Hogyan találjuk meg a 45 fokos érintőt.

A szinuszok (sin), koszinuszok (cos), érintők (tg), kotangensek (ctg) értéktáblázatai hatékony és hasznos eszköz, amely számos elméleti és alkalmazott probléma megoldásában segít. Ebben a cikkben bemutatjuk az alapvető trigonometrikus függvények (szinuszok, koszinuszok, érintők és kotangensek) táblázatát 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 fokos szögekhez (0, π 6, π 3, π 2,... . , 2 π radián). A szinuszokhoz és koszinuszokhoz, érintőkhöz és kotangensekhez külön Bradis-táblázatok is megjelennek, amelyek magyarázattal szolgálnak az alapvető trigonometrikus függvények értékeinek megtalálásához.

Az alapvető trigonometrikus függvények táblázata 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 fokos szögekhez

A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciói alapján megtalálhatja ezeknek a függvényeknek az értékeit 0 és 90 fokos szögekre

sin 0 = 0, cos 0 = 1, t g 0 = 0, nulla kotangens nincs meghatározva,

sin 90° = 1, cos 90° = 0, c t g 90° = 0, kilencven fokos érintő nincs meghatározva.

A szinuszok, koszinuszok, érintők és kotangensek értékeit a geometria tanfolyamon egy derékszögű háromszög oldalainak arányaként határozzuk meg, amelyek szögei 30, 60 és 90 fokos, valamint 45, 45 és 90 fokosak.

Trigonometrikus függvények meghatározása derékszögű háromszög hegyesszögére

Sinus- az ellenkező oldal és a hypotenus aránya.

Koszinusz- a szomszédos láb és a hypotenus aránya.

Tangens- az ellenkező oldal és a szomszédos oldal aránya.

Kotangens- a szomszédos oldal és a szemközti oldal aránya.

A definícióknak megfelelően a függvények értékei megtalálhatók:

sin 30° = 1 2, cos 30° = 3 2, tg 30° = 3 3, c tg 30° = 3, sin 45° = 2 2, cos 45° = 2 2, tg 45° = 1, c t g 45° = 1, sin 60° = 3 2, cos 45° = 1 2, tg 45° = 3, c tg 45° = 3 3.

Tegyük ezeket az értékeket egy táblázatba, és nevezzük a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens alapértékeinek táblázatának.

A szinuszok, koszinuszok, érintők és kotangensek alapértékeinek táblázata

A trigonometrikus függvények egyik fontos tulajdonsága a periodicitás. E tulajdonság alapján ez a táblázat redukciós képletekkel bővíthető. Az alábbiakban egy kiterjesztett táblázatot mutatunk be a főbb trigonometrikus függvények értékeiről 0, 30, 60, ... , 120, 135, 150, 180, ... , 360 fokos szögekre (0, π 6, π 3 , π 2, ... , 2 π radián).

Szinuszok, koszinuszok, érintők és kotangensek táblázata

A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens periodicitása lehetővé teszi, hogy a táblázatot tetszőlegesen nagy szögértékekre bővítse. A táblázatban összegyűjtött értékeket leggyakrabban a problémák megoldása során használjuk, ezért ajánlott ezeket megjegyezni.

A trigonometrikus függvények alapértékeinek táblázatának használata

A szinuszok, koszinuszok, érintők és kotangensek értéktáblázatának használatának elve intuitív szinten világos. Egy sor és egy oszlop metszéspontja adja meg a függvény értékét egy adott szögben.

Példa. A szinuszok, koszinuszok, érintők és kotangensek táblázatának használata

Meg kell találnunk, hogy sin 7 π 6 mivel egyenlő

Találunk a táblázatban egy oszlopot, amelynek utolsó cellaértéke 7 π 6 radián – ugyanaz, mint 210 fok. Ezután kiválasztjuk annak a táblázatnak a kifejezését, amelyben a szinuszok értékei megjelennek. A sor és az oszlop metszéspontjában találjuk a kívánt értéket:

sin 7 π 6 = - 1 2

Bradis asztalok

A Bradis táblázat lehetővé teszi a szinusz, koszinusz, érintő vagy kotangens értékének számítását 4 tizedesjegy pontossággal, számítástechnika nélkül. Ez a mérnöki számológép egyfajta helyettesítője.

Referencia

Vladimir Modestovich Bradis (1890 - 1975) - szovjet matematikus-tanár, 1954 óta a Szovjetunió Pedagógiai Tudományok Akadémiájának levelező tagja. A Bradis által kidolgozott négyjegyű logaritmusok és természetes trigonometrikus mennyiségek táblázatai először 1921-ben jelentek meg.

Először a Bradis táblázatot mutatjuk be szinuszokhoz és koszinuszokhoz. Lehetővé teszi ezeknek a függvényeknek a hozzávetőleges értékeinek pontos kiszámítását az egész számú fokot és percet tartalmazó szögeknél. A táblázat bal szélső oszlopa a fokokat, a felső sor pedig a perceket jelöli. Vegye figyelembe, hogy a Bradis táblázat összes szögértéke hat perc többszöröse.

Bradis asztal szinuszokhoz és koszinuszokhoz

A táblázatban nem szereplő szögek szinuszainak és koszinuszainak meghatározásához korrekciókat kell alkalmazni.

Most bemutatjuk az érintők és kotangensek Bradis táblázatát. 0 és 76 fok közötti szögek érintőit, 14 és 90 fok közötti szögek kotangenseit tartalmazza.

Bradis táblázat érintő és kotangens számára

A Bradis asztalok használata

Tekintsük a Bradis táblázatot a szinuszokhoz és koszinuszokhoz. Minden, ami az orrmelléküregekkel kapcsolatos, fent és balra található. Ha koszinuszra van szükségünk, nézzük a jobb oldalt a táblázat alján.

Egy szög szinuszának értékeinek meghatározásához meg kell találni a kívánt számú fokot tartalmazó sor metszéspontját a bal szélső cellában és a szükséges percszámot tartalmazó oszlop metszéspontját a felső cellában.

Ha a pontos szögérték nem szerepel a Bradis táblázatban, akkor korrekciókhoz folyamodunk. Az egy, két és három perces javításokat a táblázat jobb szélső oszlopai tartalmazzák. A táblázatban nem szereplő szög szinuszának értékének meghatározásához keressük meg a hozzá legközelebb eső értéket. Ezek után összeadjuk vagy kivonjuk a szögek közötti különbségnek megfelelő korrekciót.

Ha egy 90 foknál nagyobb szög szinuszát keressük, először a redukciós képleteket kell használnunk, és csak azután a Bradis táblázatot.

Példa. A Bradis asztal használata

Tegyük fel, hogy meg kell találnunk a 17 ° 44 " szög szinuszát. A táblázat segítségével keressük meg, hogy mennyivel egyenlő a 17 ° 42 " szinusz, és adjunk hozzá két perces korrekciót az értékéhez:

17°44" - 17°42" = 2" (szükséges korrekció) sin 17°44" = 0. 3040 + 0 . 0006 = 0 . 3046

A koszinuszokkal, érintőkkel és kotangensekkel való munka elve hasonló. Fontos azonban emlékezni a módosítások jelére.

Fontos!

A szinuszértékek kiszámításakor a korrekció pozitív előjelű, a koszinuszok kiszámításakor pedig negatív előjellel kell venni a korrekciót.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Az alapvető trigonometrikus függvények a következők: szinusz, koszinusz, érintő, kotangens, szekáns és koszekáns. Ez alapján a szög tangensét a trigonometriában olyan trigonometrikus függvényként definiáljuk, amely kifejezi e szög szinuszának és az azonos szög koszinuszának arányát. Ha meg kell határozni egy derékszögű háromszög hegyesszögének érintőjét, akkor geometriailag kiszámítható, mivel az érintő ebben az esetben megegyezik a derékszögű háromszög szemközti oldalának és szomszédos oldalának arányával. Maga az „érintő” kifejezés a latin nyelvből kölcsönzött, szó szerinti fordítása „érintést” jelent. Az érintőt latin betűkkel jelöljük. Az x szög érintőjét „tg x”-ként jelöljük, bár a nyugati matematikusok hagyományosan az angol szó rövidítésével jelölik az érintőt: az x szög érintőjét ott „tan x”-ként jelölik.

Mi a 30 fok érintője?

Abból a tényből kiindulva, hogy egy szög tangense egyenlő egy szög szinuszának és az azonos szög koszinuszának arányával, a 30 fokos szög érintője megkapható egy szög szinuszának értékének elosztásával 30 fokkal az azonos szög koszinuszának értékével. Az érintő 0,5774 lesz.

Mi a 60 fok érintője?

A 60 fokos szög érintőjét hasonló módon számítjuk ki: 60 fokos szög szinuszát elosztva ugyanennek a szögnek a koszinusz értékével az 1,7321 számot kapjuk, ami a 60 fok érintője.

Mi a 45 fok érintője?

Mivel a 45 fokos szög szinuszának értéke megegyezik az azonos szög koszinuszának értékével, a 45 fokos szög érintőjének értéke, amelyet a szinusz és a koszinusz elosztásával kapunk, egyet ad (tangens egyenlő 1).

Mi a 90 fok érintője?

A 90 fokos szög érintőjét lehetetlen kiszámítani, mivel a 90 fokos szög koszinusza egyenlő nullával, és az osztás egyik alapvető szabálya az a szabály, hogy „nullával nem lehet osztani”, míg a az érintőt ebben az esetben a szinusz koszinuszos osztásával kell megkapni, azaz nullával. A 90 fokos érintőérték nincs meghatározva.

Mi a 120 fok érintője?

Hasonlóképpen, a 120 fokos szög érintőjének kiszámításával -1,7321 (negatív) számot kaphat, amely 120 fokos szög érintője lesz.

Mi a 0 fokos érintő?

Tekintettel arra, hogy egy 0 fokos szög szinusza egyenlő nullával, és az azonos szög koszinusza egyenlő 1-gyel, az érintőt úgy kapjuk, hogy nullát elosztjuk eggyel, ami 0-t ad. A 0 fok érintője tehát egyenlő 0-val.

Mekkora a 135 fok érintője?

A 135 fok érintője hasonló számítással egyenlő -1-gyel (mínusz egy).

jegyzet: Lásd még trigonometrikus függvények értéktáblázata egyéb szögek.

Szinusz, koszinusz, 45 fokos szög tangense (sin 45, cos 45, tg 45)

A szinusz 45, koszinusz 45 és érintő 45 fok táblázati értékei jelezve . Az alábbiakban bemutatjuk a módszert és az értékek kiszámításának helyességét egy tetszőleges derékszögű háromszögre.

A 45 fok π/4 radián. A koszinusz, szinusz és tangens pi/4 radián értékeinek képletei az alábbiakban találhatók (bár ezek azonosak).
Azaz pl. tan π/4 = barna 45 fokon

A TRIGONOMETRIAI FUNKCIÓK ÉRTÉKEI α=45°-ON

Hogyan lehet önállóan kiszámítani a sin cos tg 45 fok értékeit?

Szerkesszünk meg és tekintsünk egy ABC derékszögű háromszöget, amelynek szöge ∠ B = 45°. Oldalainak aránya alapján kiszámítjuk a trigonometrikus függvények értékét egy derékszögű háromszögben, 45 fokos szögben. Mivel a háromszög derékszögű, a szinusz, a koszinusz és az érintő függvények értéke megegyezik a megfelelő oldalak arányával.

Mivel a szinusz, koszinusz és érintő függvények értéke kizárólag a szög mértékétől (vagy radiánban kifejezett értéktől) függ, az általunk talált arányok a 45 szinusz, 45 koszinusz függvény értékei lesznek. és érintője 45 fok.

A derékszögű háromszög tulajdonságai szerint a C szög derékszögű és egyenlő 90 fokkal. Kezdetben megszerkesztettük a B szöget 45 fokos fokszámmal. Határozzuk meg az A szög értékét. Mivel egy háromszög szögeinek összege 180 fok, akkor

∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180°
A C szög derékszögű és egyenlő 90 fokkal, a B szöget eredetileg 45 fokként határoztuk meg, így:
∠ A = 180° - ∠ VAL VEL - ∠ B = 180° - 90° - 45° = 45°

Mivel ennek a háromszögnek két egymással egyenlő szöge van, akkor az ABC háromszög az téglalap alakú és egyben egyenlő szárú, amelyben mindkét láb egyenlő egymással: AC = BC.

Tegyük fel, hogy az oldalak hossza egy bizonyos számmal AC = BC = a. A lábak hosszának ismeretében kiszámítjuk a hipotenusz hosszát.

A Pitagorasz-tétel szerint: AB 2 = AC 2 + BC 2
Cseréljük le az AC és BC hosszokat az a változóval, ekkor kapjuk:

AB 2 = a 2 + a 2 = 2a 2,

akkor AB=a √ 2.

Ennek eredményeként minden oldal hosszát kifejeztük egy derékszögű háromszög, amelynek szöge az a változón keresztül 45 fok.

Derékszögű háromszögben a trigonometrikus függvények tulajdonságai szerint a háromszög megfelelő oldalainak aránya egyenlő lesz a megfelelő függvények értékével. Tehát α = 45 fokos szög esetén:

sin α = BC / AB(a derékszögű háromszög szinuszának definíciója szerint ez a szemközti láb és a hipotenusz aránya, BC - láb, AB - hipotenusz)

cos α = AC / AB(a koszinusz definíciója szerint ez a szomszédos láb és a hypotenus aránya, AC a láb, AB a hipotenusz)

tg α = BC / AC(hasonlóan, az α szög érintője egyenlő lesz az ellenkező oldal és a szomszédos oldal arányával)

Az oldalak kijelölése helyett a hosszuk értékét az a változóval helyettesítjük.

Ennek alapján (lásd az értéktáblázatot sin 45, cos 45, tg 45) kapunk:

Táblázat értékek sin 45, cos 45, tg 45(vagyis az érték szinusz 45, koszinusz 45 és érintő 45 fokok egy adott háromszög megfelelő oldalainak arányaként számíthatók), behelyettesítjük a képletbe a fent kiszámított oldalhosszak értékeit, és az alábbi képen kapjuk meg az eredményt.

A táblázat értékei: szinusz 45, koszinusz 45 és érintő 45 fok

És így:

• 45 fokos érintője egyenlő eggyel
• A 45 fokos szinusz egyenlő a 45 fokos koszinuszával, és egyenlő a kettő gyökével a felében (ugyanaz, mint az egyik osztva kettő gyökével)

Amint az a fenti számításokból látható, a megfelelő trigonometrikus függvény értékeinek kiszámításához nem a háromszög oldalainak hossza a fontos, hanem azok aránya, amely ugyanazon szögeknél mindig azonos. , függetlenül egy adott háromszög méretétől.

Szinusz, koszinusz és tangens π/4 radián

A középiskolai és a külső oktatási teszt/egységes államvizsgán megoldásra javasolt feladatokban a szög fokszáma helyett gyakran találkozunk a radiánban mért nagyságrenddel. A radiánban kifejezett szögmérték a pi számon alapul, amely a kör kerületének az átmérőjétől való függését fejezi ki.

A könnyebb érthetőség kedvéért javaslom, hogy emlékezzen egyszerű elv a fokok radiánra konvertálásához. A kör átmérője 180 fokos ívet fed le. Így a pi radián 180 fokkal lesz egyenlő. Ahonnan könnyen át lehet konvertálni a szög bármely fokát radiánra és fordítva.

Ezt vegyük figyelembe 45 fokos szög radiánban kifejezve, egyenlő (180 / 45 = 4) π/4 (pi-négy). Ezért az általunk talált értékek ugyanazon szögmértékre helyesek, radiánban kifejezve:

• érintő π/4(pi több mint négy) egyenlő eggyel
• szinusz π/4(pi szor négy) fok egyenlő koszinusz π/4 fok, és egyenlő a kettő gyökével a felében

Érintőtábla a Bradis Table Book négy leggyakrabban használt trigonometrikus táblázatának egyike. Annak ellenére, hogy az érintő és a kotangens alapvetően a szinusz és a koszinusz származékai, gyakran hasznos, ha készen állnak az érintők kiszámított értékeivel.

Trigonometrikus függvények és fontosságuk a geometria tanulmányozásában

A geometriában kiemelt szerepet kapnak a trigonometrikus függvények, amelyek segítségével meghatározzák, hogy egy derékszögű háromszög oldalai és szögei hogyan viszonyulnak egymáshoz. Természetesen a trigonometria nem áll meg, és Eukleidész kora óta sokat lépett előre, és most ezek a függvények differenciálegyenletek megoldásán keresztül fejezhetők ki.

Jelenleg használatban van hat jelölés az alapvető trigonometrikus függvényekhez , és a hat függvény közül négy, ezek az utolsók a sorban, nem csak geometriával határozható meg.

Sinus (bűn)

Koszinusz (kötözősaláta)

Tangens (tg/tan)

Kotangens (ctg/kiságy)

Metsző (mp)

Koszekáns (cosec/csc) .

Tekintsük magát a derékszögű háromszöget, oldalainak és szögeinek megjelölése minden referenciakönyvben szokás szerint szabványos, függetlenül attól, hogy melyik oldalon fekszik a síkon.

Ebben a háromszögben három olyan szög van, amelyeket α, β, γ jelölünk, és γ mindig 90°. A γ derékszöggel szemközti oldalt hipotenúzusnak nevezzük, C betűvel jelöljük. Az α szög, amelyből minden számítás indul, az a / BC / oldallal szemben helyezkedik el, amelyet ezzel a szöggel ellentétesnek nevezünk, és a b / AC oldalt /, amely a közelben van, ennek a szögnek van kitéve, és szomszédosnak nevezzük.

Az euklideszi elmélet szerint, amely továbbra is igaz (és mindig igaz lesz), egy ilyen háromszög szögeinek összege, amely ugyanabban a síkban van, egyenlő lesz 180-al vagy a π számmal. És bármely szög értéke 0 és π /2 között lesz.

Ekkor a trigonometrikus függvények kifejezhetők ennek a háromszögnek az oldalaival. Mivel az α szög az első a görög ábécében és a háromszögünkben is, ezen a szögön keresztül kezdjük a függvényekkel való ismerkedést.

• α szinusz az ezzel a szöggel ellentétes szárnak a háromszögünk befogójához viszonyított arányával fejeződik ki, azaz sin α = a: c.
• koszinusz α az α szöggel szomszédos láb és a c hipotenusz arányán keresztül fejeződik ki, cos α = b: c. Egyébként sin β = α: с, ami lehetővé teszi, hogy elfogadjuk, hogy sin α egyenlő cos β-val, és ezért sin β egyenlő cos α-val.
• α érintő egyenlő az a szemközti oldal és a szomszédos oldal b arányának hányadosával : tg α = a: b.
• Az α szög kotangense ennek megfelelően egyenlő ctg α = b: a.
• Szög α a háromszög befogójának és az ezzel a szöggel szomszédos szárnak az aránya sec α = c: b.
• Az α szög koszekánsa egy háromszög befogójának aránya a szöggel ellentétes lábhoz, cosecα = c: a.

Ezek a függvények körön keresztül is kifejezhetők koordinátarendszer megadásával. Beállítunk egy koordinátarendszert, amelynek középpontja az O pontban van. A rajzon látható OA szakasz elforgatásának szögét tetszőlegesnek tekintjük, nevezzük θ-nek.

Ekkor ennek a θ szögnek az érintőjét tekintjük a kör A pontjának ordinátájának és az abszcissza arányának. Ezért, ha ctg α = b: a, és AC = sin θ, OS = cos θ, akkor tanθ = sin θ: cos θ. Hasonlóképpen kapjuk a cos θ = cos θ: sin θ vagy 1: tanθ.

Online számológép egy szög érintőjének kiszámításához