यादृच्छिक चरों के वितरण का कॉची का नियम। कोष वितरण

ऐसा प्रतीत होता है कि यादृच्छिक चर का वर्णन और मॉडलिंग करने के लिए कॉची वितरण बहुत आकर्षक लगता है। हालाँकि, हकीकत में ऐसा नहीं है। कॉची वितरण के गुण गॉसियन, लाप्लास और अन्य घातीय वितरण के गुणों से बिल्कुल भिन्न हैं।

तथ्य यह है कि कॉची वितरण अत्यंत सपाट के करीब है। याद रखें कि किसी वितरण को अत्यधिक सपाट कहा जाता है यदि, x -> +oo के रूप में, इसकी संभाव्यता घनत्व

कॉची वितरण के लिए, वितरण का पहला प्रारंभिक क्षण भी नहीं है, यानी गणितीय अपेक्षा, क्योंकि इसे परिभाषित करने वाला अभिन्न अंग अलग हो जाता है। इस मामले में, वितरण में माध्यिका और मोड दोनों होते हैं, जो पैरामीटर a के बराबर होते हैं।

बेशक, इस वितरण का फैलाव (दूसरा केंद्रीय क्षण) भी अनंत के बराबर है। व्यवहार में, इसका मतलब यह है कि डेटा की मात्रा बढ़ने पर कॉची वितरण से एक नमूने के लिए भिन्नता का अनुमान बिना किसी सीमा के बढ़ जाएगा।

उपरोक्त से यह निष्कर्ष निकलता है कि यादृच्छिक प्रक्रियाओं के कॉची वितरण द्वारा सन्निकटन, जो कि परिमित गणितीय अपेक्षा और परिमित विचरण की विशेषता है, गलत है।

इसलिए, हमने तीन मापदंडों के आधार पर एक सममित वितरण प्राप्त किया है, जिसकी सहायता से हम यादृच्छिक चर के नमूनों का वर्णन कर सकते हैं, जिनमें कोमल ढलान वाले भी शामिल हैं। हालाँकि, इस वितरण में नुकसान हैं जिन पर कॉची वितरण पर चर्चा करते समय विचार किया गया था, अर्थात्, गणितीय अपेक्षा केवल > 1 के लिए मौजूद है, विचरण केवल ओएस > 2 के लिए सीमित है, और सामान्य तौर पर, केवें क्रम वितरण का सीमित क्षण मौजूद है। a > k के लिए।

चित्र 14.1 प्रसिद्ध कॉची वितरण से 8,000 नमूनों का उपयोग करता है, जिसका अनंत माध्य और विचरण है। कॉची वितरण का वर्णन नीचे अधिक विस्तार से किया गया है। यहां प्रयुक्त श्रृंखला को माध्य घटाकर और नमूना मानक विचलन द्वारा विभाजित करके "सामान्यीकृत" किया गया था। इस प्रकार, सभी इकाइयाँ मानक विचलन में व्यक्त की जाती हैं। तुलना के लिए, हम 8,000 गॉसियन यादृच्छिक चर का उपयोग करते हैं जिन्हें समान तरीके से सामान्यीकृत किया गया है। यह समझना महत्वपूर्ण है कि अगले दो चरण हमेशा 0 के माध्य और 1 के मानक विचलन के साथ समाप्त होंगे क्योंकि उन्हें उन मानों के लिए सामान्यीकृत किया गया था। अभिसरण का अर्थ है कि समय श्रृंखला तेजी से स्थिर मूल्य की ओर बढ़ती है।

इन दो प्रसिद्ध वितरणों, कॉची वितरण और सामान्य वितरण, के कई अनुप्रयोग हैं। वे स्थिर वितरण के परिवार के केवल दो सदस्य हैं जिनके लिए संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन स्पष्ट रूप से प्राप्त किए जा सकते हैं। अन्य सभी आंशिक मामलों में उनका अनुमान आमतौर पर संख्यात्मक तरीकों से लगाया जाना चाहिए। हम इस अध्याय के बाद के भाग में इनमें से एक विधि पर चर्चा करेंगे।

अध्याय 14 में, हमने अमेरिकी शेयर बाजार के क्रमिक मानक विचलन और माध्य की जांच की और इसकी तुलना कॉची वितरण से प्राप्त समय श्रृंखला से की। हमने समय श्रृंखला पर अनंत विचरण और माध्य के प्रभाव को देखने के लिए ऐसा किया। सीरियल मानक विचलन किसी समय श्रृंखला का मानक विचलन है जब हम एक समय में जोड़ते हैं

कॉची और गॉसियन वितरण की एफ मात्राओं का भारित औसत लेकर Z से u(o,F) का पहला अनुमान लगाएं।

तालिका A3.2 तालिका A3.1 के परिणामों को मात्राओं में परिवर्तित करती है। यह पता लगाने के लिए कि कौन सा F मान a = 1.0 के लिए 99 प्रतिशत अवलोकनों की व्याख्या करता है, F कॉलम को बाईं ओर 0.99 तक और उसके पार u = 31.82 तक ले जाएँ। कॉची वितरण को 99 प्रतिशत संभाव्यता को कवर करने के लिए माध्य से 31.82 मानों के अवलोकन की आवश्यकता होती है। इसके विपरीत, सामान्य मामला u=3.29 पर 99 प्रतिशत स्तर तक पहुँच जाता है। यह मानक सामान्य मामले से भिन्न है, जो 3.29 सेकेंड के बजाय 2.326 मानक विचलन है।

P(> (nm)1/2Г(n/2) n जब n = 1, संबंधित वितरण को कॉची वितरण कहा जाता है।

यदि कोई श्रृंखला व्यापक अर्थों में स्थिर है, तो यह जरूरी नहीं कि वह पूरी तरह से स्थिर हो। साथ ही, एक सख्ती से स्थिर श्रृंखला व्यापक अर्थों में केवल इसलिए स्थिर नहीं हो सकती है क्योंकि इसमें गणितीय अपेक्षा और/या फैलाव नहीं हो सकता है। (उत्तरार्द्ध के संबंध में, एक उदाहरण कॉची वितरण से एक यादृच्छिक नमूना होगा।) इसके अलावा, स्थितियां तब संभव होती हैं जब उपरोक्त तीन शर्तें पूरी होती हैं, लेकिन, उदाहरण के लिए, ई (एक्स) टी पर निर्भर करता है।

उसी समय, सामान्य स्थिति में, भले ही कुछ यादृच्छिक चर X, हों। .., एक्स परस्पर स्वतंत्र हैं और उनका वितरण समान है, इसका मतलब यह नहीं है कि वे एक सफेद शोर प्रक्रिया बनाते हैं, क्योंकि यादृच्छिक चर Xt में गणितीय अपेक्षा और/या भिन्नता नहीं हो सकती है (उदाहरण के रूप में हम फिर से कॉची वितरण को इंगित कर सकते हैं)।

जब दो या दो से अधिक कारक, उदाहरण के लिए श्रम और भौतिक संपत्ति, वस्तुओं के उत्पादन और सेवाओं के प्रावधान की प्रक्रिया में शामिल होते हैं, साथ ही नकद प्राप्तियों के बाद के गठन में, कारकों के बीच उत्तरार्द्ध का तार्किक वितरण आम तौर पर असंभव लगता है। यह मान लिया गया था कि जिन परिसंपत्तियों का उपयोग किया जा सकता है, उनका शुद्ध सीमांत राजस्व से मिलान किया जाएगा, लेकिन निजी सीमांत राजस्व की मात्रा उत्पादों की बिक्री और सेवाओं के प्रावधान से कुल शुद्ध राजस्व से अधिक हो सकती है।

इस तरह के लंबे-पूंछ वाले वितरण, विशेष रूप से पेरेटो डेटा में, एक फ्रांसीसी गणितज्ञ लेवी (1937) को सामान्यीकृत घनत्व फ़ंक्शन तैयार करने के लिए प्रेरित किया, जिनमें से सामान्य वितरण के साथ-साथ कॉची वितरण भी विशेष मामले थे। लेवी ने केंद्रीय सीमा प्रमेय के एक सामान्यीकृत संस्करण का उपयोग किया। ये वितरण प्राकृतिक घटनाओं के एक बड़े वर्ग के अनुरूप हैं, लेकिन उनकी असामान्य और प्रतीत होने वाली कठिन समस्याओं के कारण उन पर अधिक ध्यान नहीं दिया गया है। उनकी असामान्य संपत्तियां उन्हें अलोकप्रिय बनाती रहती हैं, लेकिन उनकी अन्य संपत्तियां पूंजी बाजार से हमारे परिणामों के इतनी करीब हैं कि हमें उनका पता लगाना चाहिए। इसके अलावा, स्थिर लेवी वितरण अशांत प्रवाह और एल/एफ शोर के सांख्यिकीय गुणों का वर्णन करने में उपयोगी पाए गए हैं - और वे फ्रैक्टल भी हैं।

चित्र 14.2(ए) उन दो श्रृंखलाओं के लिए क्रमिक मानक विचलन दिखाता है। सीरियल मानक विचलन, सीरियल औसत की तरह, मानक विचलन की गणना है क्योंकि टिप्पणियों को एक समय में एक जोड़ा जाता है। इस मामले में अंतर और भी अधिक स्पष्ट है। यादृच्छिक इजाद जल्दी से 1 के मानक विचलन में परिवर्तित हो जाता है। इसके विपरीत, कॉची वितरण कभी भी परिवर्तित नहीं होता है। इसके बजाय, यह 1 के सामान्यीकृत मूल्य से कई बड़े रुक-रुक कर होने वाले उछाल और बड़े विचलन की विशेषता है।

यह कॉची वितरण के लिए विशेषता फ़ंक्शन का लघुगणक है, जिसे अनंत भिन्नता और माध्य के लिए जाना जाता है। इस मामले में, 8 वितरण का माध्य बन जाता है, और c सात-अंतःचतुर्थक सीमा बन जाता है।

होल्ट और रो (1973) ने ए = 0.25 से 2.00 और पी के लिए संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन को -1.00 से +1.00 के बराबर पाया, दोनों 0.25 की वृद्धि में। उन्होंने जिस पद्धति का उपयोग किया वह ज्ञात वितरणों, जैसे कॉची और सामान्य वितरण, और ज़ोलोटारेव (1964/1966) के काम से अभिन्न प्रतिनिधित्व के बीच प्रक्षेपित थी। पूर्व के लिए तालिकाएँ तैयार की गईं

जैसा कि हमने अध्याय 14 में चर्चा की, स्थिर वितरण के लिए स्पष्ट अभिव्यक्तियाँ केवल सामान्य और कॉची वितरण के विशेष मामलों के लिए मौजूद हैं। हालाँकि, बर्गस्ट्रॉम (1952) ने एक श्रृंखला विस्तार विकसित किया जिसका उपयोग फ़ेम और रोल ने अल्फा के कई मूल्यों के लिए घनत्व का अनुमान लगाने के लिए किया। जब ए> 1.0, तो वे अगली अभिसरण श्रृंखला प्राप्त करने के लिए बर्गस्ट्रॉम के परिणामों का उपयोग कर सकते हैं

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परिभाषा

चलो एक यादृच्छिक चर का वितरण $एक्स$घनत्व द्वारा दिया गया $f\_X(x)$, फॉर्म होना:

$f\_X(x)\; =\; \backslash frac(1)(\backslash pi\backslash गामा\; \backslash left)\; =\; (\; 1\; \backslash over\; \backslash pi\; )\; \backslash left[\; (\; \backslash गामा\; \backslash over\; (x\; -\; x\_0)^2\; +\; \backslash गामा^2\; )\; \backslash right]$,

• $x\_0\; \backslash in\; \backslash mathbb(R)$- शिफ्ट पैरामीटर;
• $\backslash गामा\; >\; 0$- स्केल पैरामीटर.

फिर वे ऐसा कहते हैं $एक्स$एक कॉची वितरण है और लिखा गया है $X\; \backslash sim\; \backslash mathrm(C)(x\_0,\backslash गामा)$. अगर $x\_0\; =\; 0$और $\backslash गामा\; =\; 1$, तो ऐसे वितरण को कहा जाता है मानककॉची वितरण.

वितरण समारोह

यह व्युत्क्रम परिवर्तन विधि का उपयोग करके कॉची वितरण से एक नमूना उत्पन्न करने की अनुमति देता है।

लम्हें

के लिए परिभाषित नहीं है $\backslash alpha\; \backslash geqslant\; 1$, न ही गणितीय अपेक्षा (हालांकि मुख्य मूल्य के अर्थ में पहले क्षण का अभिन्न अंग इसके बराबर है: $\backslash lim\backslash limits\_(c\; \backslash rightarrow\; \backslash infty)\; \backslash int\backslash limits\_(-c)^(c)\; x\; \backslash cdot\; (\; 1\; \backslash over\; \backslash pi\; )\; \backslash left[\; (\; \backslash गामा\; \backslash over\; (x\; -\; x\_0)^2\; +\; \backslash \; गामा^2\; )\; \backslash right]\backslash ,\; dx\; =\; x\_0$), न तो फैलाव और न ही इस वितरण के उच्च क्रम के क्षण निर्धारित किए जाते हैं। कभी-कभी वे कहते हैं कि गणितीय अपेक्षा अपरिभाषित है, लेकिन विचरण अनंत है।

अन्य गुण

• कॉची वितरण असीम रूप से विभाज्य है।
• कॉची वितरण स्थिर है. विशेष रूप से, मानक कॉची वितरण से नमूने का नमूना माध्य स्वयं एक मानक कॉची वितरण है: यदि $X\_1,\backslash ldots,\; X\_n\; \backslash sim\; \backslash mathrm(C)(0,1)$, वह

अन्य वितरणों के साथ संबंध

• अगर $यू\backslash सिम\; यू$, वह

• अगर $X\_1,X\_2$स्वतंत्र सामान्य यादृच्छिक चर हैं जैसे कि $X\_i\; \backslash sim\; \backslash mathrm(N)(0,1),\backslash ;\; मैं=1.2$, वह

• मानक कॉची वितरण छात्र वितरण का एक विशेष मामला है:

व्यावहारिक समस्याओं में उपस्थिति

• कॉची वितरण कोर्डिनेट अक्ष पर एक बिंदु पर तय की गई सीधी रेखा के एक्स-अक्ष पर कटे हुए खंड की लंबाई को दर्शाता है, यदि सीधी रेखा और ऑर्डिनेट अक्ष के बीच के कोण का अंतराल पर एक समान वितरण होता है (−π) ; π) (अर्थात्, समतल पर सीधी रेखा की दिशा समदैशिक होती है)।
• भौतिकी में, कॉची वितरण (जिसे लोरेंत्ज़ फॉर्म भी कहा जाता है) समान रूप से विस्तृत वर्णक्रमीय रेखाओं के प्रोफाइल का वर्णन करता है।
• कॉची वितरण गुंजयमान आवृत्तियों के आसपास के क्षेत्र में रैखिक दोलन प्रणालियों की आयाम-आवृत्ति विशेषताओं का वर्णन करता है।

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कॉची वितरण की विशेषता बताने वाला एक अंश

शत्रु सेना में चीख-पुकार और गोलीबारी इसलिए हुई क्योंकि जब नेपोलियन का आदेश सैनिकों के बीच पढ़ा जा रहा था, तो सम्राट स्वयं घोड़े पर सवार होकर अपने चारों ओर घूम रहा था। सैनिकों ने, सम्राट को देखकर, पुआल के ढेर जलाए और चिल्लाते हुए कहा: विवे एल "एम्पेरियर! उसके पीछे भागे। नेपोलियन का आदेश इस प्रकार था:
“सैनिकों! ऑस्ट्रियाई, उल्म सेना का बदला लेने के लिए रूसी सेना आपके खिलाफ आती है। ये वही बटालियनें हैं जिन्हें आपने गोलाब्रून में हराया था और तब से आप लगातार इस स्थान पर उनका पीछा कर रहे हैं। हम जिन पदों पर हैं, वे शक्तिशाली हैं, और जब वे मुझे दाहिनी ओर ले जाने के लिए आगे बढ़ेंगे, तो वे मेरे पार्श्व को उजागर कर देंगे! सैनिकों! मैं स्वयं आपकी बटालियनों का नेतृत्व करूंगा। यदि आप, अपने सामान्य साहस के साथ, दुश्मन के रैंकों में अव्यवस्था और भ्रम लाते हैं, तो मैं आग से दूर रहूंगा; लेकिन अगर जीत एक मिनट के लिए भी संदेह में है, तो आप अपने सम्राट को दुश्मन के पहले वार के सामने उजागर होते देखेंगे, क्योंकि जीत में कोई संदेह नहीं हो सकता है, खासकर उस दिन जब फ्रांसीसी पैदल सेना का सम्मान होता है, जो ऐसा है अपने राष्ट्र के सम्मान के लिए आवश्यक है, यह मुद्दा है।

कॉची वितरण, घनत्व वाले यादृच्छिक चर X का संभाव्यता वितरण

कहा पे - ∞< μ < ∞ и λ>0 - पैरामीटर। कॉची वितरण बिंदु x = μ के सापेक्ष एकरूप और सममित है, जो इस वितरण का मोड और माध्यिका है [आंकड़े ए और बी घनत्व पी (एक्स; λ, μ) और संबंधित वितरण फ़ंक्शन एफ (एक्स) के ग्राफ दिखाते हैं ; λ, μ) μ =1 ,5 और λ = 1] के लिए। कॉची वितरण की गणितीय अपेक्षा मौजूद नहीं है। कॉची वितरण का विशिष्ट कार्य e iμt - λ|t| के बराबर है , - ∞< t < ∞. Произвольное Коши распределение с параметрами μ и λ выражается через стандартное Коши распределение с параметрами 0 и 1 формулой

यदि स्वतंत्र यादृच्छिक चर X 1,...,X n का कॉची वितरण समान है, तो किसी भी n = 1,2, ... के लिए उनके अंकगणित माध्य (X 1 + ... + ; यह तथ्य एस. पॉइसन (1830) द्वारा स्थापित किया गया था। कॉची वितरण एक स्थिर वितरण है। एक मानक सामान्य वितरण के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर X और Y के अनुपात /2, π/2], पैरामीटर 0 और 1 के साथ एक कॉची वितरण वितरण भी है। कॉची वितरण पर ओ. कॉची (1853) द्वारा विचार किया गया था।

भौतिक विश्वकोश

घटिया वितरण

घटिया वितरण

घनत्व के साथ संभाव्यता वितरण

और वितरण समारोह

शिफ्ट पैरामीटर, >0 - स्केल पैरामीटर। 1853 में ओ. कॉची द्वारा समीक्षा की गई। चारित्रिक कार्यके.आर. ऍक्स्प के बराबर ; आदेश के क्षण आर 1 अस्तित्व में नहीं है, इसलिए बड़ी संख्या का नियमके. आर. के लिए निष्पादित नहीं किया गया [यदि एक्स 1 ..., एक्स एनतो, समान K. r के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं एन -1 (एक्स 1 + ... + एक्स एन) में वही K. r.] है। परिवार के.बी. रैखिक परिवर्तनों के तहत बंद है: यदि यादृच्छिक चर एक्सतब एक वितरण (*) होता है एएक्स+बीके. आर. भी है मापदंडों के साथ, . के.आर.- सतत वितरणघातांक 1 के साथ, बिंदु के बारे में सममित एक्स=. के.आर. उदाहरण के लिए, संबंध है एक्स/वाईस्वतंत्र रूप से शून्य साधनों के साथ यादृच्छिक चर वितरित किए जाते हैं, साथ ही फ़ंक्शन, जहां यादृच्छिक चर जेडसमान रूप से वितरित . के.आर. के बहुआयामी अनुरूपों पर भी विचार किया जाता है।

लिट.:फेलर वी., संभाव्यता सिद्धांत और उसके अनुप्रयोगों का परिचय, ट्रांस। अंग्रेजी से, खंड 2, एम., 1984।

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