13. §. Steiner tétele tetszőleges tengely körüli tehetetlenségi nyomatékról
Testek m távolság négyzetére d tengelyek között:
J = J c + m d 2 , (\displaystyle J=J_(c)+md^(2),)Ahol m- teljes testtömeg.
Például egy rúd tehetetlenségi nyomatéka a végén áthaladó tengelyhez viszonyítva egyenlő:
J = J c + m d 2 = 1 12 m l 2 + m (l 2) 2 = 1 3 m l 2. (\displaystyle J=J_(c)+md^(2)=(\frac (1)(12))ml^(2)+m\left((\frac (l)(2))\jobb)^ (2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)Egyes testek tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékai
| Test | Leírás | Tengelyhelyzet a | Tehetetlenségi nyomaték J a |
|---|---|---|---|
| Anyag ponttömeg m | Távolról r pontból, álló | ||
| Üreges vékonyfalú henger vagy sugárgyűrű rés tömegek m | Henger tengelye | m r 2 (\displaystyle mr^(2)) | |
| Tömör henger vagy sugártárcsa rés tömegek m | Henger tengelye | 1 2 m r 2 (\displaystyle (\frac (1) (2))mr^(2)) | |
| Üreges vastag falú tömeghenger m külső sugárral r 2 és belső sugár r 1 | Henger tengelye | m r 2 2 + r 1 2 2 (\displaystyle m(\frac (r_(2)^(2)+r_(1)^(2))(2))) | |
| Tömör hengerhossz l, sugár rés tömegek m | 1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 4)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2)) | ||
| Üreges vékonyfalú henger (gyűrű) hossza l, sugár rés tömegek m | A tengely merőleges a hengerre, és áthalad a tömegközéppontján | 1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 2)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2)) | |
| Egyenes vékony hosszúságú rúd lés tömegek m | A tengely merőleges a rúdra, és átmegy a tömegközéppontján | 1 12 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ml^(2)) | |
| Egyenes vékony hosszúságú rúd lés tömegek m | A tengely merőleges a rúdra, és áthalad a végén | 1 3 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(3))ml^(2)) | |
| Vékonyfalú sugarú gömb rés tömegek m | A tengely a gömb közepén halad át | 2 3 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))mr^(2)) | |
| Sugárlabda rés tömegek m | A tengely áthalad a labda közepén | 2 5 m r 2 (\displaystyle (\frac (2) (5))mr^(2)) | |
| Sugárkúp rés tömegek m | Kúp tengelye | 3 10 m r 2 (\displaystyle (\frac (3)(10))mr^(2)) | |
| Egyenlőszárú háromszög magassággal h, alapja aés tömeg m | A tengely merőleges a háromszög síkjára, és átmegy a csúcson | 1 24 m (a 2 + 12 óra 2) (\displaystyle (\frac (1) (24))m(a^(2)+12h^(2))) | |
| Szabályos háromszög oldallal aés tömeg m | A tengely merőleges a háromszög síkjára, és átmegy a tömegközépponton | 1 12 m a 2 (\displaystyle (\frac (1) (12))ma^(2)) | |
| Négyzet oldallal aés tömeg m | A tengely merőleges a négyzet síkjára és átmegy a tömegközépponton | 1 6 m a 2 (\displaystyle (\frac (1) (6))ma^(2)) | |
| Téglalap oldalakkal aÉs bés tömeg m | A tengely merőleges a téglalap síkjára, és átmegy a tömegközépponton | 1 12 m (a 2 + b 2) (\displaystyle (\frac (1) (12))m(a^(2)+b^(2))) | |
| Szabályos n-szög sugarú rés tömeg m | A tengely merőleges a síkra és átmegy a tömegközépponton | m r 2 6 [ 1 + 2 cos (π / n) 2 ] (\displaystyle (\frac (mr^(2))(6))\left) | |
| Torus (üreges) vezetőkör sugarával R, a generáló kör sugara rés tömeg m | A tengely merőleges a tórusz vezetőkör síkjára, és átmegy a tömegközépponton | I = m (3 4 r 2 + R 2) (\displaystyle I=m\left((\frac (3)(4))\,r^(2)+R^(2)\jobbra)) |
Képletek származtatása
Vékonyfalú henger (gyűrű, karika)
A képlet levezetése
Egy test tehetetlenségi nyomatéka egyenlő az alkotórészei tehetetlenségi nyomatékainak összegével. Osszuk fel egy vékony falú hengert tömeges elemekre dmés a tehetetlenségi pillanatok dJ i. Akkor
J = ∑ d J i = ∑ R i 2 d m. (1) . (\displaystyle J=\sum dJ_(i)=\sum R_(i)^(2)dm.\qquad (1).)Mivel a vékonyfalú henger minden eleme azonos távolságra van a forgástengelytől, az (1) képletet alakra alakítjuk
J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2 . (\displaystyle J=\sum R^(2)dm=R^(2)\sum dm=mR^(2).)Vastag falú henger (gyűrű, karika)
A képlet levezetése
Legyen egy homogén külső sugarú gyűrű R, belső sugár R 1, vastag hés sűrűsége ρ. Vékony karikákra törjük vastagon dr. Vékony sugarú gyűrű tömege és tehetetlenségi nyomatéka r lesz
d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r ; d J = r 2 d m = 2 π ρ h r 3 d r. (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^(2)dm=2\pi \rho hr^(3)dr.)Keressük a vastag gyűrű tehetetlenségi nyomatékát integrálként
J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 d r = (\displaystyle J=\int _(R_(1))^(R)dJ=2\pi \rho h\int _ (R_(1))^(R)r^(3)dr=) = 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h (R 4 − R 1 4) = 1 2 π ρ h (R 2 − R 1 2) (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle =2\pi \rho h\left.(\frac (r^(4))(4))\right|_(R_(1))^(R)=(\frac (1)(2 ))\pi \rho h\left(R^(4)-R_(1)^(4)\jobb)=(\frac (1)(2))\pi \rho h\left(R^(2) )-R_(1)^(2)\jobbra)\balra(R^(2)+R_(1)^(2)\jobbra).Mivel a gyűrű térfogata és tömege egyenlő
V = π (R 2 − R 1 2) h ; m = ρ V = π ρ (R 2 − R 1 2) h , (\displaystyle V=\pi \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h;\qquad m= \rho V=\pi \rho \left(R^(2)-R_(1)^(2)\jobbra)h,)megkapjuk a gyűrű tehetetlenségi nyomatékának végső képletét
J = 1,2 m (R2 + R12). (\displaystyle J=(\frac (1)(2))m\left(R^(2)+R_(1)^(2)\jobb.)Homogén tárcsa (tömör henger)
A képlet levezetése
Ha egy hengert (lemezt) nulla belső sugarú gyűrűnek tekintünk ( R 1 = 0 ), megkapjuk a henger (tárcsa) tehetetlenségi nyomatékának képletét:
J = 12 m R2. (\displaystyle J=(\frac (1)(2))mR^(2).)Tömör kúp
A képlet levezetése
A kúpot vastagságú vékony korongokra törjük dh, merőleges a kúp tengelyére. Egy ilyen lemez sugara egyenlő
r = Rh H , (\displaystyle r=(\frac (Rh)(H)),)Ahol R– a kúp alap sugara, H- a kúp magassága, h– távolság a kúp tetejétől a korongig. Egy ilyen korong tömege és tehetetlenségi nyomatéka lesz
d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R h H) 4 d h ; (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left((\frac (Rh)(H))\right)^(4)dh;)Integrációt kapunk
J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 óra 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J=\int _(0)^(H)dJ=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H)) \jobbra)^(4)\int _(0)^(H)h^(4)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H) )\jobbra)^(4)\balra.(\frac (h^(5))(5))\jobbra|_(0)^(H)==(\frac (1)(10))\pi \rho R^(4)H=\left(\rho \cdot (\frac (1)(3))\pi R^(2)H\jobb)(\frac (3)(10))R^( 2)=(\frac (3)(10))mR^(2).\end(igazított)))Szilárd homogén labda
A képlet levezetése
Törjük a labdát vékony vastagságú korongokra dh, merőleges a forgástengelyre. Egy ilyen korong sugara magasságban helyezkedik el h a gömb középpontjából a képlet segítségével találjuk meg
r = R 2 − h 2 . (\displaystyle r=(\sqrt (R^(2)-h^(2))).)Egy ilyen korong tömege és tehetetlenségi nyomatéka lesz
d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h ; (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^(2)dh;) d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R 2 − h 2) 2 d h = 1 2 π ρ (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h . (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left(R^(2)-h^(2)\jobbra)^(2)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left(R^( 4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\jobbra)dh.)A golyó tehetetlenségi nyomatékát integrálással találjuk meg:
J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h = = π ρ (R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 1 5 óra 5) | 0 R = π ρ (R 5 − 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J&=\int _(-R)^(R)dJ=2\int _(0)^(R)dJ=\pi \rho \int _(0)^(R )\left(R^(4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\jobbra)dh=\\&=\pi \rho \left.\left(R^(4) h-(\frac (2)(3))R^(2)h^(3)+(\frac (1)(5))h^(5)\jobbra)\jobbra|_(0)^( R)=\pi \rho \left(R^(5)-(\frac (2)(3))R^(5)+(\frac (1)(5))R^(5)\jobb) =(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5)=\\&=\left((\frac (4)(3))\pi R^(3)\rho \jobbra) \cdot (\frac (2)(5))R^(2)=(\frac (2)(5))mR^(2).\end(igazított)))Vékony falú gömb
A képlet levezetése
Ennek levezetéséhez egy homogén sugarú golyó tehetetlenségi nyomatékának képletét használjuk R :
J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5. (\displaystyle J_(0)=(\frac (2)(5))MR^(2)=(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5).)Számítsuk ki, hogy mennyit fog változni a golyó tehetetlenségi nyomatéka, ha ρ állandó sűrűség mellett a sugara végtelenül kicsivel megnő dR .
J = d J 0 d R d R = d d R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J&=(\frac (dJ_(0))(dR))dR=(\frac (d)(dR))\left((\frac (8)(15))\ pi \rho R^(5)\right)dR=\\&=(\frac (8)(3))\pi \rho R^(4)dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^ (2)dR\jobbra)(\frac (2)(3))R^(2)=(\frac (2)(3))mR^(2).\end(igazított)))Vékony rúd (a tengelye átmegy a közepén)
A képlet levezetése
Törjük a rudat kis hosszúságú darabokra dr. Egy ilyen töredék tömege és tehetetlenségi nyomatéka egyenlő
d m = m d r l ; d J = r 2 d m = m r 2 d r l. (\displaystyle dm=(\frac (mdr)(l));\qquad dJ=r^(2)dm=(\frac (mr^(2)dr)(l)).)Integrációt kapunk
J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 m l l 3 24 = 1 12 m l 2 . (\displaystyle J=\int _(-l/2)^(l/2)dJ=2\int _(0)^(l/2)dJ=(\frac (2m)(l))\int _ (0)^(l/2)r^(2)dr=(\frac (2m)(l))\bal.(\frac (r^(3))(3))\jobb|_(0) ^(l/2)=(\frac (2m)(l))(\frac (l^(3))(24))=(\frac (1)(12))ml^(2.)Vékony rúd (a tengelye átmegy a végén)
A képlet levezetése
Amikor a forgástengely a rúd közepétől a vége felé mozog, a rúd súlypontja a tengelyhez képest egy távolságot elmozdul l ⁄ 2. Steiner tétele szerint az új tehetetlenségi nyomaték egyenlő lesz
J = J 0 + m r 2 = J 0 + m (l 2) 2 = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2. (\displaystyle J=J_(0)+mr^(2)=J_(0)+m\left((\frac (l)(2))\right)^(2)=(\frac (1)( 12))ml^(2)+(\frac (1)(4))ml^(2)=(\frac (1)(3))ml^(2.)Bolygók és műholdak dimenzió nélküli tehetetlenségi nyomatékai
Dimenzió nélküli tehetetlenségi nyomatékaik nagy jelentőséggel bírnak a bolygók és műholdaik belső szerkezetének vizsgálata során. Egy sugarú test dimenzió nélküli tehetetlenségi nyomatéka rés tömegek m egyenlő a forgástengelyhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékának egy azonos tömegű anyagpont tehetetlenségi nyomatékához viszonyítva egy bizonyos távolságban elhelyezkedő rögzített forgástengelyhez képest r(egyenlő úr 2). Ez az érték tükrözi a tömeg eloszlását a mélységben. A bolygók és műholdak közelében történő mérésének egyik módszere az adott bolygó vagy műhold közelében repülő AMS által sugárzott rádiójel Doppler-eltolódásának meghatározása. Egy vékony falú gömbnél a dimenzió nélküli tehetetlenségi nyomaték 2/3 (~0,67), egy homogén golyónál 0,4, és általában minél kisebb, annál nagyobb a test tömege koncentrálódik a középpontjában. Például a Hold dimenzió nélküli tehetetlenségi nyomatéka közel 0,4 (0,391), ezért feltételezzük, hogy viszonylag homogén, sűrűsége alig változik a mélységgel. A Föld dimenzió nélküli tehetetlenségi nyomatéka kisebb, mint egy homogén golyóé (0,335), ami egy érv a sűrű mag létezése mellett.
Centrifugális tehetetlenségi nyomaték
Egy test centrifugális tehetetlenségi nyomatékai a derékszögű derékszögű koordinátarendszer tengelyeihez képest a következő mennyiségek:
J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , (\displaystyle J_(xy)=\int \limits _(m))xydm=\int \limits _((V))xy\ rho dV) J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , (\displaystyle J_(xz)=\int \limits _((m))xzdm=\int \limits _((V))xz\ rho dV) J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , (\displaystyle J_(yz)=\int \limits _((m))yzdm=\int \limits _((V))yz\ rho dV)Ahol x , yÉs z- egy kis testelem koordinátái a térfogattal dV, sűrűség ρ és tömeg dm .
Az OX tengelyt ún a test fő tehetetlenségi tengelye, ha a centrifugális tehetetlenségi nyomatékok J xyÉs J xz egyidejűleg egyenlők nullával. A test minden pontján három fő tehetetlenségi tengely húzható át. Ezek a tengelyek egymásra merőlegesek. A test tehetetlenségi pillanatai egy tetszőleges pontban megrajzolt három fő tehetetlenségi tengelyhez képest O testeket hívnak fő tehetetlenségi nyomatékok ennek a testnek.
A test tömegközéppontján áthaladó fő tehetetlenségi tengelyeket ún a test fő központi tehetetlenségi tengelyei, és ezek a tengelyek tehetetlenségi nyomatékai annak fő központi tehetetlenségi nyomatékok. Egy homogén test szimmetriatengelye mindig az egyik fő központi tehetetlenségi tengelye.
Geometriai tehetetlenségi nyomatékok
A térfogat geometriai tehetetlenségi nyomatéka
J V a = ∫ (V) r 2 d V , (\displaystyle J_(Va)=\int \limits _((V))r^(2)dV,)ahol, mint korábban r- távolság az elemtől dV a tengelyhez a .
A terület geometriai tehetetlenségi nyomatéka a tengelyhez képest - a test geometriai jellemzője, amelyet a képlet fejez ki:
J S a = ∫ (S) r 2 d S , (\displaystyle J_(Sa)=\int \limits _((S))r^(2)dS,)ahol az integráció a felületen keresztül történik S, A dS- ennek a felületnek az eleme.
Dimenzió JSa- hossza a negyedik hatványig ( d i m J S a = L 4 (\displaystyle \mathrm (dim) J_(Sa)=\mathrm (L^(4)))), az SI mértékegysége 4. Építési számításokban, szakirodalomban és hengerelt fém választékban gyakran cm 4-ben tüntetik fel.
A metszet ellenállási nyomatékát a terület geometriai tehetetlenségi nyomatéka fejezi ki:
W = J S a r m a x . (\displaystyle W=(\frac (J_(Sa))(r_(max))).)Itt rmax- maximális távolság a felülettől a tengelyig.
| Egyes alakzatok területének geometriai tehetetlenségi nyomatékai | |
|---|---|
| Téglalap magasság h (\displaystyle h)és szélessége b (\displaystyle b): | J y = b h 3 12 (\displaystyle J_(y)=(\frac (bh^(3))(12)))
J z = h b 3 12 (\displaystyle J_(z)=(\frac (hb^(3))(12))) |
| Téglalap alakú dobozrész magassággal és szélességgel a külső kontúrok mentén H (\displaystyle H)És B (\megjelenítési stílus B)és belső h (\displaystyle h)És b (\displaystyle b) illetőleg | J z = B H 3 12 − b h 3 12 = 1 12 (B H 3 − b h 3) (\displaystyle J_(z)=(\frac (BH^(3))(12))-(\frac (bh^() 3))(12))=(\frac (1)(12))(BH^(3)-bh^(3)))
J y = H B 3 12 − h b 3 12 = 1 12 (H B 3 − h b 3) (\displaystyle J_(y)=(\frac (HB^(3))(12))-(\frac (hb^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(HB^(3)-hb^(3))) |
| Kör átmérője d (\displaystyle d) | J y = J z = π d 4 64 (\displaystyle J_(y)=J_(z)=(\frac (\pi d^(4))(64))) |
Tehetetlenségi nyomaték a síkhoz képest
A merev test tehetetlenségi nyomatéka egy bizonyos síkhoz képest olyan skaláris mennyiség, amely megegyezik a test egyes pontjainak tömegének szorzatával az e pont és a kérdéses sík közötti távolság négyzetével.
Ha egy tetszőleges ponton keresztül O (\displaystyle O) koordinátatengelyeket rajzolni x , y , z (\displaystyle x,y,z), akkor a koordinátasíkokhoz viszonyított tehetetlenségi nyomatékok x O y (\displaystyle xOy), y O z (\displaystyle yOz)És z O x (\displaystyle zOx) képletekkel fejezzük ki:
J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2 , (\displaystyle J_(xOy)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)z_(i)^(2)\ ,) J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2 , (\displaystyle J_(yOz)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)x_(i)^(2)\ ,) J z O x = ∑ i = 1 n m i y i 2 . (\displaystyle J_(zOx)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)y_(i)^(2)\ .)Szilárd test esetén az összegzést az integráció váltja fel.
Központi tehetetlenségi nyomaték
Központi tehetetlenségi nyomaték (tehetetlenségi nyomaték az O pont körül, tehetetlenségi nyomaték a pólus körül, poláris tehetetlenségi nyomaték) J O (\displaystyle J_(O)) a következő kifejezés által meghatározott mennyiség:
J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V , (\displaystyle J_(a)=\int \limits _(m))r^(2)dm=\int \limits _((V))\rho r^(2)dV,)A központi tehetetlenségi nyomaték kifejezhető a fő tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékokkal, valamint a síkokra vonatkozó tehetetlenségi nyomatékokkal:
J O = 1 2 (J x + J y + J z) , (\displaystyle J_(O)=(\frac (1)(2))\left(J_(x)+J_(y)+J_(z) \jobb),) J O = J x O y + J y O z + J x O z. (\displaystyle J_(O)=J_(xOy)+J_(yOz)+J_(xOz).)Tehetetlenségi tenzor és tehetetlenségi ellipszoid
Egy test tehetetlenségi nyomatéka egy tetszőleges tengelyhez képest, amely átmegy a tömegközépponton, és amelynek iránya az egységvektor által meghatározott s → = ‖ s x , s y , s z ‖ T , | s → | = 1 (\displaystyle (\vec (s))=\left\Vert s_(x),s_(y),s_(z)\right\Vert ^(T),\left\vert (\vec (s)) )\right\vert =1), másodfokú (bilineáris) alakban ábrázolható:
I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , (\displaystyle I_(s)=(\vec (s))^(T)\cdot (\hat (J))\cdot (\vec (s)) ,\qquad) (1)hol van a tehetetlenségi tenzor. A tehetetlenségi tenzormátrix szimmetrikus és méretei vannak 3 × 3 (\displaystyle 3\x 3)és centrifugális nyomatékok összetevőiből áll:
A megfelelő koordinátarendszer kiválasztásával a tehetetlenségi tenzormátrix diagonális formára redukálható. Ehhez meg kell oldani a tenzormátrix sajátérték-problémáját J ^ (\displaystyle (\hat (J))):
Ahol Q ^ (\displaystyle (\hat (Q)))- a tehetetlenségi tenzor saját bázisára való átmenet ortogonális mátrixa. A megfelelő alapon a koordinátatengelyek a tehetetlenségi tenzor fő tengelyei mentén vannak irányítva, és egybeesnek a tehetetlenségi tenzor ellipszoid fő féltengelyeivel is. Mennyiségek J X , J Y , J Z (\megjelenítési stílus J_(X), J_(Y), J_(Z))- fő tehetetlenségi nyomatékok. Az (1) kifejezés a saját koordinátarendszerében a következő alakú:
amelyből megkapjuk az ellipszoid egyenletét a saját koordinátáiban. Az egyenlet mindkét oldalát elosztva ezzel I s (\displaystyle I_(s))
és a cserék elvégzése:
ξ = s x I s, η = s y I s, ζ = s z I s, (\displaystyle \xi =(s_(x) \over (\sqrt (I_(s)))),\eta =(s_(y ) \over (\sqrt (I_(s)))),\zeta =(s_(z) \over (\sqrt (I_(s)))),)megkapjuk az ellipszoid egyenlet kanonikus alakját koordinátákban ξ η ζ (\displaystyle \xi \eta \zeta ):
ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1. (\displaystyle \xi ^(2)\cdot J_(X)+\eta ^(2)\cdot J_(Y)+\zeta ^( 2)\cdot J_(Z)=1.)Az ellipszoid középpontjától egy bizonyos pontig mért távolság a test tehetetlenségi nyomatékának értékéhez kapcsolódik az ellipszoid középpontján és ezen a ponton áthaladó egyenes mentén.
Legyen szilárd test. Válasszunk egy OO egyenest (6.1. ábra), amit tengelynek nevezünk (az OO egyenes lehet a testen kívül). Osszuk fel a testet tömegekkel elemi szakaszokra (anyagpontokra). 
tengelytől távol helyezkedik el 
illetőleg.
Egy anyagi pont tehetetlenségi nyomatéka egy tengelyhez képest (OO) az anyagi pont tömegének szorzata a tengelytől való távolságának négyzetével:
. (6.1)
A test tehetetlenségi nyomatéka (MI) egy tengelyhez képest (OO) a test elemi szakaszai tömegének szorzata a tengelytől való távolságuk négyzetével:
. (6.2)
Amint látható, a test tehetetlenségi nyomatéka additív mennyiség - az egész test tehetetlenségi nyomatéka egy bizonyos tengelyhez képest megegyezik az egyes részek tehetetlenségi nyomatékának összegével ugyanazon tengelyhez képest.
Ebben az esetben
.
A tehetetlenségi nyomaték mértéke kgm 2 -ben történik. Mert
, (6.3)
ahol
– az anyag sűrűsége, 
- hangerő én- A szakasz tehát
,
vagy végtelenül kicsi elemekre lépve,
. (6.4)
A (6.4) képlet kényelmesen használható szabályos alakú homogén testek MI-jének kiszámításához a test tömegközéppontján áthaladó szimmetriatengelyhez viszonyítva. Például egy henger MI értékére a generatrixszal párhuzamos tömegközépponton átmenő tengelyhez viszonyítva ez a képlet
,
Ahol T- súly; R- a henger sugara.
Steiner tétele nagy segítséget nyújt a testek bizonyos tengelyekhez viszonyított MI-jének kiszámításához: testek MI-je én bármely tengelyhez viszonyítva egyenlő ennek a testnek az MI értékének összegével én c a test tömegközéppontján átmenő és azzal párhuzamos tengelyhez, valamint a test tömegének a távolság négyzetével való szorzatához d a feltüntetett tengelyek között:
. (6.5)
A tengely körüli erőnyomaték
Hagyja, hogy az erő hatson a testre F. Tegyük fel az egyszerűség kedvéért, hogy az erő F valamely OO egyenesre merőleges síkban fekszik (6.2. ábra, A), amelyet tengelynek fogunk nevezni (például ez a test forgástengelye). ábrán. 6.2, A
A- az erő alkalmazási pontja F,
- a tengely metszéspontja azzal a síkkal, amelyben az erő fekszik; r- a pont helyzetét meghatározó sugárvektor A ponthoz képest RÓL RŐL";
O"B
= b
-
az erő vállát. A tengelyhez viszonyított erőkar a legkisebb távolság a tengelytől az egyenes vonalig, amelyen az erővektor fekszik F(a pontból húzott merőleges hossza 
erre a sorra).
A tengelyhez viszonyított erőnyomaték az egyenlőséggel meghatározott vektormennyiség
. (6.6)
Ennek a vektornak a modulusa . Ezért néha azt mondják, hogy az erő egy tengely körüli nyomatéka az erő és a kar szorzata.
Ha erőt F tetszőlegesen irányul, akkor két komponensre bontható; 
És 
(6.2. ábra, b), azaz 
+
, Ahol 
- az OO tengellyel párhuzamos komponens, és 
tengelyére merőleges síkban fekszik. Ebben az esetben az erőnyomaték alatt F az OO tengelyhez képest megérteni a vektort
. (6.7)
A (6.6) és (6.7) kifejezésekkel összhangban a vektor M a tengely mentén irányítva (lásd 6.2. ábra, A,b).
Test lendülete a forgástengelyhez viszonyítva
P 
Hagyja, hogy a test egy bizonyos OO tengely körül forogjon szögsebességgel 
. Bontsuk gondolatban tömegekkel ezt a testet elemi részekre 
, amelyek a tengelytől, illetve távolságokban helyezkednek el 
és körben forog, lineáris sebességgel 
Köztudott, hogy az érték egyenlő 
- van egy impulzus én-cselekmény. impulzus pillanata én-a forgástengelyhez viszonyított metszetet (anyagpontot) vektornak (pontosabban pszeudovektornak) nevezzük.
, (6.8)
Ahol r én– a pozíciót meghatározó sugárvektor én- a tengelyhez viszonyított terület.
Az egész testnek a forgástengelyhez viszonyított szögimpulzusát vektornak nevezzük
(6.9)
amelynek modulja 
.
A (6.8) és (6.9) kifejezésekkel összhangban a vektorok
És 
a forgástengely mentén irányítva (6.3. ábra). Könnyen kimutatható, hogy egy test szögimpulzusa L a forgástengelyhez és a tehetetlenségi nyomatékhoz képest én ennek a testnek az azonos tengelyhez viszonyított relációja összefügg
. (6.10)
Egy test (rendszer) tehetetlenségi nyomatéka egy adott tengelyhez viszonyítva Oz (vagy axiális tehetetlenségi nyomaték) olyan skaláris mennyiség, amely különbözik a test (rendszer) összes pontja tömegeinek szorzatának összegétől. ettől a tengelytől való távolságuk négyzetei:
A definícióból az következik, hogy egy test (vagy rendszer) tehetetlenségi nyomatéka bármely tengelyhez képest pozitív mennyiség, és nem egyenlő nullával.
A jövőben be fog mutatni, hogy a tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték ugyanazt a szerepet játszik a test forgási mozgása során, mint a tömeg a transzlációs mozgás során, vagyis hogy a tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték a test forgás közbeni tehetetlenségének mértéke. mozgás.
A (2) képlet szerint egy test tehetetlenségi nyomatéka egyenlő az összes része tehetetlenségi nyomatékainak összegével ugyanazon tengelyhez képest. Egy anyagpontra, amely a tengelytől h távolságra van, . A tehetetlenségi nyomaték mértékegysége SI-ben 1 kg lesz (MKGSS rendszerben - ).
A tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok kiszámításához a pontok távolsága a tengelyektől kifejezhető e pontok koordinátáival (például az Ox tengelytől való távolság négyzete lesz stb.).
Ezután a tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékokat a képletek határozzák meg:
A számítások során gyakran használják a forgási sugár fogalmát. A test tehetetlenségi sugara egy tengelyhez képest lineáris mennyiség, amelyet az egyenlőség határoz meg
ahol M a testtömeg. A definícióból az következik, hogy a tehetetlenségi sugár geometriailag egyenlő annak a pontnak a tengelyétől mért távolságával, amelyre az egész test tömegének koncentrálódnia kell úgy, hogy ennek az egy pontnak a tehetetlenségi nyomatéka egyenlő legyen a tehetetlenségi nyomatékkal. az egész testről.
A tehetetlenségi sugár ismeretében a (4) képlet segítségével megkeresheti a test tehetetlenségi nyomatékát és fordítva.
A (2) és (3) képlet merev testre és bármely anyagi pontrendszerre egyaránt érvényes. Szilárd test esetén elemi részekre bontva azt találjuk, hogy a határban a (2) egyenlőségben lévő összegből integrál lesz. Ennek eredményeként, figyelembe véve, hogy hol van a sűrűség és V a térfogat, megkapjuk
Az integrál itt a test teljes V térfogatára kiterjed, a h sűrűség és távolság pedig a test pontjainak koordinátáitól függ. Hasonlóképpen a szilárd testek (3) képlete is a következő alakot ölti
Az (5) és (5) képlet kényelmesen használható szabályos alakú homogén testek tehetetlenségi nyomatékának kiszámításakor. Ebben az esetben a sűrűség állandó lesz, és az integrál előjelen kívül esik.
Keressük meg néhány homogén test tehetetlenségi nyomatékát.
1. Vékony homogén, l hosszúságú és M tömegű rúd. Számítsuk ki a tehetetlenségi nyomatékát a rúdra merőleges és az A végén átmenő tengelyhez képest (275. ábra). Irányítsuk a koordinátatengelyt AB mentén. Ekkor bármely d hosszúságú elemi szakaszra az értéke , a tömeg pedig a , ahol a rúd egységnyi hosszának tömege. Ennek eredményeként az (5) képlet azt adja
Helyettesítve itt az értékét, végre megtaláljuk
2. R sugarú és M tömegű vékony, kerek homogén gyűrű. Határozzuk meg tehetetlenségi nyomatékát a gyűrű síkjára merőleges és a C középpontján átmenő tengelyhez képest (276. ábra).
Mivel a gyűrű minden pontja bizonyos távolságra van a tengelytől, a (2) képlet megadja
Ezért a gyűrűért
Nyilvánvalóan ugyanezt az eredményt kapjuk egy M tömegű és R sugarú vékony hengeres héj tehetetlenségi nyomatékára a tengelyéhez képest.
3. R sugarú és M tömegű kerek homogén lemez vagy henger. Számítsuk ki a kerek lemez tehetetlenségi nyomatékát a lemezre merőleges és a középpontján átmenő tengelyhez képest (lásd 276. ábra). Ehhez kiválasztunk egy sugárral és szélességgel rendelkező elemi gyűrűt (277. ábra, a). Ennek a gyűrűnek a területe , a tömeg pedig ahol a lemez egységnyi területére eső tömeg. Ekkor a (7) képlet szerint a kiválasztott elemi gyűrűre lesz és az egész lemezre
Ahogy fentebb megjegyeztük, az egyszerű síkfigurák három ábrát tartalmaznak: egy téglalapot, egy háromszöget és egy kört. Ezeket az ábrákat egyszerűnek tekintjük, mivel ezeknek az alakoknak a súlypontjának helyzete előre ismert. Az összes többi ábra összeállítható ezekből az egyszerű figurákból, és összetettnek tekinthető. Számítsuk ki az egyszerű alakzatok tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékait a központi tengelyükhöz képest.
1. Téglalap. Tekintsük egy téglalap alakú profil keresztmetszetét méretekkel (4.6. ábra). Válasszunk ki egy szakaszelemet, amelynek két végtelenül közeli szakasza van egymástól távol 
a központi tengelytől 
.
Számítsuk ki egy téglalap alakú keresztmetszet tehetetlenségi nyomatékát a tengelyhez képest:
.
(4.10)
Egy téglalap alakú szakasz tehetetlenségi nyomatéka a tengely körül 
hasonlót fogunk találni. A következtetést itt nem adjuk meg.
.
(4.11)
És 
egyenlő nullával, mivel a tengelyek 
És 
szimmetriatengelyek, és ezért főtengelyek.
2. Egyenlő szárú háromszög. Tekintsük egy háromszög alakú profil egy szakaszát méretekkel 
(4.7. ábra). Válasszunk ki egy szakaszelemet, amelynek két végtelenül közeli szakasza van egymástól távol 
a központi tengelytől 
. A háromszög súlypontja távol van 
az alaptól. A háromszöget egyenlő szárúnak tételezzük fel, tehát a tengelyt 
szakasz a szimmetriatengely.
Számítsuk ki a szakasz tehetetlenségi nyomatékát a tengelyhez képest! 
:
.
(4.12)
Méret 
a háromszögek hasonlóságából határozzuk meg:
; ahol 
.
Kifejezések behelyettesítése a 
a (4.12)-ben és integrálva a következőket kapjuk:
.
(4.13)
A tengely körüli egyenlő szárú háromszög tehetetlenségi nyomatéka 
hasonló módon található, és egyenlő:
(4.14)
Centrifugális tehetetlenségi nyomaték a tengelyek körül 
És 
egyenlő nullával, mivel a tengely 
a metszet szimmetriatengelye.
3. Kör. Tekintsük egy átmérőjű körprofil keresztmetszetét 
(4.8. ábra). Emeljük ki a metszetelemet két, egymástól távol eső végtelenül közeli koncentrikus körrel 
a kör súlypontjától 
.
Számítsuk ki a kör poláris tehetetlenségi nyomatékát a (4.5) kifejezés segítségével:
.
(4.15)
Két egymásra merőleges tengely körüli tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok összegére vonatkozó invariancia feltételt használva (4.6) és figyelembe véve, hogy a szimmetria miatt körre 
, meghatározzuk a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok értékét:
.
(4.16)
.
(4.17)
Centrifugális tehetetlenségi nyomaték a tengelyek körül 
És 
egyenlő nullával, mivel a tengelyek 
És 
a szakasz szimmetriatengelyei.
4.4. Függőségek a tehetetlenségi nyomatékok között párhuzamos tengelyekhez képest
Az összetett ábrák tehetetlenségi nyomatékának kiszámításakor egy szabályt kell emlékezni: a tehetetlenségi nyomatékok értékei hozzáadhatók, ha ugyanahhoz a tengelyhez képest számítjuk. Összetett figurák esetében leggyakrabban az egyes egyszerű figurák és a teljes figura súlypontja nem esik egybe. Ennek megfelelően az egyes egyszerű figurák központi tengelyei és a teljes ábra nem esnek egybe. Ebben a tekintetben vannak olyan technikák, amelyek a tehetetlenségi nyomatékokat egy tengelyre, például az egész ábra központi tengelyére vonják. Ennek oka lehet a tehetetlenségi tengelyek párhuzamos fordítása és további számítások.
Tekintsük a tehetetlenségi nyomatékok meghatározását a 4.9. ábrán látható párhuzamos tehetetlenségi tengelyekhez képest.
Legyen a 4.9. ábrán látható axiális és centrifugális tehetetlenségi nyomaték. ábrák tetszőlegesen választott tengelyekhez viszonyítva 
És 
pontban az origóval 
ismert. Ki kell számítani egy alakzat tengelyirányú és centrifugális tehetetlenségi nyomatékát tetszőleges párhuzamos tengelyekhez viszonyítva 
És 
pontban az origóval 
. Tengelyek 
És 
távolságokban hajtják végre 
És 
illetőleg a tengelyektől 
És 
.
Használjuk a tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték (4.4) és a centrifugális tehetetlenségi nyomaték (4.7) kifejezéseit. Helyettesítsük be ezeket a kifejezéseket az aktuális koordináták helyett 
És 
végtelen kicsi koordinátaterületű elem 
És 
az új koordinátarendszerben. Kapunk:
A kapott kifejezéseket elemezve arra a következtetésre jutunk, hogy a párhuzamos tengelyekhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékok kiszámításakor az eredeti tehetetlenségi tengelyekhez képest számított tehetetlenségi nyomatékokhoz további tagok formájában adalékokat kell hozzáadni, amelyek sokkal nagyobbak lehetnek. mint az eredeti tengelyekhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékok értékei. Ezért ezeket a kiegészítő feltételeket semmilyen körülmények között sem szabad figyelmen kívül hagyni.
A vizsgált eset a tengelyek párhuzamos átvitelének legáltalánosabb esete, amikor tetszőleges tehetetlenségi tengelyeket vettünk kezdeti tengelynek. A legtöbb számításban a tehetetlenségi nyomaték meghatározásának speciális esetei vannak.
Az első speciális eset. Az origó tengelyei az ábra központi tehetetlenségi tengelyei. Ezután a statikus területnyomaték fő tulajdonságát felhasználva a (4.18)–(4.20) egyenletekből kizárhatjuk az ábra statikus területnyomatékát tartalmazó egyenletek tagjait. Ennek eredményeként a következőket kapjuk:
.
(4.21)
.
(4.22)
.
(4.23)
Itt vannak a tengelyek 
És 
- központi tehetetlenségi tengelyek.
Második speciális eset. A referenciatengelyek a fő tehetetlenségi tengelyek. Ezután, figyelembe véve, hogy a fő tehetetlenségi tengelyekhez viszonyítva a centrifugális tehetetlenségi nyomaték nulla, kapjuk:
.
(4.24)
.
(4.25)
.
(4.26)
Itt vannak a tengelyek 
És 
fő tehetetlenségi tengelyek.
Használjuk a kapott kifejezéseket, és nézzünk meg néhány példát a tehetetlenségi nyomaték kiszámítására síkfigurákhoz.
4.2. példa. Határozza meg az ábrán látható ábra tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékait! 4.10, a központi tengelyekhez képest 
És 
.
Az előző 4.1 példában a 4.10. ábrán látható ábrához a C tömegközéppont helyzetét határoztuk meg A tömegközéppont koordinátáját a tengelyről ábrázoltuk 
és összeállította 
. Számítsuk ki a távolságokat 
És 
tengelyek között 
És 
és tengelyek 
És 
. Ezek a távolságok ill 
És 
. Az eredeti tengelyek óta 
És 
a téglalap alakú egyszerű ábrák központi tengelyei, amelyek meghatározzák az alak tehetetlenségi nyomatékát a tengelyhez képest 
Használjuk az első konkrét esetre vonatkozó következtetéseket, különösen a (4.21) formulát.
A tengely körüli tehetetlenségi nyomaték 
egyszerű alakzatok tehetetlenségi nyomatékait összeadva kapjuk ugyanazon tengelyhez képest, mivel a tengely 
az egyszerű ábrák és a teljes ábra közös központi tengelye.
cm 4.
Centrifugális tehetetlenségi nyomaték a tengelyek körül 
És 
egyenlő nullával, mivel a tehetetlenségi tengely 
a főtengely (az ábra szimmetriatengelye).
4.3. példa. Mi a méret? b(cm-ben)
ábrán látható ábra. 4.11, ha az ábra tehetetlenségi nyomatéka a tengelyhez képest 
egyenlő 1000 cm 4?
Adjuk meg a tengely körüli tehetetlenségi nyomatékot 
ismeretlen méretű szakaszon keresztül 
, a (4.21) képlet segítségével, figyelembe véve, hogy a tengelyek közötti távolság 
És 
egyenlő 7 cm:
cm 4. (A)
Az (a) kifejezés megoldása a szakasz méretéhez képest 
, kapunk:
cm.
4.4. példa. A 4.12. ábrán látható ábrák közül melyiknek van nagyobb tehetetlenségi nyomatéka a tengelyhez képest 
ha mindkét alak azonos területű 
cm 2?
1. Adjuk meg az ábrák területeit méretükben, és határozzuk meg:
a) keresztmetszet átmérője kerek szakasznál:
cm2; Ahol 
cm.
b) négyzet alakú oldalméret:
; Ahol 
cm.
2. Számítsa ki egy körmetszet tehetetlenségi nyomatékát:
cm 4.
3. Számítsa ki a tehetetlenségi nyomatékot egy négyzetszeletre:
cm 4.
A kapott eredményeket összevetve arra a következtetésre jutunk, hogy egy négyzetszelvénynek lesz a legnagyobb a tehetetlenségi nyomatéka az azonos területű körszelvényhez képest.
4.5. példa. Határozzuk meg egy négyszögletes metszet súlypontjához viszonyított poláris tehetetlenségi nyomatékát (4 cm-ben), ha a metszet szélessége 
cm, szakasz magassága 
cm.
1. Határozza meg a szakasz vízszinteshez viszonyított tehetetlenségi nyomatékait! 
és függőleges 
központi tehetetlenségi tengelyek:
cm 4; 
cm 4.
2. A szakasz poláris tehetetlenségi nyomatékát a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok összegeként határozzuk meg:
cm 4.
4.6. példa. Határozza meg a 4.13. ábrán látható háromszög alak tehetetlenségi nyomatékát a központi tengelyhez viszonyítva 
, ha az ábra tehetetlenségi nyomatéka a tengelyhez képest 
egyenlő 2400 cm 4.
Háromszög alakú szakasz tehetetlenségi nyomatéka a fő tehetetlenségi tengelyhez viszonyítva 
kisebb lesz a tengely körüli tehetetlenségi nyomatékhoz képest 
az összeggel 
. Ezért mikor 
cm-es tehetetlenségi nyomatéka a metszetnek a tengelyhez képest 
a következőképpen találjuk.
MEGHATÁROZÁS
A forgó test tehetetlenségének mértéke az tehetetlenségi nyomaték(J) ahhoz a tengelyhez képest, amely körül a forgás történik.
Ez egy skaláris (általában tenzor) fizikai mennyiség, amely megegyezik azon anyagi pontok tömegének () szorzatával, amelyekbe a kérdéses testet a forgástengelyig terjedő távolságok () négyzeteire kell osztani:
ahol r egy anyagi pont térbeli helyzetének függvénye; - testsűrűség; - egy testelem térfogata.
Homogén test esetén a (2) kifejezés a következőképpen ábrázolható:
A nemzetközi mértékegységrendszerben a tehetetlenségi nyomaték mértéke:
A J mennyiséget az alaptörvények tartalmazzák, amelyekkel a merev test forgását leírják.
Általános esetben a tehetetlenségi nyomaték nagysága a forgástengely irányától függ, és mivel mozgás közben a vektor általában megváltoztatja irányát a testhez képest, ezért a tehetetlenségi nyomatékot az idő függvényének kell tekinteni. Kivételt képez egy rögzített tengely körül forgó test tehetetlenségi nyomatéka. Ebben az esetben a tehetetlenségi nyomaték állandó marad.
Steiner tétele
Steiner tétele lehetővé teszi egy test tehetetlenségi nyomatékának kiszámítását egy tetszőleges forgástengelyhez képest, ha a kérdéses test tehetetlenségi nyomatéka ismert a test tömegközéppontján átmenő tengelyhez képest, és ezek a tengelyek párhuzamos. Matematikai formában a Steiner-tételt a következőképpen ábrázoljuk:
ahol a test tehetetlenségi nyomatéka a test tömegközéppontján átmenő forgástengelyhez viszonyítva; m a kérdéses test tömege; a a tengelyek közötti távolság. Ügyeljen arra, hogy a tengelyeknek párhuzamosaknak kell lenniük. A (4) kifejezésből az következik, hogy:
Néhány kifejezés egy test tehetetlenségi nyomatékának kiszámításához
Tengely körüli forgáskor egy anyagi pont tehetetlenségi nyomatéka egyenlő:
ahol m a pont tömege; r a pont és a forgástengely távolsága.
Egy m tömegű és l J hosszúságú homogén vékony rúd esetén a tömegközéppontján átmenő tengelyhez viszonyítva (a tengely merőleges a rúdra) egyenlő:
Vékony gyűrű, amelynek tömege a középpontján átmenő tengely körül forog, merőleges a gyűrű síkjára, ekkor a tehetetlenségi nyomatékot a következőképpen számítjuk ki:
ahol R a gyűrű sugara.
Egy R sugarú és m tömegű kerek homogén korongnak J a középpontján átmenő és a korong síkjára merőleges tengelyhez képest egyenlő:
Egy homogén labdához
ahol m a golyó tömege; R a labda sugara. A labda a középpontján átmenő tengely körül forog.
Ha a forgástengelyek egy derékszögű derékszögű koordinátarendszer tengelyei, akkor folytonos testre a tehetetlenségi nyomatékok a következőképpen számíthatók:
hol vannak a test egy végtelenül kicsi elemének koordinátái.
Példák problémamegoldásra
1. PÉLDA
| Gyakorlat | Két, pontgolyónak tekinthető labdát vékony súlytalan rúd tart össze. Rúdhossz l. Mekkora ennek a rendszernek a tehetetlenségi nyomatéka ahhoz a tengelyhez képest, amely a rúdra merőlegesen halad át a tömegközépponton. A pontok tömege azonos és egyenlő m-rel. |
| Megoldás | Határozzuk meg egy golyó () tehetetlenségi nyomatékát egy tőle távolabb lévő tengelyhez képest:
A második golyó tehetetlenségi nyomatéka egyenlő lesz: A rendszer teljes tehetetlenségi nyomatéka egyenlő az összeggel:
|
| Válasz |
2. PÉLDA
| Gyakorlat | Mekkora a fizikai inga tehetetlenségi nyomatéka az O ponton átmenő tengelyhez képest (1. ábra)? A tengely merőleges a rajz síkjára. Tekintsük, hogy a fizikai inga egy m tömegű, l hosszúságú vékony rúdból és egy tömegű korongból áll. A tárcsa a rúd alsó végéhez van rögzítve, és sugara egyenlő |
| Megoldás | Az ingánk (J) tehetetlenségi nyomatéka egyenlő lesz az O ponton átmenő tengely körül forgó rúd () és az ugyanazon tengely körül forgó korong () tehetetlenségi nyomatékának összegével: |
