विस्तृत समाधान के साथ किसी फ़ंक्शन की सीमाओं की गणना। अनुक्रम और कार्य सीमा

सीमाएँ खोजने की समस्याओं को हल करना सीमाएँ खोजने की समस्याओं को हल करते समय, आपको कुछ सीमाएँ याद रखनी चाहिए ताकि हर बार उनकी पुनर्गणना न हो। इन ज्ञात सीमाओं को मिलाकर, हम § 4 में दर्शाए गए गुणों का उपयोग करके नई सीमाएं पाएंगे। सुविधा के लिए, हम सबसे अधिक बार सामने आने वाली सीमाएँ प्रस्तुत करते हैं: सीमाएँ 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo l उदाहरण 1. लिम खोजें (x*-6l:+ 8)। चूँकि बहु-पद X->2 पद फलन सतत है, तो lim (x*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 उदाहरण 2. खोजें लिम-जी. . सबसे पहले, हम हर की सीमा ज्ञात करते हैं: lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; यह X-Y1 शून्य के बराबर नहीं है, जिसका अर्थ है कि हम संपत्ति 4 § 4 लागू कर सकते हैं, फिर x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. की सीमा हर X निरपेक्ष मान, अर्थात lim " 1 X - * - - 1 x* + x उदाहरण 4. lim\-ll*" ढूंढें! 6-2 + 8 = 0, इसलिए एक्स संपत्ति 4 § 4 लागू नहीं है। लेकिन अंश की सीमा भी शून्य के बराबर है: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. इसलिए, अंश और हर की सीमा एक साथ शून्य के बराबर है। हालाँकि, संख्या 2 अंश और हर दोनों का मूल है, इसलिए भिन्न को अंतर x-2 (बेज़आउट के प्रमेय के अनुसार) से कम किया जा सकता है। वास्तव में, x*-5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" इसलिए, xr- - f- 6 g x-3 -1 1 उदाहरण 5. lim xn (n पूर्णांक, धनात्मक) ज्ञात कीजिए। X के साथ हमारे पास xn = X* X है। . X, n बार चूँकि प्रत्येक कारक बिना किसी सीमा के बढ़ता है, उत्पाद भी बिना सीमा के बढ़ता है, अर्थात lim xn = oo। x oo उदाहरण 6. lim xn(n पूर्णांक, धनात्मक) ज्ञात कीजिए। X -> - CO हमारे पास xn = x x... x है। चूँकि प्रत्येक कारक ऋणात्मक रहते हुए निरपेक्ष मूल्य में बढ़ता है, तो सम डिग्री के मामले में उत्पाद सकारात्मक रहते हुए असीमित रूप से बढ़ेगा, अर्थात लिम *एन = + ऊ (सम एन के लिए)। *-* -о विषम डिग्री के मामले में, उत्पाद का पूर्ण मूल्य बढ़ जाता है, लेकिन यह नकारात्मक रहता है, यानी lim xn = - oo (n विषम के लिए)। पी--00 उदाहरण 7. लिम खोजें। x x-*-co * यदि m>pu तो हम लिख सकते हैं: m = n + kt जहां k>0. इसलिए xm b lim -=- = lim -=-= lim x. यूपी Yn x - x> A x yu हम उदाहरण 6 पर आए। यदि ti uTL xm I lim lim lim t। X - O x -* yu A निम्नलिखित रूप: पावर फ़ंक्शन जितनी तेजी से बढ़ता है, घातांक उतना ही बड़ा होता है। $хв_Зхг + 7 उदाहरण 8. lim g L -г-= ज्ञात करें। इस उदाहरण में x-*® «J* "Г bХ -ох-о और अंश और हर बिना किसी सीमा के बढ़ते हैं। आइए अंश और हर दोनों को विभाजित करें x की उच्चतम शक्ति द्वारा हर, यानी xb पर, फिर 3 7_ उदाहरण 9. लीरा खोजें... परिवर्तन करते हुए, हम लीरा प्राप्त करते हैं... ^ = lim X CO + 3 7 3 चूँकि lim -5 = 0, lim - , = 0, तब हर की सीमा rad-*® X X-+-CD 10. लिम खोजें आइए हर की सीमा एस की गणना करें, यह याद रखें कि कॉस*-फ़ंक्शन निरंतर है: लीरा (2 + कॉस x) = 2 + आरामदायक = 2. फिर x->- S लिम (l-fsin*) उदाहरण 15. लिम खोजें*<*-e>2 और लिम ई "(एक्स"ए)\ पोलो एक्स-+ ± सीओ एक्स ± सीओ प्रेस (एल: - ए)2 = जेड; चूँकि (Λ;-a)2 हमेशा x के साथ गैर-नकारात्मक और बिना किसी सीमा के बढ़ता है, तो x - ±oo के लिए नया चर z-*oc है। इसलिए हमें qt £ प्राप्त होता है<*-«)* = X ->± 00 s=lim ег = oo (§5 पर नोट देखें)। g -*■ co इसी प्रकार lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q, चूँकि x ± oo g m - (x- a)z x ->±oo के रूप में बिना सीमा के घटता है (§ पर नोट देखें)

सीमाएं सभी गणित के विद्यार्थियों को बहुत परेशानी देती हैं। किसी सीमा को हल करने के लिए, कभी-कभी आपको कई तरकीबों का उपयोग करना पड़ता है और विभिन्न समाधान विधियों में से वही चुनना पड़ता है जो किसी विशेष उदाहरण के लिए उपयुक्त हो।

इस लेख में हम आपकी क्षमताओं की सीमाओं को समझने या नियंत्रण की सीमाओं को समझने में आपकी मदद नहीं करेंगे, बल्कि हम इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करेंगे: उच्च गणित में सीमाओं को कैसे समझें? समझ अनुभव के साथ आती है, इसलिए साथ ही हम स्पष्टीकरण के साथ सीमाओं को हल करने के कई विस्तृत उदाहरण देंगे।

गणित में सीमा की अवधारणा

पहला प्रश्न यह है कि यह सीमा क्या है और किसकी सीमा है? हम संख्यात्मक अनुक्रमों और कार्यों की सीमाओं के बारे में बात कर सकते हैं। हम किसी फ़ंक्शन की सीमा की अवधारणा में रुचि रखते हैं, क्योंकि छात्र अक्सर इसी का सामना करते हैं। लेकिन सबसे पहले, सीमा की सबसे सामान्य परिभाषा:

मान लीजिए कि कुछ परिवर्तनशील मान है। यदि परिवर्तन की प्रक्रिया में यह मान असीमित रूप से एक निश्चित संख्या तक पहुंचता है ए , वह ए – इस मान की सीमा.

एक निश्चित अंतराल में परिभाषित फ़ंक्शन के लिए f(x)=y ऐसी संख्या को सीमा कहा जाता है ए , जो फ़ंक्शन कब होता है एक्स , एक निश्चित बिंदु की ओर झुकाव ए . डॉट ए उस अंतराल से संबंधित है जिस पर फ़ंक्शन परिभाषित है।

यह बोझिल लगता है, लेकिन इसे बहुत सरलता से लिखा गया है:

लिम- अंग्रेज़ी से आप LIMIT- सीमा.

सीमा निर्धारित करने के लिए एक ज्यामितीय स्पष्टीकरण भी है, लेकिन यहां हम सिद्धांत में नहीं जाएंगे, क्योंकि हम मुद्दे के सैद्धांतिक पक्ष के बजाय व्यावहारिक पक्ष में अधिक रुचि रखते हैं। जब हम ऐसा कहते हैं एक्स किसी मान की ओर प्रवृत्त होता है, इसका मतलब यह है कि चर किसी संख्या का मान नहीं लेता है, बल्कि उसे असीम रूप से करीब लाता है।

आइए एक विशिष्ट उदाहरण दें. कार्य सीमा ज्ञात करना है।

इस उदाहरण को हल करने के लिए, हम मान को प्रतिस्थापित करते हैं एक्स=3 एक समारोह में. हम पाते हैं:

वैसे, यदि आप रुचि रखते हैं, तो इस विषय पर एक अलग लेख पढ़ें।

उदाहरणों में एक्स किसी भी मूल्य की ओर प्रवृत्त हो सकता है। यह कोई भी संख्या या अनंत हो सकता है। यहाँ एक उदाहरण है जब एक्स अनंत की ओर प्रवृत्त होता है:

सहज रूप से, हर में जितनी बड़ी संख्या होगी, फ़ंक्शन का मान उतना ही कम होगा। तो, असीमित विकास के साथ एक्स अर्थ 1/x घटेगा और शून्य के करीब पहुंचेगा।

जैसा कि आप देख सकते हैं, सीमा को हल करने के लिए, आपको केवल फ़ंक्शन में प्रयास करने के लिए मूल्य को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है एक्स . हालाँकि, यह सबसे सरल मामला है। अक्सर सीमा ज्ञात करना इतना स्पष्ट नहीं होता है। सीमाओं के भीतर प्रकार की अनिश्चितताएँ होती हैं 0/0 या अनंत/अनंत . ऐसे मामलों में क्या करें? युक्तियों का सहारा लें!

भीतर अनिश्चितताएं

अनंत/अनंत रूप की अनिश्चितता

चलो एक सीमा हो:

यदि हम फ़ंक्शन में अनंत को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं, तो हमें अंश और हर दोनों में अनंत मिलेगा। सामान्य तौर पर, यह कहने लायक है कि ऐसी अनिश्चितताओं को हल करने में कला का एक निश्चित तत्व है: आपको यह ध्यान देने की आवश्यकता है कि आप फ़ंक्शन को इस तरह से कैसे बदल सकते हैं कि अनिश्चितता दूर हो जाए। हमारे मामले में, हम अंश और हर को इससे विभाजित करते हैं एक्स वरिष्ठ डिग्री में. क्या हो जाएगा?

ऊपर चर्चा किए गए उदाहरण से, हम जानते हैं कि हर में x वाले पद शून्य की ओर प्रवृत्त होंगे। तब सीमा का समाधान है:

प्रकार की अनिश्चितताओं को हल करने के लिए अनंत/अनंतअंश और हर को इससे विभाजित करें एक्सउच्चतम स्तर तक.

वैसे! हमारे पाठकों के लिए अब 10% की छूट है

अन्य प्रकार की अनिश्चितता: 0/0

हमेशा की तरह, फ़ंक्शन में मानों को प्रतिस्थापित करना x=-1 देता है 0 अंश और हर में. थोड़ा और करीब से देखें और आप देखेंगे कि हमारे पास अंश में एक द्विघात समीकरण है। आइए जड़ें खोजें और लिखें:

आइए कम करें और प्राप्त करें:

इसलिए, यदि आप प्रकार की अनिश्चितता का सामना कर रहे हैं 0/0 - अंश और हर का गुणनखंड करें।

उदाहरणों को हल करना आपके लिए आसान बनाने के लिए, हम कुछ कार्यों की सीमाओं के साथ एक तालिका प्रस्तुत करते हैं:

L'Hopital का नियम भीतर

दोनों प्रकार की अनिश्चितता को खत्म करने का एक और शक्तिशाली तरीका। विधि का सार क्या है?

यदि सीमा में अनिश्चितता है, तो अंश और हर का व्युत्पन्न तब तक लें जब तक अनिश्चितता गायब न हो जाए।

एल'हॉपिटल का नियम इस तरह दिखता है:

महत्वपूर्ण बिंदु : वह सीमा जिसमें अंश और हर के स्थान पर अंश और हर के व्युत्पन्न मौजूद होने चाहिए।

और अब - एक वास्तविक उदाहरण:

वहाँ विशिष्ट अनिश्चितता है 0/0 . आइए अंश और हर के अवकलज लें:

वोइला, अनिश्चितता का समाधान जल्दी और खूबसूरती से किया जाता है।

हम आशा करते हैं कि आप इस जानकारी को व्यवहार में उपयोगी रूप से लागू करने में सक्षम होंगे और "उच्च गणित में सीमाओं को कैसे हल करें" प्रश्न का उत्तर पा सकेंगे। यदि आपको किसी बिंदु पर अनुक्रम की सीमा या फ़ंक्शन की सीमा की गणना करने की आवश्यकता है, और इस काम के लिए बिल्कुल समय नहीं है, तो त्वरित और विस्तृत समाधान के लिए एक पेशेवर छात्र सेवा से संपर्क करें।

इस विषय में हम ऊपर सूचीबद्ध अतार्किकता वाली सीमाओं के सभी तीन समूहों पर विचार करेंगे। आइए $\frac(0)(0)$ के रूप की अनिश्चितता वाली सीमाओं से शुरुआत करें।

अनिश्चितता प्रकटीकरण $\frac(0)(0)$.

इस प्रकार के मानक उदाहरणों के समाधान में आमतौर पर दो चरण होते हैं:

• हम उस अतार्किकता से छुटकारा पाते हैं जो तथाकथित "संयुग्मित" अभिव्यक्ति से गुणा करके अनिश्चितता का कारण बनती है;
• यदि आवश्यक हो, तो अंश या हर (या दोनों) में अभिव्यक्ति का गुणनखंड करें;
• हम अनिश्चितता पैदा करने वाले कारकों को कम करते हैं और सीमा के वांछित मूल्य की गणना करते हैं।

ऊपर प्रयुक्त शब्द "संयुग्म अभिव्यक्ति" को उदाहरणों में विस्तार से समझाया जाएगा। फिलहाल इस पर विस्तार से ध्यान देने का कोई कारण नहीं है. सामान्य तौर पर, आप संयुग्म अभिव्यक्ति का उपयोग किए बिना, दूसरे रास्ते पर जा सकते हैं। कभी-कभी एक अच्छी तरह से चुना गया प्रतिस्थापन अतार्किकता को समाप्त कर सकता है। मानक परीक्षणों में ऐसे उदाहरण दुर्लभ हैं, इसलिए हम प्रतिस्थापन के उपयोग के लिए केवल एक उदाहरण संख्या 6 पर विचार करेंगे (इस विषय का दूसरा भाग देखें)।

हमें कई सूत्रों की आवश्यकता होगी, जिन्हें मैं नीचे लिखूंगा:

\begin(समीकरण) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(समीकरण) \begin(समीकरण) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2) +ab+b^2) \end(समीकरण) \begin(समीकरण) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(समीकरण) \begin (समीकरण) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(समीकरण)

इसके अलावा, हम मानते हैं कि पाठक द्विघात समीकरणों को हल करने के सूत्र जानता है। यदि $x_1$ और $x_2$ द्विघात त्रिपद $ax^2+bx+c$ के मूल हैं, तो इसे निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके गुणनखंडित किया जा सकता है:

\begin(समीकरण) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(समीकरण)

सूत्र (1)-(5) मानक समस्याओं को हल करने के लिए काफी पर्याप्त हैं, जिन पर अब हम आगे बढ़ेंगे।

उदाहरण क्रमांक 1

$\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$ खोजें।

चूँकि $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ और $\lim_(x\) 3) (x-3)=3-3=0$, तो दी गई सीमा में हमारे पास $\frac(0)(0)$ के रूप की अनिश्चितता है। अंतर $\sqrt(7-x)-2$ हमें इस अनिश्चितता को प्रकट करने से रोकता है। ऐसी अतार्किकताओं से छुटकारा पाने के लिए, तथाकथित "संयुग्म अभिव्यक्ति" द्वारा गुणा का उपयोग किया जाता है। अब हम देखेंगे कि ऐसा गुणन कैसे कार्य करता है। $\sqrt(7-x)-2$ को $\sqrt(7-x)+2$ से गुणा करें:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

कोष्ठक खोलने के लिए, उल्लिखित सूत्र के दाईं ओर $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ प्रतिस्थापित करते हुए लागू करें:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि आप अंश को $\sqrt(7-x)+2$ से गुणा करते हैं, तो अंश में मूल (यानी, अतार्किकता) गायब हो जाएगा। यह अभिव्यक्ति $\sqrt(7-x)+2$ होगी संयुग्मअभिव्यक्ति के लिए $\sqrt(7-x)-2$. हालाँकि, हम अंश को केवल $\sqrt(7-x)+2$ से गुणा नहीं कर सकते, क्योंकि इससे भिन्न $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$ बदल जाएगा, जो है सीमा के अंतर्गत. आपको अंश और हर दोनों को एक ही समय में गुणा करना होगा:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

अब याद रखें कि $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ और कोष्ठक खोलें। और कोष्ठक खोलने और एक छोटे परिवर्तन $3-x=-(x-3)$ के बाद, हम भिन्न को $x-3$ से कम करते हैं:

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\to 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

अनिश्चितता $\frac(0)(0)$ गायब हो गई है। अब आप इस उदाहरण का उत्तर आसानी से प्राप्त कर सकते हैं:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

मैं ध्यान देता हूं कि संयुग्मी अभिव्यक्ति अपनी संरचना बदल सकती है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि उसे किस प्रकार की अतार्किकता को दूर करना चाहिए। उदाहरण संख्या 4 और संख्या 5 में (इस विषय का दूसरा भाग देखें) एक अलग प्रकार की संयुग्मी अभिव्यक्ति का उपयोग किया जाएगा।

उत्तर: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

उदाहरण क्रमांक 2

$\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ खोजें।

चूँकि $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ और $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, तो हम $\frac(0)(0)$ फॉर्म की अनिश्चितता से निपट रहे हैं। आइए इस भिन्न के हर में अतार्किकता से छुटकारा पाएं। ऐसा करने के लिए, हम भिन्न $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ के अंश और हर दोनों को इसमें जोड़ते हैं अभिव्यक्ति $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ हर से संयुग्मित:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0 )(0)\right|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

फिर से, जैसा कि उदाहरण संख्या 1 में है, आपको विस्तार करने के लिए कोष्ठक का उपयोग करने की आवश्यकता है। उल्लिखित सूत्र के दाईं ओर $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें हर के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त होती है:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ दाएँ)=\\ =\left(\sqrt(x^2+5)\right)^2-\left(\sqrt(7x^2-19)\right)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

आइए अपनी सीमा पर वापस लौटें:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x) ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

उदाहरण संख्या 1 में, संयुग्मी अभिव्यक्ति द्वारा गुणन के लगभग तुरंत बाद, अंश कम हो गया था। यहां, कटौती से पहले, आपको अभिव्यक्ति $3x^2-5x-2$ और $x^2-4$ का गुणनखंड करना होगा, और उसके बाद ही कटौती के लिए आगे बढ़ना होगा। अभिव्यक्ति $3x^2-5x-2$ का गुणनखंड करने के लिए आपको उपयोग करने की आवश्यकता है। सबसे पहले, आइए द्विघात समीकरण $3x^2-5x-2=0$ को हल करें:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(allined) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(संरेखित) $$

$x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ को . में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होगा:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\right)(x-2)=\left(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\right)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

अब अभिव्यक्ति $x^2-4$ को गुणनखंडित करने का समय आ गया है। आइए इसमें $a=x$, $b=2$ प्रतिस्थापित करते हुए इसका उपयोग करें:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

आइए प्राप्त परिणामों का उपयोग करें। चूँकि $x^2-4=(x-2)(x+2)$ और $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, तो:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2) -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x) ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

$x-2$ कोष्ठक से घटाने पर हमें प्राप्त होता है:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

सभी! अनिश्चितता गायब हो गई है. एक और कदम और हम उत्तर पर आते हैं:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2) ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

उत्तर: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4)$.

निम्नलिखित उदाहरण में, उस मामले पर विचार करें जहां भिन्न के अंश और हर दोनों में अपरिमेयताएं मौजूद होंगी।

उदाहरण संख्या 3

$\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) खोजें ))$.

चूँकि $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ और $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, तो हमारे पास $ के रूप की अनिश्चितता है \frac (0)(0)$. चूँकि इस मामले में मूल हर और अंश दोनों में मौजूद हैं, अनिश्चितता से छुटकारा पाने के लिए आपको एक साथ दो कोष्ठकों से गुणा करना होगा। सबसे पहले, अभिव्यक्ति $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ को अंश से संयुग्मित करें। और दूसरी बात, व्यंजक $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ को हर से संयुग्मित करें।

$$ \lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2) -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2) -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(संरेखित) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(संरेखित) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

अभिव्यक्ति $x^2-8x+15$ के लिए हमें मिलता है:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(allined) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5. \end(संरेखित)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

परिणामी विस्तार $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ और $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ को सीमा में प्रतिस्थापित करना विचाराधीन, होगा:

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2) -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\to 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\to 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

उत्तर: $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))=-6$.

अगले (दूसरे) भाग में, हम कुछ और उदाहरणों पर विचार करेंगे जिनमें संयुग्मी अभिव्यक्ति का रूप पिछली समस्याओं की तुलना में भिन्न होगा। याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि संयुग्म अभिव्यक्ति का उपयोग करने का उद्देश्य उस अतार्किकता से छुटकारा पाना है जो अनिश्चितता का कारण बनती है।

प्राथमिक कार्य और उनके ग्राफ़।

मुख्य प्राथमिक कार्य हैं: घात फलन, घातांक फलन, लघुगणक फलन, त्रिकोणमितीय फलन और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन, साथ ही एक बहुपद और एक परिमेय फलन, जो दो बहुपदों का अनुपात है।

प्राथमिक कार्यों में वे कार्य भी शामिल होते हैं जो बुनियादी चार अंकगणितीय संक्रियाओं को लागू करके और एक जटिल फ़ंक्शन बनाकर प्राथमिक कार्यों से प्राप्त किए जाते हैं।

प्राथमिक कार्यों के रेखांकन

	सरल रेखा- एक रैखिक फलन का ग्राफ y = कुल्हाड़ी + बी. फलन y, a > 0 के लिए नीरस रूप से बढ़ता है और a के लिए घटता है< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)
	परवलय- द्विघात त्रिपद फलन का ग्राफ y = ax 2 + bx + c. इसमें समरूपता का एक ऊर्ध्वाधर अक्ष है। यदि a > 0, तो न्यूनतम यदि a है< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स +सी =0
	अतिशयोक्ति- फ़ंक्शन का ग्राफ़. जब a > O यह I और III तिमाहियों में स्थित होता है, जब a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а >0) या y - - x(a< 0).
	घातांक प्रकार्य। प्रदर्शक(आधार ई के लिए घातीय कार्य) वाई = ई एक्स. (एक और वर्तनी y = क्स्प(x)). अनंतस्पर्शी भुज अक्ष है।
	लॉगरिदमिक फ़ंक्शन y = लॉग ए एक्स(ए > 0)
	y = सिनक्स. साइन लहर- आवर्त T = 2π के साथ आवर्त फलन

कार्य सीमा.

फ़ंक्शन y=f(x) में एक सीमा के रूप में एक संख्या A है क्योंकि x, a की ओर प्रवृत्त होता है, यदि किसी संख्या ε › 0 के लिए एक संख्या δ › 0 है जैसे कि | वाई - ए | ‹ ε यदि |एक्स - ए| ‹ δ,

या लिम वाई = ए

कार्य की निरंतरता.

फ़ंक्शन y=f(x) बिंदु x = a पर निरंतर है यदि lim f(x) = f(a), यानी।

किसी बिंदु x = a पर किसी फ़ंक्शन की सीमा किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के मान के बराबर होती है।

कार्यों की सीमा ज्ञात करना।

कार्यों की सीमा पर बुनियादी प्रमेय।

1. एक स्थिर मान की सीमा इस स्थिर मान के बराबर होती है:

2. बीजगणितीय योग की सीमा इन कार्यों की सीमाओं के बीजगणितीय योग के बराबर है:

लिम (एफ + जी - एच) = लिम एफ + लिम जी - लिम एच

3. कई कार्यों के उत्पाद की सीमा इन कार्यों की सीमाओं के उत्पाद के बराबर है:

लिम (एफ * जी* एच) = लिम एफ * लिम जी * लिम एच

4. दो कार्यों के भागफल की सीमा इन कार्यों की सीमाओं के भागफल के बराबर होती है यदि हर की सीमा 0 के बराबर नहीं है:

लिम------ = --------

पहली उल्लेखनीय सीमा: लिम -------- = 1

दूसरी उल्लेखनीय सीमा: लिम (1 + 1/x) x = e (e = 2, 718281..)

कार्यों की सीमाएँ ज्ञात करने के उदाहरण.

5.1. उदाहरण:

किसी भी सीमा में तीन भाग होते हैं:

1) सुप्रसिद्ध सीमा चिह्न।

2) सीमा चिह्न के अंतर्गत प्रविष्टियाँ। प्रविष्टि में लिखा है "X एक की ओर प्रवृत्त होता है।" अधिकतर यह x होता है, हालाँकि "x" के स्थान पर कोई अन्य चर भी हो सकता है। एक के स्थान पर बिल्कुल कोई भी संख्या हो सकती है, साथ ही अनंत 0 या .

3) इस मामले में, सीमा चिह्न के अंतर्गत कार्य।

रिकॉर्डिंग स्वयं इसे इस प्रकार पढ़ें: "x के रूप में किसी फ़ंक्शन की सीमा एकता की ओर प्रवृत्त होती है।"

एक बहुत ही महत्वपूर्ण प्रश्न - अभिव्यक्ति "x" का क्या अर्थ है? करने का प्रयासएक को"? अभिव्यक्ति "x" करने का प्रयास to one" को इस प्रकार समझा जाना चाहिए: "x" लगातार मान लेता है जो एकता के असीम रूप से करीब आते हैं और व्यावहारिक रूप से इसके साथ मेल खाते हैं।

उपरोक्त उदाहरण को कैसे हल करें? उपरोक्त के आधार पर, आपको बस सीमा चिह्न के तहत फ़ंक्शन में एक को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है:

तो पहला नियम : जब कोई सीमा दी जाती है, तो आप सबसे पहले नंबर को फ़ंक्शन में प्लग करते हैं।

5.2. अनंत के साथ उदाहरण:

आइए जानें कि यह क्या है? यह स्थिति तब होती है जब यह बिना किसी सीमा के बढ़ता है।

तो यदि , फिर फ़ंक्शन शून्य से अनन्त तक जाता है:

हमारे पहले नियम के अनुसार, हम फ़ंक्शन में "X" के स्थान पर स्थानापन्न करते हैं अनंत और हमें उत्तर मिलता है।

5.3. अनंत के साथ एक और उदाहरण:

फिर से हम अनंत तक बढ़ना शुरू करते हैं, और फ़ंक्शन के व्यवहार को देखते हैं।
निष्कर्ष: कार्य असीमित रूप से बढ़ता है

5.4. उदाहरणों की एक श्रृंखला:

निम्नलिखित उदाहरणों का स्वयं मानसिक रूप से विश्लेषण करने का प्रयास करें और सरलतम प्रकार की सीमाओं को हल करें:

, , , , , , , , ,

उपरोक्त से आपको क्या याद रखने और समझने की आवश्यकता है?

जब कोई सीमा दी जाती है, तो पहले बस संख्या को फ़ंक्शन में प्लग करें। साथ ही, आपको सरलतम सीमाओं को समझना और तुरंत हल करना चाहिए, जैसे कि , , वगैरह।

6. प्रकार की अनिश्चितता के साथ सीमाएँ और उन्हें हल करने की एक विधि.

अब हम सीमाओं के समूह पर विचार करेंगे, और फ़ंक्शन एक भिन्न है जिसके अंश और हर में बहुपद होते हैं।

6.1. उदाहरण:

सीमा की गणना करें

हमारे नियम के अनुसार, हम फलन में अनंत को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं। शीर्ष पर हमें क्या मिलता है? अनंत। और नीचे क्या होता है? साथ ही अनंत. इस प्रकार, हमारे पास वह है जिसे प्रजाति अनिश्चितता कहा जाता है। कोई सोच सकता है कि = 1, और उत्तर तैयार है, लेकिन सामान्य स्थिति में यह बिल्कुल भी मामला नहीं है, और आपको कुछ समाधान तकनीक लागू करने की आवश्यकता है, जिस पर अब हम विचार करेंगे।

इस प्रकार की सीमाएँ कैसे हल करें?

सबसे पहले हम अंश को देखते हैं और उच्चतम घात पाते हैं:

अंश में अग्रणी घात दो है।

अब हम हर को देखते हैं और इसे उच्चतम घात तक भी पाते हैं:

हर की उच्चतम डिग्री दो है।

फिर हम अंश और हर की उच्चतम घात चुनते हैं: इस उदाहरण में, वे समान हैं और दो के बराबर हैं।

तो, समाधान विधि इस प्रकार है: अनिश्चितता प्रकट करने के लिए आपको अंश और हर को इससे विभाजित करना होगा वरिष्ठ डिग्री में.

इस प्रकार, उत्तर 1 नहीं है।

उदाहरण

सीमा ज्ञात करें

पुनः अंश और हर में हम उच्चतम डिग्री में पाते हैं:

अंश में अधिकतम डिग्री: 3

हर में अधिकतम डिग्री: 4

चुनना महानतममान, इस मामले में चार.
हमारे एल्गोरिदम के अनुसार, अनिश्चितता प्रकट करने के लिए, हम अंश और हर को से विभाजित करते हैं।

उदाहरण

सीमा ज्ञात करें

अंश में "X" की अधिकतम डिग्री: 2

हर में "X" की अधिकतम डिग्री: 1 (इस प्रकार लिखा जा सकता है)
अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए अंश और हर को विभाजित करना आवश्यक है। अंतिम समाधान इस तरह दिख सकता है:

अंश और हर को इससे विभाजित करें

समाधान ऑनलाइन फ़ंक्शन सीमाएँ. किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन या फ़ंक्शनल अनुक्रम का सीमित मान ज्ञात करें, गणना करें अंतिमअनंत पर फ़ंक्शन का मान. किसी संख्या श्रृंखला के अभिसरण का निर्धारण और भी बहुत कुछ हमारी ऑनलाइन सेवा की बदौलत किया जा सकता है -। हम आपको त्वरित और सटीक रूप से ऑनलाइन फ़ंक्शन सीमाएं खोजने की अनुमति देते हैं। आप स्वयं फ़ंक्शन वेरिएबल और वह सीमा दर्ज करते हैं जिस तक इसकी प्रवृत्ति होती है, और हमारी सेवा सटीक और सरल उत्तर देते हुए आपके लिए सभी गणनाएं करती है। और के लिए ऑनलाइन सीमा ज्ञात करनाआप शाब्दिक अभिव्यक्ति में स्थिरांक वाले संख्यात्मक श्रृंखला और विश्लेषणात्मक कार्यों दोनों को दर्ज कर सकते हैं। इस मामले में, फ़ंक्शन की पाई गई सीमा में अभिव्यक्ति में निरंतर तर्क के रूप में ये स्थिरांक शामिल होंगे। हमारी सेवा खोजने की किसी भी जटिल समस्या का समाधान करती है ऑनलाइन सीमाएं, यह फ़ंक्शन और उस बिंदु को इंगित करने के लिए पर्याप्त है जिस पर गणना करना आवश्यक है फ़ंक्शन का सीमित मान. गिना जा रहा है ऑनलाइन सीमाएँ, आप प्राप्त परिणाम की जांच करते समय, उन्हें हल करने के लिए विभिन्न तरीकों और नियमों का उपयोग कर सकते हैं सीमाएँ ऑनलाइन हल करना www.site पर, जिससे कार्य सफलतापूर्वक पूरा होगा - आप अपनी गलतियों और लिपिकीय त्रुटियों से बचेंगे। या आप हम पर पूरा भरोसा कर सकते हैं और फ़ंक्शन की सीमा की स्वतंत्र गणना पर अतिरिक्त प्रयास और समय खर्च किए बिना, हमारे परिणाम का उपयोग अपने काम में कर सकते हैं। हम अनंत जैसे सीमा मानों के इनपुट की अनुमति देते हैं। किसी संख्या अनुक्रम के सामान्य सदस्य को दर्ज करना आवश्यक है और www.साइटमूल्य की गणना करेगा ऑनलाइन सीमित करेंप्लस या माइनस अनंत तक।

गणितीय विश्लेषण की बुनियादी अवधारणाओं में से एक है कार्य सीमाऔर अनुक्रम सीमाएक बिंदु पर और अनंत पर, सही ढंग से हल करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है सीमा. हमारी सेवा से यह कठिन नहीं होगा. एक निर्णय हो गया है ऑनलाइन सीमाएंकुछ ही सेकंड में, उत्तर सटीक और पूर्ण हो जाता है। गणितीय विश्लेषण का अध्ययन प्रारंभ होता है सीमा तक संक्रमण, सीमाउच्च गणित के लगभग सभी क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है, इसलिए हाथ में सर्वर रखना उपयोगी होता है ऑनलाइन सीमा समाधान, कौन सी साइट है.