Amit aritmetikai progressziónak nevezünk. Hogyan találhatunk számtani sorozatot? Aritmetikai progressziós példák megoldással

Sokan hallottak már az aritmetikai progresszióról, de nem mindenkinek van jó elképzelése arról, hogy mi az. Ebben a cikkben megadjuk a megfelelő definíciót, és megvizsgáljuk azt a kérdést is, hogyan lehet megtalálni az aritmetikai progresszió különbségét, és számos példát adunk.

Matematikai meghatározás

Tehát, ha aritmetikai vagy algebrai progresszióról beszélünk (ezek a fogalmak ugyanazt definiálják), akkor ez azt jelenti, hogy van egy bizonyos számsor, amely eleget tesz a következő törvénynek: a sorozatban minden két szomszédos szám azonos értékkel tér el. Matematikailag így van leírva:

Itt n az a n elem számát jelenti a sorozatban, a d pedig a progresszió különbségét (a neve a bemutatott képletből következik).

Mit jelent a d különbség ismerete? Arról, hogy a szomszédos számok milyen „távol” vannak egymástól. A d ismerete azonban szükséges, de nem elégséges feltétele a teljes progresszió meghatározásának (helyreállításának). Ismernie kell még egy számot, amely a vizsgált sorozat bármely eleme lehet, például egy 4, a10, de általában az első számot, azaz 1-et használják.

A progressziós elemek meghatározására szolgáló képletek

Általánosságban elmondható, hogy a fenti információk már elegendőek a konkrét problémák megoldásához. Mindazonáltal, mielőtt megadnánk a számtani progressziót, és meg kellene találni a különbségét, bemutatunk néhány hasznos képletet, megkönnyítve ezzel a későbbi feladatmegoldási folyamatot.

Könnyen kimutatható, hogy az n számú sorozat bármely eleme megtalálható a következőképpen:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Valójában ezt a képletet bárki ellenőrizheti egyszerű kereséssel: ha n = 1-et helyettesítünk, akkor az első elemet kapjuk, ha n = 2-t, akkor a kifejezés megadja az első szám és a különbség összegét, és így tovább.

Sok feladat feltétele úgy van összeállítva, hogy adott számpár adott, amelynek számai is adottak a sorozatban, a teljes számsort rekonstruálni kell (meg kell keresni a különbséget és az első elemet). Most általános formában megoldjuk ezt a problémát.

Tehát legyen adott két n és m számú elem. A fent kapott képlet segítségével két egyenletrendszert hozhat létre:

a n = a 1 + (n-1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Az ismeretlen mennyiségek megtalálásához egy jól ismert egyszerű technikát használunk egy ilyen rendszer megoldására: páronként vonjuk ki a bal és a jobb oldalt, az egyenlőség érvényben marad. Nekünk van:

a n = a 1 + (n-1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Így kizártunk egy ismeretlent (a 1). Most felírhatjuk a végső kifejezést d meghatározásához:

d = (a n - a m) / (n - m), ahol n > m

Nagyon egyszerű képletet kaptunk: ahhoz, hogy a d különbséget a feladat feltételeinek megfelelően számítsuk ki, csak maguknak az elemeknek és azok sorszámának különbségeinek arányát kell felvenni. Egy fontos pontra érdemes figyelni: a különbségeket a „senior” és „junior” tagok között vesszük, azaz n > m („senior” azt jelenti, hogy távolabb áll a sorozat elejétől, abszolút értéke lehet kisebb-nagyobb "junior" elem).

A d különbség progressziójának kifejezését be kell cserélni bármelyik egyenletbe a probléma megoldásának elején, hogy megkapjuk az első tag értékét.

A számítástechnika fejlődésének korszakában sok iskolás az interneten próbál megoldást találni a feladataira, ezért gyakran felmerülnek az ilyen típusú kérdések: találja meg az aritmetikai sorozat különbségét az interneten. Egy ilyen kérésre a kereső számos weboldalt ad vissza, amelyekre belépve meg kell adnia a feltételből ismert adatokat (ez lehet a progresszió két tagja vagy ezek egy bizonyos számának összege ), és azonnal megkapja a választ. A probléma megoldásának ez a megközelítése azonban terméketlen a tanuló fejlődése és a rábízott feladat lényegének megértése szempontjából.

Megoldás képletek használata nélkül

Oldjuk meg az első feladatot a megadott képletek használata nélkül. Legyenek adottak a sorozat elemei: a6 = 3, a9 = 18. Határozzuk meg a számtani progresszió különbségét!

Az ismert elemek sorban egymás mellett állnak. Hányszor kell hozzáadni a d különbséget a legkisebbhez, hogy a legnagyobb legyen? Háromszor (első alkalommal d hozzáadásával a 7. elemet kapjuk, a második alkalommal a nyolcadik, végül a harmadik alkalommal a kilencedik elemet). Milyen számot kell háromszor hozzáadni a háromhoz, hogy 18 legyen? Ez az ötös szám. Igazán:

Így az ismeretlen különbség d = 5.

Természetesen a megoldást a megfelelő képlettel is meg lehetett volna valósítani, de ez nem szándékosan történt. A probléma megoldásának részletes magyarázata világos és világos példává kell, hogy váljon annak, hogy mi is az aritmetikai progresszió.

Az előzőhöz hasonló feladat

Most oldjunk meg egy hasonló problémát, de változtassuk meg a bemeneti adatokat. Tehát meg kell találnia, ha a3 = 2, a9 = 19.

Természetesen ismét folyamodhat a „fejes” megoldási módszerhez. De mivel a sorozat elemei adottak, amelyek viszonylag távol vannak egymástól, ez a módszer nem lesz teljesen kényelmes. De a kapott képlet használata gyorsan elvezet minket a válaszhoz:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Itt kerekítettük a végső számot. Az eredmény ellenőrzésével megítélhető, hogy ez a kerekítés mennyiben vezetett hibához:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Ez az eredmény mindössze 0,1%-kal tér el a feltételben megadott értéktől. Ezért a századrészekre alkalmazott kerekítés sikeres választásnak tekinthető.

Problémák az an kifejezés képletének alkalmazásával

Tekintsünk egy klasszikus példát az ismeretlen d meghatározására szolgáló feladatra: keressük meg egy aritmetikai sorozat különbségét, ha a1 = 12, a5 = 40.

Ha egy ismeretlen algebrai sorozat két számot adunk meg, és az egyik az a 1 elem, akkor nem kell sokáig gondolkodni, hanem azonnal alkalmazni kell az a n tag képletét. Ebben az esetben a következőkkel rendelkezünk:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Pontos számot kaptunk osztáskor, így nincs értelme a kiszámított eredmény pontosságát ellenőrizni, ahogy az előző bekezdésben történt.

Oldjunk meg egy másik hasonló feladatot: meg kell találnunk egy aritmetikai sorozat különbségét, ha a1 = 16, a8 = 37.

Az előzőhöz hasonló megközelítést alkalmazunk, és megkapjuk:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Mit kell még tudni az aritmetikai progresszióról?

Az ismeretlen különbség vagy egyes elemek megtalálásának problémái mellett gyakran meg kell oldani a sorozat első tagjainak összegével kapcsolatos problémákat is. Ezeknek a problémáknak a vizsgálata túlmutat a cikk keretein, azonban az információk teljessége érdekében bemutatunk egy általános képletet egy sorozat n számának összegére:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Mi a képlet fő lényege?

Ez a képlet lehetővé teszi, hogy megtalálja Bármi SZÁMA SZERINT " n" .

Természetesen az első kifejezést is ismerni kell egy 1és progressziós különbség d, nos, ezek nélkül a paraméterek nélkül nem lehet leírni egy konkrét progressziót.

Ennek a képletnek a memorizálása (vagy lesiklása) nem elég. Meg kell értenie a lényegét, és alkalmaznia kell a képletet különféle problémákban. És azt is, hogy a megfelelő pillanatban ne felejtsük el, igen...) Hogyan ne felejtsd- Nem tudom. És itt hogyan kell emlékezni Ha kell, mindenképpen tanácsot adok. Azoknak, akik a leckét a végéig befejezik.)

Tehát nézzük meg az aritmetikai sorozat n-edik tagjának képletét.

Mi a képlet általában? Egyébként nézd meg, ha nem olvastad. Ott minden egyszerű. Még ki kell deríteni, mi az n-edik tag.

A haladás általában számsorként írható fel:

1, 2, 3, 4, 5, .....

egy 1- egy aritmetikai sorozat első tagját jelöli, a 3- harmadik tag, egy 4- a negyedik és így tovább. Ha érdekel minket az ötödik ciklus, mondjuk, hogy dolgozunk egy 5, ha százhuszad - s egy 120.

Hogyan határozhatjuk meg általánosságban? Bármi egy aritmetikai sorozat tagja, azzal Bármi szám? Nagyon egyszerű! Mint ez:

a n

Az az ami egy aritmetikai sorozat n-edik tagja. Az n betű egyszerre elrejti az összes tagszámot: 1, 2, 3, 4 stb.

És mit ad nekünk egy ilyen rekord? Gondolj csak bele, szám helyett egy betűt írtak le...

Ez a jelölés hatékony eszközt ad az aritmetikai progresszióval való munkához. A jelölés használata a n, gyorsan megtaláljuk Bármi tag Bármi aritmetikai progresszió. És megoldjon egy csomó további progressziós problémát. Majd meglátod magad a továbbiakban.

Az aritmetikai sorozat n-edik tagjának képletében:

egy 1- egy aritmetikai sorozat első tagja;

n- tag szám.

A képlet összekapcsolja bármely progresszió fő paramétereit: a n; a 1; dÉs n. Minden progressziós probléma ezen paraméterek körül forog.

Az n-edik tag képlete egy adott progresszió írásához is használható. Például a probléma azt mondhatja, hogy a progressziót a következő feltétel határozza meg:

a n = 5 + (n-1) 2.

Egy ilyen probléma zsákutca lehet... Nincs se sorozat, se különbség... De a feltételt a képlettel összevetve könnyen érthető, hogy ebben a progresszióban a 1 = 5 és d = 2.

És lehet még rosszabb is!) Ha ugyanazt a feltételt vesszük: a n = 5 + (n-1) 2, Igen, nyisd ki a zárójelet és hozz hasonlókat? Kapunk egy új képletet:

a n = 3 + 2n.

Ez Csak nem általános, hanem egy konkrét előrehaladásra. Itt lapul a buktató. Vannak, akik úgy gondolják, hogy az első tag egy három. Bár a valóságban az első tag öt... Kicsit lejjebb egy ilyen módosított képlettel fogunk dolgozni.

A progressziós problémáknál van egy másik jelölés - a n+1. Ez, ahogy sejtette, a progresszió „n plusz első” tagja. Jelentése egyszerű és ártalmatlan.) Ez a progresszió olyan tagja, amelynek száma eggyel nagyobb, mint n. Például ha valamilyen problémában vesszük a n akkor az ötödik ciklus a n+1 lesz a hatodik tagja. Stb.

Leggyakrabban a megnevezés a n+1 ismétlődési képletekben található. Ne félj ettől az ijesztő szótól!) Ez csak egy számtani sorozat tagjának kifejezése. az előzőn keresztül. Tegyük fel, hogy kapunk egy aritmetikai progressziót ebben a formában, egy ismétlődő képlet segítségével:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11

A negyedik - a harmadikon keresztül, az ötödik - a negyediken keresztül, és így tovább. Hogyan számolhatjuk azonnal mondjuk a huszadik tagot? egy 20? De nincs rá mód!) Amíg meg nem találjuk a 19. tagot, addig nem számolhatjuk a 20-at. Ez az alapvető különbség a visszatérő képlet és az n-edik tag képlete között. Ismétlődő működik csak keresztül előző tag, és az n-edik tag képlete végig elsőés megengedi azonnal megtalálja bármelyik tagot a száma alapján. Anélkül, hogy a teljes számsort sorban kiszámolnánk.

A aritmetikai sorozatban könnyű egy ismétlődő képletet szabályossá alakítani. Számoljon meg egy pár egymást követő tagot, számolja ki a különbséget d, keresse meg, ha szükséges, az első kifejezést egy 1, írja le a képletet a szokásos formában, és dolgozzon vele. Ilyen feladatokkal gyakran találkoznak az Állami Tudományos Akadémián.

Egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának képletének alkalmazása.

Először nézzük meg a képlet közvetlen alkalmazását. Az előző óra végén volt egy probléma:

Adott egy aritmetikai progresszió (a n). Keressen 121-et, ha 1 = 3 és d = 1/6.

Ezt a feladatot képletek nélkül is meg lehet oldani, egyszerűen egy aritmetikai sorozat jelentése alapján. Add és add... Egy-két óra.)

És a képlet szerint a megoldás kevesebb mint egy percet vesz igénybe. Időzítheti.) Döntsük el.

A feltételek megadják a képlet használatához szükséges összes adatot: a 1 = 3, d = 1/6. Azt kell kitalálni, mi az egyenlő n. Nincs mit! Meg kell találnunk egy 121. Tehát ezt írjuk:

Kérjük figyeljen oda! Index helyett n konkrét szám jelent meg: 121. Ami egészen logikus.) A számtani progresszió tagja érdekel minket. százhuszonegy. Ez a miénk lesz n. Ez a jelentése n= 121 behelyettesítjük a képletbe, zárójelben. Az összes számot behelyettesítjük a képletbe, és kiszámítjuk:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Ez az. Ugyanilyen gyorsan meg lehet találni az ötszáztizedik tagot, és az ezerharmadik tagot is. Helyette tesszük n a kívánt szám a betű indexében a"és zárójelben, és számolunk.

Hadd emlékeztesselek a lényegre: ez a képlet lehetővé teszi, hogy megtaláld Bármi aritmetikai progressziós tag SZÁMA SZERINT " n" .

Oldjuk meg a problémát ravaszabb módon. Találkozzunk a következő problémával:

Határozzuk meg az aritmetikai sorozat első tagját (a n), ha a 17 =-2; d=-0,5.

Ha nehézségei vannak, elmondom az első lépést. Írja fel egy számtani sorozat n-edik tagjának képletét! Igen igen. Írd le a kezeddel, közvetlenül a füzetedbe:

És most, a képlet betűit nézve, megértjük, milyen adatokkal rendelkezünk és mi hiányzik? Elérhető d=-0,5, van egy tizenhetedik tag... Ez az? Ha úgy gondolja, hogy ez az, akkor nem oldja meg a problémát, igen...

Még mindig van számunk n! Állapotban a 17 =-2 rejtett két paraméter. Ez egyben a tizenhetedik tag értéke (-2) és száma (17). Azok. n=17. Ez az „apróság” sokszor elsiklik a fej mellett, és enélkül (az „apróság” nélkül, nem a fej!) nem lehet megoldani a problémát. Bár... és fej nélkül is.)

Most egyszerűen behelyettesíthetjük adatainkat a képletbe:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Ó, igen, egy 17 tudjuk, hogy -2. Oké, cseréljük ki:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Lényegében ennyi. Marad a képletből az aritmetikai progresszió első tagjának kifejezése és kiszámítása. A válasz a következő lesz: a 1 = 6.

Ez a technika - egy képlet felírása és az ismert adatok egyszerű helyettesítése - nagy segítség az egyszerű feladatokban. Hát persze, hogy egy változót képletből kell tudni kifejezni, de mit tegyek!? E készség nélkül a matematikát egyáltalán nem lehet tanulni...

Egy másik népszerű rejtvény:

Határozzuk meg az aritmetikai sorozat (a n) különbségét, ha a 1 =2; a 15 = 12.

Mit csinálunk? Meg fogsz lepődni, mi írjuk a képletet!)

Gondoljuk át, mit tudunk: a 1=2; a 15 = 12; és (különösen kiemelem!) n=15. Bátran cserélje be ezt a képletbe:

12=2 + (15-1)d

Mi számolunk.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Ez a helyes válasz.

Tehát a feladatok a n, a 1És d határozott. Nincs más hátra, mint megtanulni, hogyan találja meg a számot:

A 99-es szám az aritmetikai sorozat (a n) tagja, ahol a 1 =12; d=3. Keresse meg ennek a tagnak a számát.

Az általunk ismert mennyiségeket behelyettesítjük az n-edik tag képletébe:

a n = 12 + (n-1) 3

Első pillantásra két ismeretlen mennyiség található itt: a n és n. De a n- ez a progresszió néhány tagja egy számmal n...És ismerjük a progressziónak ezt a tagját! 99. Nem tudjuk a számát. n, Tehát ezt a számot kell megtalálnia. A 99-es progresszió tagját behelyettesítjük a képletbe:

99 = 12 + (n-1) 3

A képletből fejezzük ki n, azt gondoljuk. Megkapjuk a választ: n=30.

És most egy probléma ugyanabban a témában, de kreatívabb):

Határozza meg, hogy a 117-es szám tagja-e az aritmetikai sorozatnak (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Írjuk fel újra a képletet. Mi van, nincsenek paraméterek? Hm... Miért kapunk szemet?) Látjuk a progresszió első tagját? Látjuk. Ez -3,6. Nyugodtan írhatod: a 1 = -3,6. Különbség d Meg tudod mondani a sorozatból? Könnyű, ha tudja, mi a különbség az aritmetikai progresszió között:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Tehát a legegyszerűbb dolgot csináltuk. Már csak az ismeretlen számmal kell foglalkozni nés az érthetetlen 117-es szám. Az előző feladatnál legalább lehetett tudni, hogy a progresszió tagját adták meg. De itt nem is tudjuk... Mit tegyünk!? Nos, hogy legyen, hogyan legyen... Kapcsolja be kreatív képességeit!)

Mi tegyük fel hogy a 117 végül is a fejlődésünk tagja. Ismeretlen számmal n. És az előző feladathoz hasonlóan próbáljuk meg megtalálni ezt a számot. Azok. felírjuk a képletet (igen, igen!)) és behelyettesítjük a számainkat:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Ismét a képletből fejezzük kin, megszámoljuk és megkapjuk:

Hoppá! Kiderült a szám töredékes! Százegy és fél. És törtszámok progresszióban nem lehet. Milyen következtetést vonhatunk le? Igen! 117. szám nem fejlődésünk tagja. Valahol a százelső és a százmásodik kifejezés között van. Ha a szám természetesnek bizonyult, pl. pozitív egész szám, akkor a szám a talált számmal rendelkező progresszió tagja lenne. És esetünkben a probléma válasza a következő lesz: Nem.

A GIA valós verzióján alapuló feladat:

Az aritmetikai progressziót a következő feltétel adja:

a n = -4 + 6,8n

Keresse meg a progresszió első és tizedik tagját.

Itt a progresszió szokatlan módon van beállítva. Valamiféle képlet... Előfordul.) Ez a képlet azonban (ahogy fentebb írtam) - egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának képletét is! Azt is megengedi keresse meg a progresszió bármely tagját a száma alapján.

Keressük az első tagot. Aki gondolkodik. hogy az első tag mínusz négy, végzetesen téved!) Mivel a feladatban szereplő képlet módosul. A számtani sorozat első tagja benne rejtett. Rendben van, most megkeressük.)

Csakúgy, mint az előző problémáknál, helyettesítjük n=1 ebbe a képletbe:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Itt! Az első tag 2,8, nem -4!

Ugyanígy keressük a tizedik tagot:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Ez az.

És most azoknak, akik elolvasták ezeket a sorokat, a beígért bónusz.)

Tegyük fel, hogy az államvizsga vagy az egységes államvizsga nehéz harci helyzetében elfelejtette az aritmetikai sorozat n-edik tagjának hasznos képletét. Emlékszem valamire, de valahogy bizonytalanul... Illetve n ott, ill n+1, vagy n-1... Hogyan legyen!?

Nyugodt! Ez a képlet könnyen levezethető. Nem túl szigorú, de a magabiztossághoz és a helyes döntéshez mindenképpen elég!) A következtetés levonásához elég emlékezni a számtani sorozat elemi jelentésére, és van néhány percnyi időnk. Csak egy képet kell rajzolnia. Az egyértelműség kedvéért.

Rajzolj egy számegyenest, és jelöld meg rajta az elsőt. második, harmadik stb. tagjai. És megjegyezzük a különbséget d tagok között. Mint ez:

Nézzük a képet, és elgondolkodunk: mit jelent a második tag? Második egy d:

a 2 =a 1 + 1 d

Mi a harmadik kifejezés? Harmadik kifejezés egyenlő az első tag plusz kettő d.

a 3 =a 1 + 2 d

Érted? Nem hiába emelek ki néhány szót félkövérrel. Oké, még egy lépés).

Mi a negyedik kifejezés? Negyedik kifejezés egyenlő az első tag plusz három d.

a 4 =a 1 + 3 d

Ideje belátni, hogy a hézagok száma, i.e. d, Mindig eggyel kevesebb, mint a keresett tag száma n. Vagyis a számra n, szóközök száma akarat n-1. Ezért a képlet a következő lesz (változatok nélkül!):

Általában véve a vizuális képek nagyon hasznosak számos matematikai probléma megoldásában. Ne hagyja figyelmen kívül a képeket. De ha nehéz képet rajzolni, akkor... csak egy képlet!) Ezenkívül az n-edik tag képlete lehetővé teszi, hogy a matematika teljes hatalmas arzenálját összekapcsolja a megoldással - egyenletek, egyenlőtlenségek, rendszerek stb. Nem lehet képet beilleszteni az egyenletbe...

Önálló megoldási feladatok.

Bemelegíteni:

1. Számtani folyamatban (a n) a 2 =3; a 5 = 5,1. Keress egy 3-ast.

Tipp: a kép szerint 20 másodperc alatt megoldható a probléma... A képlet szerint nehezebbnek bizonyul. De a képlet elsajátításához hasznosabb.) Az 555. szakaszban ezt a problémát a kép és a képlet segítségével is megoldjuk. Érezd a különbséget!)

És ez már nem bemelegítés.)

2. Számtani folyamatban (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Keressen egy 3-at.

Mi van, nem akarsz képet rajzolni?) Természetesen! A képlet szerint jobb, igen...

3. Az aritmetikai progressziót a következő feltétel adja meg:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Keresse meg ennek a progressziónak a százhuszonötödik tagját.

Ebben a feladatban a progresszió ismétlődő módon van megadva. De a százhuszonötödik tagig számolva... Ilyen bravúrra nem mindenki képes.) De az n-edik tag képlete mindenkinek megvan!

4. Adott egy aritmetikai sorozat (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Keresse meg a progresszió legkisebb pozitív tagjának számát!

5. A 4. feladat feltételei szerint keresse meg a haladás legkisebb pozitív és legnagyobb negatív tagjának összegét!

6. Egy növekvő aritmetikai sorozat ötödik és tizenkettedik tagjának szorzata -2,5, a harmadik és tizenegyedik tag összege pedig nulla. Keress egy 14-et.

Nem a legkönnyebb feladat, igen...) Az „ujjbegy” módszer itt nem fog működni. Képleteket kell írnia és egyenleteket kell megoldania.

Válaszok (rendetlenségben):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Megtörtént? Ez szép!)

Nem minden sikerül? Megtörténik. Egyébként van egy finom pont az utolsó feladatban. Óvatosságra lesz szükség a probléma olvasásakor. És a logika.

Mindezen problémák megoldását az 555. szakasz tárgyalja részletesen. És a fantázia eleme a negyediknél, a finom pont a hatodiknál, valamint az n-edik tag képletével kapcsolatos problémák megoldásának általános megközelítései - minden le van írva. Ajánlom.

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

Egy aritmetikai sorozat összege.

Az aritmetikai sorozat összege egyszerű dolog. Jelentésben és képletben egyaránt. De ebben a témában mindenféle feladat van. Az alaptól egészen a szilárdig.

Először is értsük meg az összeg jelentését és képletét. És akkor döntünk. Saját örömére.) Az összeg jelentése egyszerű, mint a mú. Egy aritmetikai progresszió összegének meghatározásához csak óvatosan kell összeadnia az összes tagot. Ha ez a kifejezés kevés, akkor képletek nélkül is hozzáadhatja. De ha sok van, vagy sok... bosszantó az összeadás.) Ilyenkor a képlet segít.

Az összeg képlete egyszerű:

Nézzük meg, milyen betűket tartalmaz a képlet. Ez sok mindent tisztáz majd.

S n - egy számtani sorozat összege. Összeadás eredménye mindenki tagokkal, együtt elsőÁltal utolsó. Fontos. Pontosan összeadódnak Minden a tagokat sorban, kihagyás vagy kihagyás nélkül. És egészen pontosan attól kezdve első. Olyan problémák esetén, mint a harmadik és nyolcadik tag összegének megtalálása, vagy az ötödik és a huszadik tagok összege, a képlet közvetlen alkalmazása csalódást okoz.)

egy 1 - első a progresszió tagja. Itt minden világos, egyszerű első sorszám.

a n- utolsó a progresszió tagja. A sorozat utolsó száma. Nem túl ismerős név, de az összegre alkalmazva nagyon megfelelő. Aztán majd meglátod magad.

n - az utolsó tag száma. Fontos megérteni, hogy a képletben ez a szám egybeesik a hozzáadott kifejezések számával.

Határozzuk meg a fogalmat utolsó tag a n. Trükkös kérdés: melyik lesz a tag az utolsó ha adott végtelen aritmetikai progresszió?)

A magabiztos válaszhoz meg kell értened a számtani progresszió elemi jelentését, és... figyelmesen olvasd el a feladatot!)

Az aritmetikai progresszió összegének megállapításánál mindig az utolsó tag jelenik meg (közvetlenül vagy közvetve), amelyet korlátozni kell. Ellenkező esetben végleges, konkrét összeg egyszerűen nem létezik. A megoldás szempontjából nem mindegy, hogy a progresszió adott: véges vagy végtelen. Nem mindegy, hogy hogyan adjuk meg: egy számsor, vagy egy képlet az n-edik taghoz.

A legfontosabb dolog annak megértése, hogy a képlet a progresszió első tagjától a számot tartalmazó tagig működik n. Valójában a képlet teljes neve így néz ki: egy aritmetikai sorozat első n tagjának összege. Ezen legelső tagok száma, i.e. n, kizárólag a feladat határozza meg. Egy feladatban ez az összes értékes információ gyakran titkosítva van, igen... De sebaj, az alábbi példákban ezeket a titkokat fedjük fel.)

Példák a feladatokra egy aritmetikai sorozat összegén.

Először is hasznos információk:

Az aritmetikai progresszió összegét tartalmazó feladatoknál a fő nehézség a képlet elemeinek helyes meghatározásában rejlik.

A feladatírók határtalan fantáziával éppen ezeket az elemeket titkosítják.) Itt a lényeg, hogy ne féljünk. Az elemek lényegének megértéséhez elég egyszerűen megfejteni őket. Nézzünk meg néhány példát részletesen. Kezdjük egy igazi GIA-n alapuló feladattal.

1. A számtani progressziót a következő feltétel adja meg: a n = 2n-3.5. Keresse meg az első 10 tagjának összegét.

Szép munka. Könnyű.) Mit kell tudnunk a mennyiség meghatározásához a képlet segítségével? Első tag egy 1, utolsó félév a n, igen az utolsó tag száma n.

Hol kaphatom meg az utolsó tag számát? n? Igen, ott, feltétellel! Azt írja: találd meg az összeget az első 10 tag. Nos, milyen számmal lesz? utolsó, tizedik tag?) Nem hiszi el, a száma tizedik!) Ezért ahelyett a n Behelyettesítjük a képletbe egy 10, és helyette n- tíz. Ismétlem, az utolsó tag száma egybeesik a tagok számával.

Meg kell határozni egy 1És egy 10. Ez könnyen kiszámítható az n-edik tag képletével, amely a problémafelvetésben található. Nem tudja, hogyan kell ezt csinálni? Vegyen részt az előző leckében, e nélkül nincs mód.

egy 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

egy 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Kiderítettük az aritmetikai sorozat összegének képletének összes elemének jelentését. Nincs más hátra, mint helyettesíteni őket, és megszámolni:

Ez az. Válasz: 75.

Egy másik feladat a GIA alapján. Kicsit bonyolultabb:

2. Adott egy aritmetikai sorozat (a n), amelynek különbsége 3,7; a 1 = 2,3. Keresse meg az első 15 tagjának összegét.

Azonnal írjuk az összegképletet:

Ez a képlet lehetővé teszi, hogy bármely tag értékét megtaláljuk a szám alapján. Egyszerű helyettesítést keresünk:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Marad az összes elemet behelyettesíteni a képletbe egy aritmetikai progresszió összegére, és kiszámítani a választ:

Válasz: 423.

Egyébként ha az összegképletben ahelyett a n Egyszerűen behelyettesítjük a képletet az n-edik tagra, és megkapjuk:

Mutassunk be hasonlókat, és kapjunk egy új képletet egy aritmetikai sorozat tagjainak összegére:

Mint látható, az n-edik tagra itt nincs szükség a n. Bizonyos problémákban ez a képlet sokat segít, igen... Emlékezhet erre a képletre. Vagy egyszerűen megjelenítheti a megfelelő időben, például itt. Végül is mindig emlékeznie kell az összeg képletére és az n-edik tag képletére.)

Most a feladat egy rövid titkosítás formájában):

3. Határozza meg az összes olyan pozitív kétjegyű szám összegét, amelyek három többszörösei!

Azta! Sem az első tagod, sem az utolsó, sem a továbbjutásod... Hogyan élj!?

A fejeddel kell gondolkodnod, és ki kell húznod a feltételből az aritmetikai progresszió összegének összes elemét. Tudjuk, mik a kétjegyű számok. Két számból állnak.) Milyen kétjegyű szám lesz első? 10, feltehetően.) A utolsó dolog kétjegyű szám? 99, persze! A három számjegyűek követik őt...

Három többszörösei... Hm... Ezek hárommal osztható számok, itt! A tíz nem osztható hárommal, a 11 nem osztható... a 12... osztható! Szóval valami készülődik. Már le is írhat egy sorozatot a probléma feltételei szerint:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Ez a sorozat aritmetikai sorozat lesz? Biztosan! Mindegyik kifejezés szigorúan háromban különbözik az előzőtől. Ha 2-t vagy 4-et adsz egy kifejezéshez, mondjuk az eredményt, pl. az új szám már nem osztható 3-mal. Azonnal meghatározhatja a számtani sorozat különbségét: d = 3. Jól fog jönni!)

Tehát nyugodtan felírhatunk néhány progressziós paramétert:

Mi lesz a szám? n utolsó tag? Aki azt hiszi, hogy a 99, az végzetesen téved... A számok mindig sorban mennek, de tagjaink három fölé ugranak. Nem egyeznek.

Itt két megoldás létezik. Az egyik út a szuper szorgalmasak. Felírhatod a haladást, a teljes számsort, és az ujjaddal megszámolhatod a tagok számát.) A második út a megfontoltak számára. Emlékezned kell az n-edik tag képletére. Ha a képletet a feladatunkra alkalmazzuk, azt találjuk, hogy 99 a progresszió harmincadik tagja. Azok. n = 30.

Nézzük meg az aritmetikai progresszió összegének képletét:

Nézzük és örülünk.) A problémafelvetésből kihúztunk mindent, ami az összeg kiszámításához szükséges:

egy 1= 12.

egy 30= 99.

S n = S 30.

Már csak az elemi aritmetika van hátra. Behelyettesítjük a számokat a képletbe, és kiszámítjuk:

Válasz: 1665

Egy másik népszerű rejtvénytípus:

4. Adott egy aritmetikai progresszió:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Határozza meg a huszadiktól harmincnégyig terjedő tagok összegét!

Megnézzük az összeg képletét és... kiborulunk.) A képlet, hadd emlékeztessem önöket, kiszámolja az összeget az elsőtől tag. És a feladatban ki kell számítania az összeget huszadik óta... A képlet nem fog működni.

Természetesen kiírhatja a teljes folyamatot egy sorozatba, és hozzáadhatja a 20-tól 34-ig terjedő kifejezéseket. De... ez valahogy hülyeség és sokáig tart, nem?)

Van ennél elegánsabb megoldás is. Osszuk két részre sorozatunkat. Az első rész lesz az első ciklustól a tizenkilencedikig. Második rész - húsztól harmincnégyig. Világos, hogy ha kiszámítjuk az első rész feltételeinek összegét S 1-19, adjuk hozzá a második rész feltételeinek összegével S 20-34, megkapjuk az első tagtól a harmincnegyedig terjedő progresszió összegét S 1-34. Mint ez:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Ebből láthatjuk, hogy találja meg az összeget S 20-34 egyszerű kivonással elvégezhető

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

A jobb oldalon mindkét összeget figyelembe veszik az elsőtől tag, azaz. a standard összegképlet egészen alkalmazható rájuk. Kezdjük el?

Kivonjuk a progresszió paramétereit a problémanyilatkozatból:

d = 1,5.

egy 1= -21,5.

Az első 19 és az első 34 tag összegének kiszámításához szükségünk lesz a 19. és a 34. tagra. Kiszámítjuk őket az n-edik tag képletével, mint a 2. feladatban:

egy 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

egy 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Nem maradt semmi. A 34 tag összegéből vonjuk le a 19 tag összegét:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Válasz: 262,5

Egy fontos megjegyzés! Van egy nagyon hasznos trükk a probléma megoldására. Közvetlen számítás helyett amire szüksége van (S 20-34), megszámoltuk valami, amire úgy tűnik, nincs szükség - S 1-19.És akkor elhatározták S 20-34, a szükségtelent kidobva a teljes eredményből. Ez a fajta „fülcsalás” gyakran kíméli meg gonosz problémáktól.)

Ebben a leckében olyan feladatokat vizsgáltunk, amelyekhez elég megérteni egy számtani sorozat összegének jelentését. Nos, ismernie kell néhány képletet.)

Gyakorlati tanácsok:

Bármilyen aritmetikai progresszió összegével kapcsolatos probléma megoldásakor azt javaslom, hogy azonnal írjuk ki ebből a témából a két fő képletet.

Az n-edik tag képlete:

Ezek a képletek azonnal megmondják, mit kell keresni és milyen irányba kell gondolkodni a probléma megoldása érdekében. Segít.

És most az önálló megoldás feladatai.

5. Határozza meg az összes hárommal nem osztható kétjegyű szám összegét!

Menő?) A 4. feladatra vonatkozó megjegyzés rejtve van. Nos, a 3. feladat segít.

6. A számtani progressziót a következő feltétel adja: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Keresse meg az első 24 tagjának összegét.

Szokatlan?) Ez egy visszatérő képlet. Erről az előző leckében olvashat. Ne hagyja figyelmen kívül a linket, ilyen problémák gyakran előfordulnak az Állami Tudományos Akadémián.

7. Vasya pénzt spórolt az ünnepre. Akár 4550 rubel! És úgy döntöttem, hogy a kedvencemnek (magamnak) adok néhány nap boldogságot). Élj szépen anélkül, hogy megtagadnál magadtól semmit. Költsön el 500 rubelt az első napon, és minden további napon 50 rubel többet költ, mint az előző! Amíg el nem fogy a pénz. Hány nap volt a boldogságban Vasya?

Nehéz?) A 2. feladat további képlete segít.

Válaszok (rendetlenségben): 7, 3240, 6.

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

Ha minden természetes számra n valós számnak felel meg a n , akkor azt mondják, hogy adott számsor :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Tehát a számsorozat a természetes argumentum függvénye.

Szám a 1 hívott a sorozat első tagja , szám a 2 — a sorozat második tagja , szám a 3 — harmadik stb. Szám a n hívott a sorozat n-edik tagja , és egy természetes szám n — a számát .

Két szomszédos tagból a n És a n +1 szekvencia tagja a n +1 hívott későbbi (felé a n ), A a n — előző (felé a n +1 ).

Egy sorozat definiálásához meg kell adni egy metódust, amely lehetővé teszi a sorozat tetszőleges számú tagjának megtalálását.

A sorrendet gyakran a segítségével határozzák meg n-edik tagképletek , azaz egy képlet, amely lehetővé teszi egy sorozat tagjának a szám alapján történő meghatározását.

Például,

képlettel megadható a pozitív páratlan számok sorozata

a n= 2n- 1,

és a váltakozás sorrendje 1 És -1 - képlet

b n = (-1)n +1 . ◄

A sorrend meghatározható visszatérő képlet, vagyis egy képlet, amely a sorozat bármely tagját kifejezi, néhánytól kezdve, az előző (egy vagy több) tagon keresztül.

Például,

Ha a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ha egy 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , akkor a numerikus sorozat első hét tagja a következőképpen alakul:

egy 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = egy 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

egy 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

egy 5 = a 3 + egy 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

A szekvenciák lehetnek végső És végtelen .

A sorozat az ún végső , ha véges számú tagja van. A sorozat az ún végtelen , ha végtelenül sok tagja van.

Például,

kétjegyű természetes számok sorozata:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

végső.

Prímszámok sorozata:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

végtelen. ◄

A sorozat az ún növekvő , ha minden tagja a másodiktól kezdve nagyobb, mint az előző.

A sorozat az ún csökkenő , ha minden tagja a másodiktól kezdve kisebb, mint az előző.

Például,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — növekvő sorrend;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — csökkenő sorrend. ◄

Olyan sorozatot nevezünk, amelynek elemei a szám növekedésével nem csökkennek, vagy éppen ellenkezőleg, nem nőnek monoton sorozat .

A monoton szekvenciák különösen növekvő és csökkenő szekvenciák.

Aritmetikai progresszió

Aritmetikai progresszió egy olyan sorozat, amelyben minden tag a másodiktól kezdve egyenlő az előzővel, amelyhez ugyanannyit adunk.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

egy aritmetikai progresszió, ha bármely természetes számra n a feltétel teljesül:

a n +1 = a n + d,

Ahol d - egy bizonyos szám.

Így egy adott aritmetikai sorozat következő és előző tagjai közötti különbség mindig állandó:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Szám d hívott aritmetikai progresszió különbsége.

Egy aritmetikai progresszió meghatározásához elegendő annak első tagját és különbségét feltüntetni.

Például,

Ha a 1 = 3, d = 4 , akkor a sorozat első öt tagját a következőképpen találjuk meg:

egy 1 =3,

a 2 = egy 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

egy 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Az első taggal végzett aritmetikai sorozathoz a 1 és a különbség d neki n

a n = egy 1 + (n- 1)d.

Például,

keresse meg az aritmetikai sorozat harmincadik tagját

1, 4, 7, 10, . . .

egy 1 =1, d = 3,

egy 30 = egy 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = egy 1 + (n- 2)d,

a n= egy 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

akkor nyilván

Egy számtani sorozat minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő az előző és az azt követő tagok számtani átlagával.

az a, b és c számok akkor és csak akkor, ha az egyik egyenlő a másik kettő számtani középével.

Például,

a n = 2n- 7 , egy aritmetikai sorozat.

Használjuk a fenti állítást. Nekünk van:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Ennélfogva,

◄

Vegye figyelembe, hogy n Egy aritmetikai progresszió tizedik tagja nem csak a segítségével található meg a 1 , hanem bármely korábbi a k

a n = a k + (n- k)d.

Például,

Mert a 5 le lehet írni

egy 5 = egy 1 + 4d,

egy 5 = a 2 + 3d,

egy 5 = a 3 + 2d,

egy 5 = egy 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

akkor nyilván

egy aritmetikai sorozat bármely tagja a másodiktól kezdve egyenlő a számtani sorozat egyenlő távolságra lévő tagjainak összegének felével.

Ezen túlmenően, bármely aritmetikai progresszióra a következő egyenlőség érvényes:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Például,

számtani haladásban

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = egy 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) egy 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, mert

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

egy 5 + egy 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

első n egy aritmetikai progresszió tagja egyenlő a szélső tagok összegének felének és a tagok számának szorzatával:

Ebből különösen az következik, hogy ha összegezni kell a feltételeket

a k, a k +1 , . . . , a n,

akkor az előző képlet megtartja szerkezetét:

Például,

számtani haladásban 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ha számtani progressziót adunk meg, akkor a mennyiségeket a 1 , a n, d, nÉsS n két képlet köti össze:

Ezért, ha ezen mennyiségek közül három értékét megadjuk, akkor a másik két mennyiség megfelelő értékeit ezekből a képletekből határozzuk meg, két egyenletrendszerbe kombinálva, két ismeretlennel.

Az aritmetikai sorozat egy monoton sorozat. Ahol:

• Ha d > 0 , akkor növekszik;
• Ha d < 0 , akkor csökken;
• Ha d = 0 , akkor a sorozat stacioner lesz.

Geometriai progresszió

Geometriai progresszió olyan sorozat, amelyben minden egyes tag a másodiktól kezdve egyenlő az előzővel, szorozva ugyanazzal a számmal.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

geometriai progresszió, ha bármely természetes számra n a feltétel teljesül:

b n +1 = b n · q,

Ahol q ≠ 0 - egy bizonyos szám.

Így egy adott geometriai progresszió következő tagjának az előzőhöz viszonyított aránya egy állandó szám:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Szám q hívott a geometriai progresszió nevezője.

A geometriai progresszió meghatározásához elegendő annak első tagját és nevezőjét feltüntetni.

Például,

Ha b 1 = 1, q = -3 , akkor a sorozat első öt tagját a következőképpen találjuk meg:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 és nevező q neki n A kifejezés a következő képlettel kereshető:

b n = b 1 · qn -1 .

Például,

keresse meg a geometriai progresszió hetedik tagját 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

akkor nyilván

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

a geometriai progresszió minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő az előző és az azt követő tagok mértani átlagával (arányos).

Mivel fordítva is igaz, a következő állítás érvényes:

az a, b és c számok valamilyen geometriai haladás egymást követő tagjai akkor és csak akkor, ha az egyik négyzete egyenlő a másik kettő szorzatával, vagyis az egyik szám a másik kettő mértani közepe.

Például,

Bizonyítsuk be, hogy a képlet által adott sorozat b n= -3 2 n , egy geometriai progresszió. Használjuk a fenti állítást. Nekünk van:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Ennélfogva,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

ami bizonyítja a kívánt állítást. ◄

Vegye figyelembe, hogy n A geometriai progresszió harmadtagja nem csak ezen keresztül található meg b 1 , hanem bármely korábbi tag is b k , amihez elég a képletet használni

b n = b k · qn - k.

Például,

Mert b 5 le lehet írni

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

akkor nyilván

b n 2 = b n - k· b n + k

egy geometriai sorozat bármely tagjának négyzete a másodiktól kezdve egyenlő a tőle egyenlő távolságra lévő haladás tagjainak szorzatával.

Ezenkívül bármely geometriai progresszióra igaz az egyenlőség:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Például,

geometriai haladásban

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , mert

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

első n nevezővel rendelkező geometriai progresszió tagjai q ≠ 0 képlettel számolva:

És mikor q = 1 - a képlet szerint

S n= nb 1

Vegye figyelembe, hogy ha összegeznie kell a feltételeket

b k, b k +1 , . . . , b n,

akkor a következő képletet használjuk:

Például,

geometriai haladásban 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ha adott egy geometriai progresszió, akkor a mennyiségek b 1 , b n, q, nÉs S n két képlet köti össze:

Ezért, ha ezen mennyiségek közül bármelyik három értékét megadjuk, akkor a másik két mennyiség megfelelő értékeit ezekből a képletekből határozzuk meg, két egyenletrendszerbe kombinálva, két ismeretlennel.

Egy geometriai progresszióhoz az első taggal b 1 és nevező q a következők történnek a monotonitás tulajdonságai :

• a progresszió növekszik, ha az alábbi feltételek egyike teljesül:

b 1 > 0 És q> 1;

b 1 < 0 És 0 < q< 1;

• A progresszió csökken, ha az alábbi feltételek egyike teljesül:

b 1 > 0 És 0 < q< 1;

b 1 < 0 És q> 1.

Ha q< 0 , akkor a geometriai progresszió váltakozó: a páratlan számú tagok előjele megegyezik az első tagjával, a páros számokkal pedig ellentétes előjelű. Nyilvánvaló, hogy a váltakozó geometriai progresszió nem monoton.

Az első terméke n a geometriai progresszió tagjai a következő képlettel számíthatók ki:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Például,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Végtelenül csökkenő geometriai progresszió

Végtelenül csökkenő geometriai progresszió végtelen geometriai progressziónak nevezzük, amelynek a nevező modulusa kisebb 1 , vagyis

|q| < 1 .

Vegye figyelembe, hogy a végtelenül csökkenő geometriai progresszió nem feltétlenül csökkenő sorozat. Alkalomhoz illik

1 < q< 0 .

Ilyen nevező esetén a sorozat váltakozó. Például,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összege nevezd meg azt a számot, amelyhez az elsők összege korlátlanul közelít! n egy progresszió tagjai korlátlan számnövekedéssel n . Ez a szám mindig véges, és a képlettel fejezzük ki

Például,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Az aritmetikai és a geometriai progresszió kapcsolata

Az aritmetikai és a geometriai progresszió szorosan összefügg. Nézzünk csak két példát.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Azt

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Például,

1, 3, 5, . . . - aritmetikai progresszió különbséggel 2 És

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometriai progresszió nevezővel 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometriai progresszió nevezővel q , Azt

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - aritmetikai progresszió különbséggel log aq .

Például,

2, 12, 72, . . . - geometriai progresszió nevezővel 6 És

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmetikai progresszió különbséggel lg 6 . ◄

A matematikának megvan a maga szépsége, akárcsak a festészetnek és a költészetnek.

Orosz tudós, szerelő N.E. Zsukovszkij

A matematikai felvételi vizsgákon nagyon gyakori problémák a számtani progresszió fogalmával kapcsolatos problémák. Az ilyen problémák sikeres megoldásához jól ismernie kell az aritmetikai progresszió tulajdonságait, és bizonyos ismeretekkel kell rendelkeznie azok alkalmazásában.

Először idézzük fel az aritmetikai sorozat alapvető tulajdonságait, és mutassuk be a legfontosabb képleteket, kapcsolódik ehhez a fogalomhoz.

Meghatározás. Számsorozat, amelyben minden következő tag azonos számmal tér el az előzőtől, aritmetikai sorozatnak nevezzük. Ebben az esetben a számprogressziós különbségnek nevezzük.

A számtani progresszióhoz a következő képletek érvényesek:

, (1)

Ahol . Az (1) képletet egy aritmetikai sorozat általános tagjának képletének nevezzük, a (2) képlet pedig a számtani sorozat fő tulajdonságát jelenti: a progresszió minden tagja egybeesik a szomszédos tagok számtani átlagával és.

Vegyük észre, hogy a vizsgált progressziót éppen ezen tulajdonság miatt nevezik „aritmetikának”.

A fenti (1) és (2) képlet a következőképpen általánosítható:

(3)

Az összeg kiszámításához első egy aritmetikai progresszió feltételeiáltalában a képletet használják

(5) hol és .

Ha figyelembe vesszük az (1), akkor az (5) képletből az következik

Ha jelöljük, akkor

Ahol . Mivel a (7) és (8) képlet a megfelelő (5) és (6) képlet általánosítása.

Különösen , az (5) képletből az következik, Mit

A legtöbb diák számára kevéssé ismert az aritmetikai progresszió tulajdonsága, amelyet a következő tétellel fogalmazunk meg.

Tétel. Ha akkor

Bizonyíték. Ha akkor

A tétel bizonyítást nyert.

Például , tétel segítségével, ez kimutatható

Nézzük meg a tipikus példákat az „Aritmetikai progresszió” témával kapcsolatos problémák megoldására.

1. példa Hadd legyen. Megtalálja .

Megoldás. A (6) képlet alkalmazásával azt kapjuk, hogy . Mivel és , akkor vagy .

2. példa Legyen háromszor nagyobb, és ha elosztjuk a hányadossal, az eredmény 2, a maradék pedig 8. Határozza meg és .

Megoldás. A példa feltételeiből az egyenletrendszer következik

Mivel , , és , akkor a (10) egyenletrendszerből kapjuk

Ennek az egyenletrendszernek a megoldása és .

3. példa Keresse meg, ha és .

Megoldás. Az (5) képlet szerint van vagy . A (9) tulajdonság használatával azonban megkapjuk a .

Mivel és , majd az egyenlőségből az egyenlet következik vagy .

4. példa Keresse meg, ha.

Megoldás.Az (5) képlet szerint megvan

A tétel segítségével azonban írhatunk

Innen és a (11) képletből kapjuk.

5. példa. Adott: . Megtalálja .

Megoldás. Azóta. Azonban ezért.

6. példa. Hagyjuk , és . Megtalálja .

Megoldás. A (9) képlet segítségével megkapjuk. Ezért ha , akkor vagy .

Mivel és akkor itt van egy egyenletrendszerünk

Amelyik megoldásával kapjuk és .

Az egyenlet természetes gyöke van .

7. példa. Keresse meg, ha és .

Megoldás. Mivel a (3) képlet szerint megvan, hogy , akkor a feladatfeltételekből következik az egyenletrendszer

Ha behelyettesítjük a kifejezésta rendszer második egyenletébe, akkor kapunk vagy .

A másodfokú egyenlet gyökerei a következőkÉs .

Vegyünk két esetet.

1. Hagyja, majd . Azóta és akkor .

Ebben az esetben a (6) képlet szerint megvan

2. Ha , akkor , és

Válasz: és.

8. példa. Ismeretes, hogy és. Megtalálja .

Megoldás. Az (5) képletet és a példa feltételét figyelembe véve írunk és -t.

Ez magában foglalja az egyenletrendszert

Ha a rendszer első egyenletét megszorozzuk 2-vel, majd hozzáadjuk a második egyenlethez, akkor azt kapjuk,

A (9) képlet szerint megvan. Ebből a szempontból a (12) vagy .

Azóta és akkor .

Válasz: .

9. példa. Keresse meg, ha és .

Megoldás. Mivel , és feltétel szerint , akkor vagy .

Az (5) képletből ismert, Mit . Azóta.

Ennélfogva , itt van egy lineáris egyenletrendszer

Innen kapunk és . A (8) képlet figyelembevételével írjuk.

10. példa. Oldja meg az egyenletet.

Megoldás. A megadott egyenletből az következik, hogy . Tegyük fel, hogy , , és . Ebben az esetben .

Az (1) képlet szerint írhatunk vagy -t.

Mivel , akkor a (13) egyenletnek van az egyetlen megfelelő gyöke.

11. példa. Keresse meg a maximális értéket, feltéve, hogy és .

Megoldás. Mivel , akkor a figyelembe vett számtani progresszió csökken. Ebben a tekintetben a kifejezés akkor veszi fel a maximális értékét, ha ez a progresszió minimális pozitív tagjának száma.

Használjuk az (1) képletet és a tényt, hogy és . Akkor azt kapjuk, hogy ill.

Azóta, akkor ill . Ebben az egyenlőtlenségben azonbanlegnagyobb természetes szám, Ezért .

Ha a , és értékeit behelyettesítjük a (6) képletbe, akkor azt kapjuk, hogy .

Válasz: .

12. példa. Határozza meg mindazon kétjegyű természetes számok összegét, amelyeket 6-tal elosztva 5 marad.

Megoldás. Jelöljük az összes kétjegyű természetes szám halmazával, azaz. . Ezután megszerkesztünk egy részhalmazt, amely a halmaz azon elemeiből (számaiból) áll, amelyek 6-tal osztva 5-ös maradékot adnak.

Könnyen telepíthető, Mit . Magától értetődően , hogy a halmaz elemeiszámtani sorozatot alkotnak, amelyben és .

A halmaz számosságának (elemszámának) megállapításához feltételezzük, hogy . Mivel és az (1) képletből vagy az következik. Az (5) képlet figyelembevételével megkapjuk.

A problémamegoldás fenti példái semmiképpen sem mondhatók kimerítőnek. Ez a cikk egy adott témakör tipikus problémáinak megoldására szolgáló modern módszerek elemzésén alapul. Az aritmetikai progresszióval kapcsolatos problémák megoldási módszereinek alaposabb tanulmányozásához célszerű az ajánlott irodalom jegyzékére hivatkozni.

1. Matematikai feladatgyűjtemény főiskolára jelentkezők számára / Szerk. M.I. Scanavi. – M.: Béke és oktatás, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. Matematika középiskolásoknak: az iskolai tananyag további részei. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 p.

3. Medynsky M.M. Az elemi matematika teljes kurzusa feladatokban és gyakorlatokban. 2. könyv: Számsorozatok és előrehaladások. – M.: Editus, 2015. – 208 p.

Van még kérdése?

Ha segítséget szeretne kérni egy oktatótól, regisztráljon.

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.