रैखिक कार्य और उसके. रैखिक प्रकार्य

एक रैखिक फलन y=kx+b रूप का एक फलन है, जहां x स्वतंत्र चर है, k और b कोई संख्याएं हैं।
एक रैखिक फलन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है।

1. फ़ंक्शन ग्राफ़ बनाने के लिए,हमें फ़ंक्शन के ग्राफ़ से संबंधित दो बिंदुओं के निर्देशांक की आवश्यकता है। उन्हें ढूंढने के लिए, आपको दो x मान लेने होंगे, उन्हें फ़ंक्शन समीकरण में प्रतिस्थापित करना होगा, और संबंधित y मानों की गणना करने के लिए उनका उपयोग करना होगा।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y= x+2 को प्लॉट करने के लिए, x=0 और x=3 लेना सुविधाजनक है, फिर इन बिंदुओं के निर्देशांक y=2 और y=3 के बराबर होंगे। हमें अंक A(0;2) और B(3;3) मिलते हैं। आइए उन्हें कनेक्ट करें और फ़ंक्शन का ग्राफ़ प्राप्त करें y= x+2:

2. सूत्र y=kx+b में, संख्या k को आनुपातिकता गुणांक कहा जाता है:
यदि k>0, तो फलन y=kx+b बढ़ता है
यदि के
गुणांक बी ओए अक्ष के साथ फ़ंक्शन ग्राफ़ के विस्थापन को दर्शाता है:
यदि b>0, तो फ़ंक्शन y=kx+b का ग्राफ़ OY अक्ष के साथ b इकाइयों को ऊपर की ओर स्थानांतरित करके फ़ंक्शन y=kx के ग्राफ़ से प्राप्त किया जाता है
यदि बी
नीचे दिया गया चित्र फ़ंक्शन y=2x+3 के ग्राफ़ दिखाता है; y= ½ x+3; y=x+3

ध्यान दें कि इन सभी कार्यों में गुणांक k है शून्य के ऊपर,और कार्य हैं की बढ़ती।इसके अलावा, k का मान जितना अधिक होगा, OX अक्ष की सकारात्मक दिशा में सीधी रेखा के झुकाव का कोण उतना ही अधिक होगा।

सभी फ़ंक्शनों में b=3 - और हम देखते हैं कि सभी ग्राफ़ OY अक्ष को बिंदु (0;3) पर काटते हैं

अब फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर विचार करें y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

इस बार सभी कार्यों में गुणांक k है शून्य से भी कमऔर कार्य कम हो रहे हैं.गुणांक b=3, और ग्राफ़, पिछले मामले की तरह, ओए अक्ष को बिंदु (0;3) पर काटते हैं

फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर विचार करें y=2x+3; y=2x; y=2x-3

अब सभी फ़ंक्शन समीकरणों में गुणांक k 2 के बराबर हैं। और हमें तीन समानांतर रेखाएँ मिलीं।

लेकिन गुणांक b भिन्न हैं, और ये ग्राफ़ OY अक्ष को विभिन्न बिंदुओं पर काटते हैं:
फ़ंक्शन का ग्राफ y=2x+3 (b=3) बिंदु (0;3) पर OY अक्ष को काटता है
फ़ंक्शन y=2x (b=0) का ग्राफ़ OY अक्ष को बिंदु (0;0) - मूल बिंदु पर काटता है।
फ़ंक्शन y=2x-3 (b=-3) का ग्राफ़ OY अक्ष को बिंदु (0;-3) पर प्रतिच्छेद करता है

इसलिए, यदि हम गुणांक k और b के संकेतों को जानते हैं, तो हम तुरंत कल्पना कर सकते हैं कि फ़ंक्शन y=kx+b का ग्राफ़ कैसा दिखता है।
अगर क 0

अगर k>0 और b>0, तो फ़ंक्शन का ग्राफ y=kx+b इस तरह दिखता है:

अगर k>0 और b, तो फ़ंक्शन का ग्राफ y=kx+b इस तरह दिखता है:

अगर k, तो फ़ंक्शन y=kx+b का ग्राफ़ इस तरह दिखता है:

अगर क=0, फिर फ़ंक्शन y=kx+b फ़ंक्शन y=b में बदल जाता है और इसका ग्राफ़ इस तरह दिखता है:

फ़ंक्शन y=b के ग्राफ़ पर सभी बिंदुओं के निर्देशांक b के बराबर हैं यदि बी=0, फिर फ़ंक्शन का ग्राफ y=kx (प्रत्यक्ष आनुपातिकता) मूल से होकर गुजरता है:

3. आइए हम समीकरण x=a के ग्राफ़ को अलग से नोट करें।इस समीकरण का ग्राफ ओए अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है, जिसके सभी बिंदुओं का भुज x=a है।

उदाहरण के लिए, समीकरण x=3 का ग्राफ़ इस तरह दिखता है:
ध्यान!समीकरण x=a एक फ़ंक्शन नहीं है, इसलिए तर्क का एक मान फ़ंक्शन के विभिन्न मानों से मेल खाता है, जो किसी फ़ंक्शन की परिभाषा के अनुरूप नहीं है।

4. दो रेखाओं की समानता के लिए शर्त:

फ़ंक्शन y=k 1 x+b 1 का ग्राफ़ फ़ंक्शन y=k 2 x+b 2 के ग्राफ़ के समानांतर है यदि k 1 =k 2

5. दो सीधी रेखाओं के लंबवत होने की शर्त:

फ़ंक्शन y=k 1 x+b 1 का ग्राफ़ फ़ंक्शन y=k 2 x+b 2 के ग्राफ़ के लंबवत है यदि k 1 *k 2 =-1 या k 1 =-1/k 2

6. निर्देशांक अक्षों के साथ फ़ंक्शन y=kx+b के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु।

ओए अक्ष के साथ. ओए अक्ष से संबंधित किसी भी बिंदु का भुज शून्य के बराबर है। इसलिए, ओए अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु खोजने के लिए, आपको फ़ंक्शन के समीकरण में x के बजाय शून्य को प्रतिस्थापित करना होगा। हमें y=b मिलता है। अर्थात्, ओए अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक (0; बी) हैं।

OX अक्ष के साथ: OX अक्ष से संबंधित किसी भी बिंदु की कोटि शून्य है। इसलिए, OX अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु खोजने के लिए, आपको फ़ंक्शन के समीकरण में y के बजाय शून्य को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है। हमें 0=kx+b मिलता है। अत: x=-b/k. अर्थात्, OX अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक (-b/k;0) हैं:

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रैखिक प्रकार्यफॉर्म का एक फ़ंक्शन कहा जाता है वाई = केएक्स + बी, सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर परिभाषित। यहाँ क- ढलान (वास्तविक संख्या), बी – निःशुल्क पद (वास्तविक संख्या), एक्स- स्वतंत्र चर।

विशेष मामले में, यदि के = 0, हम एक स्थिर फलन प्राप्त करते हैं वाई = बी, जिसका ग्राफ निर्देशांक वाले बिंदु से गुजरने वाली ऑक्स अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है (0; बी).

अगर बी = 0, तो हमें फ़ंक्शन मिलता है वाई = केएक्स, जो है प्रत्यक्ष आनुपातिकता.

बी – खंड की लंबाई, जो मूल से गिनती करते हुए ओए अक्ष के साथ एक सीधी रेखा से कट जाता है।

गुणांक का ज्यामितीय अर्थ क – टिल्ट एंगलसीधे ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा में, वामावर्त माना जाता है।

एक रैखिक फलन के गुण:

1) एक रैखिक फलन की परिभाषा का क्षेत्र संपूर्ण वास्तविक अक्ष है;

2) अगर क ≠ 0, तो रैखिक फ़ंक्शन के मानों की सीमा संपूर्ण वास्तविक अक्ष है। अगर के = 0, तो रैखिक फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी में संख्या शामिल होती है बी;

3) एक रैखिक फलन की समता और विषमता गुणांकों के मानों पर निर्भर करती है कऔर बी.

ए) बी ≠ 0, के = 0,इस तरह, y = b – सम;

बी) बी = 0, के ≠ 0,इस तरह y = kx – विषम;

सी) बी ≠ 0, के ≠ 0,इस तरह y = kx + b - सामान्य रूप का कार्य;

डी) बी = 0, के = 0,इस तरह y = 0 - सम और विषम दोनों फलन।

4) एक रैखिक फलन में आवधिकता का गुण नहीं होता है;

5) निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:

बैल: y = kx + b = 0, x = -b/k, इस तरह (-बी/के; 0)- भुज अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु।

ओए: y = 0k + b = b, इस तरह (0; बी)- कोटि अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु।

नोट: यदि बी = 0और के = 0, फिर फ़ंक्शन आप = 0चर के किसी भी मान के लिए शून्य हो जाता है एक्स. अगर बी ≠ 0और के = 0, फिर फ़ंक्शन वाई = बीचर के किसी भी मूल्य के लिए गायब नहीं होता है एक्स.

6) चिह्न की स्थिरता का अंतराल गुणांक k पर निर्भर करता है।

ए) के > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

वाई = केएक्स + बी– सकारात्मक जब एक्ससे (-बी/के; +∞),

वाई = केएक्स + बी– नकारात्मक जब एक्ससे (-∞; -बी/के).

बी) क< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

वाई = केएक्स + बी– सकारात्मक जब एक्ससे (-∞; -बी/के),

वाई = केएक्स + बी– नकारात्मक जब एक्ससे (-बी/के; +∞).

सी) के = 0, बी > 0; वाई = केएक्स + बीसंपूर्ण परिभाषा सीमा पर सकारात्मक,

के = 0, बी< 0; y = kx + b परिभाषा की संपूर्ण श्रृंखला में नकारात्मक।

7) एक रैखिक फलन की एकरसता का अंतराल गुणांक पर निर्भर करता है क.

के > 0, इस तरह वाई = केएक्स + बीपरिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में वृद्धि होती है,

क< 0 , इस तरह वाई = केएक्स + बीपरिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में घट जाती है।

8) एक रैखिक फलन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है। एक सीधी रेखा बनाने के लिए दो बिंदुओं को जानना पर्याप्त है। निर्देशांक तल पर सीधी रेखा की स्थिति गुणांकों के मानों पर निर्भर करती है कऔर बी. नीचे एक तालिका है जो इसे स्पष्ट रूप से दर्शाती है।

एक रैखिक फलन की परिभाषा

आइए हम एक रैखिक फलन की परिभाषा का परिचय दें

परिभाषा

$y=kx+b$ के रूप का एक फ़ंक्शन, जहां $k$ शून्येतर है, एक रैखिक फ़ंक्शन कहलाता है।

एक रैखिक फलन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है। संख्या $k$ को रेखा का ढलान कहा जाता है।

जब $b=0$ रैखिक फ़ंक्शन को प्रत्यक्ष आनुपातिकता वाला फ़ंक्शन $y=kx$ कहा जाता है।

चित्र 1 पर विचार करें.

चावल। 1. रेखा की ढलान का ज्यामितीय अर्थ

त्रिभुज ABC पर विचार करें। हम देखते हैं कि $ВС=kx_0+b$. आइए $Ox$ अक्ष के साथ रेखा $y=kx+b$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:

\ \

तो $AC=x_0+\frac(b)(k)$. आइए इन भुजाओं का अनुपात ज्ञात करें:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

दूसरी ओर, $\frac(BC)(AC)=tg\कोण A$.

इस प्रकार, हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

निष्कर्ष

गुणांक $k$ का ज्यामितीय अर्थ। सीधी रेखा $k$ का कोणीय गुणांक $Ox$ अक्ष पर इस सीधी रेखा के झुकाव कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है।

रैखिक फलन $f\left(x\right)=kx+b$ और उसके ग्राफ का अध्ययन

सबसे पहले, फ़ंक्शन $f\left(x\right)=kx+b$ पर विचार करें, जहां $k > 0$।

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. नतीजतन, यह फ़ंक्शन परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में बढ़ता है। कोई चरम बिंदु नहीं हैं.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. ग्राफ़ (चित्र 2)।

चावल। 2. $k > 0$ के लिए फ़ंक्शन $y=kx+b$ के ग्राफ़।

अब फ़ंक्शन $f\left(x\right)=kx$ पर विचार करें, जहां $k

1. परिभाषा का क्षेत्र सभी संख्याएँ हैं।
2. मानों की श्रेणी सभी संख्याएँ हैं।
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. फलन न तो सम है और न ही विषम है।
4. $x=0 के लिए,f\left(0\right)=b$. जब $y=0.0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ और $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. इसलिए, फ़ंक्शन में कोई विभक्ति बिंदु नहीं है।
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. ग्राफ़ (चित्र 3)।

संख्यात्मक फ़ंक्शन की अवधारणा. किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने की विधियाँ. कार्यों के गुण.

एक संख्यात्मक फ़ंक्शन एक ऐसा फ़ंक्शन है जो एक संख्यात्मक स्थान (सेट) से दूसरे संख्यात्मक स्थान (सेट) तक कार्य करता है।

किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने के तीन मुख्य तरीके: विश्लेषणात्मक, सारणीबद्ध और ग्राफिकल।

1. विश्लेषणात्मक.

किसी सूत्र का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने की विधि को विश्लेषणात्मक कहा जाता है। मैट में यह विधि प्रमुख है। विश्लेषण, लेकिन व्यवहार में यह सुविधाजनक नहीं है।

2. किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने की सारणीबद्ध विधि।

किसी फ़ंक्शन को तर्क मान और उनके संबंधित फ़ंक्शन मान वाली तालिका का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है।

3. किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने की ग्राफिकल विधि।

एक फ़ंक्शन y=f(x) को ग्राफ़िक रूप से दिया गया माना जाता है यदि उसका ग्राफ़ बनाया गया हो। किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने की यह विधि फ़ंक्शन मानों को केवल लगभग निर्धारित करना संभव बनाती है, क्योंकि ग्राफ़ बनाना और उस पर फ़ंक्शन मान ढूंढना त्रुटियों से जुड़ा होता है।

किसी फ़ंक्शन के गुण जिन्हें उसका ग्राफ़ बनाते समय ध्यान में रखा जाना चाहिए:

1) फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र।

फ़ंक्शन का डोमेन,अर्थात्, वे मान जो फ़ंक्शन F =y (x) का तर्क x ले सकते हैं।

2) कार्यों के बढ़ने और घटने का अंतराल।

कार्य को बढ़ाना कहा जाता हैविचाराधीन अंतराल पर, यदि तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन y(x) के बड़े मान से मेल खाता है। इसका मतलब यह है कि यदि दो मनमाने तर्क x 1 और x 2 विचाराधीन अंतराल से लिए गए हैं, और x 1 > x 2, तो y(x 1) > y(x 2)।

फ़ंक्शन को घटते हुए कहा जाता हैविचाराधीन अंतराल पर, यदि तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन y(x) के छोटे मान से मेल खाता है। इसका मतलब यह है कि यदि दो मनमाने तर्क x 1 और x 2 को विचाराधीन अंतराल से लिया जाता है, और x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) फ़ंक्शन शून्य।

वे बिंदु जिन पर फ़ंक्शन F = y (x) भुज अक्ष को प्रतिच्छेद करता है (वे समीकरण y(x) = 0 को हल करके प्राप्त किए जाते हैं) फ़ंक्शन के शून्य कहलाते हैं।

4) सम और विषम कार्य।

फ़ंक्शन को सम कहा जाता है,यदि दायरे से सभी तर्क मानों के लिए

y(-x) = y(x).

एक सम फलन का ग्राफ कोटि के प्रति सममित होता है।

फ़ंक्शन को विषम कहा जाता है, यदि परिभाषा के क्षेत्र से तर्क के सभी मूल्यों के लिए

y(-x) = -y(x).

एक सम फलन का ग्राफ मूल बिन्दु के प्रति सममित होता है।

कई फलन न तो सम हैं और न ही विषम।

5) समारोह की आवधिकता.

फ़ंक्शन को आवधिक कहा जाता है,यदि कोई संख्या P ऐसी है जो परिभाषा के क्षेत्र से तर्क के सभी मानों के लिए है

वाई(एक्स + पी) = वाई(एक्स).

रैखिक फलन, उसके गुण और ग्राफ़।

एक रैखिक फलन प्रपत्र का एक फलन है वाई = केएक्स + बी, सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर परिभाषित।

क- ढलान (वास्तविक संख्या)

बी- डमी टर्म (वास्तविक संख्या)

एक्स- स्वतंत्र चर।

· विशेष मामले में, यदि k = 0 है, तो हमें एक स्थिर फलन y = b प्राप्त होता है, जिसका ग्राफ निर्देशांक (0; b) वाले बिंदु से गुजरने वाली ऑक्स अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है।

· यदि b = 0, तो हमें फलन y = kx प्राप्त होता है, जो प्रत्यक्ष आनुपातिकता है।

o गुणांक b का ज्यामितीय अर्थ उस खंड की लंबाई है जिसे सीधी रेखा मूल से गिनती करते हुए ओय अक्ष के साथ काटती है।

o गुणांक k का ज्यामितीय अर्थ ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा में सीधी रेखा के झुकाव का कोण है, जिसकी गणना वामावर्त की जाती है।

एक रैखिक फलन के गुण:

1) एक रैखिक फलन की परिभाषा का क्षेत्र संपूर्ण वास्तविक अक्ष है;

2) यदि k ≠ 0, तो रैखिक फलन के मानों की सीमा संपूर्ण वास्तविक अक्ष है।

यदि k = 0, तो रैखिक फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी में संख्या b शामिल होती है;

3) एक रैखिक फलन की समता और विषमता गुणांक k और b के मानों पर निर्भर करती है।

a) b ≠ 0, k = 0, इसलिए, y = b - सम;

बी) बी = 0, के ≠ 0, इसलिए वाई = केएक्स - विषम;

ग) b ≠ 0, k ≠ 0, इसलिए y = kx + b सामान्य रूप का एक फलन है;

d) b = 0, k = 0, इसलिए y = 0 एक सम और एक विषम फलन दोनों है।

4) एक रैखिक फलन में आवधिकता का गुण नहीं होता है;

5) निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:

बैल: y = kx + b = 0, x = -b/k, इसलिए (-b/k; 0) x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु है।

ओए: y = 0k + b = b, इसलिए (0; b) कोटि के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु है।

टिप्पणी। यदि b = 0 और k = 0 है, तो चर x के किसी भी मान के लिए फ़ंक्शन y = 0 गायब हो जाता है। यदि b ≠ 0 और k = 0 है, तो चर x के किसी भी मान के लिए फ़ंक्शन y = b गायब नहीं होता है।

6) अचर चिह्न के अंतराल गुणांक k पर निर्भर करते हैं।

ए) के > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – (-b/k; +∞) से x पर धनात्मक,

y = kx + b – (-∞; -b/k) से x के लिए ऋणात्मक।

बी)के< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – (-∞; -b/k) से x पर धनात्मक,

y = kx + b – (-b/k; +∞) के x के लिए ऋणात्मक।

सी) के = 0, बी > 0; y = kx + b परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में सकारात्मक है,

के = 0, बी< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) एक रैखिक फलन का एकरसता अंतराल गुणांक k पर निर्भर करता है।

k > 0, इसलिए परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में y = kx + b बढ़ता है,

क< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. फलन y = ax 2 + bx + c, इसके गुण और ग्राफ।

फलन y = ax 2 + bx + c (a, b, c अचर हैं, a ≠ 0) कहलाता है द्विघातसरलतम स्थिति में, y = ax 2 (b = c = 0) ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक घुमावदार रेखा है। फ़ंक्शन y = ax 2 के ग्राफ़ के रूप में कार्य करने वाला वक्र एक परवलय है। प्रत्येक परवलय में सममिति का एक अक्ष कहलाता है परवलय की धुरी.किसी परवलय के अपनी धुरी के साथ प्रतिच्छेदन के बिंदु O को कहा जाता है परवलय का शीर्ष.

ग्राफ़ का निर्माण निम्नलिखित योजना के अनुसार किया जा सकता है: 1) परवलय के शीर्ष के निर्देशांक x 0 = -b/2a ज्ञात करें; आप 0 = आप(एक्स 0). 2) हम परवलय से संबंधित कई और बिंदुओं का निर्माण करते हैं; निर्माण करते समय, हम सीधी रेखा x = -b/2a के सापेक्ष परवलय की समरूपता का उपयोग कर सकते हैं। 3) संकेतित बिंदुओं को एक चिकनी रेखा से जोड़ें। उदाहरण। फ़ंक्शन b = x 2 + 2x - 3 का ग्राफ़ बनाएं।समाधान। फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय है, जिसकी शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं। परवलय के शीर्ष का भुज x 0 = 2/(2 ∙1) = -1, इसके निर्देशांक y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. तो, परवलय का शीर्ष बिंदु (-1; -4) है। आइए कई बिंदुओं के लिए मानों की एक तालिका संकलित करें जो परवलय की समरूपता के अक्ष के दाईं ओर स्थित हैं - सीधी रेखा x = -1। कार्य गुण.