घातांक, नियम, उदाहरण. डिग्री और उसके गुण

यह थोड़ा गणित करने का समय है। क्या आपको अब भी याद है कि दो को दो से गुणा करने पर कितना होता है?

कोई भूला होगा तो चार होंगे. ऐसा लगता है कि हर कोई गुणन तालिका को याद रखता है और जानता है, हालाँकि, मैंने यांडेक्स को "गुणा तालिका" या यहां तक ​​कि "गुणा तालिका डाउनलोड करें" (!) जैसे बड़ी संख्या में अनुरोधों की खोज की। इस श्रेणी के उपयोगकर्ताओं के लिए, साथ ही अधिक उन्नत लोगों के लिए जो पहले से ही वर्गों और शक्तियों में रुचि रखते हैं, मैं इन सभी तालिकाओं को पोस्ट कर रहा हूं। आप अपने स्वास्थ्य के लिए भी डाउनलोड कर सकते हैं! इसलिए:

पहाड़ा

(1 से 20 तक पूर्णांक)

वर्गों की तालिका

(1 से 100 तक पूर्णांक)

डिग्री की तालिका

(1 से 10 तक पूर्णांक)

1 शक्ति के लिए:

2 शक्ति के लिए:

3 शक्ति के लिए:

4 शक्ति के लिए:

5 से शक्ति:

6 शक्ति के लिए:

7 शक्ति के लिए:

7 10 = 282475249

8 शक्ति के लिए:

8 10 = 1073741824

9 शक्ति के लिए:

9 10 = 3486784401

10 से घात तक:

10 8 = 100000000

10 9 = 1000000000

संख्या और डिग्री दर्ज करें, फिर = दबाएँ।

डिग्री की तालिका

डिग्री के गुण - 2 भाग

बीजगणित में मुख्य डिग्रियों की एक तालिका संक्षिप्त रूप में (चित्र, मुद्रण के लिए सुविधाजनक), संख्या के शीर्ष पर, डिग्री के किनारे पर।

किसी संख्या की शक्ति के बारे में बातचीत जारी रखते हुए, यह पता लगाना तर्कसंगत है कि शक्ति का मूल्य कैसे ज्ञात किया जाए। इस प्रक्रिया को कहा जाता है घातांक. इस लेख में हम अध्ययन करेंगे कि घातांकीकरण कैसे किया जाता है, जबकि हम सभी संभावित घातांकों - प्राकृतिक, पूर्णांक, तर्कसंगत और अपरिमेय - पर बात करेंगे। और परंपरा के अनुसार, हम विभिन्न शक्तियों की संख्या बढ़ाने के उदाहरणों के समाधानों पर विस्तार से विचार करेंगे।

पेज नेविगेशन.

"घातांक" का क्या अर्थ है?

आइए यह समझाकर आरंभ करें कि घातांक किसे कहते हैं। यहाँ प्रासंगिक परिभाषा है.

परिभाषा।

घातांक- यह किसी संख्या की शक्ति का मान ज्ञात करना है।

इस प्रकार, घातांक r के साथ किसी संख्या a की घात का मान ज्ञात करना और संख्या a की घात r तक बढ़ाना एक ही बात है। उदाहरण के लिए, यदि कार्य "शक्ति (0.5) 5 के मान की गणना करना" है, तो इसे निम्नानुसार पुन: तैयार किया जा सकता है: "संख्या 0.5 को शक्ति 5 तक बढ़ाएँ।"

अब आप सीधे उन नियमों पर जा सकते हैं जिनके द्वारा घातांक निष्पादित किया जाता है।

किसी संख्या को प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाना

व्यवहार में, समानता पर आधारित आमतौर पर फॉर्म में लागू किया जाता है। अर्थात्, जब किसी संख्या a को भिन्नात्मक घात m/n तक बढ़ाया जाता है, तो पहले संख्या a का nवाँ मूल लिया जाता है, जिसके बाद परिणामी परिणाम को पूर्णांक घात m तक बढ़ाया जाता है।

आइए भिन्नात्मक घात तक बढ़ाने के उदाहरणों के समाधान देखें।

उदाहरण।

डिग्री के मूल्य की गणना करें.

समाधान।

हम दो समाधान दिखाएंगे.

पहला तरीका. भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री की परिभाषा के अनुसार। हम मूल चिह्न के अंतर्गत डिग्री के मान की गणना करते हैं, और फिर घनमूल निकालते हैं: .

दूसरा तरीका. भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री की परिभाषा और जड़ों के गुणों के आधार पर, निम्नलिखित समानताएँ सत्य हैं: . अब हम जड़ निकालते हैं , अंततः, हम इसे एक पूर्णांक घात तक बढ़ाते हैं .

जाहिर है, भिन्नात्मक घात तक बढ़ाने के प्राप्त परिणाम मेल खाते हैं।

उत्तर:

ध्यान दें कि भिन्नात्मक घातांक को दशमलव भिन्न या मिश्रित संख्या के रूप में लिखा जा सकता है, इन मामलों में इसे संबंधित साधारण भिन्न से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, और फिर एक घात तक बढ़ाया जाना चाहिए।

उदाहरण।

(44.89) 2.5 की गणना करें।

समाधान।

आइए घातांक को एक साधारण भिन्न के रूप में लिखें (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें): . अब हम भिन्नात्मक घात तक वृद्धि करते हैं:

उत्तर:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

यह भी कहा जाना चाहिए कि संख्याओं को तर्कसंगत शक्तियों तक बढ़ाना एक श्रम-गहन प्रक्रिया है (विशेषकर जब भिन्नात्मक घातांक के अंश और हर में पर्याप्त बड़ी संख्याएँ होती हैं), जो आमतौर पर कंप्यूटर प्रौद्योगिकी का उपयोग करके किया जाता है।

इस बिंदु को समाप्त करने के लिए, आइए हम संख्या शून्य को भिन्नात्मक घात तक बढ़ाने पर ध्यान दें। हमने प्रपत्र की शून्य की भिन्नात्मक घात को निम्नलिखित अर्थ दिया: जब हमारे पास है , और शून्य से m/n शक्ति परिभाषित नहीं है। तो, भिन्नात्मक सकारात्मक शक्ति के लिए शून्य शून्य है, उदाहरण के लिए, . और भिन्नात्मक नकारात्मक घात में शून्य का कोई मतलब नहीं है, उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 0 -4.3 का कोई मतलब नहीं है।

एक अतार्किक शक्ति की ओर बढ़ना

कभी-कभी किसी अपरिमेय घातांक से किसी संख्या की घात का मान ज्ञात करना आवश्यक हो जाता है। इस मामले में, व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए आमतौर पर एक निश्चित चिह्न के लिए सटीक डिग्री का मान प्राप्त करना पर्याप्त होता है। आइए हम तुरंत ध्यान दें कि व्यवहार में इस मान की गणना इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर का उपयोग करके की जाती है, क्योंकि इसे मैन्युअल रूप से एक अपरिमेय शक्ति तक बढ़ाने के लिए बड़ी संख्या में बोझिल गणनाओं की आवश्यकता होती है। लेकिन हम अभी भी सामान्य शब्दों में कार्यों के सार का वर्णन करेंगे।

एक अपरिमेय घातांक के साथ किसी संख्या की घात का अनुमानित मान प्राप्त करने के लिए, घातांक का कुछ दशमलव सन्निकटन लिया जाता है और घात के मान की गणना की जाती है। यह मान एक अपरिमेय घातांक वाली संख्या a की घात का अनुमानित मान है। प्रारंभ में किसी संख्या का दशमलव अनुमान जितना अधिक सटीक लिया जाएगा, अंत में डिग्री का मान उतना ही अधिक सटीक प्राप्त होगा।

उदाहरण के तौर पर, आइए 2 1.174367... की शक्ति के अनुमानित मूल्य की गणना करें। आइए अपरिमेय घातांक का निम्नलिखित दशमलव सन्निकटन लें:। अब हम 2 को तर्कसंगत घात 1.17 तक बढ़ाते हैं (हमने पिछले पैराग्राफ में इस प्रक्रिया का सार बताया है), हमें 2 1.17 ≈2.250116 मिलता है। इस प्रकार, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . उदाहरण के लिए, यदि हम अपरिमेय घातांक का अधिक सटीक दशमलव सन्निकटन लेते हैं, तो हमें मूल घातांक का अधिक सटीक मान प्राप्त होता है: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

ग्रंथ सूची.

• विलेनकिन एन.वाई.ए., झोखोव वी.आई., चेस्नोकोव ए.एस., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. 5वीं कक्षा के लिए गणित की पाठ्यपुस्तक। शिक्षण संस्थानों।
• माकार्यचेव यू.एन., मिंड्युक एन.जी., नेशकोव के.आई., सुवोरोवा एस.बी. बीजगणित: 7वीं कक्षा के लिए पाठ्यपुस्तक। शिक्षण संस्थानों।
• माकार्यचेव यू.एन., मिंड्युक एन.जी., नेशकोव के.आई., सुवोरोवा एस.बी. बीजगणित: 8वीं कक्षा के लिए पाठ्यपुस्तक। शिक्षण संस्थानों।
• माकार्यचेव यू.एन., मिंड्युक एन.जी., नेशकोव के.आई., सुवोरोवा एस.बी. बीजगणित: 9वीं कक्षा के लिए पाठ्यपुस्तक। शिक्षण संस्थानों।
• कोलमोगोरोव ए.एन., अब्रामोव ए.एम., डुडनित्सिन यू.पी. और अन्य। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: सामान्य शिक्षा संस्थानों के ग्रेड 10 - 11 के लिए पाठ्यपुस्तक।
• गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी. गणित (तकनीकी स्कूलों में प्रवेश करने वालों के लिए एक मैनुअल)।

डिग्री की आवश्यकता क्यों है?

आपको उनकी आवश्यकता कहां होगी?

आपको उनका अध्ययन करने के लिए समय क्यों निकालना चाहिए?

डिग्रियों के बारे में सब कुछ जानने के लिए इस लेख को पढ़ें।

और, निःसंदेह, डिग्रियों का ज्ञान आपको एकीकृत राज्य परीक्षा को सफलतापूर्वक उत्तीर्ण करने के करीब लाएगा।

और अपने सपनों के विश्वविद्यालय में प्रवेश के लिए!

चलो चले चलो चले!)

प्रथम स्तर

घातांक जोड़, घटाव, गुणा या भाग की तरह ही एक गणितीय संक्रिया है।

अब मैं बहुत ही सरल उदाहरणों का उपयोग करके मानवीय भाषा में सब कुछ समझाऊंगा। ध्यान से। उदाहरण प्राथमिक हैं, लेकिन महत्वपूर्ण बातें समझाते हैं।

आइए जोड़ से शुरू करें।

यहां समझाने के लिए कुछ भी नहीं है. आप पहले से ही सब कुछ जानते हैं: हम आठ हैं। हर किसी के पास कोला की दो बोतलें हैं। वहां कितना कोला है? यह सही है - 16 बोतलें।

अब गुणा.

कोला के साथ एक ही उदाहरण को अलग तरीके से लिखा जा सकता है:। गणितज्ञ चालाक और आलसी लोग होते हैं। वे पहले कुछ पैटर्न नोटिस करते हैं, और फिर उन्हें तेजी से "गिनने" का तरीका ढूंढते हैं। हमारे मामले में, उन्होंने देखा कि आठ लोगों में से प्रत्येक के पास समान संख्या में कोला की बोतलें थीं और वे गुणन नामक एक तकनीक लेकर आए। सहमत हूँ, इसे इससे भी आसान और तेज़ माना जाता है।

इसलिए, तेज़, आसान और त्रुटियों के बिना गिनती करने के लिए, आपको बस याद रखने की ज़रूरत है पहाड़ा. बेशक, आप हर काम धीमी गति से, अधिक कठिन और गलतियों के साथ कर सकते हैं! लेकिन…

यहाँ गुणन सारणी है. दोहराना।

और एक और, अधिक सुंदर:

आलसी गणितज्ञों ने गिनती की और कौन-सी चतुर चालें ईजाद की हैं? सही - किसी संख्या को घात तक बढ़ाना.

किसी संख्या को घात तक बढ़ाना

यदि आपको किसी संख्या को उसी से पाँच गुना गुणा करने की आवश्यकता है, तो गणितज्ञों का कहना है कि आपको उस संख्या को पाँचवीं घात तक बढ़ाने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, । गणितज्ञों को याद है कि दो से पाँचवीं घात है... और वे ऐसी समस्याओं को अपने दिमाग में हल करते हैं - तेज़, आसान और बिना गलतियों के।

आपको बस इतना करना है याद रखें कि संख्याओं की शक्तियों की तालिका में रंग में क्या हाइलाइट किया गया है. मेरा विश्वास करें, इससे आपका जीवन बहुत आसान हो जाएगा।

वैसे, इसे दूसरी डिग्री क्यों कहा जाता है? वर्गसंख्याएँ, और तीसरा - घनक्षेत्र? इसका मतलब क्या है? बहुत अच्छा प्रश्न. अब आपके पास वर्ग और घन दोनों होंगे।

वास्तविक जीवन का उदाहरण #1

आइए वर्ग या संख्या की दूसरी घात से प्रारंभ करें।

एक मीटर गुणा एक मीटर मापने वाले एक वर्गाकार पूल की कल्पना करें। पूल आपके दचा में है। गर्मी है और मैं सचमुच तैरना चाहता हूँ। लेकिन... पूल में कोई पेंदी नहीं है! आपको पूल के निचले हिस्से को टाइल्स से ढंकना होगा। आपको कितनी टाइल्स की आवश्यकता है? इसे निर्धारित करने के लिए, आपको पूल के निचले क्षेत्र को जानना होगा।

आप बस अपनी उंगली दिखाकर गणना कर सकते हैं कि पूल के तल में मीटर दर मीटर घन हैं। यदि आपके पास एक मीटर गुणा एक मीटर की टाइलें हैं, तो आपको टुकड़ों की आवश्यकता होगी। यह आसान है... लेकिन आपने ऐसी टाइलें कहाँ देखी हैं? टाइल संभवतः सेमी दर सेमी होगी। और फिर आपको "अपनी उंगली से गिनकर" यातना दी जाएगी। फिर आपको गुणा करना होगा. तो, पूल के तल के एक तरफ हम टाइलें (टुकड़े) फिट करेंगे और दूसरी तरफ भी, टाइलें। से गुणा करें और आपको टाइलें () मिलेंगी।

क्या आपने देखा कि पूल के तल का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए हमने उसी संख्या को उसी से गुणा किया है? इसका मतलब क्या है? चूँकि हम एक ही संख्या को गुणा कर रहे हैं, हम "घातांक" तकनीक का उपयोग कर सकते हैं। (बेशक, जब आपके पास केवल दो संख्याएँ हों, तब भी आपको उन्हें गुणा करने या उन्हें एक घात तक बढ़ाने की आवश्यकता होती है। लेकिन यदि आपके पास उनमें से बहुत सारे हैं, तो उन्हें एक घात तक बढ़ाना बहुत आसान है और गणना में त्रुटियाँ भी कम होती हैं। . एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए, यह बहुत महत्वपूर्ण है)।
तो, तीस से दूसरी घात () होगी। या हम कह सकते हैं कि तीस वर्ग होगा. दूसरे शब्दों में, किसी संख्या की दूसरी घात को हमेशा एक वर्ग के रूप में दर्शाया जा सकता है। और इसके विपरीत, यदि आप एक वर्ग देखते हैं, तो यह हमेशा किसी संख्या की दूसरी शक्ति है। वर्ग किसी संख्या की दूसरी घात का प्रतिबिम्ब है।

वास्तविक जीवन का उदाहरण #2

यहां आपके लिए एक कार्य है: संख्या के वर्ग का उपयोग करके गिनें कि शतरंज की बिसात पर कितने वर्ग हैं... कोशिकाओं के एक तरफ और दूसरी तरफ भी। उनकी संख्या की गणना करने के लिए, आपको आठ को आठ से गुणा करना होगा या... यदि आप देखते हैं कि शतरंज की बिसात एक भुजा वाला एक वर्ग है, तो आप आठ का वर्ग कर सकते हैं। आपको कोशिकाएं मिलेंगी. () इसलिए?

वास्तविक जीवन का उदाहरण #3

अब किसी संख्या का घन या तीसरी शक्ति। वही तालाब. लेकिन अब आपको यह पता लगाना होगा कि इस कुंड में कितना पानी डालना होगा। आपको वॉल्यूम की गणना करने की आवश्यकता है. (वैसे, आयतन और तरल पदार्थ घन मीटर में मापे जाते हैं। अप्रत्याशित, सही?) एक पूल बनाएं: तल का आकार एक मीटर और गहराई एक मीटर है, और गिनने का प्रयास करें कि एक मीटर को एक मीटर से मापने पर कितने घन होंगे अपने पूल में फिट हो जाओ.

बस अपनी उंगली उठायें और गिनें! एक, दो, तीन, चार... बाईस, तेईस... आपको कितने मिले? खोया नहीं? क्या अपनी उंगली से गिनना मुश्किल है? ताकि! गणितज्ञों से एक उदाहरण लीजिए। वे आलसी हैं, इसलिए उन्होंने देखा कि पूल की मात्रा की गणना करने के लिए, आपको इसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई को एक दूसरे से गुणा करना होगा। हमारे मामले में, पूल का आयतन घनों के बराबर होगा... आसान है, है ना?

अब कल्पना कीजिए कि अगर गणितज्ञों ने इसे भी सरल बना दिया तो वे कितने आलसी और चालाक गणितज्ञ होंगे। हमने हर चीज़ को एक कार्रवाई तक सीमित कर दिया। उन्होंने देखा कि लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई बराबर हैं और वही संख्या अपने आप गुणा हो जाती है... इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि आप डिग्री का लाभ उठा सकते हैं। तो, जो आपने एक बार अपनी उंगली से गिना था, वे एक ही क्रिया में करते हैं: तीन घन बराबर हैं। इसे इस प्रकार लिखा गया है: .

बस इतना ही बाकी है डिग्रियों की तालिका याद रखें. बशर्ते, आप गणितज्ञों की तरह आलसी और चालाक न हों। यदि आपको कड़ी मेहनत करना और गलतियाँ करना पसंद है, तो आप अपनी उंगली से गिनना जारी रख सकते हैं।

खैर, अंततः आपको यह समझाने के लिए कि डिग्रियों का आविष्कार नौकरी छोड़ने वालों और चालाक लोगों ने अपने जीवन की समस्याओं को हल करने के लिए किया था, न कि आपके लिए समस्याएं पैदा करने के लिए, यहां जीवन से कुछ और उदाहरण दिए गए हैं।

वास्तविक जीवन का उदाहरण #4

आपके पास दस लाख रूबल हैं। प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में, आपके द्वारा कमाए गए प्रत्येक मिलियन के बदले में आप एक और मिलियन कमाते हैं। अर्थात्, प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में आपके पास प्रत्येक मिलियन दोगुना हो जाता है। वर्षों में आपके पास कितना पैसा होगा? यदि आप अभी बैठे हैं और "अपनी उंगली से गिन रहे हैं", तो आप बहुत मेहनती व्यक्ति हैं और... बेवकूफ हैं। लेकिन सबसे अधिक संभावना है कि आप कुछ सेकंड में उत्तर दे देंगे, क्योंकि आप स्मार्ट हैं! तो, पहले वर्ष में - दो को दो से गुणा किया गया... दूसरे वर्ष में - क्या हुआ, दो और से, तीसरे वर्ष में... रुकें! आपने देखा कि संख्या अपने आप से गुणा हो जाती है। तो दो से पाँचवीं घात एक मिलियन है! अब कल्पना करें कि आपके पास एक प्रतियोगिता है और जो सबसे तेज़ गिनती कर सकता है उसे ये लाखों मिलेंगे... यह संख्याओं की शक्तियों को याद रखने लायक है, क्या आपको नहीं लगता?

वास्तविक जीवन का उदाहरण #5

आपके पास दस लाख हैं. प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में, प्रत्येक दस लाख की कमाई पर आप दो और कमाते हैं। बढ़िया है ना? प्रत्येक मिलियन तीन गुना है। एक साल में आपके पास कितना पैसा होगा? आइये गिनते हैं। पहला वर्ष - गुणा करें, फिर परिणाम दूसरे से... यह पहले से ही उबाऊ है, क्योंकि आप पहले ही सब कुछ समझ चुके हैं: तीन को अपने आप से गुणा किया जाता है। तो चौथी शक्ति के लिए यह एक मिलियन के बराबर है। आपको बस यह याद रखना है कि तीन से चौथी शक्ति या है।

अब आप जानते हैं कि किसी संख्या को घात तक बढ़ाकर आप अपना जीवन बहुत आसान बना लेंगे। आइए आगे देखें कि आप डिग्रियों के साथ क्या कर सकते हैं और आपको उनके बारे में क्या जानने की आवश्यकता है।

नियम और अवधारणाएँ...ताकि भ्रमित न हों

तो, पहले, आइए अवधारणाओं को परिभाषित करें। आप क्या सोचते हैं, प्रतिपादक क्या है? यह बहुत सरल है - यह वह संख्या है जो संख्या की शक्ति के "शीर्ष पर" है। वैज्ञानिक नहीं, लेकिन स्पष्ट और याद रखने में आसान...

खैर, साथ ही, क्या ऐसा डिग्री आधार? और भी सरल - यह वह संख्या है जो नीचे, आधार पर स्थित है।

यहाँ अच्छे उपाय के लिए एक चित्र है।

खैर, सामान्य शब्दों में, सामान्यीकरण करने और बेहतर ढंग से याद रखने के लिए... आधार "" और एक घातांक "" वाली डिग्री को "डिग्री तक" के रूप में पढ़ा जाता है और इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

प्राकृतिक घातांक के साथ किसी संख्या की शक्ति

आप शायद पहले ही अनुमान लगा चुके हैं: क्योंकि घातांक एक प्राकृतिक संख्या है। हाँ, लेकिन यह क्या है? प्राकृतिक संख्या? प्राथमिक! प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग वस्तुओं को सूचीबद्ध करते समय गिनती में किया जाता है: एक, दो, तीन... जब हम वस्तुओं को गिनते हैं, तो हम यह नहीं कहते हैं: "माइनस फाइव," "माइनस छह," "माइनस सात।" हम यह भी नहीं कहते: "एक तिहाई", या "शून्य दशमलव पाँच"। ये प्राकृतिक संख्याएँ नहीं हैं. आपके अनुसार ये कौन सी संख्याएँ हैं?

"माइनस फाइव", "माइनस सिक्स", "माइनस सात" जैसी संख्याएँ संदर्भित हैं पूर्ण संख्याएं।सामान्य तौर पर, पूर्णांकों में सभी प्राकृतिक संख्याएँ, प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ (अर्थात् ऋण चिह्न के साथ ली गई) और संख्याएँ शामिल होती हैं। शून्य को समझना आसान है - यह तब होता है जब कुछ भी नहीं होता है। ऋणात्मक ("ऋण") संख्याओं का क्या अर्थ है? लेकिन उनका आविष्कार मुख्य रूप से ऋणों को इंगित करने के लिए किया गया था: यदि आपके फोन पर रूबल में शेष राशि है, तो इसका मतलब है कि आप पर ऑपरेटर रूबल का बकाया है।

सभी भिन्न परिमेय संख्याएँ हैं। वे कैसे उत्पन्न हुए, क्या आप सोचते हैं? बहुत सरल। कई हजार साल पहले, हमारे पूर्वजों को पता चला कि उनके पास लंबाई, वजन, क्षेत्रफल आदि मापने के लिए प्राकृतिक संख्याओं का अभाव है। और वे लेकर आये भिन्नात्मक संख्याएं... दिलचस्प है, है ना?

अपरिमेय संख्याएँ भी हैं। ये संख्याएँ क्या हैं? संक्षेप में, यह एक अनंत दशमलव अंश है। उदाहरण के लिए, यदि आप किसी वृत्त की परिधि को उसके व्यास से विभाजित करते हैं, तो आपको एक अपरिमेय संख्या प्राप्त होती है।

सारांश:

आइए हम एक डिग्री की अवधारणा को परिभाषित करें जिसका घातांक एक प्राकृतिक संख्या है (यानी, पूर्णांक और सकारात्मक)।

1. पहली घात की कोई भी संख्या स्वयं के बराबर होती है:
2. किसी संख्या का वर्ग करने का अर्थ है उसे स्वयं से गुणा करना:
3. किसी संख्या को घन करने का अर्थ है उसे अपने आप से तीन बार गुणा करना:

परिभाषा।किसी संख्या को प्राकृतिक घात तक बढ़ाने का अर्थ है उस संख्या को उसी संख्या से गुणा करना:
.

डिग्री के गुण

ये संपत्तियां कहां से आईं? मैं तुम्हें अभी दिखाता हूँ.

आइए देखें: यह क्या है और ?

ए-प्राथमिकता:

कुल कितने गुणक हैं?

यह बहुत सरल है: हमने कारकों में गुणक जोड़े, और परिणाम गुणक है।

लेकिन परिभाषा के अनुसार, यह एक घातांक वाली संख्या की शक्ति है, जो है:, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

उदाहरण: अभिव्यक्ति को सरल बनाएं.

समाधान:

उदाहरण:अभिव्यक्ति को सरल कीजिये.

समाधान:हमारे नियम में यह ध्यान रखना जरूरी है अनिवार्य रूप सेवही कारण होंगे!
इसलिए, हम शक्तियों को आधार के साथ जोड़ते हैं, लेकिन यह एक अलग कारक बना रहता है:

केवल शक्तियों के उत्पाद के लिए!

आप किसी भी हालत में ऐसा नहीं लिख सकते.

2. बस इतना ही किसी संख्या की वां घात

पिछली संपत्ति की तरह, आइए डिग्री की परिभाषा की ओर मुड़ें:

इससे पता चलता है कि व्यंजक को स्वयं से कई गुना गुणा किया जाता है, अर्थात परिभाषा के अनुसार, यह संख्या की वीं घात है:

संक्षेप में, इसे "संकेतक को कोष्ठक से बाहर निकालना" कहा जा सकता है। लेकिन आप इसे समग्र रूप से कभी नहीं कर सकते:

आइए संक्षिप्त गुणन सूत्र याद रखें: हम कितनी बार लिखना चाहते थे?

लेकिन आख़िरकार यह सच नहीं है।

नकारात्मक आधार वाली शक्ति

इस बिंदु तक, हमने केवल इस बात पर चर्चा की है कि प्रतिपादक क्या होना चाहिए।

लेकिन आधार क्या होना चाहिए?

की शक्तियों में प्राकृतिक सूचकआधार हो सकता है कोई संख्या. दरअसल, हम किसी भी संख्या को एक-दूसरे से गुणा कर सकते हैं, चाहे वे सकारात्मक, नकारात्मक या सम हों।

आइए विचार करें कि किन चिह्नों ("" या "") में धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं की घातें होंगी?

उदाहरण के लिए, संख्या धनात्मक है या ऋणात्मक? ए? ? पहले वाले से, सब कुछ स्पष्ट है: चाहे हम कितनी भी सकारात्मक संख्याओं को एक-दूसरे से गुणा करें, परिणाम सकारात्मक ही होगा।

लेकिन नकारात्मक बातें थोड़ी अधिक दिलचस्प हैं। हमें छठी कक्षा का सरल नियम याद है: "माइनस के लिए माइनस एक प्लस देता है।" वह है, या. लेकिन अगर हम इसे गुणा करें, तो यह काम करता है।

स्वयं निर्धारित करें कि निम्नलिखित भावों में कौन सा चिन्ह होगा:

क्या आप संभाल पाओगे?

यहाँ उत्तर हैं: पहले चार उदाहरणों में, मुझे आशा है कि सब कुछ स्पष्ट है? हम बस आधार और घातांक को देखते हैं और उचित नियम लागू करते हैं।

उदाहरण 5 में) सब कुछ उतना डरावना नहीं है जितना लगता है: आखिरकार, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आधार किसके बराबर है - डिग्री सम है, जिसका अर्थ है कि परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा।

खैर, सिवाय इसके कि जब आधार शून्य हो। आधार तो एक समान नहीं है? जाहिर तौर पर नहीं, चूँकि (क्योंकि)।

उदाहरण 6) अब इतना सरल नहीं रहा!

अभ्यास के लिए 6 उदाहरण

समाधान का विश्लेषण 6 उदाहरण

साबुतहम प्राकृतिक संख्याएँ, उनके विपरीत (अर्थात " " चिह्न के साथ ली गई) और संख्या कहते हैं।

सकारात्मक पूर्णांक, और यह प्राकृतिक से अलग नहीं है, तो सब कुछ बिल्कुल पिछले अनुभाग जैसा दिखता है।

अब नजर डालते हैं नए मामलों पर. आइए इसके बराबर एक संकेतक से शुरू करें।

शून्य घात की कोई भी संख्या एक के बराबर होती है:

हमेशा की तरह, आइए हम खुद से पूछें: ऐसा क्यों है?

आइए आधार के साथ कुछ डिग्री पर विचार करें। उदाहरण के लिए, लें और इससे गुणा करें:

तो, हमने संख्या को गुणा किया, और हमें वही चीज़ मिली जो वह थी -। आपको किस संख्या से गुणा करना चाहिए ताकि कुछ भी न बदले? यह सही है, चालू. मतलब।

हम एक मनमानी संख्या के साथ भी ऐसा ही कर सकते हैं:

आइए नियम दोहराएं:

शून्य घात की कोई भी संख्या एक के बराबर होती है।

लेकिन कई नियमों के अपवाद भी हैं. और यहाँ यह भी है - यह एक संख्या है (आधार के रूप में)।

एक ओर, यह किसी भी डिग्री के बराबर होना चाहिए - चाहे आप शून्य को स्वयं से कितना भी गुणा कर लें, फिर भी आपको शून्य ही मिलेगा, यह स्पष्ट है। लेकिन दूसरी ओर, शून्य घात की किसी भी संख्या की तरह, यह बराबर होना चाहिए। तो यह कितना सच है? गणितज्ञों ने इसमें शामिल न होने का निर्णय लिया और शून्य से शून्य घात बढ़ाने से इनकार कर दिया। अर्थात्, अब हम न केवल शून्य से विभाजित कर सकते हैं, बल्कि इसे शून्य घात तक बढ़ा भी सकते हैं।

पर चलते हैं। पूर्णांकों में प्राकृतिक संख्याओं और संख्याओं के अलावा ऋणात्मक संख्याएँ भी शामिल होती हैं। यह समझने के लिए कि ऋणात्मक घात क्या है, आइए पिछली बार की तरह करें: किसी सामान्य संख्या को उसी संख्या से ऋणात्मक घात से गुणा करें:

यहां से यह व्यक्त करना आसान है कि आप क्या खोज रहे हैं:

आइए अब परिणामी नियम को मनमाने ढंग से विस्तारित करें:

तो, आइए एक नियम बनाएं:

ऋणात्मक घात वाली संख्या उसी संख्या की धनात्मक घात वाली संख्या का व्युत्क्रम होती है। लेकिन साथ ही आधार शून्य नहीं हो सकता:(क्योंकि आप विभाजित नहीं कर सकते)।

आइए संक्षेप में बताएं:

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

खैर, हमेशा की तरह, स्वतंत्र समाधानों के उदाहरण:

स्वतंत्र समाधान के लिए समस्याओं का विश्लेषण:

मुझे पता है, मुझे पता है, संख्याएँ डरावनी हैं, लेकिन एकीकृत राज्य परीक्षा में आपको किसी भी चीज़ के लिए तैयार रहना होगा! यदि आप इन्हें हल नहीं कर सके तो इन उदाहरणों को हल करें या उनके समाधानों का विश्लेषण करें और आप परीक्षा में आसानी से उनका सामना करना सीख जाएंगे!

आइए एक प्रतिपादक के रूप में "उपयुक्त" संख्याओं की सीमा का विस्तार करना जारी रखें।

अब आइये विचार करें भिन्नात्मक संख्याएं।कौन सी संख्याएँ परिमेय कहलाती हैं?

उत्तर: वह सब कुछ जिसे भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां और पूर्णांक हैं, और।

यह समझने के लिए कि यह क्या है "आंशिक डिग्री", भिन्न पर विचार करें:

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को एक घात तक बढ़ाएं:

आइए अब इसके बारे में नियम याद रखें "डिग्री से डिग्री":

प्राप्त करने के लिए किस संख्या को घात तक बढ़ाया जाना चाहिए?

यह सूत्रीकरण वें डिग्री की जड़ की परिभाषा है।

मैं आपको याद दिला दूं: किसी संख्या की वें घात का मूल () वह संख्या है, जिसे एक घात तक बढ़ाने पर, बराबर होता है।

अर्थात्, वें शक्ति का मूल एक शक्ति को ऊपर उठाने का व्युत्क्रम संक्रिया है:।

यह पता चला है कि। जाहिर है, इस विशेष मामले का विस्तार किया जा सकता है:।

अब हम अंश जोड़ते हैं: यह क्या है? पावर-टू-पावर नियम का उपयोग करके उत्तर प्राप्त करना आसान है:

लेकिन क्या आधार कोई संख्या हो सकता है? आख़िरकार, सभी संख्याओं से मूल नहीं निकाला जा सकता।

कोई नहीं!

आइए नियम को याद रखें: किसी भी संख्या को सम घात तक बढ़ाने पर वह एक धनात्मक संख्या होती है। अर्थात् ऋणात्मक संख्याओं से सम मूल निकालना असंभव है!

इसका मतलब यह है कि ऐसी संख्याओं को सम हर के साथ भिन्नात्मक घात तक नहीं बढ़ाया जा सकता है, यानी अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है।

अभिव्यक्ति के बारे में क्या?

लेकिन यहां एक समस्या खड़ी हो जाती है.

संख्या को अन्य, कम करने योग्य भिन्नों के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, या।

और यह पता चला कि यह अस्तित्व में है, लेकिन अस्तित्व में नहीं है, लेकिन ये एक ही संख्या के दो अलग-अलग रिकॉर्ड हैं।

या दूसरा उदाहरण: एक बार, फिर आप इसे लिख सकते हैं। लेकिन अगर हम संकेतक को अलग तरीके से लिखते हैं, तो हम फिर से परेशानी में पड़ जाएंगे: (यानी, हमें पूरी तरह से अलग परिणाम मिला!)।

ऐसे विरोधाभासों से बचने के लिए हम विचार करते हैं भिन्नात्मक घातांक के साथ केवल सकारात्मक आधार घातांक.

तो यदि:

• - प्राकृतिक संख्या;
• - पूर्णांक;

उदाहरण:

उदाहरण के लिए, जड़ों के साथ अभिव्यक्ति को बदलने के लिए तर्कसंगत घातांक बहुत उपयोगी होते हैं:

अभ्यास के लिए 5 उदाहरण

प्रशिक्षण के लिए 5 उदाहरणों का विश्लेषण

खैर, अब सबसे कठिन हिस्सा आता है। अब हम इसका पता लगाएंगे अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री.

अपवाद के साथ, यहां डिग्री के सभी नियम और गुण तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ डिग्री के समान ही हैं

आख़िरकार, परिभाषा के अनुसार, अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिन्हें भिन्न के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, जहाँ और पूर्णांक हैं (अर्थात, परिमेय संख्याओं को छोड़कर सभी अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ हैं)।

प्राकृतिक, पूर्णांक और तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हर बार हमने एक निश्चित "छवि", "सादृश्य" या अधिक परिचित शब्दों में विवरण बनाया।

उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक घातांक वाली डिग्री एक संख्या है जिसे अपने आप से कई बार गुणा किया जाता है;

...शून्यवीं घात तक की संख्या- यह, मानो, एक संख्या है जिसे एक बार स्वयं से गुणा किया जाता है, अर्थात, उन्होंने अभी तक इसे गुणा करना शुरू नहीं किया है, जिसका अर्थ है कि संख्या स्वयं अभी तक प्रकट भी नहीं हुई है - इसलिए परिणाम केवल एक निश्चित "रिक्त संख्या" है , अर्थात् एक संख्या;

...ऋणात्मक पूर्णांक डिग्री- ऐसा लगता है जैसे कोई "उल्टी प्रक्रिया" घटित हुई हो, अर्थात संख्या को स्वयं से गुणा नहीं किया गया, बल्कि विभाजित किया गया।

वैसे, विज्ञान में अक्सर एक जटिल घातांक वाली डिग्री का उपयोग किया जाता है, अर्थात, घातांक एक वास्तविक संख्या भी नहीं है।

लेकिन स्कूल में हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं, आपको संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर मिलेगा।

जहां हमें यकीन है कि आप जाएंगे! (यदि आप ऐसे उदाहरणों को हल करना सीख जाते हैं :))

उदाहरण के लिए:

अपने लिए तय करें:

समाधान का विश्लेषण:

1. आइए एक शक्ति को एक शक्ति तक बढ़ाने के सामान्य नियम से शुरू करें:

अग्रवर्ती स्तर

डिग्री का निर्धारण

एक डिग्री इस रूप की अभिव्यक्ति है: , जहां:

• — डिग्री का आधार;
• - प्रतिपादक.

प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री (एन = 1, 2, 3,...)

किसी संख्या को प्राकृतिक घात n तक बढ़ाने का अर्थ है उस संख्या को उसी संख्या से गुणा करना:

पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री (0, ±1, ±2,...)

यदि प्रतिपादक है सकारात्मक पूर्णांकसंख्या:

निर्माण शून्य डिग्री तक:

अभिव्यक्ति अनिश्चित है, क्योंकि एक ओर, किसी भी डिग्री तक यह है, और दूसरी ओर, वें डिग्री तक कोई भी संख्या यह है।

यदि प्रतिपादक है ऋणात्मक पूर्णांकसंख्या:

(क्योंकि आप विभाजित नहीं कर सकते)।

एक बार फिर शून्य के बारे में: मामले में अभिव्यक्ति परिभाषित नहीं है। तो अगर।

उदाहरण:

तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ शक्ति

• - प्राकृतिक संख्या;
• - पूर्णांक;

उदाहरण:

डिग्री के गुण

समस्याओं को हल करना आसान बनाने के लिए, आइए समझने की कोशिश करें: ये गुण कहाँ से आए? आइए उन्हें साबित करें.

आइए देखें: क्या है और?

ए-प्राथमिकता:

तो, इस अभिव्यक्ति के दाईं ओर हमें निम्नलिखित उत्पाद मिलता है:

लेकिन परिभाषा के अनुसार यह एक घातांक वाली संख्या की घात है, अर्थात:

क्यू.ई.डी.

उदाहरण : अभिव्यक्ति को सरल बनाएं.

समाधान : .

उदाहरण : अभिव्यक्ति को सरल बनाएं.

समाधान : हमारे नियम में यह ध्यान रखना जरूरी है अनिवार्य रूप सेवही कारण होंगे. इसलिए, हम शक्तियों को आधार के साथ जोड़ते हैं, लेकिन यह एक अलग कारक बना रहता है:

एक और महत्वपूर्ण नोट: यह नियम - केवल शक्तियों के उत्पाद के लिए!

आप किसी भी हालत में ऐसा नहीं लिख सकते.

पिछली संपत्ति की तरह, आइए डिग्री की परिभाषा की ओर मुड़ें:

आइए इस कार्य को इस प्रकार पुनः व्यवस्थित करें:

इससे पता चलता है कि व्यंजक को स्वयं से कई गुना गुणा किया जाता है, अर्थात परिभाषा के अनुसार, यह संख्या की वीं घात है:

संक्षेप में, इसे "संकेतक को कोष्ठक से बाहर निकालना" कहा जा सकता है। लेकिन आप इसे समग्र रूप से कभी नहीं कर सकते: !

आइए संक्षिप्त गुणन सूत्र याद रखें: हम कितनी बार लिखना चाहते थे? लेकिन आख़िरकार यह सच नहीं है।

नकारात्मक आधार वाली शक्ति.

इस बिंदु तक हमने केवल इस पर चर्चा की है कि यह कैसा होना चाहिए अनुक्रमणिकाडिग्री. लेकिन आधार क्या होना चाहिए? की शक्तियों में प्राकृतिक सूचक आधार हो सकता है कोई संख्या .

दरअसल, हम किसी भी संख्या को एक-दूसरे से गुणा कर सकते हैं, चाहे वे सकारात्मक, नकारात्मक या सम हों। आइए विचार करें कि किन चिह्नों ("" या "") में धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं की घातें होंगी?

उदाहरण के लिए, संख्या धनात्मक है या ऋणात्मक? ए? ?

पहले वाले से, सब कुछ स्पष्ट है: चाहे हम कितनी भी सकारात्मक संख्याओं को एक-दूसरे से गुणा करें, परिणाम सकारात्मक ही होगा।

लेकिन नकारात्मक बातें थोड़ी अधिक दिलचस्प हैं। हमें छठी कक्षा का सरल नियम याद है: "माइनस के लिए माइनस एक प्लस देता है।" वह है, या. लेकिन यदि हम () से गुणा करें तो हमें - मिलता है।

और इसी तरह अनंत काल तक: प्रत्येक बाद के गुणन के साथ चिह्न बदल जाएगा। निम्नलिखित सरल नियम बनाये जा सकते हैं:

1. यहां तक ​​कीडिग्री, - संख्या सकारात्मक.
2. ऋणात्मक संख्या को बढ़ा दिया गया विषमडिग्री, - संख्या नकारात्मक.
3. किसी भी डिग्री तक एक धनात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या होती है।
4. किसी भी शक्ति का शून्य शून्य के बराबर होता है।

स्वयं निर्धारित करें कि निम्नलिखित भावों में कौन सा चिन्ह होगा:

क्या आप संभाल पाओगे? यहाँ उत्तर हैं:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

पहले चार उदाहरणों में, मुझे आशा है कि सब कुछ स्पष्ट है? हम बस आधार और घातांक को देखते हैं और उचित नियम लागू करते हैं।

उदाहरण 5 में) सब कुछ उतना डरावना नहीं है जितना लगता है: आखिरकार, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आधार किसके बराबर है - डिग्री सम है, जिसका अर्थ है कि परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा। खैर, सिवाय इसके कि जब आधार शून्य हो। आधार तो एक समान नहीं है? जाहिर तौर पर नहीं, चूँकि (क्योंकि)।

उदाहरण 6) अब इतना सरल नहीं है। यहां आपको यह पता लगाना होगा कि कौन सा कम है: या? अगर हम उसे याद रखें तो यह स्पष्ट हो जाता है कि, यानी आधार शून्य से भी कम है। अर्थात्, हम नियम 2 लागू करते हैं: परिणाम नकारात्मक होगा।

और फिर से हम डिग्री की परिभाषा का उपयोग करते हैं:

सब कुछ हमेशा की तरह है - हम डिग्री की परिभाषा लिखते हैं और उन्हें एक दूसरे से विभाजित करते हैं, उन्हें जोड़े में विभाजित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

इससे पहले कि हम आखिरी नियम देखें, आइए कुछ उदाहरण हल करें।

भावों की गणना करें:

समाधान :

आइए उदाहरण पर वापस जाएं:

और फिर सूत्र:

तो अब आखिरी नियम:

हम इसे कैसे साबित करेंगे? बेशक, हमेशा की तरह: आइए डिग्री की अवधारणा पर विस्तार करें और इसे सरल बनाएं:

खैर, अब कोष्ठक खोलें। कुल कितने अक्षर हैं? गुणक द्वारा गुणा - यह आपको क्या याद दिलाता है? यह एक ऑपरेशन की परिभाषा से अधिक कुछ नहीं है गुणा:वहां सिर्फ मल्टीप्लायर थे. अर्थात्, परिभाषा के अनुसार, यह एक घातांक वाली संख्या की घात है:

उदाहरण:

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री

औसत स्तर के लिए डिग्री के बारे में जानकारी के अलावा, हम एक अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री का विश्लेषण करेंगे। यहां डिग्री के सभी नियम और गुण बिल्कुल उसी तरह हैं जैसे कि एक तर्कसंगत घातांक वाली डिग्री के लिए, अपवाद के साथ - आखिरकार, परिभाषा के अनुसार, अपरिमेय संख्याएं वे संख्याएं हैं जिन्हें एक अंश के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, जहां और पूर्णांक हैं (अर्थात्) , परिमेय संख्याओं को छोड़कर सभी अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ हैं)।

प्राकृतिक, पूर्णांक और तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हर बार हमने एक निश्चित "छवि", "सादृश्य" या अधिक परिचित शब्दों में विवरण बनाया। उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक घातांक वाली डिग्री एक संख्या है जिसे अपने आप से कई बार गुणा किया जाता है; शून्य घात की एक संख्या, मानो, एक संख्या है जिसे स्वयं से एक बार गुणा किया जाता है, अर्थात, उन्होंने अभी तक इसे गुणा करना शुरू नहीं किया है, जिसका अर्थ है कि संख्या स्वयं अभी तक प्रकट भी नहीं हुई है - इसलिए परिणाम केवल एक निश्चित है "रिक्त संख्या", अर्थात् एक संख्या; पूर्णांक ऋणात्मक घातांक वाली एक डिग्री - ऐसा लगता है जैसे कोई "विपरीत प्रक्रिया" घटित हुई हो, अर्थात, संख्या को स्वयं से गुणा नहीं किया गया था, बल्कि विभाजित किया गया था।

एक अपरिमेय घातांक वाली डिग्री की कल्पना करना अत्यंत कठिन है (जैसे कि 4-आयामी स्थान की कल्पना करना कठिन है)। बल्कि यह एक विशुद्ध गणितीय वस्तु है जिसे गणितज्ञों ने डिग्री की अवधारणा को संख्याओं के संपूर्ण स्थान तक विस्तारित करने के लिए बनाया है।

वैसे, विज्ञान में अक्सर एक जटिल घातांक वाली डिग्री का उपयोग किया जाता है, अर्थात, घातांक एक वास्तविक संख्या भी नहीं है। लेकिन स्कूल में हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं, आपको संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर मिलेगा।

यदि हम एक अपरिमेय प्रतिपादक देखते हैं तो हम क्या करते हैं? हम इससे छुटकारा पाने की पूरी कोशिश कर रहे हैं! :)

उदाहरण के लिए:

अपने लिए तय करें:

उत्तर:

अनुभाग और बुनियादी सूत्रों का सारांश

डिग्रीफॉर्म की अभिव्यक्ति कहा जाता है: , जहां:

पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री

एक डिग्री जिसका घातांक एक प्राकृतिक संख्या है (यानी, पूर्णांक और सकारात्मक)।

तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ शक्ति

डिग्री, जिसका घातांक ऋणात्मक और भिन्नात्मक संख्याएँ हैं।

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री

एक डिग्री जिसका घातांक एक अनंत दशमलव अंश या मूल है।

डिग्री के गुण

डिग्री की विशेषताएं.

• ऋणात्मक संख्या को बढ़ा दिया गया यहां तक ​​कीडिग्री, - संख्या सकारात्मक.
• ऋणात्मक संख्या को बढ़ा दिया गया विषमडिग्री, - संख्या नकारात्मक.
• किसी भी डिग्री तक एक धनात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या होती है।
• शून्य किसी भी शक्ति के बराबर है.
• शून्य घात की कोई भी संख्या बराबर होती है।

अब आपके पास शब्द है...

आपको लेख कैसा लगा? आपको यह पसंद आया या नहीं नीचे कमेंट में लिखें।

डिग्री गुणों का उपयोग करके अपने अनुभव के बारे में हमें बताएं।

शायद आपके पास प्रश्न हों. या सुझाव.

टिप्पणियों में लिखें.

और आपकी परीक्षाओं के लिए शुभकामनाएँ!

खैर, बात ख़त्म हो गई. अगर आप ये पंक्तियाँ पढ़ रहे हैं तो इसका मतलब है कि आप बहुत अच्छे हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज़ में महारत हासिल कर पाते हैं। और यदि आप अंत तक पढ़ते हैं, तो आप इस 5% में हैं!

अब सबसे महत्वपूर्ण बात.

आप इस विषय पर सिद्धांत को समझ चुके हैं। और, मैं दोहराता हूं, यह... यह बिल्कुल सुपर है! आप पहले से ही अपने अधिकांश साथियों से बेहतर हैं।

समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता...

किस लिए?

एकीकृत राज्य परीक्षा को सफलतापूर्वक उत्तीर्ण करने के लिए, कम बजट में कॉलेज में प्रवेश के लिए और, सबसे महत्वपूर्ण, जीवन भर के लिए।

मैं तुम्हें किसी बात के लिए मना नहीं पाऊंगा, मैं सिर्फ एक बात कहूंगा...

जिन लोगों ने अच्छी शिक्षा प्राप्त की है वे उन लोगों की तुलना में कहीं अधिक कमाते हैं जिन्होंने इसे प्राप्त नहीं किया है। ये आँकड़े हैं.

लेकिन ये मुख्य बात नहीं है.

मुख्य बात यह है कि वे अधिक खुश हैं (ऐसे अध्ययन हैं)। शायद इसलिए कि उनके सामने कई और अवसर खुलते हैं और जीवन उज्जवल हो जाता है? पता नहीं...

लेकिन आप खुद सोचिये...

एकीकृत राज्य परीक्षा में दूसरों से बेहतर होने और अंततः... अधिक खुश रहने के लिए क्या करना होगा?

इस विषय पर समस्याओं को हल करके अपना हाथ बढ़ाएं।

परीक्षा के दौरान आपसे थ्योरी के बारे में नहीं पूछा जाएगा।

आपको चाहिये होगा समय रहते समस्याओं का समाधान करें.

और, यदि आपने उन्हें (बहुत सारे!) हल नहीं किया है, तो आप निश्चित रूप से कहीं न कहीं एक मूर्खतापूर्ण गलती करेंगे या आपके पास समय नहीं होगा।

यह खेलों की तरह है - निश्चित रूप से जीतने के लिए आपको इसे कई बार दोहराना होगा।

आप जहां चाहें संग्रह ढूंढें, आवश्यक रूप से समाधान, विस्तृत विश्लेषण के साथऔर निर्णय करो, निर्णय करो, निर्णय करो!

आप हमारे कार्यों (वैकल्पिक) का उपयोग कर सकते हैं और हम निश्चित रूप से उनकी अनुशंसा करते हैं।

हमारे कार्यों का बेहतर उपयोग करने के लिए, आपको वर्तमान में पढ़ रहे YouClever पाठ्यपुस्तक के जीवन को बढ़ाने में मदद करने की आवश्यकता है।

कैसे? दो विकल्प हैं:

1. इस आलेख में सभी छिपे हुए कार्यों को अनलॉक करें -
2. पाठ्यपुस्तक के सभी 99 लेखों में सभी छिपे हुए कार्यों तक पहुंच अनलॉक करें - एक पाठ्यपुस्तक खरीदें - 899 आरयूआर

हां, हमारी पाठ्यपुस्तक में ऐसे 99 लेख हैं और सभी कार्यों और उनमें छिपे सभी पाठों तक पहुंच तुरंत खोली जा सकती है।

साइट के संपूर्ण जीवन के लिए सभी छिपे हुए कार्यों तक पहुंच प्रदान की जाती है।

निष्कर्ष के तौर पर...

यदि आपको हमारे कार्य पसंद नहीं हैं, तो अन्य खोजें। बस सिद्धांत पर मत रुकें।

"समझ गया" और "मैं हल कर सकता हूँ" पूरी तरह से अलग कौशल हैं। आपको दोनों की जरूरत है.

समस्याएं ढूंढें और उनका समाधान करें!

घातों की तालिका में 1 से 10 तक सकारात्मक प्राकृतिक संख्याओं के मान शामिल हैं।

प्रविष्टि 3 5 पढ़ें "तीन से पाँचवीं शक्ति।" इस अंकन में, संख्या 3 को घात का आधार कहा जाता है, संख्या 5 को घातांक कहा जाता है, और अभिव्यक्ति 3 5 को घात कहा जाता है।

डिग्री की तालिका डाउनलोड करने के लिए, थंबनेल छवि पर क्लिक करें।

डिग्री कैलकुलेटर

हम आपको हमारे पावर कैलकुलेटर को आज़माने के लिए आमंत्रित करते हैं, जो आपको किसी भी संख्या को ऑनलाइन पावर में बढ़ाने में मदद करेगा।

कैलकुलेटर का उपयोग करना बहुत सरल है - वह संख्या दर्ज करें जिसे आप पावर तक बढ़ाना चाहते हैं, फिर संख्या - पावर दर्ज करें और "गणना करें" बटन पर क्लिक करें।

उल्लेखनीय है कि हमारा ऑनलाइन डिग्री कैलकुलेटर सकारात्मक और नकारात्मक दोनों शक्तियों को बढ़ा सकता है। और जड़ें निकालने के लिए साइट पर एक और कैलकुलेटर है।

किसी संख्या को घात तक कैसे बढ़ाएं.

आइए घातांकीकरण की प्रक्रिया को एक उदाहरण से देखें। मान लीजिए हमें संख्या 5 को तीसरी घात तक बढ़ाने की आवश्यकता है। गणित की भाषा में, 5 आधार है, और 3 घातांक (या बस डिग्री) है। और इसे संक्षेप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

घातांक

और मान ज्ञात करने के लिए, हमें संख्या 5 को स्वयं से 3 बार गुणा करना होगा, अर्थात।

5 3 = 5 x 5 x 5 = 125

तदनुसार, यदि हम संख्या 7 का मान 5वीं घात तक ज्ञात करना चाहते हैं, तो हमें संख्या 7 को स्वयं से 5 गुना गुणा करना होगा, यानी 7 x 7 x 7 x 7 x 7। दूसरी बात यह है कि जब आपको संख्या बढ़ाने की आवश्यकता होती है एक नकारात्मक शक्ति को.

नकारात्मक शक्ति को कैसे बढ़ाएं?

नकारात्मक शक्ति की ओर बढ़ते समय, आपको एक सरल नियम का उपयोग करने की आवश्यकता है:

नकारात्मक शक्ति को कैसे बढ़ाएं

सब कुछ बहुत सरल है - जब एक नकारात्मक घात तक उठाया जाता है, तो हमें एक को आधार से ऋण चिह्न के बिना घात से विभाजित करना होगा - अर्थात, सकारात्मक घात तक। तो मूल्य ज्ञात करने के लिए

बीजगणित में 1 से 25 तक प्राकृतिक संख्याओं की घातों की तालिका

विभिन्न गणितीय अभ्यासों को हल करते समय, आपको अक्सर किसी संख्या को एक घात तक बढ़ाना पड़ता है, मुख्य रूप से 1 से 10 तक। और इन मानों को शीघ्रता से खोजने के लिए, हमने बीजगणित में घातों की एक तालिका बनाई है, जिसे मैं इस पृष्ठ पर प्रकाशित करूंगा।

सबसे पहले, आइए 1 से 6 तक की संख्याओं को देखें। यहां परिणाम बहुत बड़े नहीं हैं; आप उन सभी को एक नियमित कैलकुलेटर पर जांच सकते हैं।

• 1 और 2 की घात 1 से 10 तक

डिग्री की तालिका

जब आपको 10 के भीतर एक प्राकृतिक संख्या को दो से अधिक की शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता होती है तो पावर टेबल एक अनिवार्य उपकरण है। यह तालिका खोलने और डिग्री के वांछित आधार के विपरीत संख्या और आवश्यक डिग्री वाले कॉलम में खोजने के लिए पर्याप्त है - यह उदाहरण का उत्तर होगा। सुविधाजनक तालिका के अलावा, पृष्ठ के निचले भाग में प्राकृतिक संख्याओं को 10 की घात तक बढ़ाने के उदाहरण हैं। वांछित संख्या की शक्तियों के साथ आवश्यक कॉलम का चयन करके, आप आसानी से और सरलता से समाधान पा सकते हैं, क्योंकि सभी शक्तियां आरोही क्रम में व्यवस्थित हैं।

महत्वपूर्ण बारीकियां! तालिकाएँ शून्य घात तक वृद्धि नहीं दिखाती हैं, क्योंकि शून्य घात तक बढ़ाई गई कोई भी संख्या एक के बराबर होती है: a 0 =1

गुणन सारणी, वर्ग और घातें

यह थोड़ा गणित करने का समय है। क्या आपको अब भी याद है कि दो को दो से गुणा करने पर कितना होता है?

कोई भूला होगा तो चार होंगे. ऐसा लगता है कि हर कोई गुणन तालिका को याद रखता है और जानता है, हालाँकि, मैंने यांडेक्स को "गुणा तालिका" या यहां तक ​​कि "गुणा तालिका डाउनलोड करें" (!) जैसे बड़ी संख्या में अनुरोधों की खोज की। इस श्रेणी के उपयोगकर्ताओं के लिए, साथ ही अधिक उन्नत लोगों के लिए जो पहले से ही वर्गों और शक्तियों में रुचि रखते हैं, मैं इन सभी तालिकाओं को पोस्ट कर रहा हूं। आप अपने स्वास्थ्य के लिए भी डाउनलोड कर सकते हैं! इसलिए:

10 से दूसरी डिग्री + 11 से दूसरी डिग्री + 12 से दूसरी डिग्री + 13 से दूसरी डिग्री + 14 से दूसरी डिग्री/365

श्रेणी से अन्य प्रश्न

कृपया निर्णय लेने में मेरी सहायता करें)

ये भी पढ़ें

समाधान: 3x(दूसरी घात तक)-48= 3(X से दूसरी घात तक)(x से दूसरी घात तक)-16)=(X-4)(X+4)

5) तीन दशमलव पांच. 6) नौ दशमलव दो सौ सात हज़ारवां। 2) संख्या को साधारण भिन्न के रूप में लिखें: 1)0.3. 2)0.516. 3)0.88. 4)0.01. 5)0.402. 5)0.038. 6)0.609. 7)0.91.8)0.5.9)0.171.10)0.815.11)0.27.12)0.081.13)0.803

2 से शून्य 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 घात क्या है?

2 से माइनस 1 पावर क्या है?

2 से माइनस 2 पावर क्या है?

2 से माइनस 3 पावर क्या है?

2 से माइनस 4 पावर क्या है?

माइनस 5 की घात 2 क्या है?

2 से शून्य से 6वीं घात क्या है?

2 से शून्य से 7वीं घात क्या है?

माइनस 8 की घात 2 क्या है?

2 से शून्य से 9वीं घात क्या है?

शून्य से 10 की घात 2 क्या है?

n^(-a) की नकारात्मक शक्ति को निम्नलिखित रूप 1/n^a में व्यक्त किया जा सकता है।

2 की घात -1 = 1/2, यदि दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जाए, तो 0.5।

2 की घात - 2 = 1/4, या 0.25।

2 से घात -3= 1/8, या 0.125।

2 से घात -4 = 1/16, या 0.0625।

2 से घात -5 = 1/32, या 0.03125।

2 की घात - 6 = 1/64, या 0.015625।

2 की घात - 7 = 1/128, या 0.

2 की घात -8 = 1/256, या 0.

2 की घात -9 = 1/512, या 0.

2 की घात - 10 = 1/1024, या 0।

अन्य संख्याओं के लिए समान गणनाएँ यहाँ पाई जा सकती हैं: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

किसी संख्या की नकारात्मक शक्ति, पहली नज़र में, बीजगणित में एक कठिन विषय है।

वास्तव में, सब कुछ बहुत सरल है - हम बीजगणितीय सूत्र (ऊपर देखें) का उपयोग करके संख्या "2" के साथ गणितीय गणना करते हैं, जहां "ए" के बजाय हम संख्या "2" को प्रतिस्थापित करते हैं, और "एन" के बजाय हम प्रतिस्थापित करते हैं संख्या की शक्ति. कैलकुलेटर गणना में लगने वाले समय को काफी कम करने में मदद करेगा।

दुर्भाग्य से, साइट का पाठ संपादक भिन्नों और नकारात्मक घातों के लिए गणितीय प्रतीकों के उपयोग की अनुमति नहीं देता है। आइए हम स्वयं को बड़े अक्षरांकीय जानकारी तक ही सीमित रखें।

ये सरल संख्यात्मक चरण हैं जिन पर हम पहुँचे।

किसी संख्या की ऋणात्मक घात का अर्थ है कि इस संख्या को जितनी घात में लिखा गया है उतनी बार स्वयं से गुणा किया जाता है और फिर परिणामी संख्या से एक को विभाजित किया जाता है। दो के लिए:

• (-1) डिग्री 1/2=0.5 है;
• (-2) डिग्री 1/(2 2)=0.25 है;
• (-3) डिग्री 1/(2 2 2)=0.125 है;
• (-4) डिग्री 1/(2 2 2 2)=0.0625 है;
• (-5) डिग्री 1/(2 2 2 2 2)=0.03125 है;
• (-6) डिग्री 1/(2 2 2 2 2 2)=0.015625 है;
• (-7) डिग्री 1/(2 2 2 2 2 2 2)=0.078125 है;
• (-8) डिग्री 1/(2 2 2 2 2 2 2 2 2)=0 है;
• (-9) डिग्री 1/(2 2 2 2 2 2 2 2 2 2)=0 है;
• (-10) शक्ति 1/(2 2 2 2 2 2 2 2 2 2)=0 है।

मूलतः, हम प्रत्येक पिछले मान को केवल 2 से विभाजित करते हैं।

shkolnyie-zadachi.pp.ua

1) 33²: 11=(3*11)²: 11=3² * 11²: 11=9*11=99

2) 99²: 81=(9*11)²: 9²=9² * 11²: 9²=11²=121

दूसरी डिग्री का मतलब है कि गणना के दौरान प्राप्त आंकड़ा अपने आप से गुणा हो जाता है।

रूसी भाषा: वसंत विषय पर 15 वाक्यांश

शुरुआती वसंत, देर से वसंत, वसंत के पत्ते, वसंत का सूरज, वसंत का दिन, वसंत आ गया है, वसंत के पक्षी, ठंडा वसंत, वसंत की घास, वसंत की हवा, वसंत की बारिश, वसंत के कपड़े, वसंत के जूते, वसंत लाल है, वसंत की यात्रा।

प्रश्न: 5*4 से दूसरी घात - (33 से दूसरी घात: 11) से दूसरी घात: 81 क्रिया द्वारा उत्तर बताएं

5*4 से दूसरी घात - (33 से दूसरी घात: 11) से दूसरी घात: 81 क्रिया द्वारा उत्तर बताएं

उत्तर:

5*4²-(33²: 11)²: 81= -41 1) 33²: 11=(3*11)²: 11=3² * 11²: 11=9*11=99 2) 99²: 81=(9* 11)²: 9²=9² * 11²: 9²=11²=121 3) 5*4²=5*16=80 4)= -41

5*4 (2) = 400 1) 5*4= 20 2) 20*20=:11(2)= 9 1) 33:11= 3 2) 3*3= 9 दूसरी घात का अर्थ है कि वह संख्या गणना के दौरान यह स्वयं से गुणा हो गया।

10 से -2 पावर कितनी होती है.

1. 10 से -2 शक्ति 1/10 से 2 शक्ति के समान है, आप 10 का वर्ग करते हैं और आपको 1/100 मिलता है, जो 0.01 के बराबर है।

10^-2 = 1/10 * 1/10 = 1/(10*10) = 1/100 = 0.01

=) अंधेरा आप कहते हैं? ..हेह ("रेगिस्तान का सफेद सूरज" से)