नौसिखियों के लिए गणित की सीमाएँ: स्पष्टीकरण, सिद्धांत, समाधान के उदाहरण। नौसिखियों के लिए गणित की सीमाएँ: स्पष्टीकरण, सिद्धांत, समाधान के उदाहरण वह अट्ठाईस साल लंबे रहे हैं, और इसके अलावा अट्ठाईस सर्दियाँ भी

वह अट्ठाईस साल का हो चुका है, और इसके अलावा अट्ठाईस सर्दियाँ भी,

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सीमाएं सभी गणित के विद्यार्थियों को बहुत परेशानी देती हैं। किसी सीमा को हल करने के लिए, कभी-कभी आपको कई तरकीबों का उपयोग करना पड़ता है और विभिन्न समाधान विधियों में से वही चुनना पड़ता है जो किसी विशेष उदाहरण के लिए उपयुक्त हो।

इस लेख में हम आपकी क्षमताओं की सीमाओं को समझने या नियंत्रण की सीमाओं को समझने में आपकी मदद नहीं करेंगे, बल्कि हम इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करेंगे: उच्च गणित में सीमाओं को कैसे समझें? समझ अनुभव के साथ आती है, इसलिए साथ ही हम स्पष्टीकरण के साथ सीमाओं को हल करने के कई विस्तृत उदाहरण देंगे।

गणित में सीमा की अवधारणा

पहला प्रश्न यह है कि यह सीमा क्या है और किसकी सीमा है? हम संख्यात्मक अनुक्रमों और कार्यों की सीमाओं के बारे में बात कर सकते हैं। हम किसी फ़ंक्शन की सीमा की अवधारणा में रुचि रखते हैं, क्योंकि छात्र अक्सर इसी का सामना करते हैं। लेकिन सबसे पहले, सीमा की सबसे सामान्य परिभाषा:

मान लीजिए कि कुछ परिवर्तनशील मान है। यदि परिवर्तन की प्रक्रिया में यह मान असीमित रूप से एक निश्चित संख्या तक पहुंचता है ए , वह ए – इस मान की सीमा.

एक निश्चित अंतराल में परिभाषित फ़ंक्शन के लिए f(x)=y ऐसी संख्या को सीमा कहा जाता है ए , जो फ़ंक्शन कब होता है एक्स , एक निश्चित बिंदु की ओर झुकाव ए . डॉट ए उस अंतराल से संबंधित है जिस पर फ़ंक्शन परिभाषित है।

यह बोझिल लगता है, लेकिन इसे बहुत सरलता से लिखा गया है:

लिम- अंग्रेज़ी से आप LIMIT- सीमा.

सीमा निर्धारित करने के लिए एक ज्यामितीय स्पष्टीकरण भी है, लेकिन यहां हम सिद्धांत में नहीं जाएंगे, क्योंकि हम मुद्दे के सैद्धांतिक पक्ष के बजाय व्यावहारिक पक्ष में अधिक रुचि रखते हैं। जब हम ऐसा कहते हैं एक्स किसी मान की ओर प्रवृत्त होता है, इसका मतलब यह है कि चर किसी संख्या का मान नहीं लेता है, बल्कि उसे असीम रूप से करीब लाता है।

आइए एक विशिष्ट उदाहरण दें. कार्य सीमा ज्ञात करना है।

इस उदाहरण को हल करने के लिए, हम मान को प्रतिस्थापित करते हैं एक्स=3 एक समारोह में. हम पाते हैं:

वैसे, यदि आप रुचि रखते हैं, तो इस विषय पर एक अलग लेख पढ़ें।

उदाहरणों में एक्स किसी भी मूल्य की ओर प्रवृत्त हो सकता है। यह कोई भी संख्या या अनंत हो सकता है। यहाँ एक उदाहरण है जब एक्स अनंत की ओर प्रवृत्त होता है:

सहज रूप से, हर में जितनी बड़ी संख्या होगी, फ़ंक्शन का मान उतना ही कम होगा। तो, असीमित विकास के साथ एक्स अर्थ 1/x घटेगा और शून्य के करीब पहुंचेगा।

जैसा कि आप देख सकते हैं, सीमा को हल करने के लिए, आपको केवल उस मान को फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करना होगा जिसके लिए आप प्रयास करना चाहते हैं एक्स . हालाँकि, यह सबसे सरल मामला है। अक्सर सीमा ज्ञात करना इतना स्पष्ट नहीं होता है। सीमाओं के भीतर तरह-तरह की अनिश्चितताएँ हैं 0/0 या अनंत/अनंत . ऐसे मामलों में क्या करें? युक्तियाँ प्रयोग करें!

भीतर अनिश्चितताएं

अनंत/अनंत रूप की अनिश्चितता

चलो एक सीमा हो:

यदि हम फ़ंक्शन में अनंत को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं, तो हमें अंश और हर दोनों में अनंत मिलेगा। सामान्य तौर पर, यह कहने लायक है कि ऐसी अनिश्चितताओं को हल करने में कला का एक निश्चित तत्व है: आपको यह ध्यान देने की आवश्यकता है कि आप फ़ंक्शन को इस तरह से कैसे बदल सकते हैं कि अनिश्चितता दूर हो जाए। हमारे मामले में, हम अंश और हर को इससे विभाजित करते हैं एक्स वरिष्ठ डिग्री में. क्या हो जाएगा?

ऊपर पहले ही चर्चा किए गए उदाहरण से, हम जानते हैं कि हर में x वाले पद शून्य की ओर प्रवृत्त होंगे। तब सीमा का समाधान है:

प्रकार की अनिश्चितताओं को हल करने के लिए अनंत/अनंतअंश और हर को इससे विभाजित करें एक्सउच्चतम स्तर तक.

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अन्य प्रकार की अनिश्चितता: 0/0

हमेशा की तरह, किसी फ़ंक्शन में मानों को प्रतिस्थापित करना x=-1 देता है 0 अंश और हर में. थोड़ा और करीब से देखें और आप देखेंगे कि हमारे पास अंश में एक द्विघात समीकरण है। आइए जड़ें खोजें और लिखें:

आइए कम करें और प्राप्त करें:

इसलिए, यदि आप प्रकार की अनिश्चितता का सामना कर रहे हैं 0/0 - अंश और हर का गुणनखंड करें।

उदाहरणों को हल करना आपके लिए आसान बनाने के लिए, हम कुछ कार्यों की सीमाओं के साथ एक तालिका प्रस्तुत करते हैं:

L'Hopital का नियम भीतर

दोनों प्रकार की अनिश्चितता को खत्म करने का एक और शक्तिशाली तरीका। विधि का सार क्या है?

यदि सीमा में अनिश्चितता है, तो अंश और हर का व्युत्पन्न तब तक लें जब तक अनिश्चितता गायब न हो जाए।

एल'हॉपिटल का नियम इस तरह दिखता है:

महत्वपूर्ण बिंदु : वह सीमा जिसमें अंश और हर के स्थान पर अंश और हर के व्युत्पन्न मौजूद होने चाहिए।

और अब - एक वास्तविक उदाहरण:

वहाँ विशिष्ट अनिश्चितता है 0/0 . आइए अंश और हर के अवकलज लें:

वोइला, अनिश्चितता का समाधान जल्दी और खूबसूरती से किया जाता है।

हम आशा करते हैं कि आप इस जानकारी को व्यवहार में उपयोगी रूप से लागू करने में सक्षम होंगे और "उच्च गणित में सीमाओं को कैसे हल करें" प्रश्न का उत्तर पा सकेंगे। यदि आपको किसी बिंदु पर अनुक्रम की सीमा या फ़ंक्शन की सीमा की गणना करने की आवश्यकता है, और इस काम के लिए बिल्कुल समय नहीं है, तो त्वरित और विस्तृत समाधान के लिए पेशेवर छात्र सेवा से संपर्क करें।

जान लें कि हर किसी की "चोट" अलग-अलग होती है,
जान लें कि हर किसी का "डरावना" अलग-अलग होता है।
अपने घंटाघर से निर्णय न लें
यह अज्ञात है कि कितनी मंजिलें हैं।

सीमाओं को मत देखो
अपने दिमाग से सीमाएं न गढ़ें.
आप कभी किसी दुःस्वप्न में क्या नहीं देखेंगे?
कुछ लोगों के लिए यह एक सामान्य बात है.

जान लें कि हर किसी का "चाहिए" अलग-अलग होता है,
जान लें कि हर किसी की "कठिनाई" अलग-अलग होती है।
हालाँकि, नरक का विचार
सामान्यीकरण एवं तुलना करना असंभव है।

जान लें कि सच्चाई अलग है,
और वह नहीं जो थाली में परोसा जाता है.
जरा गौर से देखिए उन लोगों पर जिनकी किस्मत भयावह है,
ये सबसे मजबूत लोग हैं.

यह मत कहना कि मैं तुम्हें याद नहीं करता...
मुझे हर चीज़ दिन में कई बार याद आती है
मैं फ़ोन नंबर दोहराता हूँ
लेकिन मैं तुम्हें कभी फोन नहीं करूंगा.
ऐसा लगा जैसे मेरा दिल टूटने वाला है
और अकेले दिनों की सीमा पर

वे मेरी आत्मा में क्षितिज से परे चले गए।
प्यार था, प्यार था, प्यार था!
और इस वाक्यांश में जोड़ने के लिए कुछ भी नहीं है।
हमारा जादुई महल जलकर राख हो गया
और उसने हमें याद रखने के लिए राख नहीं छोड़ी।
मुझे सब कुछ याद है, और मुझे खिलता हुआ बगीचा याद है,
और पत्ते के माध्यम से - सभी तरफ से किरणें,
मानो किसी सफ़ेद, सफ़ेद घंटाघर से
आपकी आत्मा में - आप सुनते हैं - एक शांत ध्वनि बरस रही है।
प्यार चला गया और कभी वापस नहीं आएगा,
और ताकि उसे हमेशा के लिए याद न करें,
तुम्हारी आँखें दो उदास सूरजों की तरह हैं
वे मेरी आत्मा में क्षितिज से परे चले गए।

ख़ुशी की तलाश फिर असफल है...
और यह एक बरसाती शाम है, बाहर अंधेरा है...
और एक बच्चे के रूप में... मैं बन पर जैम फैलाता हूं
और निश्चित रूप से खुश, मूर्खतापूर्ण तरीके से खुश...

ग्लैमर, शिष्टाचार, हीरे, जकूज़ी...
अब खुशियों के अलावा "सर्व समावेशी" की किस्मत में भी
और बचपन में मैंने सूरजमुखी के बीज खाये,
और ख़ुशी की कोई सीमा नहीं थी...

हम बहुत हद तक जोकरों की तरह हो गए हैं...
हर कोई ऐसा मेकअप पहन रहा है जो बाहर से हंसाता है...
और बचपन में... केवल सूरज आसमान से टूटकर आया था
और खुश दिल बहुत मुस्कुराया...

हम सिंड्रेला में अनाज जैसे लोगों का चयन करते हैं...
आपको जिन लोगों की आवश्यकता है उनसे संपर्क करें... जो लोग लाभहीन हैं वे चूल्हे पर जाते हैं...
और बचपन में साफ़ आसमान हम पर विश्वास करता था...
ताज़ी रोटी की महक से जो आनंद मिलता है वह कहाँ?

और अब दोस्ती भी खरीदी जा सकती है...
हमने इसे बनाया... हम फर और चमड़े की दुनिया में रहते हैं...
और एक बच्चे के रूप में, उन्होंने एक मोंगरेल को तूफान से बचाया...
और खुशियाँ देकर उन्होंने उसे प्राप्त किया।

पिछले कुछ वर्षों में हमने ईमानदारी और संवेदनशीलता खो दी है...
हम स्वयं सीमाएँ और ढाँचे लेकर आए हैं...
क्या आपके पास एक बन और चेरी जैम का एक जार है?
तो बहुत खुश रहो!

मैं तुम्हें देखता हूं और महसूस करता हूं कि मैं अब भी तुमसे प्यार करता हूं। यह प्यार हाल के वर्षों की एक पुरानी बीमारी है। यह इतना असहनीय दर्द लाता है कि मैं खुद को बिल्कुल अजनबियों के सामने फेंक देता हूं, उनसे धोखा खाने की कोशिश करता हूं, उनके साथ अचानक इन आलिंगनों में मुझे वही दर्द निवारक दवा मिलेगी, जो झुर्रीदार दिलों के मालिकों के अनुसार, बिल्कुल भी मौजूद नहीं है। मैं समझता हूं कि मुझे धोखा दिया जा रहा है, लेकिन मैं अभी भी गले लगा रहा हूं - मैं खुद को नहीं मार सकता, यह दर्द होता है, यह पीड़ा देता है, यह मुझे रात को सोने नहीं देता है, इसलिए मैं खिड़की पर बैठा हूं और, एक और मिनट में, मैं भ्रम की यातना से हृदय-विदारक चिल्लाऊँगा। क्या मुझे मदद के लिए आपसे संपर्क करना चाहिए? बेकार। तुम मेरे प्यार के बारे में जानती हो, लेकिन तुम्हें इसकी ज़रूरत नहीं है, "तुम्हारा मुँह अव्यक्त भावनाओं से भरा है।" हम गैरजिम्मेदारी के एक ही जाल में हैं, लेकिन हम एक-दूसरे की मदद नहीं कर सकते। आप अपने हाथों को पतले सफेद धागों और छड़ों के चारों ओर लपेटते हैं और वास्तविकता की सीमाओं से परे कहीं देखते हैं, भगवान जाने किसकी मदद की उम्मीद करते हैं। और हमारे बीच केवल एक ही अंतर है: आपके प्रति मेरे प्यार ने मुझे लगभग घायल कर दिया है, और किसी के लिए आपका प्यार आपको उम्मीदों से भर देता है और पुनर्जीवित कर देता है, भले ही यह भ्रामक हो। मैं अब तुम्हें देखना नहीं चाहता, मैं तुम्हारी संभावना को अपने दिल से निकाल देता हूं, लेकिन यह इसे और भी दर्दनाक बना देता है। इसलिए वह फुसफुसाहट में पीड़ा की प्रक्रिया से गुजरता है, साथ ही भगवान जाने किसकी मदद की उम्मीद भी करता है। समय?..

आपका जीवन पूरी तरह से झूठ, अश्लील, रोजमर्रा की जिंदगी, इंटरनेट की लत और सेल फोन की गुलामी है। अच्छा, क्या मैं सही नहीं हूँ? मुझे बताओ, क्या तुमने कभी सचमुच कुछ असाधारण किया है? कभी नहीं। और आप नहीं कर सकते. आप जानते हैं क्यों? क्योंकि यह सब आपके सुविधा क्षेत्र से बाहर है। आप इसमें भरे हुए हैं। जैसे पॉलीप्रोपाइलीन बैग में. आप रोजमर्रा की जिंदगी और काम की सीमाओं से निचोड़े गए मांस के टुकड़े हैं। या मैं गलत हूँ? शायद मैं गलत हूँ? मेरी गलती सुधारिए।
उदाहरण के लिए, क्या आप अपना मोबाइल फ़ोन सबसे पहले मिलने वाले व्यक्ति को दे सकते हैं? ए? मुश्किल सवाल। क्या आप अभी अपने कंप्यूटर पर स्क्रू को प्रारूपित कर सकते हैं? गूंगा? क्या तुमने खुद को बर्बाद किया? क्या आप जानते हैं कि आप ऐसा क्यों नहीं करते? क्योंकि यह आत्महत्या के समान है। इसके बिना आपका अस्तित्व नहीं है.