúan pozitív (a nullát egyszerűen kizárhatjuk a számításból). Ekkor a (2.1) összefüggés által adott pont belsőnek, azaz szélsőpontnak bizonyul. És mivel az f(X) termelési függvény Hess-mátrixát is negatívan definiáltnak tételezzük fel (a termelési függvényekre vonatkozó követelmények alapján), ez a maximum pont.

Tehát a termelési funkciókra vonatkozó természetes feltevések mellett (ezek a feltevések teljesülnek egy józan ésszel és ésszerű gazdaságban működő termelőnél) a (2.1) reláció megoldást ad a vállalat problémájára, azaz meghatározza a feldolgozott erőforrások X * mennyiségét, így a kimenet Y * = f(X *) Az X *, vagy (X *,f(X *)) pontot a vállalat optimális megoldásának nevezzük. Maradjunk a (2.1) reláció közgazdasági jelentésénél. Amint már említettük, (f/X) = (f/x 1,…,f/x m) az ún. határtermékvektor, vagy határtermékek vektora, és f/x i-t i-ediknek nevezzük határtermék, vagy engedje el a változásra adott választén - a tétel költsége. Ezért vf/x i dx i az árén -tól kiegészítőleg nyert határtermék dx i egységekén th erőforrás. Az i-edik erőforrás dx i egységeinek költsége azonban megegyezik р i dx i-vel, azaz létrejött az egyensúly: az i-edik erőforrásból további dx i egységet lehet bevonni a termelésbe, elkölteni р i dx i annak vásárlásakor, de nyereség nem lesz, t Mert a termékek feldolgozása után pontosan ugyanannyit kapunk, mint amennyit elköltöttünk. Ennek megfelelően a (2.1) összefüggés által adott optimális pont egy egyensúlyi pont - az árukból-erőforrásokból már nem lehet többet kicsikarni, mint amennyit a vásárlásukra fordítottak.

Nyilvánvaló, hogy a cég kibocsátásának növekedése fokozatosan ment végbe: a határtermékek költsége eleinte kevesebb volt, mint az előállításukhoz szükséges áruk és erőforrások beszerzési ára. A termelési mennyiségek addig nőnek, amíg a (2.1) összefüggés teljesülni nem kezd: a határtermékek értékének és az előállításukhoz szükséges javak és erőforrások beszerzési árának egyenlősége.

Tegyük fel, hogy a W(X) = vf(X) – PX → max, X  0 vállalati feladatban az X * megoldás v > 0 és P > 0 esetén egyedi. Így megkapjuk az X * vektorfüggvényt. = X * ( v, P), vagy x * I = x * i (v, p 1 , p m) függvények i = 1, …, m esetén. Ezeket az m függvényeket nevezzük erőforrás igény függvények termékek és erőforrások adott áron. Lényegében ezek a függvények azt jelentik, hogy ha az erőforrások P ára és a megtermelt áru v ára létrejött, akkor egy adott gyártó (amelyet adott termelési függvény jellemzi) az x * I = x függvények segítségével határozza meg a feldolgozott erőforrások mennyiségét. * i (v, p 1, p m), és kéri ezeket a köteteket a piacon. A feldolgozott erőforrások mennyiségének ismeretében és a termelési függvénybe való behelyettesítésében a kibocsátást az árak függvényében kapjuk meg; jelöljük ezt a függvényt q * = q * (v,P) = f(X(v,P)) = Y * . Ez az úgynevezett termékellátási funkció a termékeknél a v ártól, az erőforrásoknál a P áraktól függően.

A-priory, i-edik típusú erőforrás hívott csekély értékű, ha, és csak akkor ha,x * i /v azaz ha egy termék ára nő, akkor csökken a kereslet egy kis értékű erőforrás iránt. Lehetséges egy fontos összefüggés bizonyítása: q * /P = -X * /v vagy q * /p i = -x * i /v, ha i = 1, …, m. Következésképpen egy termék árának növekedése akkor és csak akkor vezet egy bizonyos típusú erőforrás iránti kereslet növekedéséhez (csökkenéséhez), ha az erőforrásért fizetett fizetés növekedése az optimális kibocsátás csökkenéséhez (növekedéséhez) vezet. Ez mutatja az alacsony értékű erőforrások fő tulajdonságát: a fizetés növekedése a kibocsátás növekedéséhez vezet! Szigorúan bizonyítható azonban az ilyen erőforrások létezése, amelyek kifizetésének növekedése a kibocsátás csökkenéséhez vezet (azaz nem lehet minden erőforrás alacsony értékű).

Az is bebizonyítható, hogy x * i /p i komplementer, ha x * i /p j felcserélhető, ha x * i /p j > 0. Vagyis komplementer erőforrások esetén a az egyik a másik iránti kereslet csökkenéséhez vezet, a felcserélhető erőforrások esetében pedig az egyik árának növekedése a másik iránti kereslet növekedéséhez vezet. Példák kiegészítő erőforrásokra: számítógép és alkatrészei, bútorok és fa, sampon és balzsam hozzá. Példák helyettesíthető erőforrásokra: cukor és cukorhelyettesítők (például szorbit), görögdinnye és dinnye, majonéz és tejföl, vaj és margarin stb.

2. példa Egy Y = 100K 1/2 L 1/3 termelési funkciójú vállalatnál (1. példából) keresse meg az optimális méretet, ha a tárgyi eszközök értékcsökkenési ideje N = 12 hónap, a munkavállaló havi fizetése a = 1000 rubel .

Megoldás. A kibocsátás vagy a termelési mennyiség optimális méretét a (2.1) összefüggésből találjuk meg. Ebben az esetben a kibocsátást pénzben mérjük, tehát v = 1. Egy rubel alap havi fenntartásának költsége 1/N, azaz egyenletrendszert kapunk

, melynek megoldásában megtaláljuk a választ:
, L = 8. 10 3, K = 144. 10 6.

2.6. Feladatok

1. Legyen a termelési függvény a Cobb-Douglas függvény. A kibocsátás 1%-os növeléséhez b = 4%-kal kell növelni a tárgyi eszközöket vagy c = 3%-kal a foglalkoztatottak számát. Jelenleg egy munkás havi M = 10 5 rubel értékű termékeket állít elő . , és a dolgozók összlétszáma L = 10 4 . A befektetett eszközök értéke K = 10 6 rubel. Keresse meg a termelési függvényt, átlagos tőketermelékenységet, átlagos munkatermelékenységet, tőke-munka arányt!

2. Egy csoport „shuttle” E összegben úgy döntött, hogy egyesül N eladóval. Egy munkanap nyereségét (bevétel mínusz kiadások, de nem bér) a következő képlettel fejezzük ki: Y = 600(EN) 1/3. Az ingamunkás fizetése 120 rubel. naponta, eladó - 80 rubel. egy napon belül. Keresse meg a „shuttle” és az eladók csoportjának optimális összetételét, azaz hány „shuttle” legyen és hány eladó.

3. Egy üzletember úgy döntött, hogy alapít egy kis teherfuvarozó céget. Miután megismerkedett a statisztikákkal, látta, hogy a napi bevétel hozzávetőleges függését az A és az N autók számától az Y = 900A 1/2 N 1/4 képlet fejezi ki. Egy gép amortizációja és egyéb napi kiadásai 400 rubel, egy munkás napi fizetése 100 rubel. Találja meg a dolgozók és járművek optimális számát.

4. Az üzletember úgy döntött, hogy nyit egy sörözőt. Tételezzük fel, hogy az Y bevétel (mínusz a sör és rágcsálnivalók költsége) függését az M asztalok számától és a felszolgálók F számától az Y = 200M 2/3 F 1/4 képlet fejezi ki. Egy asztal költsége 50 rubel, a pincér fizetése 100 rubel. Keresse meg a bár optimális méretét, azaz a pincérek és az asztalok számát.

Koncepció mindenki számára ismerős, hiszen társadalmának anyagi kultúrájára jellemző dolgok halmaza között születik és él. Még az egész közgazdasági elmélet is a tárgysor leírásával kezdődik, amelyet a műben megadtunk, összehasonlítva a tárgyak számát és mennyiségét, valamint a szakmák (technológiák) számát, amelyek meghatározták egy adott állam gazdagságát. A másik dolog az, hogy minden korábbi elmélet axiomatikusan elfogadta ezt az álláspontot, de a fogalom iránti érdeklődés elvesztésével együtt. a tantárgy-technológiai halmaz jelentése csak a különálló .

Ezért ez még mindig felfedezés, hogy PTM kapcsolódó, ami csak néha eshet egybe az állam gazdaságával. A tantárgy-technológiai halmaz jelensége kiderült, hogy nem olyan egyszerű, mint azt a közgazdászok gondolták. Ebben a cikkben a tantárgy-technológiai halmazról az olvasó megtalálja nemcsak tantárgy-technológiai halmaz leírása mint, hanem a felismerés története is PTM az országok fejlettségének összehasonlítására szolgáló mérőszámként.

tantárgy-technológiai készlet

Az emberek maguk is egy meglehetősen magas életszínvonal termékei, amelyet a sztyeppei hominidák annak köszönhetően értek el, hogy néhány stabil egyed állományában megjelent. Ha a főemlősöknél a gyűjtés, mint az erőforrások megszerzésének módja egy természetes komplexum területéről, nem igényelte több egyed együttes erőfeszítését, akkor a nagy patás állatok vadászata, amely az emberszabásúak létének biztosításának fő módja lett a fejlődés során. a sztyeppék, komplexen szervezett tevékenység volt, több résztvevő között megosztottak a szerepek.

Ugyanakkor a sztyeppei hominidák kis mérete nem tette lehetővé, hogy vadászeszközök nélkül, akár egy csoport tagjaként is megöljenek egy nagy állatot. A sztyeppéken azonban a megfelelő alakú kövek nincsenek mindenhol szétszórva, és nehéz kihegyezett botot találni, ezért az emberszabásúaknak vadászeszközöket kellett magukkal hordaniuk. A ruházattal együtt, amely az egyenes járás mellett jelent meg, aminek a következménye a hajhullás volt, és egyszerűen a sztyeppék hűvös klímája miatt, a Flocks-TRIBES egy bizonyos készletet szerez, más szóval - sok- olyan tárgyak, amelyek jelenléte éhségmentes létszintet biztosít a tagoknak.

Az emberek a luxussal együtt jelennek meg, vagyis olyan tárgyak, amelyekre az emberszabásúaknak korábban nem volt idejük - vagy egyszerűen kisajátítani a természetből az őket érdeklő tárgyakat, vagy munkával előállítani, mivel nem volt sem szükség, sem lehetőség arra, hogy állandóan magukkal cipeljék. őket. A luxuscikkek minden továbbfejlesztett eszközt tartalmaznak, elvégre az embereknek, mint az emlősök egyik fajának, az élethez elegendő egy olyan létfontosságú javak halmaza, amelyek előállítását teljes mértékben biztosította a különféle tárgyak, amelyeket a hominidák csomagokban kaptak. Az ember, mint biológiai lény, már évmilliókkal ezelőtt is élhetett és élt is az emberszabású szint felett ugyanazokkal a tárgyakkal, de az emberben olyan erős, hogy az emberek nem álltak meg az emberszabásúak szintjén, ahogy kellett volna. egy jóléti szintet elért állatfajra. Az embereknek nem volt lehetőségük a természetes környezetben javítani az életkörülményeket, ezért munkatárgyakból kezdik kialakítani saját mesterséges környezetüket.

Az emberi törzsekben a hominidáktól örökölt befolyás tovább hatott, amelyek nyájaiban minden luxus első fogyasztója (a „báj” példájaként a gyönyörű tollak) csak a vezér lehetett. Amikor a vezetőnek sok tolla volt, azokat munkatársainak – magas státuszú tagoknak – adta. Ilyen ajándékozási gyakorlat a törzs megmaradt tagjai között azt a hiedelmet szülte, hogy a vezér használatából származó tárgy birtoklása növeli a tulajdonos státuszát a hierarchiában. A státusznak megfelelő fogyasztás a társadalom magas rangú tagjait arra kényszerítette, hogy a legfényűzőbb dolgokat követeljék.

Ugyanakkor sok alacsony beosztású tag kész sokat áldozni azért, hogy dolgokat a hierarchák hasznából szerezzen, hiszen ezek birtoklása lehetővé teszi számukra, hogy mások előtt státuszuk növekedését érezzék. Így azok a dolgok, amelyek először a hierarchák mindennapi életében, másolatban jelentek meg, a magas státuszú tagok fogyasztási tárgyaivá váltak, a többi, erős hierarchikus ösztönnel rendelkező tag buja pedig tömegtermeléshez vezetett, ami csökkentette az árat, így a közösség bármely tagja számára elérhető dolog. Ez a versengés a tekintélyes dolgokért évezredek óta tart, a tárgyak sokféleségét növelve, így most olyan tárgyak millióival körülvéve élünk, amelyek CSAK SOKKAL KÉNYELMESEBBÍtik az emberek életét, mint a hominida ősök életmódja.

De biológiailag az ember még mindig ugyanaz a hominida hierarchikus ösztönnel, amelyet a - nevű területen valósít meg. Tantárgy-technológiai készlet egy másik különbség az emberek és az állatok között - ez egy új mesterséges élőhely, amelyet az emberek hoznak létre a tudományos és technológiai fejlődésnek köszönhetően, amelynek hajtóereje az. Amint látjuk, a GAZDASÁGFEJLESZTÉSBEN semmi sem szent, csak az elégedettség az egyik ösztön.

Mondhatjuk, hogy mindenki számára ismerős, hiszen tárgyak sokaságával körülvéve születik és él, de a tárgytechnológiai halmaz gondolata akkor jelent meg, amikor elhatározták. összehasonlítani különböző államok gazdagsága. És itt tantárgy-technológiai készlet a gazdagság vagy a fejlettségi fok egyértelmű mutatója lett. Egy esetben lehetséges a választék szerinti összehasonlítás - pl. a különböző objektumok számával, ami lehetővé teszi ugyanannak a társadalomnak adott időn belüli fejlődésének jellemzését (amit a tudományos-technikai haladás témakörben ismertetünk). Egy másik esetben ezt mondhatjuk az egyik társadalom gazdagabb, mint a másik, de ekkor a szortiment paraméterhez hozzá kell adni az összehasonlítandó cikkek minőségére és technológiai kiválóságára jellemző jellemzőt (ezt a - témakörben tanulmányozzuk). De általában egy gazdagabb társadalom tárgykészletében alapvetően új tárgyak jelennek meg, amelyek gyártásában új technológiákat használtak. A fejlettebb és az alapvetően új termékek és az új technológiák közötti kapcsolat meglehetősen nyilvánvaló, ezért ami egy adott társadalomban megvan, az nemcsak tétellistát feltételez, hanem azt is. technológiák összessége, amely lehetővé teszi e termékek előállítását ennek a társadalomnak a termelési szférájában.

A régi közgazdasági elméletek szerint a gazdaság egysége egy szuverén állam gazdasága. Az állam lakosságát tekintjük annak a közösségnek, amelynek alanyi-technológiai halmazát az határozza meg, hogy egy adott állam gazdasága képes-e mindezeket az elemeket előállítani. A technológiával való kapcsolatot pedig mechanikusnak tételezzük fel – szó szerint, ha az államnak vannak technológiái, akkor semmi sem akadályozza meg az ezeknek megfelelő termékek előállítását.

A globális munkamegosztási rendszer megjelenésével azonban pontatlanná vált egy ország gazdaságának azonosítása azzal az emberközösséggel, amelynek olyan tulajdonsága van, mint pl. tantárgy-technológiai készlet. Az a tény, hogy a nemzetközi munkamegosztásban részt vevő országokban a legtöbb alkatrész, alkatrész és alkatrész, amelyből itt összeállítják a késztermékeket, akár nem gyártható ezen állam területénés fordítva, csak alkatrészeket gyártanak, de végterméket nem.

Itt azt kell mondani, hogy következetlenség A technológia ELÉRHETŐSÉGE és az arra épülő termékek előállításának LEHETŐSÉGE - a nemzetközi munkamegosztás ELŐTT létezett, de a régi közgazdaságtudomány következetlenség Nem vettem észre, még inkább - a korábbi elméletek felfogása szerint - minden állam gazdasága egyenértékű volt (a különbséget csak méretben fogadták el - az egyik lehetett nagyobb vagy kisebb a másiknál), és amint a technológia adott volt, azonnal megjelent a LEHETŐSÉG bármit is előállítani.

Az a tény, hogy a gyakorlat megcáfolta ezeket az elméleti feltevéseket, nem akadályozta meg a régi közgazdaságtudományt abban, hogy recepteket adjon a fejlődő országoknak bármilyen technológiai bonyolultságú termelési létesítmények építésére. Nagyon gyakori példa Románia, amelynek a közgazdászok szerint nincs akadálya, hogy legalább a termelés terén elérje az Amerikai Egyesült Államok szintjét, bár nyilvánvaló, hogy a tantárgyi-technológiai változatosság érdekében Ahhoz, hogy Románia akkora legyen, mint az USA-ban, legalább annyi emberre van szükség a termelésben. Ha azonban az Egyesült Államok tantárgyi-technológiai változatosságának kínálata meghaladja Románia lakosainak számát, akkor nem világos, hogy Románia területén ki lesz képes ennyi terméket előállítani.

A fejlődésnek VAN objektív korlátai – és ezek nagy valószínűséggel nem csak az országban létrehozható munkamegosztási rendszer méretétől függenek (például India, ahol a népesség elméletileg lehetővé teszi a világ legnagyobb létrehozását , hanem az elméleti lehetőségtől - India nem lett gazdagabb) , és ben. Például Finnországnak rövid időre sikerült átvennie a mobiltelefon-gyártás legfejlettebb országának helyét. A legyártott Nokia telefonok azonban nem maradtak mind Finnország tantárgy-technológiai készletén belül, hanem sok ország tantárgykészletét pótolták. Ezért azt a következtetést kell levonnunk, tantárgy-technológiai halmaz ereje Egy konkrét terméket nem annyira a termelésben foglalkoztatottak száma, hanem sokkal inkább a piac mérete (attól függ a termékek száma), és legfőképpen a tömeges hatékony KERESLET. a termék.

Amint most látod... tantárgy-technológiai halmaz fogalma nem olyan egyszerű, mint amilyennek látszik. Először is, most már megértjük tantárgy-technológiai készlet inkább valamilyen munkamegosztási rendszerhez kapcsolódik, és nem az államhoz (olyan értelemben, bár történelmileg tantárgy-technológiai készlet a célkészletből származtatjuk, amely az első volt). Ez a rendszer lehet belső rész vagy külső szuperrendszer a népességhez viszonyítva. Másodszor képzeld el tantárgy-technológiai készlet tudjuk, ha megszámlálható választékkal rendelkezik - egyébként a benne lévő különböző objektumok száma véges, ami azt jelenti, hogy egy adott időpillanatban megszámlálható korlátozott számú ember a közösségben. Ha a közösség birtoklásán értjük PMT, a munkamegosztás rendszere, akkor ennek ZÁRTSÁGÁRÓL kell beszélnünk, hiszen a halmazból származó tárgyak ebben a rendszerben keletkeznek és fogyasztanak is.

A tiéd tudományos jelentése tantárgy-technológiai halmaz nyitással fogadja új tárgy a gazdaságban, amely hívta, ami képviseli zárva, amelyben azokat a tárgyakat is elfogyasztják benne, amelyeket előállítanak. Példa a reproduktív komplexumra, de a következőkben - például és különösen - több kombinációja is lehet.

A tantárgy-technológiai halmaz kifejezés már első munkáiban is alkalmazta, amikor a fejlett és fejlődő országok kölcsönhatása iránt érdeklődött. Ekkor kezdtem el használni kifejezés tantárgy-technológiai halmaz, mint a különböző országokban kialakult munkamegosztási rendszerek bizonyos jellemzője. Akkor nem volt nagyon világos, hogy melyik entitáshoz kapcsolódik PMT, Ezért kifejezés tantárgy-technológiai halmazállapotok jellemzésére szolgáltak összehasonlításuk során. Itt követtem a politikai gazdaságtan megalapítóját, aki munkájában az országok jólétét az állampolgárok munkája által megtermelt termékek számának és mennyiségének összehasonlításaként hasonlította össze.

Használati jogosultság PMT fogalmak az államnak - marad, de az olvasónak emlékeznie kell - tantárgy-technológiai készlet jellemzi zárva munkamegosztás rendszere, ami egyes modellekben azt jelentheti egy független állam gazdasága.

Egy másik kérdés, amely közvetlenül kapcsolódik a jelen előrejelzéséhez - Csökkenhet-e a tantárgyi-technológiai változatosság? A válasz természetesen lehetséges, bár sokan úgy gondolják, hogy a tudományos és technológiai fejlődés csak növekedhet tantárgy-technológiai halmaz ereje, ha az állapot attribútumaként tekintünk rá. Nyilvánvaló, hogy egyes tárgyak természetesen eltűnnek az emberek mindennapi életéből, mások pedig annyira feljavultak, hogy már nem hasonlítanak történelmi prototípusukra. Ez a természetes folyamat az új technológiák megjelenésével függ össze, de amint a Római Birodalom története megmutatta - tantárgy-technológiai készlet csökkenhet minden technológiai vívmány elfeledésével együtt, ha az azt felváltó munkamegosztás rendszere nem képes a reprodukciót biztosítani PTM a maga teljességében.

Korszakunk elején demográfiai válság kezdődik Európában, így a törzsek nem tudnak együtt bimbózni, és a túlzott népesség eltávolításának vágya földrabláshoz vezet. A Római Birodalom perifériáján államok kezdenek kialakulni, és kiderül, hogy az ókori Róma (mint az ókori Görögország) a keleti birodalom egyik ága volt az európai kontinensen. A bennszülött Európa az államalakulás időszakának természetes állapotába lép, amely Európában a kezdeti kis létszámú népesség miatt évszázadokkal későbbre tolódott el, mint keleten. A Római Birodalomnak esélye sem volt ellenállni a törzsek terjeszkedési vágyának, a területek elvesztése pedig tönkretette a kialakult munkamegosztási rendszert, amelynek összeomlása a rómaiak egykori mindennapi termékei iránti kereslet megszűnéséhez vezetett. A tárgyhalmaz összeomlása olyan mértékű volt, hogy sok római technológus teljesen feledésbe merült, és csak egy évezred után fedezték fel újra, és az ókori Róma városaiban létező életszínvonalat Európában csak a 19. században érte el újra, pl. , többszintes épületek felső emeletein folyó víz.

Felvázoltam a koncepció főbb árnyalatait tantárgy-technológiai készlet, de vezetnie kell tantárgy-technológiai halmaz meghatározása a hivatalos Glossary of Neoconomics-ból:

A TÁRGY-TECHNOLÓGIAI TÖBB FOGALMA (PTM)

Ez TÁRGY-TECHNOLÓGIAI TÖBB olyan tárgyakból (termékekből, alkatrészekből, nyersanyagfajtákból) áll, amelyek ténylegesen léteznek egy bizonyos munkamegosztási rendszerben, vagyis valaki előállítja, és ennek megfelelően elfogyasztja - értékesíti a piacon vagy terjeszti. Ami az alkatrészeket illeti, lehet, hogy nem áruk, hanem az áru részei.

Ennek a készletnek egy másik része egy technológiai halmaz, vagyis a piacon értékesített áruk előállításának módszerei - a készletben szereplő termékek felhasználásával - a készletben található termékekből és/vagy azokkal. Vagyis a halmaz tárgyi elemeivel a helyes cselekvéssorok ismerete.

Minden időnkben tantárgy-technológiai készlet(PTM) eltérő teljesítményű. Ahogy a munkamegosztás elmélyül PTM bővül.

Ennek a fogalomnak a jelentőségét az határozza meg, hogy PTM meghatározza a tudományos és technológiai fejlődés lehetőségét. Amikor szegény PTM az új találmányoknak, még ha prototípusok formájában is megvalósíthatók, általában nincs esélyük sorozatba kerülni, ha olyan termékeket vagy technológiákat igényelnek, amelyek nem állnak rendelkezésre PTM. Egyszerűen túl drágának bizonyulnak.

Kapcsolódó anyagok

Ön előtt csak részlet a The Age of Growth című könyv 8. fejezetéből, amelyben ad tantárgy-technológiai halmaz leírása:

Bemutatjuk tantárgy-technológiai halmaz fogalma. Ez a készlet olyan tárgyakból (termékekből, alkatrészekből, nyersanyagfajtákból) áll, amelyek ténylegesen léteznek, azaz valaki által előállított és ennek megfelelően a piacon értékesített. Ami az alkatrészeket illeti, lehet, hogy nem áruk, hanem az áru részei. Ennek a készletnek a második része a technológiákat tartalmazza, vagyis a piacon értékesített áruk előállításának módszereit a készletben szereplő cikkekből és azok segítségével. Azaz helyes cselekvéssorok ismerete a halmaz tárgyi elemeivel.

Minden időszakban más-más erővel rendelkezünk tantárgy-technológiai készlet (PTM). Egyébként nem csak bővülhet. Egyes cikkeket már nem gyártanak, néhány technológia elveszett. Talán maradnak a rajzok, leírások, de a valóságban, ha hirtelen kell, akkor az elemek restaurálása PTMösszetett projekt lehet, lényegében új találmány. Azt mondják, hogy amikor a mi korunkban megpróbálták reprodukálni Newcomen gőzgépét, óriási erőfeszítéseket kellett fordítani annak érdekében, hogy valahogy működjön. De a 18. században több száz ilyen gép működött sikeresen.

De általában PTM Egyelőre bővül. Kiemeljünk két szélsőséges esetet, hogyan fordulhat elő ez a bővülés. Az első a tiszta innováció, vagyis egy teljesen új tárgy, amelyet eddig ismeretlen technológiával hoztak létre teljesen új alapanyagokból. Nem tudom, gyanítom, hogy ez az eset a valóságban soha nem fordult elő, de tegyük fel, hogy ez így is lehet.

A második szélsőséges eset az, amikor a halmaz új elemei már meglévő elemek kombinációjaként jönnek létre PTM. Az ilyen esetek nem ritkák. Schumpeter már úgy tekintett az innovációra, mint a már létezők új kombinációira. Vegyük ugyanazokat a személyi számítógépeket. Bizonyos értelemben nem mondható, hogy „kitalálták”. Minden alkatrészük már létezett, és egyszerűen egyesítették őket egy bizonyos módon.

Ha itt bármiféle felfedezésről beszélhetünk, az az, hogy a kezdeti hipotézis: „megveszik ezt a dolgot” teljesen beigazolódott. Bár, ha belegondolunk, akkor ez egyáltalán nem volt nyilvánvaló, és a felfedezés nagyszerűsége éppen ebben rejlik.

Ahogy megértjük, a legtöbb új elem PTM vegyes esetet képviselnek: közelebb az elsőhöz vagy a másodikhoz. Tehát a történelmi tendencia számomra az, hogy az első típushoz közeli találmányok aránya csökken, a másodikhoz közeliké pedig nő.

Általában véve a sorozat készülékeiről szóló történetem fényében Aés készülék B Világos, hogy miért történik ez. További részletekért lásd a könyv 8. fejezetét a gombra kattintva:

A nettó kimenetek összes technológiailag megvalósítható vektorának formalizáló halmaza.

Meghatározás

Legyen a gazdaság $N$ jó Előállításuk folyamatában $n$ juttatásokat költik el. Jelöljük ezen előnyök (költségek) vektorát! $x$(vektor dimenzió $n$). Egyéb $m=N-n$áruk szabadulnak fel a termelési folyamatban (a vektor dimenziója az $m$). Jelöljük ezeknek az előnyöknek a vektorát $y$. Aztán a vektor $z=(-x,y)$(méret - $N$) vektornak nevezzük net kérdések. A nettó kimenetek technológiailag megvalósítható vektorainak összessége az technológiai készlet. Valójában ez a tér egy részhalmaza $R^N$.

Azoknak az olvasóknak, akiknek nehézségei vannak a vektorfogalmakkal, számos lehetőség van:

vektor - az áruk listája, minden árut mennyisége ír le, számkészlet;

az összes termelésben elfogyasztott árut a z nettó kibocsátási vektor elején mínusz (-x) előjellel, a megtermelteket pedig pluszjellel (y) kell rögzíteni;

a gyártáshoz lehetséges összes kombináció technológiai halmazt alkot (gyártási kombinációk).

Tulajdonságok

• Nem üresség: a technológiai készlet nem üres. A nem-üresség a termelés alapvető lehetőségét jelenti.
• Az inaktivitás elfogadhatósága: a nulla vektor a technológiai halmazhoz tartozik. Ez a formális tulajdonság azt jelenti, hogy a nulla kimenet a nulla bemeneten elfogadható.
• Zártság: a technológiai halmaznak van saját határa, és a technológiai halmazhoz tartozik a nettó kimenetek technológiailag megvalósítható vektorainak sorozatának határa is.
• A költés szabadsága: ha az adott vektor $z$ technológiai halmazhoz tartozik, akkor tetszőleges vektor tartozik hozzá $z"\backslash leqslant\; z$. Ez azt jelenti, hogy formálisan azonos mennyiségű kibocsátás állítható elő magasabb költségek mellett.
• A "bőségszaru" hiánya: a nettó kibocsátás nemnegatív vektorai közül csak a nulla vektor tartozik a technológiai halmazba. Ez azt jelenti, hogy nem nulla költségekre van szükség a pozitív mennyiségű kibocsátás előállításához.
• Visszafordíthatatlanság: bármely érvényes vektorhoz $z$, ellentétes vektor $-z$ nem tartozik a technológiai halmazba. Vagyis a felszabaduló termékekből lehetetlen ugyanolyan mennyiségben erőforrásokat előállítani, mint amennyiben ezeket a termékeket felhasználják.
• Additivitás: Két érvényes vektor összege is érvényes vektor. Vagyis a technológiák kombinációja megengedett.
• A termelési léptékhez való visszatéréshez kapcsolódó tulajdonságok:
  • Nem növekvő skálahozam: bárkinek $\backslash lambda\; \backslash in\; (0;1)$ $\backslash lambda\; z$
  • Nem csökkenő méretarányos hozam: bárkinek $\backslash lambda\; >1$ ha z a technológiai halmazhoz tartozik, akkor $\backslash lambda\; z$ szintén a technológiai halmazhoz tartozik.
  • Állandó visszatérés a méretarányhoz: a két előző tulajdonság egyidejű teljesülése, azaz bármely pozitív esetén $\backslash lambda$ Ha $z$ akkor a technológiai halmazhoz tartozik $\backslash lambda\; z$ szintén a technológiai halmazhoz tartozik. Az állandó megtérülés tulajdonsága azt jelenti, hogy a technológiai halmaz egy kúp.

8. Konvex: bármely két érvényes vektorra $z\_1,\; z\_2$ Bármely vektor is érvényes $\backslash alpha\; z\_1\; +(1-\backslash alpha)z\_2$, Ahol . A konvexitás tulajdonság a technológiák „keverésének” képességét jelenti. Különösen akkor teljesül, ha a technológiai halmaz rendelkezik az additív és nem növekvő méretarányos megtérülés tulajdonságával. Ráadásul ebben az esetben a technológiai halmaz egy konvex kúp.

A hatékony technológia határt szab

Elfogadható technológia $z$ hívott hatékony, ha nincs más, ettől eltérő elfogadható technológia $z"\backslash geqslant\; z$. Számos hatékony technológia alakul ki hatékony határ technológiai készlet.

Ha teljesül a költekezés szabadságának és a technológiai halmaz zártságának feltétele, akkor lehetetlen az egyik jószág termelését végtelenül növelni anélkül, hogy ne csökkentené mások kibocsátását. Ebben az esetben bármilyen elfogadható technológiára $z$ hatékony technológia van $z"\; \backslash geqslant\; z$. Ebben az esetben a teljes technológiai halmaz helyett csak annak effektív határa használható. Jellemzően a hatékony határt valamilyen termelési függvény adhatja meg.

Termelési funkció

Nézzük az egytermékes technológiákat $(-x,y)$, Ahol $y$- méretvektor $m=1$, A $x$- dimenzió költségvektor $n$. Vegye figyelembe a készletet $x$, amely az összes lehetséges költségvektort tartalmazza $x$, olyan, hogy mindenkinek $x$ létezik $y$, így a nettó kimeneti vektorok $(-x,y)$ technológiai halmazhoz tartoznak.

Numerikus függvény $f(x)$ tovább $x$ hívott termelési funkció, ha minden adott költségvektorra $x$ jelentése $f(x)$ meghatározza a megengedett kimenet maximális értékét $y$(úgy, hogy a (-x,y) nettó kimeneti vektor a technológiai halmazhoz tartozzon).

A technológiai halmaz effektív határának bármely pontja ábrázolható a formában $(-x,\; f(x))$, és ennek az ellenkezője igaz, ha $f(x)$ egy növekvő függvény (ebben az esetben $y=f(x)$- az effektív határ egyenlete). Ha egy technológiai halmaz rendelkezik a kiadási szabadság tulajdonságával és egy termelési függvénnyel leírható, akkor a technológiai halmaz az egyenlőtlenség alapján kerül meghatározásra. $y\backslash leqslant\; f(x)$.

Ahhoz, hogy egy technológiai halmazt termelési függvény segítségével adjunk meg, elegendő, ha bármely $x$ Egy csomó $F(x)$ adott költségek mellett megengedett teljesítmény $x$, korlátozott volt és zárva volt. Ez a feltétel különösen akkor teljesül, ha a technológiai halmaz rendelkezik a záródás, a nem növekvő méretarányos megtérülés és a bőségszaru hiánya tulajdonságaival.

Ha a technológiai halmaz domború, akkor a gyártási függvény homorú és a halmaz belsejében folyamatos $x$. Ha a kiadási szabadság feltétele teljesül, akkor $f(x)$ nem csökkenő függvény (ebben az esetben a függvény konkávsága a technológiai halmaz konvexitását is jelenti). Végül, ha a bőségszaru hiányának feltétele és az inaktivitás megengedhetősége egyszerre teljesül, akkor $f(0)=0$.

Ha a termelési függvény differenciálható, akkor lehetséges egy lokális definiálása a skála rugalmassága a következő egyenértékű módokon:

$e(x)=\backslash frac\; (d\; f(\backslash lambda\; x))(d\; \backslash lambda)\; \backslash cdot\; \backslash frac\; (\backslash lambda)(f(x))|\_(\backslash lambda=1)=\backslash frac\; (f"(x)\; )x)(f(x))$

Ahol $f"(x)$ a termelési függvény gradiensvektora.

Ha így meghatároztuk a skálarugalmasságot, akkor kimutatható, hogy ha egy technológiai halmaz állandó skálavisszatéréssel rendelkezik, akkor $e(x)=1$, ha csökken a skálahozam, akkor $e(x)\backslash leqslant\; 1$, ha növekvő hozam, akkor $e(x)\backslash geqslant\; 1$.

A gyártó kihívása

Ha az árvektor adott $p$, majd a terméket $pz$ a termelő profitját képviseli. A gyártó feladata egy ilyen vektor megtalálása $z$, így adott árvektor esetén a profit maximális. Jelöljük az áruk árának azon halmazát, amelynél ez a probléma megoldást kínál $P$. Megmutatható, hogy egy nem üres, zárt technológiai halmaznál, nem növekvő méretarányos megtérüléssel, a gyártó problémájának van megoldása az árak halmazán. $P$, negatív profitot adva az ún recesszív irányok (ezek vektorok $z$ technológiai készlet, amelyhez bármilyen nem negatív $\backslash lambda$ vektorok $\backslash lambda\; z$ szintén a technológiai halmazhoz tartoznak). Különösen, ha a recesszív irányok halmaza egybeesik $R^N\_-$, akkor minden pozitív ár esetén létezik megoldás.

Profit függvény $\backslash csipog)$ ként meghatározott $pz(p)$, Ahol $z(p)$- a gyártó problémájának megoldása adott árakon (ez az ún. ellátási függvény, esetleg többértékű). A profitfüggvény pozitívan homogén (elsőfokú), azaz $\backslash pi(\backslash lambda\; p)=\backslash lambda\; \backslash pi(p)$ belül pedig folyamatos $P$. Ha a technológiai halmaz szigorúan konvex, akkor a profitfüggvény is folyamatosan differenciálható. Ha a technológiai halmaz zárt, akkor a profitfüggvény konvex az elfogadható árak bármely konvex részhalmazán $P$.

Mondat funkció (kijelző) $z(p)$ nulla fokon pozitívan homogén. Ha a technológiai halmaz szigorúan konvex, akkor az ellátási függvény P-n egyértékű, a belső oldalon pedig folyamatos $P$. Ha egy kínálati függvény kétszer differenciálható, akkor ennek a függvénynek a Jacobi-mátrixa szimmetrikus és nemnegatív definit.

Ha a technológiai halmazt termelési függvény reprezentálja, akkor a profitot a következőképpen definiáljuk $pf(x)-wx$, Ahol $w$- a termelési tényezők árának vektora, $p$ ebben az esetben a legyártott termékek ára. Aztán bármilyen belső megoldáshoz (vagyis a belsőhöz tartozóhoz $x$) a termelő problémája igazságos: az egyes tényezők határtermékének egyenlősége a relatív árával, vagyis vektor formában $f"(x)=w/p$.

Ha a profitfüggvény adott $\backslash csipog)$, amely egy kétszer folytonosan differenciálható, konvex és pozitívan homogén (elsőfokú) függvény, akkor lehetséges a technológiai halmaz visszaállítása olyan halmazként, amely tartalmazza bármely nem negatív árvektorra $p$ tiszta kibocsátási vektorok $z$, kielégítve az egyenlőtlenséget $pz\backslash leqslant\backslash pi(p)$. Az is kimutatható, hogy ha a kínálati függvény nulla fokú pozitívan homogén, és első deriváltjainak mátrixa folytonos, szimmetrikus és nemnegatív határozott, akkor a megfelelő profitfüggvény kielégíti a fenti követelményeket (fordítva is igaz).

Lásd még

Írjon véleményt a "Technológiai készlet" cikkről

Irodalom

A Technológiai halmazt jellemző részlet

Hirtelen Hippolyte herceg felállt, és mindenkit megállított kézjelekkel, és megkérte, hogy üljenek le, és megszólalt:
- Ah! aujourd"hui on m"a raconte une anekdota moszkovita, charmante: il faut que je vous en regale. Vous m"excusez, vicomte, il faut que je raconte en russe. Autrement on ne sentira pas le sel de l"histoire. [Ma elmeséltek egy bájos moszkvai viccet; meg kell tanítanod őket. Elnézést, vikomt, oroszul mondom el, különben a vicc lényege elveszik.]
Hippolyte herceg pedig elkezdett oroszul beszélni olyan akcentussal, mint a franciák, amikor már egy éve Oroszországban vannak. Mindenki megállt: Hippolyte herceg olyan élénken és sürgetően követelte a figyelmet a történetére.
– Egy hölgy van Moszkvában, une dame. És nagyon fukar. Két inasra volt szüksége a kocsihoz. És nagyon magas. Ez tetszett neki. És une femme de chambre volt, még mindig nagyon magas. Azt mondta…
Itt Hippolyte herceg gondolkodni kezdett, és láthatóan nehezen tudott egyenesen gondolkodni.
„Azt mondta... igen, azt mondta: „lány (a la femme de chambre), vedd fel a livree-t [livery]-t, és gyere velem, a hintó mögé, faire des visites.” [látogatni.]
Itt Hippolyte herceg sokkal korábban horkolt és nevetett, mint hallgatói, ami kedvezőtlen benyomást tett a narrátorra. Sokan azonban mosolyogtak, köztük az idős hölgy és Anna Pavlovna.
- Ment. Hirtelen erős szél támadt. A lány elvesztette a kalapját, hosszú haja pedig meg volt fésülve...
Itt nem bírta tovább tartani magát, hirtelen nevetni kezdett, és ezen a nevetésen keresztül így szólt:
- És az egész világ tudta...
Ezzel vége a viccnek. Bár nem volt világos, miért mondja el, és miért kell oroszul elmondani, Anna Pavlovna és mások nagyra értékelték Hippolyte herceg társasági előzékenységét, aki olyan kellemesen vetett véget Monsieur Pierre kellemetlen és kegyetlen csínytevésének. Az anekdota utáni beszélgetés apró, jelentéktelen beszélgetésekké bomlott a jövőről és a múlt bálról, előadásról, arról, hogy mikor és hol látják egymást.

Tekintsünk egy gazdaságot l áruval. Egy adott cég számára természetes, hogy ezen javak egy részét termelési tényezőnek tekintik, másokat pedig output termékeknek. Megjegyzendő, hogy ez a felosztás meglehetősen önkényes, mivel a vállalat kellő szabadsággal rendelkezik a gyártott termékek körének és a költségstruktúra megválasztásában. A technológia leírásánál különbséget teszünk a kibocsátás és a költségek között, utóbbit mínusz előjellel kibocsátásként ábrázolva. A technológia bemutatásának kényelme érdekében a vállalat által nem fogyasztott és nem is előállított termékek a kibocsátásnak minősülnek, és ezeknek a termékeknek a termelési volumene 0-nak minősül. Elvileg az a helyzet, amikor egy általa előállított termék nem zárható ki, hogy a termelési folyamat során egy céget is fogyaszt. Ebben az esetben csak ennek a terméknek a nettó kibocsátását vesszük figyelembe, azaz a kibocsátását és a költségeket.

Legyen a termelési tényezők száma egyenlő n-nel, a kibocsátási típusok száma pedig m-vel, így l = m + n. Jelöljük a költségek vektorát (abszolút értékben) r Rn + -al, a kibocsátás mennyiségét pedig y Rm + -vel. Meghívjuk a vektort (−r, yo ) nettó kérdések vektora. Az y = (−r, yo ) nettó kimenetek összes technológiailag megvalósítható vektorának halmaza technológiai készlet Y. Így a vizsgált esetben bármely technológiai halmaz Rn − × Rm + részhalmaza.

Ez a termelési leírás általános jellegű. Ugyanakkor nem lehet betartani az áruk termékekre és termelési tényezőkre való szigorú felosztását: ugyanaz a jószág elkölthető egy technológiával, és előállítható egy másik technológiával. Ebben az esetben Y Rl.

Ismertesse a technológiai halmazok tulajdonságait, amelyek alapján általában meghatározott technológiai osztályokat írnak le.

1. Nem üresség

Az Y technológiai halmaz nem üres.

Ez a tulajdonság a termelési tevékenység végzésének alapvető lehetőségét jelenti.

2. Zártság

Az Y technológiai halmaz zárva van.

Ez a tulajdonság inkább technikai jellegű; ez azt jelenti, hogy a technológiai halmaz tartalmazza a határát, és a technológiailag megvalósítható nettó kimeneti vektorok tetszőleges sorozatának határa egyben technológiailag megvalósítható nettó kimeneti vektor is.

3. Költési szabadság:

ha y Y és y0 6 y, akkor y0 Y.

Ez a tulajdonság úgy értelmezhető, mint az a képesség, hogy azonos mennyiségű kibocsátás, de magasabb költségek mellett, vagy kevesebb kibocsátás azonos költségek mellett.

4. Nincs „bőségszaru” („nincs ingyen ebéd”)

ha y Y és y > 0, akkor y = 0.

Ez a tulajdonság azt jelenti, hogy egy termék pozitív mennyiségben történő előállításához a költségek nem nulla mennyiségben szükségesek.

Rizs. 4.1. Technológiai változatosság növekvő méretarányos megtérüléssel.

5. Nem növekvő skálahozamok:

ha y Y és y0 = λy, ahol 0< λ < 1, тогда y0 Y.

Ezt a tulajdonságot néha (nem teljesen pontosan) csökkenő skálahozamnak nevezik. Két áru esetében, ahol az egyiket elköltik, a másikat megtermelik, a csökkenő hozamok azt jelentik, hogy az input (maximálisan lehetséges) átlagos termelékenysége nem növekszik. Ha egy óra alatt legfeljebb 5 hasonló mikroökonómiai problémát tud megoldani, akkor két óra alatt, csökkenő hozam mellett 10-nél többet nem tudna megoldani.

50 . Nem csökkenő skálahozamok:

ha y Y és y0 = λy, ahol λ > 1, akkor y0 Y.

Két áru esetében, ahol az egyiket elköltik, a másikat megtermelik, a növekvő megtérülés azt jelenti, hogy az input (maximálisan lehetséges) átlagos termelékenysége nem csökken.

500. Állandó méretarány-visszatérés az a helyzet, amikor a technológiai halmaz egyszerre teljesíti az 5. és 50. feltételt, pl.

ha y Y és y0 = λy0, akkor y0 Y λ > 0.

Geometriailag a skála állandó visszatérése azt jelenti, hogy Y egy kúp (lehet, hogy nem tartalmaz 0-t).

Két áru esetében, ahol az egyik input, a másik pedig megtermelt, az állandó kibocsátás azt jelenti, hogy az input átlagos termelékenysége a kibocsátás változásával nem változik.

Rizs. 4.2. Konvex technológiai készlet csökkenő skálahozamokkal

A konvexitás tulajdonság a technológiák tetszőleges arányú „keverésének” képességét jelenti.

7. Visszafordíthatatlanság

ha y Y és y 6= 0, akkor (−y) / Y.

Tegyük fel, hogy egy kilogramm acélból 5 csapágyat lehet előállítani. A visszafordíthatatlanság azt jelenti, hogy 5 csapágyból lehetetlen egy kilogramm acélt előállítani.

8. Additivitás.

ha y Y és y0 Y, akkor y + y0 Y.

Az additív tulajdonság a technológiák kombinálásának képességét jelenti.

9. Az inaktivitás elfogadhatósága:

44. tétel:

1) A technológiai halmaz nem növekvő skálahozamaiból és additivitásából a konvexitás következik.

2) A technológiai halmaz konvexitásából és az inaktivitás megengedhetőségéből nem növekvő skálahozam következik. (Ez fordítva nem mindig igaz: nem növekvő hozam mellett a technológia nem konvex lehet, lásd a 2. ábrát. 4.3 .)

3) A technológiai készlet additív és nem növekvő tulajdonságokkal rendelkezik

akkor és csak akkor tér vissza a léptékbe, ha konvex kúp.

Rizs. 4.3. Nem konvex technológiai halmaz nem növekvő skálahozamokkal.

Nem minden támogatható technológia egyformán fontos gazdasági szempontból. A megengedettek közül kiemelkednek a különlegesek hatékony technológiák. Egy y elfogadható technológiát általában akkor nevezünk hatékonynak, ha nincs más (tõl eltérõ) y0 megengedett technológia, amelyre y0 > y. Nyilvánvaló, hogy a hatékonyságnak ez a definíciója implicit módon azt jelenti, hogy bizonyos értelemben minden jószág kívánatos. A hatékony technológiák alkotják hatékony határ technológiai készlet. Bizonyos feltételek mellett lehetővé válik az effektív határ alkalmazása az elemzésben a teljes technológiai halmaz helyett. Ebben az esetben fontos, hogy minden y elfogadható technológiához legyen olyan hatékony y0 technológia, amelyre y0 > y. Ennek a feltételnek a teljesüléséhez az szükséges, hogy a technológiai halmaz zárt legyen, és a technológiai halmazon belül ne lehessen korlátlanul növelni egy áru kibocsátását anélkül, hogy más áruk kibocsátását ne csökkentené. Kimutatható, hogy ha technológiai

Rizs. 4.4. A hatékony technológia határt szab

halmaz rendelkezik a kiadási szabadság tulajdonságával, akkor az effektív határ egyértelműen meghatározza a megfelelő technológiai halmazt.

A bevezető és a középszintű kurzusok a termelő viselkedésének leírásakor a termelési halmazának termelési függvényen keresztül történő ábrázolásán alapulnak. Lényeges kérdés, hogy a gyártókészleten milyen feltételek mellett lehetséges egy ilyen ábrázolás. Bár a termelési függvény tágabb definícióját is lehet adni, a továbbiakban csak az „egytermékes” technológiákról lesz szó, azaz m = 1.

Legyen R az Y technológiai halmaz vetülete a költségvektorok terére, azaz.

R = ( r Rn | yo R: (−r, yo ) Y ) .

37. definíció:

Az f(·) : R 7→R függvényt meghívjuk termelési funkció, amely Y technológiát jelent, ha minden r R esetén az f(r) érték a következő probléma értéke:

yo → max

(-r, yo) Y.

Vegyük észre, hogy a technológiai halmaz effektív határán bármely pont alakja (−r, f(r)). Ennek fordítottja igaz, ha f(r) növekvő függvény. Ebben az esetben yo = f(r) az effektív határegyenlet.

A következő tétel azt adja meg, hogy milyen feltételek mellett ábrázolható egy technológiai halmaz??? termelési funkció.

45. tétel:

Legyen Y R × (−R) technológiai halmazra bármely r R esetén a halmaz

F (r) = ( yo | (−r, yo ) Y )

zárt és felülről határolt. Ekkor Y egy termelési függvénnyel ábrázolható.

Megjegyzés: Az állítás feltételeinek teljesülése például akkor garantálható, ha az Y halmaz zárt, és nem növekvő skálahozamra, valamint bőségszaru hiányára jellemző tulajdonságokkal rendelkezik.

46. ​​tétel:

Legyen az Y halmaz zárt, és rendelkezzen a nem növekvő skálahozamokkal és a bőségszaru hiányával. Majd bármely r R esetén a halmaz

F (r) = ( yo | (−r, yo ) Y )

zárt és felülről határolt.

Bizonyítás: Az F (r) halmazok zártsága közvetlenül következik Y zártságából. Mutassuk meg, hogy F (r) felülről korlátos. Legyen ez ne így, és néhány r R létezik

létezik egy végtelenül növekvő sorozat (yn), így yn F (r). Ezután a nem növekvő méret miatt visszatér a léptékhez (-r/yn , 1) Y . Ezért (a záródás miatt) (0, 1) Y , ami ellentmond a bőségszaru hiányának.

Figyeljük meg azt is, hogy ha az Y technológiai halmaz teljesíti a szabadköltés hipotézist, és van egy f(·) termelési függvény, amely reprezentálja, akkor az Y halmazt a következő összefüggés írja le:

Y = ((-r, yo ) | yo 6 f(r), r R ) .

Állítsunk most fel néhány összefüggést a technológiai halmaz tulajdonságai és az azt reprezentáló termelési függvény között.

47. tétel:

Legyen az Y technológiai halmaz olyan, hogy minden r R esetén az f(·) termelési függvény definiálva legyen. Akkor a következő igaz.

1) Ha az Y halmaz konvex, akkor az f(·) függvény konkáv.

2) Ha az Y halmaz kielégíti a szabad költés hipotézist, akkor fordítva is igaz, azaz ha az f(·) függvény konkáv, akkor az Y halmaz konvex.

3) Ha Y konvex, akkor f(·) folytonos az R halmaz belsejében.

4) Ha az Y halmaz rendelkezik a költekezés szabadságával, akkor az f(·) függvény nem csökken.

5) Ha Y-nak az a tulajdonsága, hogy hiányzik a bőségszaru, akkor f(0) 6 0.

6) Ha az Y halmaz rendelkezik a megengedett inaktivitás tulajdonságával, akkor f(0) > 0.

Bizonyítás: (1) Legyen r0 , r00 R. Ekkor (−r0 , f(r0 )) Y és (−r00 , f(r00 )) Y , és

(−αr0 − (1 − α)r00, αf(r0 ) + (1 − α)f(r00 )) Y α,

mivel az Y halmaz konvex. Ezután a termelési függvény definíciója szerint

αf(r0 ) + (1 − α)f(r00 ) 6 f(αr0 + (1 − α)r00),

ami azt jelenti, hogy f(·) homorú.

(2) Mivel az Y halmaznak van szabad költés tulajdonsága, ezért az Y halmaz (a költségvektor előjeléig) egybeesik annak részgráfjával. Egy konkáv függvény részgráfja pedig egy konvex halmaz.

(3) A bizonyítandó tény abból következik, hogy egy konkáv függvény belsőleg folytonos.

definíciós tartományának mérete.

(4) Legyen r 00 > r0 (r0 , r00 R). Mivel (−r0 , f(r0 )) Y , akkor a költekezés szabadságának tulajdonságával (−r00 , f(r0 )) Y . A termelési függvény definíciója szerint tehát f(r00) > f(r0), azaz f(·) nem csökken.

(5) Az f(0) > 0 egyenlőtlenség ellentmond a bőségszaru hiányának feltételezésének. Tehát f(0) 6 0.

(6) Az inaktivitás megengedhetőségének feltételezésével (0, 0) Y . Tehát definíció szerint

Feltételezve egy termelési függvény létezését, egy technológia tulajdonságai közvetlenül ennek a függvénynek a segítségével írhatók le. Mutassuk meg ezt az úgynevezett skálarugalmasság példáján.

Legyen a termelési függvény differenciálható. Az r pontban, ahol f(r) > 0, definiáljuk

az e(r) skála helyi rugalmassága:

Ha egy ponton e(r) egyenlő 1-gyel, akkor ezen a ponton úgy tekintjük állandó méretarányos visszatérés, ha több mint 1, akkor növekvő hozam, Kevésbé - csökkenő skálahozam. A fenti definíció a következőképpen írható át:

P ∂f(r) e(r) = i ∂r i r i .

48. tétel:

Leírjuk az Y technológiai halmazt az f(·) és termelési függvénnyel

V r pontban e(r) > 0. Ekkor a következő igaz:

1) Ha az Y technológiai halmaznak az a tulajdonsága, hogy csökken a skálahozam, akkor e(r) 6 1.

2) Ha az Y technológiai halmaz rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy növeli a skálahozamot, akkor e(r) > 1.

3) Ha Y-nek az a tulajdonsága, hogy konstans skála-visszatér, akkor e(r) = 1.

Bizonyítás: (1) Tekintsük a (λn ) sorozatot (0< λn < 1), такую что λn → 1. Тогда (−λn r, λn f(r)) Y , откуда следует, что f(λn r) >λn f(r). Írjuk át ezt az egyenlőtlenséget a következőképpen:

Az űrlapban Y technológiai halmazok adhatók meg implicit termelési függvények g(·). Definíció szerint egy g(·) függvényt implicit termelési függvénynek nevezünk, ha az y technológia akkor és csak akkor tartozik az Y technológiai halmazhoz, ha g(y) >

Vegye figyelembe, hogy ilyen függvény mindig megtalálható. Például egy megfelelő függvény az, hogy g(y) = 1 y Y esetén és g(y) = −1 y / Y esetén. Ne feledje azonban, hogy ez a függvény nem differenciálható. Általánosságban elmondható, hogy nem minden technológiai halmaz írható le egyetlen differenciálható implicit termelési függvénnyel, és az ilyen technológiai halmazok sem kivételesek. Különösen a kezdeti mikroökonómiai kurzusokon figyelembe vett technológiai halmazok gyakran olyanok, hogy leírásukhoz két (vagy több) differenciálható funkciójú egyenlőtlenség szükséges, mivel figyelembe kell venni a termelési tényezők nem-negatív jellegére vonatkozó további korlátozásokat. Az ilyen korlátozások figyelembe vételéhez használhatunk implicit vektort