Koordináták és vektorok. Átfogó útmutató (2020)

Az abszcisszát és az ordinátatengelyt ún koordináták vektor. A vektorkoordinátákat általában az űrlapon tüntetik fel (x, y), és maga a vektor: =(x, y).

Kétdimenziós feladatok vektorkoordinátáinak meghatározására szolgáló képlet.

Kétdimenziós probléma esetén ismert vektorral pontok koordinátái A(x 1;y 1)És B(x 2 ; y 2 ) kiszámítható:

= (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

Térbeli problémák vektorkoordinátáinak meghatározására szolgáló képlet.

Térbeli probléma esetén ismert vektorral pontok koordinátái A (x 1;y 1;z 1 ) és B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) képlettel lehet kiszámítani:

= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

A koordináták átfogó leírást adnak a vektorról, mivel a koordináták segítségével maga a vektor is megszerkeszthető. A koordináták ismeretében könnyen kiszámítható és vektor hossza. (3. ingatlan lent).

A vektorkoordináták tulajdonságai.

1. Bármelyik egyenlő vektorok egyetlen koordinátarendszerben van egyenlő koordináták.

2. Koordináták kollineáris vektorok arányos. Feltéve, hogy egyik vektor sem nulla.

3. Bármely vektor hosszának négyzete egyenlő annak négyzetösszegével koordináták.

4.A műtét során vektor szorzás tovább valós szám minden koordinátáját megszorozzuk ezzel a számmal.

5. A vektorok összeadásánál a megfelelő összegét számítjuk ki vektor koordináták.

6. Skaláris szorzat két vektor egyenlő a megfelelő koordinátáik szorzatának összegével.

12. Vektor hossza, szakasz hossza, vektorok közötti szög, vektorok merőlegességének feltétele.

vektor - Ez egy irányított szakasz, amely két pontot köt össze a térben vagy egy síkban. A vektorokat általában kis betűkkel vagy kezdő- és végpontokkal jelöljük. A tetején általában egy kötőjel található.

Például a pontból irányított vektor A lényegre törő B, kijelölhető a ,

Nulla vektor 0 vagy 0 - Ez egy olyan vektor, amelynek kezdő- és végpontja egybeesik, azaz. A = B. Innen, 0 = – 0 .

Vektor hossza (modulus)a az azt reprezentáló szakasz hossza AB, jelölése |a | . Különösen | 0 | = 0.

A vektorokat ún kollineáris, ha irányított szakaszaik párhuzamos egyeneseken fekszenek. Kollineáris vektorok a És b vannak kijelölve a || b .

Három vagy több vektort hívunk egysíkú, ha egy síkban fekszenek.

Vektor kiegészítés. Mivel a vektorok irányította szegmenseket, akkor ezek összeadása elvégezhető mértanilag. (A vektorok algebrai összeadását az alábbiakban az „Egység ortogonális vektorok” részben ismertetjük). Tegyünk úgy, mintha

a = ABés b = CD,

akkor a vektor __ __

a + b = AB+ CD

két művelet eredménye:

a)párhuzamos átvitel az egyik vektort úgy, hogy kezdőpontja egybeessen a második vektor végpontjával;

b)geometriai kiegészítés, azaz a rögzített vektor kezdőpontjától az átvitt vektor végpontjáig tartó eredő vektor szerkesztése.

Vektorok kivonása. Ez a művelet az előzőre redukálódik, ha a részfej vektort az ellenkezőjére cseréljük: a – b =a + (– b ) .

Az összeadás törvényei.

ÉN. a + b = b + a (Átmeneti jog).

II. (a + b ) + c = a + (b + c ) (Kombinatív jog).

III. a + 0 = a .

IV. a + (– a ) = 0 .

A vektor számmal való szorzásának törvényei.

ÉN. 1 · a = a , 0 · a = 0 , m· 0 = 0 , (– 1) · a = – a .

II. ma = a m,| ma | = | m | · | a | .

III. m(na ) = (perc)a . (C o m b e t a l

számmal való szorzás törvénye).

IV. (m+n) a = ma + na , (ELOSZTÁSI

m(a + b ) = ma + mb . számmal való szorzás törvénye).

Vektorok pontszorzata. __ __

Szög a nullától eltérő vektorok között ABÉs CD– ez az a szög, amelyet a vektorok alkotnak, amikor párhuzamosan kerülnek átvitelre, amíg a pontok egy vonalba nem kerülnek AÉs C. Vektorok pontszorzataa És b egyenlő számnak nevezzük a hosszuk és a köztük lévő szög koszinuszának szorzata:

Ha az egyik vektor nulla, akkor skaláris szorzata a definíció szerint nullával egyenlő:

(a, 0 ) = ( 0 , b ) = 0 .

Ha mindkét vektor nem nulla, akkor a köztük lévő szög koszinuszát a következő képlettel számítjuk ki:

skaláris szorzat ( a, a ), egyenlő: | a | 2, hívják skaláris négyzet. Vektor hossza a és a skalárnégyzete összefügg:

Két vektor pontszorzata:

- pozitívan, ha a vektorok közötti szög fűszeres;

- negatív, ha a vektorok közötti szög tompa.

Két nem nulla vektor skaláris szorzata akkor egyenlő nullával és csak akkor, ha a köztük lévő szög egyenes, pl. amikor ezek a vektorok merőlegesek (ortogonálisak):

A skalárszorzat tulajdonságai. Bármilyen vektorhoz a, időszámításunk előtt és tetszőleges szám m a következő összefüggések érvényesek:

ÉN. (a, b ) = (b,a ) . (Átmeneti törvény)

II. (ma, b ) = m(a, b ) .

III.(a+b,c ) = (a, c ) + (b, c ). (elosztási törvény)

Egység ortogonális vektorok. Bármely téglalap alakú koordinátarendszerben megadható egységpáronkénti ortogonális vektorokén , j És k koordinátatengelyekhez társítva: én – tengellyel x, j – tengellyel YÉs k – tengellyel Z. E meghatározás szerint:

(én ,j ) = (én , k ) = (j , k ) = 0,

| én | =| j | =| k | = 1.

Bármilyen vektor a Ezekkel a vektorokkal egyedi módon fejezhető ki: a = xi+ yj+ zk . A felvétel másik formája: a = (x, y, z). Itt x, y, z - koordináták vektor a ebben a koordinátarendszerben. Az egységnyi ortogonális vektorok utolsó összefüggésének és tulajdonságainak megfelelően i, j , k Két vektor skaláris szorzata különbözőképpen fejezhető ki.

Hadd a = (x, y, z); b = (u, v, w). Akkor ( a, b ) = xu + yv + zw.

Két vektor skaláris szorzata egyenlő a megfelelő koordináták szorzatának összegével.

Vektor hossza (modulus) a = (x, y, z ) egyenlő:

Ezen kívül most lehetőségünk nyílik levezényelni algebrai a vektorokon végzett műveletek, nevezetesen a vektorok összeadása és kivonása végrehajtható koordináták segítségével:

a+ b = (x + u, y + v, z + w) ;

a – b = (x–u, y– v, z–w) .

Vektorok keresztszorzata. vektoros alkotás [a, b ] vektoroka Ésb (ebben a sorrendben) vektornak nevezzük:

Van egy másik képlet a vektor hosszára [ a, b ] :

| [ a, b ] | = | a | | b | bűn ( a, b ) ,

azaz hossza ( modult ) vektorok vektorszorzataa Ésb egyenlő ezen vektorok hosszának (moduljainak) és a köztük lévő szög szinuszának szorzatával. Más szavakkal: a vektor hossza (modulusa).[ a, b ] számszerűen megegyezik a vektorokra épített paralelogramma területével a Ésb .

A vektorszorzat tulajdonságai.

ÉN. vektor [ a, b ] merőleges (ortogonális) mindkét vektort a És b .

(Bizonyítsa be, kérem!).

II.[ a, b ] = – [b,a ] .

III. [ ma, b ] = m[a, b ] .

IV. [ a+b,c ] = [ a, c ] + [ b, c ] .

V. [ a, [ időszámításunk előtt ] ] = b (a, c ) – c (a, b ) .

VI. [ [ a, b ] , c ] = b (a, c ) – a (időszámításunk előtt ) .

A kollinearitás szükséges és elégséges feltétele vektorok a = (x, y, z) És b = (u, v, w) :

A koplanaritás szükséges és elégséges feltétele vektorok a = (x, y, z), b = (u, v, w) És c = (p, q, r) :

PÉLDA A vektorok adottak: a = (1, 2, 3) és b = (– 2 , 0 ,4).

Számítsa ki pont- és keresztszorzatukat és szögüket!

e vektorok között.

Megoldás: A megfelelő képletekkel (lásd fent) a következőket kapjuk:

a) skalár szorzat:

(a, b ) = 1 · (– 2) + 2 · 0 + 3 · 4 = 10 ;

b). vektor termék:

A vektor koordinátáinak megtalálása meglehetősen gyakori feltétele számos matematikai feladatnak. A vektorkoordináták megtalálásának képessége segít más, hasonló témájú, összetettebb problémák megoldásában. Ebben a cikkben megvizsgáljuk a vektorkoordináták megtalálásának képletét és számos problémát.

Egy vektor koordinátáinak megtalálása egy síkban

Mi az a repülőgép? A síkot kétdimenziós térnek tekintjük, kétdimenziós térnek (x dimenzió és y dimenzió). Például a papír lapos. Az asztal felülete sík. Bármely nem térfogati alak (négyzet, háromszög, trapéz) egyben sík is. Így, ha a problémafelvetésben meg kell találni egy síkon fekvő vektor koordinátáit, azonnal eszünkbe jut x és y. Egy ilyen vektor koordinátáit a következőképpen találhatja meg: A vektor AB koordinátái = (xB – xA; yB – xA). A képlet azt mutatja, hogy ki kell vonni a kezdőpont koordinátáit a végpont koordinátáiból.

Példa:

• A Vector CD kezdeti (5; 6) és végső (7; 8) koordinátákkal rendelkezik.
• Keresse meg magának a vektornak a koordinátáit.
• A fenti képlet segítségével a következő kifejezést kapjuk: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• Így a CD vektor koordinátái = (2; 2).
• Ennek megfelelően az x koordináta egyenlő kettővel, az y koordináta is kettő.

Egy vektor koordinátáinak megtalálása a térben

Mi az a tér? A tér már egy háromdimenziós dimenzió, ahol 3 koordináta adott: x, y, z. Ha olyan vektort kell találnia, amely a térben fekszik, a képlet gyakorlatilag nem változik. Csak egy koordináta kerül hozzáadásra. A vektor megtalálásához ki kell vonni a kezdet koordinátáit a végkoordinátákból. AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)

Példa:

• A DF vektornak kezdő (2; 3; 1) és végső (1; 5; 2) van.
• A fenti képletet alkalmazva a következőt kapjuk: Vektor koordináták DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• Ne feledje, a koordináta érték negatív is lehet, nincs probléma.

Hogyan keressünk vektorkoordinátákat online?

Ha valamilyen oknál fogva nem szeretné saját maga megtalálni a koordinátákat, használhat egy online számológépet. Kezdésként válassza ki a vektordimenziót. Egy vektor dimenziója felelős a méreteiért. A 3. dimenzió azt jelenti, hogy a vektor a térben van, a 2. dimenzió azt, hogy a síkon van. Ezután illessze be a pontok koordinátáit a megfelelő mezőkbe, és a program meghatározza magának a vektor koordinátáit. Minden nagyon egyszerű.

A gombra kattintva az oldal automatikusan lefelé gördül és megadja a helyes választ a megoldás lépéseivel együtt.

Javasoljuk ezt a témát jól tanulmányozni, mert a vektor fogalma nemcsak a matematikában, hanem a fizikában is megtalálható. Az Informatikai Kar hallgatói szintén a vektorok témakörét tanulják, de összetettebb szinten.

1. Vektor definíciója. Vektor hossza. Kollinearitás, vektorok koplanaritása.

A vektor egy irányított szegmens. Egy vektor hossza vagy modulusa a megfelelő irányított szakasz hossza.

Vektor modul a-vel jelöljük. Vektor a egységnek nevezzük, ha . A vektorokat kollineárisnak nevezzük, ha párhuzamosak ugyanazzal az egyenessel. A vektorokat koplanárisnak nevezzük, ha párhuzamosak ugyanazzal a síkkal.

2. Vektor szorzása számmal. Működési tulajdonságok.

Ha egy vektort megszorozunk egy számmal, akkor egy ellentétes irányú vektort kapunk, amely kétszer olyan hosszú. Egy vektor koordináta formájú számmal való szorzata úgy történik, hogy az összes koordinátát megszorozzuk ezzel a számmal:

A definíció alapján egy kifejezést kapunk a vektor modulusára, szorozva a számmal:

A számokhoz hasonlóan a vektor önmagához adásának művelete felírható számmal való szorzással:

És a vektorok kivonása összeadással és szorzással átírható:

Abból a tényből kiindulva, hogy a -val való szorzás nem a vektor hosszát, hanem csak az irányát változtatja meg, és figyelembe véve a vektor definícióját, a következőt kapjuk:

3. Vektorok összeadása, vektorok kivonása.

A koordinátaábrázolás során az összegvektort a kifejezések megfelelő koordinátáinak összegzésével kapjuk meg:

Az összegvektor geometriai felépítéséhez különféle szabályokat (módszereket) használnak, de mindegyik ugyanazt az eredményt adja. Egyik vagy másik szabály alkalmazását a megoldandó probléma indokolja.

Háromszög szabály

A háromszögszabály a legtermészetesebben abból következik, hogy egy vektort átvitelként értelmezünk. Nyilvánvaló, hogy egy bizonyos ponton két átvitel egymás utáni alkalmazása ugyanaz lesz, mint egy, ennek a szabálynak megfelelő átvitel egyszerre. Két vektor összeadása a szabály szerint háromszög mindkét vektort egymással párhuzamosan visszük át úgy, hogy az egyik eleje egybeessen a másik végével. Ekkor az összegvektort a kapott háromszög harmadik oldala adja meg, és annak eleje egybeesik az első vektor kezdetével, vége pedig a második vektor végével.

Ez a szabály közvetlenül és természetesen általánosítható tetszőleges számú vektor összeadására, átváltva a következőre törött vonal szabály:

Sokszög szabály

A második vektor eleje egybeesik az első végével, a harmadik eleje a második végével, és így tovább, a vektorok összege egy vektor, amelynek eleje egybeesik az első kezdetével, és a vége egybeesik a th végével (azaz a szaggatott vonalat lezáró irányított szegmens ábrázolja) . Törtvonalszabálynak is nevezik.

Parallelogramma szabály

Két vektor összeadásához és a szabály szerint paralelogramma mindkét vektor önmagával párhuzamosan kerül átvitelre, így az origójuk egybeesik. Ekkor az összegvektort a rájuk szerkesztett paralelogramma átlója adja, közös origójukból kiindulva. (A háromszögszabály használatakor jól látható, hogy ez az átló egybeesik a háromszög harmadik oldalával).

A paralelogramma-szabály különösen akkor hasznos, ha szükség van arra, hogy az összegvektort azonnal ugyanarra a pontra alkalmazva ábrázoljuk, amelyre mindkét kifejezés vonatkozik – vagyis mindhárom vektort közös origóként kell ábrázolni.

Vektorösszeg modulus

Két vektor összegének modulusa segítségével lehet kiszámítani koszinusz tétel:

Hol van a vektorok közötti szög koszinusza.

Ha a vektorokat a háromszögszabálynak megfelelően ábrázoljuk, és a szöget a rajz szerint vesszük - a háromszög oldalai között -, amely nem esik egybe a vektorok közötti szög szokásos meghatározásával, tehát a fenti szöggel képletet, akkor az utolsó tag mínuszjelet kap, ami a koszinusztételnek a közvetlen megfogalmazásában felel meg.

Tetszőleges számú vektor összegére hasonló képlet alkalmazható, amelyben több koszinuszos tag van: az összegzett halmaz minden vektorpárjára létezik egy ilyen tag. Például három vektor esetén a képlet így néz ki:

Vektoros kivonás

Két vektor és különbségvektoruk

A koordinátaforma különbségének meghatározásához ki kell vonni a vektorok megfelelő koordinátáit:

A különbségvektor megszerzéséhez a vektorok elejét összekapcsoljuk, és a vektor eleje lesz a vége, a vége pedig a vége. Ha vektorpontok segítségével írjuk fel, akkor.

Vektor különbség modul

Három vektor, mint az összeadásnál, háromszöget alkot, és a különbségi modul kifejezése hasonló:

ahol a vektorok közötti szög koszinusza

Az összeg modulusának képletétől való eltérés a koszinusz előtti jelben van; ebben az esetben gondosan figyelni kell, hogy melyik szöget veszik figyelembe (az összeg modulusának képletének változata a közötti szöggel a háromszög oldalai a háromszögszabály szerinti összegzéskor formailag nem térnek el a különbség modulusának ettől a képletétől, de rendelkeznie kell Megjegyzés, hogy itt különböző szögeket veszünk: összeg esetén a szög akkor veszik fel, amikor a vektort a vektor végére visszük át; ha különbségi modellt keresünk, az egy pontra alkalmazott vektorok közötti szöget veszik fel; az összeg modulusának kifejezése ugyanazt a szöget használja, mint a modulus adott kifejezésében a különbség, a koszinusz előtti jelben különbözik).

Először is meg kell értenünk magát a vektor fogalmát. Ahhoz, hogy bemutassuk a geometriai vektor definícióját, ne feledjük, mi is az a szakasz. Vezessük be a következő definíciót.

1. definíció

A szakasz egy egyenes része, amelynek két határa van pontok formájában.

Egy szegmensnek 2 iránya lehet. Az irány jelölésére a szegmens egyik határát a kezdetének, a másik határát a végének nevezzük. Az irányt a szegmens elejétől a végéig jelzi.

2. definíció

A vektor vagy irányított szegmens olyan szegmens lesz, amelynél ismert, hogy a szakasz határai közül melyik tekinthető kezdetének és melyik a vége.

Megnevezés: Két betűvel: $\overline(AB)$ – (ahol $A$ a kezdete, és $B$ a vége).

Egy kis betűvel: $\overline(a)$ (1. ábra).

Vezessük be közvetlenül a vektorhosszak fogalmát.

3. definíció

A $\overline(a)$ vektor hossza az $a$ szegmens hossza lesz.

Jelölés: $|\overline(a)|$

A vektorhossz fogalma például olyan fogalomhoz kapcsolódik, mint a két vektor egyenlősége.

4. definíció

Két vektort egyenlőnek nevezünk, ha két feltételt teljesítenek: 1. Egyirányúak; 1. Hosszúságuk egyenlő (2. ábra).

A vektorok meghatározásához adjon meg egy koordináta-rendszert, és határozza meg a vektor koordinátáit a megadott rendszerben. Mint tudjuk, bármely vektor felbontható $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ formában, ahol $m$ és $n$ valós számok, és $\overline (i )$ és $\overline(j)$ egységvektorok az $Ox$ és $Oy$ tengelyen.

5. definíció

A $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ vektor kiterjesztési együtthatóit nevezzük ennek a vektornak a koordinátáinak a bevezetett koordinátarendszerben. Matematikailag:

$\overline(c)=(m,n)$

Hogyan találjuk meg a vektor hosszát?

Egy tetszőleges vektor koordinátáinak megfelelő hosszának kiszámításához vegye figyelembe a következő problémát:

1. példa

Adott: $\overline(α)$ vektor $(x,y)$ koordinátákkal. Keresse meg: ennek a vektornak a hossza.

Vezessünk be egy $xOy$ derékszögű koordinátarendszert a síkon. Tegyük félre a $\overline(OA)=\overline(a)$ a bevezetett koordinátarendszer origójából. Szerkesszük meg a megszerkesztett vektor $OA_1$ és $OA_2$ vetületét az $Ox$ illetve $Oy$ tengelyekre (3. ábra).

Az általunk megszerkesztett $\overline(OA)$ vektor a $A$ pont sugárvektora lesz, ezért $(x,y)$ koordinátái lesznek, ami azt jelenti, hogy

$=x$, $[OA_2]=y$

Most a Pitagorasz-tétel segítségével könnyen megtalálhatjuk a kívánt hosszúságot, megkapjuk

$|\overline(α)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

Válasz: $\sqrt(x^2+y^2)$.

Következtetés: Annak a vektornak a hosszának meghatározásához, amelynek koordinátái adottak, meg kell találni ezen koordináták összegének négyzetének gyökerét.

Minta feladatok

2. példa

Keresse meg a távolságot a $X$ és $Y$ pontok között, amelyeknek a következő koordinátái vannak: $(-1.5)$ és $(7.3)$.

Bármely két pont könnyen társítható a vektor fogalmához. Vegyük például a $\overline(XY)$ vektort. Mint már tudjuk, egy ilyen vektor koordinátáit úgy találhatjuk meg, hogy a kezdőpont megfelelő koordinátáit ($X$) kivonjuk a végpont koordinátáiból ($Y$). Ezt értjük