Mi a trapéz középvonala? A trapéz tulajdonságai

A planimetrikus feladatok megoldásában az ábra oldalain és szögein kívül más mennyiségek is aktívan részt vesznek - mediánok, magasságok, átlók, felezők és mások. Ezek közé tartozik a középső vonal.
Ha az eredeti sokszög trapéz, mi a középvonala? Ez a szegmens egy egyenes része, amely az ábra oldalait metszi középen, és párhuzamosan helyezkedik el a másik két oldallal - az alapokkal.

Hogyan találjuk meg a trapéz középvonalát a középső és az alapvonalon keresztül

Ha a felső és az alsó bázis értéke ismert, akkor a kifejezés segít az ismeretlen kiszámításában:

a, b – alapok, l – középvonal.

Hogyan találjuk meg a trapéz középvonalát egy területen

Ha a forrásadatok tartalmazzák az ábra területét, akkor ezzel az értékkel a trapéz közepén lévő vonal hosszát is kiszámíthatja. Használjuk az S = (a+b)/2*h képletet,
S – terület,
h – magasság,
a, b – bázisok.
De mivel l = (a+b)/2, akkor S = l*h, ami azt jelenti, hogy l=S/h.

Hogyan találjuk meg a trapéz középvonalát az alapon és a szögein keresztül

Tekintettel az ábra nagyobb alapjának hosszára, magasságára, valamint a rajta lévő szögek ismert fokszámára, a trapéz közepének vonalának megtalálására szolgáló kifejezés a következő formában lesz:

l=a – h*(ctgα+ctgβ)/2, míg
l a kívánt érték,
a – nagyobb alap,
α, β a rajta lévő szögek,
h – az ábra magassága.

Ha ismert a kisebb bázis értéke (ugyanaz a többi adat ismeretében), akkor a következő összefüggés segít megtalálni a középvonalat:

l=b+h*(ctgα+ctgβ)/2,

l a kívánt érték,
b – kisebb alap,
α, β a rajta lévő szögek,
h – az ábra magassága.

Keresse meg a trapéz középvonalát magasság, átlók és szögek segítségével

Tekintsünk egy olyan helyzetet, amikor a problémakörülmények között szerepel az ábra átlóinak értékei, az általuk alkotott szögek, amikor metszik egymást, valamint a magasság. A középvonalat a következő kifejezésekkel számíthatja ki:

l=(d1*d2)/2h*sinγ vagy l=(d1*d2)/2h*sinφ,

l – középvonal,
d1, d2 – átlók,
φ, γ – köztük lévő szögek,
h – az ábra magassága.

Hogyan találjuk meg a trapéz középvonalát egy egyenlő szárú alakhoz

Ha az alapfigura egyenlő szárú trapéz, akkor a fenti képletek a következő alakúak lesznek.

• Ha a trapézbázisok értékei jelen vannak, a kifejezésben nem lesz változás.

l = (a+b)/2, a, b – alapok, l – középvonal.

• Ha ismert a magasság, az alap és a vele szomszédos szögek, akkor:

l=a-h*ctgα,
l=b+h*ctgα,

l – középvonal,
a, b – bázisok (b< a),
α a benne lévő szögek,
h – az ábra magassága.

• Ha ismert a trapéz oldalsó oldala és az egyik alap, akkor a kívánt érték a következő kifejezéssel határozható meg:

l=a-√(c*c-h*h),
l=b+√(c*c-h*ó),
l – középvonal,
a, b – bázisok (b< a),
h – az ábra magassága.

• A magasság, az átlók (és ezek egymással egyenlők) és a metszésük eredményeként kialakult szögek ismert értékeivel a középvonal a következőképpen található:

l=(d*d)/2h*sinγ vagy l=(d*d)/2h*sinφ,

l – középvonal,
d – átlók,
φ, γ – köztük lévő szögek,
h – az ábra magassága.

• Az ábra területe és magassága ismert, akkor:

l=S/h,
S – terület,
h – magasság.

• Ha a merőleges magassága ismeretlen, akkor a trigonometrikus függvény definíciójával meghatározható.

h=c*sinα tehát
l=S/c*sinα,
l – középvonal,
S – terület,
c – oldal,
α az alapnál bezárt szög.

A trapéz középvonalát, és különösen tulajdonságait a geometriában nagyon gyakran használják problémák megoldására és bizonyos tételek bizonyítására.

egy négyszög, amelynek csak 2 oldala párhuzamos egymással. A párhuzamos oldalakat alapoknak nevezzük (1. HIRDETÉSÉs IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.), a másik kettő oldalsó (az ábrán ABÉs CD).

Trapéz középvonala oldalainak felezőpontjait összekötő szakasz (az 1. ábrán - KL).

A trapéz középvonalának tulajdonságai

A trapéz középvonal-tétel bizonyítása

Bizonyít hogy a trapéz középvonala egyenlő az alapjai összegének felével és párhuzamos ezekkel az alapokkal.

Adott egy trapéz ABCD középvonallal KL. A vizsgált tulajdonságok bizonyításához egyenes vonalat kell húzni a pontokon keresztül BÉs L. A 2. ábrán ez egy egyenes BQ. És folytassa az alapozást is HIRDETÉS a vonal kereszteződéséig BQ.

Tekintsük a kapott háromszögeket L.B.C.És LQD:

1. A középvonal meghatározása szerint KL pont L a szakasz felezőpontja CD. Ebből következik, hogy a szegmensek C.L.És LD egyenlőek.
2. ∠BLC = ∠QLD, mivel ezek a szögek függőlegesek.
3. ∠BCL = ∠LDQ, mivel ezek a szögek párhuzamos egyeneseken keresztben fekszenek HIRDETÉSÉs IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.és szekant CD.

Ebből a 3 egyenlőségből az következik, hogy a korábban figyelembe vett háromszögek L.B.C.És LQD egy oldalon és két szomszédos szögben egyenlő (lásd 3. ábra). Ennélfogva, ∠LBC = ∠ LQD, BC=DQés ami a legfontosabb - BL=LQ => KL, amely a trapéz középvonala ABCD, egyben a háromszög középvonala is ABQ. A háromszög középvonalának tulajdonsága szerint ABQ kapunk.

A trapéz középvonalának fogalma

Először is emlékezzünk arra, hogy milyen alakot nevezünk trapéznek.

1. definíció

A trapéz olyan négyszög, amelynek két oldala párhuzamos, a másik kettő pedig nem párhuzamos.

Ebben az esetben a párhuzamos oldalakat a trapéz alapjainak, a nem párhuzamos oldalakat pedig a trapéz oldaloldalainak nevezzük.

2. definíció

A trapéz középvonala egy szakasz, amely összeköti a trapéz oldalsó oldalainak felezőpontjait.

Trapéz középvonal tétel

Most bevezetjük a trapéz középvonalára vonatkozó tételt, és igazoljuk vektoros módszerrel.

1. tétel

A trapéz középvonala párhuzamos az alapokkal és egyenlő azok felével.

Bizonyíték.

Adjunk meg egy $ABCD$ trapézt, melynek alapjai $AD\ és\ BC$. És legyen $MN$ ennek a trapéznek a középvonala (1. ábra).

1. ábra Trapéz középvonala

Bizonyítsuk be, hogy $MN||AD\ és\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Tekintsük a $\overrightarrow(MN)$ vektort. Ezután a sokszögszabályt használjuk vektorok hozzáadásához. Egyrészt ezt kapjuk

A másik oldalon

Adjuk össze az utolsó két egyenlőséget, és kapjuk

Mivel $M$ és $N$ a trapéz oldaloldalainak felezőpontja, így lesz

Kapunk:

Ennélfogva

Ugyanebből az egyenlőségből (mivel a $\overrightarrow(BC)$ és a $\overrightarrow(AD)$ egyirányúak, és ezért kollineárisak) azt kapjuk, hogy $MN||AD$.

A tétel bizonyítást nyert.

Példák a trapéz középvonalának fogalmára vonatkozó problémákra

1. példa

A trapéz oldalsó oldalai rendre $15\ cm$ és $17\ cm$. A trapéz kerülete $52\cm$. Határozza meg a trapéz középvonalának hosszát!

Megoldás.

Jelöljük a trapéz középvonalát $n$-al.

Az oldalak összege egyenlő

Ezért, mivel a kerülete $52\ cm$, az alapok összege egyenlő

Tehát az 1. Tételből kapjuk

Válasz:$10\cm$.

2. példa

A kör átmérőjének végei $9$ cm, illetve $5$ cm távolságra vannak az érintőjétől. Határozzuk meg ennek a körnek az átmérőjét.

Megoldás.

Adjunk meg egy kört, amelynek középpontja $O$ és átmérője $AB$. Rajzoljunk egy $l$ érintőt, és állítsuk össze a $AD=9\ cm$ és $BC=5\ cm$ távolságokat. Rajzoljuk meg a $OH$ sugarat (2. ábra).

2. ábra.

Mivel $AD$ és $BC$ az érintő távolsága, akkor $AD\bot l$ és $BC\bot l$ és mivel $OH$ a sugár, akkor $OH\bot l$, ezért $OH |\left|AD\right||BC$. Mindebből azt kapjuk, hogy az $ABCD$ egy trapéz, a $OH$ pedig a középvonala. Az 1. tétel alapján azt kapjuk

A trapéz egy olyan négyszög speciális esete, amelyben az egyik oldalpár párhuzamos. A "trapéz" kifejezés a görög τράπεζα szóból származik, jelentése "asztal", "asztal". Ebben a cikkben megvizsgáljuk a trapéz típusait és tulajdonságait. Ezenkívül kitaláljuk, hogyan kell kiszámítani ennek az egyes elemeit. Például egy egyenlő szárú trapéz átlója, középvonala, területe stb. Az anyagot az elemi népi geometria stílusában, azaz könnyen hozzáférhető formában mutatjuk be. .

Általános információ

Először is nézzük meg, mi az a négyszög. Ez az ábra egy négy oldalt és négy csúcsot tartalmazó sokszög speciális esete. A négyszög két nem szomszédos csúcsát ellentétesnek nevezzük. Ugyanez elmondható két nem szomszédos oldalról. A négyszögek fő típusai a paralelogramma, a téglalap, a rombusz, a négyzet, a trapéz és a deltoid.

Tehát térjünk vissza a trapézokhoz. Mint már említettük, ennek az ábrának két párhuzamos oldala van. Bázisoknak hívják őket. A másik kettő (nem párhuzamos) az oldalsó oldalak. A vizsgák és a különböző tesztek anyagaiban gyakran találhatunk trapézokkal kapcsolatos problémákat, amelyek megoldásához sokszor a programban nem biztosított ismeretekre is szükség van a hallgatótól. Az iskolai geometria tantárgy megismerteti a hallgatókkal a szögek és átlók tulajdonságait, valamint az egyenlő szárú trapéz középvonalát. De ezen túlmenően az említett geometriai alakzatnak más jellemzői is vannak. De róluk kicsit később...

A trapéz típusai

Ennek a figurának sok fajtája létezik. Leggyakrabban azonban kettőt szokás figyelembe venni - egyenlő szárú és téglalap alakú.

1. A téglalap alakú trapéz olyan alakzat, amelyben az egyik oldala merőleges az alapokra. Két szöge mindig kilencven fokkal egyenlő.

2. Az egyenlő szárú trapéz olyan geometriai alakzat, amelynek oldalai egyenlőek egymással. Ez azt jelenti, hogy az alapoknál a szögek páronként is egyenlőek.

A trapéz tulajdonságait vizsgáló módszertan főbb elvei

A fő elvhez tartozik az úgynevezett feladatmegközelítés alkalmazása. Valójában nincs szükség ennek az ábrának az új tulajdonságainak bevezetésére a geometria elméleti kurzusába. Különféle (lehetőleg rendszerszintű) problémák megoldása során fedezhetők fel és fogalmazhatók meg. Ugyanakkor nagyon fontos, hogy a tanár tudja, milyen feladatokat kell a tanulókra kiosztani egy-egy alkalommal az oktatási folyamat során. Ezenkívül a trapéz minden tulajdonsága kulcsfeladatként ábrázolható a feladatrendszerben.

A második alapelv a trapéz „figyelemre méltó” tulajdonságainak vizsgálatának ún. spirális szerveződése. Ez azt jelenti, hogy a tanulási folyamatban visszatérnek egy adott geometriai alakzat egyedi jellemzőihez. Így a tanulók könnyebben megjegyezhetik őket. Például négy pont tulajdonsága. Mind a hasonlóság vizsgálatakor, mind a későbbi vektorok felhasználásával bizonyítható. Az ábra oldaloldalaival szomszédos háromszögek egyenértékűsége pedig nem csak az azonos egyenesen fekvő oldalakra húzott egyenlő magasságú háromszögek tulajdonságainak alkalmazásával igazolható, hanem az S = 1/2( ab*sinα). Ezen kívül dolgozhat beírt trapézzel vagy derékszögű háromszöggel írott trapézzel stb.

Egy geometriai alakzat „tanórán kívüli” jellemzőinek felhasználása az iskolai kurzus tartalmában feladatalapú tanítási technológia. A vizsgált tulajdonságokra való folyamatos hivatkozás más témakörök végighaladása közben lehetővé teszi a tanulók számára, hogy mélyebb ismereteket szerezzenek a trapézról, és biztosítva legyen a hozzárendelt feladatok megoldásának sikeressége. Tehát kezdjük el tanulmányozni ezt a csodálatos figurát.

Az egyenlő szárú trapéz elemei és tulajdonságai

Mint már megjegyeztük, ennek a geometriai alakzatnak egyenlő oldalai vannak. Ez a helyes trapéz is ismert. Miért olyan figyelemre méltó, és miért kapott ilyen nevet? Ennek a figurának az a sajátossága, hogy nemcsak az oldalak és az alapoknál lévő szögek egyenlők, hanem az átlók is. Ezenkívül egy egyenlő szárú trapéz szögeinek összege 360 ​​fok. De ez még nem minden! Az összes ismert trapéz közül csak egy egyenlő szárú írható le körnek. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy ennek az ábrának az ellentétes szögeinek összege 180 fokkal egyenlő, és csak ezzel a feltétellel írható le egy négyszög körüli kör. A vizsgált geometriai alakzat következő tulajdonsága, hogy az alap csúcsától a szemközti csúcsnak az ezt az alapot tartalmazó egyenesre való vetületének távolsága egyenlő lesz a középvonallal.

Most nézzük meg, hogyan találjuk meg az egyenlő szárú trapéz szögeit. Nézzük meg a megoldást erre a problémára, feltéve, hogy az ábra oldalainak méretei ismertek.

Megoldás

Jellemzően egy négyszöget általában A, B, C, D betűkkel jelölnek, ahol BS és AD az alapok. Egy egyenlő szárú trapézban az oldalak egyenlőek. Feltételezzük, hogy a méretük egyenlő X-szel, az alapok mérete pedig Y és Z (kisebb és nagyobb). A számítás elvégzéséhez meg kell húzni a B szögből a H magasságot. Az eredmény egy ABN derékszögű háromszög, ahol AB a hipotenusz, BN és AN pedig a lábak. Kiszámoljuk az AN láb méretét: kivonjuk a kisebbet a nagyobb alapból, és az eredményt elosztjuk 2-vel. Felírjuk egy képlet formájában: (Z-Y)/2 = F. Most pedig számítsuk ki az akut A háromszög szögét a cos függvényt használjuk. A következő bejegyzést kapjuk: cos(β) = X/F. Most kiszámoljuk a szöget: β=arcos (X/F). Továbbá az egyik szög ismeretében meghatározhatjuk a másodikat, ehhez egy elemi aritmetikai műveletet hajtunk végre: 180 - β. Minden szög meghatározott.

Van egy második megoldás is erre a problémára. Először a saroktól a H magasságba süllyesztjük. Kiszámoljuk a BN láb értékét. Tudjuk, hogy egy derékszögű háromszög befogójának négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével. A következőt kapjuk: BN = √(X2-F2). Ezután a tg trigonometrikus függvényt használjuk. Ennek eredményeként a következőt kapjuk: β = arctan (BN/F). Egy hegyesszöget találtak. Ezután az első módszerhez hasonlóan definiáljuk.

Egyenlőszárú trapéz átlóinak tulajdonsága

Először írjunk le négy szabályt. Ha egy egyenlő szárú trapéz átlói merőlegesek, akkor:

Az ábra magassága egyenlő lesz az alapok összegével osztva kettővel;

Magassága és középvonala egyenlő;

A kör középpontja az a pont, ahol ;

Ha az oldaloldalt az érintési pont H és M szegmensekre osztja, akkor egyenlő e szakaszok szorzatának négyzetgyökével;

Az érintőpontok, a trapéz csúcsa és a beírt kör középpontja által alkotott négyszög olyan négyzet, amelynek oldala egyenlő a sugárral;

Egy ábra területe egyenlő az alapok szorzatával, valamint az alapok összegének felének és magasságának szorzatával.

Hasonló trapézok

Ez a téma nagyon kényelmes ennek tulajdonságainak tanulmányozására Például az átlók egy trapézt négy háromszögre osztanak, és az alapokkal szomszédosak hasonlóak, az oldalakkal szomszédosak pedig egyenlő méretűek. Ezt az állítást nevezhetjük azoknak a háromszögeknek a tulajdonságának, amelyekre a trapéz az átlóival fel van osztva. Ennek az állításnak az első részét a hasonlóság jelével bizonyítjuk két szögben. A második rész bizonyításához jobb az alább megadott módszert használni.

A tétel bizonyítása

Elfogadjuk, hogy az ABSD ábrát (AD és BS a trapéz alapja) VD és AC átlókkal osztjuk. A metszéspontjuk O. Négy háromszöget kapunk: AOS - az alsó alapon, BOS - a felső alapon, ABO és SOD az oldalakon. Az SOD és a BOS háromszögeknek közös a magassága, ha a BO és OD szakaszok az alapjaik. Azt találtuk, hogy a területeik közötti különbség (P) megegyezik a szegmensek közötti különbséggel: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Ezért PSOD = PBOS/K. Hasonlóképpen a BOS és az AOB háromszögek magassága közös. A CO és OA szegmenseket vesszük alapul. Azt kapjuk, hogy PBOS/PAOB = CO/OA = K és PAOB = PBOS/K. Ebből következik, hogy PSOD = PAOB.

Az anyag konszolidálásához az alábbi feladat megoldásával a tanulóknak azt javasoljuk, hogy a kapott háromszögek azon területei között keressenek kapcsolatot, amelyekre a trapéz átlóival fel van osztva. Ismeretes, hogy a BOS és az AOD háromszögek területe egyenlő, meg kell találni a trapéz területét. Mivel PSOD = PAOB, ez azt jelenti, hogy PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. A BOS és AOD háromszögek hasonlóságából következik, hogy BO/OD = √(PBOS/PAOD). Ezért PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Azt kapjuk, hogy PSOD = √(PBOS*PAOD). Ekkor PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

A hasonlóság tulajdonságai

Továbbfejlesztve ezt a témát, a trapézok további érdekes tulajdonságait is bebizonyíthatjuk. Így a hasonlóságot felhasználva igazolható annak a szakasznak a tulajdonsága, amely e geometriai alakzat átlóinak metszéspontjában az alapokkal párhuzamosan halad át. Ehhez oldjuk meg a következő feladatot: meg kell találnunk az O ponton átmenő RK szakasz hosszát. Az AOD és BOS háromszögek hasonlóságából az következik, hogy AO/OS = AD/BS. Az AOP és ASB háromszögek hasonlóságából következik, hogy AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). Innen azt kapjuk, hogy RO=BS*BP/(BS+BP). Hasonlóképpen, a DOC és DBS háromszögek hasonlóságából az következik, hogy OK = BS*AD/(BS+AD). Innen azt kapjuk, hogy RO=OK és RK=2*BS*AD/(BS+AD). Az átlók metszéspontján átmenő, az alapokkal párhuzamos és két oldalsó oldalt összekötő szakaszt a metszésponttal ketté kell osztani. Hossza az ábra alapjainak harmonikus átlaga.

Tekintsük a trapéz következő tulajdonságát, amelyet négy pont tulajdonságának nevezünk. Az átlók metszéspontjai (O), az oldalak folytatásának metszéspontja (E), valamint az alapok felezőpontjai (T és F) mindig ugyanazon az egyenesen fekszenek. Ez a hasonlósági módszerrel könnyen igazolható. A kapott BES és AED háromszögek hasonlóak, és mindegyikben az ET és EJ mediánok egyenlő részekre osztják az E csúcsszöget. Ezért az E, T és F pont ugyanazon az egyenesen fekszik. Ugyanígy a T, O és Zh pontok ugyanazon az egyenesen helyezkednek el.Mindez a BOS és AOD háromszögek hasonlóságából következik. Ebből arra következtethetünk, hogy mind a négy pont - E, T, O és F - ugyanazon az egyenesen fog feküdni.

Hasonló trapézok használatával megkérheti a tanulókat, hogy találják meg annak a szakasznak a hosszát (LS), amely az ábrát két hasonló részre osztja. Ennek a szegmensnek párhuzamosnak kell lennie az alapokkal. Mivel a kapott ALFD és LBSF trapézok hasonlóak, akkor BS/LF = LF/AD. Ebből következik, hogy LF=√(BS*AD). Megállapítottuk, hogy a trapézt két hasonlóra osztó szakasz hossza megegyezik az ábra alapjainak hosszának geometriai átlagával.

Tekintsük a következő hasonlósági tulajdonságot. Egy olyan szakaszon alapul, amely a trapézt két egyenlő számjegyre osztja. Feltételezzük, hogy az ABSD trapézt az EH szakasz két hasonló részre osztja. A B csúcsból kimarad egy magasság, amelyet az EN szegmens két részre oszt - B1 és B2. A következőt kapjuk: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 és PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Ezután összeállítunk egy rendszert, amelynek első egyenlete (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2, a második (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Ebből következik, hogy B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) és BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Megállapítottuk, hogy a trapézt két egyenlő részre osztó szakasz hossza megegyezik az alapok hosszának négyzetes középértékével: √((BS2+AD2)/2).

Hasonlósági megállapítások

Így bebizonyítottuk, hogy:

1. A trapéz oldalsó oldalainak felezőpontjait összekötő szakasz párhuzamos AD és BS-vel, és egyenlő a BS és AD számtani átlagával (a trapéz alapjának hossza).

2. Az AD-vel és BS-sel párhuzamos átlók metszéspontjának O pontján áthaladó egyenes egyenlő lesz az AD és BS számok harmonikus átlagával (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. A trapézt hasonlókra osztó szakasz hossza a BS és AD alapok geometriai átlaga.

4. Egy alakzatot két egyenlő részre osztó elem hossza az AD és BS számok négyzetgyöke.

Az anyag megszilárdításához és a vizsgált szegmensek közötti kapcsolat megértéséhez a hallgatónak meg kell alkotnia azokat egy adott trapézhoz. A középvonalat és az O ponton - az ábra átlóinak metszéspontján - átmenő szakaszt könnyedén az alapokkal párhuzamosan tudja megjeleníteni. De hol lesz a harmadik és a negyedik? Ez a válasz elvezeti a hallgatót az átlagértékek közötti kívánt összefüggés felfedezéséhez.

A trapéz átlóinak felezőpontjait összekötő szakasz

Tekintsük ennek az ábrának a következő tulajdonságát. Feltételezzük, hogy az MH szakasz párhuzamos az alapokkal, és felezi az átlókat. Nevezzük a Ш és Ш metszéspontokat, ez a szakasz egyenlő lesz az alapok különbségének felével. Nézzük ezt részletesebben. MS az ABS háromszög középvonala, egyenlő BS/2-vel. Az MSH ​​az ABD háromszög középvonala, egyenlő AD/2-vel. Ekkor azt kapjuk, hogy ShShch = MSh-MSh, tehát ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Gravitáció középpontja

Nézzük meg, hogyan határozható meg ez az elem egy adott geometriai alakzathoz. Ehhez az alapokat ellenkező irányba kell meghosszabbítani. Mit jelent? Hozzá kell adnia az alsó alapot a felső alaphoz - bármilyen irányban, például jobbra. Az alsót pedig a felső hosszával meghosszabbítjuk balra. Ezután átlósan összekötjük őket. Ennek a szakasznak az ábra középvonalával való metszéspontja a trapéz súlypontja.

Beírt és körülírt trapézok

Soroljuk fel az ilyen figurák jellemzőit:

1. Trapéz csak akkor írható körbe, ha egyenlő szárú.

2. Egy kör körül trapéz írható le, feltéve, hogy alapjaik hosszának összege megegyezik az oldalak hosszának összegével.

A körgyűrű következményei:

1. A leírt trapéz magassága mindig két sugárral egyenlő.

2. A leírt trapéz oldalát a kör középpontjából derékszögben figyeljük meg.

Az első következmény nyilvánvaló, de a második bizonyításához meg kell állapítani, hogy az SOD szög helyes, ami valójában szintén nem nehéz. De ennek a tulajdonságnak a ismerete lehetővé teszi a derékszögű háromszög használatát a problémák megoldása során.

Most határozzuk meg ezeket a következményeket egy körbe írt egyenlő szárú trapézre. Megállapítjuk, hogy a magasság az ábra alapjainak geometriai átlaga: H=2R=√(BS*AD). A trapézfeladatok megoldásának alaptechnikájának gyakorlása közben (a két magasság rajzolásának elve) a következő feladatot kell megoldania. Feltételezzük, hogy BT az ABSD egyenlő szárú alak magassága. Meg kell találni az AT és TD szegmenseket. A fent leírt képlet segítségével ezt nem lesz nehéz megtenni.

Most nézzük meg, hogyan határozzuk meg a kör sugarát a körülírt trapéz területével. Csökkentjük a magasságot a B csúcstól az AD alapig. Mivel a kör trapézbe van írva, akkor BS+AD = 2AB vagy AB = (BS+AD)/2. Az ABN háromszögből azt találjuk, hogy sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Azt kapjuk, hogy PABSD = (BS+BP)*R, ebből következik, hogy R = PABSD/(BS+BP).

A trapéz középvonalának összes képlete

Most itt az ideje, hogy továbblépjünk ennek a geometriai alakzatnak az utolsó elemére. Nézzük meg, hogy a trapéz középvonala (M) mit jelent:

1. Az alapokon keresztül: M = (A+B)/2.

2. Magasságon, alapon és sarkokon keresztül:

M = A-H*(ctga+ctgp)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Átmenő magasság, átlók és a köztük lévő szög. Például D1 és D2 egy trapéz átlói; α, β - köztük lévő szögek:

M = D1*D2*sinα/2N=D1*D2*sinβ/2N.

4. Átmenő terület és magasság: M = P/N.

Ebben a cikkben megpróbáljuk a lehető legteljesebb mértékben tükrözni a trapéz tulajdonságait. Különösen a trapéz általános jellemzőiről és tulajdonságairól, valamint a beírt trapéz és a trapézba írt kör tulajdonságairól lesz szó. Kitérünk az egyenlő szárú és a téglalap alakú trapéz tulajdonságaira is.

Egy probléma megoldásának példája a tárgyalt tulajdonságok segítségével segít a fejedben lévő helyekre rendezni, és jobban megjegyezni az anyagot.

Trapéz és minden-minden

Először röviden idézzük fel, mi a trapéz, és milyen egyéb fogalmak kapcsolódnak hozzá.

Tehát a trapéz egy négyszög alakú alakzat, amelynek két oldala párhuzamos egymással (ezek az alapok). És a kettő nem párhuzamos – ezek az oldalak.

A trapézban a magasság csökkenthető - az alapokra merőlegesen. A középvonal és az átlók megrajzolódnak. A trapéz tetszőleges szögéből is lehet felezőt rajzolni.

Most az összes elemhez kapcsolódó különféle tulajdonságokról és azok kombinációiról fogunk beszélni.

A trapézátlók tulajdonságai

Az áttekinthetőség érdekében olvasás közben vázolja fel az ACME trapézt egy papírra, és rajzoljon bele átlókat.

1. Ha megtalálja az egyes átlók felezőpontját (nevezzük ezeket a pontokat X-nek és T-nek), és összekapcsolja őket, akkor kap egy szakaszt. A trapéz átlóinak egyik tulajdonsága, hogy a HT szakasz a középvonalon fekszik. És a hosszát úgy kaphatjuk meg, hogy az alapok különbségét elosztjuk kettővel: ХТ = (a – b)/2.
2. Előttünk ugyanaz a trapéz ACME. Az átlók az O pontban metszik egymást. Nézzük meg az AOE és MOK háromszögeket, amelyeket az átlók szakaszai alkotnak a trapéz alapjaival együtt. Ezek a háromszögek hasonlóak. A háromszögek k hasonlósági együtthatóját a trapéz alapjainak arányával fejezzük ki: k = AE/KM.
   Az AOE és MOK háromszögek területének arányát a k 2 együttható írja le.
3. Ugyanaz a trapéz, ugyanazok az átlók metszik egymást az O pontban. Ezúttal csak azokat a háromszögeket vesszük figyelembe, amelyeket az átlók szakaszai a trapéz oldalaival együtt alkottak. Az AKO és az EMO háromszögek területei egyenlő méretűek - területeik azonosak.
4. A trapéz másik tulajdonsága átlók felépítése. Tehát, ha az AK és ME oldalát a kisebb bázis irányába folytatod, akkor előbb-utóbb egy bizonyos ponton metszik egymást. Ezután húzzon egy egyenes vonalat a trapéz alapjainak közepén. Az X és T pontokban metszi az alapokat.
   Ha most meghosszabbítjuk az XT egyenest, akkor az O trapéz átlóinak metszéspontját fogja összekötni, azt a pontot, ahol az X és T alapok oldalhosszabbításai és közepe metszik egymást.
5. Az átlók metszéspontján keresztül rajzolunk egy szakaszt, amely összeköti a trapéz alapjait (T a kisebb KM alapon, X a nagyobb AE-n található). Az átlók metszéspontja ezt a szakaszt a következő arányban osztja fel: TO/OX = KM/AE.
6. Most az átlók metszéspontján keresztül a trapéz alapjaival (a és b) párhuzamos szakaszt rajzolunk. A metszéspont két egyenlő részre osztja. A szegmens hosszát a képlet segítségével találhatja meg 2ab/(a + b).

A trapéz középvonalának tulajdonságai

Húzzuk meg a trapéz középvonalát az alapjaival párhuzamosan.

1. A trapéz középvonalának hosszát úgy számíthatjuk ki, hogy összeadjuk az alapok hosszát, és felezzük őket: m = (a + b)/2.
2. Ha bármely szakaszt (például magasságot) a trapéz mindkét alapján keresztül rajzol, a középső vonal két egyenlő részre osztja.

Trapézfelező tulajdonság

Válassza ki a trapéz tetszőleges szögét, és rajzoljon felezőt. Vegyük például az ACME trapézunk KAE szögét. Miután saját maga végezte el az építkezést, könnyen ellenőrizheti, hogy a felező levágja-e az alapból (vagy magán az ábrán kívüli egyenes vonalon történő folytatásából) az oldallal azonos hosszúságú szakaszt.

A trapézszögek tulajdonságai

1. Bármelyik oldallal szomszédos két szögpár közül melyiket választja, a pár szögeinek összege mindig 180 0: α + β = 180 0 és γ + δ = 180 0.
2. Kössük össze a trapéz alapjainak felezőpontjait egy TX szakasszal. Most nézzük meg a szögeket a trapéz alapjainál. Ha bármelyik szögösszege 90 0, akkor a TX szakasz hossza könnyen kiszámítható az alapok hosszának különbsége alapján, felezve: TX = (AE – KM)/2.
3. Ha párhuzamos egyeneseket húzunk egy trapézszög oldalain, akkor a szög oldalait arányos szegmensekre osztják.

Egyenlőszárú (egyenlő oldalú) trapéz tulajdonságai

1. Egy egyenlő szárú trapézban a szögek bármely alapnál egyenlőek.
2. Most készítsen újra egy trapézt, hogy könnyebb legyen elképzelni, miről beszélünk. Óvatosan nézze meg az AE bázist - a szemközti M bázis csúcsa az AE-t tartalmazó egyenes egy bizonyos pontjára vetül. Az A csúcs és az M csúcs vetületi pontja és az egyenlő szárú trapéz középvonala közötti távolság egyenlő.
3. Néhány szó az egyenlő szárú trapéz átlóinak tulajdonságairól - a hosszúságuk egyenlő. És ezeknek az átlóknak a trapéz alapjához viszonyított dőlésszöge is megegyezik.
4. Csak egy egyenlő szárú trapéz körül írható le kör, mivel egy négyszög szemközti szögeinek összege 180 0 - ennek előfeltétele.
5. Az egyenlő szárú trapéz tulajdonsága az előző bekezdésből következik - ha a trapéz közelében leírható egy kör, akkor az egyenlő szárú.
6. Az egyenlő szárú trapéz jellemzőiből következik a trapéz magasságának tulajdonsága: ha átlói derékszögben metszik egymást, akkor a magasság hossza egyenlő az alapok összegének felével: h = (a + b)/2.
7. Ismét rajzoljuk át a TX szakaszt a trapéz alapjainak felezőpontjain keresztül - egyenlő szárú trapéz esetén merőleges az alapokra. És ugyanakkor TX egy egyenlő szárú trapéz szimmetriatengelye.
8. Ezúttal csökkentse a magasságot a trapéz ellentétes csúcsától a nagyobb alapra (nevezzük a). Két szegmenst kapsz. Az egyik hosszát úgy kaphatjuk meg, ha az alapok hosszát összeadjuk és kettéosztjuk: (a + b)/2. A másodikat akkor kapjuk, ha a nagyobb bázisból kivonjuk a kisebbet, és a kapott különbséget elosztjuk kettővel: (a – b)/2.

A körbe írt trapéz tulajdonságai

Mivel már egy körbe írt trapézről beszélünk, térjünk át erre a kérdésre részletesebben. Különösen azon, ahol a kör középpontja a trapézhoz képest van. Itt is ajánlatos időt szánni ceruzát előkapni, és lerajzolni, amiről alább lesz szó. Így gyorsabban fog érteni és jobban emlékezni fog.

1. A kör középpontjának helyét a trapéz átlójának oldalához képesti dőlésszöge határozza meg. Például egy átló nyúlhat ki a trapéz tetejétől merőlegesen az oldalra. Ebben az esetben a nagyobb alap pontosan középen metszi a körülírt kör középpontját (R = ½AE).
2. Az átló és az oldal hegyesszögben is találkozhat - ekkor a kör középpontja a trapéz belsejében van.
3. A körülírt kör középpontja lehet a trapézon kívül, nagyobb alapján túl, ha a trapéz átlója és az oldala között tompaszög van.
4. Az ACME trapéz átlója és nagy alapja által alkotott szög (beírt szög) fele az ennek megfelelő középső szögnek: MAE = ½ MOE.
5. Röviden a körülírt kör sugarának meghatározásának két módjáról. Első módszer: nézze meg alaposan a rajzát – mit lát? Könnyen észreveheti, hogy az átló két háromszögre osztja a trapézt. A sugarat a háromszög oldalának az ellentétes szög szinuszához viszonyított arányával lehet megszorozni kettővel. Például, R = AE/2*sinAME. Hasonló módon a képlet mindkét háromszög bármelyik oldalára felírható.
6. Második módszer: keresse meg a körülírt kör sugarát a háromszög területén keresztül, amelyet a trapéz átlója, oldala és alapja alkot: R = AM*ME*AE/4*S AME.

A kör körül körülírt trapéz tulajdonságai

Egy kört a trapézba illeszthet, ha egy feltétel teljesül. Olvasson róla bővebben alább. És együtt ez a figurák kombinációja számos érdekes tulajdonsággal rendelkezik.

1. Ha egy kört trapézba írunk, akkor a középvonalának hosszát könnyen meg tudjuk állapítani, ha összeadjuk az oldalak hosszát, és a kapott összeget felezzük: m = (c + d)/2.
2. A kör körül leírt ACME trapéz esetében az alapok hosszának összege egyenlő az oldalak hosszának összegével: AK + ME = KM + AE.
3. A trapéz alapjainak ebből a tulajdonságából a fordított állítás következik: olyan trapézbe írható kör, amelynek alapjainak összege egyenlő az oldalainak összegével.
4. A trapézba írt r sugarú kör érintőpontja két szakaszra osztja az oldalt, nevezzük ezeket a-nak és b-nek. A kör sugara a következő képlettel számítható ki: r = √ab.
5. És még egy ingatlan. A félreértések elkerülése érdekében rajzolja ezt a példát maga is. Megvan a jó öreg ACME trapéz, egy körben leírva. Olyan átlókat tartalmaz, amelyek az O pontban metszik egymást. Az AOK és EOM háromszögek, amelyeket az átlók szakaszai és az oldalsó oldalak alkotnak, téglalap alakúak.
   Ezeknek a háromszögeknek a magassága a hipotenusokhoz (azaz a trapéz oldalsó oldalaihoz) süllyesztve egybeesik a beírt kör sugaraival. És a trapéz magassága egybeesik a beírt kör átmérőjével.

A téglalap alakú trapéz tulajdonságai

A trapézt négyszögletesnek nevezzük, ha az egyik szöge derékszögű. És tulajdonságai ebből a körülményből fakadnak.

1. A téglalap alakú trapéz egyik oldala merőleges az alapjára.
2. A derékszöggel szomszédos trapéz magassága és oldala egyenlő. Ez lehetővé teszi egy téglalap alakú trapéz területének kiszámítását (általános képlet S = (a + b) * h/2) nemcsak a magasságon, hanem a derékszöggel szomszédos oldalon keresztül is.
3. Téglalap alakú trapéz esetében a trapéz átlóinak fentebb már ismertetett általános tulajdonságai relevánsak.

A trapéz egyes tulajdonságainak bizonyítéka

Szögek egyenlősége egy egyenlő szárú trapéz alapjában:

• Valószínűleg már sejtette, hogy itt ismét szükségünk lesz az AKME trapézre - rajzoljon egy egyenlő szárú trapézt. Húzzunk egy MT egyenest az M csúcsból, párhuzamosan az AK oldalával (MT || AK).

Az eredményül kapott AKMT négyszög egy paralelogramma (AK || MT, KM || AT). Mivel ME = KA = MT, ∆ MTE egyenlő szárú és MET = MTE.

AK || MT, ezért MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Hol van AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Most egy egyenlő szárú trapéz tulajdonsága (átlók egyenlősége) alapján bebizonyítjuk, hogy Az ACME trapéz egyenlő szárú:

• Először húzzunk egy egyenest MX – MX || KE. Kapunk egy KMHE paralelogrammát (bázis – MX || KE és KM || EX).

∆AMX egyenlő szárú, mivel AM = KE = MX és MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, ezért MAE = MXE.

Kiderült, hogy az AKE és az EMA háromszögek egyenlőek egymással, mivel AM = KE és AE a két háromszög közös oldala. És még MAE = MXE. Megállapíthatjuk, hogy AK = ME, és ebből az következik, hogy az AKME trapéz egyenlő szárú.

Feladat áttekintése

Az ACME trapéz alapjai 9 cm és 21 cm, a KA oldaloldal 8 cm-nek megfelelő 150 0 -os szöget zár be a kisebb alappal. Meg kell találnia a trapéz területét.

Megoldás: A K csúcsról leengedjük a magasságot a trapéz nagyobbik alapjára. És kezdjük el nézni a trapéz szögeit.

Az AEM és KAN szögek egyoldalúak. Ez azt jelenti, hogy összesen 180 0-t adnak. Ezért KAN = 30 0 (a trapézszögek tulajdonsága alapján).

Nézzük most a téglalap alakú ∆ANC-t (úgy gondolom, hogy ez a pont nyilvánvaló az olvasók számára további bizonyítékok nélkül). Ebből megtaláljuk a KH trapéz magasságát - egy háromszögben ez egy láb, amely a 30 0 szöggel szemben fekszik. Ezért KH = ½AB = 4 cm.

A trapéz területét a következő képlettel határozzuk meg: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Utószó

Ha alaposan és átgondoltan tanulmányozta ezt a cikket, nem volt túl lusta ahhoz, hogy ceruzával a kezében trapézokat rajzoljon az összes adott tulajdonságra, és elemezze azokat a gyakorlatban, akkor jól el kellett volna sajátítania az anyagot.

Természetesen rengeteg információ található itt, változatos és néha zavaró is: nem olyan nehéz összetéveszteni a leírt trapéz tulajdonságait a beírt tulajdonságaival. De maga is látta, hogy óriási a különbség.

Most részletes vázlatot kap a trapéz összes általános tulajdonságáról. Valamint az egyenlő szárú és téglalap alakú trapézok sajátos tulajdonságait és jellemzőit. Nagyon kényelmesen használható tesztekre és vizsgákra való felkészüléshez. Próbáld ki te is, és oszd meg a linket ismerőseiddel!

blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor az eredeti forrásra mutató hivatkozás szükséges.