Tetszőleges térbeli erőrendszer középpontba hozásának speciális esetei. A legegyszerűbb formára való redukció esetei Egy sík erőrendszer egyensúlyi egyenleteinek formái
Legyen egy merev testre egyszerre több, különböző síkban ható nyomatékpáros erő. Lehetséges-e egyszerűbb formára redukálni ezt a párrendszert? Kiderül, hogy lehetséges, és a választ a következő tétel két pár összeadásáról sugallja.
Tétel. Két különböző síkban ható erőpár egyenértékű egy olyan erőpárral, amelynek nyomatéka megegyezik az adott párok nyomatékainak geometriai összegével.
Határozzuk meg a párokat a és nyomatékaikkal (36. ábra,a). Készítsünk két, ezekre a vektorokra merőleges síkot (a párok hatássíkját), és a két párban közös váll síkjainak metszésvonalán egy bizonyos AB szakaszt választva megszerkesztjük a megfelelő párokat: (ábra. 36, b).
A pár pillanatának meghatározásának megfelelően írhatunk
Az A és B pontokban konvergáló erőink vannak. Az erők paralelogramma szabályát alkalmazva (3. axióma) a következőket kapjuk:
A megadott párok két olyan erővel ekvivalensnek bizonyulnak, amelyek szintén egy párt alkotnak. Így a tétel első része bizonyítva van. A tétel második részét a kapott pár nyomatékának közvetlen kiszámításával bizonyítjuk:
Ha sok pár van, akkor ezeket a tétellel összhangban páronként összeadva tetszőleges számú pár egy párra redukálható. Ennek eredményeként a következő következtetésre jutunk: egy abszolút merev testre ható erőpárok halmaza (rendszere) egy párra redukálható, amelynek nyomatéka megegyezik az összes adott pár nyomatékainak geometriai összegével.
Matematikailag ez a következőképpen írható fel:
ábrán. A 37. ábra a kapott következtetés geometriai illusztrációját mutatja be.
Az erőpárok egyensúlyához szükséges, hogy a kapott pár nyomatéka nullával egyenlő legyen, ami az egyenlőséghez vezet
Ez a feltétel geometriai és analitikus formában is kifejezhető. Az erőpárok egyensúlyának geometriai feltétele: ahhoz, hogy egy erőpárok rendszere egyensúlyban legyen, szükséges és elegendő, hogy az összes pár nyomatékából szerkesztett vektorsokszög zárva legyen.
Az erőpárok egyensúlyának analitikai feltétele: ahhoz, hogy egy erőpárok rendszere egyensúlyban legyen, szükséges és elegendő, hogy az összes pár nyomatékvektorának vetületeinek algebrai összege az Oxyz tetszőlegesen kiválasztott koordinátatengelyekre nullával egyenlő legyen:
Ha az összes pár ugyanabban a síkban van, vagyis lapos párrendszert alkot, akkor csak egy analitikai egyensúlyi feltételt kapunk – a párok algebrai momentumainak összege nulla.
Önellenőrző kérdések
1. Mi az erő sokszög szabálya? Mire használják az erőpoligont?
2. Hogyan találjuk meg analitikusan a konvergáló erők eredőjét?
3. Milyen geometriai feltétele van a konvergáló erők egyensúlyának? Hogyan fogalmazható meg analitikusan ugyanez a feltétel?
4. Mondja el a három erő tételét!
5. Mely statikai problémákat nevezzük statikusan definiáltnak és melyeket statikusan határozatlannak? Mondjon példát egy statikailag határozatlan problémára!
6. Mit nevezünk erőpárnak?
7. Mit nevezünk egy erőpár pillanatának (vektor-nyomatékának)? Mi a pillanat iránya, nagysága és alkalmazási pontja?
8. Mit nevezünk egy pár algebrai momentumának?
9. Fogalmazzon meg egy szabályt a térben tetszőlegesen elhelyezkedő párok összeadására!
10. Mik a vektoros, geometriai és analitikai feltételei egy erőpárrendszer egyensúlyának?
A statika főtétele egy tetszőleges erőrendszer adott középpontba állításáról: Bármely sík erőrendszer ekvivalens egy olyan erővel, amely megegyezik a rendszer valamely ponton (a redukció középpontjában) alkalmazott fővektorával, és egy olyan erőpárral, amelyek nyomatéka megegyezik a rendszer relatív erőinek főnyomatékával. a redukció középpontjába.
A tétel bizonyítása a következő sorrendben történik: válasszon ki egy pontot (például egy pontot RÓL RŐL) a redukció középpontjaként, és minden erőt ebbe a pontba vigyenek át, a párhuzamos erőátvitel tétele szerint hozzáadva a megfelelő erőpárokat. Ennek eredményeként a pontban alkalmazott konvergáló erők rendszere jön létre RÓL RŐL, ahol , és hozzáadott erőpárok rendszere, amelyek nyomatékai . Ekkor a konvergáló erők rendszerét a rendszer fővektorával megegyező eredővel, az erőpárok rendszerét pedig egy olyan erőpárral helyettesítjük, amelynek nyomatéka megegyezik a rendszer középpontjához viszonyított főnyomatékával. csökkentés . Ennek eredményeként azt kapjuk, hogy ~. Ezért a tétel bebizonyosodott.
Az erők térbeli rendszerének legegyszerűbb formára redukálásának esetei:
1, a – a rendszer egy erőpárra redukálódik, amelynek nyomatéka megegyezik a rendszer főnyomatékával, és a rendszer főnyomatékának értéke nem függ a redukciós középpont megválasztásától.
2, a – az erőrendszert a rendszer fővektorával egyenlő eredőre redukáljuk, amelynek hatásvonala átmegy a redukció O középpontján.
3, és – egy ilyen erőrendszert egy eredőre redukálunk, amely egyenlő a rendszer fővektorával, amelynek hatásvonala távolsággal eltolódik az előző redukciós középponttól.
4 Ha a fővektor és a főmomentum , akkor az erőrendszer kiegyensúlyozott lesz, azaz. ~0.
2.1.5 Egyensúlyi feltételek sík erőrendszerhez
Bármely síkbeli erőrendszer egyensúlyának szükséges és elégséges feltételeit a következő egyenletek határozzák meg:
Egy sík erőrendszer fővektorának nagyságát a függőségek határozzák meg: , a főmomentumot pedig a függőség határozza meg.
A fővektor csak akkor lesz egyenlő nullával, ha egyidejűleg . Következésképpen az egyensúlyi feltételek akkor teljesülnek, ha a következő analitikai egyenletek teljesülnek:
Ezek az egyenletek az alapvető ( első ) egy tetszőleges síkbeli erőrendszer egyensúlyának analitikai feltételeinek formája, amelyek a következők: tetszőleges síkbeli erőrendszer egyensúlyához szükséges és elégséges, hogy a két koordinátatengelyre ható összes erő vetületének összege és ezen erők nyomatékainak algebrai összege a sík bármely pontjához viszonyítva. az erők hatása nullával egyenlő.
Figyeljük meg, hogy az egyensúlyi egyenletek száma tetszőleges síkbeli erőrendszerre általános esetben három. Különböző formákban bemutathatók.
Egy tetszőleges síkbeli erőrendszerre még kétféle egyensúlyi egyenlet létezik, amelyek teljesülése az egyensúlyi feltételeket fejezi ki ().
Második az analitikai egyensúlyi feltételek formája biztosítja: tetszőleges síkbeli erőrendszer egyensúlyához szükséges és elegendő, hogy az összes erő két ponthoz viszonyított nyomatékának összege és ezen erők vetületeinek összege egy olyan tengelyre, amely nem merőleges az ezen keresztül húzott egyenesre pont egyenlő nullával:
(vonal AB nem merőleges a tengelyre Ó)
Fogalmazzuk meg harmadik a vizsgált erőrendszer egyensúlyának analitikai feltételeinek formája: tetszőleges síkbeli erőrendszer egyensúlyához szükséges és elegendő, hogy a rendszer erőinek nyomatékainak összege bármely három, nem ugyanazon az egyenesen fekvő ponthoz képest nullával egyenlő:
Párhuzamos erők síkrendszere esetén irányíthatja a tengelyt OU párhuzamos a rendszer erőivel. Ezután a rendszer egyes erőinek vetületei a tengelyre Ó egyenlő lesz nullával. Ennek eredményeként a párhuzamos erők síkrendszerében az egyensúlyi feltételek két formája marad meg.
A párhuzamos erők síkrendszerének egyensúlyához szükséges és elegendő, hogy az összes erőnek a velük párhuzamos tengelyre vetített vetületeinek összege és az összes erő bármely ponthoz viszonyított nyomatékának összege nulla legyen:
A párhuzamos erők síkrendszerére vonatkozó analitikai egyensúlyi feltételek első formája a () egyenletekből következik.
Az egyensúlyi feltételek második alakját párhuzamos erőrendszerre a () egyenletekből kapjuk.
A párhuzamos erők síkrendszerének egyensúlyához szükséges és elegendő, hogy a rendszer összes erőjének nyomatékainak összege két olyan ponthoz képest, amelyek nem az erőkkel párhuzamos egyenesen helyezkednek el, nullával egyenlő:
Amint az a 12. §-ban látható, általános esetben bármelyiket redukáljuk az R fővektorral egyenlő erőre, és egy tetszőleges O középpontra alkalmazzuk, valamint egy olyan párra, amelynek nyomatéka egyenlő a főnyomatékkal (lásd 40. ábra, b). ). Nézzük meg, milyen legegyszerűbb formára redukálható egy nem egyensúlyban lévő térbeli erőrendszer. Az eredmény attól függ, hogy ez a rendszer milyen értékeket tartalmaz az R és mennyiségekre
1. Ha egy adott erőrendszerre , akkor azt olyan erőpárra redukáljuk, amelynek nyomatéka egyenlő, és az (50) képletekkel kiszámítható. Ebben az esetben, amint az a 12. §-ban látható, az érték nem függ az O középpont megválasztásától.
2. Ha egy adott erőrendszerre, akkor azt R-vel egyenlő eredőre redukáljuk, amelynek hatásvonala az O középponton megy át. Az R értéke a (49) képletekkel meghatározható.
3. Ha egy adott erőrendszerre de akkor ezt a rendszert is redukáljuk R-vel egyenlő eredőre, de nem megy át az O középponton.
Valóban, ha a vektorral ábrázolt pár és az R erő ugyanabban a síkban van (91. ábra).
Ezután válassza ki a pár erőit egyenlőnek az R modulussal, és rendezze el őket az ábra szerint. A 91. ábrán azt találjuk, hogy az erők kölcsönösen kiegyensúlyozottak lesznek, és a rendszert egy eredő cselekvési vonal váltja fel, amelynek az O ponton halad át (lásd a 15. § 2. bekezdésének b pontját). A ) távolságot a (28) képlet határozza meg, ahol
Könnyű ellenőrizni, hogy a vizsgált eset különösen mindig bekövetkezik bármely párhuzamos erőrendszer vagy ugyanabban a síkban fekvő erőrendszer esetén, ha ennek a rendszernek a fővektora egy adott erőrendszerre és a vektorral párhuzamos R (92. ábra, a) , ez azt jelenti, hogy az erőrendszer az R erő és az erőre merőleges síkban fekvő P, P pár kombinációjára redukálódik (92. ábra, b). Az erő és a pár ilyen kombinációját dinamikus csavarnak nevezzük, és az egyenes vonal, amely mentén az R vektor irányul, a csavar tengelye. Ennek az erőrendszernek a további egyszerűsítése lehetetlen. Valójában, ha bármely másik C pontot veszünk redukciós középpontnak (92. ábra, a), akkor a vektor szabadként vihető át a C pontba, és amikor az R erő átkerül a C pontba (lásd 11. §) , egy másik pár, amelynek nyomatéka merőleges az R vektorra, és ezért . Ennek eredményeként a kapott pár nyomatéka numerikusan nagyobb lesz, így a kapott pár nyomatéka ebben az esetben a legkisebb értékű az O középpontba hozva. Ez az erőrendszer nem redukálható egyetlen erőre (eredményre) vagy egy párra.
Ha a pár egyik erőjét, például P-t hozzáadjuk az R erőhöz, akkor a szóban forgó erőrendszert két keresztező erővel is helyettesíthetjük, vagyis olyan Q erőkkel, amelyek nem ugyanabban a síkban helyezkednek el. 93). Mivel az eredményül kapott erőrendszer egy dinamikus csavarral ekvivalens, nincs eredője sem.
5. Ha egy adott erőrendszerre és egyidejűleg a vektorok és R nem merőlegesek egymásra és nem párhuzamosak, akkor az ilyen erőrendszer is dinamikus csavarra redukálódik, de a csavar tengelye nem áthalad az O központon.
Ennek bizonyítására bontsuk fel a vektort R mentén irányú és R-re merőleges komponensekre (94. ábra). Ebben az esetben hol vannak a vektorok és az R. A vektor és az R erő által képviselt pár lehet, mint az ábrán látható esetben. Ekkor ezt az erőrendszert egy erővel és egy párhuzamos nyomatékpárral helyettesítjük, és a vektort szabadként is alkalmazhatjuk az O pontban. Az eredmény valójában legyen dinamikus csavar, de egy tengelye átmegy a ponton
Ha a térbeli erőrendszernek a kiválasztott O középpontba hozása után a fővektor és a főmomentum egyenlő nullával, azaz.
Az erőrendszer kiegyensúlyozott. Egy ilyen erőrendszer hatására a szilárd test egyensúlyba kerül. Nyilvánvaló, hogy általános esetben két vektoregyenlet (4.1) hat skaláris egyenletnek felel meg, tükrözve ezen vektorok vetületeinek nullával való egyenlőségét a választott koordináta-rendszer tengelyeire (például derékszögű).
Ha a térbeli erőrendszernek a kiválasztott O középpontba hozása után a fővektor egyenlő nullával, és a főmomentum nem egyenlő nullával, azaz.
Az így létrejövő erőpár hat a testre, és hajlamos forgatni azt. Vegye figyelembe, hogy ebben az esetben a redukciós központ kiválasztása nem befolyásolja az eredményt.
Ha a térbeli erőrendszernek a kiválasztott O középpontba hozása után a fővektor nem egyenlő nullával, a főmomentum pedig nullával, azaz.
A testre az eredő erőrendszer hat, amely áthalad a redukciós középponton, és arra törekszik, hogy a testet a hatásvonala mentén mozgassa. Nyilvánvaló, hogy a (4.3.) összefüggések az eredő hatásvonalának minden pontjára érvényesek.
Vegyük észre, hogy a konvergáló erők rendszerének hatása erre az esetre redukálódik, ha a rendszer erőinek hatásvonalainak metszéspontját vesszük a redukció középpontjának (mivel az erők ehhez a ponthoz viszonyított nyomatékai egyenlőek nullára).
Ha a térbeli erőrendszernek a kiválasztott O középpontba hozása után a fővektor és a főmomentum nem egyenlő nullával, és irányaik derékszöget zárnak be, pl.
akkor egy ilyen erőrendszer is redukálható eredőre, de áthaladva egy másik redukciós középpontra - a pontra. Ennek a műveletnek a végrehajtásához először az ábrán látható egyenértékű erőrendszereket vesszük figyelembe. 4.2.b és ábra. 4.1. Nyilvánvalóan, ha megváltoztatjuk a jelölést (B pontot O középpontnak, A pontot középpontnak nevezzük), akkor a ránk váró feladat a párhuzamos erőátviteli lemmában elvégzett művelettel fordított művelet végrehajtását igényli. Figyelembe véve a fentieket, a pontnak egyrészt az O középponton átmenő főnyomatékvektorra merőleges síkban kell elhelyezkednie, másodsorban pedig a fővektor hatásvonalával párhuzamos egyenesen kell lennie. erők és elválasztjuk tőle h távolságra egyenlő
A két talált egyenes közül azt kell kiválasztani, amelynek pontjaiban a főnyomaték vektora egyenlő nullával (az erők fővektorának az új középponthoz viszonyított nyomatéka egyenlő nagyságú és ellentétes irányú az erőrendszer főmomentuma az O ponthoz viszonyítva).
Általános esetben, miután a térbeli erőrendszert a kiválasztott O középpontba hozzuk, a nullával nem egyenlő fővektor és a főmomentum nem alkot egymással derékszöget (4.5.a. ábra).
Ha a főnyomatékot két komponensre bontjuk - az erők fővektora mentén és arra merőlegesen, akkor a (4.5) ponttal összhangban találhatunk egy redukciós középpontot, amelyre a főnyomaték merőleges összetevője nulla lesz, és a fővektor és a főmomentum első komponenseinek nagysága és iránya változatlan marad (4.5.b. ábra). A vektorok gyűjteményét ún erőcsavar vagy dinamó.
További egyszerűsítés nem lehetséges.
Mivel a redukciós középpont ilyen változásával csak a főmomentum vetülete változik az erőrendszer fővektorára merőleges irányba, ezért ezen vektorok skaláris szorzatának értéke változatlan marad, azaz.
Ezt a kifejezést hívják második invariáns
statika.
4.1. példa. Az oldalakkal és téglalap alakú paralelepipedon csúcsaira és erők hatnak (lásd 4.6. ábra). Az ábrán az erőrendszer redukciós középpontjaként feltüntetett derékszögű koordináta-rendszer koordinátáinak origóját felvéve írjuk le a fővektor és a főmomentum vetületeinek kifejezéseit.
Írjunk fel trigonometrikus összefüggéseket a szögek meghatározásához:
Most már írhatunk kifejezéseket a rendszer fővektorának és fő erőnyomatékának vetületeire:
Megjegyzés: a koordinátatengelyekre vetített vektorvetítések ismerete szükség esetén lehetővé teszi annak nagyságának és irányának koszinuszának kiszámítását.
Mint fentebb bizonyítottuk, a térben tetszőlegesen elhelyezkedő erőrendszer egyetlen erőre redukálható, amely megegyezik a rendszer fővektorával, és egy tetszőleges redukciós középpontban alkalmazható. RÓL RŐL, és egy olyan pár, amelynek nyomatéka megegyezik a rendszer ugyanazon középponthoz viszonyított főmomentumával. Ezért a jövőben egy tetszőleges erőrendszer helyettesíthető egy ekvivalens két vektorból álló halmazzal - egy pontban alkalmazott erővel és nyomatékkal. RÓL RŐL. A redukciós középpont helyzetének megváltoztatásakor RÓL RŐL a fővektor megtartja a nagyságot és az irányt, de a főmomentum megváltozik. Bizonyítsuk be, hogy ha a fővektor nem nulla és 
a főnyomatékra merőleges, akkor az erőrendszer egy erőre redukálódik, amit ebben az esetben eredőnek nevezünk (8. ábra). A főmomentum egy vállú erőpárral ( , ) ábrázolható, ekkor az erők és a fővektor kettős rendszert alkotnak
nullával egyenértékű erők, amelyeket el lehet vetni. Marad egy erő, amely a fővel párhuzamos egyenes mentén hat
8. ábra a vektorhoz és a távoli elhaladáshoz
h= az és a vektorok alkotta síkból. A vizsgált eset azt mutatja, hogy ha kezdettől fogva az egyenes redukciós középpontját választjuk L, akkor az erőrendszer azonnal az eredőre kerülne, a főmomentum egyenlő lenne nullával. Most bebizonyítjuk, hogy ha a fővektor nem nulla és nem merőleges a főnyomatékra, akkor egy ilyen pontot választhatunk redukciós középpontnak RÓL RŐL* hogy az ehhez a ponthoz viszonyított főmomentum és a fővektor ugyanazon az egyenesen lesz. Ennek bizonyítására bontsuk fel a momentumot két komponensre - az egyik a fővektor mentén, a másik pedig a fővektorra merőleges. Így az erőpárt két nyomatékos párra bontjuk: és , és az első pár síkja merőleges -ra, majd a második párnak a vektorra merőleges síkja (9. ábra) tartalmazza a vektort. A nyomaték és egy erő pár kombinációja olyan erőrendszert alkot, amely az O* ponton áthaladó egyetlen erőre redukálható (8. ábra). Így (9. ábra) a fővektor és a főmomentum kombinációja a pontban RÓL RŐL ponton áthaladó erőre csökkentjük RÓL RŐL*, és egy ezzel az egyenessel párhuzamos nyomatékú pár, amit bizonyítani kellett. Egy erő és egy pár kombinációját, amelynek síkja merőleges az erő hatásvonalára, dinamizmusnak nevezzük (10. ábra). Egy erőpár ábrázolható két egyenlő nagyságú ( , ) erővel, amelyek a 10. ábrán látható módon helyezkednek el. De a két erőt és összeadásával megkapjuk az összegüket és a fennmaradó erőt, amelyből ez következik (10. ábra). ), hogy a fővektor és a főmomentum kombinációja a pontban RÓL RŐL, redukálható két nem metsző erőre és.
Tekintsünk néhány esetet az erőrendszer csökkentésére.
1. Lapos erőrendszer. A határozottság kedvéért minden erő legyen a síkban OXY. Akkor a legáltalánosabb esetben
A fővektor nem nulla, a főmomentum nem nulla, pontszorzatuk nulla, sőt
ezért a fővektor merőleges a főnyomatékra: az erők síkrendszere redukálódik az eredőre.
2. Párhuzamos erők rendszere. A határozottság kedvéért legyen minden erő párhuzamos a tengellyel OZ. Akkor a legáltalánosabb esetben
Itt is a fővektor nem egyenlő nullával, a főmomentum nem egyenlő nullával, és a skaláris szorzatuk egyenlő nullával, sőt
ezért ebben az esetben a fővektor merőleges a főnyomatékra: a párhuzamos erők rendszere az eredőre redukálódik. Az adott esetben, ha egyenlő nullával, akkor az erők fővektora nulla, és az erőrendszer egy olyan erőpárra redukálódik, amelynek nyomatékvektora a síkban van. OXY. Most pedig rendszerezzük a vizsgált eseteket. Emlékezzünk vissza: a merev testre ható erők tetszőleges térbeli rendszere statikusan egyenértékű a test tetszőleges pontjában (redukciós középpontjában) kifejtett fővektorral egyenlő erővel, és egy olyan erőpárral, amelynek nyomatéka egyenlő az erőrendszer főmomentuma a meghatározott redukciós középponthoz viszonyítva.
