त्रिकोणमितीय समीकरणों का समाधान। त्रिकोणमितीय समीकरण त्रिकोणमितीय समीकरण sinx 1 2 को हल कीजिये

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एक बार मैंने दो आवेदकों के बीच बातचीत देखी:

- आपको कब 2πn जोड़ने की आवश्यकता है, और कब - πn? मुझे याद नहीं!

- और मुझे भी यही समस्या है।

मैं उनसे कहना चाहता था: "यह याद रखना जरूरी नहीं है, लेकिन समझने के लिए!"

यह लेख मुख्य रूप से हाई स्कूल के छात्रों को संबोधित किया गया है और मुझे आशा है कि सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए "समझने" में उनकी मदद करेगा:

संख्या चक्र

संख्या रेखा की अवधारणा के साथ-साथ संख्या वृत्त की अवधारणा भी है। जैसा कि हम जानते हैं, एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, बिंदु (0; 0) पर केंद्र और 1 की त्रिज्या वाले एक वृत्त को एक इकाई वृत्त कहा जाता है।एक पतले धागे के साथ एक संख्या रेखा की कल्पना करें और इसे इस वृत्त के चारों ओर लपेटें: संदर्भ बिंदु (बिंदु 0), इसे इकाई चक्र के "दाएं" बिंदु से जोड़ दें, धनात्मक अर्धअक्ष को वामावर्त और ऋणात्मक अर्धअक्ष को दिशा में लपेटें ( चित्र एक)। ऐसे एकक वृत्त को संख्या वृत्त कहते हैं।

संख्या चक्र गुण

• प्रत्येक वास्तविक संख्या संख्या वृत्त के एक बिंदु पर होती है।
• संख्या वृत्त के प्रत्येक बिंदु पर अपरिमित रूप से अनेक वास्तविक संख्याएँ होती हैं। चूंकि यूनिट सर्कल की लंबाई 2π है, सर्कल पर एक बिंदु पर किसी भी दो संख्याओं के बीच का अंतर ±2π संख्याओं में से एक के बराबर है; ± 4π; ± 6π; …

आइए निष्कर्ष निकालते हैं: बिंदु A की संख्याओं में से किसी एक को जानने पर, हम बिंदु A की सभी संख्याओं का पता लगा सकते हैं.

आइए एसी व्यास (चित्र 2) बनाएं। चूँकि x_0 बिंदु A की संख्याओं में से एक है, तो संख्याएँ x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; … और केवल वे बिंदु C की संख्याएँ होंगी। आइए इनमें से किसी एक संख्या को चुनें, कहते हैं, x_0+π, और इसका उपयोग बिंदु C की सभी संख्याओं को लिखने के लिए करें: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ जेड ध्यान दें कि बिंदु ए और सी पर संख्याओं को एक सूत्र में जोड़ा जा सकता है: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (k = 0; ±2; ±4; ... के लिए हमें संख्याएं मिलती हैं बिंदु A, और k = ±1, ±3, ±5, … के लिए बिंदु C की संख्याएँ हैं)।

आइए निष्कर्ष निकालते हैं: व्यास AC के किसी एक बिंदु A या C पर संख्याओं में से एक को जानकर, हम इन बिंदुओं पर सभी संख्याएँ ज्ञात कर सकते हैं।

• दो विपरीत संख्याएं वृत्त के उन बिंदुओं पर स्थित होती हैं जो भुज अक्ष के सममित होते हैं।

आइए एक लंबवत जीवा AB (चित्र 2) बनाएं। चूंकि बिंदु ए और बी ऑक्स अक्ष के बारे में सममित हैं, संख्या -x_0 बिंदु बी पर स्थित है और इसलिए, बिंदु बी की सभी संख्याएं सूत्र द्वारा दी गई हैं: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z। हम अंक A और B पर संख्याओं को एक सूत्र के साथ लिखते हैं: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. आइए निष्कर्ष निकालते हैं: ऊर्ध्वाधर जीवा AB के किसी एक बिंदु A या B पर संख्याओं में से एक को जानकर, हम इन बिंदुओं पर सभी संख्याएँ ज्ञात कर सकते हैं। क्षैतिज जीवा AD पर विचार करें और बिंदु D की संख्या ज्ञात करें (चित्र 2)। चूँकि BD व्यास है और संख्या -x_0 बिंदु B से संबंधित है, तो -x_0 + π बिंदु D की संख्याओं में से एक है और इसलिए, इस बिंदु की सभी संख्याएँ सूत्र द्वारा दी गई हैं x_D=-x_0+π+2πk , के∈जेड। बिंदुओं A और D पर संख्याएँ एक सूत्र का उपयोग करके लिखी जा सकती हैं: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z । (के = 0; ±2; ±4; ... के लिए हमें बिंदु ए की संख्या मिलती है, और के = ±1; ±3; ±5; ... - बिंदु डी की संख्या)।

आइए निष्कर्ष निकालते हैं: क्षैतिज जीवा AD के किसी एक बिंदु A या D पर कोई एक संख्या जानने पर हम इन बिंदुओं पर सभी संख्याएँ ज्ञात कर सकते हैं।

संख्या वृत्त के सोलह मुख्य बिंदु

व्यवहार में, सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों में से अधिकांश का समाधान वृत्त के सोलह बिंदुओं (चित्र 3) से जुड़ा है। ये डॉट्स क्या हैं? लाल, नीले और हरे रंग के बिंदु वृत्त को 12 बराबर भागों में विभाजित करते हैं। चूँकि अर्धवृत्त की लंबाई π है, चाप A1A2 की लंबाई π/2 है, चाप A1B1 की लंबाई π/6 है, और चाप A1C1 की लंबाई π/3 है।

अब हम बिंदुओं पर एक संख्या निर्दिष्ट कर सकते हैं:

π/3 पर С1 और

नारंगी वर्ग के शीर्ष प्रत्येक तिमाही के चाप के मध्यबिंदु हैं, इसलिए चाप A1D1 की लंबाई π/4 के बराबर है, और इसलिए π/4 बिंदु D1 की संख्याओं में से एक है। संख्या वृत्त के गुणों का उपयोग करके, हम सूत्रों का उपयोग करके अपने वृत्त के सभी चिन्हित बिंदुओं पर सभी संख्याओं को लिख सकते हैं। आंकड़ा इन बिंदुओं के निर्देशांक भी दिखाता है (हम उनके अधिग्रहण के विवरण को छोड़ देते हैं)।

उपरोक्त सीख लेने के बाद, अब हमारे पास विशेष मामलों (संख्या के नौ मानों के लिए) को हल करने के लिए पर्याप्त तैयारी है एक)सबसे सरल समीकरण।

समीकरणों को हल करें

1)sinx=1⁄(2).

- हमें क्या चाहिए?

– वे सभी संख्याएँ x ज्ञात कीजिए जिनकी ज्या 1/2 है.

साइन की परिभाषा याद करें: sinx - संख्या चक्र के बिंदु का समन्वय, जिस पर संख्या x स्थित है. वृत्त पर हमारे पास दो बिंदु हैं, जिसकी कोटि 1/2 के बराबर है। ये क्षैतिज जीवा B1B2 के सिरे हैं। इसका मतलब यह है कि आवश्यकता "समीकरण sinx=1⁄2 को हल करें" आवश्यकता के बराबर है "बिंदु B1 पर सभी संख्याएँ और बिंदु B2 पर सभी संख्याएँ खोजें"।

2)sinx=-√3⁄2 .

हमें बिंदु C4 और C3 पर सभी संख्याएँ ज्ञात करने की आवश्यकता है।

3) sinx=1. वृत्त पर हमारे पास केवल एक बिंदु है जिसकी कोटि 1 है - बिंदु A2 और, इसलिए, हमें इस बिंदु की केवल सभी संख्याओं को खोजने की आवश्यकता है।

उत्तर: x=π/2+2πk , k∈Z ।

4)sinx=-1 .

केवल बिंदु A_4 की कोटि -1 है। इस बिंदु की सभी संख्याएँ समीकरण के घोड़े होंगे।

उत्तर: x=-π/2+2πk , k∈Z ।

5) sinx=0 .

वृत्त पर हमारे पास 0-अंक A1 और A3 के साथ दो बिंदु हैं। आप प्रत्येक बिंदु पर अलग-अलग संख्याएँ निर्दिष्ट कर सकते हैं, लेकिन यह देखते हुए कि ये बिंदु बिल्कुल विपरीत हैं, उन्हें एक सूत्र में संयोजित करना बेहतर है: x=πk ,k∈Z ।

उत्तर: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

कोसाइन की परिभाषा याद करें: cosx - संख्यात्मक वृत्त के उस बिंदु का भुज जिस पर संख्या x स्थित है।वृत्त पर हमारे पास भुज के साथ दो बिंदु हैं √2⁄2 - क्षैतिज जीवा D1D4 के सिरे। हमें इन बिंदुओं पर सभी संख्याएँ खोजने की आवश्यकता है। हम उन्हें एक सूत्र में जोड़कर लिखते हैं।

उत्तर: x=±π/4+2πk , k∈Z ।

7) cosx=-1/2 .

हमें अंक C_2 और C_3 पर संख्याओं को खोजने की आवश्यकता है।

उत्तर: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

केवल बिंदु A2 और A4 में भुज 0 है, जिसका अर्थ है कि इनमें से प्रत्येक बिंदु पर सभी संख्याएँ समीकरण के समाधान होंगी।
.

सिस्टम के समीकरण के समाधान बिंदु B_3 और B_4 पर संख्याएं हैं। असमानता cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
उत्तर: x=-5π/6+2πk , k∈Z ।

ध्यान दें कि x के किसी भी स्वीकार्य मूल्य के लिए, दूसरा कारक सकारात्मक है और इसलिए, समीकरण प्रणाली के समतुल्य है

सिस्टम समीकरण के समाधान बिंदुओं की संख्या हैं D_2 तथा D_3 । बिंदु D_2 की संख्याएँ असमानता sinx≤0.5 को संतुष्ट नहीं करती हैं, लेकिन बिंदु D_3 की संख्याएँ करती हैं।

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त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की मुख्य विधियाँ हैं: समीकरणों को सरलतम (त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके) घटाना, नए चरों को प्रस्तुत करना, गुणनखण्ड करना। आइए उदाहरणों के साथ उनके आवेदन पर विचार करें। त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान के पंजीकरण पर ध्यान दें।

त्रिकोणमितीय समीकरणों के सफल समाधान के लिए एक आवश्यक शर्त त्रिकोणमितीय सूत्रों का ज्ञान है (कार्य 6 का विषय 13)।

उदाहरण।

1. सरलतम को कम करने वाले समीकरण।

1) समीकरण को हल कीजिए

फेसला:

जवाब:

2) समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए

(sinx + cosx) 2 = 1 - sinxcosx खंड से संबंधित है।

फेसला:

जवाब:

2. द्विघात समीकरणों को कम करने वाले समीकरण।

1) समीकरण 2 sin 2 x - cosx -1 = 0 को हल करें।

फेसला:सूत्र sin 2 x \u003d 1 - cos 2 x का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

जवाब:

2) समीकरण cos 2x = 1 + 4 cosx को हल करें।

फेसला:सूत्र cos 2x = 2 cos 2 x - 1 का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

जवाब:

3) समीकरण tgx - 2ctgx + 1 = 0 को हल करें

फेसला:

जवाब:

3. सजातीय समीकरण

1) समीकरण 2sinx - 3cosx = 0 को हल करें

हल: माना cosx = 0, फिर 2sinx = 0 और sinx = 0 - इस तथ्य के साथ एक विरोधाभास है कि sin 2 x + cos 2 x = 1. तो cosx ≠ 0 और आप समीकरण को cosx से विभाजित कर सकते हैं। पाना

जवाब:

2) समीकरण 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x को हल करें

फेसला:

सूत्र 1 = sin 2 x + cos 2 x और sin 2x = 2 sinxcosx का प्रयोग करके हम पाते हैं

sin2x + cos2x + 7cos2x = 6sinxcosx
sin2x - 6sinxcosx+ 8cos2x = 0

चलो cosx = 0, फिर sin 2 x = 0 और sinx = 0 - इस तथ्य के साथ एक विरोधाभास है कि sin 2 x + cos 2 x = 1।
अतः cosx ≠ 0 और हम समीकरण को cos 2 x से विभाजित कर सकते हैं . पाना

टीजी 2x - 6 टीजीएक्स + 8 = 0
tgx = y निरूपित करें
वाई 2 - 6 वाई + 8 = 0
वाई 1 = 4; वाई2=2
क) tanx = 4, x = चाप4 + 2 क, क
बी) टीजीएक्स = 2, एक्स = आर्कटग2 + 2 क, क .

जवाब:आर्कटग4 + 2 क, आर्कटान 2 + 2 कश्मीर, कश्मीर

4. रूप के समीकरण एकसिनक्स + बी cosx = साथ साथ≠ 0.

1) समीकरण को हल कीजिए।

फेसला:

जवाब:

5. गुणनखंडन द्वारा हल किए गए समीकरण।

1) समीकरण sin2x - sinx = 0 को हल करें।

समीकरण की जड़ एफ (एक्स) = φ ( एक्स) केवल संख्या 0 के रूप में काम कर सकता है। आइए इसे जांचें:

cos 0 = 0 + 1 - समानता सत्य है।

संख्या 0 इस समीकरण का एकमात्र मूल है।

जवाब: 0.