एक स्थिर रूप से अनिश्चित छड़ प्रणाली की गणना करें। बल विधि द्वारा स्थिर रूप से अनिश्चित प्रणालियों की गणना

समर्थन की प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने के लिए स्थिर रूप से अनिश्चित प्रणालियों को रॉड सिस्टम कहा जाता है, जिसमें केवल संतुलन समीकरण पर्याप्त नहीं होते हैं। गतिज दृष्टिकोण से, ये ऐसी छड़ प्रणालियाँ हैं, जिनकी स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या बांडों की संख्या से कम है। ऐसी प्रणालियों की स्थिर अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए, अतिरिक्त विरूपण संगतता समीकरणों की रचना करना आवश्यक है। ऐसे समीकरणों की संख्या रॉड सिस्टम की स्थिर अनिश्चितता की संख्या से निर्धारित होती है। चित्र 8.14 स्थिर रूप से अनिश्चित बीम और फ़्रेम के उदाहरण दिखाता है।

चित्र 8.14b में दिखाए गए बीम को कहा जाता है निरंतरखुशी से उछलना। यह नाम इस तथ्य से आता है कि मध्यवर्ती समर्थन केवल बीम का समर्थन करता है। समर्थन के बिंदु पर, बीम को काज द्वारा नहीं काटा जाता है, काज को बीम बॉडी में नहीं काटा जाता है। इसलिए, बाएं स्पैन पर बीम द्वारा अनुभव किए जाने वाले तनाव और विकृति का प्रभाव भी दाएं स्पैन को प्रभावित करता है। यदि मध्यवर्ती समर्थन के स्थान पर बीम के शरीर में एक काज काट दिया जाता है, तो परिणामस्वरूप सिस्टम स्थिर रूप से निर्धारित हो जाएगा - एक बीम से हमें एक दूसरे से स्वतंत्र दो बीम मिलेंगे, जिनमें से प्रत्येक स्थिर रूप से निर्धारित होगा . यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विभाजित बीम की तुलना में निरंतर बीम कम सामग्री-गहन हैं, क्योंकि वे अधिक तर्कसंगत रूप से झुकने वाले क्षणों को उनकी लंबाई के साथ वितरित करते हैं। इस संबंध में, निर्माण और इंजीनियरिंग में निरंतर बीम का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। हालांकि, निरंतर बीम, स्थिर रूप से अनिश्चित होने के कारण, एक विशेष गणना तकनीक की आवश्यकता होती है, जिसमें सिस्टम विकृतियों का उपयोग शामिल है।

सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित प्रणालियों की गणना के लिए आगे बढ़ने से पहले, यह सीखना आवश्यक है कि उनकी स्थिर अनिश्चितता की डिग्री कैसे निर्धारित की जाए। स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री निर्धारित करने के लिए सबसे सरल नियमों में से एक निम्नलिखित है:

, (8.3)

कहाँ पे  संरचना पर लगाए गए बांडों की संख्या; संभावित स्वतंत्र संतुलन समीकरणों की संख्या जिन्हें विचाराधीन प्रणाली के लिए संकलित किया जा सकता है।

हम चित्र 8.14 में दिखाए गए सिस्टम की स्थिर अनिश्चितता की डिग्री निर्धारित करने के लिए समीकरण (8.3) का उपयोग करते हैं।

चित्र 8.14a में दिखाया गया बीम एक बार स्थिर रूप से अनिश्चित होता है, क्योंकि इसमें बाएं पैर पर तीन और दाहिने पैर पर एक टाई होती है। ऐसे बीम के लिए केवल तीन स्वतंत्र संतुलन समीकरण होते हैं। इस प्रकार, बीम की स्थिर अनिश्चितता की डिग्री
. अंजीर। 8.14b में दिखाया गया निरंतर बीम भी एक बार स्थिर रूप से अनिश्चित होता है, क्योंकि इसमें बाएं समर्थन पर दो कनेक्शन होते हैं और मध्यवर्ती समर्थन पर और दाएं समर्थन पर प्रत्येक में एक कनेक्शन होता है - कुल चार कनेक्शन। इस प्रकार, इसकी स्थिर अनिश्चितता की डिग्री
.

अंजीर में दिखाया गया फ्रेम। 8.14c, तीन गुना सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित है, क्योंकि इसके समर्थन में छह बंधन हैं। इस फ्रेम के लिए केवल तीन स्वतंत्र संतुलन समीकरण हैं। इस प्रकार, समीकरण (8.3) से इस फ्रेम के लिए स्थिर अनिश्चितता की डिग्री है:
. चित्र 8.18, d में दिखाए गए फ्रेम की स्थिर अनिश्चितता की डिग्री चार के बराबर है, क्योंकि फ्रेम में समर्थन पर सात कनेक्शन हैं। इसलिए, इसकी स्थिर अनिश्चितता की डिग्री बराबर है
.

स्थिर अनिश्चितता की डिग्री निर्धारित करने के लिए नियम (8.3) का उपयोग केवल सरल प्रणालियों के लिए किया जाता है। अधिक जटिल मामलों में, यह नियम काम नहीं करता है। चित्र 8.15 एक ऐसा फ्रेम दिखाता है जिसकी स्थिर अनिश्चितता की डिग्री समीकरण (8.3) का उपयोग करके निर्धारित नहीं की जा सकती है।

बाह्य रूप से, चित्र 8.15 में दिखाया गया सिस्टम सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित पांच गुना है। समीकरण (8.3) का उपयोग करके इसे स्थापित करना आसान है: छह बाहरी बांडों से (खंड ए में तीन, खंड बी में तीन और खंड सी में दो), तीन संभावित संतुलन समीकरण घटाए जाते हैं। हालाँकि, इस प्रणाली में एक आंतरिक स्थिर अनिश्चितता भी है। समीकरण (8.3) का उपयोग करके आंतरिक स्थिर अनिश्चितता को ध्यान में रखना असंभव है। चित्र 8.15 में दिखाए गए फ्रेम की स्थिर अनिश्चितता की डिग्री निर्धारित करने के लिए आगे बढ़ने से पहले, हम कई परिभाषाएं पेश करते हैं। इनमें से पहली परिभाषा में एक साधारण काज की धारणा शामिल है।

सरलदो छड़ों को जोड़ने वाला काज कहलाता है (चित्र 8.16)।

चित्र 8.16। साधारण काज

कई छड़ों को जोड़ने वाला काज कहलाता है कठिन(चित्र 8.17)।

चित्र 8.17। जटिल काज

सरल टिका की संख्या जो एक जटिल काज को बदल सकती है, सूत्र से निर्धारित होती है:

, (8.4)

कहाँ पे
- नोड में शामिल छड़ की संख्या।

हम चित्र 8.17 में दिखाए गए जटिल काज को सूत्र (8.4) का उपयोग करके साधारण टिकाओं की संख्या में पुनर्गणना करते हैं:
. इस प्रकार, चित्र 8.17 में दिखाए गए जटिल काज को चार साधारण टिका द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

आइए एक और अवधारणा पेश करते हैं - बंद लूप.

आइए प्रमेय सिद्ध करें: कोई भी बंद लूप तीन गुना स्थिर रूप से अनिश्चित है।

प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, बाह्य बलों से लदे एक बंद परिपथ पर विचार करें (चित्र 8.18)।

आइए हम एक ऊर्ध्वाधर खंड के साथ एक बंद समोच्च को काटते हैं और अनुभाग के स्थल पर उत्पन्न होने वाले आंतरिक बल कारकों को दिखाते हैं। प्रत्येक खंड में तीन आंतरिक कारक उत्पन्न होते हैं: कतरनी बल , झुकने का पल
और अनुदैर्ध्य बल
. कुल मिलाकर, समोच्च के प्रत्येक कट-ऑफ भाग, बाहरी बलों के अलावा, छह आंतरिक कारकों (चित्र। 8.18, बी, सी) से प्रभावित होते हैं। कट-ऑफ भागों में से एक के संतुलन को ध्यान में रखते हुए, उदाहरण के लिए, बाएं वाला (चित्र 8.18, बी), हम पाते हैं कि समस्या तीन गुना स्थिर रूप से अनिश्चित है, क्योंकि कट के लिए केवल तीन स्वतंत्र संतुलन समीकरण संकलित किए जा सकते हैं। -ऑफ भाग, और छह अज्ञात बल कट-ऑफ भाग पर कार्य कर रहे हैं। इस प्रकार, एक बंद लूप की स्थिर अनिश्चितता की डिग्री बराबर है
. प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

अब, एक साधारण काज और एक बंद लूप की अवधारणा का उपयोग करके, हम स्थिर अनिश्चितता की डिग्री निर्धारित करने के लिए एक और नियम बना सकते हैं:

, (8.5)

कहाँ पे
 बंद छोरों की संख्या;
साधारण के पदों में टिका की संख्या (8.4)।

समीकरण (8.5) का उपयोग करके, हम चित्र 8.15 में दिखाए गए फ्रेम की स्थिर अनिश्चितता की डिग्री निर्धारित करते हैं। फ्रेम में पांच आकृति होती है
, समर्थन छड़ द्वारा गठित समोच्च सहित। नोड डी पर टिका सरल है, क्योंकि यह दो छड़ों को जोड़ता है। खंड K में काज जटिल है, क्योंकि यह चार छड़ों को जोड़ता है। सूत्र (8.4) के अनुसार, खंड K में काज को प्रतिस्थापित करने वाले साधारण टिकाओं की संख्या है:
. काज सी भी जटिल है क्योंकि यह तीन छड़ों को जोड़ता है। इस टिका के लिए
. इसके अलावा, सिस्टम में दो और सरल टिका हैं, जिसके साथ यह आधार से जुड़ा हुआ है। अत: निकाय में साधारण टिकाओं की संख्या है
. बंद छोरों की संख्या को प्रतिस्थापित करना
और साधारण टिका की संख्या
सूत्र (8.5) में हम फ्रेम की स्थिर अनिश्चितता की डिग्री निर्धारित करते हैं:
. इस प्रकार, अंजीर में दिखाया गया है। 8.15 फ्रेम, सात बार स्थिर रूप से अनिश्चित। और इसका मतलब है कि ऐसी प्रणाली की गणना करने के लिए, तीन संतुलन समीकरणों के अलावा, विकृतियों की संगतता के सात समीकरणों की रचना करना आवश्यक है। इन समीकरणों में शामिल अज्ञात के संबंध में इस तरह से प्राप्त 10 समीकरणों की प्रणाली को हल करके, बाहरी बंधनों में प्रतिक्रियाओं की परिमाण और फ्रेम में उत्पन्न होने वाली आंतरिक शक्तियों दोनों को निर्धारित करना संभव है। समीकरणों की प्रणाली से संतुलन समीकरणों को छोड़कर इस समस्या को हल करने की प्रक्रिया को कुछ हद तक सरल बनाया जा सकता है। हालांकि, इस दृष्टिकोण के लिए विशेष समाधान विधियों के उपयोग की आवश्यकता होती है, जिनमें से एक बल विधि है।

सिस्टम को सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित कहा जाता है जिसमें आंतरिक बलों को केवल संतुलन समीकरणों (स्थिर समीकरण) से निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

स्थिर रूप से अनिश्चित निर्माणों में तथाकथित है ज़रूरत से ज़्यादासम्बन्ध। वे समर्थन, छड़ और अन्य तत्वों में हो सकते हैं। ऐसे कनेक्शनों को "अनावश्यक" कहा जाता है क्योंकि वे संरचना के संतुलन को सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक नहीं हैं, लेकिन इसकी ताकत और कठोरता के लिए आवश्यकताओं से निर्धारित होते हैं। ऐसे अतिरिक्त कनेक्शन कहलाते हैं बाहरी।इसके अलावा, डिज़ाइन की विशेषताओं के कारण ही अनावश्यक कनेक्शन उत्पन्न हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक बंद फ्रेम समोच्च (चित्र। 46, जी)प्रत्येक खंड में तीन अज्ञात आंतरिक बल हैं, अर्थात। केवल छह, और उनमें से तीन "अतिरिक्त" हैं। इस अतिरिक्त प्रयास को कहा जाता है आंतरिक।बाहरी या आंतरिक "अतिरिक्त" कनेक्शनों की संख्या के अनुसार, वे स्थापित करते हैं प्रणाली की स्थिर अनिश्चितता की डिग्री।यह निर्धारित किए जाने वाले अज्ञात की संख्या और स्थिर समीकरणों की संख्या के बीच के अंतर के बराबर है। एक "अतिरिक्त" अज्ञात के साथ, सिस्टम को एक बार कहा जाता है, या एक बार स्थिर रूप से अनिश्चित, दो के साथ - दो बार स्थिर रूप से अनिश्चित, आदि।

अंजीर में दिखाया गया डिजाइन। 46, एक, एक बार सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित है, और अंजीर में दिखाए गए निर्माण। 46, बीतथा में, -दोगुना सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित, अंजीर में। 46, d - स्थिर रूप से अनिश्चित निर्माण के साथ तीन बार।

स्थैतिक रूप से अनिश्चित समस्याओं को हल करते समय, स्थिर समीकरणों के अलावा, समीकरणों का उपयोग किया जाता है जो संरचनात्मक तत्वों के विकृतियों को ध्यान में रखते हैं।

सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित समस्याओं को हल करने के कई तरीके हैं: विस्थापन तुलना विधि, बल विधि, विस्थापन विधि।

बल विधि

स्थिर रूप से अनिश्चित प्रणालियों की गणना करते समय, बलों को अज्ञात के रूप में लिया जाता है।

द्वारा गणना बल विधिनिम्नलिखित क्रम में किया जाता है:

• 1. स्थिर अनिश्चितता की डिग्री निर्धारित करें।
• 2. "अतिरिक्त" कनेक्शन को हटाकर, मूल प्रणाली को एक स्थिर रूप से निर्धारित एक से बदल दिया जाता है, जिसे कहा जाता है मुख्य प्रणाली।कई ऐसी प्रणालियाँ बनाई जा सकती हैं, जो उनकी भौगोलिक स्थिति को देखते हुए बनाई जा सकती हैं

मीट्रिक अपरिवर्तनीयता।

• 3. मुख्य प्रणाली दी गई बाहरी ताकतों और "अतिरिक्त" अज्ञात बलों से भरी हुई है जो दूरस्थ कनेक्शन की कार्रवाई को प्रतिस्थापित करती है, जिसके परिणामस्वरूप समकक्ष प्रणाली।
• 4. मूल और मुख्य प्रणालियों की समानता सुनिश्चित करने के लिए, अज्ञात बलों को चुना जाना चाहिए ताकि मुख्य प्रणाली की विकृति मूल सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित प्रणाली के विकृतियों से भिन्न न हो। इस प्रयोजन के लिए, उनकी कार्रवाई की दिशा में "अनावश्यक" अज्ञात के आवेदन के बिंदुओं का विस्थापन शून्य के बराबर है। इस प्रकार प्राप्त अतिरिक्त समीकरणों से "अतिरिक्त" अज्ञात बलों के मान निर्धारित होते हैं। संबंधित बिंदुओं के विस्थापन का निर्धारण किसी भी तरह से किया जा सकता है, लेकिन सबसे सामान्य मोहर विधि का उपयोग करना बेहतर है।
• 5. "अतिरिक्त" अज्ञात बलों के मूल्यों को निर्धारित करने के बाद, प्रतिक्रियाएं निर्धारित की जाती हैं और आंतरिक बलों के आरेख तैयार किए जाते हैं, वर्गों का चयन किया जाता है और सामान्य तरीके से ताकत की जांच की जाती है।

बल विधि के विहित समीकरण

"अतिरिक्त" अज्ञात की दिशा में विस्थापन के शून्य की समानता व्यक्त करने वाले अतिरिक्त विस्थापन समीकरण तथाकथित में आसानी से संकलित किए जा सकते हैं कानूनी फॉर्मवे। एक निश्चित पैटर्न के अनुसार। आइए हम इसे सरलतम सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित प्रणाली को हल करने के उदाहरण से दिखाते हैं (चित्र 47, एक)।

हम व्यक्त समर्थन को छोड़कर, कंसोल को मुख्य प्रणाली के रूप में चुनते हैं। इसके बाहरी बल टी 7 और "अतिरिक्त" अज्ञात . के आवेदन के बाद समकक्ष प्रणाली प्राप्त की जाएगी एक्स(चित्र 47, बी)।

विहित समीकरण, जो बिंदु के शून्य विस्थापन को व्यक्त करता है परबलों से एफ और एक्स,होगा

समीकरण से हमारे पास है

एक प्रणाली के लिए जिसमें दो "अतिरिक्त" कनेक्शन हैं, विहित समीकरणों की प्रणाली का रूप है:

• 8 11 एक्स 1 + बी 12 ^2 + ^1
• 621-^1 + 622^2 "मैं" ^20-

आंदोलनों ए [पीऔर बी [y, विहित समीकरणों में शामिल, मोहर विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है।

रेक्टिलिनियर तत्वों वाली प्रणालियों के लिए, वीरशैचिन विधि का उपयोग करके विस्थापन की गणना करना सुविधाजनक है।

उदाहरण के लिए, अंजीर में दर्शाए गए कार्य के लिए। 47, आरेखों (चित्र। 48) को गुणा करते हुए, हम विहित समीकरण के गुणांक प्राप्त करते हैं:

1 2 मैं 3 1 मैं / मैं 2 1 5 I1 3

ई] एल एलएल =-/ / -/ = -, ई]एक एलआर =-------- +-------.

1 11 2 3 3 1 1R 2 2 2 2 3 2/ 48 इ]

प्राप्त Chl - - = - इ।

ताकत को परिभाषित करना एक्स,हमें वास्तव में समर्थन प्रतिक्रिया मिली मैं भी शामिल।इसके अलावा, आंतरिक बल कारकों को निर्धारित करने की समस्या को हमेशा की तरह, वर्गों की विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

रूसी संघ के शिक्षा मंत्रालय

राज्य संस्थान

कुजबास राज्य तकनीकी विश्वविद्यालय

सामग्री की ताकत विभाग

तनाव के तहत स्थिर रूप से अनिश्चित हिंग-रॉड सिस्टम की गणना - संपीड़न

सभी विशिष्टताओं के छात्रों के लिए सामग्री के बल पर गणना और ग्राफिक कार्य के कार्यान्वयन के लिए दिशानिर्देश

द्वारा संकलित: वी.डी. मोइसेन्को

विभाग की बैठक में स्वीकृत कार्यवृत्त संख्या 8 दिनांक 29.06.01

KuzGTU . के मुख्य भवन के पुस्तकालय में एक इलेक्ट्रॉनिक प्रति है

केमेरोवो 2002

परिचय। असाइनमेंट का दायरा और उद्देश्य

एक स्थिर रूप से अनिश्चित हिंज-रॉड प्रणाली वह है जिसमें छड़ में बल और समर्थन में प्रतिक्रियाएं केवल संतुलन की स्थिति से निर्धारित नहीं की जा सकती हैं।

चित्र 1 एक पारंपरिक ब्रैकेट दिखाता है जिसमें दो छड़ें होती हैं। इस ब्रैकेट की छड़ों में एन 1 और एन 2 के बल आसानी से कट आउट नोड सी पर लागू होने वाले बलों की प्रणाली के लिए संतुलन की स्थिति से निर्धारित होते हैं, क्योंकि दो अज्ञात के साथ बलों की इस प्रणाली के लिए दो समीकरण हल किए जाते हैं।

यदि ब्रैकेट डिज़ाइन एक और रॉड (छवि 1, बी) जोड़कर जटिल है, तो छड़ में बलों को उसी तरह निर्धारित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि नोड सी के लिए, स्थिर संतुलन के केवल दो समीकरण अभी भी संकलित किए जा सकते हैं (ΣХ = 0; Y = 0), और अज्ञात बलों की संख्या तीन है। हमारे पास एक बार एक स्थिर रूप से अनिश्चित प्रणाली है।

डिजाइन को जटिल बनाकर और नई छड़ों को पेश करके, व्यक्ति दो बार एक स्थिर रूप से अनिश्चित प्रणाली प्राप्त कर सकता है (चित्र 1c देखें), तीन बार, और इसी तरह। इसलिए, n बार के तहत एक सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित प्रणाली को ऐसी प्रणाली के रूप में समझा जाता है जिसमें कनेक्शन की संख्या n इकाइयों द्वारा स्टैटिक्स के स्वतंत्र समीकरणों की संख्या से अधिक हो जाती है।

समस्या को हल करने के लिए आवश्यक अतिरिक्त समीकरणों को एक विकृत स्थिति में सिस्टम पर विचार करके और संरचनात्मक तत्वों के विस्थापन और विकृतियों के बीच संबंध स्थापित करके पाया जा सकता है। परिणामी समीकरणों को विकृति संगतता समीकरण कहा जाता है।

चित्र 2 कुछ सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित प्रणालियों के आरेख दिखाता है।

रेखा चित्र नम्बर 2। कुछ प्रकार के सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित सिस्टम

"स्थैतिक रूप से अनिश्चित रॉड सिस्टम" अनुभाग का अध्ययन करते समय और इस गणना और ग्राफिक कार्य को करते हुए, छात्र को सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित प्रणालियों की विशेषताओं को सीखना चाहिए; संरचनात्मक तत्वों में बलों को निर्धारित करने और ताकत की स्थिति से क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्रों का चयन करने में स्थिर अनिश्चितता के प्रकटीकरण में कौशल हासिल करें।

असाइनमेंट के लिए छात्र को निम्नलिखित करने की आवश्यकता होती है:

- छड़ में बलों का निर्धारण और बाहरी भार की कार्रवाई से क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्रों का चयन करें;

- तापमान परिवर्तन के कारण छड़ों में अतिरिक्त तनाव का निर्धारण;

- छड़ के निर्माण में अशुद्धि के कारण अतिरिक्त बढ़ते तनाव का निर्धारण;

- सीमा राज्य के अनुसार छड़ के वर्गों का चयन करें।

गणना और ग्राफिक कार्य करने की मात्रा और रूप अध्ययन किए जा रहे पाठ्यक्रम की मात्रा पर निर्भर करता है और शिक्षक द्वारा व्यावहारिक कक्षाओं में बातचीत की जाती है।

1. संक्षिप्त सैद्धांतिक जानकारी

सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित समस्याओं को हल करते समय, निम्नलिखित क्रम का पालन किया जाना चाहिए:

1.1. समस्या के स्थिर पक्ष पर विचार करें। बलों की एक योजना बनाएं और स्थैतिक के समीकरण लिखें।

1.2. समस्या के ज्यामितीय पक्ष पर विचार करें। एक यात्रा योजना बनाएं। अतिरिक्त विरूपण संगतता समीकरणों को इतनी मात्रा में संकलित करें कि सभी अज्ञात बल मिल सकें।

1.3. समस्या के भौतिक पक्ष पर विचार करें। भौतिकी के नियमों के अनुसार (तापमान गणना के साथ) और हुक के नियम के अनुसार, छड़ में अभिनय करने वाली अज्ञात ताकतों के माध्यम से उनकी अनुकूलता के समीकरणों में विकृतियों को व्यक्त करें:

1.4. स्टैटिक्स, ज्योमेट्री, फिजिक्स के समीकरणों का एक संयुक्त समाधान तैयार करें और अज्ञात बलों का निर्धारण करें।

1.5. संपीड़ित या तन्य शक्ति की स्थिति का उपयोग करना N/F = [ ], छड़ों के अनुप्रस्थ काट वाले क्षेत्रों का चयन करें।

1.6. छड़ों और स्वीकृत अनुप्रस्थ काट क्षेत्रों में ज्ञात बलों के साथ, सूत्र का उपयोग करके सामान्य प्रतिबलों की गणना करें

= एन एफ।

2. उदाहरण

दिया गया है: एक बिल्कुल कठोर बीम AB टिकी हुई है, जैसा कि चित्र 3 में दिखाया गया है, जो समान रूप से वितरित भार और बल P से भरी हुई है।

चित्र 3. एक स्थिर रूप से अनिश्चित प्रणाली का आरेख

गणना के लिए प्रारंभिक डेटा

4. भार, तापमान परिवर्तन और विनिर्माण अशुद्धियों की कार्रवाई से छड़ में कुल तनाव का निर्धारण करें।

2.1. बाहरी लोडिंग के लिए एक स्थिर रूप से अनिश्चित हिंगेड रॉड सिस्टम की गणना

पी = 30 केएन क्यू = 15 केएन/एम

ए सी बी

चित्र 4. प्रारंभिक डिजाइन योजना

2.1.1. समस्या का स्थिर पक्ष

समस्या के स्थिर पक्ष को बलों की योजना द्वारा माना जाता है। बल योजना एक डिजाइन योजना है जो हिंगेड रॉड सिस्टम के तत्व पर लागू सभी बलों (ज्ञात और अज्ञात दोनों) को दिखाती है, जिसका संतुलन माना जाता है (हमारे मामले में, यह एक कठोर बीम एबी है)। आइए हम स्टील और तांबे की छड़ों को काटें और उनके त्यागे हुए निचले हिस्सों को आंतरिक बलों से बदलें (चित्र 5)।

पी = 30 केएन क्यू = 15 केएन/एम

ए सी बी

60°

चावल। 5. बाहरी भार से बलों की योजना

बलों की योजना से (चित्र 5 देखें) हम स्थिर संतुलन के समीकरण लिखते हैं। समस्या के पहले प्रश्न का उत्तर देने के लिए, छड़ों - स्टील और तांबे में बलों को जानना आवश्यक है। इस मामले में टिका हुआ समर्थन की प्रतिक्रिया की गणना करने की कोई आवश्यकता नहीं है। तो तीन में से

स्टैटिक्स के संभावित समीकरण (ΣX = 0; ΣY = 0; Σm c = 0) हम लिखते हैं

एक जिसमें मुख्य रूप से निश्चित समर्थन सी की प्रतिक्रियाएं शामिल नहीं हैं:

एमसी = 0

- एन सीटी ए + क्यू ए 2 2 + पी ए + एनएम पाप 60o बी = 0,

- एन एसटी 2 + 15 2 2 2 + 30 2 - एनएम 0.866 4 = 0,

बीजीय संक्रियाओं के बाद, संतुलन समीकरण का रूप ले लेगा

2.1.2. समस्या का ज्यामितीय पक्ष

समस्या का ज्यामितीय पक्ष विस्थापन योजना द्वारा माना जाता है। विस्थापन योजना एक डिज़ाइन आरेख है जो लोड करने से पहले और बाद में हिंगेड रॉड सिस्टम की स्थिति को दर्शाता है। विस्थापन योजना पर, हम बीम (AA1 और BB1) के बिंदुओं के विस्थापन को इंगित करते हैं,

तांबे और स्टील की छड़ की पूर्ण विकृति (∆ एल एसटी; ∆ एल एम)

(चित्र 6)। इसके अलावा, छोटे विकृतियों के कारण, हम बीम के बिंदुओं को लंबवत ऊपर या नीचे ले जाते हैं, और झुकाव वाली छड़ के विकृतियों को लंबवत के साथ चिह्नित करते हैं।

चावल। 6. बाहरी भार की कार्रवाई से विस्थापन की योजना

विस्थापन योजना के अनुसार, हम विकृतियों की अनुकूलता के लिए एक समीकरण बनाते हैं। सबसे पहले, हम त्रिभुज AA1 C और CBB1 (चित्र 6) की समानता से बीम के बिंदुओं के विस्थापन का अनुपात लिखते हैं:

बीम के बिंदुओं (AA1 और BB1) के विस्थापन को विकृतियों के रूप में व्यक्त किया जाता है

व्यंजक (2.3) और (2.4) को संबंध (2.2) में प्रतिस्थापित किया जाता है:

2.1.3. समस्या का भौतिक पक्ष

इस रूप में परिणामी विरूपण संगतता समीकरण (2.5) को संतुलन समीकरण (2.1) के साथ हल नहीं किया जा सकता है, क्योंकि उनमें शामिल अज्ञात मात्रा एक अलग प्रकृति की है।

निरपेक्ष विकृतियाँ l CT और ∆ l M समीकरण (2.5) में हम व्यक्त करते हैं

हमने छड़ में बलों के संदर्भ में लिखा तनाव संगतता समीकरण प्राप्त किया है।

2.1.4. संश्लेषण

आइए हम संतुलन समीकरण (2.1) और विरूपण संगतता समीकरण (2.6) को संयुक्त रूप से हल करें।

एनसीटी + 1.73एनएम = 45

0.67NCT \u003d 0.95NM।

सिस्टम के दूसरे समीकरण से, हम बल एन एसटी व्यक्त करते हैं:

और सिस्टम के पहले समीकरण में स्थानापन्न करें।

एन एसटी और एन एम का सकारात्मक परिणाम स्टील रॉड के संपीड़न और तांबे की छड़ के तनाव की हमारी धारणा की पुष्टि करता है, जिसका अर्थ है कि छड़ में बल होंगे:

2.1.5. सलाखों के क्रॉस सेक्शन का चयन

छड़ के क्रॉस सेक्शन का चयन तन्य शक्ति - संपीड़न की स्थिति के अनुसार किया जाता है:

एन एफ [σ] ।

ए) ताकत की स्थिति से आवश्यक स्टील बार का क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र निर्धारित किया जाएगा:

बी) ताकत की स्थिति से आवश्यक तांबे की छड़ का क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र निर्धारित किया जाएगा:

इस मामले में, दिए गए क्षेत्रों के अनुपात के अनुसार, स्टील रॉड का क्षेत्रफल बराबर होना चाहिए:

एफसीटी = 4 3 एफएम = 4 3 1.7 10- 4 = 1.275 10- 4 एम2 ..

हम छड़ के बड़े पार-अनुभागीय क्षेत्रों को स्वीकार करते हैं:

तांबे और स्टील की छड़ों के स्वीकृत क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्रों के साथ, हम इन छड़ों में तनाव का निर्धारण करते हैं।

2.2. एक स्थिर रूप से अनिश्चित हिंग-रॉड सिस्टम की तापमान गणना

तापमान गणना का उद्देश्य तापमान परिवर्तन के कारण तांबे और स्टील की छड़ में अतिरिक्त तनाव का निर्धारण करना है।

मान लीजिए कि सिस्टम को ∆ t = 20 o C से गर्म किया जाता है। समाधान एल्गोरिथ्म वही रहता है। प्रारंभिक डिजाइन योजना अंजीर में दिखाई गई है। 7.

रॉड सिस्टम जिसमें समर्थन प्रतिक्रियाएं और आंतरिक बल कारक अकेले संतुलन समीकरणों से नहीं मिल सकते हैं, कहलाते हैं स्थिर रूप से अनिश्चित.

आवश्यक अज्ञात बलों की संख्या और स्वतंत्र संतुलन समीकरणों के बीच का अंतर निर्धारित करता है प्रणाली की स्थिर अनिश्चितता की डिग्री. स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री हमेशा निरर्थक (अनावश्यक) कनेक्शनों की संख्या के बराबर होती है, जिसे हटाने से एक सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित प्रणाली एक सांख्यिकीय रूप से निर्धारित ज्यामितीय रूप से अपरिवर्तनीय प्रणाली में बदल जाती है। बाहरी (संदर्भ) कनेक्शन और आंतरिक दोनों, जो एक दूसरे के सापेक्ष सिस्टम अनुभागों की आवाजाही पर कुछ प्रतिबंध लगाते हैं, बेमानी हो सकते हैं।

ज्यामितीय रूप से अपरिवर्तनीयऐसी प्रणाली को कहा जाता है, जिसके रूप में परिवर्तन केवल उसके तत्वों की विकृति के संबंध में संभव है।

ज्यामितीय रूप से परिवर्तनशीलऐसी प्रणाली को कहा जाता है, जिसके तत्व बिना विरूपण (तंत्र) के बाहरी बलों की कार्रवाई के तहत आगे बढ़ सकते हैं।

अंजीर में दिखाया गया है। 12.1 फ्रेम में सात बाहरी (समर्थन) लिंक हैं। इन बांडों (समर्थन प्रतिक्रियाओं) में बलों को निर्धारित करने के लिए, केवल तीन स्वतंत्र संतुलन समीकरणों की रचना करना संभव है। इसलिए, इस प्रणाली में चार निरर्थक कनेक्शन हैं, जिसका अर्थ है कि यह चार गुना स्थिर रूप से अनिश्चित है। इस प्रकार, फ्लैट फ्रेम के लिए स्थिर अनिश्चितता की डिग्री है:

कहाँ पे आर- समर्थन प्रतिक्रियाओं की संख्या।

एक समोच्च जिसमें कई तत्व (सीधे या घुमावदार) कठोर रूप से (बिना टिका के) एक दूसरे से जुड़े होते हैं और एक बंद सर्किट बनाते हैं, एक बंद सर्किट कहलाता है। . चित्र 12.2 में दिखाया गया आयताकार फ्रेम एक बंद लूप है। यह तीन बार सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित है, क्योंकि इसे स्थिर रूप से अनिश्चित बनाने के लिए इसके तत्वों में से एक को काटना और तीन अतिरिक्त कनेक्शनों को समाप्त करना आवश्यक है। इन बंधों की प्रतिक्रियाएं हैं: अनुदैर्ध्य बल, अनुप्रस्थ बल और काटने की जगह पर अभिनय करने वाला झुकने वाला क्षण; उन्हें स्टैटिक्स के समीकरणों का उपयोग करके निर्धारित नहीं किया जा सकता है। इसी तरह की स्थितियों में, स्थिर अनिश्चितता के अर्थ में, कोई भी बंद लूप होता है, जो हमेशा होता है तीन बार स्थिर रूप से अनिश्चित.

एक फ्रेम नोड में एक काज को शामिल करना जिसमें दो छड़ें अभिसरण करती हैं, या इसे रॉड अक्ष पर किसी भी स्थान पर रखती हैं, एक कनेक्शन को हटा देती है और एक से स्थिर अनिश्चितता की समग्र डिग्री कम कर देती है। इस तरह के काज को सिंगल या सिंपल (चित्र 12.3) कहा जाता है।

सामान्य तौर पर, प्रत्येक काज को जोड़ने वाले नोड में शामिल किया जाता है सीछड़, स्थिर अनिश्चितता की डिग्री को कम कर देता है सी-1 , चूंकि ऐसा काज प्रतिस्थापित करता है सी-1 एकल टिका (चित्र। 12.3)। इस प्रकार, बंद लूप की उपस्थिति में सिस्टम की स्थिर अनिश्चितता की डिग्री सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है।

ऐसी प्रणाली को सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित कहा जाता है यदि इसकी गणना केवल स्टैटिक्स के समीकरणों का उपयोग करके नहीं की जा सकती है, क्योंकि इसमें अनावश्यक कनेक्शन हैं। ऐसी प्रणालियों की गणना करने के लिए, अतिरिक्त समीकरण संकलित किए जाते हैं जो सिस्टम की विकृतियों को ध्यान में रखते हैं।

स्थिर रूप से अनिश्चित सिस्टमकई विशिष्ट विशेषताएं हैं:

1. स्थिर रूप से अनिश्चितसंरचनाएं संबंधित की तुलना में अधिक कठोर हैं स्थिर रूप से निर्धारित, क्योंकि उनके पास अतिरिक्त कनेक्शन हैं।
2. इन स्थिर रूप से अनिश्चितसिस्टम, छोटी आंतरिक ताकतें होती हैं, जो उनकी तुलना में उनकी दक्षता निर्धारित करती हैं स्थिर रूप से निर्धारित एक ही बाहरी भार के तहत सिस्टम।
3. में अनावश्यक कनेक्शन का उल्लंघन स्थिर रूप से अनिश्चितप्रणाली हमेशा विनाश की ओर नहीं ले जाती है, जबकि संचार की हानि स्थिर रूप से निर्धारितप्रणाली इसे ज्यामितीय रूप से परिवर्तनशील बनाती है।
4. गणना के लिए स्थिर रूप से अनिश्चितसिस्टम, तत्वों के क्रॉस सेक्शन की ज्यामितीय विशेषताओं को प्रारंभिक रूप से निर्दिष्ट करना आवश्यक है, अर्थात। वास्तव में, उनका आकार और आकार, चूंकि उनके परिवर्तन से कनेक्शन में बलों में बदलाव होता है और सिस्टम के सभी तत्वों में प्रयासों का एक नया वितरण होता है।
5. गणना करते समय स्थिर रूप से अनिश्चितसिस्टम, निर्माण की सामग्री को पहले से चुनना आवश्यक है, क्योंकि इसकी लोच के मॉड्यूल को जानना आवश्यक है।
6. इन स्थिर रूप से अनिश्चितसिस्टम, तापमान प्रभाव, समर्थन का निपटान, निर्माण और स्थापना में अशुद्धियाँ अतिरिक्त प्रयासों का कारण बनती हैं।

मुख्य गणना के तरीकेस्थिर रूप से अनिश्चितसिस्टम हैं:

1. बल विधि. यहां, बलों को अज्ञात माना जाता है - बल और क्षण।
2.आंदोलन विधि।अज्ञात विरूपण कारक हैं - रोटेशन के कोण और रैखिक विस्थापन।
3.मिश्रित विधि।यहां, अज्ञात का हिस्सा प्रयासों का प्रतिनिधित्व करता है, और दूसरा हिस्सा विस्थापन का प्रतिनिधित्व करता है।
4. संयुक्त विधि।इसका उपयोग असममित भार के लिए सममित प्रणालियों की गणना में किया जाता है। यह पता चला है कि विस्थापन विधि द्वारा किसी दिए गए भार के सममित घटक के लिए और व्युत्क्रम सममित घटक के लिए - बल विधि द्वारा प्रणाली की गणना करना उचित है।
संकेतित विश्लेषणात्मक विधियों के अलावा, विशेष रूप से जटिल प्रणालियों की गणना में विभिन्न संख्यात्मक विधियों का उपयोग किया जाता है।

बल विधि के विहित समीकरण

अतिरिक्त समीकरण प्राप्त करने के लिए, जिनका उल्लेख पिछले पैराग्राफ में किया गया था, आपको सबसे पहले दिए गए एक को n बार बदलना होगा स्थिर रूप से अनिश्चितसिस्टम से अनावश्यक कनेक्शन हटाकर एक स्थिर रूप से निर्धारित करें। परिणामी सांख्यिकीय रूप से निर्धारित प्रणाली को कहा जाता है बुनियादी।ध्यान दें कि किसी दिए गए सिस्टम को स्थिर रूप से निर्धारित सिस्टम में बदलना अनिवार्य नहीं है। कभी-कभी बल विधि का एक संशोधन उपयोग किया जाता है जिसमें अंतर्निहित प्रणाली हो सकती है स्थिर रूप से अनिश्चितहालांकि, इस मुद्दे की प्रस्तुति इस मैनुअल के दायरे से बाहर है। किसी भी बंधन का उन्मूलन आंतरिक बलों और सिस्टम की विकृतियों को नहीं बदलता है यदि उस पर अतिरिक्त बल और क्षण लागू होते हैं, जो कि त्याग किए गए बांडों की प्रतिक्रियाएं हैं। इसका मतलब यह है कि यदि दिया गया लोड और रिमोट लिंक की प्रतिक्रियाओं को मुख्य सिस्टम पर लागू किया जाता है, तो मुख्य और दिए गए सिस्टम बन जाएंगे बराबर।

किसी दिए गए सिस्टम में, मौजूदा कठोर लिंक की दिशा में कोई विस्थापन नहीं हो सकता है, जिसमें वे लिंक शामिल हैं जिन्हें मुख्य सिस्टम में संक्रमण के दौरान छोड़ दिया जाता है, इसलिए, मुख्य प्रणाली में, हटाए गए लिंक की दिशाओं के साथ विस्थापन होना चाहिए शून्य के बराबर हो। और इसके लिए, गिराए गए बांडों की प्रतिक्रियाओं में कड़ाई से परिभाषित मूल्य होना चाहिए।

बलों की कार्रवाई की स्वतंत्रता के सिद्धांत के आधार पर छोड़े गए n में से किसी भी i-th कनेक्शन की दिशा में विस्थापन के शून्य की समानता की स्थिति का रूप है:

जहां पहला सूचकांक आंदोलन की दिशा और गिराए गए कनेक्शन की संख्या को इंगित करता है, और दूसरा उस कारण को इंगित करता है जिसके कारण आंदोलन हुआ, अर्थात। i-वें बंधन की दिशा में गति है, जो k-वें बंधन की प्रतिक्रिया के कारण होती है; - पूरे बाहरी भार की एक साथ कार्रवाई के कारण आई-वें कनेक्शन की दिशा में आंदोलन।

बल विधि में, kth आबंध की अभिक्रिया को सामान्यतः Xk द्वारा निरूपित किया जाता है। इस पदनाम को ध्यान में रखते हुए और हुक के नियम की वैधता के कारण, विस्थापन को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

प्रतिक्रिया के कारण i-th बंधन की दिशा में एक एकल (या विशिष्ट) आंदोलन कहां है। Xk के साथ दिशा में मेल खाने वाली प्रतिक्रिया, लेकिन एकता के बराबर।

(2) को (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

भौतिक अर्थसमीकरण (3): i-th त्याग किए गए कनेक्शन की दिशा में मुख्य प्रणाली में आंदोलन शून्य के बराबर है।

छोड़े गए बांडों के पूरे सेट के लिए (3) के समान अभिव्यक्ति लिखना, हम प्राप्त करते हैं विहित समीकरणों की प्रणालीबल विधि:

समीकरण का रूप (4), अर्थात्। उनमें से प्रत्येक में पदों की संख्या और उनकी कुल संख्या केवल प्रणाली की स्थिर अनिश्चितता की डिग्री से निर्धारित होती है और इसकी विशिष्ट विशेषताओं पर निर्भर नहीं करती है।

विहित समीकरणों की प्रणाली के गुणांक (4) को मोहर-वीरशैचिन विधि द्वारा संबंधित आरेखों को गुणा करके निर्धारित किया जाता है। ये सभी गुणांक, जैसा कि ऊपर बताया गया है, विस्थापन का प्रतिनिधित्व करते हैं; अज्ञात पर खड़े गुणांक इकाई विस्थापन हैं, और मुक्त सदस्य हैं कार्गो।एकल आंदोलनों को विभाजित किया गया है मुख्य,मुख्य विकर्ण के साथ स्थित है और समान सूचकांक वाले हैं और दुष्प्रभाव()। साइड वाले के विपरीत, प्रमुख आंदोलन हमेशा सकारात्मक होते हैं। विस्थापन की पारस्परिकता पर प्रमेय के अनुसार सममित रूप से स्थित विस्थापन, एक दूसरे के बराबर होते हैं, अर्थात। .

बल विधि की गणना के लिए एल्गोरिदम

विचारित डिज़ाइन की विशेषताओं के बावजूद, सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित प्रणालियों की गणना के निम्नलिखित अनुक्रम को प्रतिष्ठित किया जा सकता है बल विधि:

1. निर्धारित करें स्थिर अनिश्चितता की डिग्री.
2. मुख्य प्रणाली का चयन करें।
3. एक समकक्ष प्रणाली तैयार करें।
4. सिस्टम को जलाएं विहित समीकरण.
5. मानी गई संरचना के तत्वों में उत्पन्न होने वाले आंतरिक बल कारकों की इकाई और लोड आरेखों का निर्माण करें।
6. अज्ञात के गुणांकों और विहित समीकरणों की प्रणाली के मुक्त पदों की गणना करें।
7. कुल एकल आरेख बनाएं।
8. अज्ञात और मुक्त पदों के लिए गुणांकों की सार्वभौमिक जांच करें।
9. समाधान प्रणाली (4), अर्थात। अतिरिक्त बांडों की प्रतिक्रियाओं का निर्धारण।
10. किसी दिए गए सिस्टम के लिए उभरते आंतरिक बल कारकों के आरेखों का निर्माण करें (दूसरे शब्दों में, अंतिम आरेख)।
11. स्थिर और गतिज जांच करें।
ध्यान दें कि उपरोक्त एल्गोरिथम के अंक 7, 8, 11 बिल्कुल आवश्यक नहीं हैं, हालांकि वे आपको गणना की शुद्धता को नियंत्रित करने की अनुमति देते हैं। और एक अतिरिक्त कनेक्शन वाले सिस्टम के लिए, अंक 7 और 8 बस अर्थहीन हैं, क्योंकि इस मामले में कुल एकल आरेख एकल के साथ मेल खाता है।
आइए उपरोक्त गणना चरणों में से कुछ पर करीब से नज़र डालें।

एक प्राथमिक प्रणाली का चयन

यह गणना का सबसे महत्वपूर्ण चरण है, क्योंकि मुख्य प्रणाली का तर्कसंगत विकल्प कम्प्यूटेशनल कार्य को बहुत सरल करता है। आइए अनावश्यक कनेक्शन को हटाने के संभावित तरीकों पर विचार करें, जो मुख्य प्रणाली के रूप को निर्धारित करता है।

1. अनावश्यक कनेक्शनों की अस्वीकृति कुछ समर्थनों को पूरी तरह से हटाने या कम संख्या में कनेक्शन के साथ समर्थन द्वारा उनके प्रतिस्थापन द्वारा की जाती है। गिराए गए बंधों की दिशा में अभिनय करने वाली प्रतिक्रियाएं बेमानी अज्ञात हैं। चित्रा 1, बी, सी, डी फ्रेम के लिए इस विधि द्वारा प्राप्त समकक्ष प्रणाली के विभिन्न संस्करणों को दिखाता है (चित्र 1, ए)।

2. छड़ के मध्यवर्ती खंडों में टिका लगाने से ऐसे प्रत्येक खंड में झुकने वाले क्षण के अनुरूप एक कनेक्शन स्थापित करने की अनुमति मिलती है। ये क्षण अनावश्यक अज्ञात हैं। स्थिर अनिश्चितता की डिग्री के साथ एक फ्रेम के लिए n = 3 (छवि 2, ए), मुख्य प्रणाली का चयन करते समय, तीन टिका स्थापित किया जाना चाहिए। इन टिकाओं की स्थिति मनमानी हो सकती है, लेकिन सिस्टम की ज्यामितीय अपरिवर्तनीयता की आवश्यकता को पूरा करती है (चित्र 2 बी)।

3. छड़ के विच्छेदन से आंतरिक बलों M, Q, N (चित्र 2, c) के अनुरूप तीन बंध समाप्त हो जाते हैं। विशेष मामलों में (चित्र 2d), एक काज के साथ एक छड़ काटने से दो बंधन (चित्र 2, ई) निकलते हैं, और एक सीधी छड़ को सिरों पर टिकाकर काटने से एक बंधन (चित्र 2, एफ) निकलता है।

एक सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित प्रणाली के कनेक्शन के बीच, बिल्कुल आवश्यक और सशर्त रूप से आवश्यक हैं। लिंक बिल्कुल आवश्यक हैं, जिन्हें हटाने पर सिस्टम ज्यामितीय रूप से परिवर्तनशील हो जाता है। एक बिल्कुल आवश्यक कनेक्शन इसमें प्रयास की स्थिर निर्धारणीयता की विशेषता है, अर्थात। इस तरह के एक बंधन की प्रतिक्रिया की गणना संतुलन की स्थिति से की जा सकती है। मुख्य प्रणाली चुनते समय, बिल्कुल आवश्यक कनेक्शनों को त्याग नहीं किया जा सकता है।

संबंध, जिसके हटाने पर प्रणाली ज्यामितीय रूप से अपरिवर्तित बनी रहती है, सशर्त रूप से आवश्यक कहलाती है। एक प्रणाली जिसे अनलिंक किया गया है वह प्राथमिक प्रणाली हो सकती है बल विधि.

गुणांकों की गणना और विहित समीकरणों की मुक्त शर्तें

गणना का यह चरण आंतरिक बल कारकों (बीम और फ्रेम के लिए - झुकने वाले क्षणों के आरेख) के यूनिट और लोड आरेखों के निर्माण से पहले होता है। इकाई आरेख एक आयामहीन इकाई बल या एक आयामहीन इकाई क्षण की क्रिया से निर्मित होते हैं, जो समान प्रणाली में संबंधित अतिरिक्त अज्ञात की दिशा के साथ मेल खाते हैं, और द्वारा निरूपित होते हैं, और इकाई आरेख - द्वारा।

लोड आरेख मुख्य प्रणाली पर लागू बाहरी भार से बनाया गया है। इस मामले में, आप सभी बाहरी भार या कई आरेखों की एक साथ कार्रवाई से एक आरेख का निर्माण कर सकते हैं, प्रत्येक लागू भार से अलग। एक लोड आरेख का कई सरल लोगों में ऐसा विभाजन, एक नियम के रूप में, केवल तभी सलाह दी जाती है जब मौजूदा भार के बीच एक समान रूप से वितरित किया जाता है, और इसके तहत संबंधित अनुभाग में पल आरेख साइन-अल्टरनेटिंग होता है। इस मामले में, प्रत्येक विहित समीकरण में, मुक्त पदों की संख्या प्लॉट किए गए लोड आरेखों की संख्या के बराबर होगी।

इकाई और भार विस्थापन (गुणांक और विहित समीकरणों की मुक्त शर्तें) की गणना आम तौर पर मोहर की विधि द्वारा की जा सकती है। बीम और फ्रेम के लिए, यह वीरशैचिन नियम का उपयोग करके किया जा सकता है।

गुणांकों का सार्वभौमिक सत्यापन और विहित समीकरणों की मुक्त शर्तें

एक सार्वभौमिक जाँच करने के लिए, कुल इकाई आरेख का निर्माण करना आवश्यक है - मुख्य प्रणाली पर लागू सभी इकाई बलों की एक साथ कार्रवाई से क्षणों का आरेख:

हम आरेख के साथ कुल एकल आरेख को गुणा करते हैं:

इस प्रकार, कुल और i-वें एकल आरेख को गुणा करने का परिणाम एकल अतिरिक्त अज्ञात की संयुक्त क्रिया से i-वें कनेक्शन की दिशा में एक आंदोलन है। यह विस्थापन i-वें विहित समीकरण के गुणांकों के योग के बराबर है:

इस चेक को कहा जाता है पंक्ति दर पंक्तिऔर प्रत्येक विहित समीकरण के लिए धारण करता है।
n लाइन जाँच के बजाय, सबसे अधिक बार किया जाता है - सार्वभौमिक जांच,जिसमें कुल इकाई आरेख को अपने आप से गुणा करना और स्थिति की जाँच करना शामिल है:

यदि सार्वभौमिक जाँच की जाती है, तो इकाई विस्थापन की गणना सही ढंग से की जाती है; यदि नहीं, तो लाइन-दर-लाइन जांच करना आवश्यक है, जो आपको उस विस्थापन को स्पष्ट करने की अनुमति देगा, जिसकी गणना के दौरान त्रुटि हुई थी।

लोड विस्थापन की जांच करने के लिए, झुकने वाले क्षणों की कुल इकाई और लोड आरेखों को गुणा करना आवश्यक है:

इस प्रकार, विहित समीकरणों (4) की प्रणाली की मुक्त शर्तों के सत्यापन में शर्त की पूर्ति शामिल है।