ज्यामिति की समस्याओं को हल करना: चतुर्भुजों को हल करना। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के आधे गुणनफल के बराबर होता है

कार्य 4.

4√6 लंबाई वाले समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण आधार के साथ 60° का कोण बनाता है, और दूसरा विकर्ण उसी आधार के साथ 45° का कोण बनाता है। दूसरा विकर्ण ज्ञात कीजिये.

समाधान।

1. एओ = 2√6.

2. हम साइन प्रमेय को त्रिभुज AOD पर लागू करते हैं।

एओ/पाप डी = ओडी/पाप ए.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

ОD = (2√6sin 60 о) / पाप 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

उत्तर: 12.

कार्य 5.

5√2 और 7√2 भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज के लिए, विकर्णों के बीच का छोटा कोण समांतर चतुर्भुज के छोटे कोण के बराबर होता है। विकर्णों की लंबाई का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान।

मान लीजिए कि d 1, d 2 समांतर चतुर्भुज के विकर्ण हैं, और विकर्णों और समांतर चतुर्भुज के छोटे कोण के बीच का कोण φ के बराबर है।

1. आइए दो अलग-अलग गिनें
इसके क्षेत्रफल को मापता है।

एस एबीसीडी = एबी एडी पाप ए = 5√2 7√2 पाप एफ,

एस एबीसीडी = 1/2 एसी वीडी सिन एओबी = 1/2 डी 1 डी 2 सिन एफ।

हमें समानता प्राप्त होती है 5√2 · 7√2 · पाप एफ = 1/2डी 1 डी 2 पाप एफ या

2 · 5√2 · 7√2 = डी 1 डी 2 ;

2. समांतर चतुर्भुज की भुजाओं और विकर्णों के बीच संबंध का उपयोग करके, हम समानता लिखते हैं

(एबी 2 + एडी 2) 2 = एसी 2 + बीडी 2।

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = डी 1 2 + डी 2 2।

डी 1 2 + डी 2 2 = 296.

3. आइए एक सिस्टम बनाएं:

(डी 1 2 + डी 2 2 = 296,
(डी 1 + डी 2 = 140.

आइए सिस्टम के दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करें और इसे पहले में जोड़ें।

हमें (d 1 + d 2) 2 = 576 मिलता है। इसलिए Id 1 + d 2 I = 24।

चूँकि d 1, d 2 समांतर चतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई हैं, तो d 1 + d 2 = 24।

उत्तर: 24.

कार्य 6.

समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ 4 और 6 हैं। विकर्णों के बीच न्यून कोण 45 डिग्री है। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

समाधान।

1. त्रिभुज AOB से, कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके, हम समांतर चतुर्भुज की भुजा और विकर्णों के बीच संबंध लिखते हैं।

एबी 2 = एओ 2 + वीओ 2 2 · एओ · वीओ · कॉस एओबी।

4 2 = (डी 1 /2) 2 + (डी 2 /2) 2 - 2 · (डी 1/2) · (डी 2 /2)कोस 45 ओ;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

डी 1 2 + डी 2 2 – डी 1 · डी 2 √2 = 64.

2. इसी प्रकार, हम त्रिभुज AOD के लिए संबंध लिखते हैं।

आइए इसे ध्यान में रखें<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

हमें समीकरण d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144 मिलता है।

3. हमारे पास एक सिस्टम है
(डी 1 2 + डी 2 2 – डी 1 · डी 2 √2 = 64,
(डी 1 2 + डी 2 2 + डी 1 · डी 2 √2 = 144।

पहले को दूसरे समीकरण से घटाने पर, हमें 2d 1 · d 2 √2 = 80 या प्राप्त होता है

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. एस एबीसीडी = 1/2 एसी Вडी पाप एओबी = 1/2 डी 1 डी 2 पाप α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

टिप्पणी:इस और पिछली समस्या में सिस्टम को पूरी तरह से हल करने की आवश्यकता नहीं है, यह अनुमान लगाते हुए कि इस समस्या में हमें क्षेत्र की गणना करने के लिए विकर्णों के उत्पाद की आवश्यकता है।

उत्तर: 10.

कार्य 7.

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 96 है और इसकी भुजाएँ 8 और 15 हैं। छोटे विकर्ण का वर्ग ज्ञात कीजिए।

समाधान।

1. एस एबीसीडी = एबी · एडी · पाप वीएडी। आइए सूत्र में एक प्रतिस्थापन करें।

हमें 96 = 8 · 15 · पाप ВAD प्राप्त होता है। अत: पाप ВAD = 4/5.

2. आइए खोजें क्योंकि VAD. पाप 2 वीएडी + कॉस 2 वीएडी = 1.

(4/5) 2 + कॉस 2 वीएडी = 1. कॉस 2 वीएडी = 9/25।

समस्या की स्थितियों के अनुसार, हम छोटे विकर्ण की लंबाई ज्ञात करते हैं। यदि कोण ВАD न्यून कोण है तो विकर्ण ВD छोटा होगा। तब cos VAD = 3/5.

3. त्रिभुज ABD से, कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके, हम विकर्ण BD का वर्ग ज्ञात करते हैं।

ВD 2 = АВ 2 + АD 2 - 2 · АВ · ВD · cos ВAD।

वीडी 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145।

उत्तर: 145.

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प्रमेय 1.एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधारों और उसकी ऊँचाई के आधे योग के गुणनफल के बराबर होता है:

प्रमेय 2.एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण इसे चार त्रिभुजों में विभाजित करते हैं, जिनमें से दो समान हैं और अन्य दो का क्षेत्रफल समान है:

प्रमेय 3.एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधार के गुणनफल और दिए गए आधार द्वारा कम की गई ऊंचाई, या दो भुजाओं के गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है:

प्रमेय 4.एक समांतर चतुर्भुज में, विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है:

प्रमेय 5.एक मनमाना उत्तल चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के आधे उत्पाद और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है:

प्रमेय 6.एक वृत्त के चारों ओर परिचालित चतुर्भुज का क्षेत्रफल इस चतुर्भुज की अर्ध-परिधि और दिए गए वृत्त की त्रिज्या के गुणनफल के बराबर होता है:

प्रमेय 7.एक चतुर्भुज जिसका शीर्ष एक मनमाना उत्तल चतुर्भुज की भुजाओं के मध्यबिंदु हैं, एक समांतर चतुर्भुज है जिसका क्षेत्रफल मूल चतुर्भुज के आधे क्षेत्रफल के बराबर है:

प्रमेय 8.यदि एक उत्तल चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंबवत हों, तो इस चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के वर्गों का योग बराबर होता है:

AB2 + CD2 = BC2 + AD2.

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कुछ प्रमेयों के प्रमाण

प्रमेय 2 का प्रमाण. माना कि ABCD एक दिया हुआ समलंब है, AD और BC इसके आधार हैं, O इस समलंब के विकर्ण AC और BD का प्रतिच्छेदन बिंदु है। आइए हम सिद्ध करें कि त्रिभुज AOB और COD का क्षेत्रफल समान है। ऐसा करने के लिए, बिंदु B और C से रेखा AD पर लंबवत BP और CQ को नीचे करें। तो त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल है

और त्रिभुज ACD का क्षेत्रफल है

चूँकि BP = CQ, तो S∆ABD = S∆ACD. लेकिन त्रिभुज AOB का क्षेत्रफल त्रिभुज ABD और AOD के क्षेत्रफलों के बीच का अंतर है, और त्रिभुज COD का क्षेत्रफल त्रिभुज ACD और AOD के क्षेत्रफलों के बीच का अंतर है। इसलिए, जैसा कि सिद्ध करना आवश्यक है, त्रिभुज AOB और COD का क्षेत्रफल बराबर है।

प्रमेय 4 का प्रमाण. माना कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, AB = CD = ए, एडी = बीसी = बी,
AC = d1, BD = d2, ∠BAD = α, ∠ADC = 180° – α। आइए हम त्रिभुज ABD पर कोसाइन प्रमेय लागू करें:

अब कोज्या प्रमेय को त्रिभुज ACD पर लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है:

परिणामी समानताओं को पद दर पद जोड़ने पर, हमें वह प्राप्त होता है क्यू.ई.डी.

प्रमेय 5 का प्रमाण। माना ABCD एक मनमाना उत्तल चतुर्भुज है, E इसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है, AE = ए, बीई = बी,
सीई = सी, डीई = डी, ∠एईबी = ∠सीईडी = ϕ, ∠बीईसी =
= ∠AED = 180° – ϕ. हमारे पास है:

क्यू.ई.डी.

प्रमेय 6 का प्रमाण. मान लीजिए ABCD एक मनमाना चतुर्भुज है जो एक वृत्त के चारों ओर परिचालित है, O इस वृत्त का केंद्र है, बिंदु O से रेखाओं AB, BC, CD और AD पर खींचे गए लंब क्रमशः OK, OL, OM और ON हैं। हमारे पास है:

जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है और p चतुर्भुज ABCD का अर्ध-परिधि है।

प्रमेय 7 का प्रमाण. मान लीजिए ABCD एक मनमाना उत्तल चतुर्भुज है, K, L, M और N क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और AD के मध्यबिंदु हैं। चूँकि KL त्रिभुज ABC की मध्य रेखा है, तो रेखा KL, रेखा AC के समानांतर है और इसी प्रकार, रेखा MN, रेखा AC के समानांतर है और इसलिए, KLMN एक समांतर चतुर्भुज है। त्रिभुज KBL पर विचार करें। इसका क्षेत्रफल त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल के एक चौथाई के बराबर है। त्रिभुज MDN का क्षेत्रफल भी त्रिभुज ACD के क्षेत्रफल के एक चौथाई के बराबर है। इस तरह,

वैसे ही,

यह मतलब है कि

यह उसका पालन कहां करता है

प्रमेय 8 का प्रमाण. माना ABCD एक मनमाना उत्तल चतुर्भुज है जिसके विकर्ण परस्पर लंबवत हैं, मान लीजिए E इसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है,
एई = ए, बीई = बी, सीई = सी, डीई = डी। आइए हम पाइथागोरस प्रमेय को त्रिभुज ABE और CDE पर लागू करें:
AB2 = AE2 + BE2 = ए 2 + बी2,
CD2 = CE2 + DE2 = c2 + d2,
इस तरह,
AB2 + CD2 = ए 2 + बी2 + सी2 + डी2।
अब पाइथागोरस प्रमेय को त्रिभुज ADE और BCE पर लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
AD2 = AE2 + DE2 = ए 2 + डी2,
BC2 = BE2 + CE2 = b2 + c2,
यह उसका पालन कहां करता है
AD2 + BC2 = ए 2 + बी2 + सी2 + डी2।
इसका अर्थ है AB2 + CD2 = AD2 + BC2, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

समस्या समाधान

समस्या 1. वृत्त के चारों ओर आधार कोण α और β वाला एक समलम्ब चतुर्भुज का वर्णन किया गया है। समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल और वृत्त के क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात कीजिए।

समाधान. मान लीजिए ABCD एक दिया हुआ समलंब है, AB और CD इसके आधार हैं, DK और CM बिंदु C और D से रेखा AB पर खींचे गए लंब हैं। आवश्यक अनुपात वृत्त की त्रिज्या पर निर्भर नहीं करता है। इसलिए, हम मान लेंगे कि त्रिज्या 1 है। फिर वृत्त का क्षेत्रफल π के बराबर है, आइए समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें। चूँकि त्रिभुज ADK समकोण है

इसी प्रकार, समकोण त्रिभुज बीसीएम से हम पाते हैं कि चूँकि एक वृत्त को किसी दिए गए समलंब में अंकित किया जा सकता है, विपरीत भुजाओं का योग बराबर होता है:
एबी + सीडी = एडी + बीसी,
हम इसे कहां से पाते हैं?

तो समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल है

और आवश्यक अनुपात बराबर है
उत्तर:

समस्या 2. उत्तल चतुर्भुज ABCD में, कोण A 90° के बराबर है, और कोण C 90° से अधिक नहीं है। शीर्ष B और D से लंब BE और DF विकर्ण AC पर गिराए जाते हैं। यह ज्ञात है कि AE = CF. सिद्ध कीजिए कि कोण C सही है।

सबूत. चूँकि कोण A 90° है,
और कोण C 90° से अधिक नहीं है, तो बिंदु E और F विकर्ण AC पर स्थित हैं। व्यापकता की हानि के बिना, हम यह मान सकते हैं कि ए.ई< AF (в противном случае следует повторить все нижеследующие рассуждения с заменой точек B и D). Пусть ∠ABE = α,
∠EBC = β, ∠FDA = γ, ∠FDC = δ. हमारे लिए यह साबित करना पर्याप्त है कि α + β + γ + δ = π। क्योंकि

जहां से हमें वह मिलता है जिसे साबित करना आवश्यक था।

समस्या 3. एक वृत्त के चारों ओर परिचालित समद्विबाहु समलंब की परिधि p के बराबर होती है। इस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि समलंब के आधार पर न्यून कोण α के बराबर है।
समाधान. मान लीजिए कि ABCD AD और BC आधारों वाला एक समद्विबाहु समलंब है, मान लीजिए BH शीर्ष B से गिराए गए इस समलंब की ऊंचाई है।
चूँकि किसी दिए गए समलंब में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है

इस तरह,

समकोण त्रिभुज ABH से हम पाते हैं,

उत्तर:

समस्या 4. AD और BC आधारों वाला एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD दिया गया है। विकर्ण AC और BD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं, और रेखाएँ AB और CD बिंदु K पर प्रतिच्छेद करती हैं। रेखा KO भुजाओं BC और AD को क्रमशः बिंदु M और N पर प्रतिच्छेद करती है, और कोण BAD 30° है। यह ज्ञात है कि समलम्ब चतुर्भुज ABMN और NMCD में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। त्रिभुज BKC और समलम्ब चतुर्भुज ABCD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

समाधान. जैसा कि ज्ञात है, एक मनमाना ट्रेपेज़ॉइड के लिए, विकर्णों के चौराहे के बिंदु और पार्श्व पक्षों के विस्तार के चौराहे के बिंदु को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा प्रत्येक आधार को आधे में विभाजित करती है। तो बीएम = एमसी और एएन = एनडी। इसके अलावा, चूंकि एक वृत्त को समलम्ब चतुर्भुज ABMN और NMCD में अंकित किया जा सकता है
बीएम + एएन = एबी + एमएन,
एमसी + एनडी = सीडी + एमएन।
इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि AB = CD, अर्थात् समलम्ब चतुर्भुज ABCD समद्विबाहु है। आवश्यक क्षेत्रफल अनुपात पैमाने पर निर्भर नहीं करता है, इसलिए हम मान सकते हैं कि KN = x, KM = 1. समकोण त्रिभुज AKN और BKM से हम प्राप्त करते हैं कि ऊपर पहले से उपयोग किए गए संबंध को दोबारा लिखने पर
बीएम + एएन = एबी + एमएन ⇔

हमें अनुपात की गणना करने की आवश्यकता है:

यहां हमने इस तथ्य का उपयोग किया है कि त्रिभुज AKD और BKC के क्षेत्रफल, भुजाओं KN और KM के वर्गों के रूप में, अर्थात x2 के रूप में संबंधित हैं।

उत्तर:

कार्य 5.उत्तल चतुर्भुज ABCD में, बिंदु E, F, H, G क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD, DA के मध्य बिंदु हैं, और O खंड EH और FG का प्रतिच्छेदन बिंदु है। यह ज्ञात है कि EH= ए, FG = b, चतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई ज्ञात करें।

समाधान. यह ज्ञात है कि यदि आप किसी मनमाने चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं को श्रृंखला में जोड़ते हैं, तो आपको एक समांतर चतुर्भुज प्राप्त होता है। हमारे मामले में, EFHG एक समांतर चतुर्भुज है और O इसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है। तब

आइए हम कोज्या प्रमेय को त्रिभुज FOH पर लागू करें:

चूँकि FH त्रिभुज BCD की मध्य रेखा है

इसी प्रकार, कोसाइन प्रमेय को त्रिभुज EFO पर लागू करने पर, हमें वह प्राप्त होता है

उत्तर:

कार्य 6.एक समलम्ब चतुर्भुज की पार्श्व भुजाएँ 3 और 5 हैं। यह ज्ञात है कि एक वृत्त को समलम्ब चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है। एक समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा इसे दो भागों में विभाजित करती है, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात समलम्ब चतुर्भुज के आधार ज्ञात करने के बराबर होता है।

समाधान. मान लीजिए कि ABCD एक दिया हुआ समलम्बाकार है, AB = 3 और CD = 5 इसकी पार्श्व भुजाएँ हैं, बिंदु K और M क्रमशः भुजाओं AB और CD के मध्यबिंदु हैं। मान लीजिए, निश्चितता के लिए, AD > BC, तो समलम्ब चतुर्भुज AKMD का क्षेत्रफल समलम्ब चतुर्भुज KBCM के क्षेत्रफल से अधिक होगा। चूँकि KM समलंब चतुर्भुज ABCD की मध्य रेखा है, इसलिए समलम्ब चतुर्भुज AKMD और KBCM की ऊँचाई समान है। चूँकि एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधारों और ऊँचाई के आधे योग के गुणनफल के बराबर है, निम्नलिखित समानता सत्य है:

इसके अलावा, चूँकि एक वृत्त को समलम्ब चतुर्भुज ABCD में अंकित किया जा सकता है, तो AD + BC = AB + CD = 8. तब KM = 4 समलम्ब चतुर्भुज ABCD की मध्य रेखा के रूप में। मान लीजिए BC = x, तो AD = 8 – x। हमारे पास है:
तो BC = 1 और AD = 7.

उत्तर: 1 और 7.

समस्या 7. समलंब चतुर्भुज ABCD का आधार AB, आधार CD से दोगुना लंबा और भुजा AD से दोगुना लंबा है। विकर्ण AC की लंबाई है ए, और भुजा BC की लंबाई b के बराबर है। समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान. मान लीजिए E समलम्ब चतुर्भुज की पार्श्व भुजाओं के विस्तार का प्रतिच्छेदन बिंदु है और CD = x है, तो AD = x, AB = 2x है। खंड CD खंड AB के समानांतर है और इसकी लंबाई का आधा है, जिसका अर्थ है कि CD त्रिभुज ABE की मध्य रेखा है। इसलिए, CE = BC = b और DE = AD = x, इसलिए AE = 2x। तो, त्रिभुज ABE समद्विबाहु (AB = AE) है और AC इसकी माध्यिका है। अतः AC इस त्रिभुज की ऊँचाई भी है, जिसका अर्थ है

चूँकि त्रिभुज DEC समानता गुणांक के साथ त्रिभुज AEB के समान है

उत्तर:

समस्या 8. समलम्ब चतुर्भुज ABCD के विकर्ण बिंदु E पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि समलम्ब चतुर्भुज के आधारों की लंबाई AB = 30, DC = 24, भुजाएँ AD = 3 और कोण DAB 60° है, तो त्रिभुज BCE का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

समाधान. मान लीजिए DH समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई है। त्रिभुज ADH से हम उसे पाते हैं

चूँकि शीर्ष C से गिराए गए त्रिभुज ABC की ऊँचाई समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई DH के बराबर है, हमारे पास है:

उत्तर:

समस्या 9. एक ट्रेपेज़ॉइड में, मध्य रेखा 4 है, और आधारों में से एक पर कोण 40° और 50° हैं। यदि आधारों के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाला खंड 1 के बराबर है तो ट्रेपेज़ॉइड के आधार खोजें।

समाधान. माना कि ABCD एक दिया हुआ समलम्बाकार है, AB और CD इसके आधार हैं (AB< CD), M, N - середины AB и CD соответственно. Пусть также ∠ADC = 50°, ∠BCD = 40°. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому
AB + CD = 8. भुजाओं DA और CB को बिंदु E पर प्रतिच्छेदन तक बढ़ाएँ। त्रिभुज ABE पर विचार करें, जिसमें ∠EAB = 50° है। ∠EBA = 40°,
इसलिए, ∠AEB = 90°. समकोण के शीर्ष से खींची गई इस त्रिभुज की माध्यिका EM कर्ण के आधे के बराबर है: EM = AM। माना EM = x, फिर AM = x, DN = 4 - x। समस्या की स्थिति के अनुसार एमएन = 1, इसलिए,
EN = x + 1. त्रिभुज AEM और DEN की समानता से हमें प्राप्त होता है:

इसका मतलब है AB = 3 और CD = 5.

उत्तर: 3 और 5.

समस्या 10. उत्तल चतुर्भुज ABCD बिंदु O पर केंद्र वाले एक वृत्त के चारों ओर परिचालित है, जिसमें AO = OC = 1, BO = OD = 2 है। चतुर्भुज ABCD का परिमाप ज्ञात कीजिए।

समाधान. मान लीजिए K, L, M, N क्रमशः AB, BC, CD, DA भुजाओं वाले वृत्त के स्पर्श बिंदु हैं और r वृत्त की त्रिज्या है। चूँकि किसी वृत्त की स्पर्शरेखा, स्पर्शरेखा बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत होती है, त्रिभुज AKO, BKO, BLO, CLO, CMO, DMO, DNO, ANO आयताकार होते हैं। इन त्रिभुजों पर पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हमें वह प्राप्त होता है

इसलिए, AB = BC = CD = DA, अर्थात ABCD एक समचतुर्भुज है। एक समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे के लंबवत होते हैं, और उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु अंकित वृत्त का केंद्र होता है। यहां से हमें आसानी से पता चलता है कि समचतुर्भुज की भुजा बराबर है और इसलिए समचतुर्भुज का परिमाप बराबर है

उत्तर:

स्वतंत्र रूप से हल करने योग्य समस्याएं

एस-1.एक समबाहु समलम्ब चतुर्भुज ABCD त्रिज्या r के एक वृत्त के चारों ओर परिचालित है। मान लीजिए E और K समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं के साथ इस वृत्त के स्पर्श बिंदु हैं। समलम्ब चतुर्भुज के आधार AB और भुजा AD के बीच का कोण 60° है। सिद्ध करें कि EK, AB के समानांतर है और समलंब ABEK का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
एस-2.एक समलम्ब चतुर्भुज में, विकर्ण 3 और 5 हैं, और आधारों के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाला खंड 2 है। समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
एस 3. यदि ∠ADC = 30°, AB = 3, BC = 4, AC = 6 हो तो क्या चतुर्भुज ABCD के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करना संभव है?
एस-4.समलम्ब चतुर्भुज ABCD (AB आधार है) में, कोण DAB, BCD, ADC, ABD और ADB के मान एक अंकगणितीय प्रगति बनाते हैं (जिस क्रम में वे लिखे गए हैं)। यदि समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई h है तो शीर्ष C से विकर्ण BD तक की दूरी ज्ञात कीजिए।
एस-5.एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज दिया गया है जिसमें एक वृत्त अंकित है और जिसके चारों ओर वृत्त परिचालित है। एक समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई और उसके परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या का अनुपात समलम्ब चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।
एस-6.आयत ABCD का क्षेत्रफल 48 है, और विकर्ण की लंबाई 10 है। जिस तल पर आयत स्थित है, उस पर एक बिंदु O चुना गया है ताकि OB = OD = 13 हो। बिंदु O से दूरी ज्ञात करें आयत का शीर्ष उससे सबसे दूर है।
एस-7. समांतर चतुर्भुज ABCD का परिमाप 26 है। कोण ABC 120° है। त्रिभुज BCD में अंकित वृत्त की त्रिज्या समांतर चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि AD > AB है।
एस-8.चतुर्भुज ABCD एक वृत्त में अंकित है जिसका केंद्र बिंदु O है। त्रिज्या OA त्रिज्या OB के लंबवत है, और त्रिज्या OC त्रिज्या OD के लंबवत है। बिंदु C से रेखा AD पर डाले गए लंब की लंबाई 9 के बराबर है। खंड BC की लंबाई खंड AD की लंबाई की आधी है। त्रिभुज AOB का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
एस-9.उत्तल चतुर्भुज ABCD में, शीर्ष A और C विपरीत हैं, और भुजा AB की लंबाई 3 है। कोण ABC, कोण BCD के बराबर है, भुजा AD की लंबाई ज्ञात करें यदि आप जानते हैं कि चतुर्भुज का क्षेत्रफल है के बराबर

एस-10.उत्तल चतुर्भुज ABCD में विकर्ण AC और BD खींचे गए हैं। ह ज्ञात है कि
AD = 2, ∠ABD = ∠ACD = 90°, और त्रिभुज ABD के समद्विभाजक प्रतिच्छेदन बिंदु और त्रिभुज ACD के समद्विभाजक प्रतिच्छेदन बिंदु के बीच की दूरी भुजा BC की लंबाई ज्ञात कीजिए।
एस-11.मान लीजिए M एक उत्तल चतुर्भुज ABCD के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है, जिसकी भुजाएँ AB, AD और BC बराबर हैं। यदि यह ज्ञात हो कि DM = MC है, तो कोण CMD ज्ञात कीजिए।
और ∠CAB ≠ ∠DBA.
एस-12.चतुर्भुज ABCD में हम जानते हैं कि ∠A = 74°, ∠D = 120°। कोण B और C के समद्विभाजक के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
एस-13.एक वृत्त को चतुर्भुज ABCD में अंकित किया जा सकता है। मान लीजिए K इसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है। यह ज्ञात है कि AB > BC > KC, और त्रिभुज BKC का परिमाप और क्षेत्रफल क्रमशः 14 और 7 है। DC ज्ञात कीजिए।
एस-14.एक वृत्त के चारों ओर परिचालित समलंब में, यह ज्ञात है कि BC AD, AB = CD, ∠BAD =
= 45°. यदि समलम्ब चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल 10 है तो AB ज्ञात कीजिए।
एस-15. AB और CD आधारों वाले समलम्ब चतुर्भुज ABCD में यह ज्ञात है ∠CAB = 2∠DBA. समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
एस-16.समांतर चतुर्भुज ABCD में यह ज्ञात है कि AC = ए, ∠CAB = 60°. समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
एस 17. चतुर्भुज ABCD में, विकर्ण AC और BD बिंदु K पर प्रतिच्छेद करते हैं। बिंदु L और M क्रमशः भुजाओं BC और AD के मध्य बिंदु हैं। खंड LM में बिंदु K है। चतुर्भुज ABCD ऐसा है कि इसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। यदि AB = 3, और LK: KM = 1: 3 हो तो इस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
एस-18.उत्तल चतुर्भुज ABCD में विकर्ण AC और BD खींचे गए हैं। इस स्थिति में ∠BAC =
= ∠BDC, और त्रिभुज BDC के चारों ओर परिचालित वृत्त का क्षेत्रफल बराबर है
a) त्रिभुज ABC के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
बी) यह जानते हुए कि BC = 3, AC = 4, ∠BAD = 90°, चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

टिप्पणी. यह ज्यामिति समस्याओं (समानांतर चतुर्भुज अनुभाग) वाले एक पाठ का हिस्सा है। यदि आपको कोई ज्यामिति समस्या हल करनी है जो यहां नहीं है, तो इसके बारे में फोरम में लिखें। समस्या समाधान में वर्गमूल निकालने की क्रिया को इंगित करने के लिए, प्रतीक √ या sqrt() का उपयोग किया जाता है, जिसमें मूल अभिव्यक्ति कोष्ठक में दर्शाया गया है।

सैद्धांतिक सामग्री

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्रों की व्याख्या:

1. समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी एक भुजा की लंबाई और उस भुजा की ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होता है
2. एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी दो आसन्न भुजाओं और उनके बीच के कोण की ज्या के गुणनफल के बराबर होता है
3. एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के आधे गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने में समस्याएँ

समाधान.
आइए हम बिंदु B से बड़े आधार AD तक उतारे गए समांतर चतुर्भुज ABCD की छोटी ऊंचाई को BK के रूप में निरूपित करें।
आइए कम ऊँचाई, छोटी भुजा और बड़े आधार के भाग से बने समकोण त्रिभुज ABK के पाद का मान ज्ञात करें। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

एबी 2 = बीके 2 + एके 2
82 = 9 2 + एके 2
एके 2 = 82 - 81
एके = 1

आइए हम समांतर चतुर्भुज BC के ऊपरी आधार का विस्तार करें और इसके निचले आधार से ऊँचाई AN कम करें। आयत ANBK की भुजाओं के रूप में AN = BK। आइए परिणामी समकोण त्रिभुज ANC का पाद NC ज्ञात करें।
एएन 2 + एनसी 2 = एसी 2
9 2 + एनसी 2 = 15 2
एनसी 2 = 225 - 81
एनसी 2 = √144
एनसी=12

आइए अब समांतर चतुर्भुज ABCD का बड़ा आधार BC ज्ञात करें।
बीसी = एनसी - एनबी
आइए, इस बात को ध्यान में रखें कि NB = AK आयत की भुजाएँ हैं
बीसी = 12 - 1 = 11

एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधार के गुणनफल और इस आधार की ऊंचाई के बराबर होता है।
एस = आह
एस = बीसी * बीके
एस = 11 * 9 = 99

उत्तर: 99 सेमी 2।

काम

समाधान.
आइए हम विकर्ण AC पर एक और लंबवत DK गिराएँ।
तदनुसार, त्रिभुज AOB और DKC, COB और AKD जोड़ीवार बराबर हैं। पक्षों में से एक समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजा है, कोणों में से एक समकोण है, क्योंकि यह विकर्ण के लंबवत है, और शेष कोणों में से एक समांतर चतुर्भुज और छेदक के समानांतर पक्षों के लिए स्थित एक आंतरिक क्रॉस है विकर्ण.

इस प्रकार, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल संकेतित त्रिभुजों के क्षेत्रफल के बराबर है। वह है
समानांतर = 2एस एओबी +2एस बीओसी

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल पैरों के आधे गुणनफल के बराबर होता है। कहाँ
एस = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 सेमी 2
उत्तर: 56 सेमी 2।

समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र

एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी भुजा के गुणनफल और उस भुजा की ऊँचाई के बराबर होता है।

सबूत

यदि समांतर चतुर्भुज एक आयत है, तो समानता आयत के क्षेत्रफल पर प्रमेय द्वारा संतुष्ट होती है। इसके बाद, हम मानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के कोण सही नहीं हैं।

मान लीजिए कि $\कोण BAD$ समांतर चतुर्भुज $ABCD$ और $AD > AB$ में एक न्यूनकोण है। अन्यथा, हम शीर्षों का नाम बदल देंगे. फिर शीर्ष $B$ से रेखा $AD$ तक की ऊंचाई $BH$ $AD$ की ओर पड़ती है, क्योंकि पैर $AH$ कर्ण $AB$ से छोटा है, और $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.

आइए समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के क्षेत्रफल और आयत $HBCK$ के क्षेत्रफल की तुलना करें। एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल क्षेत्रफल $\त्रिकोण ABH$ से अधिक है, लेकिन क्षेत्रफल $\त्रिकोण DCK$ से कम है। चूँकि ये त्रिभुज बराबर हैं, इसलिए इनके क्षेत्रफल भी बराबर हैं। इसका मतलब यह है कि एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल एक आयत के क्षेत्रफल के बराबर होता है जिसकी भुजाओं की लंबाई से लेकर भुजा तक की लंबाई और समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई होती है।

भुजाओं और ज्या का उपयोग करके समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आसन्न भुजाओं के गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है।

सबूत

$AB$ की भुजा पर गिराए गए समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की ऊंचाई खंड $BC$ और कोण $\कोण ABC$ की ज्या के गुणनफल के बराबर है। यह पिछले कथन को लागू करना बाकी है।

विकर्णों का उपयोग करके समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल विकर्णों के आधे गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है।

सबूत

मान लीजिए कि समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण बिंदु $O$ पर $\alpha$ के कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। फिर समांतर चतुर्भुज गुण द्वारा $AO=OC$ और $BO=OD$। जिन कोणों का योग $180^\circ$ होता है उनकी ज्याएँ बराबर होती हैं, $\कोण AOB = \कोण COD = 180^\circ - \कोण BOC = 180^\circ - \कोण AOD$. इसका मतलब यह है कि विकर्णों के प्रतिच्छेदन पर कोणों की ज्याएं $\sin \alpha$ के बराबर होती हैं।

$S_(ABCD)=S_(\त्रिकोण AOB) + S_(\त्रिकोण BOC) + S_(\त्रिकोण COD) + S_(\त्रिकोण AOD)$

क्षेत्र माप के सिद्धांत के अनुसार. जब विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं तो हम इन त्रिभुजों और कोणों के लिए त्रिभुज क्षेत्र सूत्र $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ लागू करते हैं। प्रत्येक की भुजाएँ विकर्णों के आधे के बराबर हैं, और ज्याएँ भी बराबर हैं। इसलिए, चारों त्रिभुजों का क्षेत्रफल $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \ के बराबर है dfrac(AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. उपरोक्त सभी को सारांशित करने पर, हम पाते हैं

$S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$

इस विषय पर समस्याओं को हल करते समय, सिवाय बुनियादी गुण चतुर्भुजऔर संबंधित सूत्र, आप निम्नलिखित को याद रख सकते हैं और लागू कर सकते हैं:

1. किसी समांतर चतुर्भुज के आंतरिक कोण का समद्विभाजक उससे एक समद्विबाहु त्रिभुज को काटता है
2. समांतर चतुर्भुज की किसी एक भुजा से सटे आंतरिक कोणों के समद्विभाजक परस्पर लंबवत होते हैं
3. समांतर चतुर्भुज के विपरीत आंतरिक कोनों से आने वाले समद्विभाजक एक दूसरे के समानांतर होते हैं या एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं
4. एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है
5. एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल विकर्णों के आधे गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है

आइए उन समस्याओं पर विचार करें जिनमें इन गुणों का उपयोग किया जाता है।

कार्य 1।

समांतर चतुर्भुज ABCD के कोण C का समद्विभाजक भुजा AD को बिंदु M पर और भुजा AB की निरंतरता को बिंदु A से आगे बिंदु E पर प्रतिच्छेद करता है। यदि AE = 4, DM = 3 है तो समांतर चतुर्भुज का परिमाप ज्ञात कीजिए।

समाधान।

1. त्रिभुज सीएमडी समद्विबाहु है। (संपत्ति 1). इसलिए, CD = MD = 3 सेमी.

2. त्रिभुज EAM समद्विबाहु है।
इसलिए, AE = AM = 4 सेमी.

3. AD = AM + MD = 7 सेमी.

4. परिमाप ABCD = 20 सेमी.

उत्तर। 20 सेमी.

कार्य 2.

उत्तल चतुर्भुज ABCD में विकर्ण खींचे गए हैं। ज्ञातव्य है कि त्रिभुज ABD, ACD, BCD का क्षेत्रफल बराबर होता है। सिद्ध कीजिए कि यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है।

समाधान।

1. माना BE त्रिभुज ABD की ऊंचाई है, CF त्रिभुज ACD की ऊंचाई है। चूँकि, समस्या की स्थितियों के अनुसार, त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर है और उनका एक सामान्य आधार AD है, तो इन त्रिभुजों की ऊँचाइयाँ बराबर हैं। बीई = सीएफ.

2. BE, CF AD पर लंबवत हैं। बिंदु B और C सीधी रेखा AD के सापेक्ष एक ही तरफ स्थित हैं। बीई = सीएफ. अत: सीधी रेखा BC || ईसा पश्चात (*)

3. मान लीजिए AL त्रिभुज ACD की ऊंचाई है, BK त्रिभुज BCD की ऊंचाई है। चूँकि, समस्या की स्थितियों के अनुसार, त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर है और उनका एक उभयनिष्ठ आधार CD है, तो इन त्रिभुजों की ऊँचाइयाँ बराबर हैं। एएल = बीके.

4. AL और BK, CD पर लंबवत हैं। बिंदु बी और ए सीधी रेखा सीडी के सापेक्ष एक ही तरफ स्थित हैं। एएल = बीके. अत: सीधी रेखा AB || सीडी (**)

5. शर्तों (*), (**) से यह निष्कर्ष निकलता है कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

उत्तर। सिद्ध किया हुआ। ABCD एक समांतर चतुर्भुज है.

कार्य 3.

समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं BC और CD पर क्रमशः बिंदु M और H अंकित हैं, ताकि खंड BM और HD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करें;<ВМD = 95 о,