तार्किक संभाव्यता विधि द्वारा प्रणाली की विश्वसनीयता का आकलन करने की प्रक्रिया। एक मोनोटोनिक संरचना वाले सिस्टम की विश्वसनीयता की गणना के लिए तार्किक-संभाव्य विधि

तार्किक-संभाव्य विधियों का सार सिस्टम प्रदर्शन स्थितियों की विश्लेषणात्मक रिकॉर्डिंग और एफएएल से संभाव्य कार्यों (डब्ल्यूएफ) में संक्रमण के लिए तर्क बीजगणित कार्यों (एफएएल) के उपयोग में निहित है, जो निष्पक्ष रूप से सिस्टम की विश्वसनीयता को व्यक्त करते हैं। वे। तार्किक-संभाव्य पद्धति का उपयोग करते हुए, गणितीय तर्क के उपकरण का उपयोग करके विश्वसनीयता की गणना के लिए आईसी सर्किट का वर्णन करना संभव है, इसके बाद विश्वसनीयता संकेतकों को निर्धारित करने में संभाव्यता सिद्धांत का उपयोग किया जाता है।

सिस्टम केवल दो राज्यों में हो सकता है: पूर्ण संचालन की स्थिति में ( पर= 1) और पूरी तरह से विफल होने की स्थिति में ( पर= 0)। यह माना जाता है कि प्रणाली की कार्रवाई निश्चित रूप से उसके तत्वों की कार्रवाई पर निर्भर है, अर्थात। परएक समारोह है एक्स 1 , एक्स 2 , … , x मैं , … , x n. तत्व केवल दो असंगत अवस्थाओं में भी हो सकते हैं: पूर्ण स्वास्थ्य ( एक्स मैं= 1) और पूर्ण विफलता ( एक्स मैं = 0).

तर्क के बीजगणित का एक कार्य जो तत्वों की स्थिति को सिस्टम की स्थिति से संबंधित करता है पर (एक्स 1 , एक्स 2 ,…,xn) कहा जाता है स्वास्थ्य समारोहप्रणाली एफ(आप)= 1.

प्रणाली के संचालन योग्य राज्यों का आकलन करने के लिए, दो अवधारणाओं का उपयोग किया जाता है:

1) सफल संचालन का सबसे छोटा रास्ता (KPUF), जो इसके तत्वों का ऐसा संयोजन है, जिसके किसी भी घटक को सिस्टम के कामकाज का उल्लंघन किए बिना हटाया नहीं जा सकता है। इस तरह के संयोजन को निम्नलिखित FAL के रूप में लिखा जाता है:

कहाँ पे मैं- दिए गए के अनुरूप संख्याओं के समूह के अंतर्गत आता है
मैं-म्यू रास्ता।

दूसरे शब्दों में, सिस्टम का KPUF अपने संभावित संचालन योग्य राज्यों में से एक का वर्णन करता है, जो कि ऑपरेटिंग तत्वों के न्यूनतम सेट द्वारा निर्धारित किया जाता है जो सिस्टम के लिए निर्दिष्ट कार्यों को करने के लिए बिल्कुल आवश्यक हैं।

2) न्यूनतम सिस्टम विफलता क्रॉस सेक्शन (MSF), जो कि इसके तत्वों की अस्वीकृति का एक ऐसा संयोजन है, जिसके किसी भी घटक को सिस्टम की निष्क्रियता की स्थिति का उल्लंघन किए बिना हटाया नहीं जा सकता है। इस तरह के संयोजन को निम्नलिखित FAL के रूप में लिखा जा सकता है:

जहां दिए गए अनुभाग से संबंधित संख्याओं के समूह को दर्शाता है।

दूसरे शब्दों में, सिस्टम का MCO विफल तत्वों के न्यूनतम सेट की मदद से सिस्टम को बाधित करने के संभावित तरीकों में से एक का वर्णन करता है।

प्रत्येक निरर्थक प्रणाली में सबसे छोटे पथों की एक सीमित संख्या होती है ( मैं= 1, 2,…, एम) और न्यूनतम क्रॉस सेक्शन ( जे = 1, 2,…, एम).

इन अवधारणाओं का उपयोग करके, हम सिस्टम के काम करने की शर्तों को लिख सकते हैं।

1) सफल संचालन के लिए सभी उपलब्ध सबसे छोटे रास्तों के संयोजन के रूप में।

;

2) सभी MCOs के निषेधों के संयोजन के रूप में

;

इस प्रकार, एक वास्तविक प्रणाली की संचालन स्थितियों को कुछ समकक्ष (विश्वसनीयता के संदर्भ में) प्रणाली की संचालन स्थितियों के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसकी संरचना सफल संचालन के सबसे छोटे पथों का समानांतर कनेक्शन है, या किसी अन्य समकक्ष प्रणाली, संरचना जिनमें से न्यूनतम वर्गों की अस्वीकृति का एक संयोजन है।

उदाहरण के लिए, IC के ब्रिज स्ट्रक्चर के लिए, KPUF का उपयोग करते हुए सिस्टम हेल्थ फंक्शन को इस प्रकार लिखा जाएगा:

;

एमसीओ के माध्यम से उसी प्रणाली के संचालन क्षमता को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

तत्वों की एक छोटी संख्या (20 से अधिक नहीं) के साथ, विश्वसनीयता की गणना के लिए एक सारणीबद्ध विधि का उपयोग किया जा सकता है, जो संयुक्त घटनाओं की संभावनाओं के लिए अतिरिक्त प्रमेय के उपयोग पर आधारित है।

सिस्टम के विफलता-मुक्त संचालन की संभावना की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है (फॉर्म के संभाव्य कार्य के माध्यम से):

तार्किक-संभाव्य विधियों (विधियों: काटने, सारणीबद्ध, ऑर्थोगोनलाइज़ेशन) का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है नैदानिक प्रक्रियाएँफॉल्ट ट्री का निर्माण करते समय और बुनियादी (प्रारंभिक) घटनाओं का निर्धारण करते समय जो सिस्टम के विफल होने का कारण बनते हैं।

एक जटिल अतिरेक संरचना वाले कंप्यूटर सिस्टम की विश्वसनीयता के लिए, एक सांख्यिकीय मॉडलिंग पद्धति का उपयोग किया जा सकता है।

विधि का विचार बूलियन चर उत्पन्न करना है एक्स मैंएक इकाई के घटित होने की दी गई प्रायिकता पाई के साथ, जिसे एक मनमाना रूप में सिम्युलेटेड सिस्टम के तार्किक संरचनात्मक कार्य में प्रतिस्थापित किया जाता है, और फिर परिणाम की गणना की जाती है।

सकल एक्स 1 , एक्स 2 ,…, एक्स एनस्वतंत्र यादृच्छिक घटनाएँ जो एक पूर्ण समूह बनाती हैं, प्रत्येक घटना के घटित होने की प्रायिकताओं की विशेषता होती है पी(एक्स मैं), तथा ।

यादृच्छिक घटनाओं के इस सेट को अनुकरण करने के लिए, एक यादृच्छिक संख्या जनरेटर का उपयोग किया जाता है, समान रूप से अंतराल में वितरित किया जाता है

अर्थ अनुकरणीयविफलता-मुक्त संचालन की संभावना के बराबर चुना जाता है मैंवें सबसिस्टम। इस मामले में, गणना प्रक्रिया दोहराई जाती है एन 0 बार नए, स्वतंत्र यादृच्छिक तर्क मानों के साथ एक्स मैं(यह संख्या गिनता है एन(टी) तार्किक संरचनात्मक कार्य के एकल मान)। रवैया एन(टी)/एन 0 अपटाइम की संभावना का एक सांख्यिकीय अनुमान है

कहाँ पे एन(टी) - समय के बिंदु तक त्रुटिपूर्ण रूप से काम करने की संख्या टीवस्तुओं, उनकी मूल संख्या के साथ।

यादृच्छिक बूलियन चर उत्पन्न करना एक्स मैंएक के घटित होने की दी गई प्रायिकता के साथ पी मैंसभी आधुनिक कंप्यूटरों के गणितीय सॉफ्टवेयर में शामिल मानक कार्यक्रमों का उपयोग करके प्राप्त किए गए अंतराल में समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के आधार पर किया जाता है।

1. IS की विश्वसनीयता का आकलन करने की विधि का नाम बताइए, जहां सिस्टम के विफलता-मुक्त संचालन की संभावना को परिभाषित किया गया है: R in . के साथ R n R.

2. किन प्रणालियों की विश्वसनीयता की गणना के लिए पथों और वर्गों की विधि का उपयोग किया जाता है?

3. ब्रिज-प्रकार के उपकरणों की विश्वसनीयता का मूल्यांकन करने के लिए किस विधि का उपयोग किया जा सकता है?

4. पुनर्प्राप्ति योग्य प्रणालियों के विश्वसनीयता संकेतकों को निर्धारित करने के लिए कौन से तरीके ज्ञात हैं?

5. संरचनात्मक रूप से ब्रिज सर्किट को न्यूनतम पथ और अनुभागों के एक सेट के रूप में प्रस्तुत करें।

6. न्यूनतम पथ और न्यूनतम खंड को परिभाषित करें।

7. शाखित डिवाइस के लिए स्वास्थ्य फ़ंक्शन रिकॉर्ड करें?

8. स्वास्थ्य कार्य किसे कहते हैं?

9. सफल संचालन (KPUF) का सबसे छोटा रास्ता क्या है। केपीयूएफ के रूप में काम करने की स्थितियों को लिखिए।

10. विश्वसनीयता मूल्यांकन की तार्किक-संभाव्य पद्धति का उपयोग कहाँ किया जाता है?

साहित्य: 1, 2, 3, 5, 6, 8.

विषय: पुनर्प्राप्ति योग्य प्रणालियों की विश्वसनीयता की गणना (अंतर समीकरणों की विधि)

1. पुनर्प्राप्ति योग्य प्रणालियों की विश्वसनीयता की गणना के लिए सामान्य तरीके।

2. बहाल सिस्टम की विश्वसनीयता का आकलन करने के लिए संभावित सिस्टम राज्यों के ग्राफ का निर्माण।

3. डिफरेंशियल इक्वेशन सिस्टम की विधि (SDE), SDE को संकलित करने के लिए कोलमोगोरोव का नियम

4. एसडीई को हल करने के लिए सामान्यीकरण और प्रारंभिक शर्तें।

कीवर्ड

पुनर्प्राप्ति योग्य प्रणाली, विश्वसनीयता की मात्रात्मक विशेषताएं, राज्य ग्राफ, संचालन योग्य स्थिति, अंतर समीकरणों की प्रणाली, कोलमोगोरोव का नियम, विफलता-मुक्त संचालन की संभावना, पुनर्प्राप्ति दर, विफलता दर, सामान्यीकरण की स्थिति, प्रारंभिक स्थितियां, विश्वसनीयता पैरामीटर, गैर-निरर्थक प्रणाली।

डिज़ाइन किए गए IS की विश्वसनीयता की गणना करने का मुख्य कार्य गणितीय मॉडल का निर्माण है जो उनके कामकाज की संभाव्य प्रक्रियाओं के लिए पर्याप्त है। ये मॉडल डिज़ाइन किए गए या संचालित सिस्टम के लिए विश्वसनीयता आवश्यकताओं की संतुष्टि की डिग्री का आकलन करना संभव बनाते हैं।

गणितीय मॉडल का प्रकार गणना सूत्र प्राप्त करने की संभावना को निर्धारित करता है। पुनर्प्राप्ति योग्य निरर्थक और गैर-निरर्थक प्रणालियों की विश्वसनीयता की गणना करने के लिए, निम्नलिखित का उपयोग किया जाता है: अभिन्न समीकरणों की विधि, अंतर समीकरणों की विधि, क्षणिक तीव्रता की विधि, संभावित राज्यों के ग्राफ द्वारा विश्वसनीयता का आकलन करने की विधि, आदि। .

अभिन्न समीकरणों की विधि. अभिन्न समीकरणों की विधि सबसे सामान्य है; इसका उपयोग एफबीजी के किसी भी वितरण और पुनर्प्राप्ति समय के लिए किसी भी (वसूली योग्य और गैर-वसूली योग्य) सिस्टम की विश्वसनीयता की गणना करने के लिए किया जा सकता है।

इस मामले में, सिस्टम की विश्वसनीयता संकेतक निर्धारित करने के लिए, अभिन्न और पूर्णांक-अंतर समीकरणों को संकलित और हल किया जाता है जो एफबीजी वितरण की विशेषताओं से संबंधित होते हैं, और बहाल सिस्टम के लिए, तत्वों की वसूली का समय।

अभिन्न समीकरणों के संकलन के दौरान, एक या एक से अधिक असीम रूप से छोटे समय अंतराल को आमतौर पर चुना जाता है, जिसके लिए जटिल घटनाओं पर विचार किया जाता है जो कई कारकों की संयुक्त कार्रवाई के तहत खुद को प्रकट करते हैं।

सामान्य स्थिति में, कंप्यूटर का उपयोग करके संख्यात्मक विधियों द्वारा समाधान खोजे जाते हैं। हल करने में कठिनाई के कारण अभिन्न समीकरणों की विधि का व्यापक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है।

अवकल समीकरणों की विधि. विधि का उपयोग पुनर्प्राप्ति योग्य वस्तुओं की विश्वसनीयता का आकलन करने के लिए किया जाता है और यह विफलताओं (ऑपरेटिंग समय) और पुनर्प्राप्ति समय के बीच के समय के घातीय वितरण की धारणा पर आधारित है। इस मामले में, विफलता प्रवाह पैरामीटर डब्ल्यू =λ = 1/ टी सी.पी.और पुनर्प्राप्ति तीव्रता μ = 1/ टी इन, कहाँ पे टी सी.पी.- मतलब अपटाइम, टी इनऔसत वसूली समय है।

विधि को लागू करने के लिए, सिस्टम के संभावित राज्यों के सेट के लिए गणितीय मॉडल होना आवश्यक है एस ={एस 1 , एस 2 ,…, एस n), जिसमें यह सिस्टम विफलताओं और पुनर्स्थापना के दौरान स्थित हो सकता है। समय-समय पर सिस्टम एसविफलताओं और अपने व्यक्तिगत तत्वों की बहाली की कार्रवाई के तहत एक राज्य से दूसरे राज्य में कूदता है।

पहनने के दौरान सिस्टम के व्यवहार का विश्लेषण करते समय, राज्य ग्राफ का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। एक राज्य ग्राफ एक निर्देशित ग्राफ है, जहां मंडल या आयत सिस्टम के संभावित राज्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। इसमें उतने ही कोने होते हैं जितने किसी वस्तु या प्रणाली के लिए अलग-अलग अवस्थाएँ संभव हैं। ग्राफ़ के किनारे विफलता और पुनर्प्राप्ति दर के मापदंडों के साथ कुछ राज्यों से अन्य सभी में संभावित संक्रमण को दर्शाते हैं (तीरों के पास, संक्रमण दर दिखाई जाती है)।

उप-प्रणालियों के विफल और संचालन योग्य राज्यों का प्रत्येक संयोजन सिस्टम की एक स्थिति से मेल खाता है। सिस्टम राज्यों की संख्या एन = 2क, कहाँ पे क- सबसिस्टम (तत्वों) की संख्या।

सिस्टम को उसके सभी संभावित राज्यों में खोजने की संभावनाओं के बीच संबंध कोलमोगोरोव डिफरेंशियल इक्वेशन (प्रथम-क्रम समीकरण) की प्रणाली द्वारा व्यक्त किया जाता है।

कोलमोगोरोव समीकरणों की संरचना निम्नलिखित नियमों के अनुसार बनाई गई है: प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर, वस्तु के विचाराधीन अवस्था में होने की संभावना का व्युत्पन्न (ग्राफ वर्टेक्स) लिखा जाता है, और दाईं ओर के रूप में कई होते हैं सदस्य क्योंकि इस शीर्ष से जुड़े राज्य ग्राफ के किनारे हैं। यदि किनारे को किसी दिए गए शीर्ष से निर्देशित किया जाता है, तो संबंधित शब्द में एक ऋण चिह्न होता है, यदि किसी दिए गए शीर्ष पर, एक प्लस चिह्न होता है। प्रत्येक शब्द किसी दिए गए किनारे से जुड़े विफलता (पुनर्प्राप्ति) तीव्रता पैरामीटर के उत्पाद के बराबर है और उस ग्राफ़ के शीर्ष पर होने की संभावना है जहां से किनारे की उत्पत्ति होती है।

समीकरणों की कोलमोगोरोव प्रणाली में उतने ही समीकरण शामिल होते हैं जितने कि वस्तु के राज्य ग्राफ में शीर्ष होते हैं।

विभेदक समीकरणों की प्रणाली को सामान्यीकरण की स्थिति द्वारा पूरक किया जाता है:

कहाँ पे पीजे(टी जे-वें राज्य;

एनप्रणाली के संभावित राज्यों की संख्या है।

विशिष्ट परिस्थितियों में समीकरणों के निकाय का हल वांछित प्रायिकताओं का मान देता है पीजे(टी).

सिस्टम के संभावित राज्यों के पूरे सेट को दो भागों में बांटा गया है: राज्यों का एक सबसेट एन 1, जिसमें सिस्टम चालू है, और राज्यों का एक सबसेट एन 2 जिसमें सिस्टम निष्क्रिय है।

सिस्टम तैयार समारोह:

प्रतिजी ,

कहाँ पे पीजे(टी) सिस्टम को खोजने की संभावना है जेकाम की परिस्थिति;

एन 1 उन राज्यों की संख्या है जिनमें सिस्टम चालू है।

जब सिस्टम उपलब्धता कारक या डाउनटाइम कारक (सिस्टम रुकावटों की अनुमति है) की गणना करना आवश्यक हो, तो स्थिर स्थिति संचालन पर विचार करें टी→∞. इस मामले में, सभी व्युत्पन्न और अंतर समीकरणों की प्रणाली को बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली में बदल दिया जाता है, जिसे आसानी से हल किया जाता है।

के साथ एक गैर-अनावश्यक पुनर्प्राप्ति योग्य प्रणाली के राज्य ग्राफ का एक उदाहरण एन- तत्वों को अंजीर में दिखाया गया है। एक।

चावल। 1. बहाल प्रणाली के राज्यों का ग्राफ (छायांकित राज्य निष्क्रिय राज्यों को इंगित करते हैं)

उन संभावित राज्यों पर विचार करें जिनमें सिस्टम हो सकता है। निम्नलिखित राज्य यहां संभव हैं:

एस 0 - सभी तत्व चालू हैं;

एस 1 - पहला तत्व निष्क्रिय है, बाकी काम कर रहे हैं;

एस 2 - दूसरा तत्व निष्क्रिय है, बाकी काम कर रहे हैं;

एस नहीं – एनवें तत्व निष्क्रिय है, बाकी काम कर रहे हैं।

दो निष्क्रिय तत्वों के एक साथ प्रकट होने की संभावना नगण्य है। प्रतीक λ 1 , 2 ,…, λ एनविफलता दर इंगित की जाती है, μ 1 , 2 ,…, µ एनसंबंधित तत्वों की वसूली तीव्रता;

राज्यों के ग्राफ (चित्र 1) के अनुसार, वे अंतर समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं (राज्य के लिए समीकरण एस 0 बोझिलता के कारण छोड़ा गया है):

सामान्यीकरण की स्थिति के साथ: .

आरंभिक स्थितियां:

स्थिर अवस्था में संचालन (जब टी→∞) हमारे पास है:

बीजीय समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करने के बाद, सामान्यीकरण की स्थिति को ध्यान में रखते हुए, हम विश्वसनीयता संकेतक पाते हैं।

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय, राज्य की संभावनाओं या संख्यात्मक तरीकों के लिए लाप्लास परिवर्तन का उपयोग किया जा सकता है।

प्रश्नों और कार्यों को नियंत्रित करें

1. पुनर्प्राप्ति योग्य प्रणालियों के विश्वसनीयता संकेतकों को निर्धारित करने के लिए कौन से तरीके ज्ञात हैं?

2. आईएस तत्वों और उपकरणों की स्थिति कैसे निर्धारित की जाती है?

3. प्रणाली के स्वस्थ राज्यों के क्षेत्रों का निर्धारण कैसे करें?

4. बहाल प्रणालियों की विश्वसनीयता का आकलन करने में अंतर समीकरणों की विधि का व्यापक रूप से उपयोग क्यों किया जाता है?

5. अवकल समीकरणों के निकाय को हल करने के लिए आवश्यक शर्त क्या है?

6. आईएस के विश्वसनीयता मापदंडों को निर्धारित करने के लिए अंतर समीकरणों को कैसे संकलित किया जाता है?

7. अधिक कुशल समाधान के लिए डिफरेंशियल इक्वेशन सिस्टम (SDE) में कौन सी शर्त जोड़ी जानी चाहिए।

8. तीन तत्वों से युक्त सिस्टम की परिचालन स्थितियों को लिखें।

9. चार तत्वों से युक्त एक उपकरण की अवस्थाओं की संख्या क्या है?

10. CDS को संकलित करने में किस नियम का प्रयोग किया जाता है?

साहित्य: 1, 2, 3, 5, 6, 8.

विषय: निरर्थक पुनर्प्राप्ति योग्य सूचना प्रणाली की विश्वसनीयता का आकलन करने के लिए मार्कोव मॉडल

1. मार्कोव संपत्ति की अवधारणा, प्रणाली की स्थिति की परिभाषा।

2. मार्कोव मॉडल के निर्माण के लिए कार्यप्रणाली और एल्गोरिदम।

3. वाहन की विश्वसनीयता संकेतकों की गणना के लिए गणना सूत्र

4. निरर्थक वसूली योग्य आईसी के विश्वसनीयता संकेतकों के आकलन के लिए संक्रमण तीव्रता मैट्रिक्स।

कीवर्ड

मार्कोव मॉडल, सिस्टम स्थिति, प्रदर्शन, संक्रमण तीव्रता मैट्रिक्स, राज्य ग्राफ, पुनर्प्राप्ति योग्य प्रणाली, अतिरेक, अनुक्रमिक सर्किट, निरंतर आरक्षित, अंतर समीकरणों की प्रणाली, कोलमोगोरोव का नियम, विश्वसनीयता गणना योजना, अनुमानित विधि, एसडीई निर्माण एल्गोरिदम, सामान्यीकरण की स्थिति, प्रारंभिक स्थितियां , विफलता मुक्त संचालन की संभावना, विफलता दर।

आईएस और उनके घटकों के कामकाज को किसी भी कारण से एक राज्य से दूसरे राज्य में संक्रमण की प्रक्रियाओं के एक सेट के रूप में दर्शाया जा सकता है।

पुनर्स्थापित आईएस की विश्वसनीयता के दृष्टिकोण से, प्रत्येक क्षण में उनकी स्थिति की विशेषता है कि कौन से तत्व चालू हैं और कौन से बहाल किए जा रहे हैं।

यदि ऑपरेट करने योग्य (निष्क्रिय) तत्वों का प्रत्येक संभावित सेट ऑब्जेक्ट स्टेट्स के एक सेट से जुड़ा है, तो ऑब्जेक्ट के एक राज्य से दूसरे राज्य में संक्रमण द्वारा तत्वों की विफलताओं और पुनर्स्थापनों को प्रदर्शित किया जाएगा:

मान लीजिए, उदाहरण के लिए, वस्तु में दो तत्व होते हैं। तब यह चार राज्यों में से एक में हो सकता है: एन = 2क = 2 2 = 4.

एस 1 - दोनों तत्व चालू हैं;

एस 2 - केवल पहला तत्व निष्क्रिय है;

एस 3 - केवल दूसरा तत्व निष्क्रिय है;

एस 4 - दोनों तत्व निष्क्रिय हैं।

संभावित वस्तु का सेट कहता है: एस ={एस 1 , एस 2 , एस 3 , एस 4 }.

अध्ययन के तहत सिस्टम के राज्यों का पूरा सेट असतत या निरंतर हो सकता है (संख्यात्मक अक्ष के एक या अधिक अंतराल को लगातार भरें)।

निम्नलिखित में, हम असतत राज्य स्थान वाली प्रणालियों पर विचार करेंगे। ऐसी प्रणाली की अवस्थाओं का क्रम और एक राज्य से दूसरे राज्य में संक्रमण की प्रक्रिया को एक श्रृंखला कहा जाता है।

प्रत्येक राज्य में सिस्टम द्वारा खर्च किए जाने वाले समय के आधार पर, निरंतर समय वाली प्रक्रियाओं और असतत समय वाली प्रक्रियाओं को प्रतिष्ठित किया जाता है। निरंतर समय के साथ प्रक्रियाओं में, सिस्टम का एक राज्य से दूसरे राज्य में संक्रमण किसी भी समय किया जाता है। दूसरे मामले में, प्रत्येक राज्य में सिस्टम द्वारा बिताया गया समय निश्चित है ताकि संक्रमण के क्षण नियमित अंतराल पर समय अक्ष पर रखे जा सकें।

वर्तमान में, मार्कोव संपत्ति वाली श्रृंखलाओं का सबसे अधिक अध्ययन किया जाता है। संक्रमण की संभावनाओं को प्रतीकों द्वारा दर्शाया जाता है पी इजो(टी), और प्रक्रिया पी इजोसंक्रमणों को मार्कोव श्रृंखला या मार्कोव श्रृंखला कहा जाता है।

मार्कोव संपत्ति एक परिणाम की अनुपस्थिति से जुड़ी है। इसका मतलब है कि भविष्य में सिस्टम का व्यवहार केवल एक निश्चित समय में उसकी स्थिति पर निर्भर करता है, और यह इस पर निर्भर नहीं करता है कि वह इस स्थिति में कैसे आया।

मार्कोव प्रक्रियाएं राज्य ग्राफ का उपयोग करके वर्णित प्रणालियों में विफलताओं-वसूली के अनुक्रमों का वर्णन करना संभव बनाती हैं।

विश्वसनीयता की गणना के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली विधि निरंतर-समय मार्कोव श्रृंखला है जो अंतर समीकरणों की एक प्रणाली पर आधारित है, जिसे मैट्रिक्स रूप में लिखा जा सकता है:

कहाँ पे पी(टी)= पी 0 - प्रारंभिक शर्तें;

और Λ संक्रमण तीव्रता मैट्रिक्स (राज्य संभावनाओं पर गुणांक का मैट्रिक्स) है:

जहां आईजेयू- i-वें राज्य से j-वें तक सिस्टम संक्रमण की तीव्रता;

पीजेसंभावना है कि सिस्टम jth अवस्था में है।

जटिल निरर्थक और पुनर्प्राप्ति योग्य प्रणालियों की विश्वसनीयता का आकलन करते समय, मार्कोव श्रृंखला विधि बड़ी संख्या में राज्यों के कारण जटिल समाधान की ओर ले जाती है। समान परिस्थितियों में एक ही प्रकार की उप-प्रणालियों के संचालन के मामले में, राज्यों की संख्या को कम करने के लिए एकत्रीकरण विधि का उपयोग किया जाता है। समान संख्या में उप-प्रणालियों वाले राज्यों का विलय कर दिया जाता है। तब समीकरणों का आयाम घटता है।

मार्कोव श्रृंखला पद्धति का उपयोग करके निरर्थक पुनर्प्राप्ति योग्य प्रणालियों की विश्वसनीयता का आकलन करने के लिए कार्यप्रणाली का क्रम इस प्रकार है:

1. उपकरण की संरचना का विश्लेषण किया जाता है और विश्वसनीयता का एक संरचनात्मक आरेख तैयार किया जाता है। योजना के अनुसार, एक ग्राफ का निर्माण किया जाता है जिसमें सभी संभावित राज्यों को ध्यान में रखा जाता है;

2. ब्लॉक आरेख के विश्लेषण के परिणामस्वरूप ग्राफ़ के सभी शीर्षों को दो उपसमुच्चय में विभाजित किया गया है: सिस्टम की संचालन योग्य स्थिति के अनुरूप शीर्ष और सिस्टम की निष्क्रिय स्थिति के अनुरूप शीर्ष।

3. राज्य ग्राफ का उपयोग करके, अंतर समीकरणों की एक प्रणाली संकलित की जाती है (कोलमोगोरोव के नियम का उपयोग किया जाता है);

4. समस्या को हल करने के लिए प्रारंभिक शर्तें चुनी जाती हैं;

5. मनमाने ढंग से समय पर सिस्टम के काम करने की स्थिति में होने की संभावनाएं निर्धारित की जाती हैं;

6. सिस्टम के परेशानी मुक्त संचालन की संभावना निर्धारित की जाती है;

7. यदि आवश्यक हो, तो अन्य संकेतक निर्धारित किए जाते हैं।

प्रश्नों और कार्यों को नियंत्रित करें

1. मार्कोव श्रृंखला से क्या तात्पर्य है?

2. मार्कोव मॉडल का उपयोग करके आईएस की विश्वसनीयता का आकलन करने के लिए एक एल्गोरिदम दें।

3. आईएस के विश्वसनीयता मानकों को निर्धारित करने के लिए अंतर समीकरणों को कैसे संकलित किया जाता है?

4. मार्कोव पद्धति का उपयोग करके किन विश्वसनीयता संकेतकों का मूल्य प्राप्त किया जा सकता है?

5. एक जटिल प्रणाली की विश्वसनीयता के लिए मार्कोव मॉडल के निर्माण के मुख्य चरणों की सूची बनाएं।

6. अवकल समीकरणों के निकाय को हल करने के लिए आवश्यक शर्त क्या है?

7. सीएस के तत्वों और उपकरणों की स्थिति कैसे निर्धारित की जाती है?

8. पुनर्प्राप्ति योग्य प्रणालियों की अवधारणा को परिभाषित करें।

9. मार्कोव श्रृंखला क्या है?

10. मार्कोव विश्वसनीयता मॉडल का उपयोग करके किन प्रणालियों का मूल्यांकन किया जाता है?

साहित्य: 1, 2, 3, 10, 11.

विषय: IS हार्डवेयर की विश्वसनीयता की गणना के लिए अनुमानित तरीके

1. श्रृंखला-समानांतर संरचनाओं की विश्वसनीयता का आकलन करने में बुनियादी धारणाएं और सीमाएं।

2. पुनर्प्राप्ति योग्य IC की विश्वसनीयता की गणना के लिए अनुमानित तरीके, IC सबसिस्टम के सीरियल और समानांतर समावेश के साथ।

3. आईएस की विश्वसनीयता की गणना के लिए संरचनात्मक योजनाएं।

कीवर्ड

विश्वसनीयता, श्रृंखला-समानांतर संरचना, विश्वसनीयता की गणना के लिए अनुमानित तरीके, विश्वसनीयता गणना के संरचनात्मक आरेख, विफलता दर, पुनर्प्राप्ति दर, उपलब्धता कारक, पुनर्प्राप्ति समय, कंप्यूटर सिस्टम।

एक गलती पेड़ का उपयोग कर बिजली की आपूर्ति

फॉल्ट ट्री का उपयोग करने वाली तर्क-संभाव्य विधि निगमनात्मक (सामान्य से विशेष तक) है और इसका उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां विभिन्न सिस्टम विफलताओं की संख्या अपेक्षाकृत कम होती है। सिस्टम विफलता के कारणों का वर्णन करने के लिए फॉल्ट ट्री का उपयोग विफलता की एक सामान्य परिभाषा से विफलताओं की विशेष परिभाषाओं और इसके तत्वों के संचालन के तरीकों में संक्रमण की सुविधा प्रदान करता है, जो सिस्टम और तत्वों दोनों के विशेषज्ञ डेवलपर्स के लिए समझ में आता है। . फॉल्ट ट्री से तार्किक विफलता फ़ंक्शन में संक्रमण औपचारिक आधार पर सिस्टम विफलता के कारणों का विश्लेषण करने की संभावनाओं को खोलता है। तार्किक विफलता फ़ंक्शन आपको ज्ञात आवृत्ति और तत्व विफलताओं की संभावनाओं के आधार पर आवृत्ति और सिस्टम विफलताओं की संभावना की विश्लेषणात्मक गणना के लिए सूत्र प्राप्त करने की अनुमति देता है। विश्वसनीयता संकेतकों की गणना में विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तियों का उपयोग परिणामों की मूल-माध्य-वर्ग त्रुटि का आकलन करने के लिए सटीकता के सिद्धांत के सूत्रों को लागू करने के लिए आधार देता है।

एक जटिल घटना के रूप में कार्य करने वाली वस्तु की विफलता संचालन विफलता घटना और घटना का योग है , महत्वपूर्ण बाहरी प्रभावों की उपस्थिति में शामिल है। सिस्टम की तकनीकी डिजाइन के आधार पर विशिष्ट सिस्टम के क्षेत्र में विशेषज्ञों द्वारा सिस्टम विफलता की स्थिति तैयार की जाती है और विभिन्न घटनाओं की स्थिति में इसके कामकाज के विश्लेषण का उपयोग किया जाता है बयान.

कथन अंतिम, मध्यवर्ती, प्राथमिक, सरल, जटिल हो सकते हैं। एक साधारण प्रस्ताव एक ऐसी घटना या स्थिति को संदर्भित करता है जो स्वयं न तो तार्किक योग "या" है और न ही अन्य घटनाओं या राज्यों का तार्किक उत्पाद "और" है। एक जटिल बयान, जो कई बयानों (सरल या जटिल) का एक संयोजन है, "OR" ऑपरेटर द्वारा इंगित किया जाता है, जो निचले स्तर के बयानों को उच्च स्तर के बयानों से जोड़ता है (चित्र 3.15, ए)। एक जटिल कथन, जो कई कथनों (सरल या जटिल) का एक संयोजन है, "AND" ऑपरेटर द्वारा इंगित किया जाता है, जो निचले स्तर के बयानों को उच्च स्तर के बयानों से जोड़ता है (चित्र 3.15, बी)।

चित्र 3.15।तर्क प्रतिनिधित्व तत्व

बयानों को इस तरह से एन्कोड करना सुविधाजनक है कि यह कोड द्वारा तय किया जा सकता है कि यह सरल या जटिल है, अंतिम से किस स्तर पर स्थित है और यह क्या दर्शाता है (घटना, राज्य, संचालन विफलता, तत्व प्रकार) .

ग्राफ सिद्धांत में, एक पेड़ एक जुड़ा हुआ ग्राफ होता है जिसमें बंद आकृति नहीं होती है। एक फॉल्ट ट्री एक तार्किक पेड़ है (चित्र। 3.16), जिसमें आर्क सिस्टम, सबसिस्टम या तत्वों के स्तर पर विफलता की घटनाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, और कोने तार्किक संचालन होते हैं जो प्रारंभिक और परिणामी विफलता घटनाओं को जोड़ते हैं।

चावल। 3.16.फॉल्ट ट्री बनाने का एक उदाहरण

फॉल्ट ट्री का निर्माण सिस्टम की विफलता के बारे में अंतिम विवरण तैयार करने के साथ शुरू होता है। सिस्टम की विश्वसनीयता को चिह्नित करने के लिए, अंतिम विवरण को एक ऐसी घटना के लिए संदर्भित किया जाता है जो दी गई शर्तों के तहत, समय अंतराल में खराबी की ओर ले जाती है। तैयारी विशेषताओं के लिए वही।

उदाहरण 8. आइए चित्र 3.17 में दिखाए गए नेटवर्क आरेख के लिए एक फॉल्ट ट्री बनाएं।

चित्र 3.17।नेटवर्क आरेख

उपकेंद्रों परतथा सेएक सबस्टेशन द्वारा संचालित लेकिन. फॉल्ट ट्री की अंतिम घटना पूरे सिस्टम की विफलता है। इस विफलता को उस घटना के रूप में परिभाषित किया गया है जो

1) या तो एक सबस्टेशन परया सबस्टेशन सेपूरी तरह से खाना खोना;

2) सबस्टेशनों के कुल भार की आपूर्ति करने की शक्ति परतथा सेएक लाइन पर प्रसारित किया जाना चाहिए।

अंतिम घटना की परिभाषा और सिस्टम के सर्किट आरेख के आधार पर, हम एक फॉल्ट ट्री (अंत घटना से नीचे) (चित्र। 3.18) का निर्माण करते हैं। फॉल्ट ट्री विश्लेषण का उद्देश्य अंतिम घटना की संभावना का निर्धारण करना है। चूंकि अंतिम घटना प्रणाली की विफलता है, विश्लेषण संभावना देता है आर(एफ).

विश्लेषण पद्धति समुच्चयों को खोजने और उनकी गणना करने पर आधारित है न्यूनतम खंड। क्रॉस सेक्शनतत्वों का एक सेट कहा जाता है, जिसकी कुल विफलता सिस्टम की विफलता की ओर ले जाती है। न्यूनतम खंड तत्वों का एक ऐसा समूह है जिसमें से एक भी तत्व को हटाया नहीं जा सकता है, अन्यथा यह एक खंड नहीं रह जाता है।

शीर्ष (अंत) घटना से एक स्तर नीचे जाने पर, हम "OR" नोड से गुजरते हैं, जो तीन खंडों के अस्तित्व को इंगित करता है: ( पी}, {क्यू}, {आर} (आर,क्यू, आर- विफलता की घटनाएं)। इनमें से प्रत्येक खंड को और अधिक खंडों में विभाजित किया जा सकता है, लेकिन यह पाया जा सकता है कि अनुभागों की विफलता कई घटनाओं के कारण होती है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि मार्ग के साथ किस प्रकार का तार्किक नोड सामने आया है।

चित्र.3.18।अंजीर की योजना के अनुसार सिस्टम विफलता वृक्ष। 3.17:

- उप-प्रणालियों की विफलताएं जिनका आगे विश्लेषण किया जा सकता है;

उदाहरण के लिए, (क्यू) पहले एक सेक्शन में बदल जाता है (3, टी), फिर टीवर्गों में विभाजित ( एक्स, वाई), परिणामस्वरूप, एक खंड के बजाय (3, टी) दो प्रकट होते हैं: (3, एक्स}, {3,पर}.

बाद के प्रत्येक चरण में, अनुभागों के सेट की पहचान की जाती है:

न्यूनतम खंड विशिष्ट वर्ग (3,4,5), (2.3), (1.3), (1.2) हैं। खंड (1,2,3) न्यूनतम नहीं है, क्योंकि (1,2) भी एक खंड है। अंतिम चरण में, अनुभागों के सेट में विशेष रूप से तत्व होते हैं।

कुछ मामलों में, किसी ऑब्जेक्ट या सिस्टम की कल्पना समानांतर-सीरियल कनेक्शन से मिलकर नहीं की जा सकती है। यह डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक सूचना प्रणाली के लिए विशेष रूप से सच है, जिसमें विश्वसनीयता में सुधार के लिए क्रॉस सूचना लिंक पेश किए जाते हैं। अंजीर पर। 9.17 क्रॉस-लिंक के साथ सिस्टम संरचना का एक हिस्सा दिखाता है (तीर सिस्टम में सूचना आंदोलन की संभावित दिशा दिखाते हैं)। ऐसी संरचनाओं की विश्वसनीयता का आकलन करने के लिए तार्किक-संभाव्य विधि प्रभावी साबित होती है।

चावल। 9.17 ईंधन आपूर्ति के लिए पुल योजना;

1-2 - पंप, 3,4,5 - वाल्व

चावल। 9.18 मापने और कंप्यूटिंग परिसर का ब्रिज सर्किट;

1,2 - भंडारण उपकरण; 3,4 - प्रोसेसर; 5 - एक ब्लॉक जो डिजिटल डेटा का दो-तरफ़ा प्रसारण प्रदान करता है।

विधि में, गणितीय तर्क के तंत्र का उपयोग करके संरचना की संचालन योग्य स्थिति का वर्णन करने का प्रस्ताव है, इसके बाद मूल्यांकन प्रणाली या डिवाइस के विफलता-मुक्त संचालन की संभावना के लिए औपचारिक संक्रमण के बाद। इस मामले में, एक तार्किक चर के माध्यम से एक्स जेउस घटना को दर्शाता है जो दी गई है मैं-वें तत्व क्रियाशील है। औपचारिक रूप से, संपूर्ण प्रणाली या वस्तु की स्वस्थ स्थिति को एक तार्किक कार्य द्वारा दर्शाया जाता है जिसे स्वास्थ्य कार्य कहा जाता है। इस फ़ंक्शन को खोजने के लिए, सिस्टम संरचना के इनपुट से आउटपुट तक, सूचना के आंदोलन के सभी पथ और सिस्टम के संचालन योग्य स्थिति के अनुरूप कार्य निकाय को निर्धारित करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, अंजीर में। 9.17. ऐसे चार रास्ते हैं: पथ 1 - , पथ 2 - , पथ 3 - , पथ 4 - ।

संरचना के संचालन की स्थिति के अनुरूप सभी रास्तों को जानने के बाद, तर्क के बीजगणित के प्रतीकों में एक असंबद्ध-संयोजक रूप में संचालन कार्य (एक्स) / उदाहरण के लिए, अंजीर के लिए लिखना संभव है। 9.17 है:

न्यूनीकरण के ज्ञात तरीकों का उपयोग करते हुए, स्वास्थ्य के तार्किक कार्य को सरल बनाया जाता है और इसे सामान्य बीजगणित के प्रतीकों में सिस्टम स्वास्थ्य के समीकरण में स्थानांतरित किया जाता है। इस तरह के संक्रमण को औपचारिक रूप से ज्ञात संबंधों (बाईं ओर तार्किक संकेतन, दाईं ओर बीजगणितीय संकेतन) का उपयोग करके किया जाता है:

किसी वस्तु के गैर-विफलता संचालन की संभावना (चित्र 9.16, 9.17 देखें) आम तौर पर चर के बजाय स्वास्थ्य समारोह की बीजगणितीय अभिव्यक्ति में औपचारिक प्रतिस्थापन द्वारा निर्धारित की जाती है, प्रत्येक के गैर-विफलता संचालन की संभावनाओं का मूल्य मैं- प्रणाली का तत्व।

उदाहरण। सामान्य शब्दों में वस्तुओं के असफल-मुक्त संचालन की संभावना का पता लगाना आवश्यक है, जिसकी संरचना अंजीर में दिखाई गई है। 9.16 और 9.17। विभिन्न तत्व आधारों के बावजूद, औपचारिक तर्क के दृष्टिकोण से इन वस्तुओं की संरचना के तत्व समान हैं। इस कारण से, स्पष्टता के लिए, अंजीर में। 9.17 तत्व U1, U2 - बिना किसी विफलता के संचालन की संभावनाओं वाले दो समान समान रूप से विश्वसनीय पंप। तत्व U3, U4 दो समान रूप से विश्वसनीय प्रोसेसर हैं जिनमें विफलता-मुक्त संचालन की संभावना है। तत्व U5 एक स्विचिंग वाल्व है जो वस्तु के आउटलेट पर काम कर रहे तरल पदार्थ (उदाहरण के लिए, ईंधन) की दो-तरफा आपूर्ति प्रदान करता है।

अंजीर में वस्तु की संरचना। 9.17, जहां तत्व U1, U2 दो समान रूप से विश्वसनीय स्टोरेज डिवाइस (मेमोरी) हैं, जिसमें विफलता-मुक्त संचालन की संभावना है। तत्व U3, U4 विफलता-मुक्त संचालन की संभावना वाले दो समान समान रूप से विश्वसनीय प्रोसेसर हैं। एलिमेंट U5 एक ऐसा ब्लॉक है जो डिजिटल डेटा का टू-वे ट्रांसमिशन प्रदान करता है। इस इकाई के विफलता-मुक्त संचालन की संभावना है।

(9.36), (9.37), (9.38) को ध्यान में रखते हुए हम अंकन (9.35) से बीजगणितीय संकेतन में औपचारिक परिवर्तन कर सकते हैं। तो, वस्तु के संचालन के तार्किक कार्य को खोजने के लिए, इनपुट से आउटपुट तक सूचना (कार्य निकाय) पास करने के संभावित तरीकों का रूप है

विश्वसनीयता विश्लेषण के तर्क-संभाव्यता तरीके

विश्वसनीयता विश्लेषण के किसी भी तरीके के लिए सिस्टम प्रदर्शन स्थितियों के विवरण की आवश्यकता होती है। ऐसी शर्तों के आधार पर तैयार किया जा सकता है:

सिस्टम के कामकाज का संरचनात्मक आरेख (विश्वसनीयता गणना योजना);

प्रणाली के कामकाज का मौखिक विवरण;

ग्राफ योजनाएं;

तर्क के बीजगणित के कार्य।

विश्वसनीयता विश्लेषण की तार्किक-संभाव्य पद्धति अनुकूल परिकल्पनाओं की परिभाषा और अर्थ को औपचारिक रूप देना संभव बनाती है। इस विधि का सार इस प्रकार है।

प्रत्येक तत्व की स्थिति शून्य और एक द्वारा एन्कोड की गई है:

तर्क के बीजगणित के कार्यों में, तत्वों की अवस्थाओं को निम्नलिखित रूप में दर्शाया जाता है:

एक्स मैं- कोड 1 के अनुरूप तत्व की अच्छी स्थिति;

कोड 0 के अनुरूप तत्व की विफलता स्थिति।

तर्क के बीजगणित के कार्यों का उपयोग करते हुए, सिस्टम के संचालन की स्थिति को इसके तत्वों के संचालन (राज्य) के माध्यम से लिखा जाता है। परिणामी सिस्टम स्वास्थ्य फ़ंक्शन बाइनरी तर्कों का एक बाइनरी फ़ंक्शन है।

परिणामी FAL को इस तरह से रूपांतरित किया जाता है कि इसमें सिस्टम के सही संचालन के लिए अनुकूल परिकल्पनाओं के अनुरूप शब्द शामिल होते हैं।

FAL में बाइनरी वेरिएबल्स के बजाय एक्स मैंऔर प्रायिकताओं को क्रमशः विफलता-मुक्त संचालन के लिए प्रतिस्थापित किया जाता है पी मैंऔर विफलता की संभावना क्यू मैं।संयोजन और वियोजन के संकेतों को बीजीय गुणन और जोड़ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

परिणामी अभिव्यक्ति सिस्टम के विफलता-मुक्त संचालन की संभावना है पीसी (टी)।

उदाहरण सहित तार्किक-संभाव्य विधि पर विचार करें।

उदाहरण 5.10.सिस्टम का ब्लॉक आरेख तत्वों का मुख्य (धारावाहिक) कनेक्शन है (चित्र। 5.14)।

ब्लॉक आरेख पर एक्स मैं, मैं = 1, 2,..., पी- स्थि‍ति मैं- सिस्टम का तत्व, कोडित 0 यदि तत्व विफल स्थिति में है, और 1 यदि यह सेवा योग्य है। इस मामले में, सिस्टम चालू है यदि इसके सभी तत्व चालू हैं। तब FAL तार्किक चरों का एक संयोजन है, अर्थात्। वाई \u003d एक्स 1, एक्स 2, ... .., एक्स पी,जो प्रणाली का एक पूर्ण रूप से सामान्य रूप है।

तार्किक चर के बजाय तत्वों के अच्छे राज्यों की संभावनाओं को प्रतिस्थापित करना और बीजगणितीय गुणन के साथ संयोजन को प्रतिस्थापित करना, हम प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 5.11.सिस्टम का ब्लॉक आरेख एक डुप्लीकेट सिस्टम है जिसमें गैर-समतुल्य, स्थायी रूप से सबसिस्टम पर स्विच किया गया है (चित्र 5.15)।

अंजीर पर। 5.15 एक्स 1तथा एक्स 2- सिस्टम तत्वों की स्थिति। आइए दो द्विआधारी चरों की एक सत्य तालिका बनाएं (सारणी 5.2)।

तालिका में 0 तत्व की विफलता स्थिति है, 1 तत्व की अच्छी स्थिति है। इस मामले में, सिस्टम चालू है यदि दोनों तत्व (1,1) या उनमें से एक ((0,1) या (1,0)) चालू हैं। फिर सिस्टम की परिचालन स्थिति को निम्नलिखित तर्क बीजगणित फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया गया है:

यह फंक्शन एक परफेक्ट डिसजंक्टिव नॉर्मल फॉर्म है। गुणन और जोड़ के बीजगणितीय संचालन के साथ संयोजन और संयोजन के संचालन को बदलकर, और तत्वों की स्थिति की संबंधित संभावनाओं के साथ तार्किक चर, हम सिस्टम के विफलता-मुक्त संचालन की संभावना प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 5.12.सिस्टम के ब्लॉक आरेख में अंजीर में दिखाया गया रूप है। 5.16.

आइए एक सत्य तालिका बनाएं (तालिका 53)।

इस उदाहरण में, सिस्टम चालू है यदि इसके सभी तत्व चालू हैं या यदि तत्व चालू है एक्स मैंऔर डुप्लीकेट जोड़ी के तत्वों में से एक (एक्स 2, एक्स 3) सत्य तालिका के आधार पर, SDNF इस तरह दिखेगा:

बाइनरी वेरिएबल्स के बजाय संबंधित संभावनाओं को प्रतिस्थापित करना, और बीजगणितीय गुणा और संयोजन और संयोजन के बजाय जोड़, हम सिस्टम के असफल-सुरक्षित संचालन की संभावना प्राप्त करते हैं:

निम्नलिखित परिवर्तनों का उपयोग करके तर्क के बीजगणित के कार्य को न्यूनतम रूप में दर्शाया जा सकता है:

बीजगणित में अवशोषण और ग्लूइंग संचालन लागू नहीं होते हैं। इस संबंध में, प्राप्त एफएएल को कम करना असंभव है, और फिर तार्किक चर के बजाय संभावनाओं के मूल्यों को प्रतिस्थापित करना असंभव है। तत्वों के राज्यों की संभावनाओं को एसडीएनएफ में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, और बीजगणित के नियमों के अनुसार सरलीकृत किया जाना चाहिए।

वर्णित विधि का नुकसान एक सत्य तालिका को संकलित करने की आवश्यकता है, जिसके लिए सभी ऑपरेटिंग सिस्टम राज्यों की गणना की आवश्यकता होती है।

5.3.2. सबसे छोटे रास्तों और न्यूनतम वर्गों की विधि

इस विधि पर पहले चर्चा की जा चुकी है। अनुभाग में 5.2.3.आइए हम इसे तर्क के बीजगणित के दृष्टिकोण से बताते हैं।

ऑपरेटिंग फ़ंक्शन को सिस्टम के चलने के कामकाज के सबसे छोटे रास्तों और इसकी विफलता के न्यूनतम वर्गों की मदद से वर्णित किया जा सकता है।

सबसे छोटा रास्ता काम करने योग्य का न्यूनतम संयोजन है: तत्वों के स्टेशन जो एक व्यावहारिक प्रणाली बनाते हैं।

न्यूनतम खंड उन तत्वों की निष्क्रिय अवस्थाओं का न्यूनतम संयोजन है जो सिस्टम की निष्क्रिय अवस्था का निर्माण करते हैं।

उदाहरण 5.13.सिस्टम ऑपरेशनल फंक्शन बनाना आवश्यक है, जिसका ब्लॉक आरेख अंजीर में दिखाया गया है। 5.17 सबसे छोटे पथों और न्यूनतम वर्गों की विधि का उपयोग करना।

समाधान।इस मामले में, एक व्यावहारिक प्रणाली बनाने वाले सबसे छोटे रास्ते होंगे: एक्स 1 एक्स 2, एक्स 3 एक्स 4, एक्स 1 एक्स 5 एक्स 4, एक्स 3 एक्स 5 एक्स 2।तब स्वास्थ्य फ़ंक्शन को निम्न तर्क बीजगणित फ़ंक्शन के रूप में लिखा जा सकता है:

इस FAL के अनुसार, अंजीर में सिस्टम का ब्लॉक आरेख। 5.17 को अंजीर के ब्लॉक आरेख द्वारा दर्शाया जा सकता है। 5.18.

एक निष्क्रिय प्रणाली बनाने वाले न्यूनतम खंड होंगे: एक्स 1 एक्स 3, एक्स 2 एक्स 4, एक्स 1 एक्स 5 एक्स 4, एक्स 3 एक्स 5 एक्स 2।तब निष्क्रियता फ़ंक्शन को निम्न तर्क बीजगणित फ़ंक्शन के रूप में लिखा जा सकता है:

इस एफएएल के अनुसार, सिस्टम के ब्लॉक आरेख को अंजीर में दिखाए गए रूप में प्रस्तुत किया जाएगा। 5.19.

यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि अंजीर में ब्लॉक आरेख। 5.18 और अंजीर। 5.19 विश्वसनीयता गणना योजनाएं नहीं हैं, और ऑपरेट करने योग्य और निष्क्रिय राज्यों के एफएएल के लिए अभिव्यक्ति विफलता-मुक्त संचालन की संभावना और विफलता की संभावना को निर्धारित करने के लिए अभिव्यक्ति नहीं हैं:

एफएएल के मुख्य लाभ यह हैं कि वे एक सत्य तालिका, पीडीएनएफ और सीकेएनएफ (परफेक्ट कंजंक्टिव नॉर्मल फॉर्म) को संकलित किए बिना औपचारिक रूप से प्राप्त करने की अनुमति देते हैं, जिससे विफलता-मुक्त संचालन (विफलता की संभावना) की संभावना प्राप्त करना संभव हो जाता है। सिस्टम को तार्किक चर के बजाय FAL में प्रतिस्थापित करके विफलता-मुक्त कार्य की संभावनाओं के संबंधित मूल्यों को गुणा और जोड़ के बीजीय संचालन के साथ संयोजन और वियोग के संचालन को प्रतिस्थापित करता है।

एसडीएनएफ प्राप्त करने के लिए, एफएएल के प्रत्येक विघटनकारी शब्द को गुणा करना आवश्यक है, जहां एक्स मैं- लापता तर्क, और कोष्ठक का विस्तार करें। जवाब है एसडीएनएफ। आइए इस विधि पर एक उदाहरण के साथ विचार करें।

उदाहरण 5.14.सिस्टम के विफलता-मुक्त संचालन की संभावना को निर्धारित करना आवश्यक है, जिसका ब्लॉक आरेख अंजीर में दिखाया गया है। 5.17. तत्वों के विफलता-मुक्त संचालन की संभावनाएं बराबर हैं पी 1, पी 2, पी 3, पी 4, आर 5।

समाधान।आइए सबसे छोटी पथ विधि का उपयोग करें। सबसे छोटी पथ विधि द्वारा प्राप्त तर्क बीजगणित फ़ंक्शन का रूप है:

हमें सिस्टम का SDNF मिलता है। ऐसा करने के लिए, हम असंगत शब्दों को लापता लोगों से गुणा करते हैं:

तर्क के बीजगणित के नियमों के अनुसार कोष्ठक का विस्तार और परिवर्तन करते हुए, हम SDNF प्राप्त करते हैं:

के बजाय SDNF में प्रतिस्थापित करना एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3 , एक्स 4, एक्स 5अपटाइम संभावनाएं पी 1, पी 2, पी 3, पी 4, पी 5और अनुपातों का उपयोग करना क्यूई = 1–पी मैं, हम सिस्टम के विफलता-मुक्त संचालन की संभावना के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं।

उपरोक्त उदाहरण से, यह देखा जा सकता है कि सबसे छोटे रास्तों की विधि ने हमें अनुकूल परिकल्पनाओं की परिभाषा से मुक्त कर दिया। न्यूनतम वर्गों की विधि का उपयोग करके समान परिणाम प्राप्त किया जा सकता है।

5.3.3. स्लाइसिंग एल्गोरिदम

कटिंग एल्गोरिदम एक एफएएल प्राप्त करना संभव बनाता है, जिसमें तार्किक चर के बजाय, तत्वों के विफलता-मुक्त संचालन (विफलता की संभावना) की संभावना को प्रतिस्थापित करके, सिस्टम के विफलता-मुक्त संचालन की संभावना का पता लगाया जा सकता है। इस उद्देश्य के लिए सीडीएनएफ प्राप्त करने की आवश्यकता नहीं है।

स्लाइसिंग एल्गोरिथ्म निम्नलिखित तर्क बीजगणित प्रमेय पर आधारित है: तर्क बीजगणित फ़ंक्शन वाई (एक्स बी एक्स 2, ..., एक्स एन)निम्नलिखित रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है:

आइए हम तीन उदाहरणों पर इस प्रमेय की प्रयोज्यता दिखाएं:

तर्क के बीजगणित के दूसरे वितरण नियम को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 5.15.सिस्टम के विफलता-मुक्त संचालन की संभावना निर्धारित करें, जिसका ब्लॉक आरेख अंजीर में दिखाया गया है। 5.16 स्लाइसिंग एल्गोरिथम का उपयोग करना।

समाधान।सबसे छोटी पथ विधि का उपयोग करते हुए, हम निम्नलिखित FAL प्राप्त करते हैं:

आइए कटिंग एल्गोरिदम लागू करें:

अब तार्किक चरों के स्थान पर प्रायिकताओं को प्रतिस्थापित करना और संयोजन और वियोजन की संक्रियाओं को बीजगणितीय गुणन और योग से प्रतिस्थापित करना, हम प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 5.16.सिस्टम के विफलता-मुक्त संचालन की संभावना निर्धारित करें, जिसका ब्लॉक आरेख अंजीर में दिखाया गया है। 5.17. कटिंग एल्गोरिथम का उपयोग करें।

समाधान।न्यूनतम वर्गों की विधि द्वारा प्राप्त तर्क बीजगणित फ़ंक्शन का रूप है:

हम कटिंग एल्गोरिथम को लागू करते हैं एक्स 5:

हम तर्क के बीजगणित के नियमों का उपयोग करके परिणामी व्यंजक को सरल बनाते हैं। हम ब्रैकेटिंग नियम का उपयोग करके पहले कोष्ठक में व्यंजक को सरल बनाते हैं:

तब FAL इस तरह दिखेगा:

यह अभिव्यक्ति अंजीर के ब्लॉक आरेख से मेल खाती है। 5.20.

परिणामी योजना भी एक विश्वसनीयता गणना योजना है, यदि तार्किक चर को विफलता-मुक्त संचालन की संभावनाओं से बदल दिया जाता है पी 1, पी 2, पी 3, पी 4, पी 5,और चर विफलता की संभावना है क्यू 5।अंजीर से। 5.20 यह देखा जा सकता है कि सिस्टम का ब्लॉक आरेख एक श्रृंखला-समानांतर सर्किट में कम हो गया है। विफलता-मुक्त संचालन की संभावना की गणना निम्न सूत्र द्वारा की जाती है:

सूत्र को समझाने की आवश्यकता नहीं है, यह सीधे ब्लॉक आरेख के अनुसार लिखा जाता है।

5.3.4. ऑर्थोगोनलाइज़ेशन एल्गोरिथम

ऑर्थोगोनलाइज़ेशन एल्गोरिथ्म, कटिंग एल्गोरिदम की तरह, औपचारिक प्रक्रियाओं को तर्क के बीजगणित का एक कार्य बनाने की अनुमति देता है, तार्किक चर संभावनाओं के बजाय इसमें प्रतिस्थापित करता है, और इसके बजाय विघटन और संयोजन - बीजगणितीय जोड़ और गुणा, परेशानी की संभावना प्राप्त करने के लिए- प्रणाली का मुक्त संचालन। एल्गोरिथ्म तर्क बीजगणित कार्यों के ऑर्थोगोनल डिसजंक्टिव नॉर्मल फॉर्म (ODNF) में परिवर्तन पर आधारित है, जो SDNF से बहुत छोटा है। कार्यप्रणाली का वर्णन करने से पहले, हम कई परिभाषाएँ बनाते हैं और उदाहरण देते हैं।

दो संयोजकबुलाया ओर्थोगोनल,यदि उनका उत्पाद समान रूप से शून्य है। विच्छेदन सामान्य रूपबुलाया ओर्थोगोनल,यदि इसके सभी पद युग्म में लंबकोणीय हैं। SDNF ओर्थोगोनल है, लेकिन सभी ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस में सबसे लंबा है।

ऑर्थोगोनल डीएनएफ निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है:

तर्क के बीजगणित और डी मॉर्गन के प्रमेय के दूसरे वितरण कानून का उपयोग करके इन सूत्रों को साबित करना आसान है। ऑर्थोगोनल डिसजंक्टिव नॉर्मल फॉर्म प्राप्त करने के लिए एल्गोरिथम निम्नलिखित फंक्शन ट्रांसफॉर्मेशन प्रक्रिया है: वाई (एक्स 1, एक्स 2, ..., एक्स एन)ओडीएनएफ में:

समारोह वाई (एक्स 1, एक्स 2, ..., एक्स एन)सबसे छोटे रास्तों या न्यूनतम वर्गों की विधि का उपयोग करके डीएनएफ में परिवर्तित;

ऑर्थोगोनल डिसजंक्टिव-नॉर्मल फॉर्म फॉर्मूला (5.10) और (5.11) का उपयोग करके पाया जाता है;

ओडीएनएफ की ऑर्थोगोनल शर्तों को शून्य के बराबर करके फ़ंक्शन को कम किया जाता है;

बूलियन चर को सिस्टम के तत्वों के विफलता-मुक्त संचालन (विफलता संभावनाओं) की संभावनाओं से बदल दिया जाता है;

अंतिम हल पिछले चरण में प्राप्त व्यंजक को सरल बनाने के बाद प्राप्त किया जाता है।

आइए एक उदाहरण के साथ तकनीक पर विचार करें।

उदाहरण 5.17.सिस्टम के विफलता-मुक्त संचालन की संभावना निर्धारित करें, जिसका ब्लॉक आरेख अंजीर में दिखाया गया है। 5.17. ऑर्थोगोनलाइज़ेशन विधि लागू करें।

समाधान।इस मामले में, सिस्टम के कामकाज को निम्नलिखित तर्क बीजगणित फ़ंक्शन (न्यूनतम वर्गों की विधि) द्वारा वर्णित किया गया है:

निरूपित कश्मीर 1= एक्स 1 एक्स 2, के 2= एक्स 3 एक्स 4, कश्मीर 3= एक्स 1 एक्स 5 एक्स 4, के 4 \u003d x 3 x 5 x 2. फिर ODNF निम्नलिखित रूप में लिखा जाएगा:

मूल्यों , मैं= 1,2,3, सूत्र के आधार पर (5.10) का रूप होगा:

इन व्यंजकों को (5.12) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

इस व्यंजक में तार्किक चरों को संबंधित प्रायिकताओं के साथ बदलकर और जोड़ और गुणा के बीजीय संक्रियाओं को निष्पादित करते हुए, हम सिस्टम के विफल-सुरक्षित संचालन की प्रायिकता प्राप्त करते हैं:

उत्तर वही है जो उदाहरण 5.14 में है।

उदाहरण से पता चलता है कि ऑर्थोगोनलाइज़ेशन एल्गोरिथ्म पहले चर्चा की गई विधियों की तुलना में अधिक उत्पादक है। विश्वसनीयता विश्लेषण के तार्किक-संभाव्य तरीकों का अधिक विस्तार से वर्णन किया गया है। तार्किक-संभाव्य विधि, किसी भी अन्य की तरह, इसके फायदे और नुकसान हैं। इसके गुणों का उल्लेख पहले किया जा चुका है। आइए इसकी कमियों को बताते हैं।

तार्किक-संभाव्य विधि में प्रारंभिक डेटा सिस्टम के संरचनात्मक आरेख के तत्वों के विफलता-मुक्त संचालन की संभावनाएं हैं। हालाँकि, कई मामलों में यह डेटा प्राप्त नहीं किया जा सकता है। और इसलिए नहीं कि तत्वों की विश्वसनीयता अज्ञात है, बल्कि इसलिए कि तत्व का संचालन समय एक यादृच्छिक चर है। यह प्रतिस्थापन द्वारा अतिरेक के मामले में होता है, विफलता के बाद की उपस्थिति, तत्वों के संचालन की गैर-एक साथ, एक अलग सेवा अनुशासन के साथ बहाली की उपस्थिति, और कई अन्य मामलों में।

आइए हम इन कमियों को दर्शाने वाले उदाहरण दें। सिस्टम के ब्लॉक आरेख में अंजीर में दिखाया गया रूप है। 5.21, जहां निम्नलिखित पदनाम स्वीकार किए जाते हैं: एक्स मैं- मान 0 और 1 के साथ तार्किक चर, तत्व की विफलता और उचित संचालन के अनुरूप, एक्स मैं = 1, 2, 3.

इस मामले में, तार्किक चर ds 3 मुख्य तत्व की विफलता के समय और समय के दौरान 1 तक 0 है। (टी-τ),कहाँ पे टी- वह समय जिसके दौरान सिस्टम की विफलता-मुक्त संचालन की संभावना निर्धारित की जाती है। समय τ एक यादृच्छिक मान है, इसलिए मान पीआर(τ)अनजान। इस मामले में, एक FAL, और इससे भी अधिक SDNF को संकलित करना असंभव है। हमने जिन तार्किक-संभाव्य तरीकों पर विचार किया है, उनमें से कोई भी हमें सिस्टम के विफल-सुरक्षित संचालन की संभावना का पता लगाने की अनुमति नहीं देता है।

यहाँ एक और विशिष्ट उदाहरण है। बिजली व्यवस्था में एक वोल्टेज नियामक होता है आर n और दो समानांतर जनरेटर G 1 और G 2 । सिस्टम का ब्लॉक आरेख अंजीर में दिखाया गया है। 5.22.

यदि जनरेटर में से एक विफल हो जाता है, तो शेष सेवा योग्य जनरेटर एक सामान्य भार पर काम करता है। इसकी विफलता दर बढ़ रही है। यदि जनरेटर में से किसी एक की विफलता के क्षण से पहले, इसकी विफलता की तीव्रता बराबर थी λ , फिर अस्वीकृति के बाद 1 > 2. समय से τ यादृच्छिक है, तो (τ)अनजान। यहाँ, जैसा कि प्रतिस्थापन द्वारा अतिरेक के मामले में, तार्किक-संभाव्य विधियाँ शक्तिहीन हैं। इस प्रकार, तार्किक-संभाव्य विधियों की ये कमियाँ जटिल प्रणालियों की विश्वसनीयता की गणना में उनके व्यावहारिक अनुप्रयोग को कम करती हैं।

5.4. विश्वसनीयता विश्लेषण के टोपोलॉजिकल तरीके

हम टोपोलॉजिकल तरीकों को बुलाएंगे जो आपको समीकरणों को संकलित या हल किए बिना, राज्य ग्राफ या सिस्टम के संरचनात्मक आरेख द्वारा विश्वसनीयता संकेतक निर्धारित करने की अनुमति देते हैं। कई कार्य टोपोलॉजिकल विधियों के लिए समर्पित हैं, जो उनके व्यावहारिक कार्यान्वयन के विभिन्न तरीकों का वर्णन करते हैं। यह खंड राज्य ग्राफ से विश्वसनीयता संकेतक निर्धारित करने के तरीकों की रूपरेखा तैयार करता है।

टोपोलॉजिकल तरीके निम्नलिखित विश्वसनीयता संकेतकों की गणना करना संभव बनाते हैं:

- पी (टी)- समय के दौरान गैर-विफलता संचालन की संभावना टी;

- टी1, - गैर-विफलता संचालन का औसत समय;

- के जी (टी)- तत्परता समारोह (संभावना है कि सिस्टम समय पर किसी भी मनमानी बिंदु पर काम कर रहा है टी);

- किलोग्राम= - तत्परता कारक;

टी- बहाल प्रणाली की विफलताओं के बीच का समय।

टोपोलॉजिकल विधियों में निम्नलिखित विशेषताएं हैं:

कम्प्यूटेशनल एल्गोरिदम की सादगी;

विश्वसनीयता की मात्रात्मक विशेषताओं को निर्धारित करने के लिए प्रक्रियाओं की उच्च स्पष्टता;

अनुमानित अनुमानों की संभावना;

ब्लॉक आरेख के प्रकार पर कोई प्रतिबंध नहीं (सिस्टम, पुनर्प्राप्ति योग्य और गैर-वसूली योग्य, गैर-अनावश्यक और किसी भी प्रकार के अतिरेक और किसी भी बहुलता के साथ निरर्थक)।

यह अध्याय टोपोलॉजिकल विधियों की सीमाओं पर चर्चा करेगा:

एक जटिल प्रणाली के तत्वों की विफलता और पुनर्प्राप्ति दर स्थिर मूल्य हैं";

विश्वसनीयता के समय संकेतक, जैसे कि विफलता-मुक्त संचालन की संभावना और उपलब्धता फ़ंक्शन, लैपलेस ट्रांसफ़ॉर्म में निर्धारित किए जाते हैं;

कठिनाइयाँ, कुछ मामलों में दुर्गम, एक बहु-जुड़े राज्य ग्राफ द्वारा वर्णित जटिल प्रणालियों की विश्वसनीयता के विश्लेषण में।

टोपोलॉजिकल विधियों का विचार इस प्रकार है।

राज्य ग्राफ प्रणाली के कामकाज का वर्णन करने के तरीकों में से एक है। यह अवकल समीकरणों के प्रकार और उनकी संख्या को निर्धारित करता है। संक्रमण की तीव्रता, जो तत्वों की विश्वसनीयता और उनकी पुनर्प्राप्ति की विशेषता है, अंतर समीकरणों के गुणांक निर्धारित करते हैं। प्रारंभिक स्थितियों को ग्राफ के नोड्स को कोड करके चुना जाता है।

राज्य ग्राफ में सिस्टम की विश्वसनीयता के बारे में सारी जानकारी होती है। और यही कारण है कि यह विश्वास करने का कारण है कि विश्वसनीयता संकेतकों की गणना सीधे राज्य ग्राफ से की जा सकती है।

5.4.1. सिस्टम राज्यों की संभावनाओं का निर्धारण

किसी राज्य में रिकवरेबल सिस्टम मिलने की प्रायिकता मैंएक निश्चित समय पर टीलाप्लास में परिवर्तन को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

कहाँ पे (रों)- लाप्लास परिवर्तनों में लिखे गए अंतर समीकरणों की प्रणाली का मुख्य निर्धारक; i (ओं)प्रणाली का एक निजी निर्धारक है।

यह व्यंजक (5.13) से देखा जा सकता है कि पाई (ओं)निर्धारित किया जाएगा कि क्या डिग्री राज्य ग्राफ से पाई जाती हैं के प्रकारअंश और हर के बहुपद, साथ ही गुणांक बिज (जे = 0,1,2,..., एम) तथा एक मैं(मैं = 0,1, 2,..., एन-1).

आइए पहले निर्धारित करने की विधि पर विचार करें पाई (ओं)केवल ऐसी प्रणालियों का राज्य ग्राफ, जिनके राज्य ग्राफ में राज्यों के माध्यम से कोई संक्रमण नहीं होता है। इनमें सभी गैर-निरर्थक प्रणालियां, पूर्णांक और भिन्नात्मक बहुलता के साथ सामान्य अतिरेक के साथ निरर्थक प्रणालियां, मरम्मत के लिए उनकी प्राप्ति के उल्टे क्रम में विफल उपकरणों के रखरखाव के साथ किसी भी संरचना की अनावश्यक प्रणालियां शामिल हैं। सिस्टम के इस वर्ग में उनके रखरखाव के लिए विभिन्न विषयों के साथ समान रूप से विश्वसनीय उपकरणों के साथ कुछ अनावश्यक सिस्टम भी शामिल हैं।

सिस्टम के कामकाज को अंतर समीकरणों द्वारा वर्णित किया गया है, जिसकी संख्या ग्राफ नोड्स की संख्या के बराबर है। इसका मतलब है कि प्रणाली का मुख्य निर्धारक (रों)सामान्य तौर पर एक बहुपद होगा एनवें डिग्री, जहां एनराज्य ग्राफ नोड्स की संख्या है। यह दिखाना आसान है कि हर बहुपद में एक अवरोधन नहीं होता है। दरअसल, चूंकि तब फ़ंक्शन का हर पाई (ओं)शामिल होना चाहिए एसएक कारक के रूप में, अन्यथा अंतिम संभावना पाई (∞)शून्य के बराबर होगा। अपवाद तब होता है जब मरम्मत की संख्या सीमित होती है।

अंश बहुपद की डिग्रीमैं अभिव्यक्ति से मिला:

मी मैं \u003d एन - 1 - एल आई,

कहाँ पे एन- राज्य ग्राफ के नोड्स की संख्या; मैं मैं- सिस्टम की प्रारंभिक स्थिति से संक्रमण की संख्या, इसके कामकाज की प्रारंभिक स्थितियों द्वारा निर्धारित, राज्य में मैंसबसे छोटे रास्ते के साथ।

यदि सिस्टम की प्रारंभिक स्थिति वह स्थिति है जब सभी उपकरण चालू होते हैं, तो मैं मैं- राज्य स्तरीय संख्या मैं, अर्थात। मैं मैंराज्य में विफल सिस्टम उपकरणों की न्यूनतम संख्या के बराबर है मैं. इस प्रकार, प्रायिकता अंश बहुपद की डिग्री पी मैं (एस)सिस्टम में रहना मैं-वां राज्य राज्य संख्या पर निर्भर करता है मैंऔर प्रारंभिक स्थितियों से। संक्रमणों की संख्या के बाद से मैं मैंशायद 0,1,2,..., एन-1, तो बहुपद की घातi (ओं) (5.14) के आधार पर भी मान ले सकते हैं मैं मैं = 0,1,2,..., एन-1.

व्याख्यान 9

विषय: पथ और अनुभागों की विधि द्वारा विश्वसनीयता मूल्यांकन। जटिल प्रणालियों के विश्लेषण के लिए तार्किक-संभाव्य तरीके

योजना

1. शाखित संरचना वाले सिस्टम के विश्वसनीयता संकेतकों की गणना के लिए न्यूनतम पथ और अनुभागों की विधि।

2. आईएस विश्वसनीयता के विश्लेषण और मूल्यांकन के तार्किक-संभाव्य तरीकों की बुनियादी परिभाषाएं और अवधारणाएं।

3. सफल संचालन के सबसे छोटे मार्ग की विधि का सार और विफलताओं का न्यूनतम खंड।

4. पुल संरचना के लिए स्वास्थ्य समारोह और विफलता समारोह की गणना।

5. इन विधियों के अनुप्रयोग के क्षेत्र। आईएस की विश्वसनीयता का आकलन करने के लिए सांख्यिकीय मॉडलिंग।

कीवर्ड

विश्वसनीयता संकेतक, IS की शाखित संरचना, न्यूनतम पथ, खंड, तर्क-संभाव्य विधि, ब्रिज सर्किट, स्वास्थ्य कार्य, सफल संचालन का सबसे छोटा पथ, न्यूनतम विफलता अनुभाग, विफलता-मुक्त संचालन की संभावना, तर्क बीजगणित फ़ंक्शन, विश्वसनीयता गणना का संरचनात्मक आरेख .

जब अतिरेक होता है तो IS को व्यवस्थित करने के लिए संरचनाएं और तरीके होते हैं, लेकिन इसे तत्वों या उप-प्रणालियों के सीरियल और समानांतर समावेशन की योजना द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। ऐसी संरचनाओं की विश्वसनीयता का विश्लेषण करने के लिए, न्यूनतम पथ और वर्गों की विधि का उपयोग किया जाता है, जो अनुमानित तरीकों को संदर्भित करता है और आपको ऊपर और नीचे से विश्वसनीयता के सीमा अनुमानों को निर्धारित करने की अनुमति देता है।

एक जटिल संरचना में पथ तत्वों का एक क्रम है जो सिस्टम के कामकाज (संचालन) को सुनिश्चित करता है।

एक खंड उन तत्वों का एक समूह है जिनकी विफलताओं के कारण सिस्टम विफल हो जाता है।

श्रृंखला से जुड़े समानांतर सर्किट के विफलता-मुक्त संचालन की संभावना इस संरचना की एक प्रणाली के एफबीजी के लिए ऊपरी अनुमान देती है। पथ तत्वों के समानांतर-जुड़े सीरियल सर्किट के विफलता-मुक्त संचालन की संभावना इस संरचना की एक प्रणाली के एफबीजी के लिए कम अनुमान देती है। विश्वसनीयता संकेतक का वास्तविक मूल्य ऊपरी और निचली सीमाओं के बीच है।

पांच तत्वों (चित्र 1) से युक्त सिस्टम के तत्वों को जोड़ने के लिए एक ब्रिज सर्किट पर विचार करें।

चावल। 1. तत्वों को जोड़ने के लिए ब्रिज सर्किट (सबसिस्टम)

यहां, तत्वों का एक सेट न्यूनतम पथ बनाता है यदि सेट से किसी तत्व को बाहर करने से पथ विफल हो जाता है। इससे यह पता चलता है कि एक पथ की सीमा के भीतर, तत्व मुख्य संबंध में हैं, और पथ स्वयं समानांतर में जुड़े हुए हैं। ब्रिजिंग के लिए न्यूनतम पथों का सेटपेश किया अंजीर में। 2. पथ तत्व 1 बनाते हैं, 3; 2, 4; 1, 5, 4; 2, 5, 3.

चावल। 2. न्यूनतम पथों का एक सेट।

सभी सर्किट तत्वों के लिए, FBGs ज्ञात हैं आर 1 , आर 2 , आर 3 , आर 4 , आर 5 और "खुले" प्रकार की उनकी संबंधित विफलता संभावनाएंक्यू 1 घंटा क्यू 5 , बिंदुओं के बीच एक श्रृंखला की उपस्थिति की संभावना निर्धारित करना आवश्यक है एकतथा में. चूंकि एक ही तत्व को दो समानांतर पथों में शामिल किया गया है, इसलिए गणना का परिणाम एक ऊपरी विश्वसनीयता अनुमान है।

आर में = 1- क्यू 13 ∙ क्यू 24 ∙ क्यू 154 ∙ क्यू 253 = 1- (1-आर 1 आर 3)(1-आर 2 आर 4)(1-आर 1 आर 5 आर 4)(1-आर 2 आर 5 आर 3)

न्यूनतम क्रॉस सेक्शन का निर्धारण करते समय, तत्वों की न्यूनतम संख्या का चयन किया जाता है, जिसमें से एक ऑपरेटिंग राज्य से एक निष्क्रिय स्थिति में स्थानांतरण सिस्टम की विफलता का कारण बनता है।

अनुभाग तत्वों के सही चयन के साथ, किसी भी तत्व की कार्यशील स्थिति में वापसी सिस्टम की कार्यशील स्थिति को पुनर्स्थापित करती है।

चूंकि प्रत्येक खंड की विफलता एक सिस्टम विफलता का कारण बनती है, पहले वाले श्रृंखला में जुड़े हुए हैं। प्रत्येक खंड की सीमाओं में, तत्व समानांतर में जुड़े हुए हैं, क्योंकि सिस्टम के काम करने के लिए, किसी भी अनुभाग तत्वों के संचालन योग्य स्थिति के लिए पर्याप्त है।

ब्रिज सर्किट के लिए न्यूनतम क्रॉस सेक्शन का आरेख अंजीर में दिखाया गया है। 3. चूंकि एक ही तत्व को दो खंडों में शामिल किया गया है, परिणामी अनुमान कम अनुमान है।

पीएन = पी 12 ∙ पी 34 ∙ पी 154 ∙ पी 253 = (1- क्यू 1 क्यू 2 )∙ (1- क्यू 3 क्यू 4 )∙ (1- क्यू 1 क्यू 5 क्यू 4 )∙ (1- क्यू 2 क्यू 5 क्यू 3 )

चावल। 3. न्यूनतम वर्गों का सेट

सिस्टम अपटाइम संभावना आर sफिर दोहरी असमानता का अनुमान लगाया जाता है

R in . के साथ R n R

इस प्रकार, यह विधि समानांतर और श्रृंखला सर्किट के रूप में एक मनमानी संरचना के साथ एक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करना संभव बनाती है। (न्यूनतम पथों और वर्गों को संकलित करते समय, किसी भी प्रणाली को तत्वों के समानांतर-धारावाहिक या श्रृंखला-समानांतर कनेक्शन के साथ संरचना में बदल दिया जाता है)। विधि सरल है, लेकिन सभी पथों और वर्गों की सटीक परिभाषा की आवश्यकता है। एपीसीएस सबसिस्टम की विश्वसनीयता की गणना में इसका व्यापक रूप से उपयोग किया गया है, विशेष रूप से सुरक्षा और तर्क नियंत्रण प्रणालियों के संबंध में। इसका उपयोग रिएक्टर पावर कंट्रोल सिस्टम में किया जाता है, जो एक दोषपूर्ण नियंत्रण सर्किट से दूसरे में स्विच करने की संभावना प्रदान करता है, जो एक स्टैंडबाय स्थिति में है।

सिस्टम की विश्वसनीयता का विश्लेषण करने के लिए तार्किक और संभाव्य तरीके

सिस्टम केवल दो राज्यों में हो सकता है: पूर्ण संचालन की स्थिति में ( पर= 1) और पूरी तरह से विफल होने की स्थिति में ( पर= 0)। यह माना जाता है कि प्रणाली की कार्रवाई निश्चित रूप से उसके तत्वों की कार्रवाई पर निर्भर है, अर्थात। परएक समारोह है एक्स 1 , एक्स 2 , … , एक्स मैं, … , एक्स एन. आइटम कर सकते हैं केवल दो असंगत अवस्थाओं में भी हो: पूर्ण संचालन क्षमता (एक्स मैं = 1) और पूर्ण विफलता (एक्स मैं = 0).

तर्क के बीजगणित का एक कार्य जो तत्वों की स्थिति को सिस्टम की स्थिति से संबंधित करता है पर (एक्स 1 , एक्स 2 ,…, एक्स एन) कहा जाता है स्वास्थ्य समारोहप्रणालीएफ(आप) = 1.

कहाँ पे मैं- एकाधिक संख्याओं के अंतर्गत आता है इसके अनुरूप
मैं-म्यू रास्ता।

कहाँ पे का अर्थ है दिए गए अनुभाग के अनुरूप संख्याओं का समूह।

प्रत्येक निरर्थक प्रणाली में सबसे छोटे पथों की एक सीमित संख्या होती है (मैं= 1, 2,…, एम ) और न्यूनतम क्रॉस सेक्शन (जे= 1, 2,…, एम).

इन अवधारणाओं का उपयोग करके, हम सिस्टम के काम करने की शर्तों को लिख सकते हैं।

1) सफल कामकाज के लिए सभी उपलब्ध सबसे छोटे रास्तों के संयोजन के रूप में।

;

2) सभी MCOs के निषेधों के संयोजन के रूप में

;

विधि का विचार बूलियन चर उत्पन्न करना हैएक्स मैंसी दी गई संभावनाअनुकरणीय एक इकाई की घटना, जिसे नकली प्रणाली के तार्किक संरचनात्मक कार्य में मनमाने रूप में प्रतिस्थापित किया जाता है, और फिर परिणाम की गणना की जाती है।

सकल एक्स 1 , एक्स 2 ,…, एक्स एनस्वतंत्र यादृच्छिक घटनाएँ जो एक पूर्ण समूह बनाती हैं, प्रत्येक घटना के घटित होने की प्रायिकताओं की विशेषता होती हैपी(एक्स मैं), तथा ।

अर्थ अनुकरणीय विफलता-मुक्त संचालन की संभावना के बराबर चुना जाता हैमैंवें सबसिस्टम। इस मामले में, गणना प्रक्रिया दोहराई जाती हैएन 0 नए, स्वतंत्र यादृच्छिक तर्क मूल्यों के साथ समयएक्स मैं(यह संख्या गिनता हैएन(टी) तार्किक संरचनात्मक कार्य के एकल मान)। रवैयाएन(टी)/ एन 0 अपटाइम की संभावना का एक सांख्यिकीय अनुमान है

कहाँ पे एन(टी) - समय के बिंदु तक त्रुटिपूर्ण रूप से काम करने की संख्याटीवस्तुओं, उनकी मूल संख्या के साथ।

यादृच्छिक बूलियन चर उत्पन्न करनाएक्स मैंएक के घटित होने की दी गई प्रायिकता के साथ आर मैंसभी आधुनिक कंप्यूटरों के गणितीय सॉफ्टवेयर में शामिल मानक कार्यक्रमों का उपयोग करके प्राप्त किए गए अंतराल में समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के आधार पर किया जाता है।

प्रश्नों और कार्यों को नियंत्रित करें

1. आईएस की विश्वसनीयता का आकलन करने की विधि क्या है, जहां सिस्टम के विफलता मुक्त संचालन की संभावना को परिभाषित किया गया है R in . के साथ R n R.

2. किन प्रणालियों की विश्वसनीयता की गणना करने के लिए पथों और वर्गों की विधि का उपयोग किया जाता है?

4. पुनर्प्राप्ति योग्य प्रणालियों की विश्वसनीयता संकेतक निर्धारित करने के लिए कौन से तरीके ज्ञात हैं?

5. संरचनात्मक रूप से एक ब्रिज सर्किट को न्यूनतम पथ और अनुभागों के एक सेट के रूप में प्रस्तुत करते हैं।

6. न्यूनतम पथ और न्यूनतम खंड को परिभाषित करें।

7. शाखित उपकरण के लिए स्वास्थ्य फलन लिखिए?

8. एक प्रदर्शन समारोह क्या है?

साहित्य: 1, 2, 3, 5, 6, 8.