A folytonos valószínűségi változó az. Folyamatos valószínűségi változó

3. § VÉLETLENSZERŰ VÁLTOZÓK

3. Folyamatos valószínűségi változók.

A diszkrét valószínűségi változókon kívül, amelyek lehetséges értékei véges vagy végtelen számsort alkotnak, amelyek nem töltenek ki teljesen egyetlen intervallumot sem, gyakran vannak olyan valószínűségi változók, amelyek lehetséges értékei egy bizonyos intervallumot alkotnak. Ilyen valószínűségi változó például egy adott méretű alkatrész névleges értékétől való eltérése megfelelően beállított technológiai folyamat mellett. Ez a fajta valószínűségi változó nem adható meg a valószínűségi eloszlás törvényével p(x). Ezek azonban megadhatók a valószínűségi eloszlásfüggvénnyel F(x). Ez a függvény pontosan ugyanúgy definiálható, mint egy diszkrét valószínűségi változó esetében:

Így itt is a függvény F(x) a teljes számegyenesen definiált, és az értéke a pontban x egyenlő annak a valószínűségével, hogy a valószínűségi változó kisebb értéket vesz fel, mint x.
A () képlet és az 1° és 2° tulajdonságok bármely valószínűségi változó eloszlásfüggvényére érvényesek. A bizonyítást a diszkrét mennyiséghez hasonlóan hajtjuk végre.
A valószínűségi változót ún folyamatos, ha erre van nemnegatív darabonkénti folytonos függvény*, amely bármely értékre kielégítő x egyenlőség
Az integrál mint terület geometriai jelentése alapján azt mondhatjuk, hogy az egyenlőtlenségek teljesülésének valószínűsége megegyezik egy görbe vonalú trapéz alapterületével. , amelyet fent a görbe határol (6. ábra).
óta, és a () képlet alapján
, Azt
Figyeljük meg, hogy folytonos valószínűségi változó esetén az eloszlásfüggvény F(x) bármely ponton folyamatos x, ahol a függvény folytonos. Ez abból következik, hogy F(x) ezeken a pontokon differenciálható.
A (() képlet alapján, feltételezve x 1 =x, , nekünk van

A funkció folytonossága miatt F(x) azt kapjuk

Ennélfogva

És így, nulla annak a valószínűsége, hogy egy folytonos valószínűségi változó bármilyen egyetlen x értéket felvehet.
Ebből következik, hogy az egyes egyenlőtlenségek beteljesüléséből álló események
, , ,
Ugyanolyan valószínűségűek, pl.

Valójában pl.

mert

Megjegyzés. Mint tudjuk, ha egy esemény lehetetlen, akkor bekövetkezésének valószínűsége nulla. A valószínűség klasszikus definíciójával, amikor a teszteredmények száma véges, a fordított állítás is érvényes: ha egy esemény valószínűsége nulla, akkor az esemény lehetetlen, mivel ebben az esetben egyik teszteredmény sem kedvez neki. Folytonos valószínűségi változó esetén a lehetséges értékeinek száma végtelen. Annak a valószínűsége, hogy ez a mennyiség egy meghatározott értéket vesz fel x 1 mint láttuk, egyenlő nullával. Ebből azonban nem következik, hogy ez az esemény lehetetlen, hiszen a teszt eredményeként a valószínűségi változó különösen felveheti az értéket. x 1. Ezért egy folytonos valószínűségi változó esetén érdemes arról beszélni, hogy a valószínűségi változó milyen valószínűséggel esik az intervallumba, és nem arról, hogy milyen valószínűséggel vesz fel valamilyen meghatározott értéket.
Így például egy henger készítésénél nem érdekel bennünket, hogy az átmérője megegyezik-e a névleges értékkel. Számunkra az a fontos, hogy a görgő átmérője a tűréshatáron belül legyen.

Eloszlási sűrűség valószínűségek x hívja meg a függvényt f(x)– az eloszlásfüggvény első deriváltja F(x):

Valószínűségi változó valószínűségi eloszlássűrűségének fogalma x nem alkalmazható diszkrét mennyiségekre.

Valószínűségi eloszlás sűrűsége f(x)– differenciális eloszlási függvénynek nevezzük:

1. tulajdonság. Az eloszlási sűrűség egy nem negatív mennyiség:

2. tulajdonság. Az eloszlássűrűség helytelen integrálja a -tól tartományban egyenlő egységgel:

1.25. példa. Adott egy folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye X:

f(x).

Megoldás: Az eloszlássűrűség egyenlő az eloszlásfüggvény első deriváltjával:

1. Adott egy folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye X:

Keresse meg az eloszlási sűrűséget.

2. Adott egy folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye X:

Keresse meg az eloszlási sűrűséget f(x).

1.3. A folytonos véletlen numerikus jellemzői

mennyiségeket

Várható érték folytonos valószínűségi változó x, melynek lehetséges értékei a teljes tengelyhez tartoznak Ó, az egyenlőség határozza meg:

Feltételezzük, hogy az integrál abszolút konvergál.

a,b), Ez:

f(x)– egy valószínűségi változó eloszlássűrűsége.

Diszperzió folytonos valószínűségi változó x, melynek lehetséges értékei a teljes tengelyhez tartoznak, az egyenlőség határozza meg:

Különleges eset. Ha egy valószínűségi változó értékei a ( a,b), Ez:

Annak a valószínűsége x intervallumhoz tartozó értékeket vesz fel ( a,b), az egyenlőség határozza meg:

1.26. példa. Folyamatos valószínűségi változó x

Határozza meg a matematikai elvárást, szórást és annak valószínűségét, hogy eltalál egy valószínűségi változót x intervallumban (0;0,7).

Megoldás: A valószínűségi változó eloszlik a (0,1) intervallumon. Határozzuk meg egy folytonos valószínűségi változó eloszlási sűrűségét x:

a) Matematikai elvárás :

b) Variancia

Önálló munkavégzés feladatai:

1. Véletlen változó x az eloszlási függvény adja meg:

M(x);

b) szórás D(x);

x a (2,3) intervallumba.

2. Véletlen változó x

Keresse meg: a) matematikai elvárást M(x);

b) szórás D(x);

c) határozza meg a valószínűségi változó találati valószínűségét x intervallumba (1;1,5).

3. Véletlen változó x a kumulatív eloszlásfüggvény adja meg:

Keresse meg: a) matematikai elvárást M(x);

b) szórás D(x);

c) határozza meg a valószínűségi változó találati valószínűségét x az intervallumban

1.4. Folytonos valószínűségi változó eloszlásának törvényei

1.4.1. Egyenletes eloszlás

Folyamatos valószínűségi változó x egyenletes eloszlású a szegmensen [ a,b], ha ezen a szegmensen a valószínűségi változó valószínűségi eloszlási sűrűsége állandó, azon kívül pedig nullával egyenlő, azaz:

Rizs. 4.

; ; .

1.27. példa. Egy adott útvonalon egy busz egyenletesen, 5 perces időközönként közlekedik. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy egyenletes eloszlású valószínűségi változó x– a busz várakozási ideje kevesebb, mint 3 perc.

Megoldás: Véletlenszerű érték x– egyenletesen elosztva az intervallumon belül.

Valószínűségi sűrűség: .

Annak érdekében, hogy a várakozási idő ne haladja meg a 3 percet, az utasnak az előző busz indulását követő 2-5 percen belül meg kell jelennie a megállóhelyen, pl. véletlenszerű érték x a (2;5) intervallumba kell esnie. Hogy. szükséges valószínűség:

Önálló munkavégzés feladatai:

1. a) határozza meg egy valószínűségi változó matematikai elvárását! x egyenletesen elosztva a (2;8) intervallumban;

b) határozza meg a valószínűségi változó szórását és szórását! X, egyenletesen elosztva a (2;8) intervallumban.

2. Az elektromos óra percmutatója minden perc végén hirtelen mozog. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy adott pillanatban az óra olyan időt mutat, amely legfeljebb 20 másodperccel tér el a valós időtől.

1.4.2. Exponenciális eloszlás

Folyamatos valószínűségi változó x exponenciális törvény szerint oszlik el, ha valószínűségi sűrűsége a következő:

ahol az exponenciális eloszlás paramétere.

És így

Rizs. 5.

Numerikus jellemzők:

1.28. példa. Véletlenszerű érték x– egy izzó működési ideje – exponenciális eloszlású. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a villanykörte működési ideje legalább 600 óra, ha az átlagos üzemidő 400 óra!

Megoldás: A feladat feltételei szerint egy valószínűségi változó matematikai elvárása x 400 óra, tehát:

;

A szükséges valószínűség, hol

Végül:

Önálló munkavégzés feladatai:

1. Írja fel az exponenciális törvény sűrűség- és eloszlásfüggvényét, ha a paraméter .

2. Véletlen változó x

Keresse meg egy mennyiség matematikai elvárását és szórását! x.

3. Véletlen változó x a valószínűségi eloszlási függvény adja meg:

Határozza meg egy valószínűségi változó matematikai elvárását és szórását!

1.4.3. Normális eloszlás

Normál folytonos valószínűségi változó valószínűségi eloszlásának nevezzük x, amelynek sűrűsége a következő:

Ahol A– matematikai elvárás, – szórás x.

Annak a valószínűsége x intervallumhoz tartozó értéket vesz fel:

, Ahol

– Laplace funkció.

Olyan disztribúció, amelyhez ; , azaz valószínűségi sűrűséggel szabványnak nevezik.

Rizs. 6.

Annak a valószínűsége, hogy az abszolút érték elutasítása kisebb, mint egy pozitív szám:

Főleg mikor a= 0 az egyenlőség igaz:

Példa 1.29. Véletlenszerű érték x normál eloszlású. Szórás. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó abszolút értékben 0,3-nál kisebb lesz az eltérése a matematikai elvárásától.

Megoldás: .

Önálló munkavégzés feladatai:

1. Írja fel a valószínűségi változó normális eloszlásának valószínűségi sűrűségét! x, ennek tudatában M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Normális eloszlású valószínűségi változó elvárása és szórása x rendre egyenlő 20 és 5. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a teszt eredményeként x a (15;20) intervallumban lévő értéket veszi fel.

3. A véletlenszerű mérési hibákra a normál törvény vonatkozik, mm szórással és matematikai elvárással a= 0. Határozza meg annak valószínűségét, hogy 3 független mérésből legalább egy hibája abszolút értékben nem haladja meg a 4 mm-t!

4. Egy bizonyos anyagot szisztematikus hibák nélkül lemérünk. A véletlenszerű mérési hibákra r szórással a normál törvény vonatkozik. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a mérés abszolút értékben legfeljebb 10 g hibával történik.

Az eloszlásfüggvény ebben az esetben az (5.7) szerint a következő formában lesz:

ahol: m – matematikai elvárás, s – szórás.

A normál eloszlást Gauss német matematikus után Gauss-nak is nevezik. Azt a tényt, hogy egy valószínűségi változó normális eloszlású paraméterekkel: m, a következőképpen jelöljük: N (m,s), ahol: m =a =M ;

A képletekben gyakran a matematikai elvárást jelölik A . Ha egy valószínűségi változót az N(0,1) törvény szerint osztunk el, akkor normalizált vagy standardizált normálváltozónak nevezzük. A hozzá tartozó elosztási függvény alakja:

Egy normális eloszlás sűrűséggráfja, amelyet normálgörbének vagy Gauss-görbének nevezünk, az 5.4. ábrán látható.

Rizs. 5.4. Normál eloszlási sűrűség

Egy valószínűségi változó numerikus jellemzőinek sűrűség alapján történő meghatározását egy példa segítségével vizsgáljuk.

6. példa.

A folytonos valószínűségi változót az eloszlási sűrűség határozza meg: .

Határozza meg az eloszlás típusát, határozza meg az M(X) matematikai elvárást és a D(X) varianciát!

A megadott eloszlássűrűséget (5.16) összevetve megállapíthatjuk, hogy a normál eloszlási törvény m = 4 adott. Ezért a matematikai elvárás M(X)=4, variancia D(X)=9.

Szórás s=3.

A Laplace függvény, amelynek alakja:

az (5.17) normális eloszlásfüggvényhez kapcsolódik, a reláció:

F 0 (x) = Ф(x) + 0,5.

A Laplace-függvény páratlan.

Ф(-x)=-Ф(x).

A Ф(х) Laplace-függvény értékeit táblázatba foglaljuk, és a táblázatból vettük az x értékének megfelelően (lásd az 1. függeléket).

A folytonos valószínűségi változó normális eloszlása fontos szerepet játszik a valószínűségszámításban és a valóság leírásában, igen elterjedt a véletlenszerű természeti jelenségekben. A gyakorlatban nagyon gyakran találkozunk olyan valószínűségi változókkal, amelyek pontosan sok véletlenszerű tag összegzésének eredményeként jönnek létre. A mérési hibák elemzése különösen azt mutatja, hogy ezek különböző típusú hibák összege. A gyakorlat azt mutatja, hogy a mérési hibák valószínűségi eloszlása közel áll a normál törvényhez.

A Laplace-függvény segítségével megoldható egy adott intervallumba esés valószínűsége és egy normál valószínűségi változó adott eltérése.

VÉLETLEN VÁLTOZÓK

2.1. példa. Véletlenszerű érték x eloszlásfüggvény adja meg

Határozza meg annak valószínűségét, hogy a teszt eredményeként x a (2.5; 3.6) intervallumban lévő értékeket veszi fel.

Megoldás: x a (2.5; 3.6) intervallumban kétféleképpen határozható meg:

2.2. példa. Milyen paraméterértékeken AÉs BAN BEN funkció F(x) = A + Be - x eloszlásfüggvénye lehet egy valószínűségi változó nemnegatív értékeinek x.

Megoldás: Mivel a valószínűségi változó összes lehetséges értéke x intervallumhoz tartoznak, akkor ahhoz, hogy a függvény eloszlásfüggvénye legyen x, az ingatlannak meg kell felelnie:

Válasz: .

2.3. példa. Az X valószínűségi változót az eloszlásfüggvény adja meg

Határozza meg annak valószínűségét, hogy négy független teszt eredményeként az érték x pontosan 3-szor az intervallumhoz tartozó értéket vesz fel (0,25; 0,75).

Megoldás: Egy érték elérésének valószínűsége x a (0,25;0,75) intervallumban a következő képlet segítségével találjuk meg:

2.4. példa. Annak a valószínűsége, hogy a labda egy lövéssel kosarat talál, 0,3. Készítsen elosztási törvényt a három dobással elért találatok számáról!

Megoldás: Véletlenszerű érték x– a kosárba helyezett találatok száma három lövéssel – a következő értékeket veheti fel: 0, 1, 2, 3. Valószínűség, hogy x

2.5. példa. Két lövő egy-egy lövést ad le egy célpontra. Annak a valószínűsége, hogy az első lövő eltalálja, 0,5, a másodiké 0,4. Készítsen elosztási törvényt a célponton elért találatok számáról!

Megoldás: Határozzuk meg egy diszkrét valószínűségi változó eloszlásának törvényét x– a célponton elért találatok száma. Legyen az esemény az első lövő célba találása, a második lövő pedig a célt találja el, és legyen a hibájuk.

Állítsuk össze az SV valószínűségi eloszlásának törvényét x:

2.6. példa. Három elemet tesztelnek, amelyek egymástól függetlenül működnek. Az elemek hibamentes működésének időtartama (órában) eloszlási sűrűségfüggvénnyel rendelkezik: először: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, a másodikhoz: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, a harmadikhoz: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a 0 és 5 óra közötti időintervallumban: csak egy elem fog meghibásodni; csak két elem fog meghibásodni; mindhárom elem meghibásodik.

Megoldás: Használjuk a valószínűséggeneráló függvény definícióját:

Annak valószínűsége, hogy független kísérletekben, amelyek közül az elsőben egy esemény bekövetkezésének valószínűsége A egyenlő a , a második stb. eseménnyel A pontosan egyszer jelenik meg, egyenlő a generáló függvény hatványaiban megadott együtthatóval. Határozzuk meg az első, második és harmadik elem meghibásodásának és meghibásodásának valószínűségét 0 és 5 óra közötti időintervallumban:

Hozzunk létre egy generáló függvényt:

A at együttható egyenlő annak a valószínűségével, hogy az esemény A pontosan háromszor jelenik meg, vagyis mindhárom elem meghibásodásának valószínűsége; az at együttható egyenlő annak a valószínűségével, hogy pontosan két elem fog meghibásodni; az at együttható egyenlő annak a valószínűségével, hogy csak egy elem hibásodik meg.

Példa 2.7. Adott a valószínűségi sűrűség f(x) véletlen változó x:

Keresse meg az F(x) eloszlásfüggvényt!

Megoldás: A képletet használjuk:

Így az elosztási függvény így néz ki:

2.8. példa. A készülék három egymástól függetlenül működő elemből áll. Az egyes elemek meghibásodásának valószínűsége egy kísérletben 0,1. Készítsen eloszlási törvényt egy kísérletben a sikertelen elemek számára.

Megoldás: Véletlenszerű érték x– az egy kísérletben sikertelen elemek száma – a következő értékeket veheti fel: 0, 1, 2, 3. Valószínűség, hogy x ezeket az értékeket veszi, Bernoulli képletével találjuk meg:

Így megkapjuk egy valószínűségi változó valószínűségi eloszlásának következő törvényét x:

Példa 2.9. Egy 6 részből álló tételben 4 szabvány található. Véletlenszerűen választottak ki 3 részt. Készítsen elosztási törvényt a szabványos alkatrészek számáról a kiválasztottak között!

Megoldás: Véletlenszerű érték x– a standard alkatrészek száma a kiválasztottak között – a következő értékeket veheti fel: 1, 2, 3 és hipergeometrikus eloszlású. Valószínűség, hogy x

Ahol -- a tételben lévő alkatrészek száma;

-- szabványos alkatrészek száma egy tételben;

– a kiválasztott alkatrészek száma;

-- szabványos alkatrészek száma a kiválasztottak között.

2.10. példa. A valószínűségi változó eloszlási sűrűséggel rendelkezik

és nem ismertek, de , a és . Keresse meg és.

Megoldás: Ebben az esetben a valószínűségi változó x háromszögeloszlású (Simpson-eloszlás) a [ a, b]. Numerikus jellemzők x:

Ennélfogva, . Ezt a rendszert megoldva két értékpárt kapunk: . Mivel a probléma körülményei szerint végre megvan: .

Válasz: .

Példa 2.11.Átlagosan a szerződések 10%-a alatt fizet a biztosító biztosítási összeget biztosítási esemény bekövetkeztekor. Számítsa ki az ilyen szerződések számának matematikai elvárását és szóródását négy véletlenszerűen kiválasztott szerződés között!

Megoldás: A matematikai elvárás és szórás a következő képletekkel határozható meg:

SV lehetséges értékei (a biztosítási esemény bekövetkeztével kötött szerződések száma (négyből): 0, 1, 2, 3, 4.

Bernoulli képletét használjuk a különböző számú (négyből) szerződés valószínűségének kiszámításához, amelyekre a biztosítási összeget kifizették:

Az IC elosztási sorozat (a biztosítási esemény bekövetkeztével kötött szerződések száma) a következőképpen alakul:


	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Válasz: , .

Példa 2.12. Az öt rózsa közül kettő fehér. Rajzolja fel egy valószínűségi változó eloszlási törvényét, amely kifejezi a fehér rózsa számát két egyidejűleg vett között!

Megoldás: Egy két rózsából álló válogatásban vagy nincs fehér rózsa, vagy van egy vagy két fehér rózsa. Ezért a valószínűségi változó xértékeket vehet fel: 0, 1, 2. Valószínűség, hogy x ezeket az értékeket veszi, a képlet segítségével találjuk meg:

Ahol -- rózsák száma;

-- fehér rózsák száma;

– az egyidejűleg vett rózsák száma;

-- a fehér rózsák száma az elvittek között.

Ekkor a valószínűségi változó eloszlási törvénye a következő lesz:

2.13. példa. A 15 összeszerelt egység közül 6 további kenést igényel. Készítsen elosztási törvényt a további kenést igénylő egységek számára a teljes számból véletlenszerűen kiválasztott öt egység közül.

Megoldás: Véletlenszerű érték x– a kiegészítő kenést igénylő egységek száma az öt kiválasztott közül – a következő értékeket veheti fel: 0, 1, 2, 3, 4, 5 és hipergeometrikus eloszlású. Valószínűség, hogy x ezeket az értékeket veszi, a képlet segítségével találjuk meg:

Ahol -- összeszerelt egységek száma;

-- a kiegészítő kenést igénylő egységek száma;

– a kiválasztott egységek száma;

-- a kiegészítő kenést igénylő egységek száma a kiválasztottak közül.

Ekkor a valószínűségi változó eloszlási törvénye a következő lesz:

2.14. példa. A javításra kapott 10 órából 7 szükséges a mechanizmus általános tisztításához. Az órák nincsenek javítási típusok szerint rendezve. A mester, aki tisztításra szoruló órákat akar találni, egyenként megvizsgálja azokat, és miután talált ilyen órákat, abbahagyja a további nézegetést. Keresse meg a nézett órák számának matematikai elvárását és szórását!

Megoldás: Véletlenszerű érték x– a további kenést igénylő egységek száma az öt kiválasztott közül – a következő értékeket veheti fel: 1, 2, 3, 4. Valószínűség, hogy x ezeket az értékeket veszi, a képlet segítségével találjuk meg:

Ekkor a valószínűségi változó eloszlási törvénye a következő lesz:

Most számítsuk ki a mennyiség numerikus jellemzőit:

Válasz: , .

2.15. példa. Az előfizető elfelejtette a szükséges telefonszám utolsó számjegyét, de eszébe jut, hogy az furcsa. Határozza meg annak matematikai elvárását és szórását, hogy hányszor tárcsáz egy telefonszámot a kívánt szám elérése előtt, ha véletlenszerűen tárcsázza az utolsó számjegyet, és nem tárcsázza utána a tárcsázott számjegyet.

Megoldás: A valószínűségi változó a következő értékeket veheti fel: . Mivel az előfizető a jövőben nem tárcsázza a tárcsázott számot, ezeknek az értékeknek a valószínűsége egyenlő.

Állítsunk össze egy valószínűségi változó eloszlássorozatát:


	0,2

Számítsuk ki a tárcsázási kísérletek számának matematikai elvárását és szórását:

Válasz: , .

2.16. példa. A meghibásodás valószínűsége a megbízhatósági tesztek során a sorozat minden egyes eszközénél egyenlő p. Határozza meg azoknak az eszközöknek a matematikai elvárását, amelyek meghibásodtak, ha tesztelték őket N eszközöket.

Megoldás: Az X diszkrét valószínűségi változó a meghibásodott eszközök száma N független tesztek, amelyek mindegyikében egyenlő a meghibásodás valószínűsége p, a binomiális törvény szerint oszlik el. A binomiális eloszlás matematikai elvárása megegyezik a kísérletek számának szorzatával annak a valószínűségével, hogy egy kísérletben egy esemény bekövetkezik:

2.17. példa. Diszkrét valószínűségi változó x 3 lehetséges értéket vesz fel: valószínűséggel ; valószínűséggel és valószínűséggel. Keresse meg és tudva, hogy M( x) = 8.

Megoldás: A matematikai elvárás definícióit és egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvényét használjuk:

Találunk: .

2.18. példa. A műszaki ellenőrzési osztály ellenőrzi a termékek szabványosságát. Annak a valószínűsége, hogy a termék szabványos, 0,9. Minden tétel 5 terméket tartalmaz. Határozzuk meg egy valószínűségi változó matematikai elvárását! x– a tételek száma, amelyek mindegyike pontosan 4 standard terméket tartalmaz, ha 50 tétel tartozik ellenőrzés alá.

Megoldás: Ebben az esetben minden elvégzett kísérlet független, és annak a valószínűsége, hogy minden tétel pontosan 4 standard terméket tartalmaz, azonos, ezért a matematikai elvárás a következő képlettel határozható meg:

hol a felek száma;

Annak a valószínűsége, hogy egy tétel pontosan 4 szabványos terméket tartalmaz.

A valószínűséget Bernoulli képletével találjuk meg:

Válasz: .

2.19. példa. Keresse meg egy valószínűségi változó varianciáját x– az esemény előfordulásának száma A két független kísérletben, ha ezekben a próbákban egy esemény bekövetkezésének valószínűsége azonos, és ismert, hogy M(x) = 0,9.

Megoldás: A probléma kétféleképpen oldható meg.

1) Az SV lehetséges értékei x: 0, 1, 2. A Bernoulli-képlet segítségével meghatározzuk ezeknek az eseményeknek a valószínűségét:

, , .

Aztán az elosztási törvény x a következő formában van:

A matematikai elvárás definíciójából meghatározzuk a valószínűséget:

Keressük az SV diszperzióját x:

2) Használhatja a következő képletet:

Válasz: .

2.20. példa. Normális eloszlású valószínűségi változó elvárása és szórása x rendre egyenlő 20 és 5. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a teszt eredményeként x a (15; 25) intervallumban lévő értéket veszi fel.

Megoldás: Normál valószínűségi változó eltalálásának valószínűsége x a tól ig szakaszon a Laplace-függvényen keresztül fejeződik ki:

Példa 2.21. Adott funkció:

Milyen paraméterértéken C ez a függvény valamilyen folytonos valószínűségi változó eloszlási sűrűsége x? Határozzuk meg egy valószínűségi változó matematikai elvárását és varianciáját! x.

Megoldás: Ahhoz, hogy egy függvény valamilyen valószínűségi változó eloszlássűrűsége legyen, nem negatívnak kell lennie, és teljesítenie kell a tulajdonságot:

Ennélfogva:

Számítsuk ki a matematikai elvárást a következő képlettel:

Számítsuk ki a szórást a képlet segítségével:

T egyenlő p. Meg kell találni ennek a valószínűségi változónak a matematikai elvárását és szórását.

Megoldás: Egy diszkrét X valószínűségi változó eloszlási törvényét - egy esemény előfordulásának számát független kísérletekben, amelyek mindegyikében az esemény bekövetkezésének valószínűsége egyenlő -vel, binomiálisnak nevezzük. A binomiális eloszlás matematikai elvárása megegyezik a kísérletek számának és az A esemény bekövetkezésének valószínűségének szorzatával egy kísérletben:

2.25. példa. Három egymástól független lövést adnak le a célpontra. Az egyes lövések eltalálásának valószínűsége 0,25. Határozza meg három lövéssel a találatok számának szórását!

Megoldás: Mivel három független kísérletet hajtanak végre, és az A esemény (találat) bekövetkezésének valószínűsége minden kísérletben azonos, ezért feltételezzük, hogy az X diszkrét valószínűségi változó - a célponton elért találatok száma - a következőképpen oszlik el: binomiális törvény.

A binomiális eloszlás varianciája megegyezik a kísérletek számának és az esemény bekövetkezésének és meg nem következésének valószínűségével egy kísérletben:

2.26. példa.Átlagosan három ügyfél keres fel 10 perc alatt egy biztosítót. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a következő 5 percben legalább egy ügyfél megérkezik.

Az 5 perc alatt érkező ügyfelek átlagos száma: . .

2.29. példa. A processzorsorban lévő alkalmazások várakozási ideje egy exponenciális eloszlási törvénynek engedelmeskedik, átlagosan 20 másodperc. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a következő (véletlenszerű) kérés 35 másodpercnél tovább várakozik a processzoron.

Megoldás: Ebben a példában a matematikai elvárás , és a meghibásodási arány egyenlő: .

Ezután a kívánt valószínűség:

2.30. példa. Egy 15 fős diákcsoport egy 20, egyenként 10 ülőhellyel rendelkező teremben tart megbeszélést. Minden tanuló véletlenszerűen foglal helyet a teremben. Mennyi annak a valószínűsége, hogy legfeljebb három ember kerül a sor hetedik helyére?

Megoldás:

2.31. példa.

Ezután a valószínűség klasszikus definíciója szerint:

Ahol -- a tételben lévő alkatrészek száma;

-- a nem szabványos alkatrészek száma a tételben;

– a kiválasztott alkatrészek száma;

-- a nem szabványos alkatrészek száma a kiválasztottak között.

Ekkor a valószínűségi változó eloszlási törvénye a következő lesz.

A folytonos valószínűségi változóknak végtelen számú lehetséges értéke van. Ezért lehetetlen terjesztési sorozatot bevezetni számukra.

Annak a valószínűsége helyett, hogy az X valószínűségi változó x-szel egyenlő értéket vesz fel, azaz. p(X = x), vegyük figyelembe annak valószínűségét, hogy X kisebb értéket vesz fel, mint x, azaz. P(X< х).

Vezessünk be a valószínűségi változók egy új jellemzőjét - az eloszlásfüggvényt, és vegyük figyelembe annak tulajdonságait.

Az eloszlásfüggvény a valószínűségi változó leguniverzálisabb jellemzője. Meghatározható diszkrét és folytonos valószínűségi változókra is:

F(x) = p(X< x).

Az eloszlási függvény tulajdonságai.

Az eloszlásfüggvény az argumentumának nem csökkenő függvénye, azaz. Ha:

Mínusz végtelennél az eloszlásfüggvény nulla:

Plusz végtelennél az eloszlásfüggvény egyenlő eggyel:

Egy valószínűségi változó adott intervallumba esésének valószínűségét a következő képlet határozza meg:

Az eloszlásfüggvény deriváltjával egyenlő f(x) függvényt az X valószínűségi változó valószínűségi sűrűségének vagy eloszlássűrűségének nevezzük:

Adjuk meg annak valószínűségét, hogy f(x)-en keresztül jutunk b-c szakaszba. Ez egyenlő az ebben a szakaszban szereplő valószínűségi elemek összegével, azaz. integrál:

Innentől az eloszlásfüggvényt valószínűségi sűrűséggel fejezhetjük ki:

A valószínűségi sűrűség tulajdonságai.

A valószínűségi sűrűség nem negatív függvény (mivel az eloszlásfüggvény nem csökkenő függvény):

Sűrűség valószínűleg

ity folytonos függvény.

A valószínűségi sűrűség végtelen integrálja egyenlő 1-gyel:

A valószínűségi sűrűségnek egy valószínűségi változó dimenziója van.

Folytonos valószínűségi változó elvárása és varianciája

A matematikai elvárás és variancia jelentése ugyanaz, mint a diszkrét valószínűségi változók esetében. A megtalálásukra szolgáló képletek típusa a következőkkel változik:

Ezután képleteket kapunk egy folytonos valószínűségi változó matematikai elvárásának és varianciájának kiszámításához:

Példa. Egy folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvényét a következő kifejezés adja meg:

Határozza meg az a értékét, a valószínűségi sűrűséget, a helyszín eltalálásának valószínűségét (0,25-0,5), a matematikai elvárást és a diszperziót.

Mivel az F(x) eloszlásfüggvény folytonos, akkor x = 1-nél ax2 = 1, ezért a = 1.

A valószínűségi sűrűséget az eloszlási függvény deriváltjaként találjuk:

Egy adott terület eltalálásának valószínűségét kétféleképpen lehet kiszámítani: az eloszlásfüggvény és a valószínűségi sűrűség segítségével.

1. módszer. A valószínűség meghatározásához az eloszlásfüggvényen keresztül a következő képletet használjuk:
2. módszer. A valószínűségi sűrűségen keresztüli valószínűség meghatározásához a következő képletet használjuk:

Megtaláljuk a matematikai elvárást:

A szórás megtalálása:

Egyenletes eloszlás

Tekintsünk egy X folytonos valószínűségi változót, amelynek lehetséges értékei egy bizonyos intervallumban vannak, és egyformán valószínűek.

Egy ilyen valószínűségi változó valószínűségi sűrűsége a következő formában lesz:

ahol c valamilyen állandó.

A valószínűségi sűrűség grafikonja így fog kinézni:

Fejezzük ki a c paramétert b-vel és c-vel. Ehhez azt a tényt használjuk, hogy a valószínűségi sűrűség integráljának a teljes régióban egyenlőnek kell lennie 1-gyel:

Egyenletes eloszlású valószínűségi változó eloszlási sűrűsége

Keressük az elosztási függvényt:

Egyenletes eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvénye

Ábrázoljuk az eloszlásfüggvényt:

Számítsuk ki egy egyenletes eloszlású valószínűségi változó matematikai elvárását és szórását.

Ekkor a szórás így fog kinézni:

Normál (Gauss) eloszlás

Egy X folytonos valószínűségi változót normális eloszlásúnak nevezünk a, y > 0 paraméterekkel, ha van valószínűségi sűrűsége:

Egy valószínűségi változó eloszlási görbéjének alakja a következő:

2. teszt

1. Feladat. Készítsen eloszlási törvényt egy diszkrét X valószínűségi változóra, számítsa ki a valószínűségi változó matematikai elvárását, szórását és szórását!

1.opció

A minőség-ellenőrzési osztály ellenőrzi a termékek szabványosságát. Annak a valószínűsége, hogy a termék szabványos, 0,7. 20 termék tesztelt. Keresse meg az X valószínűségi változó eloszlási törvényét - a standard termékek számát a tesztelt termékek között. Számítsa ki egy valószínűségi változó matematikai elvárását, szórását és szórását!

2. lehetőség

Az urnában 4 golyó van, amelyek a 2. pontot jelölik; 4; 5; 5. Véletlenszerűen húznak egy labdát. Keresse meg az X valószínűségi változó eloszlási törvényét - a rajta lévő pontok számát. Számítsa ki egy valószínűségi változó matematikai elvárását, szórását és szórását!

3. lehetőség

A vadász addig lő a vadara, amíg el nem találja, de legfeljebb három lövést adhat le. Az egyes lövések eltalálásának valószínűsége 0,6. Készítsen eloszlási törvényt az X valószínűségi változóhoz – a lövöldözések számához. Számítsa ki egy valószínűségi változó matematikai elvárását, szórását és szórását!

4. lehetőség

A mérés során a megadott pontosság túllépésének valószínűsége 0,4. Készítsen eloszlási törvényt az X valószínűségi változóra - a hibák száma 10 mérésben. Számítsa ki egy valószínűségi változó matematikai elvárását, szórását és szórását!

5. lehetőség

Annak a valószínűsége, hogy egy lövéssel eltaláljuk a célt, 0,45. 20 lövést adtak le. Készítsen eloszlási törvényt az X valószínűségi változóra - a találatok száma. Számítsa ki egy valószínűségi változó matematikai elvárását, szórását és szórását!

6. lehetőség

Egyes üzem termékei 5%-os hibát tartalmaznak. Készítsen eloszlási törvényt az X valószínűségi változóra - a hibás termékek száma öt között, amelyet szerencsére vettek. Számítsa ki egy valószínűségi változó matematikai elvárását, szórását és szórását!

7. lehetőség

Az összeszerelőnek szükséges alkatrészek az öt dobozból háromban vannak. Az összeszerelő addig nyitja ki a dobozokat, amíg meg nem találja a szükséges alkatrészeket. Készítsen eloszlási törvényt az X valószínűségi változóra - a nyitott dobozok számára! Számítsa ki egy valószínűségi változó matematikai elvárását, szórását és szórását!

8. lehetőség

Az urnában 3 fekete és 2 fehér golyó található. A golyókat egymás után távolítjuk el anélkül, hogy visszatérnének, amíg a fekete meg nem jelenik. Készítsen eloszlási törvényt az X valószínűségi változóhoz - a kihúzott golyók számához. Számítsa ki egy valószínűségi változó matematikai elvárását, szórását és szórását!

9. lehetőség

A tanuló a 20-ból 15 kérdést tud. A jegyen 3 kérdés található. Készítse el az X valószínűségi változó eloszlási törvényét - a jegyben a hallgató által ismert kérdések számát. Számítsa ki egy valószínűségi változó matematikai elvárását, szórását és szórását!

10. lehetőség

3 izzó van, mindegyik 0,4-es valószínűséggel hibás. Bekapcsoláskor a hibás izzó kiég, és egy másikra cserélik. Készítsen eloszlási törvényt az X valószínűségi változóra - a vizsgált lámpák száma. Számítsa ki egy valószínűségi változó matematikai elvárását, szórását és szórását!

2. feladat Az X valószínűségi változót az F(X) eloszlásfüggvény adja meg. Határozzuk meg az eloszlássűrűséget, a matematikai elvárásokat, a szóródást, valamint annak a valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó a (b, c) intervallumba esik! Rajzolja meg az F(X) és f(X) függvények grafikonjait!

1.opció