Lineáris függvény és annak. Lineáris függvény

A lineáris függvény y=kx+b alakú függvény, ahol x a független változó, k és b tetszőleges számok.
A lineáris függvény grafikonja egy egyenes.

1. Egy függvénygrafikon ábrázolásához, szükségünk van a függvény grafikonjához tartozó két pont koordinátáira. Ezek megtalálásához fel kell venni két x értéket, be kell cserélni a függvényegyenletbe, és ezek alapján kell kiszámítani a megfelelő y értékeket.

Például az y= x+2 függvény ábrázolásához célszerű x=0 és x=3, ekkor ezeknek a pontoknak az ordinátái egyenlők lesznek y=2 és y=3 értékekkel. Az A(0;2) és B(3;3) pontokat kapjuk. Kössük össze őket, és készítsük el az y= x+2 függvény grafikonját:

2. Az y=kx+b képletben a k számot arányossági együtthatónak nevezzük:
ha k>0, akkor az y=kx+b függvény növekszik
ha k
A b együttható a függvénygrafikon elmozdulását mutatja az OY tengely mentén:
ha b>0, akkor az y=kx+b függvény grafikonját az y=kx függvény grafikonjából kapjuk úgy, hogy az OY tengely mentén b egységet felfelé tolunk
ha b
Az alábbi ábra az y=2x+3 függvények grafikonjait mutatja; y = 1/2 x+3; y=x+3

Vegye figyelembe, hogy ezekben a függvényekben a k együttható Nulla felett,és a funkciók azok növekvő. Ráadásul minél nagyobb a k értéke, annál nagyobb az egyenes dőlésszöge az OX tengely pozitív irányához képest.

Minden függvényben b=3 - és azt látjuk, hogy minden gráf a (0;3) pontban metszi az OY tengelyt.

Tekintsük most az y=-2x+3 függvények grafikonjait; y=½ x+3; y=-x+3

Ezúttal minden függvényben a k együttható nullánál kisebbés funkciókat csökkennek. b=3 együttható, és a grafikonok, mint az előző esetben, a (0;3) pontban metszik az OY tengelyt.

Tekintsük az y=2x+3 függvények grafikonjait; y=2x; y=2x-3

Most minden függvényegyenletben a k együtthatók 2-vel egyenlők. És kaptunk három párhuzamos egyenest.

De a b együtthatók eltérőek, és ezek a grafikonok különböző pontokban metszik az OY tengelyt:
Az y=2x+3 (b=3) függvény grafikonja a (0;3) pontban metszi az OY tengelyt.
Az y=2x (b=0) függvény grafikonja az OY tengelyt a (0;0) pontban - az origóban - metszi.
Az y=2x-3 (b=-3) függvény grafikonja a (0;-3) pontban metszi az OY tengelyt.

Tehát, ha ismerjük a k és b együtthatók előjeleit, akkor azonnal el tudjuk képzelni, hogy néz ki az y=kx+b függvény grafikonja.
Ha k 0

Ha k>0 és b>0, akkor az y=kx+b függvény grafikonja így néz ki:

Ha k>0 és b, akkor az y=kx+b függvény grafikonja így néz ki:

Ha k, akkor az y=kx+b függvény grafikonja így néz ki:

Ha k=0, akkor az y=kx+b függvény y=b függvénnyel változik, és a grafikonja így néz ki:

Az y=b függvény grafikonján az összes pont ordinátája egyenlő b Ha b=0, akkor az y=kx (egyenes arányosság) függvény grafikonja átmegy az origón:

3. Külön jegyezzük meg az x=a egyenlet grafikonját. Ennek az egyenletnek a grafikonja az OY tengellyel párhuzamos egyenes, amelynek minden pontjában x=a abszcissza van.

Például az x=3 egyenlet grafikonja így néz ki:
Figyelem! Az x=a egyenlet nem függvény, így az argumentum egy értéke a függvény különböző értékeinek felel meg, ami nem felel meg egy függvény definíciójának.

4. Két egyenes párhuzamosságának feltétele:

Az y=k 1 x+b 1 függvény grafikonja párhuzamos az y=k 2 x+b 2 függvény grafikonjával, ha k 1 =k 2

5. A feltétel, hogy két egyenes merőleges legyen:

Az y=k 1 x+b 1 függvény grafikonja merőleges az y=k 2 x+b 2 függvény grafikonjára, ha k 1 *k 2 =-1 vagy k 1 =-1/k 2

6. Az y=kx+b függvény grafikonjának a koordinátatengelyekkel való metszéspontjai.

OY tengellyel. Az OY tengelyhez tartozó bármely pont abszcissza nullával egyenlő. Ezért az OY tengellyel való metszéspont megtalálásához a függvény egyenletében x helyett nullát kell behelyettesítenie. y=b-t kapunk. Vagyis az OY tengellyel való metszéspont koordinátái (0; b).

OX tengellyel: Az OX tengelyhez tartozó bármely pont ordinátája nulla. Ezért az OX tengellyel való metszéspont megtalálásához a függvény egyenletében nullát kell behelyettesíteni y helyett. 0=kx+b-t kapunk. Ezért x=-b/k. Vagyis az OX tengellyel való metszéspontnak vannak koordinátái (-b/k;0):

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezést nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik számunkra, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásnak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció állami szerveinek nyilvános kérelmei vagy kérései alapján - személyes adatainak felfedésére. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai jellegűeket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Lineáris függvény az alak függvényének nevezzük y = kx + b, az összes valós szám halmazán definiálva. Itt k– meredekség (valós szám), b – szabad kifejezés (valós szám), x- független változó.

Különleges esetben, ha k = 0, állandó függvényt kapunk y = b, melynek grafikonja az Ox tengellyel párhuzamos, a ponton áthaladó egyenes vonal koordinátákkal (0; b).

Ha b = 0, akkor megkapjuk a függvényt y = kx, ami egyenes arányosság.

b – szegmens hossza, amelyet az Oy tengely mentén az origótól számítva egyenes vonal vág le.

Az együttható geometriai jelentése k – hajlásszög egyenesen az Ox tengely pozitív irányába, az óramutató járásával ellentétes irányban.

A lineáris függvény tulajdonságai:

1) A lineáris függvény definíciós tartománya a teljes valós tengely;

2) Ha k ≠ 0, akkor a lineáris függvény értéktartománya a teljes valós tengely. Ha k = 0, akkor a lineáris függvény értéktartománya a számból áll b;

3) A lineáris függvény egyenletessége és páratlansága az együtthatók értékétől függ kÉs b.

a) b ≠ 0, k = 0, ennélfogva, y = b – páros;

b) b = 0, k ≠ 0, ennélfogva y = kx – páratlan;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, ennélfogva y = kx + b – általános alakú függvény;

d) b = 0, k = 0, ennélfogva y = 0 – páros és páratlan függvények is.

4) A lineáris függvény nem rendelkezik periodicitás tulajdonsággal;

5) Metszéspontok koordinátatengelyekkel:

Ökör: y = kx + b = 0, x = -b/k, ennélfogva (-b/k; 0)– metszéspont az abszcissza tengellyel.

Oy: y = 0k + b = b, ennélfogva (0; b)– metszéspont az ordináta tengellyel.

Megjegyzés: Ha b = 0És k = 0, majd a függvény y = 0 a változó bármely értékénél nullára megy x. Ha b ≠ 0És k = 0, majd a függvény y = b nem tűnik el a változó egyetlen értékénél sem x.

6) Az előjelállandóság intervallumai a k ​​együtthatótól függenek.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b– pozitív mikor x tól től (-b/k; +∞),

y = kx + b– negatív mikor x tól től (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b– pozitív mikor x tól től (-∞; -b/k),

y = kx + b– negatív mikor x tól től (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b pozitív a teljes definíciós tartományban,

k = 0, b< 0; y = kx + b negatív az egész definíciós tartományban.

7) Egy lineáris függvény monotonitási intervallumai az együtthatótól függenek k.

k > 0, ennélfogva y = kx + b növekszik az egész definíciós területen,

k< 0 , ennélfogva y = kx + b csökken a teljes definíciós tartományban.

8) Egy lineáris függvény grafikonja egy egyenes. Egy egyenes megépítéséhez elegendő két pontot ismerni. Az egyenes helyzete a koordinátasíkon az együtthatók értékétől függ kÉs b. Az alábbiakban egy táblázat látható, amely ezt egyértelműen szemlélteti.

Lineáris függvény definíciója

Mutassuk be a lineáris függvény definícióját

Meghatározás

A $y=kx+b$ alakú függvényt, ahol $k$ nem nulla, lineáris függvénynek nevezzük.

A lineáris függvény grafikonja egy egyenes. A $k$ számot az egyenes meredekségének nevezzük.

Amikor $b=0$ a lineáris függvényt egyenes arányosságú függvénynek nevezzük $y=kx$.

Tekintsük az 1. ábrát.

Rizs. 1. Egy egyenes meredekségének geometriai jelentése

Tekintsük az ABC háromszöget. Azt látjuk, hogy $ВС=kx_0+b$. Keressük meg az $y=kx+b$ egyenes és az $Ox$ tengely metszéspontját:

\ \

Tehát $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Határozzuk meg ezen oldalak arányát:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Másrészt $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

Így a következő következtetést vonhatjuk le:

Következtetés

A $k$ együttható geometriai jelentése. A $k$ egyenes szögegyütthatója megegyezik az egyenes $Ox$ tengelyhez viszonyított dőlésszögének érintőjével.

A $f\left(x\right)=kx+b$ lineáris függvény és grafikonjának tanulmányozása

Először vegyük figyelembe a $f\left(x\right)=kx+b$ függvényt, ahol $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Következésképpen ez a függvény a teljes definíciós tartományban növekszik. Nincsenek szélsőséges pontok.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Grafikon (2. ábra).

Rizs. 2. A $y=kx+b$ függvény grafikonjai, ha $k > 0$.

Most vegyük figyelembe a $f\left(x\right)=kx$ függvényt, ahol $k

1. A meghatározás tartománya az összes szám.
2. Az értéktartomány minden szám.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. A függvény se nem páros, se nem páratlan.
4. $x=0,f\left(0\right)=b$ esetén. Amikor $y=0.0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Metszéspontok koordinátatengelyekkel: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ és $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$ Ezért a függvénynek nincsenek inflexiós pontjai.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Grafikon (3. ábra).

A numerikus függvény fogalma. Funkció megadásának módszerei. A függvények tulajdonságai.

A numerikus függvény olyan függvény, amely az egyik numerikus térből (halmazból) egy másik numerikus térbe (halmazba) hat.

A függvény meghatározásának három fő módja: analitikus, táblázatos és grafikus.

1. Elemző.

A függvény képlet segítségével történő megadásának módszerét analitikusnak nevezzük. Ez a módszer a fő a szőnyegben. elemzés, de a gyakorlatban nem kényelmes.

2. Függvény megadásának táblázatos módszere.

Egy függvény megadható az argumentumértékeket és a hozzájuk tartozó függvényértékeket tartalmazó táblázat segítségével.

3. Egy függvény megadásának grafikus módszere.

Egy y=f(x) függvényt grafikusan adottnak mondunk, ha a gráfja meg van alkotva. A függvény megadásának ez a módszere csak megközelítőleg teszi lehetővé a függvényértékek meghatározását, mivel a grafikon felépítése és a rajta lévő függvényértékek megtalálása hibákkal jár.

A függvény tulajdonságai, amelyeket figyelembe kell venni a gráf felépítésénél:

1) A függvény definíciós tartománya.

A funkció tartománya, vagyis azok az értékek, amelyeket az F =y (x) függvény x argumentuma felvehet.

2) Növekvő és csökkenő függvények intervallumai.

A függvényt növelőnek nevezzük a vizsgált intervallumon, ha az argumentum nagyobb értéke az y(x) függvény nagyobb értékének felel meg. Ez azt jelenti, hogy ha két tetszőleges x 1 és x 2 argumentumot veszünk a vizsgált intervallumból, és x 1 > x 2, akkor y(x 1) > y(x 2).

A függvényt csökkenőnek nevezzük a vizsgált intervallumon, ha az argumentum nagyobb értéke az y(x) függvény kisebb értékének felel meg. Ez azt jelenti, hogy ha két tetszőleges x 1 és x 2 argumentumot veszünk a vizsgált intervallumból, és x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Funkció nullák.

Azokat a pontokat, ahol az F = y (x) függvény metszi az abszcissza tengelyt (ezeket az y(x) = 0 egyenlet megoldásával kapjuk meg), a függvény nulláinak nevezzük.

4) Páros és páratlan függvények.

A függvényt párosnak nevezzük, ha a hatókörből származó összes argumentumértékre

y(-x) = y(x).

A páros függvény grafikonja szimmetrikus az ordinátára.

A függvény neve páratlan, ha az argumentum összes értékére a definíciós tartományból

y(-x) = -y(x).

A páros függvény grafikonja szimmetrikus az origóra.

Sok függvény nem páros és nem páratlan.

5) A függvény periodicitása.

A függvényt periodikusnak nevezzük, ha van olyan P szám, amely a definíciós tartományból származó argumentum összes értékére vonatkozik

y(x + P) = y(x).

Lineáris függvény, tulajdonságai és grafikonja.

A lineáris függvény az alak függvénye y = kx + b, az összes valós szám halmazán definiálva.

k– meredekség (valós szám)

b– hamis kifejezés (valós szám)

x- független változó.

· Speciális esetben, ha k = 0, egy y = b konstans függvényt kapunk, melynek grafikonja a ponton (0; b) átmenő, az Ox tengellyel párhuzamos egyenes.

· Ha b = 0, akkor az y = kx függvényt kapjuk, ami egyenes arányosság.

o A b együttható geometriai jelentése annak a szakasznak a hossza, amelyet az egyenes az Oy tengely mentén levág, az origótól számítva.

o A k együttható geometriai jelentése az egyenesnek az Ox tengely pozitív irányához viszonyított dőlésszöge, az óramutató járásával ellentétes irányban számítva.

A lineáris függvény tulajdonságai:

1) A lineáris függvény definíciós tartománya a teljes valós tengely;

2) Ha k ≠ 0, akkor a lineáris függvény értéktartománya a teljes valós tengely.

Ha k = 0, akkor a lineáris függvény értéktartománya a b számból áll;

3) Egy lineáris függvény egyenletessége és páratlansága a k és b együtthatók értékétől függ.

a) b ≠ 0, k = 0, tehát y = b – páros;

b) b = 0, k ≠ 0, ezért y = kx – páratlan;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, ezért y = kx + b általános alak függvénye;

d) b = 0, k = 0, ezért y = 0 páros és páratlan függvény is.

4) A lineáris függvény nem rendelkezik periodicitás tulajdonsággal;

5) A koordinátatengelyekkel való metszéspontok:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, ezért (-b/k; 0) az x tengellyel való metszéspont.

Oy: y = 0k + b = b, ezért (0; b) az ordinátával való metszéspont.

Megjegyzés. Ha b = 0 és k = 0, akkor az y = 0 függvény az x változó bármely értékére eltűnik. Ha b ≠ 0 és k = 0, akkor az y = b függvény az x változó egyetlen értékére sem tűnik el.

6) Az állandó előjel intervallumai a k ​​együtthatótól függenek.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – pozitív x-nél (-b/k; +∞),

y = kx + b – negatív x-re (-∞; -b/k).

b)k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – pozitív x-nél (-∞; -b/k),

y = kx + b – negatív x (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b pozitív a teljes definíciós tartományban,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Egy lineáris függvény monotonitási intervallumai a k ​​együtthatótól függenek.

k > 0, ezért y = kx + b növekszik a teljes definíciós tartományban,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. y = ax 2 + bx + c függvény, tulajdonságai és grafikonja.

Az y = ax 2 + bx + c (a, b, c állandók, a ≠ 0) függvényt ún. négyzetes A legegyszerűbb esetben y = ax 2 (b = c = 0) a gráf egy görbe vonal, amely az origón halad át. Az y = ax 2 függvény grafikonjaként szolgáló görbe egy parabola. Minden parabolának van egy szimmetriatengelye, az úgynevezett a parabola tengelye. A parabola tengelyével való metszéspontjának O pontját nevezzük a parabola csúcsa.

A gráf a következő séma szerint szerkeszthető: 1) Határozzuk meg az x 0 = -b/2a parabola csúcsának koordinátáit; y 0 = y(x 0). 2) Megszerkesztünk még több, a parabolához tartozó pontot, a szerkesztés során felhasználhatjuk a parabola x = -b/2a egyeneshez viszonyított szimmetriáit. 3) Kösse össze a jelzett pontokat egy sima vonallal. Példa. Ábrázolja a b = x 2 + 2x - 3 függvényt. Megoldások. A függvény grafikonja egy parabola, melynek ágai felfelé irányulnak. Az x 0 = 2/(2 ∙1) = -1 parabola csúcsának abszcissza, ordinátái y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. Tehát a parabola csúcsa a (-1; -4) pont. Állítsunk össze egy értéktáblázatot több ponthoz, amelyek a parabola szimmetriatengelyétől jobbra helyezkednek el - x = -1 egyenes. Funkció tulajdonságai.