विज्ञान से शुरुआत करें. निर्देशांक तल निर्देशांक तल निर्देशांक कैसे निर्धारित करें

यदि हम एक समतल पर दो परस्पर लंबवत संख्यात्मक अक्षों का निर्माण करते हैं: बैलऔर ओए, तो उन्हें बुलाया जाएगा समायोजन ध्रुव. क्षैतिज अक्ष बैलबुलाया X- अक्ष(एक्सिस एक्स), ऊर्ध्वाधर अक्ष ओए - शाफ़्ट(एक्सिस य).

डॉट हे, अक्षों के प्रतिच्छेदन पर खड़ा होना कहलाता है मूल. यह दोनों अक्षों के लिए शून्य बिंदु है। सकारात्मक संख्याओं को x-अक्ष पर दाईं ओर बिंदुओं के साथ और y-अक्ष पर शून्य बिंदु से ऊपर बिंदुओं के साथ दर्शाया गया है। ऋणात्मक संख्याओं को मूल बिंदु से बाईं ओर और नीचे बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है हे). वह तल जिस पर निर्देशांक अक्ष स्थित होते हैं, कहलाता है विमान का समन्वय.

निर्देशांक अक्ष तल को चार भागों में विभाजित करते हैं, जिन्हें कहा जाता है तिमाहियों मेंया चतुर्थ भाग. इन तिमाहियों को रोमन अंकों के साथ उसी क्रम में क्रमांकित करने की प्रथा है जिस क्रम में उन्हें ड्राइंग पर क्रमांकित किया गया है।

समतल पर एक बिंदु के निर्देशांक

यदि हम निर्देशांक तल पर एक मनमाना बिंदु लेते हैं एऔर इससे निर्देशांक अक्षों पर लंब खींचिए, तो लंबों के आधार दो संख्याओं पर पड़ेंगे। वह संख्या जिस पर लंबवत् लम्ब बिंदु अंकित होता है, कहलाती है भुज बिंदु ए. वह संख्या जिस पर क्षैतिज लम्ब बिन्दु है - एक बिंदु का समन्वय ए.

ड्राइंग पर, बिंदु का भुज ए 3 के बराबर है, और कोटि 5 है।

भुज और कोटि को समतल पर दिए गए बिंदु के निर्देशांक कहा जाता है।

किसी बिंदु के निर्देशांक बिंदु पदनाम के दाईं ओर कोष्ठक में लिखे गए हैं। भुज पहले लिखा जाता है, उसके बाद कोर्डिनेट लिखा जाता है। तो रिकॉर्ड करें ए(3; 5) का अर्थ है कि बिंदु का भुज एतीन के बराबर है, और कोटि पाँच है।

किसी बिंदु के निर्देशांक वे संख्याएँ हैं जो समतल पर उसकी स्थिति निर्धारित करते हैं।

यदि कोई बिंदु x-अक्ष पर स्थित है, तो उसकी कोटि शून्य है (उदाहरण के लिए, एक बिंदु बीनिर्देशांक -2 और 0 के साथ)। यदि कोई बिंदु कोटि अक्ष पर स्थित है, तो उसका भुज शून्य के बराबर होता है (उदाहरण के लिए, एक बिंदु सीनिर्देशांक 0 और -4 के साथ)।

उद्गम-बिंदु हे- भुज और कोटि दोनों शून्य के बराबर हैं: हे (0; 0).

इस समन्वय प्रणाली को कहा जाता है आयताकारया काटीज़ियन.

इस वीडियो पाठ का विषय: विमान का समन्वय.

पाठ के लक्ष्य और उद्देश्य:

साथ परिचित एक समतल पर आयताकार समन्वय प्रणाली
- समन्वय विमान को स्वतंत्र रूप से नेविगेट करना सिखाएं
- उनके दिए गए निर्देशांक के अनुसार अंक बनाएं
- निर्देशांक तल पर अंकित बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करें
- निर्देशांक को कान से अच्छी तरह समझें
- ज्यामितीय निर्माण स्पष्ट और सटीक ढंग से करें
- रचनात्मक क्षमताओं का विकास
- विषय में रुचि बढ़ाना

शब्द " COORDINATES"लैटिन शब्द से आया है - "व्यवस्थित"

समतल पर किसी बिंदु की स्थिति दर्शाने के लिए, दो लंबवत रेखाएँ X और Y लें।

एक्स अक्ष - भुज अक्ष
शाफ़्ट समन्वय अक्ष
बिंदु O - मूल

वह तल जिस पर समन्वय प्रणाली निर्दिष्ट होती है, कहलाता है विमान का समन्वय.

निर्देशांक तल पर प्रत्येक बिंदु M संख्याओं की एक जोड़ी से मेल खाता है: इसका भुज और कोटि। इसके विपरीत, संख्याओं का प्रत्येक जोड़ा समतल पर एक बिंदु से मेल खाता है, जिसके लिए ये संख्याएँ निर्देशांक हैं।

उदाहरणों पर विचार किया गया:

• इसके निर्देशांक से एक बिंदु का निर्माण करके
• निर्देशांक तल पर स्थित किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना

कुछ अतिरिक्त जानकारी:

किसी समतल पर किसी बिंदु की स्थिति निर्दिष्ट करने का विचार प्राचीन काल में, मुख्यतः खगोलविदों के बीच उत्पन्न हुआ था। द्वितीय शताब्दी में। प्राचीन यूनानी खगोलशास्त्री क्लॉडियस टॉलेमी ने निर्देशांक के रूप में अक्षांश और देशांतर का उपयोग किया था। उन्होंने 1637 में "ज्यामिति" पुस्तक में निर्देशांक के उपयोग का विवरण दिया।

निर्देशांक के उपयोग का विवरण 1637 में फ्रांसीसी गणितज्ञ रेने डेसकार्टेस द्वारा "ज्यामिति" पुस्तक में दिया गया था, इसलिए आयताकार समन्वय प्रणाली को अक्सर कार्टेशियन कहा जाता है।

शब्द " सूच्याकार आकृति का भुज», « तालमेल», « COORDINATES"17वीं सदी के अंत में पहली बार उपयोग किया गया था।

समन्वय तल की बेहतर समझ के लिए, कल्पना करें कि हमें दिया गया है: एक भौगोलिक ग्लोब, एक शतरंज की बिसात, एक थिएटर टिकट।

पृथ्वी की सतह पर किसी बिंदु की स्थिति निर्धारित करने के लिए, आपको देशांतर और अक्षांश जानने की आवश्यकता है।
शतरंज की बिसात पर एक मोहरे की स्थिति निर्धारित करने के लिए, आपको दो निर्देशांक जानने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए: e3।
सभागार में सीटें दो निर्देशांकों द्वारा निर्धारित की जाती हैं: पंक्ति और सीट।

अतिरिक्त कार्य.

वीडियो पाठ का अध्ययन करने के बाद, सामग्री को समेकित करने के लिए, मेरा सुझाव है कि आप एक बॉक्स में एक कलम और कागज का एक टुकड़ा लें, एक समन्वय विमान बनाएं और दिए गए निर्देशांक के अनुसार आंकड़े बनाएं:

कुकुरमुत्ता
1) (6; 0), (6; 2), (5; 1,5), (4; 3), (2; 1), (0; 2,5), (- 1,5; 1,5), (- 2; 5), (- 3; 0,5), (- 4; 2), (- 4; 0).
2) (2; 1), (2,2; 2), (2,3; 4), (2,5; 6), (2,3; 8), (2; 10), (6; 10), (4,8; 12), (3; 13,3), (1; 14),
(0; 14), (- 2; 13,3), (- 3,8; 12), (- 5; 10), (2; 10).
3) (- 1; 10), (- 1,3; 8), (- 1,5; 6), (- 1,2; 4), (- 0,8;2).
चूहा 1) (3; - 4), (3; - 1), (2; 3), (2; 5), (3; 6), (3; 8), (2; 9), (1; 9), (- 1; 7), (- 1; 6),
(- 4; 4), (- 2; 3), (- 1; 3), (- 1; 1), (- 2; 1), (-2; - 1), (- 1; 0), (- 1; - 4), (- 2; - 4),
(- 2; - 6), (- 3; - 6), (- 3; - 7), (- 1; - 7), (- 1; - 5), (1; - 5), (1; - 6), (3; - 6), (3; - 7),
(4; - 7), (4; - 5), (2; - 5), (3; - 4).
2) पूँछ: (3; - 3), (5; - 3), (5; 3)।
3) आँख: (- 1; 5).
स्वैन
1) (2; 7), (0; 5), (- 2; 7), (0; 8), (2; 7), (- 4; - 3), (4; 0), (11; - 2), (9; - 2), (11; - 3),
(9; - 3), (5; - 7), (- 4; - 3).
2) चोंच: (- 4; 8), (- 2; 7), (- 4; 6)।
3) विंग: (1; - 3), (4; - 2), (7; - 3), (4; - 5), (1; - 3)।
4) आँख: (0; 7).
ऊंट
1) (- 9; 6), (- 5; 9), (- 5; 10), (- 4; 10), (- 4; 4), (- 3; 4), (0; 7), (2; 4), (4; 7), (7; 4),
(9; 3), (9; 1), (8; - 1), (8; 1), (7; 1), (7; - 7), (6; - 7), (6; - 2), (4; - 1), (- 5; - 1), (- 5; - 7),
(- 6; - 7), (- 6; 5), (- 7;5), (- 8; 4), (- 9; 4), (- 9; 6).
2) आँख: (- 6; 7).
हाथी
1) (2; - 3), (2; - 2), (4; - 2), (4; - 1), (3; 1), (2; 1), (1; 2), (0; 0), (- 3; 2), (- 4; 5),
(0; 8), (2; 7), (6; 7), (8; 8), (10; 6), (10; 2), (7; 0), (6; 2), (6; - 2), (5; - 3), (2; - 3).
2) (4; - 3), (4; - 5), (3; - 9), (0; - 8), (1; - 5), (1; - 4), (0; - 4), (0; - 9), (- 3; - 9),
(- 3; - 3), (- 7; - 3), (- 7; - 7), (- 8; - 7), (- 8; - 8), (- 11; - 8), (- 10; - 4), (- 11; - 1),
(- 14; - 3), (- 12; - 1), (- 11;2), (- 8;4), (- 4;5).
3) आंखें: (2; 4), (6; 4)।
घोड़ा
1) (14; - 3), (6,5; 0), (4; 7), (2; 9), (3; 11), (3; 13), (0; 10), (- 2; 10), (- 8; 5,5),
(- 8; 3), (- 7; 2), (- 5; 3), (- 5; 4,5), (0; 4), (- 2; 0), (- 2; - 3), (- 5; - 1), (- 7; - 2),
(- 5; - 10), (- 2; - 11), (- 2; - 8,5), (- 4; - 8), (- 4; - 4), (0; - 7,5), (3; - 5).
2) आँख: (- 2; 7).

अंक "पंजीकृत" हैं - "निवासी", प्रत्येक बिंदु का अपना "घर नंबर" है - इसका समन्वय। यदि बिंदु को एक विमान में लिया जाता है, तो इसे "रजिस्टर" करने के लिए आपको न केवल "घर का नंबर", बल्कि "अपार्टमेंट नंबर" भी इंगित करना होगा। आइए हम आपको याद दिलाएं कि यह कैसे किया जाता है।

आइए हम दो परस्पर लंबवत समन्वय रेखाएँ खींचें और दोनों रेखाओं पर संदर्भ की उत्पत्ति को उनके प्रतिच्छेदन बिंदु - बिंदु O के रूप में मानें। इस प्रकार, समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली निर्दिष्ट की जाती है (चित्र 20), जो सामान्य रूप से घूमती है विमानसमायोजन करना। बिंदु O को निर्देशांक का मूल बिंदु कहा जाता है, निर्देशांक रेखाओं (x-अक्ष और y-अक्ष) को निर्देशांक अक्ष कहा जाता है, और निर्देशांक अक्षों द्वारा बनाए गए समकोण को निर्देशांक कोण कहा जाता है। निर्देशांक आयताकार कोणों को क्रमांकित किया गया है जैसा कि चित्र 20 में दिखाया गया है।

अब आइए चित्र 21 की ओर मुड़ें, जहां एक आयताकार समन्वय प्रणाली को दर्शाया गया है और बिंदु एम को चिह्नित किया गया है। आइए इसके माध्यम से y-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचें। सीधी रेखा x-अक्ष को एक निश्चित बिंदु पर काटती है, इस बिंदु का एक निर्देशांक है - x-अक्ष पर। चित्र 21 में दर्शाए गए बिंदु के लिए, यह निर्देशांक -1.5 के बराबर है, इसे बिंदु M का भुज कहा जाता है। इसके बाद, हम बिंदु M से होकर x-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचते हैं। सीधी रेखा y-अक्ष को एक निश्चित बिंदु पर काटती है, इस बिंदु का एक निर्देशांक है - y-अक्ष पर।

बिंदु M के लिए, चित्र 21 में दिखाया गया है, यह निर्देशांक 2 के बराबर है, इसे बिंदु M की कोटि कहा जाता है। संक्षेप में इस प्रकार लिखा गया है: M (-1.5; 2)। भुज पहले स्थान पर लिखा है, कोटि दूसरे स्थान पर। यदि आवश्यक हो, तो संकेतन के दूसरे रूप का उपयोग करें: x = -1.5; आप = 2.

नोट 1 . व्यवहार में, बिंदु M के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, आमतौर पर निर्देशांक अक्षों के समानांतर और बिंदु M से गुजरने वाली सीधी रेखाओं के बजाय, बिंदु M से समन्वय अक्षों तक इन सीधी रेखाओं के खंड बनाए जाते हैं (चित्र 22)।

नोट 2। पिछले पैराग्राफ में हमने संख्यात्मक अंतरालों के लिए अलग-अलग नोटेशन पेश किए थे। विशेष रूप से, जैसा कि हम सहमत थे, संकेतन (3, 5) का अर्थ है कि समन्वय रेखा पर हम बिंदु 3 और 5 पर समाप्त होने वाले अंतराल पर विचार करते हैं। इस खंड में, हम संख्याओं की एक जोड़ी को एक बिंदु के निर्देशांक के रूप में मानते हैं; उदाहरण के लिए, (3; 5) पर एक बिंदु है विमान का समन्वयभुज 3 और कोटि 5 के साथ। प्रतीकात्मक संकेतन से कोई सही ढंग से कैसे निर्धारित कर सकता है कि हम किस बारे में बात कर रहे हैं: एक अंतराल या एक बिंदु के निर्देशांक? बहुधा यह पाठ से स्पष्ट होता है। यदि यह स्पष्ट नहीं है तो क्या होगा? एक विवरण पर ध्यान दें: हमने अंतराल को इंगित करने के लिए अल्पविराम का उपयोग किया, और निर्देशांक को इंगित करने के लिए अर्धविराम का उपयोग किया। बेशक, यह बहुत महत्वपूर्ण नहीं है, लेकिन फिर भी एक अंतर है; हम इसका उपयोग करेंगे.

प्रस्तुत शब्दों और नोटेशनों को ध्यान में रखते हुए, क्षैतिज समन्वय रेखा को भुज, या x-अक्ष कहा जाता है, और ऊर्ध्वाधर समन्वय रेखा को कोटि अक्ष, या y-अक्ष कहा जाता है। अंकन x, y का उपयोग आमतौर पर एक समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली को निर्दिष्ट करते समय किया जाता है (चित्र 20 देखें) और इसे अक्सर इस तरह कहा जाता है: एक समन्वय प्रणाली xOy दी गई है। हालाँकि, अन्य संकेतन भी हैं: उदाहरण के लिए, चित्र 23 में टीओ समन्वय प्रणाली निर्दिष्ट है।
आयताकार समन्वय प्रणाली xOy में निर्दिष्ट बिंदु M के निर्देशांक खोजने के लिए एल्गोरिदम

चित्र 21 में बिंदु M के निर्देशांक ज्ञात करते समय हमने बिल्कुल यही किया था। यदि बिंदु M 1 (x; y) पहले निर्देशांक कोण से संबंधित है, तो x > 0, y > 0; यदि बिंदु M 2 (x; y) दूसरे निर्देशांक कोण से संबंधित है, तो x< 0, у >0; यदि बिंदु M 3 (x; y) तीसरे निर्देशांक कोण से संबंधित है, तो x< О, у < 0; если точка М 4 (х; у) принадлежит четвертому координатному углу, то х >कहां< 0 (рис. 24).

यदि वह बिंदु जिसके निर्देशांक ज्ञात करने की आवश्यकता है, समन्वय अक्षों में से किसी एक पर स्थित हो तो क्या होगा? मान लीजिए कि बिंदु A, x-अक्ष पर और बिंदु B, y-अक्ष पर स्थित है (चित्र 25)। बिंदु A से होकर y-अक्ष के समानांतर एक रेखा खींचने और x-अक्ष के साथ इस रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु खोजने का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि ऐसा प्रतिच्छेदन बिंदु पहले से मौजूद है - यह बिंदु A है, इसका निर्देशांक (abscissa) है 3. इसी तरह, बिंदु से खींचने की कोई आवश्यकता नहीं है और x-अक्ष के समानांतर सीधी रेखा x-अक्ष ही है, जो y-अक्ष को निर्देशांक (ऑर्डिनेट) 0 के साथ बिंदु O पर काटती है। परिणाम, बिंदु A के लिए हमें A(3; 0) प्राप्त होता है। इसी प्रकार, बिंदु B के लिए हमें B(0; - 1.5) प्राप्त होता है। और बिंदु O के लिए हमारे पास O(0; 0) है।

सामान्य तौर पर, x-अक्ष पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक (x; 0) होते हैं, और y-अक्ष पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक (0; y) होते हैं।

इसलिए, हमने चर्चा की कि निर्देशांक तल में किसी बिंदु के निर्देशांक कैसे ज्ञात करें। व्युत्क्रम समस्या को कैसे हल करें, अर्थात, निर्देशांक देकर, संगत बिंदु कैसे बनाएं? एक एल्गोरिदम विकसित करने के लिए, हम दो सहायक, लेकिन साथ ही महत्वपूर्ण, तर्क देंगे।

पहला तर्क. मान लीजिए कि मुझे xOy निर्देशांक प्रणाली में, y-अक्ष के समानांतर खींचा गया है और x-अक्ष को निर्देशांक (abscissa) 4 वाले एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है।

(चित्र 26)। इस रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु का भुज 4 है। इसलिए, बिंदु M 1, M 2, M 3 के लिए हमारे पास M 1 (4; 3), M 2 (4; 6), M 3 (4; - 2) है। दूसरे शब्दों में, रेखा पर किसी बिंदु M का भुज x = 4 की स्थिति को संतुष्ट करता है। वे कहते हैं कि x = 4 - समीकरणरेखा l या वह रेखा I समीकरण x = 4 को संतुष्ट करती है।

चित्र 27 समीकरण x = - 4 (रेखा I 1), x = - 1 को संतुष्ट करने वाली सीधी रेखाएँ दिखाता है
(सीधे I 2) x = 3.5 (सीधे I 3)। कौन सी रेखा समीकरण x = 0 को संतुष्ट करती है? क्या आपने इसका अनुमान लगाया? Y अक्ष

दूसरा तर्क. मान लीजिए कि xOy निर्देशांक प्रणाली में एक सीधी रेखा I खींची गई है, जो x अक्ष के समानांतर है और y अक्ष को निर्देशांक (ऑर्डिनेट) 3 वाले एक बिंदु पर काटती है (चित्र 28)। इस रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु की कोटि 3 है। इसलिए, बिंदुओं M 1, M 2, M 3 के लिए हमारे पास है: M 1 (0; 3), M 2 (4; 3), M 3 (- 2; 3) ) . दूसरे शब्दों में, रेखा I के किसी भी बिंदु M की कोटि शर्त y = 3 को संतुष्ट करती है। वे कहते हैं कि y = 3 रेखा I का समीकरण है या वह रेखा I समीकरण y = 3 को संतुष्ट करती है।

चित्र 29 सीधी रेखाएँ दिखाता है जो समीकरण y = - 4 (सीधी रेखा l 1), y = - 1 (सीधी रेखा I 2), y = 3.5 (सीधी रेखा I 3) को संतुष्ट करती हैं - और कौन सी सीधी रेखा समीकरण y = को संतुष्ट करती है 01 क्या आपने इसका अनुमान लगाया? एक्स अक्ष

ध्यान दें कि गणितज्ञ, संक्षिप्तता के लिए प्रयास करते हुए, "रेखा x = 4" कहते हैं, न कि "समीकरण x = 4 को संतुष्ट करने वाली रेखा"। इसी तरह, वे "समीकरण y = 3 को संतुष्ट करने वाली रेखा" के बजाय "रेखा y = 3" कहते हैं। हम वैसा ही करेंगे. आइए अब चित्र 21 पर लौटते हैं। कृपया ध्यान दें कि बिंदु M (- 1.5; 2), जो वहां दर्शाया गया है, सीधी रेखा x = -1.5 और सीधी रेखा y = 2 का प्रतिच्छेदन बिंदु है। अब, जाहिरा तौर पर, बिंदु के निर्माण के लिए एल्गोरिदम उसके दिए गए निर्देशांक के अनुसार स्पष्ट होगा।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली xOy में बिंदु M (a; b) के निर्माण के लिए एल्गोरिदम

उदाहरण xOy समन्वय प्रणाली में, बिंदुओं का निर्माण करें: A (1; 3), B (- 2; 1), C (4; 0), D (0; - 3)।

समाधान। बिंदु A, रेखाओं x = 1 और y = 3 का प्रतिच्छेदन बिंदु है (चित्र 30 देखें)।

बिंदु B, रेखाओं x = - 2 और y = 1 का प्रतिच्छेदन बिंदु है (चित्र 30)। बिंदु C, x-अक्ष से संबंधित है, और बिंदु D, y-अक्ष से संबंधित है (चित्र 30 देखें)।

अनुभाग के अंत में, हम ध्यान दें कि पहली बार, बीजगणितीय को बदलने के लिए एक विमान पर आयताकार समन्वय प्रणाली का सक्रिय रूप से उपयोग किया जाने लगा। मॉडलज्यामितीय फ्रांसीसी दार्शनिक रेने डेसकार्टेस (1596-1650)। इसलिए, कभी-कभी वे कहते हैं "कार्टेशियन समन्वय प्रणाली", "कार्टेशियन निर्देशांक"।

ऑनलाइन स्कूली गणित पाठ्यक्रम के अनुसार ग्रेड, कैलेंडर योजना के अनुसार विषयों की पूरी सूची, वीडियो सामग्री 7वीं कक्षा के लिए गणित में डाउनलोड करें

ए. वी. पोगोरेलोव, ग्रेड 7-11 के लिए ज्यामिति, शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक

§ 1 समन्वय प्रणाली: निर्माण की परिभाषा और विधि

इस पाठ में हम "समन्वय प्रणाली", "समन्वय तल", "समन्वय अक्ष" की अवधारणाओं से परिचित होंगे, और निर्देशांक का उपयोग करके एक तल पर बिंदु बनाना सीखेंगे।

आइए हम मूल बिंदु O, एक सकारात्मक दिशा और एक इकाई खंड के साथ एक समन्वय रेखा x लें।

निर्देशांक की उत्पत्ति के माध्यम से, समन्वय रेखा x के बिंदु O, हम x के लंबवत एक और समन्वय रेखा y खींचते हैं, सकारात्मक दिशा ऊपर की ओर निर्धारित करते हैं, इकाई खंड समान है। इस प्रकार, हमने एक समन्वय प्रणाली बनाई है।

आइए एक परिभाषा दें:

दो परस्पर लंबवत समन्वय रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जो उनमें से प्रत्येक के निर्देशांक का मूल है, एक समन्वय प्रणाली बनाती हैं।

§ 2 निर्देशांक अक्ष और निर्देशांक तल

समन्वय प्रणाली बनाने वाली सीधी रेखाओं को समन्वय अक्ष कहा जाता है, जिनमें से प्रत्येक का अपना नाम होता है: समन्वय रेखा x भुज अक्ष है, समन्वय रेखा y समन्वय अक्ष है।

वह तल जिस पर समन्वय प्रणाली का चयन किया जाता है, समन्वय तल कहलाता है।

वर्णित समन्वय प्रणाली को आयताकार कहा जाता है। फ्रांसीसी दार्शनिक और गणितज्ञ रेने डेसकार्टेस के सम्मान में इसे अक्सर कार्टेशियन समन्वय प्रणाली कहा जाता है।

निर्देशांक तल पर प्रत्येक बिंदु के दो निर्देशांक होते हैं, जिन्हें निर्देशांक अक्ष पर बिंदु से लंब गिराकर निर्धारित किया जा सकता है। किसी समतल पर एक बिंदु के निर्देशांक संख्याओं का एक युग्म होते हैं, जिनमें से पहली संख्या भुज है, दूसरी संख्या कोटि है। भुज x-अक्ष के लंबवत है, कोटि y-अक्ष के लंबवत है।

आइए निर्देशांक तल पर बिंदु A अंकित करें और उससे समन्वय प्रणाली के अक्षों पर लंब बनाएं।

भुज अक्ष (x-अक्ष) के लंबवत के साथ, हम बिंदु A का भुज निर्धारित करते हैं, यह 4 के बराबर है, बिंदु A का कोटि - कोटि अक्ष (y-अक्ष) के लंबवत के साथ 3 है। निर्देशांक हमारे बिंदु 4 और 3 हैं। ए (4;3)। इस प्रकार, निर्देशांक तल पर किसी भी बिंदु के लिए निर्देशांक पाए जा सकते हैं।

§ 3 समतल पर एक बिंदु का निर्माण

दिए गए निर्देशांकों के साथ समतल पर एक बिंदु कैसे बनाएं, अर्थात्। समतल पर किसी बिंदु के निर्देशांकों का उपयोग करके उसकी स्थिति ज्ञात कीजिए? इस मामले में, हम चरणों को उल्टे क्रम में निष्पादित करते हैं। निर्देशांक अक्षों पर हमें दिए गए निर्देशांकों के अनुरूप बिंदु मिलते हैं, जिनके माध्यम से हम x और y अक्षों पर लंबवत सीधी रेखाएँ खींचते हैं। लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु वांछित होगा, अर्थात। दिए गए निर्देशांक वाला एक बिंदु.

आइए कार्य पूरा करें: निर्देशांक तल पर बिंदु M (2;-3) का निर्माण करें।

ऐसा करने के लिए, x-अक्ष पर निर्देशांक 2 वाला एक बिंदु ढूंढें और इस बिंदु से होकर x-अक्ष पर लंबवत एक सीधी रेखा खींचें। कोटि अक्ष पर हमें निर्देशांक -3 वाला एक बिंदु मिलता है, इसके माध्यम से हम y अक्ष पर लंबवत एक सीधी रेखा खींचते हैं। लंब रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु दिया गया बिंदु M होगा।

अब आइए कुछ विशेष मामलों पर नजर डालते हैं।

आइए निर्देशांक तल पर बिंदु A (0; 2), B (0; -3), C (0; 4) अंकित करें।

इन बिंदुओं के भुज 0 के बराबर हैं। चित्र से पता चलता है कि सभी बिंदु कोटि अक्ष पर हैं।

नतीजतन, वे बिंदु जिनके भुज शून्य के बराबर हैं, कोटि अक्ष पर स्थित हैं।

आइए इन बिंदुओं के निर्देशांकों की अदला-बदली करें।

परिणाम A (2;0), B (-3;0) C (4; 0) होगा। इस स्थिति में, सभी निर्देशांक 0 के बराबर हैं और बिंदु x-अक्ष पर हैं।

इसका मतलब यह है कि वे बिंदु जिनके निर्देशांक शून्य के बराबर हैं, भुज अक्ष पर स्थित हैं।

आइए दो और मामलों पर नजर डालते हैं।

निर्देशांक तल पर, बिंदु M (3; 2), N (3; -1), P (3; -4) अंकित करें।

यह देखना आसान है कि बिंदुओं के सभी भुज एक जैसे हैं। यदि ये बिंदु जुड़े हुए हैं, तो आपको कोटि अक्ष के समानांतर और भुज अक्ष के लंबवत एक सीधी रेखा मिलती है।

निष्कर्ष स्वयं ही सुझाता है: जिन बिंदुओं का भुज समान है, वे एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं, जो कोटि अक्ष के समानांतर और भुज अक्ष के लंबवत है।

यदि आप बिंदु M, N, P के निर्देशांक बदलते हैं, तो आपको M (2; 3), N (-1; 3), P (-4; 3) मिलता है। बिंदुओं के निर्देशांक समान होंगे. इस मामले में, यदि आप इन बिंदुओं को जोड़ते हैं, तो आपको भुज अक्ष के समानांतर और कोटि अक्ष के लंबवत एक सीधी रेखा मिलती है।

इस प्रकार, समान कोटि वाले बिंदु भुज अक्ष के समानांतर और कोटि अक्ष के लंबवत एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं।

इस पाठ में आप "समन्वय प्रणाली", "समन्वय तल", "निर्देशांक अक्ष - भुज अक्ष और कोटि अक्ष" की अवधारणाओं से परिचित हुए। हमने सीखा कि निर्देशांक तल पर किसी बिंदु के निर्देशांक कैसे ज्ञात किए जाते हैं और हमने सीखा कि उसके निर्देशांकों का उपयोग करके समतल पर बिंदु कैसे बनाए जाते हैं।

प्रयुक्त साहित्य की सूची:

1. अंक शास्त्र। ग्रेड 6: आई.आई. की पाठ्यपुस्तक के लिए पाठ योजनाएँ। जुबरेवा, ए.जी. मोर्दकोविच // लेखक-संकलक एल.ए. टोपिलिना। - मेनेमोसिने, 2009।
2. अंक शास्त्र। छठी कक्षा: सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक। आई.आई. जुबरेवा, ए.जी. मोर्दकोविच। - एम.: मेनेमोसिना, 2013।
3. अंक शास्त्र। छठी कक्षा: सामान्य शिक्षा संस्थानों/जी.वी. के लिए पाठ्यपुस्तक। डोरोफीव, आई.एफ. शैरगिन, एस.बी. सुवोरोव और अन्य/जी.वी. द्वारा संपादित। डोरोफीवा, आई.एफ. शैरीगिना; रूसी विज्ञान अकादमी, रूसी शिक्षा अकादमी। - एम.: "ज्ञानोदय", 2010
4. गणित की पुस्तिका - http://lyudmilanik.com.ua
5. माध्यमिक विद्यालय के छात्रों के लिए हैंडबुक http://shkolo.ru

समन्वय तल को समझना

प्रत्येक वस्तु (उदाहरण के लिए, एक घर, सभागार में एक स्थान, मानचित्र पर एक बिंदु) का अपना क्रमबद्ध पता (निर्देशांक) होता है, जिसमें एक संख्यात्मक या अक्षर पदनाम होता है।

गणितज्ञों ने एक मॉडल विकसित किया है जो आपको किसी वस्तु की स्थिति निर्धारित करने की अनुमति देता है और इसे कहा जाता है विमान का समन्वय.

एक समन्वय विमान बनाने के लिए, आपको $2$ लंबवत सीधी रेखाएं खींचने की आवश्यकता है, जिसके अंत में तीरों का उपयोग करके "दाईं ओर" और "ऊपर" दिशाएं इंगित की जाती हैं। विभाजन रेखाओं पर लागू होते हैं, और रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु दोनों पैमानों के लिए शून्य चिह्न होता है।

परिभाषा 1

क्षैतिज रेखा कहलाती है X- अक्षऔर x द्वारा निरूपित किया जाता है, और ऊर्ध्वाधर रेखा कहलाती है शाफ़्टऔर इसे y से दर्शाया जाता है।

विभाजनों के साथ दो लंबवत x और y अक्ष बनते हैं आयताकार, या काटीज़ियन, निर्देशांक तरीका, जिसे फ्रांसीसी दार्शनिक और गणितज्ञ रेने डेसकार्टेस द्वारा प्रस्तावित किया गया था।

विमान का समन्वय

बिंदु निर्देशांक

निर्देशांक तल पर एक बिंदु को दो निर्देशांकों द्वारा परिभाषित किया जाता है।

निर्देशांक तल पर बिंदु $A$ के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए, आपको इसके माध्यम से सीधी रेखाएँ खींचने की आवश्यकता है जो निर्देशांक अक्षों के समानांतर होंगी (चित्र में एक बिंदीदार रेखा द्वारा दर्शाया गया है)। x-अक्ष के साथ रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ का $x$ निर्देशांक देता है, और y-अक्ष के साथ रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ का y-निर्देशांक देता है। किसी बिंदु के निर्देशांक लिखते समय, पहले $x$ निर्देशांक लिखा जाता है, और फिर $y$ निर्देशांक लिखा जाता है।

चित्र में बिंदु $A$ के निर्देशांक $(3; 2)$ और बिंदु $B (-1; 4)$ हैं।

निर्देशांक तल पर एक बिंदु आलेखित करने के लिए, विपरीत क्रम में आगे बढ़ें।

निर्दिष्ट निर्देशांक पर एक बिंदु का निर्माण

उदाहरण 1

निर्देशांक तल पर, बिंदु $A(2;5)$ और $B(3; -1).$ बनाएं

समाधान.

बिंदु $A$ का निर्माण:

• $x$ अक्ष पर संख्या $2$ रखें और एक लंबवत रेखा खींचें;
• y-अक्ष पर हम संख्या $5$ आलेखित करते हैं और $y$ अक्ष पर लंबवत एक सीधी रेखा खींचते हैं। लंबवत रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर हमें निर्देशांक $(2; 5)$ के साथ बिंदु $A$ प्राप्त होता है।

बिंदु $B$ का निर्माण:

• आइए $x$ अक्ष पर संख्या $3$ आलेखित करें और x अक्ष पर लंबवत एक सीधी रेखा खींचें;
• $y$ अक्ष पर हम संख्या $(-1)$ आलेखित करते हैं और $y$ अक्ष पर लंबवत एक सीधी रेखा खींचते हैं। लंबवत रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर हमें निर्देशांक $(3; –1)$ के साथ बिंदु $B$ प्राप्त होता है।

उदाहरण 2

दिए गए निर्देशांक $C (3; 0)$ और $D(0; 2)$ के साथ निर्देशांक तल पर बिंदु बनाएं।

समाधान.

बिंदु $C$ का निर्माण:

• संख्या $3$ को $x$ अक्ष पर रखें;
• निर्देशांक $y$ शून्य के बराबर है, जिसका अर्थ है कि बिंदु $C$ $x$ अक्ष पर स्थित होगा।

बिंदु $D$ का निर्माण:

• संख्या $2$ को $y$ अक्ष पर रखें;
• निर्देशांक $x$ शून्य के बराबर है, जिसका अर्थ है कि बिंदु $D$ $y$ अक्ष पर स्थित होगा।

नोट 1

इसलिए, निर्देशांक $x=0$ पर बिंदु $y$ अक्ष पर स्थित होगा, और निर्देशांक $y=0$ पर बिंदु $x$ अक्ष पर स्थित होगा।

उदाहरण 3

बिंदु A, B, C, D.$ के निर्देशांक निर्धारित करें

समाधान.

आइए बिंदु $A$ के निर्देशांक निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, हम इस बिंदु $2$ से होकर सीधी रेखाएँ खींचते हैं जो निर्देशांक अक्षों के समानांतर होंगी। x-अक्ष के साथ रेखा का प्रतिच्छेदन निर्देशांक $x$ देता है, y-अक्ष के साथ रेखा का प्रतिच्छेदन निर्देशांक $y$ देता है। इस प्रकार, हमें वह बिंदु $A (1; 3).$ प्राप्त होता है

आइए बिंदु $B$ के निर्देशांक निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, हम इस बिंदु $2$ से होकर सीधी रेखाएँ खींचते हैं जो निर्देशांक अक्षों के समानांतर होंगी। x-अक्ष के साथ रेखा का प्रतिच्छेदन निर्देशांक $x$ देता है, y-अक्ष के साथ रेखा का प्रतिच्छेदन निर्देशांक $y$ देता है। हमें वह बिंदु $B (-2; 4).$ मिलता है

आइए बिंदु $C$ के निर्देशांक निर्धारित करें। क्योंकि यह $y$ अक्ष पर स्थित है, तो इस बिंदु का $x$ निर्देशांक शून्य है। Y निर्देशांक $–2$ है। इस प्रकार, बिंदु $C (0; –2)$।

आइए बिंदु $D$ के निर्देशांक निर्धारित करें। क्योंकि यह $x$ अक्ष पर है, तो $y$ निर्देशांक शून्य है। इस बिंदु का $x$ निर्देशांक $–5$ है। इस प्रकार, बिंदु $D (5; 0).$

उदाहरण 4

बिंदु $E(-3; -2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; -4), O(0; 0).$ की रचना करें।

समाधान.

बिंदु $E$ का निर्माण:

• $x$ अक्ष पर संख्या $(–3)$ रखें और एक लंबवत रेखा खींचें;
• $y$ अक्ष पर हम संख्या $(-2)$ आलेखित करते हैं और $y$ अक्ष पर एक लंबवत रेखा खींचते हैं;
• लंबवत रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर हमें बिंदु $E (-3; -2).$ प्राप्त होता है

बिंदु $F$ का निर्माण:

• समन्वय $y=0$, जिसका अर्थ है कि बिंदु $x$ अक्ष पर स्थित है;
• आइए $x$ अक्ष पर संख्या $5$ आलेखित करें और बिंदु $F(5; 0).$ प्राप्त करें

बिंदु $G$ का निर्माण:

• $x$ अक्ष पर संख्या $3$ रखें और $x$ अक्ष पर एक लंबवत रेखा खींचें;
• $y$ अक्ष पर हम संख्या $4$ आलेखित करते हैं और $y$ अक्ष पर एक लंबवत रेखा खींचते हैं;
• लंबवत रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर हमें बिंदु $G(3; 4).$ प्राप्त होता है

बिंदु $H$ का निर्माण:

• समन्वय $x=0$, जिसका अर्थ है कि बिंदु $y$ अक्ष पर स्थित है;
• आइए $y$ अक्ष पर संख्या $(–4)$ आलेखित करें और बिंदु $H(0;–4).$ प्राप्त करें

बिंदु $O$ का निर्माण:

• बिंदु के दोनों निर्देशांक शून्य के बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि बिंदु $y$ अक्ष और $x$ अक्ष दोनों पर एक साथ स्थित है, इसलिए यह दोनों अक्षों का प्रतिच्छेदन बिंदु है (निर्देशांक की उत्पत्ति)।