सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण. जीवन की मजेदार घटना यूनिट सर्कल पर दो बिल्कुल विपरीत हैं

+ – 0;2 पी; 4 पी. - 2 पी; -4 पी. पी -11 पी 6 पी -7 पी 4 पी -5 पी 3 2 पी -4 पी 3 3 पी -4 पी पी -7 पी पी -5 पी पी -3 पी पी -2 पी पी - पी पी - पी पी - पी पी 2 5 पी 2 पी 2 9 पी 2 5 पी 2 पी 2 11 पी 2 7 पी 2 3 पी 2 11 पी 2 7 पी 2 3 पी 2 5 पी;3 पी; पी. -5 पी;-3 पी;- पी. 360° 30° 60° 45° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° X y 0

0 y , m Z निम्नलिखित संख्याओं के संगत बिंदु ज्ञात कीजिए

0 y ), l Z निम्नलिखित संख्याओं के संगत बिंदु ज्ञात कीजिए

1. बिंदु A संख्या वृत्त के किस चतुर्थांश से संबंधित है? प्रथम। बी. दूसरा. वी. तीसरा. जी चौथा. 2. बिंदु A संख्या वृत्त के किस चतुर्थांश से संबंधित है? प्रथम। बी. दूसरा. वी. तीसरा. जी चौथा. 3. संख्याओं a और b के चिह्न निर्धारित करें यदि: A. a>0, b>0। बी. ए 0. बी. ए>0, बी0, बी 0"> 0, b>0. B. a 0. B. a>0, b0, b"> 0" title='1.संख्या वृत्त का कौन सा चौथाई भाग A को इंगित करता है। प्रथम। B. दूसरा। C. तीसरा। D. चौथा। 2. संख्या वृत्त के किस चतुर्थांश पर बिंदु A. प्रथम। : ए. ए>0"> title="1. बिंदु A संख्या वृत्त के किस चतुर्थांश से संबंधित है? प्रथम। बी. दूसरा. वी. तीसरा. जी चौथा. 2. बिंदु A संख्या वृत्त के किस चतुर्थांश से संबंधित है? प्रथम। बी. दूसरा. वी. तीसरा. जी चौथा. 3. संख्याओं a और b के चिह्न निर्धारित करें यदि: A. a>0"> !}

प्रश्न: एक वृत्त पर, व्यास के विपरीत बिंदु A और B और एक अलग बिंदु C चुना जाता है। वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा बिंदु A पर और रेखा BC बिंदु D पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध करें कि वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा बिंदु C पर समद्विभाजित करती है खंड ए.डी. त्रिभुज ABC का अंतःवृत्त भुजाओं AB और BC को क्रमशः बिंदु M और N पर स्पर्श करता है। एक रेखा AC के मध्यबिंदु से होकर रेखा के समानांतर गुजरती है। MN रेखाएं BA और BC को क्रमशः बिंदु D और E पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि AD=CE.

वृत्त पर, व्यास के विपरीत बिंदु A और B और एक भिन्न बिंदु C को चुना जाता है। वृत्त पर खींची गई स्पर्शरेखा बिंदु A पर और सीधी रेखा BC बिंदु D पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध करें कि बिंदु C पर वृत्त पर खींची गई स्पर्शरेखा बिंदु C को समद्विभाजित करती है खंड ई.पू. त्रिभुज ABC का अंतःवृत्त भुजाओं AB और BC को क्रमशः बिंदु M और N पर स्पर्श करता है। एक रेखा AC के मध्यबिंदु से होकर रेखा के समानांतर गुजरती है। MN रेखाएं BA और BC को क्रमशः बिंदु D और E पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि AD=CE.

उत्तर:

इसी तरह के प्रश्न

वाक्यों को पूरा करें. मैं (आमतौर पर) लैंडन के लिए उड़ान भरता हूं
उठे हुए और पड़े हुए शब्दों का रूपात्मक विश्लेषण
साम्राज्यवाद की विशेषताएँ लिखिए
14 और 24 का सामान्य भाजक
व्यंजक को बहुपद में बदलें!! -2(v+1)(v+4) - (v-5)(v+5)
समीकरण के वास्तविक मूलों का गुणनफल ज्ञात कीजिए: y^(4) - 2y^(2) - 8 = 0
कोण BEN और CEN ज्ञात कीजिए, यह देखते हुए कि वे आसन्न हैं और उनमें से एक दूसरे से डेढ़ गुना छोटा है।
तीन फूलदानों में 6, 21 और 9 प्लम हैं। प्रत्येक फूलदान में प्लमों की संख्या को बराबर करने के लिए, मदीना ने एक फूलदान से दूसरे में उतने ही प्लम स्थानांतरित किए, जितने उसमें थे। दो स्थानांतरणों के माध्यम से, उसने प्लमों की संख्या को बराबर किया तीन फूलदानों में। उसने यह कैसे किया?
रसायन विज्ञान की पाठ्यपुस्तक (अध्ययन किए गए पैराग्राफ) से, आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले 10 शब्द (भाषण के विभिन्न भाग) और 10 विशेष शब्द (शब्द और शब्दावली संयोजन) लिखें। पाठ से चयनित शब्दों के साथ वाक्यांश बनाएं और लिखें।

जाहिरा तौर पर, मानव जाति की पहली अपील जिसे बाद में गोलाकार ज्यामिति कहा गया, वह ग्रीक गणितज्ञ यूडोक्सस (सी। 408-355) का ग्रह सिद्धांत था, जो प्लेटो की अकादमी में प्रतिभागियों में से एक था। यह चार घूर्णन संकेंद्रित गोले का उपयोग करके पृथ्वी के चारों ओर ग्रहों की गति को समझाने का एक प्रयास था, जिनमें से प्रत्येक में घूर्णन की एक विशेष धुरी थी जिसके सिरे एक घेरने वाले गोले से जुड़े थे, जिसके बदले में, तारों को "नाखून" से जोड़ा गया था। ” इस प्रकार, ग्रहों के जटिल प्रक्षेप पथों को समझाया गया (ग्रीक से अनुवादित "ग्रह" का अर्थ है भटकना)। यह इस मॉडल के लिए धन्यवाद था कि प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक ग्रहों की गतिविधियों का काफी सटीक वर्णन और भविष्यवाणी करने में सक्षम थे। यह आवश्यक था, उदाहरण के लिए, नेविगेशन में, साथ ही कई अन्य "सांसारिक" कार्यों में, जहां यह ध्यान रखना आवश्यक था कि पृथ्वी तीन स्तंभों पर टिकी हुई एक सपाट पैनकेक नहीं है। गोलाकार ज्यामिति में महत्वपूर्ण योगदान अलेक्जेंड्रिया के मेनेलॉस (लगभग 100 ईस्वी) द्वारा किया गया था। ऊनका काम गोलाकारइस क्षेत्र में यूनानी उपलब्धियों का शिखर बन गया। में Sferikeगोलाकार त्रिभुज माने जाते हैं - एक ऐसा विषय जो यूक्लिड में नहीं पाया जाता है। मेनेलॉस ने समतल त्रिभुजों के यूक्लिडियन सिद्धांत को गोले में स्थानांतरित किया और, अन्य बातों के अलावा, एक ऐसी स्थिति प्राप्त की जिसके तहत एक गोलाकार त्रिभुज के किनारों पर तीन बिंदु या उनके विस्तार एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं। विमान के लिए संबंधित प्रमेय उस समय पहले से ही व्यापक रूप से ज्ञात था, लेकिन यह ज्यामिति के इतिहास में मेनेलॉस के प्रमेय के रूप में दर्ज हुआ, और, टॉलेमी (सी. 150) के विपरीत, जिनके कार्यों में कई गणनाएं थीं, मेनेलॉस का ग्रंथ है यूक्लिडियन परंपरा की भावना में सख्ती से ज्यामितीय।

गोलाकार ज्यामिति के मूल सिद्धांत.

किसी गोले को प्रतिच्छेद करने वाला कोई भी तल अनुप्रस्थ काट में एक वृत्त बनाता है। यदि विमान गोले के केंद्र से होकर गुजरता है, तो क्रॉस सेक्शन के परिणामस्वरूप एक तथाकथित बड़ा वृत्त बनता है। किसी गोले पर किन्हीं दो बिंदुओं के माध्यम से, उन बिंदुओं को छोड़कर जो बिल्कुल विपरीत हैं, एक बड़ा वृत्त खींचा जा सकता है। (ग्लोब पर, एक बड़े वृत्त का एक उदाहरण भूमध्य रेखा और सभी याम्योत्तर हैं।) अनंत संख्या में बड़े वृत्त व्यास के विपरीत बिंदुओं से होकर गुजरते हैं। कम चाप अम्बबड़े वृत्त की (चित्र 1) गोले पर दिए गए बिंदुओं को जोड़ने वाली सभी रेखाओं में से सबसे छोटी है। इस लाइन को कहा जाता है जियोडेटिक. जियोडेसिक रेखाएं एक गोले पर वही भूमिका निभाती हैं जो प्लैनिमेट्री में सीधी रेखाएं निभाती हैं। समतल पर ज्यामिति के कई प्रावधान गोले पर भी मान्य हैं, लेकिन, समतल के विपरीत, दो गोलाकार रेखाएँ दो बिल्कुल विपरीत बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती हैं। इस प्रकार, गोलाकार ज्यामिति में समानता की अवधारणा मौजूद ही नहीं है। एक और अंतर यह है कि गोलाकार रेखा बंद है, यानी। उसी दिशा में आगे बढ़ते हुए, हम प्रारंभिक बिंदु पर लौट आएंगे; बिंदु रेखा को दो भागों में विभाजित नहीं करता है। और प्लैनिमेट्री के दृष्टिकोण से एक और आश्चर्यजनक तथ्य यह है कि एक गोले पर एक त्रिभुज में सभी तीन समकोण हो सकते हैं।

एक गोले पर रेखाएँ, खंड, दूरियाँ और कोण।

किसी गोले पर बने बड़े वृत्तों को सीधी रेखाएँ माना जाता है। यदि दो बिंदु एक बड़े वृत्त से संबंधित हैं, तो इन बिंदुओं को जोड़ने वाले छोटे चाप की लंबाई को इस प्रकार परिभाषित किया गया है गोलाकार दूरीइन बिंदुओं के बीच, और चाप स्वयं एक गोलाकार खंड की तरह है। व्यास के विपरीत बिंदु अनंत संख्या में गोलाकार खंडों - बड़े अर्धवृत्तों से जुड़े होते हैं। एक गोलाकार खंड की लंबाई केंद्रीय कोण a के रेडियन माप और गोले की त्रिज्या के माध्यम से निर्धारित की जाती है आर(चित्र 2), चाप लंबाई सूत्र के अनुसार यह बराबर है आरएक। कोई बात साथगोलाकार खंड अबइसे दो भागों में विभाजित करता है, और उनकी गोलाकार लंबाई का योग, जैसा कि प्लैनिमेट्री में होता है, पूरे खंड की लंबाई के बराबर होता है, यानी। आर एओसी+ आर उल्लू= पी एओबी. किसी भी बिंदु के लिए डीखंड के बाहर अबएक "गोलाकार त्रिभुज असमानता" है: से गोलाकार दूरियों का योग डीपहले एऔर से डीपहले मेंअधिक अब, अर्थात। आर एओडी+ आर जन्म तिथि> आर एओबी, – गोलाकार और सपाट ज्यामिति के बीच पूर्ण पत्राचार। त्रिभुज असमानता गोलाकार ज्यामिति में मूलभूत असमानताओं में से एक है; इससे यह पता चलता है कि, प्लैनिमेट्री की तरह, एक गोलाकार खंड किसी भी गोलाकार टूटी हुई रेखा से छोटा होता है, और इसलिए गोले पर कोई भी वक्र इसके सिरों को जोड़ता है।

उसी तरह, प्लैनिमेट्री की कई अन्य अवधारणाओं को गोले में स्थानांतरित किया जा सकता है, विशेष रूप से वे जिन्हें दूरियों के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गोलाकार घेरा- किसी दिए गए बिंदु से समान दूरी पर गोले पर बिंदुओं का एक समूह आर. यह दिखाना आसान है कि वृत्त गोले के व्यास के लंबवत तल में स्थित है आरआर` (चित्र 3), अर्थात्। यह व्यास पर केंद्र वाला एक साधारण सपाट वृत्त है आरआर`. लेकिन इसके दो गोलाकार केंद्र हैं: आरऔर आर`. इन केन्द्रों को आमतौर पर कहा जाता है डंडे. यदि हम ग्लोब की ओर मुड़ें, तो हम देख सकते हैं कि हम समांतर जैसे वृत्तों के बारे में बात कर रहे हैं, और सभी समांतरों के गोलाकार केंद्र उत्तरी और दक्षिणी ध्रुव हैं। यदि किसी गोलाकार वृत्त का व्यास r, p/2 के बराबर है, तो गोलाकार वृत्त एक गोलाकार सीधी रेखा में बदल जाता है। (ग्लोब पर भूमध्य रेखा है)। इस स्थिति में, ऐसे वृत्त को कहा जाता है ध्रुवीयप्रत्येक बिंदु आरऔर पी`.

ज्यामिति में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक आंकड़ों की समानता है। आंकड़े बराबर माने जाते हैं यदि एक को दूसरे के ऊपर इस तरह से प्रदर्शित किया जा सके (घूर्णन और अनुवाद द्वारा) कि दूरियां संरक्षित रहें। यह गोलाकार ज्यामिति के लिए भी सत्य है।

एक गोले पर कोणों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है। जब दो गोलाकार रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं एऔर बीगोले पर चार गोलाकार बिगोन बनते हैं, जैसे एक समतल पर दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ इसे चार समतल कोणों में विभाजित करती हैं (चित्र 4)। प्रत्येक विकर्ण एक डायहेड्रल कोण से मेल खाता है जो व्यासीय विमानों द्वारा निर्मित होता है एऔर बी. और गोलाकार सीधी रेखाओं के बीच का कोण उनके द्वारा बनाए गए विकर्णों के छोटे कोण के बराबर होता है।

हम यह भी नोट करते हैं कि कोण P एबीसी, एक गोले पर एक बड़े वृत्त के दो चापों द्वारा निर्मित, कोण P द्वारा मापा जाता है ए`ईसा पूर्व` एक बिंदु पर संगत चाप की स्पर्श रेखाओं के बीच में(चित्र 5) या गोलाकार खंडों वाले व्यासीय विमानों द्वारा निर्मित एक डायहेड्रल कोण अबऔर सूरज.

उसी तरह जैसे स्टीरियोमेट्री में, गोले का प्रत्येक बिंदु गोले के केंद्र से इस बिंदु तक खींची गई किरण से जुड़ा होता है, और गोले पर कोई भी आकृति इसे प्रतिच्छेद करने वाली सभी किरणों के मिलन से जुड़ी होती है। इस प्रकार, एक गोलाकार सीधी रेखा उस व्यासीय तल से मेल खाती है जिसमें वह शामिल है, एक गोलाकार खंड एक समतल कोण से मेल खाता है, एक डिगॉन एक डायहेड्रल कोण से मेल खाता है, और एक गोलाकार वृत्त एक शंक्वाकार सतह से मेल खाता है जिसकी धुरी वृत्त के ध्रुवों से होकर गुजरती है।

गोले के केंद्र पर एक शीर्ष वाला एक बहुफलकीय कोण गोले को एक गोलाकार बहुभुज के अनुदिश काटता है (चित्र 6)। यह गोलाकार खंडों की एक टूटी हुई रेखा से घिरा हुआ एक क्षेत्र है। टूटी हुई रेखा की कड़ियाँ एक गोलाकार बहुभुज की भुजाएँ हैं। उनकी लंबाई बहुफलकीय कोण के संगत समतल कोणों के मान और किसी शीर्ष पर कोण के मान के बराबर होती है एकिनारे पर डायहेड्रल कोण के बराबर ओए.

गोलाकार त्रिभुज.

सभी गोलाकार बहुभुजों में, गोलाकार त्रिभुज सबसे अधिक रुचिकर है। तीन बड़े वृत्त, दो बिंदुओं पर जोड़े में प्रतिच्छेद करते हुए, गोले पर आठ गोलाकार त्रिभुज बनाते हैं। उनमें से एक के तत्वों (भुजाओं और कोणों) को जानकर, अन्य सभी के तत्वों को निर्धारित करना संभव है, इसलिए हम उनमें से एक के तत्वों के बीच संबंधों पर विचार करते हैं, जिसकी सभी भुजाएँ महान के आधे से भी कम हैं घेरा। त्रिभुज की भुजाओं को त्रिफलकीय कोण के समतल कोणों से मापा जाता है OABC, त्रिभुज के कोण समान त्रिफलकीय कोण के द्विफलकीय कोण होते हैं (चित्र 7)।

एक गोलाकार त्रिभुज के कई गुण (और वे त्रिफलकीय कोणों के गुण भी हैं) लगभग पूरी तरह से एक साधारण त्रिभुज के गुणों को दोहराते हैं। उनमें से त्रिभुज असमानता है, जो त्रिफलकीय कोणों की भाषा में बताती है कि त्रिफलकीय कोण का कोई भी समतल कोण अन्य दो के योग से कम होता है। या, उदाहरण के लिए, त्रिभुजों की समानता के तीन चिह्न। उल्लिखित प्रमेयों के सभी प्लैनिमेट्रिक परिणाम, उनके प्रमाणों के साथ, क्षेत्र पर मान्य रहते हैं। इस प्रकार, खंड के सिरों से समदूरस्थ बिंदुओं का समूह भी गोले पर लंबवत होगा, इसके मध्य से गुजरने वाली एक सीधी रेखा, जिससे यह पता चलता है कि समद्विभाजक एक गोलाकार त्रिभुज की भुजाओं के लंबवत हैं एबीसीएक सामान्य बिंदु है, या यों कहें कि दो बिल्कुल विपरीत सामान्य बिंदु हैं आरऔर आर`, जो इसके एकमात्र परिबद्ध वृत्त के ध्रुव हैं (चित्र 8)। स्टीरियोमेट्री में, इसका मतलब है कि एक शंकु को किसी भी त्रिफलकीय कोण के चारों ओर वर्णित किया जा सकता है। इस प्रमेय को गोले में स्थानांतरित करना आसान है कि एक त्रिभुज के समद्विभाजक उसके अंतःवृत्त के केंद्र पर प्रतिच्छेद करते हैं।

ऊंचाइयों और माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन पर प्रमेय भी सत्य हैं, लेकिन प्लैनिमेट्री में उनके सामान्य प्रमाण प्रत्यक्ष या अप्रत्यक्ष रूप से समानता का उपयोग करते हैं, जो एक गोले पर मौजूद नहीं है, और इसलिए स्टीरियोमेट्री की भाषा में उन्हें फिर से साबित करना आसान है। चावल। चित्र 9 गोलाकार माध्यिका प्रमेय के प्रमाण को दर्शाता है: गोलाकार त्रिभुज की माध्यिकाओं वाले तल एबीसी, एक समतल त्रिभुज को उसकी सामान्य माध्यिकाओं के अनुदिश समान शीर्षों के साथ प्रतिच्छेद करता है, इसलिए, उन सभी में समतल माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाले गोले की त्रिज्या होती है। त्रिज्या का अंत तीन "गोलाकार" माध्यिकाओं का उभयनिष्ठ बिंदु होगा।

गोलाकार त्रिभुजों के गुण किसी समतल पर बने त्रिभुजों के गुणों से कई मायनों में भिन्न होते हैं। इस प्रकार, आयताकार त्रिभुजों की समानता के ज्ञात तीन मामलों में, एक चौथा जोड़ा जाता है: दो त्रिभुज एबीसीऔर А`В`С`बराबर हैं यदि तीन कोण P क्रमशः बराबर हैं ए= पी ए`, आर में= पी में`, आर साथ= पी साथ`. इस प्रकार, गोले पर कोई समान त्रिभुज नहीं हैं; इसके अलावा, गोलाकार ज्यामिति में समानता की कोई अवधारणा नहीं है, क्योंकि ऐसा कोई परिवर्तन नहीं है जो सभी दूरियों को समान (1 के बराबर नहीं) बार बदलता हो। ये विशेषताएं समानांतर रेखाओं के यूक्लिडियन सिद्धांत के उल्लंघन से जुड़ी हैं और लोबचेव्स्की की ज्यामिति में भी अंतर्निहित हैं। वे त्रिभुज जिनमें समान तत्व और अलग-अलग अभिविन्यास होते हैं, सममित कहलाते हैं, जैसे त्रिभुज एसी`साथऔर वीएसएस` (चित्र 10)।

किसी भी गोलाकार त्रिभुज के कोणों का योग सदैव 180° से अधिक होता है। अंतर पी ए+पी में+पी साथ -पी = d (रेडियन में मापा गया) एक धनात्मक मात्रा है और इसे गोलाकार आधिक्य कहा जाता है किसी दिए गए गोलाकार त्रिभुज का. गोलाकार त्रिभुज का क्षेत्रफल: एस = आर 2 डी कहाँ आरगोले की त्रिज्या है, और d गोलाकार आधिक्य है। यह फॉर्मूला पहली बार 1629 में डचमैन ए. गिरार्ड द्वारा प्रकाशित किया गया था और उनके नाम पर इसका नाम रखा गया था।

यदि हम कोण a वाले विकर्ण पर विचार करें, तो 226 = 2p/ एन (एन -पूर्णांक) गोले को बिल्कुल काटा जा सकता है पीऐसे विकर्ण की प्रतियाँ, और गोले का क्षेत्रफल 4 है एनआर 2 =शाम 4 बजे आर= 1, अतः विकर्ण का क्षेत्रफल 4p/ है एन= 2ए. यह सूत्र a के लिए भी सत्य है = 2पी टी/एनऔर इसलिए सभी के लिए सत्य है a. यदि हम एक गोलाकार त्रिभुज की भुजाओं को जारी रखें एबीसीऔर गोले के क्षेत्रफल को परिणामी बिगोन के क्षेत्रफलों के माध्यम से कोणों के साथ व्यक्त करें ए,में,साथऔर इसका अपना क्षेत्र है, तो हम उपरोक्त गिरार्ड सूत्र पर पहुंच सकते हैं।

गोले पर निर्देशांक.

गोले पर प्रत्येक बिंदु पूरी तरह से दो संख्याओं को निर्दिष्ट करके निर्धारित किया जाता है; ये संख्याएँ ( COORDINATES) निम्नानुसार निर्धारित किए जाते हैं (चित्र 11)। कोई बड़ा घेरा तय हो गया है QQ` (भूमध्य रेखा), गोले के व्यास के प्रतिच्छेदन के दो बिंदुओं में से एक पीपी`, उदाहरण के लिए, एक गोले की सतह के साथ, भूमध्यरेखीय तल के लंबवत आर (खंभा), और बड़े अर्धवृत्तों में से एक गूदा`पोल से बाहर आ रहा है ( प्रथम मध्याह्न रेखा). बड़े अर्धवृत्त निकल रहे हैं पी, जिसे मेरिडियन कहा जाता है, भूमध्य रेखा के समानांतर छोटे वृत्त, जैसे डालूँगा`, -समानांतर। जैसे एक बिंदु समन्वय करता है एमगोले पर कोण q लिया गया है = पोम (बिंदु ऊंचाई), दूसरे के रूप में - कोण जे = एओएनप्रथम मध्याह्न रेखा और बिंदु से गुजरने वाली मध्याह्न रेखा के बीच एम (देशान्तरअंक, वामावर्त गिने गए)।

भूगोल में (ग्लोब पर), ग्रीनविच मेरिडियन को पहले मेरिडियन के रूप में उपयोग करने की प्रथा है, जो ग्रीनविच वेधशाला के मुख्य हॉल से होकर गुजरती है (ग्रीनविच एक लंदन नगर है), यह पृथ्वी को क्रमशः पूर्वी और पश्चिमी गोलार्ध में विभाजित करती है , और देशांतर पूर्वी या पश्चिमी है और ग्रीनविच से दोनों दिशाओं में 0 से 180° तक मापा जाता है। और भूगोल में किसी बिंदु की ऊँचाई के स्थान पर अक्षांश का प्रयोग करने की प्रथा है पर, अर्थात। कोना एनओएम = 90° - क्यू, भूमध्य रेखा से मापा जाता है. क्योंकि चूँकि भूमध्य रेखा पृथ्वी को उत्तरी और दक्षिणी गोलार्ध में विभाजित करती है, अक्षांश या तो उत्तरी या दक्षिणी होता है और 0 से 90° तक भिन्न होता है।

मरीना फ़ेडोसोवा

गणित में अंतिम कार्य
ग्रेड 10
28 अप्रैल 2017
विकल्प MA00602
(एक बुनियादी स्तर)
द्वारा पूरा किया गया: पूरा नाम_________________________________ कक्षा ______
कार्य सम्पादन हेतु निर्देश
अंतिम गणित कार्य को पूरा करने के लिए आपको 90 मिनट का समय दिया जाता है। काम
इसमें 15 कार्य शामिल हैं और इसमें दो भाग हैं।
पहले भाग (1-10) के कार्यों में उत्तर एक पूर्णांक है,
दशमलव अंश या संख्याओं का क्रम। अपना उत्तर फ़ील्ड में लिखें
कार्य के पाठ में उत्तर दें।
दूसरे भाग के कार्य 11 में आपको उत्तर विशेष रूप में लिखना होगा
इसके लिए जो क्षेत्र आवंटित किया गया है।
दूसरे भाग के कार्य 12-14 में आपको समाधान और उत्तर लिखना होगा
इस प्रयोजन के लिए प्रदान किए गए क्षेत्र में। टास्क 15 का उत्तर है
फ़ंक्शन ग्राफ़.
प्रत्येक कार्य 5 और 11 को दो संस्करणों में प्रस्तुत किया गया है
आपको केवल एक को चुनने और निष्पादित करने की आवश्यकता है।
कार्य करते समय आप पाठ्यपुस्तकों, कार्य का उपयोग नहीं कर सकते
नोटबुक, संदर्भ पुस्तकें, कैलकुलेटर।
यदि आवश्यक हो, तो आप ड्राफ्ट का उपयोग कर सकते हैं। ड्राफ्ट में प्रविष्टियों की समीक्षा या ग्रेडिंग नहीं की जाएगी।
आप कार्यों को किसी भी क्रम में पूरा कर सकते हैं, मुख्य बात यह है कि इसे सही ढंग से करना है
जितना संभव हो सके उतने कार्य हल करें. हम आपको समय बचाने की सलाह देते हैं
जो कार्य तुरंत पूरा नहीं किया जा सकता उसे छोड़ें और आगे बढ़ें
अगले इसपर। अगर सारे काम निपटाने के बाद भी आपके पास समय है।
आप छूटे हुए कार्यों को वापस करने में सक्षम होंगे।
हम आपकी सफलता की कामना करते हैं!

भाग ---- पहला
कार्य 1-10 में, अपना उत्तर पूर्ण संख्या, दशमलव अंश या के रूप में दें
संख्याओं का क्रम. अपना उत्तर पाठ के उत्तर क्षेत्र में लिखें
काम।
1

एक इलेक्ट्रिक केतली की कीमत में 10% की वृद्धि की गई और इसकी राशि कितनी हो गई
1980 रूबल। कीमत बढ़ने से पहले केतली की कीमत कितने रूबल थी?

ओलेग और टोल्या ने एक ही समय में स्कूल छोड़ा और एक ही दिशा में घर चले गए।
महँगा। लड़के एक ही घर में रहते हैं. चित्र एक ग्राफ़ दिखाता है
प्रत्येक की चाल: ओलेग - एक ठोस रेखा के साथ, टोल्या - एक बिंदीदार रेखा के साथ। द्वारा
ऊर्ध्वाधर अक्ष दूरी (मीटर में) दिखाता है, क्षैतिज अक्ष दूरी दिखाता है
प्रत्येक के लिए यात्रा का समय मिनटों में।

ग्राफ़ का उपयोग करके सही कथन चुनें।
1)
2)
3)

तोल्या से पहले ओलेग घर आया।
स्कूल छोड़ने के तीन मिनट बाद, ओलेग ने तोल्या को पकड़ लिया।
पूरी यात्रा के दौरान लड़कों के बीच दूरी कम रही
100 मीटर.
4) पहले छह मिनट में लड़कों ने समान दूरी तय की।

उत्तर: ___________________________

अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें

π
π
- 2 पाप 2.
8
8

उत्तर: ___________________________
स्टेटग्रैड 2016−2017 शैक्षणिक वर्ष। ऑनलाइन या प्रिंट में प्रकाशन
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अंक शास्त्र। ग्रेड 10। विकल्प 00602 (बुनियादी स्तर)

यूनिट सर्कल पर दो अंकित हैं
व्यासतः विपरीत बिंदु Pα और
Pβ कोण α और के माध्यम से घूर्णन के अनुरूप है
β (आंकड़ा देखें)।
क्या ऐसा कहना संभव है:
1) α  β  0
2) cosα  cosβ
3) α  β  2π
4) पाप α  पाप β  0

अपने उत्तर में, रिक्त स्थान, अल्पविराम आदि के बिना सही कथनों की संख्याएँ इंगित करें
अन्य अतिरिक्त पात्र.
उत्तर: ___________________________
5.1 या 5.2 में से केवल एक कार्य चुनें और पूरा करें।
5.1

चित्र एक ग्राफ़ दिखाता है
फलन y  f (x) अंतराल पर परिभाषित   3;11 .
सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए
खंड पर कार्य  1; 5.

उत्तर: ___________________________
5.2

समीकरण लॉग 2 4 x5  6 को हल करें।

उत्तर: ___________________________

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अंक शास्त्र। ग्रेड 10। विकल्प 00602 (बुनियादी स्तर)

बिंदु A, B और C से होकर गुजरने वाला एक विमान (देखें।
आकृति), घन को दो पॉलीहेड्रा में विभाजित करती है। में से एक
इसकी चार भुजाएँ हैं। दूसरे के कितने चेहरे हैं?

उत्तर: ___________________________
7

सही कथनों की संख्या चुनें।
1)
2)
3)
4)

अंतरिक्ष में, एक बिंदु के माध्यम से जो किसी दी गई रेखा पर नहीं है, आप कर सकते हैं
एक ऐसा समतल बनाएं जो किसी दी गई रेखा को नहीं काटता हो, और, इसके अलावा, केवल
एक।
किसी समतल पर खींची गई एक झुकी हुई रेखा समान कोण बनाती है
इस तल में पड़ी सभी सीधी रेखाएँ।
किन्हीं दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के माध्यम से एक समतल खींचा जा सकता है।
अंतरिक्ष में एक बिंदु के माध्यम से जो किसी दी गई रेखा पर स्थित नहीं है, कोई भी ऐसा कर सकता है
दो सीधी रेखाएँ खींचिए जो दी गई रेखा को नहीं काटतीं।

अपने उत्तर में, रिक्त स्थान, अल्पविराम आदि के बिना सही कथनों की संख्याएँ इंगित करें
अन्य अतिरिक्त पात्र.
उत्तर: ___________________________
8

पोल्ट्री फार्म पर केवल मुर्गियां और बत्तखें हैं, और उनसे 7 गुना अधिक मुर्गियां हैं
बतख प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक यादृच्छिक रूप से चयनित फार्म
पक्षी बत्तख निकला।
उत्तर: ___________________________

छत्र की छत 14 के कोण पर स्थित है
क्षैतिज तक. दो समर्थनों के बीच की दूरी
400 सेंटीमीटर है. तालिका का उपयोग करते हुए,
निर्धारित करें कि एक समर्थन कितने सेंटीमीटर का है
दूसरे से अधिक लंबा.
α
13
14
15
16
17
18
19

पाप α
0,225
0,241
0,258
0,275
0,292
0,309
0,325

क्योंकि α
0,974
0,970
0,965
0,961
0,956
0,951
0,945

टीजी α
0,230
0,249
0,267
0,286
0,305
0,324
0,344

अंक शास्त्र। ग्रेड 10। विकल्प 00602 (बुनियादी स्तर)

सात अंकों की सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या ज्ञात करें जो 3 से विभाज्य हो,
लेकिन 6 से विभाज्य नहीं है और जिसका प्रत्येक अंक, दूसरे से शुरू करके, कम है
पिछला।
उत्तर: ___________________________
भाग 2
कार्य 11 में दिए गए स्थान पर अपना उत्तर लिखें। कार्यों में
12-14 आपको समाधान लिखना होगा और विशेष रूप से निर्दिष्ट स्थान पर उत्तर देना होगा
इस क्षेत्र के लिए. कार्य 15 का उत्तर फ़ंक्शन का ग्राफ़ है।
11.1 या 11.2 में से केवल एक कार्य चुनें और पूरा करें।

2
. तीन अलग-अलग संभावित मान लिखिए
2
ऐसे कोण. अपना उत्तर रेडियन में दें।

वह सबसे छोटी प्राकृत संख्या ज्ञात कीजिए जो लघुगणक 780 से बड़ी हो।

कोण की कोज्या  है

अंक शास्त्र। ग्रेड 10। विकल्प 00602 (बुनियादी स्तर)

त्रिभुज ABC में भुजाएँ AB और BC अंकित हैं
बिंदु M और K, क्रमशः, ताकि BM: AB  1: 2, और
बीके:बीसी  2:3. त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल कितने गुना है?
त्रिभुज MVK के क्षेत्रफल से अधिक?

संख्याओं a और b की कुछ जोड़ी चुनें ताकि असमानता ax  b  0 हो
चित्र में अंकित पाँच बिन्दुओं में से तीन बिन्दुओं से बिल्कुल संतुष्ट हूँ।
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अंक शास्त्र। ग्रेड 10। विकल्प 00602 (बुनियादी स्तर)

लोहे की कीमत में दो बार समान प्रतिशत की वृद्धि की गई। पर
हर बार लोहे की कीमत कितने प्रतिशत बढ़ी?
प्रारंभिक लागत 2000 रूबल है, और अंतिम लागत 3380 रूबल है?

अंक शास्त्र। ग्रेड 10। विकल्प 00602 (बुनियादी स्तर)

फ़ंक्शन y  f (x) में निम्नलिखित गुण हैं:
1) एफ (एक्स)  3 एक्स  4 पर 2  एक्स  1;
2) एफ (एक्स)  एक्स  2 पर 1  एक्स  0;
3) एफ (एक्स)  2  2 एक्स पर 0  एक्स  2;
4) फलन y  f (x) आवर्त 4 के साथ आवर्त है।
खंड  6;4 पर इस फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं।
य