औसत मूल्य सूत्र की सीमा त्रुटि। माध्य और सीमांत नमूनाकरण त्रुटियाँ

नमूना संकेतकों की विश्वसनीयता को चिह्नित करने के लिए, माध्य और सीमांत नमूनाकरण त्रुटियों के बीच अंतर किया जाता है, जो केवल नमूना अवलोकनों की विशेषता है। ये संकेतक नमूने और संबंधित सामान्य संकेतकों के बीच के अंतर को दर्शाते हैं।

औसत नमूना त्रुटिमुख्य रूप से नमूना आकार द्वारा निर्धारित किया जाता है और अध्ययन के तहत विशेषता की संरचना और भिन्नता की डिग्री पर निर्भर करता है।

माध्य नमूना त्रुटि का अर्थ इस प्रकार है। नमूना अंश (w) और नमूना माध्य () के परिकलित मान उनके स्वभाव से यादृच्छिक चर हैं। वे अलग-अलग मान ले सकते हैं, जिसके आधार पर सामान्य जनसंख्या की विशिष्ट इकाइयाँ नमूने में आती हैं। उदाहरण के लिए, यदि, किसी उद्यम के कर्मचारियों की औसत आयु निर्धारित करते समय, एक नमूने में अधिक युवा और दूसरे में पुराने श्रमिकों को शामिल किया जाता है, तो नमूना साधन और नमूना त्रुटियां अलग-अलग होंगी। औसत नमूना त्रुटिसूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

(27) या - पुन: नमूनाकरण। (28)

कहा पे: μ औसत नमूनाकरण त्रुटि है;

σ सामान्य जनसंख्या में एक विशेषता का मानक विचलन है;

n नमूना आकार है।

त्रुटि मान μ दिखाता है कि नमूने द्वारा स्थापित सुविधा का औसत मूल्य सामान्य आबादी में सुविधा के वास्तविक मूल्य से कैसे भिन्न होता है।

यह सूत्र से निम्नानुसार है कि नमूना त्रुटि मानक विचलन के सीधे आनुपातिक है और नमूने में इकाइयों की संख्या के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती है। इसका मतलब है, उदाहरण के लिए, सामान्य आबादी में एक विशेषता के मूल्यों का जितना अधिक प्रसार, यानी जितना अधिक फैलाव, उतना बड़ा नमूना आकार होना चाहिए यदि हम एक नमूना सर्वेक्षण के परिणामों पर भरोसा करना चाहते हैं . इसके विपरीत, एक छोटे से विचरण के साथ, कोई अपने आप को नमूना आबादी की एक छोटी संख्या तक सीमित कर सकता है। नमूनाकरण त्रुटि तब स्वीकार्य सीमा के भीतर होगी।

चूंकि गैर-दोहराए गए चयन के दौरान नमूनाकरण के दौरान सामान्य जनसंख्या एन का आकार घट जाता है, औसत नमूना त्रुटि की गणना के लिए सूत्र में एक अतिरिक्त कारक शामिल किया जाता है

(एक- )। माध्य नमूना त्रुटि का सूत्र निम्नलिखित रूप लेता है:

गैर-दोहराव वाले नमूने के लिए औसत त्रुटि छोटी है, जो इसे अधिक व्यापक रूप से उपयोग करती है।

व्यावहारिक निष्कर्षों के लिए नमूना परिणामों के आधार पर सामान्य जनसंख्या के लक्षण वर्णन की आवश्यकता होती है। नमूना साधन और अनुपात सामान्य आबादी पर लागू होते हैं, उनकी संभावित त्रुटि की सीमा को ध्यान में रखते हुए, और संभावना के स्तर के साथ जो इसकी गारंटी देता है। संभाव्यता के एक विशिष्ट स्तर को देखते हुए, सामान्यीकृत विचलन का मूल्य चुना जाता है और सीमांत नमूनाकरण त्रुटि निर्धारित की जाती है।

एक्स द्वारा एक्स के अनुमान की विश्वसनीयता (आत्मविश्वास की संभावना)*संभाव्यता कहा जाता है γ , जिसके साथ असमानता

-Х*׀< δ, (30)

जहां सीमांत नमूनाकरण त्रुटि है जो उस अंतराल की चौड़ाई को दर्शाती है जिसमें सामान्य जनसंख्या के अध्ययन किए गए पैरामीटर का मान प्रायिकता के साथ पाया जाता है।

विश्वस्तअंतराल (X* - ; X* + ) को नाम दें जो किसी दिए गए विश्वसनीयता के साथ जांच किए गए पैरामीटर X (अर्थात, पैरामीटर X का मान इस अंतराल के अंदर है) को कवर करता है।

आमतौर पर, अनुमान की विश्वसनीयता पहले से निर्धारित की जाती है, और एक के करीब की संख्या को γ: 0.95 के रूप में लिया जाता है; 0.99 या 0.999।

सीमित त्रुटि δ औसत त्रुटि μ से निम्नानुसार संबंधित है: , (31)

जहां: टी आत्मविश्वास कारक है, संभावना पी के आधार पर, जिसके साथ यह तर्क दिया जा सकता है कि सीमांत त्रुटि टी-गुना औसत त्रुटि μ से अधिक नहीं होगी (इसे छात्र के वितरण के महत्वपूर्ण बिंदु या क्वांटाइल भी कहा जाता है)।

अनुपात से निम्नानुसार, सीमांत त्रुटि औसत नमूना त्रुटि और आत्मविश्वास गुणांक के सीधे आनुपातिक है, जो अनुमान विश्वसनीयता के दिए गए स्तर पर निर्भर करता है।

औसत नमूना त्रुटि के सूत्र और सीमांत और औसत त्रुटियों के अनुपात से, हम प्राप्त करते हैं:

विश्वास की संभावना को ध्यान में रखते हुए, यह सूत्र रूप लेगा।

जैसा कि ज्ञात है, आंकड़ों में वस्तु के कवरेज की पूर्णता के आधार पर बड़े पैमाने पर घटनाओं को देखने के दो तरीके हैं: निरंतर और गैर-निरंतर। असंतत अवलोकन का एक रूपांतर चयनात्मक अवलोकन है।

नीचे चयनात्मक अवलोकन एक गैर-निरंतर अवलोकन के रूप में समझा जाता है, जिसमें अध्ययन की गई आबादी की इकाइयाँ, यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं, सांख्यिकीय परीक्षा (अवलोकन) के अधीन होती हैं।

चयनात्मक अवलोकन स्वयं को इकाइयों के चयन पर सांख्यिकीय अवलोकन और वैज्ञानिक रूप से संगठित कार्य के सभी नियमों और सिद्धांतों के अधीन, जांच किए गए भाग के लिए इकाइयों की पूरी आबादी को चिह्नित करने का कार्य निर्धारित करता है।

आँकड़ों में सर्वेक्षण के लिए चयनित इकाइयों के समूह को आमतौर पर कहा जाता है नमूना जनसंख्या , और इकाइयों का समूह जिसमें से चयन किया जाता है, कहलाता है सामान्य जनसंख्या . सामान्य और नमूना जनसंख्या की मुख्य विशेषताओं को तालिका 1 में प्रस्तुत किया गया है।

चयनात्मक अवलोकन करते समय, व्यवस्थित और यादृच्छिक त्रुटियां होती हैं। नमूने में इकाइयों के चयन के नियमों के उल्लंघन के कारण व्यवस्थित त्रुटियां उत्पन्न होती हैं। चयन नियमों में परिवर्तन कर ऐसी त्रुटियों को दूर किया जा सकता है।

सर्वेक्षण की असंतत प्रकृति के कारण यादृच्छिक त्रुटियां उत्पन्न होती हैं। अन्यथा, उन्हें प्रतिनिधित्वात्मकता (प्रतिनिधित्व) त्रुटियाँ कहा जाता है। यादृच्छिक त्रुटियों को औसत और सीमांत नमूनाकरण त्रुटियों में विभाजित किया जाता है, जो कि सुविधा की गणना करते समय और शेयर की गणना करते समय दोनों निर्धारित होते हैं।

औसत और सीमा त्रुटियाँ निम्नलिखित संबंध से संबंधित हैं: := tμ, जहां सीमांत नमूना त्रुटि है, μ औसत नमूनाकरण त्रुटि है, टी संभावना के स्तर के आधार पर निर्धारित आत्मविश्वास कारक है। तालिका 2 प्रायिकता सिद्धांत से लिए गए t के कुछ मान दिखाती है।

औसत नमूना त्रुटि के मूल्य की गणना चयन विधि और नमूना प्रक्रिया के आधार पर अलग-अलग की जाती है। नमूना त्रुटियों की गणना के लिए मुख्य सूत्र तालिका 3 में प्रस्तुत किए गए हैं।

अनुक्रमणिका	पदनाम और सूत्र
	जनसंख्या	नमूना जनसंख्या
यादृच्छिक पुन: नमूनाकरण के लिए माध्य सुविधा त्रुटि
यादृच्छिक पुन: नमूनाकरण के लिए माध्य साझा त्रुटि
यादृच्छिक पुन: चयन के मामले में किसी सुविधा की त्रुटि सीमित करें
यादृच्छिक पुनर्चयन में सीमांत शेयर त्रुटि
यादृच्छिक गैर-दोहराव वाले चयन के लिए एक सुविधा की औसत त्रुटि
यादृच्छिक गैर-दोहराव चयन में माध्य साझा त्रुटि
यादृच्छिक गैर-दोहराव वाले चयन के साथ एक सुविधा की त्रुटि सीमित करें
यादृच्छिक गैर-दोहराव चयन के लिए सीमांत शेयर त्रुटि

औसत और सीमांत नमूनाकरण त्रुटियों की गणना आपको संभावित सीमा निर्धारित करने की अनुमति देती है जिसमें सामान्य जनसंख्या की विशेषताएं होंगी .

उदाहरण के लिए, एक नमूना माध्य के लिए, ऐसी सीमाएँ निम्नलिखित संबंधों के आधार पर निर्धारित की जाती हैं:

सामान्य जनसंख्या में विशेषता के हिस्से की सीमा p.

"सांख्यिकी में नमूनाकरण अवलोकन" विषय पर समस्याओं को हल करने के उदाहरण

कार्य 1 . क्षेत्र में उद्यमों के 10% नमूना अवलोकन के आधार पर प्राप्त उत्पादों (कार्यों, सेवाओं) के उत्पादन के बारे में जानकारी है:

निर्धारित करें: 1) नमूने में शामिल उद्यमों के लिए: ए) प्रति उद्यम उत्पादन का औसत आकार; बी) उत्पादन की मात्रा का फैलाव; ग) 400 हजार रूबल से अधिक की उत्पादन मात्रा वाले उद्यमों का हिस्सा; 2) पूरे क्षेत्र के लिए, 0.954 की संभावना के साथ, वह सीमा जिसके भीतर कोई उम्मीद कर सकता है: ए) प्रति उद्यम उत्पादन की औसत मात्रा; बी) 400 हजार रूबल से अधिक की उत्पादन मात्रा वाले उद्यमों का हिस्सा; 3) क्षेत्र में उत्पादन की कुल मात्रा।

समाधान

समस्या को हल करने के लिए, हम प्रस्तावित तालिका का विस्तार करते हैं।

1) नमूने में शामिल उद्यमों के लिए, प्रति उद्यम उत्पादन का औसत आकार

110800/400 = 277 हजार रूबल

हम उत्पादन की मात्रा के फैलाव की गणना सरल तरीके से करते हैं 2 = 35640000/400 - 277 2 = 89100 - 76229 = 12371।

उद्यमों की संख्या जिनकी उत्पादन मात्रा 400 हजार रूबल से अधिक है। 36+12 = 48 के बराबर है, और उनका हिस्सा ω = 48:400 = 0.12 = 12% के बराबर है।

2) प्रायिकता के सिद्धांत से यह ज्ञात होता है कि प्रायिकता P=0.954 के साथ विश्वास कारक t=2 है। सीमांत नमूना त्रुटि

2√12371:400 = 11.12 हजार रूबल

आइए सामान्य औसत की सीमाएं निर्धारित करें: 277-11.12 Xav 277+11.12; 265.88 एक्सएवी 288.12

उद्यमों के हिस्से की सीमांत नमूनाकरण त्रुटि

2√0,12*0,88/400 = 0,03

आइए सामान्य हिस्से की सीमाओं को परिभाषित करें: 0.12-0.03≤ पी ≤0.12+0.03; 0.09≤ पी≤0.15

3) चूंकि उद्यमों का माना समूह इस क्षेत्र में उद्यमों की कुल संख्या का 10% है, इसलिए पूरे क्षेत्र में 4,000 उद्यम हैं। फिर क्षेत्र में उत्पादन की कुल मात्रा 265.88×4000≤Q≤288.12×4000 के भीतर है; 1063520 क्यू ≤ 1152480

टास्क 2 . 400 व्यावसायिक संरचनाओं के कर अधिकारियों द्वारा एक नियंत्रण लेखा परीक्षा के परिणामों के अनुसार, उनमें से 140 अपने कर रिटर्न में कराधान के अधीन आय को पूरी तरह से इंगित नहीं करते हैं। सामान्य आबादी में (पूरे क्षेत्र के लिए) व्यावसायिक संरचनाओं का हिस्सा निर्धारित करें जो 0.954 की संभावना के साथ अपने कर राजस्व का हिस्सा छिपाते हैं।

समाधान

समस्या की स्थिति के अनुसार, नमूना जनसंख्या में इकाइयों की संख्या n=400 है, मानी गई विशेषता वाली इकाइयों की संख्या m=140 है, संभावना P=0.954 है।

प्रायिकता के सिद्धांत से यह ज्ञात होता है कि प्रायिकता P=0.954 के साथ विश्वास कारक t=2 है।

संकेतित विशेषता वाली इकाइयों का अनुपात सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: p=w+∆p, जहां w = m/n=140/400=0.35=35%,
और सुविधा ∆p की सीमा त्रुटि सूत्र से प्राप्त की जाती है: p= t √w(1-w)/n = 2√0.35×0.65/400 ≈ 0.5 = 5%

फिर पी = 35±5%।

उत्तर : 0.954 की संभावना के साथ अपनी कर आय का हिस्सा छिपाने वाली व्यावसायिक संरचनाओं का हिस्सा 35±5% है।

चयनात्मक अवलोकन की अवधारणा।

चयनात्मकऐसे प्रेक्षण को कहा जाता है जिसमें इकाइयों के पूरे सेट की विशेषता उनके कुछ भागों के अनुसार यादृच्छिक क्रम में चुनी जाती है।

चयनात्मक अवलोकन का उपयोग करने के कारण:

1. सामग्री, श्रम, वित्तीय संसाधनों और समय की बचत।

2. चयनित अवलोकन से अक्सर डेटा की सटीकता में वृद्धि होती है, क्योंकि अवलोकन इकाइयों की संख्या में कमी एक संकेत के मूल्यों को दर्ज करने में त्रुटियों को तेजी से कम करती है (गलत छाप, अंडरकाउंटिंग, डबल काउंटिंग ...)

3. चयनात्मक अवलोकन एकमात्र संभव है यदि अवलोकन के साथ प्रेक्षित वस्तुओं (अंडे के बैचों की गुणवत्ता, ऊतक शक्ति, आदि) को पूर्ण या आंशिक क्षति होती है।

इकाइयों का वह भाग जिसे अवलोकन के लिए चुना जाता है, आमतौर पर कहलाता है नमूना जनसंख्याया केवल नमूना, और इकाइयों का पूरा सेट जिसमें से चयन किया जाता है - सामान्य जनसंख्या.

चयनित और सामान्य आबादी के लिए संकेतकों के पदनाम की निम्नलिखित प्रणाली को अपनाया गया है।

चयन तकनीक के अनुप्रयोग के आधार पर, नमूने को सीरियल (नेस्टेड) ​​और टाइपोलॉजिकल में विभाजित किया गया है।

· कब प्रतीकात्मकनमूनाकरण, सामान्य जनसंख्या को प्रकारों (समूहों, जिलों) में विभाजित किया जाता है, और फिर प्रत्येक प्रकार से इकाइयों का यादृच्छिक चयन किया जाता है।

· पर धारावाहिकनमूने को इकाइयों द्वारा नहीं, बल्कि कुछ श्रृंखलाओं, समूहों, क्षेत्रों द्वारा चुना जाता है जिनके भीतर निरंतर अवलोकन किया जाता है।

नमूने में इकाइयों का चयन करने के दो तरीके हैं:

- पुनर्चयन

नमूने में प्रत्येक इकाई सामान्य आबादी को वापस कर दी जाती है और उसके पास फिर से नमूना लेने का मौका होता है।

- गैर-दोहराव चयन

चयनित इकाई को जनसंख्या में वापस नहीं किया जाता है, और शेष इकाइयों को नमूने में शामिल किए जाने की अधिक संभावना है। गैर-दोहराव नमूनाकरण अधिक सटीक परिणाम देता है, लेकिन कभी-कभी ऐसा नहीं किया जा सकता है (उपभोक्ता मांग अध्ययन)।

नमूने के परिणामों की गुणवत्ता इस बात पर निर्भर करती है कि नमूने की संरचना किस हद तक सामान्य आबादी का प्रतिनिधित्व करती है, दूसरे शब्दों में, नमूना कितना है प्रतिनिधि(प्रतिनिधि)। नमूने की प्रतिनिधित्वशीलता सुनिश्चित करने के लिए, इकाइयों के यादृच्छिक चयन के सिद्धांत का पालन करना आवश्यक है।

नमूनाकरण त्रुटि

नमूनाकरण त्रुटियों की अवधारणा और प्रकार

चूंकि अध्ययन के तहत सांख्यिकीय जनसंख्या में अलग-अलग विशेषताओं वाली इकाइयाँ होती हैं, नमूना जनसंख्या की संरचना सामान्य जनसंख्या की संरचना से कुछ हद तक भिन्न हो सकती है।

नमूने की विशेषताओं और सामान्य जनसंख्या के बीच विसंगति है नमूनाकरण त्रुटि.

नमूनाकरण त्रुटियों के प्रकार

नमूनाकरण विधि का मुख्य कार्य प्रतिनिधित्व की यादृच्छिक त्रुटियों का अध्ययन करना है।

औसत नमूना त्रुटि

प्रतिनिधित्व की यादृच्छिक त्रुटि निम्नलिखित तथ्यों पर निर्भर करती है (यह माना जाता है कि कोई पंजीकरण त्रुटि नहीं है):

1. नमूना आकार जितना बड़ा होगा, ceteris paribus, नमूनाकरण त्रुटि उतनी ही छोटी होगी, अर्थात। नमूना त्रुटि इसके आकार के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

2. विशेषता की भिन्नता जितनी छोटी होगी, नमूनाकरण त्रुटि उतनी ही कम होगी। यदि संकेत बिल्कुल भी भिन्न नहीं होता है, और, परिणामस्वरूप, विचरण शून्य है, तो कोई नमूनाकरण त्रुटि नहीं होगी, क्योंकि जनसंख्या की कोई भी इकाई इस आधार पर संपूर्ण जनसंख्या का सही-सही वर्णन करेगी। इस प्रकार, नमूनाकरण त्रुटि विचरण के परिमाण के सीधे आनुपातिक है।

गणितीय आँकड़ों में, यह साबित होता है कि एक यादृच्छिक पुन: नमूनाकरण की औसत त्रुटि का मूल्य सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है

हालांकि, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि सामान्य आबादी में फैलाव की भयावहता एस 2हम नहीं जानते, क्योंकि चयनात्मक अवलोकन। हम केवल नमूना जनसंख्या में भिन्नता की गणना कर सकते हैं एस 2. सामान्य और नमूना जनसंख्या के भिन्नताओं के बीच का अनुपात सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

(6.2)

यदि एक एनबड़ा, इसलिए

s2 = S2

और औसत पुन: नमूनाकरण त्रुटि (6.1.) का सूत्र रूप लेगा:

लेकिन यहां हमने ब्याज की विशेषता के औसत मूल्य के लिए केवल नमूनाकरण त्रुटि पर विचार किया है। ब्याज की विशेषता वाली इकाइयों के अनुपात का एक संकेतक भी है। इस सूचक की त्रुटि की गणना की अपनी विशेषताएं हैं।

विशेषता शेयर संकेतक के लिए विचरण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

एस 2 \u003d डब्ल्यू (1-डब्ल्यू) (6.4)

तब सुविधा के हिस्से की माप के लिए औसत नमूना त्रुटि इसके बराबर होगी:

(6.5)

सूत्रों का प्रमाण (6.3) और (6.5) पुन: नमूना योजना से शुरू होता है। आमतौर पर, नमूना गैर-दोहराव वाले तरीके से आयोजित किया जाता है। इसलिये गैर-दोहराव चयन के साथ, सामान्य जनसंख्या का आकार एननमूना कोड में संक्षिप्त किया गया है, फिर नमूना त्रुटि सूत्रों में एक अतिरिक्त कारक शामिल किया गया है , और सूत्र रूप लेते हैं:

(6.6)

(6.7)

उदाहरण 1. आइए निर्धारित करें कि छात्र के प्रदर्शन के 10% गैर-दोहराए गए नमूने के डेटा के अनुसार नमूना और सामान्य संकेतक कितने भिन्न हैं।

माध्य के लिए गैर-पुन: नमूनाकरण त्रुटि की गणना:

एन= 100 एन= 1000

सूत्र का उपयोग करके नमूना विचरण ज्ञात कीजिए:

यहां, मान ज्ञात नहीं है, जिसे सामान्य भारित औसत के रूप में पाया जा सकता है:

इस तरह,

वे। हम कह सकते हैं कि सभी छात्रों () का औसत स्कोर 3.65 ± 0.07 . है

अब आइए "4" और "5" के लिए अध्ययन कर रहे सामान्य जनसंख्या में छात्रों के अनुपात की गणना करें।

नमूने के आधार पर, हम ग्रेड "4" और "5" प्राप्त करने वाले छात्रों के अनुपात का पता लगाएंगे।

(या 64%)

शेयर के लिए गैर-पुन: नमूनाकरण त्रुटि की गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:

(या 4.5%)

इस प्रकार, सामान्य जनसंख्या में "4" और "5" में नामांकित छात्रों का हिस्सा ( पी) 0.64 ± 0.045 (या 64% ± 4.5%) है।

सीमांत नमूना त्रुटि

तथ्य यह है कि सामान्य औसत और सामान्य हिस्सा निश्चित सीमाओं से आगे नहीं बढ़ेंगे, पूर्ण निश्चितता के साथ नहीं, बल्कि केवल एक निश्चित डिग्री की संभावना के साथ जोर दिया जा सकता है।

गणितीय आँकड़ों में, यह साबित होता है कि नमूना त्रुटि (± .) की मात्रा से सामान्य विशेषताएँ नमूना वाले से विचलित होती हैं एम), केवल 0.683 की संभावना के साथ। नमूना अध्ययनों के संबंध में, इसका मतलब यह समझा जाता है कि सीमा के मूल्यों की गारंटी 1000 में से केवल 683 मामलों में ही दी जा सकती है। शेष 317 मामलों में, इन सीमाओं के मूल्य अलग होंगे।

औसत नमूना त्रुटि को मापने के द्वारा विचलन की सीमा का विस्तार करके निर्णय की संभावना को बढ़ाया जा सकता है टीएक बार।

वे। संभावना की एक निश्चित डिग्री के साथ, हम यह दावा कर सकते हैं कि सामान्य लोगों से नमूना विशेषताओं का विचलन एक निश्चित मूल्य से अधिक नहीं होगा, जिसे सीमांत नमूना त्रुटि डी (डेल्टा) कहा जाता है:

कहाँ पे टी- आत्मविश्वास कारक (त्रुटि बहुलता कारक), आत्मविश्वास के स्तर के आधार पर निर्धारित किया जाता है जिसके साथ नमूना अध्ययन के परिणामों की गारंटी देना आवश्यक है।

व्यवहार में, तालिकाओं का उपयोग किया जाता है जहां विभिन्न मूल्यों के लिए संभावनाओं की गणना की जाती है टी. आइए उनमें से कुछ पर एक नजर डालते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि हमारे उदाहरण में हम निर्णय की संभावना को 0.954 तक बढ़ाना चाहते हैं, तो हम लेते हैं टी= 2 और इस प्रकार सभी छात्रों के औसत स्कोर के विचलन की सीमा और "4" और "5" में नामांकित छात्रों के अनुपात को बदल दें।

यानी (6.9)

यानी, (6.10)

चयनात्मक अवलोकन के दौरान, यह सुनिश्चित किया जाना चाहिए दुर्घटनाइकाई चयन। प्रत्येक इकाई के पास दूसरों के साथ चुने जाने का समान अवसर होना चाहिए। रैंडम सैंपलिंग इसी पर आधारित है।

प्रति उचित यादृच्छिक नमूना लॉट (मुख्य रूप से) या किसी अन्य समान विधि का उपयोग करके, उदाहरण के लिए, यादृच्छिक संख्याओं की एक तालिका का उपयोग करके, संपूर्ण सामान्य आबादी से इकाइयों के चयन को संदर्भित करता है (इसे किसी भी समूह में प्रारंभिक रूप से विभाजित किए बिना)। यादृच्छिक चयनयह चयन आकस्मिक नहीं है। यादृच्छिकता का सिद्धांत बताता है कि नमूने से किसी वस्तु का समावेश या बहिष्करण संयोग के अलावा किसी अन्य कारक से प्रभावित नहीं हो सकता है। एक उदाहरण वास्तव में यादृच्छिकचयन जीत के संचलन के रूप में काम कर सकता है: जारी किए गए टिकटों की कुल संख्या से, संख्याओं का एक निश्चित हिस्सा जो जीत के लिए खाता है, यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। इसके अलावा, सभी नंबरों को नमूने में शामिल होने का समान अवसर प्रदान किया जाता है। इस मामले में, नमूना सेट में चयनित इकाइयों की संख्या आमतौर पर नमूने के स्वीकृत अनुपात के आधार पर निर्धारित की जाती है।

नमूना शेयर नमूना जनसंख्या की इकाइयों की संख्या का सामान्य जनसंख्या की इकाइयों की संख्या से अनुपात है:

तो, 1000 इकाइयों में भागों के एक बैच से 5% नमूने के साथ। नमूने का आकार पी 50 इकाइयाँ हैं, और 10% नमूने के साथ - 100 इकाइयाँ। आदि। नमूने के सही वैज्ञानिक संगठन के साथ, प्रतिनिधित्व त्रुटियों को न्यूनतम मूल्यों तक कम किया जा सकता है, परिणामस्वरूप, चयनात्मक अवलोकन पर्याप्त रूप से सटीक हो जाता है।

चयनात्मक अवलोकन के अभ्यास में "अपने शुद्ध रूप में" उचित यादृच्छिक चयन का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है, लेकिन यह अन्य सभी प्रकार के चयन के बीच प्रारंभिक बिंदु है, इसमें चयनात्मक अवलोकन के मूल सिद्धांत शामिल हैं और लागू होते हैं।

आइए हम एक साधारण यादृच्छिक नमूने के लिए नमूनाकरण विधि के सिद्धांत और त्रुटि सूत्र के कुछ प्रश्नों पर विचार करें।

आँकड़ों में नमूनाकरण पद्धति को लागू करते समय, दो मुख्य प्रकार के सामान्यीकरण संकेतक आमतौर पर उपयोग किए जाते हैं: एक मात्रात्मक विशेषता का औसत मूल्यतथा वैकल्पिक सुविधा का सापेक्ष मूल्य(सांख्यिकीय जनसंख्या में इकाइयों का अनुपात या अनुपात, जो इस जनसंख्या की अन्य सभी इकाइयों से केवल अध्ययन किए जा रहे लक्षण की उपस्थिति से भिन्न होता है)।

नमूना शेयर (डब्ल्यू),या आवृत्ति, अध्ययन के तहत विशेषता वाली इकाइयों की संख्या के अनुपात से निर्धारित होती है टी,नमूना इकाइयों की कुल संख्या के लिए पी:

उदाहरण के लिए, यदि 100 नमूना विवरणों में से ( एन= 100), 95 भाग मानक निकले (टी=95), फिर नमूना अंश

वू=95/100=0,95 .

नमूना संकेतकों की विश्वसनीयता को चिह्नित करने के लिए, वहाँ हैं मध्यमतथा सीमांत नमूना त्रुटि।

नमूनाकरण त्रुटि ? या, दूसरे शब्दों में, प्रतिनिधित्व त्रुटि संबंधित नमूने और सामान्य विशेषताओं के बीच का अंतर है:

*

*

नमूनाकरण त्रुटि केवल चयनात्मक टिप्पणियों की विशेषता है। इस त्रुटि का मान जितना अधिक होगा, नमूना संकेतक संबंधित सामान्य संकेतकों से उतने ही अधिक भिन्न होंगे।

नमूना माध्य और नमूना हिस्सा स्वाभाविक रूप से हैं यादृच्छिक चर,जो नमूने में जनसंख्या की किन इकाइयों को शामिल किया गया था, इसके आधार पर अलग-अलग मूल्य ले सकते हैं। इसलिए, नमूनाकरण त्रुटियां भी यादृच्छिक चर हैं और विभिन्न मूल्यों पर ले जा सकती हैं। इसलिए, संभावित त्रुटियों का औसत निर्धारित करें - औसत नमूना त्रुटि।

यह किस पर निर्भर करता है मतलब नमूना त्रुटि?यादृच्छिक चयन के सिद्धांत के अधीन, औसत नमूना त्रुटि मुख्य रूप से निर्धारित की जाती है नमूने का आकार:जनसंख्या जितनी बड़ी होगी, ceteris paribus, औसत नमूनाकरण त्रुटि उतनी ही कम होगी। सामान्य जनसंख्या की इकाइयों की बढ़ती संख्या के साथ एक नमूना सर्वेक्षण को कवर करते हुए, हम अधिक से अधिक सटीक रूप से संपूर्ण जनसंख्या की विशेषता बताते हैं।

माध्य प्रतिचयन त्रुटि इस पर भी निर्भर करती है भिन्नता की डिग्रीविशेषता का अध्ययन किया। भिन्नता की डिग्री, जैसा कि आप जानते हैं, फैलाव की विशेषता है? 2 या डब्ल्यू(1-डब्ल्यू)-- एक वैकल्पिक सुविधा के लिए। सुविधा की भिन्नता जितनी छोटी होगी, और इसलिए विचरण, औसत नमूनाकरण त्रुटि उतनी ही कम होगी, और इसके विपरीत। शून्य फैलाव (विशेषता भिन्न नहीं होती) के साथ, औसत नमूना त्रुटि शून्य है, अर्थात, सामान्य जनसंख्या की कोई भी इकाई इस विशेषता के अनुसार पूरी आबादी को सटीक रूप से चिह्नित करेगी।

इसकी मात्रा पर औसत नमूना त्रुटि की निर्भरता और विशेषता की भिन्नता की डिग्री उन सूत्रों में परिलक्षित होती है जिनका उपयोग नमूना अवलोकन की शर्तों के तहत औसत नमूनाकरण त्रुटि की गणना के लिए किया जा सकता है, जब सामान्य विशेषताएं ( एक्स, पी)अज्ञात हैं, और इसलिए, सूत्रों (फॉर्म। 1), (फॉर्म। 2) से सीधे वास्तविक नमूनाकरण त्रुटि का पता लगाना संभव नहीं है।

वू यादृच्छिक चयन के साथ औसत त्रुटियांसैद्धांतिक रूप से निम्नलिखित सूत्रों द्वारा गणना की जाती है:

* औसत मात्रात्मक विशेषता के लिए

* शेयर के लिए (वैकल्पिक विशेषता)

व्यावहारिक रूप से सामान्य जनसंख्या में विशेषता का विचरण? 2 बिल्कुल ज्ञात नहीं है, व्यवहार में वे बड़ी संख्या के कानून के आधार पर नमूना आबादी के लिए गणना की गई भिन्नता एस 2 के मूल्य का उपयोग करते हैं, जिसके अनुसार पर्याप्त रूप से बड़े नमूना आकार के साथ नमूना आबादी की विशेषताओं को सटीक रूप से पुन: पेश करती है सामान्य जनसंख्या।

इस तरह, गणना सूत्र मध्यम नमूना त्रुटि यादृच्छिक पुन: नमूनाकरण इस प्रकार होगा:

* औसत मात्रात्मक विशेषता के लिए

* शेयर के लिए (वैकल्पिक विशेषता)

हालाँकि, नमूना जनसंख्या का प्रसरण सामान्य जनसंख्या के विचरण के बराबर नहीं है, और इसलिए, सूत्रों (फॉर्म। 5) और (फॉर्म। 6) द्वारा गणना की गई औसत नमूनाकरण त्रुटियां अनुमानित होंगी। लेकिन संभाव्यता के सिद्धांत में यह साबित होता है कि सामान्य विचरण को निम्नलिखित संबंध द्वारा वैकल्पिक के माध्यम से व्यक्त किया जाता है:

इसलिये पी/(एन-1) पर्याप्त रूप से बड़े . के लिए पी --एकता के करीब मूल्य, यह माना जा सकता है, और इसलिए, औसत नमूनाकरण त्रुटियों की व्यावहारिक गणना में, सूत्रों (फॉर्म। 5) और (फॉर्म। 6) का उपयोग किया जा सकता है। और केवल एक छोटे नमूने के मामलों में (जब नमूना आकार 30 से अधिक नहीं होता है) गुणांक को ध्यान में रखना आवश्यक है पी/(एन-1) और गणना करें छोटा नमूना मतलब त्रुटिसूत्र के अनुसार:

डब्ल्यू एक्स यादृच्छिक गैर-दोहराव वाले चयन के साथ औसत नमूनाकरण त्रुटियों की गणना के लिए उपरोक्त सूत्रों में, मूल अभिव्यक्ति को 1-(n / N) से गुणा करना आवश्यक है, क्योंकि गैर-दोहराव नमूनाकरण की प्रक्रिया में सामान्य जनसंख्या में इकाइयों की संख्या कम हो जाती है। इसलिए, गैर-दोहराव वाले चयन के लिए गणना सूत्र माध्य नमूना त्रुटि निम्नलिखित रूप लेगा:

* औसत मात्रात्मक विशेषता के लिए

* शेयर के लिए (वैकल्पिक विशेषता)

. (फॉर्म। 10)

इसलिये पीहमेशा कम एन, तो अतिरिक्त कारक 1-( एन/एन) हमेशा एक से कम होगा। यह इस प्रकार है कि गैर-दोहराव चयन के साथ औसत त्रुटि हमेशा बार-बार चयन के साथ कम होगी। उसी समय, नमूने के अपेक्षाकृत छोटे प्रतिशत के साथ, यह कारक एक के करीब है (उदाहरण के लिए, 5% नमूने के साथ यह 0.95 है; 2% नमूने के साथ यह 0.98 है, आदि)। इसलिए, कभी-कभी व्यवहार में, निर्दिष्ट गुणक के बिना औसत नमूना त्रुटि को निर्धारित करने के लिए सूत्रों (फॉर्म 5) और (फॉर्म 6) का उपयोग किया जाता है, हालांकि नमूना एक गैर-दोहराए गए के रूप में आयोजित किया जाता है। यह तब होता है जब सामान्य जनसंख्या N की इकाइयों की संख्या अज्ञात या असीमित होती है, या जब पीकी तुलना में बहुत कम एन, और संक्षेप में, एक अतिरिक्त कारक की शुरूआत, जो एक के मूल्य के करीब है, व्यावहारिक रूप से औसत नमूनाकरण त्रुटि के मूल्य को प्रभावित नहीं करेगा।

यांत्रिक नमूनाकरण इस तथ्य में शामिल है कि सामान्य से नमूने में इकाइयों का चयन, एक तटस्थ मानदंड द्वारा समान अंतराल (समूहों) में विभाजित किया जाता है, इस तरह से किया जाता है कि नमूने में ऐसे प्रत्येक समूह से केवल एक इकाई का चयन किया जाता है। व्यवस्थित त्रुटि से बचने के लिए प्रत्येक समूह के मध्य में जो इकाई है उसका चयन करना चाहिए।

यांत्रिक चयन का आयोजन करते समय, जनसंख्या की इकाइयाँ एक निश्चित क्रम में (आमतौर पर एक सूची में) पूर्व-व्यवस्थित होती हैं (उदाहरण के लिए, वर्णानुक्रम में, स्थान के अनुसार, किसी भी संकेतक के मूल्यों के आरोही या अवरोही क्रम में जो संबद्ध नहीं है अध्ययन के तहत संपत्ति के साथ, आदि) आदि), जिसके बाद एक निश्चित अंतराल पर यांत्रिक रूप से इकाइयों की एक निश्चित संख्या का चयन किया जाता है। इस मामले में, सामान्य जनसंख्या में अंतराल का आकार नमूना हिस्से के व्युत्क्रम के बराबर है। इसलिए, 2% नमूने के साथ, प्रत्येक 50वीं इकाई (1: 0.02) का चयन किया जाता है और जाँच की जाती है, 5% नमूने के साथ, प्रत्येक 20वीं इकाई (1:0.05), उदाहरण के लिए, मशीन से अवरोही विवरण।

पर्याप्त रूप से बड़ी आबादी के साथ, परिणामों की सटीकता के संदर्भ में यांत्रिक चयन उचित यादृच्छिक के करीब है। इसलिए, एक यांत्रिक नमूने की औसत त्रुटि निर्धारित करने के लिए, स्व-यादृच्छिक गैर-दोहराव नमूनाकरण के सूत्रों का उपयोग किया जाता है (फॉर्म। 9), (फॉर्म। 10)।

एक विषम जनसंख्या से इकाइयों का चयन करने के लिए, तथाकथित विशिष्ट नमूना , जिसका उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां सामान्य आबादी की सभी इकाइयों को कई गुणात्मक रूप से सजातीय, समान समूहों में विभाजित किया जा सकता है जो अध्ययन किए गए संकेतकों को प्रभावित करते हैं।

उद्यमों का सर्वेक्षण करते समय, ऐसे समूह हो सकते हैं, उदाहरण के लिए, उद्योग और उप-क्षेत्र, स्वामित्व के रूप। फिर, प्रत्येक विशिष्ट समूह से, नमूने में इकाइयों का एक व्यक्तिगत चयन एक यादृच्छिक या यांत्रिक नमूने द्वारा किया जाता है।

एक विशिष्ट नमूने का उपयोग आमतौर पर जटिल सांख्यिकीय आबादी के अध्ययन में किया जाता है। उदाहरण के लिए, अर्थव्यवस्था के कुछ क्षेत्रों में श्रमिकों और कर्मचारियों के परिवार के बजट के एक नमूना सर्वेक्षण में, एक उद्यम में श्रमिकों की श्रम उत्पादकता, अलग-अलग कौशल समूहों द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है।

एक नमूना सेट में इकाइयों के चयन के अन्य तरीकों की तुलना में एक विशिष्ट नमूना अधिक सटीक परिणाम देता है। सामान्य जनसंख्या का प्रकारीकरण इस तरह के नमूने की प्रतिनिधित्वशीलता, इसमें प्रत्येक टाइपोलॉजिकल समूह का प्रतिनिधित्व सुनिश्चित करता है, जिससे औसत नमूना त्रुटि पर अंतरसमूह फैलाव के प्रभाव को बाहर करना संभव हो जाता है।

निर्धारित करते समय एक विशिष्ट नमूने की औसत त्रुटिभिन्नता के संकेतक के रूप में है इंट्राग्रुप वेरिएंस का औसत।

माध्य नमूना त्रुटि सूत्रों से पता चलता है:

* औसत मात्रात्मक विशेषता के लिए

(पुन: चयन); (फॉर्म। 11)

(अपरिवर्तनीय चयन); (फॉर्म। 12)

* शेयर के लिए (वैकल्पिक विशेषता)

(पुन: चयन); (फॉर्म.13)

(गैर-दोहराव चयन), (फॉर्म। 14)

नमूना आबादी के लिए अंतर-समूह भिन्नताओं का औसत कहां है;

नमूना आबादी में शेयर (वैकल्पिक विशेषता) के अंतर-समूह भिन्नता का औसत।

सीरियल सैंपलिंग इस तरह के समूहों में अवलोकन के अपवाद के बिना सभी इकाइयों को अधीन करने के लिए व्यक्तिगत इकाइयों की नहीं, बल्कि उनके समान समूहों (घोंसले, श्रृंखला) की सामान्य आबादी से यादृच्छिक चयन शामिल है।

सीरियल सैंपलिंग का उपयोग इस तथ्य के कारण है कि उनके परिवहन, भंडारण और बिक्री के लिए कई सामान पैक, बॉक्स आदि में पैक किए जाते हैं। इसलिए, पैक किए गए सामानों की गुणवत्ता को नियंत्रित करते समय, सभी पैकेजों से आवश्यक मात्रा में माल का चयन करने की तुलना में कई पैकेजों (श्रृंखला) की जांच करना अधिक तर्कसंगत है।

चूंकि समूहों (श्रृंखला) के भीतर बिना किसी अपवाद के सभी इकाइयों की जांच की जाती है, औसत नमूनाकरण त्रुटि (समान श्रृंखला का चयन करते समय) केवल इंटरग्रुप (इंटरसीरीज) विचरण पर निर्भर करती है।

वू माध्य स्कोर के लिए माध्य नमूना त्रुटि सीरियल चयन के दौरान, वे सूत्रों द्वारा पाए जाते हैं:

(पुन: चयन); (फॉर्म.15)

(गैर-दोहराव चयन), (फॉर्म। 16)

कहाँ पे आर-चयनित श्रृंखला की संख्या; आर-एपिसोड की कुल संख्या।

सीरियल नमूने के इंटरग्रुप विचरण की गणना निम्नानुसार की जाती है:

औसत कहाँ है मैं- वें श्रृंखला; - संपूर्ण नमूना आबादी के लिए सामान्य औसत।

वू शेयर के लिए औसत नमूना त्रुटि (वैकल्पिक सुविधा) सीरियल चयन में:

(पुन: चयन); (फॉर्म। 17)

(गैर-दोहराव चयन)। (फॉर्म। 18)

इंटरग्रुप(अंतर-श्रृंखला) सीरियल नमूना शेयर का विचरणसूत्र द्वारा निर्धारित:

, (फॉर्म। 19)

में सुविधा का हिस्सा कहाँ है मैंवें श्रृंखला; - पूरे नमूने में विशेषता का कुल हिस्सा।

सांख्यिकीय सर्वेक्षणों के अभ्यास में, पहले से मानी जाने वाली चयन विधियों के अलावा, उनके संयोजन का उपयोग किया जाता है (संयुक्त चयन)।

चयनात्मक अवलोकन की अवधारणा।

अवलोकन की सांख्यिकीय पद्धति के साथ, अवलोकन के दो तरीकों का उपयोग करना संभव है: निरंतर, जनसंख्या की सभी इकाइयों को कवर करना, और चयनात्मक (गैर-निरंतर)।

नमूनाकरण विधि को यादृच्छिक चयन की विधि के आधार पर इसके कुछ हिस्सों के लिए जनसंख्या के सामान्यीकरण संकेतकों की स्थापना से जुड़ी एक शोध पद्धति के रूप में समझा जाता है।

चयनात्मक अवलोकन के साथ, पूरी आबादी के अपेक्षाकृत छोटे हिस्से (5-10%) की जांच की जाती है।

जांच की जाने वाली समग्रता को कहा जाता है सामान्य जनसंख्या.

सामान्य जनसंख्या में से चयनित इकाइयों का वह भाग जो सर्वेक्षण के अधीन होता है, कहलाता है नमूना जनसंख्याया नमूना।

सामान्य और नमूना जनसंख्या की विशेषता वाले संकेतक:

1) एक वैकल्पिक सुविधा का हिस्सा;

पर आबादीकुछ वैकल्पिक विशेषता वाली इकाइयों का अनुपात "P" अक्षर से दर्शाया जाता है।

पर नमूना चयन ढांचाकुछ वैकल्पिक विशेषता वाली इकाइयों का अनुपात "w" अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है।

2) सुविधा का औसत आकार;

पर आबादीकिसी विशेषता का औसत आकार एक अक्षर (सामान्य औसत) द्वारा दर्शाया जाता है।

पर नमूना चयन ढांचाकिसी विशेषता का औसत आकार एक अक्षर (नमूना माध्य) द्वारा दर्शाया जाता है।

नमूना त्रुटि की परिभाषा

चयनात्मक अवलोकन सामान्य जनसंख्या की इकाइयों को नमूने में प्राप्त करने की समान संभावना के सिद्धांत पर आधारित है। यह व्यवस्थित अवलोकन संबंधी त्रुटियों से बचा जाता है। हालाँकि, इस तथ्य के कारण कि अध्ययन की गई जनसंख्या में अलग-अलग विशेषताओं वाली इकाइयाँ होती हैं, नमूने की संरचना सामान्य जनसंख्या की संरचना से भिन्न हो सकती है, जिससे सामान्य और नमूना विशेषताओं के बीच विसंगतियाँ हो सकती हैं।

ऐसी विसंगतियों को प्रतिनिधित्व त्रुटि या नमूना त्रुटि कहा जाता है।

नमूनाकरण त्रुटि का निर्धारण चयनात्मक अवलोकन के दौरान हल किया जाने वाला मुख्य कार्य है।

गणितीय आँकड़ों में, यह साबित होता है कि औसत नमूनाकरण त्रुटि सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

जहाँ m नमूनाकरण त्रुटि है;

s 2 0 सामान्य जनसंख्या का प्रसरण है;

n नमूना इकाइयों की संख्या है।

व्यवहार में, नमूना जनसंख्या विचरण s 2 का उपयोग माध्य नमूना त्रुटि को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

सामान्य और नमूना भिन्नताओं के बीच समानता है:

(2).

यह सूत्र (2) से देखा जा सकता है कि सामान्य विचरण नमूना विचरण से मान () से अधिक है। हालांकि, पर्याप्त रूप से बड़े नमूने के आकार के लिए, यह अनुपात एकता के करीब है, इसलिए हम लिख सकते हैं कि

हालाँकि, माध्य नमूना त्रुटि निर्धारित करने का यह सूत्र केवल पुन: नमूनाकरण पर लागू होता है।

व्यवहार में, यह आमतौर पर प्रयोग किया जाता है गैर-दोहराव चयनऔर माध्य नमूना त्रुटि की गणना थोड़ी अलग तरीके से की जाती है, क्योंकि अध्ययन के दौरान नमूना आकार सिकुड़ जाता है:

(4)

जहां n नमूने का आकार है;

एन सामान्य जनसंख्या का आकार है;

एस 2 - नमूना विचरण।

एक वैकल्पिक सुविधा के अनुपात के लिए, औसत नमूना त्रुटि नो-सिलेक्शनसूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

(5), जहां

w (1-w) - वैकल्पिक विशेषता के नमूना हिस्से की औसत त्रुटि;

डब्ल्यू नमूना आबादी की वैकल्पिक विशेषता का हिस्सा है।

पर पुन: चयनएक वैकल्पिक विशेषता के हिस्से की औसत त्रुटि एक सरलीकृत सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

(6)

यदि एक नमूना आकार 5% से अधिक नहीं है,नमूना शेयर और नमूना माध्य की औसत त्रुटि सरलीकृत सूत्रों (3) और (6) द्वारा निर्धारित की जाती है।

नमूना माध्य (x) और नमूना शेयर (w) के आधार पर सामान्य माध्य (x) और सामान्य शेयर (P) के संभावित मूल्यों को स्थापित करने के लिए नमूना माध्य और नमूना शेयर की औसत त्रुटि का निर्धारण आवश्यक है।

संभावित मूल्यों में से एक जिसके भीतर सामान्य औसत स्थित है, सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

सामान्य हिस्से के लिए, इस अंतराल को इस प्रकार लिखा जा सकता है :

(8)

सामान्य जनसंख्या में इस प्रकार प्राप्त अंश और औसत की विशेषताएँ प्रतिदर्श अंश के मूल्य तथा प्रतिदर्श औसत के मूल्य से भिन्न होती हैं। एम।हालांकि, इसकी पूरी निश्चितता के साथ गारंटी नहीं दी जा सकती है, लेकिन केवल एक निश्चित डिग्री की संभावना के साथ।

गणितीय आँकड़ों में, यह साबित होता है कि सामान्य और नमूना माध्य की विशेषताओं के मूल्यों की सीमाएँ भिन्न होती हैं एमकेवल 0.683 की संभावना के साथ। इसलिए, 1000 में से केवल 683 मामलों में ही सामान्य औसत के भीतर है एक्स = एक्स एम एक्स,अन्य मामलों में, यह इन सीमाओं से आगे निकल जाएगा।

औसत नमूना त्रुटि को मापने के द्वारा विचलन की सीमा का विस्तार करके निर्णय की संभावना को बढ़ाया जा सकता है, टी गुना वृद्धि हुई है।

फैक्टर t को कॉन्फिडेंस फैक्टर कहा जाता है। यह उस आत्मविश्वास के स्तर के आधार पर निर्धारित किया जाता है जिसके साथ अध्ययन के परिणामों की गारंटी देना आवश्यक है।

गणितज्ञ ए.एम. ल्यपुशेव ने टी के विभिन्न मूल्यों की गणना की, जो आमतौर पर तैयार तालिकाओं में दिए जाते हैं।