दशमलव घटाना, नियम, उदाहरण, समाधान। दशमलव घटाना, नियम, उदाहरण, समाधान दशमलव जोड़ने और घटाने का नियम

कक्षा 5 में गणित में "दशमलव जोड़ना और घटाना" विषय पर पाठ योजना

पाठ मकसद:

1) दशमलव भिन्नों को जोड़ने और घटाने के कौशल को समेकित करना;

2) छात्रों की तार्किक सोच, मौखिक गणितीय भाषण और स्मृति विकसित करना;

3) विषय में गतिविधि, स्वतंत्रता, रुचि पैदा करें।

9. कार्य:

शैक्षिक (संज्ञानात्मक यूयूडी का गठन):

छात्रों के ज्ञान, कौशल और क्षमताओं की पुनरावृत्ति, परीक्षण और सुधार; संज्ञानात्मक लक्ष्यों को उजागर करें और तैयार करें, सचेत रूप से और मनमाने ढंग से अपने कथन बनाएं;

विकासात्मक (नियामक नियंत्रण प्रणालियों का गठन)

जानकारी को संसाधित करने और उसे निर्दिष्ट आधारों पर रैंक करने की क्षमता; विशिष्ट परिस्थितियों के आधार पर अपनी गतिविधियों की योजना बनाएं; कार्रवाई के तरीकों और शर्तों पर प्रतिबिंब, गतिविधि की प्रक्रिया और परिणामों का नियंत्रण और मूल्यांकन, विषय में संज्ञानात्मक रुचि का विकास;

शैक्षिक (संचार और व्यक्तिगत शैक्षिक कौशल का निर्माण):

सुनने और संवाद में शामिल होने, समस्याओं की सामूहिक चर्चा में भाग लेने, जिम्मेदारी और सटीकता विकसित करने की क्षमता।

पाठ का प्रकार:दशमलव जोड़ने और घटाने में छात्रों के ज्ञान, कौशल और क्षमताओं को लागू करने का एक पाठ।

छात्र कार्य के रूप: ललाट, समूह, व्यक्तिगत

13. आवश्यक उपकरण: कंप्यूटर, प्रोजेक्टर, गणित की पाठ्यपुस्तक, हैंडआउट्स (परीक्षण कार्य वाले कार्ड, मौखिक और लिखित कार्यों वाले कार्ड, तीन रंगों (पीला, लाल, हरा) के सिग्नल कार्ड, तीन प्रकार के इमोटिकॉन्स (, , ), कार्यक्रम में की गई इलेक्ट्रॉनिक प्रस्तुतिपावर प्वाइंट, मैग्नेट.

14. पाठ प्रारूप:कंप्यूटर प्रस्तुति.

15. पाठ प्रेरणा:गणित के अध्ययन में रुचि जगाना।

16. तकनीकें:- पाठ में मज़ा और आश्चर्य पैदा करना;

सफलता की स्थिति बनाना;

आवश्यकताओं के अनुपालन पर परिचालन नियंत्रण।

17 . शिक्षण योजना: 1. संगठनात्मक क्षण - 2 मिनट।

2. मौखिक व्यायाम - 9 मिनट।

3. शारीरिक व्यायाम - 1 मिनट।

4. समस्याओं का समाधान - 10 मिनट।

5. आँखों के लिए शारीरिक व्यायाम - 1 मिनट।

6. कार्ड पर काम - 6 मिनट।

7. परीक्षण कार्य - 8 मिनट।

8. होमवर्क सेट करना - 1 मिनट।

9. पाठ का सारांश। प्रतिबिंब - 2 मिनट.

पाठ संरचना एवं प्रवाह

तकनीकी पाठ मानचित्र

“दशमलव को जोड़ना और घटाना” विषय का अध्ययन करने का मुख्य उद्देश्य:

"दशमलव जोड़ना और घटाना" विषय का अध्ययन करने के उद्देश्य:

प्रश्न में संख्याओं के दशमलव स्थानों की स्पष्ट समझ विकसित करें, दशमलव अंशों को पढ़ने, लिखने, दशमलव अंशों को जोड़ने और घटाने में सक्षम हों, जोड़ और घटाव के गुणों का उपयोग करें, जोड़ और घटाव से संबंधित शब्द समस्याओं को हल करें, जिसमें डेटा व्यक्त किया गया है दशमलव अंशों में.

विषय का अध्ययन करते समय 5वीं कक्षा के छात्रों की गणितीय तैयारी के लिए आवश्यकताएँ

"दशमलव जोड़ना और घटाना":

इस विषय पर गणित पाठ्यक्रम का अध्ययन करने के परिणामस्वरूप, छात्रों को यह करना चाहिए:

अंकन से विभिन्न प्रकार की संख्याओं और विधियों से जुड़े शब्दों का सही ढंग से उपयोग करें: प्राकृतिक, भिन्नात्मक, दशमलव, आदि;

दशमलव और प्राकृतिक संख्याओं के साथ अंकगणितीय संक्रियाएँ निष्पादित करें;

गणना करते समय मौखिक और लिखित तरीकों को मिलाएं;

बुनियादी शब्द समस्याओं को हल करें;

गोल दशमलव; गणनाओं का अनुमान लगाएं;

"अभिव्यक्ति", "संख्यात्मक अभिव्यक्ति", "शाब्दिक अभिव्यक्ति", "अभिव्यक्ति का अर्थ" शब्दों का सही उपयोग करें, पाठ में उनके उपयोग को समझें, शिक्षक के भाषण में, कार्यों के शब्दों को समझें: "अभिव्यक्ति का अर्थ ढूंढें" , "अभिव्यक्ति को सरल बनाएं", आदि;

सरल अक्षर अभिव्यक्तियाँ और सूत्र लिखें; व्यंजकों और सूत्रों में संख्यात्मक प्रतिस्थापन करना और तदनुरूप गणना करना;

"समीकरण", "समीकरण का मूल" शब्दों का सही प्रयोग करें; उन्हें पाठ में समझें, शिक्षक के भाषण में, समस्या के सूत्रीकरण को समझें "समीकरण को हल करें";

एक चर वाले रैखिक समीकरणों को हल करें;

आकृतियों के अध्ययन किए गए गुणों का उपयोग करके, खंडों की लंबाई, आयत, वर्ग, त्रिकोण की परिधि की गणना करने की समस्याओं को हल करें।

• सबसे पहले आपको दशमलव स्थानों की संख्या को बराबर करना होगा।
• इसके बाद, आपको दशमलव भिन्नों को एक के नीचे एक लिखना होगा ताकि अल्पविराम लगें एक दूसरे के बगल में थे. यह सबसे महत्वपूर्ण हिस्सा है!
• इसके बाद, घटाव के नियमों के अनुसार, अल्पविरामों को ध्यान में रखे बिना, दशमलव अंशों को घटाएं प्राकृतिक संख्याओं का स्तंभ.
• और अंत में, अपने उत्तर में अल्पविराम के नीचे अल्पविराम लगाएं।

दूसरा विकल्प दशमलव घटाना:

यदि आप दशमलव भिन्नों से भली-भांति परिचित हैं, कि दहाई, सैकड़ा, आदि क्या होते हैं, तो आपयह विकल्प दिलचस्प है.

दशमलव को एक पंक्ति में घटाने के नियम:

• हम दाएँ से बाएँ दशमलव घटाते हैं। यानी दशमलव बिंदु के बाद सबसे दाहिनी संख्या से शुरू करना।
• आइए थोड़ा-थोड़ा करके घटाएं। पूर्ण का पूर्णांक, दसवें का दसवां हिस्सा, सौवें का सौवां हिस्सा, सौवां का हजारवां हिस्सा हज़ारवां वगैरह.
• छोटी संख्या में से बड़ी संख्या घटाने पर, हम छोटी संख्या के बायीं ओर वाले पड़ोसी से दस लेते हैं।

उदाहरण के लिए:

दी गई भिन्नों में सबसे दाहिना अंक सौवां स्थान है। 1 - 1 = 0 . श्रेणी में हमें शून्य अर्थात् शून्य प्राप्त होता हैहम अंतर का सौवां हिस्सा लिखते हैं0 .

दशमांश से दशमांश घटाएँ। 2 - एक मिनट में, 3 - कटौती योग्य। क्योंकि से 2 (कम) घटाया नहीं जा सकता3 (अधिक), तो आपको बाएँ अंक से दस लेना होगा2. यहाँ 5 है. 2 + 10 = 12. इस प्रकार, 3 से घटाना नहीं 2 , और से 12 .

12 - 3 = 9

चलो इसे लिख लें 9 अंतर में. चूंकि हम से हैं 5 घटाया 1 दस, मिनट में शेष नहीं 15 , ए 14 यह बनाने के लिएइसे ऊपर रखना मत भूलना5 एक खाली वृत्त या बिंदु, जो भी अधिक सुविधाजनक हो।

14 में से 8 घटाएँ:

14 - 8 = 6

टिप्पणी!दसवें को केवल दसवें से घटाया जा सकता है, सौवें को सौवें से, हजारवें को हजारवें से, औरवगैरह। यदि किसी भिन्न में उसके स्थान पर संगत अंक का कोई अंक न होलिखो 0 .

दूसरी संख्या में, सबसे दाहिना अंक दो (सौवां स्थान) है, और पहली संख्या में सौवां अंक दिखाई नहीं देता है।तो, के दाईं ओर पहले नंबर पर9 हम जोड़ते हैं 0 और फिर हम इसके आधार पर घटाव करते हैंबुनियादी नियम।

तीसरा विकल्प दशमलव घटाना:

दशमलव घटाने के लिए, आपको चाहिए: 1) मीनूएंड और सबट्रेंड में दशमलव स्थानों की संख्या को बराबर करना; 2) मीनूएंड के नीचे सबट्रैहेंड पर हस्ताक्षर करें ताकि अल्पविराम अल्पविराम के नीचे रहे; 3) अल्पविराम पर ध्यान दिए बिना घटाव करें, और परिणामी परिणाम में मीनूएंड और सबट्रेंड के अल्पविराम के नीचे अल्पविराम लगाएं।

उदाहरण। दशमलव का घटाव करें.

1) 24,538-18,292.

समाधान। हमने सबट्रेंड को मीनूएंड के नीचे लिखा ताकि अल्पविराम अल्पविराम के नीचे रहे। हमने अल्पविरामों पर ध्यान दिए बिना घटाव किया और परिणामी परिणाम में हमने इन भिन्नों में अल्पविरामों के नीचे अल्पविराम लगा दिया।

24,538-18,292=6,246.

2) 145,723-98,943.

हम इसे उसी तरह हल करते हैं। फर्क समझ आया 46,780. यदि आप दशमलव के अंत में शून्य हटा देते हैं, तो भिन्न का मान नहीं बदलता है।

145,723-98,943=46,78.

3) 18-7,61.

समाधान। आइए मिनटएंड और सबट्रेंड में दशमलव स्थानों की संख्या को बराबर करें। हम मीनूएंड के अंतर्गत सबट्रेंड पर हस्ताक्षर करते हैं ताकि अल्पविराम अल्पविराम के नीचे रहे। हम अल्पविराम पर ध्यान दिए बिना घटाव करते हैं, और परिणामी अंतर में हम इन भिन्नों में अल्पविराम के नीचे अल्पविराम लगाते हैं।

पीछे की ओर आगे की ओर

ध्यान! स्लाइड पूर्वावलोकन केवल सूचनात्मक उद्देश्यों के लिए हैं और प्रस्तुति की सभी विशेषताओं का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते हैं। यदि आप इस कार्य में रुचि रखते हैं, तो कृपया पूर्ण संस्करण डाउनलोड करें।

पाठ मकसद:

• शैक्षिक:
दशमलव जोड़ने और घटाने में कौशल को समेकित और सुधारना; मानसिक गिनती कौशल का अभ्यास करना; अर्जित ज्ञान को लागू करने के लिए कौशल विकसित करना; कक्षा में सत्यापन के साथ एक परीक्षण आयोजित करके सामग्री की महारत की डिग्री की जाँच करें।
• विकसित होना:
तार्किक सोच, संज्ञानात्मक रुचि, जिज्ञासा, विश्लेषण करने, निरीक्षण करने और निष्कर्ष निकालने की क्षमता का विकास।
• शैक्षिक:
गणित विषय के अध्ययन में रुचि बढ़ाना; स्वतंत्रता, आत्म-सम्मान, गतिविधि का पोषण।

पाठ का प्रकार: कौशल को मजबूत करने और सुधारने पर पाठ।

छात्र गतिविधियों के आयोजन के रूप: ललाट, समूह, व्यक्तिगत।

उपकरण: कंप्यूटर, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, पाठ के साथ प्रस्तुतीकरण, माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस पावर प्वाइंट मीडिया उत्पाद, हैंडआउट्स: "दशमलव जोड़ना और घटाना" विषय पर परीक्षण, मजबूत और कमजोर छात्रों के लिए कार्यों के साथ व्यक्तिगत कार्ड, प्रत्येक के लिए सिग्नल कार्ड का एक सेट छात्र (लाल, हरा, नीला)।

पाठ संरचना:

1. आयोजन का समय. लक्ष्य निर्धारण - 0.5 मिनट।
2. बुनियादी ज्ञान को अद्यतन करना. कंप्यूटर के साथ काम करें. मौखिक गिनती. - 5 मिनट।
3. अर्जित ज्ञान का समेकन. एक नोटबुक में काम करें. समस्या का समाधान - 10 मिनट।
4. अर्जित ज्ञान का समेकन. एक नोटबुक में काम करें. समीकरण हल करना - 5 मिनट।
5. शारीरिक शिक्षा मिनट - 2 मिनट।
6. अर्जित ज्ञान का समेकन. कंप्यूटर के साथ काम करें. जोड़ और घटाव गुण कार्य - 5 मिनट।
7. स्व-जाँच परीक्षण - 10 मिनट।
8. शिफ्ट जोड़े में काम - 4 मिनट।
9. होमवर्क - 1 मिनट।
10. पाठ सारांश - 2 मिनट।
11. परावर्तन - 0.5 मिनट.

हैलो दोस्तों। कृपया बैठ जाएं। आज हमारा अंतिम पाठ "दशमलव जोड़ना और घटाना" विषय पर है (स्लाइड 1)

निस्संदेह, यह कार्य बहुत सरल नहीं है:
सिखाने के लिए खेलना और खेलकर सीखना।
लेकिन अगर आप पढ़ाई में मनोरंजन जोड़ते हैं,
कोई भी सीख छुट्टी बन जाएगी! (स्लाइड 2)

हमारे पाठ का उद्देश्य दशमलव भिन्नों को जोड़ने और घटाने के कौशल को समेकित और सुधारना और अर्जित ज्ञान को रोजमर्रा की जिंदगी में उपयोग करने की क्षमता विकसित करना है।

आख़िरकार, हम जानते हैं कि गणित विज्ञान और प्रौद्योगिकी की सार्वभौमिक भाषा है, और यह जानना आवश्यक है कि भौतिकी, रसायन विज्ञान, अर्थशास्त्र, साथ ही कई अन्य विज्ञान जैसे विषयों का अध्ययन करना आवश्यक है जिनसे आप हाई स्कूल में परिचित होंगे।

आइए पहले सीखी गई सामग्री की समीक्षा करके अपना पाठ शुरू करें। क्यू कार्ड उठाएँ और अपने सहपाठियों के उत्तरों का मूल्यांकन करने के लिए उनका उपयोग करें।

दशमलव भिन्न आपके लिए नए हैं,
हाल ही में आपकी कक्षा ने उन्हें पहचाना।
अब सबके लिए परेशानी बढ़ गई है,
हम पढ़ाते हैं, हम नियम सीखते हैं, हम पाठ की तैयारी करते हैं।

समीक्षा प्रश्न:

दशमलव की तुलना कैसे करें? (स्लाइड्स 3-5)

(दशमलव अंशों की तुलना थोड़ा-थोड़ा करके की जाती है, सबसे महत्वपूर्ण अंक से शुरू करते हुए: पूर्ण भाग के साथ पूर्ण भाग, दसवें के साथ दसवां, सौवें के साथ सौवां, आदि)

1,1872 < 1,188

भिन्नों की तुलना करें: (स्लाइड 6)

7,2 > 5,99
18,04 < 18,4
0,3 = 0,30
4,806 < 4,93
9,404< 9,44
7,040 = 7,04

आप दशमलव को कैसे जोड़ते और घटाते हैं? (स्लाइड 7.8)

दशमलव भिन्नों को जोड़ने (घटाने) के लिए, आपको चाहिए:

• बराबर
इन भिन्नों में दशमलव स्थानों की संख्या;
• लिखो
उन्हें एक दूसरे के नीचे रखें ताकि अल्पविराम अल्पविराम के नीचे लिखा हो;
• निष्पादित करना
अल्पविराम पर ध्यान दिए बिना जोड़ (घटाना);
• रखना
उत्तर में इन भिन्नों में अल्पविराम के नीचे अल्पविराम लगाएं।

अल्पविराम पुनर्स्थापित करें: (स्लाइड 9)

7,39 + 4,48 = 11,87
4,2 + 2,06 = 6,26
18,01 + 2,9 = 15,11
5 – 0,61 = 4,39

मौखिक गिनती: (स्लाइड 10)

आज पाठ में हम डेस को जोड़ने और घटाने के कौशल को मजबूत कर रहे हैं। अंश.

अपनी नोटबुक्स खोलें। लिखो: संख्या, बढ़िया काम।

आइए समस्या का समाधान करें. आज हमारे विद्यालय में एक पत्र आया।

“स्कूल नंबर 37 के ग्रेड 6 बी के प्रिय छात्रों। विनी द पूह आपको लिख रही है। परेशानी में थे। कृपया इससे निपटने में हमारी मदद करें। तथ्य यह है कि हम, यानी विनी द पूह, ईयोर और पिगलेट ने अपना वजन जानने का फैसला किया। लेकिन पैमाना ऊपर तक है

20 किलो क्षतिग्रस्त हो गया था, और उस पर रीडिंग पढ़ना असंभव था। इसलिए मैंने पहले अपना वजन पिगलेट से तौला: यह 22.4 किलोग्राम निकला; फिर गधे के साथ यह 23.5 किलो का निकला; और फिर हमने अपना वजन एक साथ तौला और हमारा वजन 26.7 किलोग्राम था। लेकिन हमें अभी भी अपना वज़न नहीं पता था. यदि आप कर सकते हैं तो कृपया हमारी मदद करें। हमे तुम पर भरोसा है। हमने सुना है कि आप इस स्कूल में छठी कक्षा के सबसे अच्छे छात्र हैं। बहुत सम्मान के साथ, विनी द पूह।”

समाधान: (स्लाइड 12)

1) 26.7-22.4= 4.3 (किग्रा) – गधे का वजन होता है
2) 26.7-23.5=3.2 (किग्रा) - पिगलेट का वजन होता है
3) 22.4-3.2 = 19.2 (किग्रा) - विनी द पूह का वजन

उत्तर: विनी द पूह - 19.2 किग्रा, पिगलेट - 3.2 किग्रा, ईयोर - 4.3 किग्रा।

जब मैं पाठ के लिए एक प्रेजेंटेशन तैयार कर रहा था, एक चालाक कंप्यूटर ने सभी अक्षरों को मिला दिया। शब्द को पुनर्स्थापित करने में सहायता करें. ऐसा करने के लिए, आपको समीकरणों को हल करना होगा और मिश्रित समीकरणों से एक शब्द बनाना होगा।

कक्षा में हमने लिखा,

वे जो कुछ भी जानते थे उसका उन्होंने उत्तर दिया।

अब हम आराम करेंगे

और चलिए फिर से लिखना शुरू करें!

समस्या और समीकरणों को हल करते समय जो तनाव उत्पन्न हो गया था, उसे दूर करने के बाद, आइए नोटबुक में काम करना जारी रखें।

1. किसी संख्या में दो संख्याओं का योग जोड़ने के लिए, आप पहले इस संख्या में पहला पद जोड़ सकते हैं, और फिर परिणामी योग में दूसरा पद जोड़ सकते हैं। योग में पदों को आपकी पसंद के अनुसार किसी भी तरह से पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है और समूहों में जोड़ा जा सकता है .

ए + बी + सी = (ए + सी) + बी ए + (बी + सी) = (ए + सी) + बी 0.63 + (2.78 + 5.37) = (0.63 + 5.37 )+2.78=6+2.78=8.78

21,49+3,67+13,51=(21,49+13,51)+3,67=35+3,67=38,67

2. किसी संख्या से कोई योग घटाने के लिए, आप पहले इस संख्या से पहला पद घटा सकते हैं, और फिर परिणामी अंतर से दूसरा पद घटा सकते हैं।

ए - (बी + सी) = ए - बी - सी

37,42 – (26,42+7,8)=(37,42-26,42)-7,8=11-7,8=3,2

3. किसी संख्या को किसी योग से घटाने के लिए, आप उसे एक पद से घटा सकते हैं और परिणामी अंतर में दूसरा पद जोड़ सकते हैं।

(ए + सी) - बी = (ए - सी) + सी

(8,64+13,88) – 2,64=(8,64-2,64)+13,88=6+13,88=19,8

आइए अब एक परीक्षण के साथ अपने ज्ञान का परीक्षण करें। ( परिशिष्ट संख्या 1)

परीक्षा स्व-परीक्षण होगी, इसलिए असाइनमेंट के उत्तर अपनी नोटबुक में लिखना न भूलें। अगर फैसले के दौरान आपके मन में कोई सवाल हो तो अपना हाथ उठायें और मैं आपके पास आऊंगा.

कुछ छात्रों को व्यक्तिगत असाइनमेंट वाले कार्ड मिलते हैं। ( परिशिष्ट संख्या 2और परिशिष्ट संख्या 3)

दोस्तों, 10 मिनट बीत चुके हैं, हम फॉर्म सौंप देते हैं। हम स्वयं कार्य की जांच करते हैं। प्रत्येक कार्य के आगे हम "+" या "-" चिन्ह लगाते हैं। (स्लाइड 17)

आइए परिणाम का मूल्यांकन करें (स्लाइड 18)।

मूल्यांकन मानदंड: "5" - 8 कार्य; "4" - 7 या 6 कार्य; "3" - 5 या 4 कार्य।

सिग्नल कार्ड की सहायता से दिखाएं कि आपको कौन सा स्कोर प्राप्त हुआ: "5" - लाल, "4" - हरा, "3" - नीला।

बहुत अच्छा! बहुत अच्छा।

और अब, दोस्तों, हम जोड़ियों में स्वतंत्र रूप से काम करते हैं। हम संख्या 1228 (ए, सी, डी, ई) करते हैं। (स्लाइड 19)। संख्या पूरी करने के बाद, हम एक पड़ोसी के साथ नोटबुक का आदान-प्रदान करते हैं और स्लाइड पर उत्तरों की जांच करके निष्पादन की शुद्धता की जांच करते हैं। (स्लाइड 20)

ए) 2.31+ (7.65 + 8.69) = (2.31 + 8.69) + 7.65 = 11+7.65 = 18.65;

ग) (7.891 + 3.9) + (6.1 + 2.109) =(7.891+2.109) + (3.9+6.1) =10+10=20;

घ) 14.537 - (2.237 + 5.9) = (14.537 - 2.237) - 5.9 = 6.4;

ई) (24.302 + 17.879) – 1.302 = (24.302 – 1.302) + 17.879 =40.879

अपनी डायरी खोलें और अपना होमवर्क असाइनमेंट लिखें।

संख्या 1263 (ए, बी), संख्या 1262 - दशमलव जोड़ने और घटाने पर उदाहरण और समस्याएं, संख्या 1268 (सी, डी) - अधिक जटिल समीकरण, उन लोगों के लिए जो गणित का अध्ययन करने में रुचि रखते हैं।

कक्षा और व्यक्तिगत छात्र प्रदर्शन का आकलन करना। दिए गए ग्रेड के लिए तर्क, पाठ पर टिप्पणियाँ, की गई गलतियों की चर्चा और उन्हें सुधारने के लिए क्या आवश्यक है। ग्रेड की घोषणा.

- दोस्तों, आप सभी ने आज कक्षा में कड़ी मेहनत की।

सिग्नल कार्ड अपने हाथ में लें और कृपया निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दें:

- क्या आप अपने ज्ञान और कौशल को समेकित करने में सक्षम हैं?

- क्या आप कक्षा में सक्रिय थे?

– क्या आपकी रुचि थी?

छात्र इस बारे में बात करते हैं कि उन्हें पाठ में सबसे अधिक क्या पसंद आया, उन्हें क्या याद आया, वे क्या दोहराना चाहेंगे, वे क्या बदलना चाहेंगे। पाठ के दौरान उन्हें कैसा महसूस हुआ।

पाठ के अंत में वह क्यू कार्ड दिखाएं जो आपके मूड से मेल खाता हो। (स्लाइड 24,25)

आप के साथ काम करना खुशगवार रहा। सबक के लिए धन्यवाद! (स्लाइड 26)

साहित्य:

1. एन.या विलेनकिन, वी.आई. ज़ोखोव, ए.एस. चेस्नोकोव, एस.आई. श्वार्ज़बर्ग. गणित: ग्रेड 5 के लिए पाठ्यपुस्तक - एम.: प्रोस्वेशचेनी, 2007. - 280 पी।
2. सामग्री का परीक्षण एवं मापन। गणित: ग्रेड 5-6 / एल.पी. द्वारा संकलित। पोपोवा. - एम.: वाको, 2010. - 96 पी।
3. सुवोरोवा, एस.बी. गणित, 5-6 ग्रेड: शिक्षकों के लिए एक किताब / एस.बी. सुवोरोवा, एल.वी. कुज़नेत्सोवा और अन्य - एम.: शिक्षा, 2006. - 191 पी।

इस ट्यूटोरियल में हम इनमें से प्रत्येक ऑपरेशन को अलग से देखेंगे।

दशमलव जोड़ना

जैसा कि हम जानते हैं, दशमलव भिन्न में एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है। दशमलव जोड़ते समय पूर्णांक और भिन्नात्मक भाग अलग-अलग जोड़े जाते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए दशमलव भिन्न 3.2 और 5.3 जोड़ें। किसी कॉलम में दशमलव भिन्नों को जोड़ना अधिक सुविधाजनक है।

आइए पहले इन दो भिन्नों को एक कॉलम में लिखें, जिसमें पूर्णांक भाग आवश्यक रूप से पूर्णांक के अंतर्गत हों, और भिन्नात्मक भाग भिन्नात्मक भागों के अंतर्गत हों। स्कूल में इस आवश्यकता को कहा जाता है "अल्पविराम के अंतर्गत अल्पविराम".

आइए भिन्नों को एक कॉलम में लिखें ताकि अल्पविराम अल्पविराम के नीचे रहे:

हम भिन्नात्मक भागों को जोड़ना शुरू करते हैं: 2 + 3 = 5। हम अपने उत्तर के भिन्नात्मक भाग में पाँच लिखते हैं:

अब हम पूरे भाग को जोड़ते हैं: 3 + 5 = 8. हम अपने उत्तर के पूरे भाग में आठ लिखते हैं:

अब हम पूर्ण भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करते हैं। ऐसा करने के लिए हम फिर से नियम का पालन करते हैं "अल्पविराम के अंतर्गत अल्पविराम":

हमें 8.5 का उत्तर मिला. अतः व्यंजक 3.2 + 5.3, 8.5 के बराबर है

वास्तव में, सब कुछ उतना सरल नहीं है जितना पहली नज़र में लगता है। यहां नुकसान भी हैं, जिनके बारे में हम अभी बात करेंगे।

दशमलव में स्थान

सामान्य संख्याओं की तरह दशमलव भिन्नों के भी अपने अंक होते हैं। ये दसवें के स्थान, सौवें के स्थान, हजारवें के स्थान हैं। इस मामले में, अंक दशमलव बिंदु के बाद शुरू होते हैं।

दशमलव बिंदु के बाद का पहला अंक दसवें स्थान के लिए जिम्मेदार है, दशमलव बिंदु के बाद दूसरा अंक सौवें स्थान के लिए, और दशमलव बिंदु के बाद तीसरा अंक हजारवें स्थान के लिए जिम्मेदार है।

दशमलव स्थानों में कुछ उपयोगी जानकारी होती है। विशेष रूप से, वे आपको बताते हैं कि एक दशमलव में कितने दसवें, सौवें और हज़ारवें भाग होते हैं।

उदाहरण के लिए, दशमलव अंश 0.345 पर विचार करें

वह स्थिति जहां तीनों स्थित हैं, कहलाती है दसवाँ स्थान

वह स्थिति जहां चारों स्थित हैं, कहलाती है सौवां स्थान

वह स्थिति जहां पांच स्थित हैं, कहलाती है हज़ारवाँ स्थान

आइए इस चित्र को देखें. हम देखते हैं कि दसवें स्थान पर तीन है। इसका मतलब यह है कि दशमलव भिन्न 0.345 में तीन दसवें भाग होते हैं।

यदि हम भिन्नों को जोड़ते हैं, तो हमें मूल दशमलव भिन्न 0.345 प्राप्त होता है

यह देखा जा सकता है कि पहले तो हमें उत्तर मिला, लेकिन हमने इसे दशमलव अंश में बदल दिया और 0.345 प्राप्त हुआ।

दशमलव भिन्नों को जोड़ते समय उन्हीं सिद्धांतों और नियमों का पालन किया जाता है जैसे सामान्य संख्याओं को जोड़ते समय किया जाता है। दशमलव भिन्नों का योग अंकों में होता है: दसवें को दसवें में जोड़ा जाता है, सौवें को सौवें में, हजारवें को हजारवें में जोड़ा जाता है।

इसलिए, दशमलव भिन्नों को जोड़ते समय, आपको नियम का पालन करना चाहिए "अल्पविराम के अंतर्गत अल्पविराम". अल्पविराम के अंतर्गत अल्पविराम वही क्रम प्रदान करता है जिसमें दसवें को दसवें, सौवें को सौवें, हजारवें को हजारवें में जोड़ा जाता है।

उदाहरण 1।व्यंजक 1.5 + 3.4 का मान ज्ञात कीजिए

सबसे पहले, हम भिन्नात्मक भाग 5 + 4 = 9 जोड़ते हैं। हम अपने उत्तर के भिन्नात्मक भाग में नौ लिखते हैं:

अब हम पूर्णांक भाग 1 + 3 = 4 जोड़ते हैं। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में चार लिखते हैं:

अब हम पूर्ण भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फिर से "अल्पविराम के अंतर्गत अल्पविराम" नियम का पालन करते हैं:

हमें 4.9 का उत्तर मिला. इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति 1.5 + 3.4 का मान 4.9 है

उदाहरण 2.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: 3.51 + 1.22

हम इस अभिव्यक्ति को "अल्पविराम के अंतर्गत अल्पविराम" नियम का पालन करते हुए एक कॉलम में लिखते हैं।

सबसे पहले, हम भिन्नात्मक भाग को जोड़ते हैं, अर्थात् 1+2=3 का सौवां भाग। हम अपने उत्तर के सौवें भाग में त्रिक लिखते हैं:

अब दशमांश 5+2=7 जोड़ें। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में सात लिखते हैं:

अब हम पूरे भागों को जोड़ते हैं 3+1=4. हम अपने उत्तर के पूरे भाग में चार लिखते हैं:

हम "अल्पविराम के अंतर्गत अल्पविराम" नियम का पालन करते हुए, पूर्ण भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करते हैं:

हमें जो उत्तर मिला वह 4.73 था। इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति 3.51 + 1.22 का मान 4.73 के बराबर है

3,51 + 1,22 = 4,73

नियमित संख्याओं की तरह, दशमलव जोड़ते समय, . इस मामले में, उत्तर में एक अंक लिखा जाता है, और बाकी को अगले अंक में स्थानांतरित कर दिया जाता है।

उदाहरण 3.व्यंजक 2.65 + 3.27 का मान ज्ञात कीजिए

हम इस अभिव्यक्ति को कॉलम में लिखते हैं:

सौवें भाग को जोड़ें 5+7=12. संख्या 12 हमारे उत्तर के सौवें भाग में फिट नहीं बैठेगी। इसलिए, सौवें भाग में हम संख्या 2 लिखते हैं, और इकाई को अगले अंक पर ले जाते हैं:

अब हम 6+2=8 का दसवां हिस्सा और पिछले ऑपरेशन से प्राप्त इकाई को जोड़ते हैं, हमें 9 मिलता है। हम अपने उत्तर के दसवें में संख्या 9 लिखते हैं:

अब हम पूरे भागों को जोड़ते हैं 2+3=5. हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में संख्या 5 लिखते हैं:

हमें जो उत्तर मिला वह 5.92 था। इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति 2.65 + 3.27 का मान 5.92 के बराबर है

2,65 + 3,27 = 5,92

उदाहरण 4.व्यंजक 9.5 + 2.8 का मान ज्ञात कीजिए

हम इस अभिव्यक्ति को कॉलम में लिखते हैं

हम भिन्नात्मक भाग 5 + 8 = 13 जोड़ते हैं। संख्या 13 हमारे उत्तर के भिन्नात्मक भाग में फिट नहीं होगी, इसलिए हम पहले संख्या 3 लिखते हैं, और इकाई को अगले अंक में ले जाते हैं, या यों कहें कि इसे स्थानांतरित करते हैं। पूर्णांक भाग:

अब हम पूर्णांक भाग 9+2=11 और पिछले ऑपरेशन से प्राप्त इकाई को जोड़ते हैं, हमें 12 मिलता है। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में संख्या 12 लिखते हैं:

पूर्ण भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करें:

हमें उत्तर 12.3 प्राप्त हुआ। इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति 9.5 + 2.8 का मान 12.3 है

9,5 + 2,8 = 12,3

दशमलव जोड़ते समय, दोनों भिन्नों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या समान होनी चाहिए। यदि पर्याप्त संख्याएँ नहीं हैं, तो भिन्नात्मक भाग में ये स्थान शून्य से भरे हुए हैं।

उदाहरण 5. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: 12.725 + 1.7

इस अभिव्यक्ति को एक कॉलम में लिखने से पहले, आइए दोनों भिन्नों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या समान कर लें। दशमलव भिन्न 12.725 में दशमलव बिंदु के बाद तीन अंक होते हैं, लेकिन भिन्न 1.7 में केवल एक अंक होता है। इसका मतलब है कि भिन्न 1.7 में आपको अंत में दो शून्य जोड़ने होंगे। तब हमें भिन्न 1.700 प्राप्त होता है। अब आप इस अभिव्यक्ति को एक कॉलम में लिख सकते हैं और गणना शुरू कर सकते हैं:

हजारवें भाग को जोड़ें 5+0=5. हम अपने उत्तर के हज़ारवें भाग में संख्या 5 लिखते हैं:

सैकड़ावाँ भाग 2+0=2 जोड़ें। हम अपने उत्तर के सौवें भाग में संख्या 2 लिखते हैं:

दहाई जोड़ें 7+7=14. संख्या 14 हमारे उत्तर के दसवें हिस्से में फिट नहीं बैठेगी। इसलिए, हम पहले संख्या 4 लिखते हैं, और इकाई को अगले अंक पर ले जाते हैं:

अब हम पूर्णांक भाग 12+1=13 और पिछले ऑपरेशन से प्राप्त इकाई को जोड़ते हैं, हमें 14 मिलता है। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में संख्या 14 लिखते हैं:

पूर्ण भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करें:

हमें 14,425 की प्रतिक्रिया मिली। इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति 12.725+1.700 का मान 14.425 है

12,725+ 1,700 = 14,425

दशमलव घटाना

दशमलव अंशों को घटाते समय, आपको उन्हीं नियमों का पालन करना चाहिए जो जोड़ते समय करते हैं: "दशमलव बिंदु के नीचे अल्पविराम" और "दशमलव बिंदु के बाद अंकों की समान संख्या।"

उदाहरण 1।व्यंजक 2.5 − 2.2 का मान ज्ञात कीजिए

हम इस अभिव्यक्ति को "अल्पविराम के अंतर्गत अल्पविराम" नियम का पालन करते हुए एक कॉलम में लिखते हैं:

हम भिन्नात्मक भाग 5−2=3 की गणना करते हैं। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में संख्या 3 लिखते हैं:

हम पूर्णांक भाग 2−2=0 की गणना करते हैं। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में शून्य लिखते हैं:

पूर्ण भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करें:

हमें 0.3 का उत्तर मिला. इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति 2.5 − 2.2 का मान 0.3 के बराबर है

2,5 − 2,2 = 0,3

उदाहरण 2.व्यंजक 7.353 - 3.1 का मान ज्ञात कीजिए

इस अभिव्यक्ति में दशमलव स्थानों की भिन्न संख्या है। भिन्न 7.353 में दशमलव बिंदु के बाद तीन अंक होते हैं, लेकिन भिन्न 3.1 में केवल एक अंक होता है। इसका मतलब यह है कि भिन्न 3.1 में आपको दोनों भिन्नों में अंकों की संख्या समान बनाने के लिए अंत में दो शून्य जोड़ने की आवश्यकता है। तो हमें 3,100 मिलते हैं.

अब आप इस अभिव्यक्ति को एक कॉलम में लिख सकते हैं और इसकी गणना कर सकते हैं:

हमें 4,253 की प्रतिक्रिया मिली। इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति 7.353 - 3.1 का मान 4.253 के बराबर है

7,353 — 3,1 = 4,253

सामान्य संख्याओं की तरह, यदि घटाव असंभव हो जाए तो कभी-कभी आपको आसन्न अंक से एक अंक उधार लेना होगा।

उदाहरण 3.व्यंजक 3.46 − 2.39 का मान ज्ञात कीजिए

6−9 का सौवाँ भाग घटाएँ। आप संख्या 6 में से संख्या 9 नहीं घटा सकते। इसलिए, आपको आसन्न अंक में से एक अंक उधार लेना होगा। आसन्न अंक में से एक को उधार लेने पर, संख्या 6 संख्या 16 में बदल जाती है। अब आप 16−9=7 के सौवें हिस्से की गणना कर सकते हैं। हम अपने उत्तर के सौवें भाग में सात लिखते हैं:

अब हम दसवाँ भाग घटाते हैं। चूँकि हमने दसवें स्थान पर एक इकाई ले ली, इसलिए वहाँ स्थित आंकड़ा एक इकाई कम हो गया। दूसरे शब्दों में, दसवें स्थान पर अब संख्या 4 नहीं, बल्कि संख्या 3 है। आइए 3−3=0 के दसवें हिस्से की गणना करें। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में शून्य लिखते हैं:

अब हम पूर्ण भाग 3−2=1 घटाते हैं। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में एक लिखते हैं:

पूर्ण भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करें:

हमें 1.07 का उत्तर मिला. इसका मतलब है कि व्यंजक 3.46−2.39 का मान 1.07 के बराबर है

3,46−2,39=1,07

उदाहरण 4. व्यंजक 3−1.2 का मान ज्ञात कीजिए

यह उदाहरण एक पूर्ण संख्या से दशमलव घटाता है। आइए इस अभिव्यक्ति को एक कॉलम में लिखें ताकि दशमलव अंश 1.23 का पूरा भाग संख्या 3 के अंतर्गत हो

अब दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या समान कर लेते हैं। ऐसा करने के लिए, संख्या 3 के बाद हम अल्पविराम लगाते हैं और एक शून्य जोड़ते हैं:

अब हम दसवां हिस्सा घटाते हैं: 0−2. आप शून्य में से संख्या 2 नहीं घटा सकते। इसलिए, आपको आसन्न अंक में से एक अंक लेना होगा। पड़ोसी अंक से एक उधार लेने पर, 0 संख्या 10 में बदल जाता है। अब आप 10−2=8 के दसवें हिस्से की गणना कर सकते हैं। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में आठ लिखते हैं:

अब हम पूरे भागों को घटाते हैं। पहले, संख्या 3 संपूर्ण में स्थित थी, लेकिन हमने इसमें से एक इकाई ले ली। परिणामस्वरूप, यह संख्या 2 में बदल गया। इसलिए, 2 से हम 1 घटाते हैं। 2−1=1। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में एक लिखते हैं:

पूर्ण भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करें:

हमें जो उत्तर मिला वह 1.8 था। इसका मतलब है कि व्यंजक 3−1.2 का मान 1.8 है

दशमलव को गुणा करना

दशमलव को गुणा करना सरल भी है और मज़ेदार भी। दशमलव को गुणा करने के लिए, आप अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए, उन्हें नियमित संख्याओं की तरह गुणा करें।

उत्तर प्राप्त करने के बाद, आपको पूर्ण भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको दोनों भिन्नों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिननी होगी, फिर उत्तर में दाईं ओर से समान अंकों की संख्या गिननी होगी और अल्पविराम लगाना होगा।

उदाहरण 1।व्यंजक 2.5 × 1.5 का मान ज्ञात कीजिए

आइए अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए, इन दशमलव भिन्नों को सामान्य संख्याओं की तरह गुणा करें। अल्पविरामों को अनदेखा करने के लिए, आप अस्थायी रूप से कल्पना कर सकते हैं कि वे पूरी तरह से अनुपस्थित हैं:

हमें 375 मिला। इस संख्या में, आपको पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको भिन्न 2.5 और 1.5 में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिननी होगी। पहले भिन्न में दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है, और दूसरे भिन्न में भी एक अंक होता है। कुल दो नंबर.

हम संख्या 375 पर लौटते हैं और दाएं से बाएं ओर जाना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर दो अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

हमें 3.75 का उत्तर मिला. अतः व्यंजक 2.5 × 1.5 का मान 3.75 है

2.5 × 1.5 = 3.75

उदाहरण 2.व्यंजक 12.85 × 2.7 का मान ज्ञात कीजिए

आइए अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए, इन दशमलव भिन्नों को गुणा करें:

हमें 34695 मिला। इस संख्या में आपको पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको भिन्न 12.85 और 2.7 में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिननी होगी। भिन्न 12.85 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं, और भिन्न 2.7 में एक अंक होता है - कुल तीन अंक।

हम संख्या 34695 पर लौटते हैं और दाएं से बाएं ओर जाना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर से तीन अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

हमें 34,695 का रिस्पॉन्स मिला. अतः व्यंजक 12.85 × 2.7 का मान 34.695 है

12.85 × 2.7 = 34.695

दशमलव को एक नियमित संख्या से गुणा करना

कभी-कभी ऐसी स्थितियाँ उत्पन्न होती हैं जब आपको दशमलव भिन्न को किसी नियमित संख्या से गुणा करने की आवश्यकता होती है।

दशमलव और संख्या को गुणा करने के लिए, आप दशमलव में अल्पविराम पर ध्यान दिए बिना उन्हें गुणा करते हैं। उत्तर प्राप्त करने के बाद, आपको पूर्ण भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको दशमलव भिन्न में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिननी होगी, फिर उत्तर में दाईं ओर से अंकों की समान संख्या गिननी होगी और अल्पविराम लगाना होगा।

उदाहरण के लिए, 2.54 को 2 से गुणा करें

अल्पविराम को अनदेखा करते हुए, दशमलव भिन्न 2.54 को सामान्य संख्या 2 से गुणा करें:

हमें संख्या 508 मिली। इस संख्या में आपको पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको भिन्न 2.54 में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिननी होगी। भिन्न 2.54 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं।

हम संख्या 508 पर लौटते हैं और दाएं से बाएं ओर जाना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर दो अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

हमें 5.08 का उत्तर मिला. अतः व्यंजक 2.54 × 2 का मान 5.08 है

2.54 × 2 = 5.08

दशमलव को 10, 100, 1000 से गुणा करना

दशमलव को 10, 100, या 1000 से गुणा करना उसी तरह से किया जाता है जैसे दशमलव को नियमित संख्याओं से गुणा करना। आपको दशमलव अंश में अल्पविराम पर ध्यान न देते हुए गुणन करना है, फिर उत्तर में, पूरे भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करना है, दाईं ओर से अंकों की उतनी ही संख्या गिननी है जितनी दशमलव बिंदु के बाद अंक थे।

उदाहरण के लिए, 2.88 को 10 से गुणा करें

दशमलव भिन्न में अल्पविराम को अनदेखा करते हुए, दशमलव भिन्न 2.88 को 10 से गुणा करें:

हमें 2880 मिला। इस संख्या में आपको पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको भिन्न 2.88 में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिननी होगी। हम देखते हैं कि भिन्न 2.88 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं।

हम संख्या 2880 पर लौटते हैं और दाएं से बाएं ओर जाना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर दो अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

हमें 28.80 का जवाब मिला. आइए अंतिम शून्य को हटा दें और 28.8 प्राप्त करें। इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति 2.88×10 का मान 28.8 है

2.88 × 10 = 28.8

दशमलव भिन्नों को 10, 100, 1000 से गुणा करने का दूसरा तरीका है। यह विधि बहुत सरल और अधिक सुविधाजनक है। इसमें दशमलव बिंदु को दाईं ओर उतने अंकों तक ले जाना शामिल है जितने गुणनखंड में शून्य हैं।

उदाहरण के लिए, आइए पिछले उदाहरण 2.88×10 को इस प्रकार हल करें। कोई गणना दिए बिना, हम तुरंत कारक 10 को देखते हैं। हमें इसमें रुचि है कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें एक शून्य है। अब भिन्न 2.88 में हम दशमलव बिंदु को दाएँ एक अंक तक ले जाते हैं, हमें 28.8 प्राप्त होता है।

2.88 × 10 = 28.8

आइए 2.88 को 100 से गुणा करने का प्रयास करें। हम तुरंत कारक 100 को देखते हैं। हमें इसमें रुचि है कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें दो शून्य हैं। अब भिन्न 2.88 में हम दशमलव बिंदु को दाएँ दो अंकों तक ले जाते हैं, हमें 288 प्राप्त होता है

2.88 × 100 = 288

आइए 2.88 को 1000 से गुणा करने का प्रयास करें। हम तुरंत कारक 1000 को देखते हैं। हमें इसमें रुचि है कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें तीन शून्य हैं। अब भिन्न 2.88 में हम दशमलव बिंदु को तीन अंकों से दाईं ओर ले जाते हैं। वहां कोई तीसरा अंक नहीं है, इसलिए हम एक और शून्य जोड़ते हैं। परिणामस्वरूप, हमें 2880 मिलते हैं।

2.88 × 1000 = 2880

दशमलव को 0.1 0.01 और 0.001 से गुणा करना

दशमलव को 0.1, 0.01, और 0.001 से गुणा करना उसी तरह काम करता है जैसे दशमलव को दशमलव से गुणा करना। भिन्नों को सामान्य संख्याओं की तरह गुणा करना और उत्तर में अल्पविराम लगाना, दाहिनी ओर उतने ही अंक गिनना आवश्यक है जितने दोनों भिन्नों में दशमलव बिंदु के बाद अंक हों।

उदाहरण के लिए, 3.25 को 0.1 से गुणा करें

हम इन भिन्नों को सामान्य संख्याओं की तरह गुणा करते हैं, अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए:

हमें 325 मिला। इस संख्या में आपको पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको भिन्न 3.25 और 0.1 में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिननी होगी। भिन्न 3.25 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं, और भिन्न 0.1 में एक अंक होता है। कुल तीन नंबर.

हम संख्या 325 पर लौटते हैं और दाएं से बाएं ओर जाना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर से तीन अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है। तीन अंक गिनने के बाद पता चलता है कि अंक खत्म हो गए हैं। इस मामले में, आपको एक शून्य जोड़ना होगा और अल्पविराम जोड़ना होगा:

हमें 0.325 का उत्तर मिला। इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति 3.25 × 0.1 का मान 0.325 है

3.25 × 0.1 = 0.325

दशमलव को 0.1, 0.01 और 0.001 से गुणा करने का दूसरा तरीका है। यह विधि बहुत सरल और अधिक सुविधाजनक है। इसमें दशमलव बिंदु को बाईं ओर उतने अंकों तक ले जाना शामिल है जितने गुणनखंड में शून्य हैं।

उदाहरण के लिए, आइए पिछले उदाहरण 3.25 × 0.1 को इस प्रकार हल करें। बिना कोई गणना दिए हम तुरंत 0.1 के गुणक को देखते हैं। हमें इसमें रुचि है कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें एक शून्य है। अब भिन्न 3.25 में हम दशमलव बिंदु को एक अंक से बाईं ओर ले जाते हैं। अल्पविराम को एक अंक बाईं ओर ले जाने पर, हम देखते हैं कि तीन से पहले कोई और अंक नहीं हैं। इस स्थिति में, एक शून्य जोड़ें और अल्पविराम लगाएं। परिणाम 0.325 है

3.25 × 0.1 = 0.325

आइए 3.25 को 0.01 से गुणा करने का प्रयास करें। हम तुरंत 0.01 के गुणक को देखते हैं। हमें इसमें रुचि है कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें दो शून्य हैं। अब भिन्न 3.25 में हम दशमलव बिंदु को बाएँ दो अंकों पर ले जाते हैं, हमें 0.0325 मिलता है

3.25 × 0.01 = 0.0325

आइए 3.25 को 0.001 से गुणा करने का प्रयास करें। हम तुरंत 0.001 के गुणक को देखते हैं। हमें इसमें रुचि है कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें तीन शून्य हैं। अब भिन्न 3.25 में हम दशमलव बिंदु को तीन अंकों से बाईं ओर ले जाते हैं, हमें 0.00325 मिलता है

3.25 × 0.001 = 0.00325

दशमलव भिन्नों को 0.1, 0.001 और 0.001 से गुणा करने को 10, 100, 1000 से गुणा करने में भ्रमित न हों। अधिकांश लोगों के लिए यह एक सामान्य गलती है।

10, 100, 1000 से गुणा करने पर, दशमलव बिंदु दाईं ओर उतने ही अंकों से चला जाता है जितने गुणक में शून्य होते हैं।

और जब 0.1, 0.01 और 0.001 से गुणा किया जाता है, तो दशमलव बिंदु बाईं ओर उतने ही अंकों से चला जाता है, क्योंकि गुणक में शून्य होते हैं।

यदि शुरुआत में याद रखना कठिन हो, तो आप पहली विधि का उपयोग कर सकते हैं, जिसमें सामान्य संख्याओं की तरह गुणा किया जाता है। उत्तर में, आपको पूरे भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करना होगा, दाईं ओर अंकों की समान संख्या गिननी होगी क्योंकि दोनों भिन्नों में दशमलव बिंदु के बाद अंक हैं।

छोटी संख्या को बड़ी संख्या से भाग देना। अग्रवर्ती स्तर।

पिछले पाठों में से एक में, हमने कहा था कि जब एक छोटी संख्या को बड़ी संख्या से विभाजित किया जाता है, तो एक भिन्न प्राप्त होता है, जिसका अंश लाभांश होता है, और हर भाजक होता है।

उदाहरण के लिए, एक सेब को दो के बीच विभाजित करने के लिए, आपको अंश में 1 (एक सेब) लिखना होगा, और हर में 2 (दो मित्र) लिखना होगा। परिणामस्वरूप, हमें भिन्न प्राप्त होता है। इसका मतलब है कि प्रत्येक मित्र को एक सेब मिलेगा। दूसरे शब्दों में, आधा सेब. भिन्न समस्या का उत्तर है "एक सेब को दो भागों में कैसे बाँटें"

यह पता चलता है कि यदि आप 1 को 2 से विभाजित करते हैं तो आप इस समस्या को और अधिक हल कर सकते हैं। आखिरकार, किसी भी भिन्न में भिन्नात्मक रेखा का अर्थ विभाजन होता है, और इसलिए भिन्न में इस विभाजन की अनुमति है। आख़िर कैसे? हम इस तथ्य के आदी हैं कि लाभांश हमेशा भाजक से बड़ा होता है। लेकिन यहां, इसके विपरीत, लाभांश भाजक से कम है।

यदि हम यह याद रखें कि अंश का अर्थ कुचलना, विभाजन करना, विभाजन करना है तो सब कुछ स्पष्ट हो जाएगा। इसका मतलब यह है कि इकाई को केवल दो भागों में नहीं, बल्कि जितने चाहें उतने भागों में विभाजित किया जा सकता है।

जब आप किसी छोटी संख्या को बड़ी संख्या से विभाजित करते हैं, तो आपको एक दशमलव अंश मिलता है जिसमें पूर्णांक भाग 0 (शून्य) होता है। भिन्नात्मक भाग कुछ भी हो सकता है।

तो, आइए 1 को 2 से विभाजित करें। आइए इस उदाहरण को एक कोने से हल करें:

एक को पूर्णतः दो भागों में विभाजित नहीं किया जा सकता। यदि आप कोई प्रश्न पूछते हैं "एक में कितने दो होते हैं" , तो उत्तर 0 होगा। इसलिए, भागफल में हम 0 लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

अब, हमेशा की तरह, शेषफल प्राप्त करने के लिए हम भागफल को भाजक से गुणा करते हैं:

वह क्षण आ गया है जब इकाई को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, परिणामी शून्य के दाईं ओर एक और शून्य जोड़ें:

हमें 10 प्राप्त हुआ। 10 को 2 से विभाजित करने पर, हमें 5 प्राप्त होता है। हम पाँच को अपने उत्तर के भिन्नात्मक भाग में लिखते हैं:

अब हम गणना पूरी करने के लिए अंतिम शेषफल निकालते हैं। 10 प्राप्त करने के लिए 5 को 2 से गुणा करें

हमें 0.5 का उत्तर मिला. अतः भिन्न 0.5 है

दशमलव अंश 0.5 का उपयोग करके आधा सेब भी लिखा जा सकता है। यदि हम इन दो हिस्सों (0.5 और 0.5) को जोड़ दें, तो हमें फिर से असली पूरा सेब मिलता है:

यह बात तब भी समझ में आ सकती है जब आप कल्पना करें कि 1 सेमी को दो भागों में कैसे विभाजित किया जाता है। यदि आप 1 सेंटीमीटर को 2 भागों में विभाजित करते हैं, तो आपको 0.5 सेमी मिलता है

उदाहरण 2.व्यंजक 4:5 का मान ज्ञात कीजिए

एक चार में कितनी पाँच होती हैं? बिल्कुल नहीं। हम भागफल में 0 लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

हम 0 को 5 से गुणा करते हैं, हमें 0 मिलता है। हम चार के नीचे एक शून्य लिखते हैं। इस शून्य को लाभांश से तुरंत घटा दें:

अब चारों को 5 भागों में बाँटना शुरू करते हैं। ऐसा करने के लिए, 4 के दाईं ओर एक शून्य जोड़ें और 40 को 5 से विभाजित करें, हमें 8 मिलता है। हम भागफल में आठ लिखते हैं।

हम 40 प्राप्त करने के लिए 8 को 5 से गुणा करके उदाहरण पूरा करते हैं:

हमें 0.8 का उत्तर मिला. इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति 4:5 का मान 0.8 है

उदाहरण 3.व्यंजक 5:125 का मान ज्ञात कीजिए

पाँच में 125 कितनी संख्याएँ हैं? बिल्कुल नहीं। हम भागफल में 0 लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

हम 0 को 5 से गुणा करते हैं, हमें 0 मिलता है। हम पाँच के नीचे 0 लिखते हैं। पांच में से तुरंत 0 घटाएं

अब पाँचों को 125 भागों में बाँटना शुरू करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम इन पाँच के दाईं ओर एक शून्य लिखते हैं:

50 को 125 से भाग दें। संख्या 50 में 125 कितनी संख्याएँ हैं? बिल्कुल नहीं। अतः भागफल में हम पुनः 0 लिखते हैं

0 को 125 से गुणा करें, हमें 0 मिलता है। इस शून्य को 50 के नीचे लिखें। तुरंत 50 में से 0 घटा दें

अब संख्या 50 को 125 भागों में विभाजित करें। ऐसा करने के लिए, हम 50 के दाईं ओर एक और शून्य लिखते हैं:

500 को 125 से विभाजित करें। संख्या 500 में 125 कितनी संख्याएँ हैं? संख्या 500 में चार संख्याएँ 125 हैं। चारों को भागफल में लिखें:

हम 500 प्राप्त करने के लिए 4 को 125 से गुणा करके उदाहरण पूरा करते हैं

हमें 0.04 का उत्तर मिला. इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति 5:125 का मान 0.04 है

बिना किसी शेषफल के संख्याओं को विभाजित करना

तो, चलिए भागफल में इकाई के बाद अल्पविराम लगाते हैं, जिससे यह संकेत मिलता है कि पूर्णांक भागों का विभाजन समाप्त हो गया है और हम भिन्नात्मक भाग की ओर आगे बढ़ रहे हैं:

आइए शेषफल 4 में शून्य जोड़ें

अब 40 को 5 से विभाजित करें, हमें 8 प्राप्त होता है। हम भागफल में आठ लिखते हैं:

40−40=0. हमें 0 बचा है. इसका मतलब है कि विभाजन पूरी तरह से पूरा हो गया है। 9 को 5 से विभाजित करने पर दशमलव भिन्न 1.8 प्राप्त होता है:

9: 5 = 1,8

उदाहरण 2. 84 को बिना किसी शेषफल के 5 से विभाजित करें

सबसे पहले, 84 को हमेशा की तरह शेषफल के साथ 5 से विभाजित करें:

हमें निजी तौर पर 16 मिल गए और 4 और बचे हैं। आइए अब इस शेषफल को 5 से विभाजित करें। भागफल में अल्पविराम लगाएं, और शेष 4 में 0 जोड़ें

अब हम 40 को 5 से विभाजित करते हैं, हमें 8 मिलता है। हम दशमलव बिंदु के बाद भागफल में आठ लिखते हैं:

और यह जाँच कर उदाहरण पूरा करें कि क्या अभी भी कुछ शेष है:

दशमलव को एक नियमित संख्या से विभाजित करना

जैसा कि हम जानते हैं, दशमलव भिन्न में एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है। दशमलव अंश को किसी नियमित संख्या से विभाजित करते समय, आपको सबसे पहले यह करना होगा:

• दशमलव भिन्न के पूरे भाग को इस संख्या से विभाजित करें;
• पूरे भाग को विभाजित करने के बाद, आपको तुरंत भागफल में अल्पविराम लगाना होगा और सामान्य विभाजन की तरह गणना जारी रखनी होगी।

उदाहरण के लिए, 4.8 को 2 से विभाजित करें

आइए इस उदाहरण को एक कोने में लिखें:

अब पूरे भाग को 2 से विभाजित करते हैं। चार को दो से विभाजित करने पर दो बराबर होता है। हम भागफल में दो लिखते हैं और तुरंत अल्पविराम लगाते हैं:

अब हम भागफल को भाजक से गुणा करते हैं और देखते हैं कि भाग से कोई शेषफल बचता है या नहीं:

4−4=0. शेषफल शून्य है. हम अभी तक शून्य नहीं लिखते हैं, क्योंकि समाधान पूरा नहीं हुआ है। इसके बाद, हम सामान्य विभाजन की तरह गणना करना जारी रखेंगे। 8 को हटाएं और इसे 2 से विभाजित करें

8: 2 = 4. हम भागफल में चार लिखते हैं और तुरंत इसे भाजक से गुणा करते हैं:

हमें 2.4 का उत्तर मिला. व्यंजक 4.8:2 का मान 2.4 है

उदाहरण 2.व्यंजक 8.43:3 का मान ज्ञात कीजिए

8 को 3 से विभाजित करने पर हमें 2 प्राप्त होता है। 2 के तुरंत बाद अल्पविराम लगाएं:

अब हम भागफल को भाजक 2 × 3 = 6 से गुणा करते हैं। हम आठ के नीचे छह लिखते हैं और शेषफल ज्ञात करते हैं:

24 को 3 से भाग देने पर 8 प्राप्त होता है। हम भागफल में आठ लिखते हैं। भाग का शेषफल ज्ञात करने के लिए इसे तुरंत भाजक से गुणा करें:

24−24=0. शेषफल शून्य है. हम अभी तक शून्य नहीं लिखते हैं। हम लाभांश से अंतिम तीन हटाते हैं और 3 से विभाजित करते हैं, हमें 1 मिलता है। इस उदाहरण को पूरा करने के लिए तुरंत 1 को 3 से गुणा करें:

हमें जो उत्तर मिला वह 2.81 था। इसका अर्थ है कि व्यंजक 8.43:3 का मान 2.81 है

दशमलव को दशमलव से विभाजित करना

किसी दशमलव भिन्न को दशमलव भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको लाभांश और भाजक में दशमलव बिंदु को दाईं ओर उतने ही अंकों से ले जाना होगा जितना कि भाजक में दशमलव बिंदु के बाद होता है, और फिर सामान्य संख्या से विभाजित करना होगा।

उदाहरण के लिए, 5.95 को 1.7 से विभाजित करें

आइए इस अभिव्यक्ति को एक कोने से लिखें

अब लाभांश और भाजक में हम दशमलव बिंदु को दाईं ओर उतने ही अंकों से ले जाते हैं जितने अंक भाजक में दशमलव बिंदु के बाद होते हैं। भाजक में दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है। इसका मतलब यह है कि लाभांश और भाजक में हमें दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाना होगा। हम हस्तांतरण:

दशमलव बिंदु को दाएँ एक अंक तक ले जाने के बाद, दशमलव भिन्न 5.95, भिन्न 59.5 बन गया। और दशमलव भिन्न 1.7, दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाने के बाद, सामान्य संख्या 17 में बदल गया। और हम पहले से ही जानते हैं कि दशमलव भिन्न को एक नियमित संख्या से कैसे विभाजित किया जाता है। आगे की गणना कठिन नहीं है:

विभाजन को आसान बनाने के लिए अल्पविराम को दाईं ओर ले जाया जाता है। इसकी अनुमति इसलिए है क्योंकि लाभांश और भाजक को एक ही संख्या से गुणा या विभाजित करने पर भागफल नहीं बदलता है। इसका मतलब क्या है?

यह विभाजन की दिलचस्प विशेषताओं में से एक है। इसे भागफल गुण कहा जाता है। अभिव्यक्ति 9: 3 = 3 पर विचार करें। यदि इस अभिव्यक्ति में लाभांश और भाजक को एक ही संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो भागफल 3 नहीं बदलेगा।

आइए लाभांश और भाजक को 2 से गुणा करें और देखें कि इससे क्या निकलता है:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, भागफल नहीं बदला है।

यही बात तब होती है जब हम लाभांश और भाजक में अल्पविराम लगाते हैं। पिछले उदाहरण में, जहां हमने 5.91 को 1.7 से विभाजित किया था, हमने लाभांश और भाजक में अल्पविराम को एक अंक दाईं ओर ले जाया था। दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के बाद, अंश 5.91 को अंश 59.1 में बदल दिया गया और अंश 1.7 को सामान्य संख्या 17 में बदल दिया गया।

दरअसल, इस प्रक्रिया के अंदर 10 से गुणा होता था। यह इस तरह दिखता था:

5.91 × 10 = 59.1

इसलिए, भाजक में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या यह निर्धारित करती है कि लाभांश और भाजक को किससे गुणा किया जाएगा। दूसरे शब्दों में, भाजक में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या यह निर्धारित करेगी कि लाभांश में कितने अंक और भाजक में दशमलव बिंदु दाईं ओर ले जाया जाएगा।

दशमलव को 10, 100, 1000 से विभाजित करना

दशमलव को 10, 100, या 1000 से विभाजित करना उसी तरह किया जाता है जैसे। उदाहरण के लिए, 2.1 को 10 से विभाजित करें। एक कोने का उपयोग करके इस उदाहरण को हल करें:

लेकिन एक दूसरा तरीका भी है. यह हल्का है. इस पद्धति का सार यह है कि लाभांश में अल्पविराम को उतने अंकों से बाईं ओर ले जाया जाता है जितने भाजक में शून्य होते हैं।

आइए पिछले उदाहरण को इस प्रकार हल करें। 2.1:10. हम भाजक को देखते हैं। हमें इसमें रुचि है कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि एक शून्य है। इसका मतलब है कि 2.1 के लाभांश में आपको दशमलव बिंदु को एक अंक से बाईं ओर ले जाना होगा। हम अल्पविराम को बाएँ एक अंक पर ले जाते हैं और देखते हैं कि कोई और अंक नहीं बचा है। इस स्थिति में, संख्या से पहले एक और शून्य जोड़ें। परिणामस्वरूप हमें 0.21 प्राप्त होता है

आइए 2.1 को 100 से विभाजित करने का प्रयास करें। 100 में दो शून्य हैं। इसका मतलब है कि लाभांश 2.1 में हमें अल्पविराम को दो अंकों से बाईं ओर ले जाना होगा:

2,1: 100 = 0,021

आइए 2.1 को 1000 से विभाजित करने का प्रयास करें। 1000 में तीन शून्य होते हैं। इसका मतलब है कि लाभांश 2.1 में आपको अल्पविराम को तीन अंकों से बाईं ओर ले जाना होगा:

2,1: 1000 = 0,0021

दशमलव को 0.1, 0.01 और 0.001 से विभाजित करना

दशमलव अंश को 0.1, 0.01, और 0.001 से विभाजित करना उसी तरह से किया जाता है। लाभांश और भाजक में, आपको दशमलव बिंदु को दाईं ओर उतने अंकों तक ले जाना होगा जितने अंक भाजक में दशमलव बिंदु के बाद हों।

उदाहरण के लिए, आइए 6.3 को 0.1 से विभाजित करें। सबसे पहले, आइए लाभांश और भाजक में अल्पविरामों को दाईं ओर उतने ही अंकों से ले जाएँ जितने अंकों की संख्या भाजक में दशमलव बिंदु के बाद होती है। भाजक में दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है। इसका मतलब है कि हम लाभांश और भाजक में अल्पविराम को एक अंक से दाईं ओर ले जाते हैं।

दशमलव बिंदु को दाएँ एक अंक पर ले जाने के बाद, दशमलव भिन्न 6.3 सामान्य संख्या 63 बन जाता है, और दशमलव भिन्न 0.1 दशमलव बिंदु को दाएँ एक अंक पर ले जाने के बाद एक में बदल जाता है। और 63 को 1 से विभाजित करना बहुत सरल है:

इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति 6.3: 0.1 का मान 63 है

लेकिन एक दूसरा तरीका भी है. यह हल्का है. इस पद्धति का सार यह है कि लाभांश में अल्पविराम को उतने अंकों से दाईं ओर ले जाया जाता है जितने भाजक में शून्य होते हैं।

आइए पिछले उदाहरण को इस प्रकार हल करें। 6.3: 0.1. आइए भाजक को देखें. हमें इसमें रुचि है कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि एक शून्य है। इसका मतलब है कि 6.3 के लाभांश में आपको दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाना होगा। अल्पविराम को दाएँ एक अंक पर ले जाएँ और 63 प्राप्त करें

आइए 6.3 को 0.01 से विभाजित करने का प्रयास करें। 0.01 के भाजक में दो शून्य होते हैं। इसका मतलब है कि लाभांश 6.3 में हमें दशमलव बिंदु को दो अंकों से दाईं ओर ले जाना होगा। लेकिन लाभांश में दशमलव बिंदु के बाद केवल एक अंक होता है। इस स्थिति में, आपको अंत में एक और शून्य जोड़ना होगा। परिणामस्वरूप हमें 630 मिलते हैं

आइए 6.3 को 0.001 से विभाजित करने का प्रयास करें। 0.001 के भाजक में तीन शून्य होते हैं। इसका मतलब है कि लाभांश 6.3 में हमें दशमलव बिंदु को तीन अंकों से दाईं ओर ले जाना होगा:

6,3: 0,001 = 6300

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