निर्देशांक और सदिश. व्यापक गाइड (2020)

भुज और कोटि अक्ष कहलाते हैं COORDINATES वेक्टर. वेक्टर निर्देशांक आमतौर पर फॉर्म में दर्शाए जाते हैं (एक्स, वाई), और वेक्टर स्वयं इस प्रकार है: =(x, y).

द्वि-आयामी समस्याओं के लिए वेक्टर निर्देशांक निर्धारित करने का सूत्र।

द्वि-आयामी समस्या के मामले में, ज्ञात के साथ एक वेक्टर बिंदुओं के निर्देशांक ए(x 1;y 1)और बी(एक्स 2 ; य 2 ) गणना की जा सकती है:

= (एक्स 2 - एक्स 1; वाई 2 - य 1).

स्थानिक समस्याओं के लिए वेक्टर निर्देशांक निर्धारित करने का सूत्र।

एक स्थानिक समस्या के मामले में, ज्ञात के साथ एक वेक्टर बिंदुओं के निर्देशांकए (x 1;y 1;जेड 1 ) और बी (एक्स 2 ; य 2 ; जेड 2 ) सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

= (एक्स 2 - एक्स 1 ; य 2 - य 1 ; जेड 2 - जेड 1 ).

निर्देशांक वेक्टर का व्यापक विवरण प्रदान करते हैं, क्योंकि निर्देशांक का उपयोग करके स्वयं वेक्टर का निर्माण करना संभव है। निर्देशांक जानने के बाद, गणना करना आसान है और वेक्टर लंबाई. (नीचे संपत्ति 3)।

वेक्टर निर्देशांक के गुण.

1. कोई भी समान सदिशएक एकल समन्वय प्रणाली में है समान निर्देशांक.

2. निर्देशांक संरेख सदिशआनुपातिक. बशर्ते कि कोई भी सदिश शून्य न हो।

3. किसी भी सदिश की लंबाई का वर्ग उसके वर्गों के योग के बराबर होता है COORDINATES.

4.सर्जरी के दौरान वेक्टर गुणनपर वास्तविक संख्याइसके प्रत्येक निर्देशांक को इस संख्या से गुणा किया जाता है।

5. सदिश जोड़ते समय, हम संगत के योग की गणना करते हैं वेक्टर निर्देशांक.

6. अदिश उत्पाददो सदिश उनके संगत निर्देशांकों के गुणनफल के योग के बराबर होते हैं।

12. एक सदिश की लंबाई, एक खंड की लंबाई, सदिशों के बीच का कोण, सदिशों की लंबवतता की स्थिति।

वेक्टर - यह अंतरिक्ष या समतल में दो बिंदुओं को जोड़ने वाला एक निर्देशित खंड है।वेक्टरों को आमतौर पर या तो छोटे अक्षरों से या आरंभ और समाप्ति बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है। आमतौर पर शीर्ष पर एक डैश होता है।

उदाहरण के लिए, बिंदु से निर्देशित एक वेक्टर एमुद्दे पर बी, नामित किया जा सकता है ए ,

शून्य सदिश 0 या 0 - यह एक वेक्टर है जिसका आरंभ और अंत बिंदु मेल खाते हैं, अर्थात। ए = बी. यहाँ से, 0 = – 0 .

वेक्टर लंबाई (मापांक)ए इसका प्रतिनिधित्व करने वाले खंड की लंबाई है एबी, द्वारा निरूपित |ए | . विशेष रूप से, | 0 | = 0.

वैक्टर कहलाते हैं समरेख, यदि उनके निर्देशित खंड समानांतर रेखाओं पर स्थित हों। संरेख सदिश ए और बी नामित हैं ए || बी .

तीन या अधिक वैक्टर कहलाते हैं समतलीय, यदि वे एक ही तल में हों।

वेक्टर जोड़. चूँकि सदिश हैं निर्देशितखंड, फिर उनका जोड़ किया जा सकता है ज्यामितीय. (वेक्टरों का बीजगणितीय जोड़ नीचे पैराग्राफ "यूनिट ऑर्थोगोनल वैक्टर" में वर्णित है)। चलिए ऐसा दिखावा करते हैं

ए = एबीऔर बी = सीडी,

फिर वेक्टर __ __

ए + बी = अब+ सीडी

दो ऑपरेशनों का परिणाम है:

ए)समानांतर स्थानांतरणसदिशों में से एक ताकि उसका आरंभिक बिंदु दूसरे सदिश के अंतिम बिंदु से मेल खाए;

बी)ज्यामितीय जोड़, अर्थात। निश्चित वेक्टर के शुरुआती बिंदु से स्थानांतरित वेक्टर के अंतिम बिंदु तक जाने वाले परिणामी वेक्टर का निर्माण करना।

सदिशों का घटाव. सबट्रेंड वेक्टर को इसके विपरीत वाले से प्रतिस्थापित करके इस ऑपरेशन को पिछले वाले में घटा दिया गया है: ए – बी =ए + (– बी ) .

जोड़ के नियम.

मैं। ए + बी = बी + ए (संक्रमणकालीन कानून)।

द्वितीय. (ए + बी ) + सी = ए + (बी + सी ) (संयुक्त कानून)।

तृतीय. ए + 0 = ए .

चतुर्थ. ए + (– ए ) = 0 .

किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा करने के नियम।

मैं। 1 · ए = ए , 0 · ए = 0 , एम· 0 = 0 , (– 1) · ए = – ए .

द्वितीय. एमए = ए एम,| एमए | = | एम | · | ए | .

तृतीय. एम(एनए ) = (एमएन)ए . (सी ओ एम बी ई टी ए एल

संख्या से गुणन का नियम).

चतुर्थ. (म+न) ए = एमए +एनए , (वितरणात्मक

एम(ए + बी ) = एमए +एमबी . संख्या से गुणन का नियम).

वैक्टर का डॉट उत्पाद। __ __

गैर-शून्य सदिशों के बीच का कोण अबऔर सीडी- यह वेक्टर द्वारा बनाया गया कोण है जब उन्हें बिंदुओं के संरेखित होने तक समानांतर में स्थानांतरित किया जाता है एऔर C. वैक्टर का डॉट उत्पादए और बी के बराबर संख्या कहलाती है उनकी लंबाई और उनके बीच के कोण की कोज्या का गुणनफल:

यदि सदिशों में से एक शून्य है, तो परिभाषा के अनुसार उनका अदिश गुणनफल शून्य के बराबर है:

(ए, 0 ) = ( 0 , बी ) = 0 .

यदि दोनों सदिश शून्येतर हैं, तो उनके बीच के कोण की कोज्या की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

अदिश उत्पाद ( ए , ए ), के बराबर | ए | 2, कहा जाता है अदिश वर्ग.वेक्टर लंबाई ए और इसका अदिश वर्ग निम्न से संबंधित है:

दो वैक्टर का डॉट उत्पाद:

- सकारात्मक, यदि सदिशों के बीच का कोण है मसालेदार;

- नकारात्मक,यदि सदिशों के बीच का कोण कुंद.

तब दो गैर-शून्य सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य के बराबर होता है और केवल तभी जब उनके बीच का कोण सीधा हो, यानी। जब ये सदिश लंबवत (ऑर्थोगोनल) हों:

अदिश उत्पाद के गुण. किसी भी वेक्टर के लिए ए, बी, सी और कोई भी संख्या एमनिम्नलिखित संबंध मान्य हैं:

मैं। (ए, बी ) = (बी ० ए ) . (संक्रमणकालीन कानून)

द्वितीय. (एमए, बी ) = एम(ए, बी ) .

तृतीय.(ए+बी,सी ) = (ए, सी ) + (बी, सी ). (वितरणात्मक कानून)

यूनिट ऑर्थोगोनल वैक्टर. आप किसी भी आयताकार समन्वय प्रणाली में प्रवेश कर सकते हैं इकाई जोड़ीवार ऑर्थोगोनल वैक्टरमैं , जे और क निर्देशांक अक्षों से संबद्ध: मैं – धुरी के साथ एक्स, जे – धुरी के साथ वाईऔर क – धुरी के साथ जेड. इस परिभाषा के अनुसार:

(मैं , जे ) = (मैं , क ) = (जे , क ) = 0,

| मैं | =| जे | =| के | = 1.

कोई भी वेक्टर ए इन वैक्टरों के माध्यम से एक अनोखे तरीके से व्यक्त किया जा सकता है: ए = एक्समैं+ यजे+ जेडक . रिकॉर्डिंग का दूसरा रूप: ए = (एक्स, वाई, जेड). यहाँ एक्स, य, z - निर्देशांकवेक्टर ए इस समन्वय प्रणाली में. यूनिट ऑर्थोगोनल वैक्टर के अंतिम संबंध और गुणों के अनुसार मैं, जे , क दो सदिशों का अदिश गुणनफल अलग-अलग ढंग से व्यक्त किया जा सकता है।

होने देना ए = (एक्स, वाई, जेड); बी = (यू, वी, डब्ल्यू). तब ( ए, बी ) = जू + यव + zw.

दो सदिशों का अदिश गुणनफल संगत निर्देशांकों के गुणनफल के योग के बराबर होता है।

वेक्टर लंबाई (मापांक) ए = (एक्स, य, जेड ) के बराबर है:

इसके अलावा, अब हमारे पास आचरण करने का अवसर है बीजगणितीयसदिशों पर संचालन, अर्थात् सदिशों का जोड़ और घटाव, निर्देशांक का उपयोग करके किया जा सकता है:

ए+ बी = (एक्स + यू, वाई + वी, जेड + डब्ल्यू) ;

ए – बी = (एक्स–तुम, तुम– वी, जेड–डब्ल्यू) .

वैक्टर का क्रॉस उत्पाद। वेक्टर कलाकृति [ए, बी ] वैक्टरए औरबी (इस क्रम में) को वेक्टर कहा जाता है:

वेक्टर की लंबाई के लिए एक और सूत्र है [ ए, बी ] :

| [ ए, बी ] | = | ए | | बी | पाप( ए, बी ) ,

अर्थात। लंबाई ( मापांक ) सदिशों का सदिश गुणनफलए औरबी इन सदिशों की लंबाई (मॉड्यूल) और उनके बीच के कोण की ज्या के गुणनफल के बराबर है।दूसरे शब्दों में: वेक्टर की लंबाई (मापांक)।[ ए, बी ] संख्यात्मक रूप से सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर ए औरबी .

एक वेक्टर उत्पाद के गुण.

मैं।वेक्टर [ ए, बी ] लंबवत (ऑर्थोगोनल)दोनों वेक्टर ए और बी .

(कृपया इसे साबित करें!)

द्वितीय.[ ए, बी ] = – [बी ० ए ] .

तृतीय. [ एमए, बी ] = एम[ए, बी ] .

चतुर्थ. [ ए+बी,सी ] = [ ए, सी ] + [ बी, सी ] .

वी [ ए, [ बी, सी ] ] = बी (एसी ) – सी (ए, बी ) .

VI. [ [ ए, बी ] , सी ] = बी (एसी ) – ए (बी, सी ) .

संरेखता के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त वैक्टर ए = (एक्स, वाई, जेड) और बी = (यू, वी, डब्ल्यू) :

समतलीयता के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त वैक्टर ए = (एक्स, वाई, जेड), बी = (यू, वी, डब्ल्यू) और सी = (पी, क्यू, आर) :

उदाहरण वेक्टर दिए गए हैं: ए = (1, 2, 3) और बी = (– 2 , 0 ,4).

उनके बिंदु और क्रॉस उत्पाद और कोण की गणना करें

इन वैक्टरों के बीच.

समाधान। उपयुक्त सूत्रों (ऊपर देखें) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

ए)। अदिश उत्पाद:

(ए, बी ) = 1 · (-2) + 2 · 0 + 3 · 4 = 10 ;

बी)। वेक्टर उत्पाद:

गणित की कई समस्याओं के लिए वेक्टर के निर्देशांक ढूँढना एक काफी सामान्य स्थिति है। वेक्टर निर्देशांक खोजने की क्षमता आपको समान विषयों के साथ अन्य, अधिक जटिल समस्याओं में मदद करेगी। इस लेख में हम वेक्टर निर्देशांक और कई समस्याओं को खोजने के सूत्र को देखेंगे।

एक समतल में एक सदिश के निर्देशांक ज्ञात करना

हवाई जहाज़ क्या है? एक समतल को एक द्वि-आयामी स्थान माना जाता है, एक ऐसा स्थान जिसमें दो आयाम (x आयाम और y आयाम) होते हैं। उदाहरण के लिए, कागज़ चपटा होता है। मेज की सतह समतल है. कोई भी गैर-आयतन आकृति (वर्ग, त्रिभुज, समलंब) भी एक समतल है। इस प्रकार, यदि समस्या कथन में आपको किसी समतल पर स्थित वेक्टर के निर्देशांक खोजने की आवश्यकता है, तो हमें तुरंत x और y के बारे में याद आ जाता है। आप ऐसे वेक्टर के निर्देशांक इस प्रकार पा सकते हैं: वेक्टर के निर्देशांक AB = (xB – xA; yB – xA)। सूत्र दर्शाता है कि आपको प्रारंभिक बिंदु के निर्देशांक को अंतिम बिंदु के निर्देशांक से घटाने की आवश्यकता है।

उदाहरण:

• वेक्टर सीडी में प्रारंभिक (5; 6) और अंतिम (7; 8) निर्देशांक हैं।
• स्वयं वेक्टर के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
• उपरोक्त सूत्र का उपयोग करते हुए, हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति मिलती है: सीडी = (7-5; 8-6) = (2; 2)।
• इस प्रकार, सीडी वेक्टर के निर्देशांक = (2; 2)।
• तदनुसार, x निर्देशांक दो के बराबर है, y निर्देशांक भी दो है।

अंतरिक्ष में एक वेक्टर के निर्देशांक ढूँढना

अंतरिक्ष क्या है? अंतरिक्ष पहले से ही एक त्रि-आयामी आयाम है, जहां 3 निर्देशांक दिए गए हैं: x, y, z। यदि आपको अंतरिक्ष में स्थित एक वेक्टर खोजने की आवश्यकता है, तो सूत्र व्यावहारिक रूप से नहीं बदलता है। केवल एक निर्देशांक जोड़ा गया है. एक वेक्टर खोजने के लिए, आपको शुरुआत के निर्देशांक को अंतिम निर्देशांक से घटाना होगा। एबी = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)

उदाहरण:

• वेक्टर DF में प्रारंभिक (2; 3; 1) और अंतिम (1; 5; 2) हैं।
• उपरोक्त सूत्र को लागू करने पर, हम पाते हैं: वेक्टर निर्देशांक DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1)।
• याद रखें, निर्देशांक मान ऋणात्मक हो सकता है, कोई समस्या नहीं है।

वेक्टर निर्देशांक ऑनलाइन कैसे खोजें?

यदि किसी कारण से आप स्वयं निर्देशांक नहीं ढूंढना चाहते हैं, तो आप ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं। आरंभ करने के लिए, वेक्टर आयाम का चयन करें. एक वेक्टर का आयाम उसके आयामों के लिए जिम्मेदार होता है। आयाम 3 का अर्थ है कि वेक्टर अंतरिक्ष में है, आयाम 2 का अर्थ है कि यह समतल पर है। इसके बाद, बिंदुओं के निर्देशांक को उपयुक्त फ़ील्ड में डालें और प्रोग्राम आपके लिए वेक्टर के निर्देशांक स्वयं निर्धारित करेगा। सब कुछ बहुत सरल है.

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इस विषय का अच्छी तरह से अध्ययन करने की अनुशंसा की जाती है, क्योंकि वेक्टर की अवधारणा न केवल गणित में, बल्कि भौतिकी में भी पाई जाती है। सूचना प्रौद्योगिकी संकाय के छात्र भी वैक्टर के विषय का अध्ययन करते हैं, लेकिन अधिक जटिल स्तर पर।

1. एक वेक्टर की परिभाषा. वेक्टर लंबाई. संरेखता, सदिशों की समतलीयता।

वेक्टर एक निर्देशित खंड है. एक वेक्टर की लंबाई या मापांक संबंधित निर्देशित खंड की लंबाई है।

वेक्टर मॉड्यूल एद्वारा चिह्नित । वेक्टर एइकाई कहलाती है यदि . यदि सदिश एक ही रेखा के समानांतर हों तो उन्हें संरेख कहा जाता है। यदि सदिश एक ही तल के समानांतर हों तो उन्हें समतलीय कहा जाता है।

2. किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा करना। संचालन गुण.

किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा करने पर एक विपरीत दिशा वाला सदिश प्राप्त होता है जो दोगुना लंबा होता है। किसी सदिश को निर्देशांक रूप में किसी संख्या से गुणा करना सभी निर्देशांकों को इस संख्या से गुणा करके किया जाता है:

परिभाषा के आधार पर, हम संख्या से गुणा किए गए वेक्टर के मापांक के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:

संख्याओं के समान, एक वेक्टर को स्वयं में जोड़ने की प्रक्रिया को किसी संख्या से गुणा करके लिखा जा सकता है:

और सदिशों के घटाव को जोड़ और गुणा के माध्यम से फिर से लिखा जा सकता है:

इस तथ्य के आधार पर कि गुणा करने से वेक्टर की लंबाई नहीं बदलती है, बल्कि केवल दिशा बदलती है, और वेक्टर की परिभाषा को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

3. सदिशों का योग, सदिशों का घटाव।

समन्वय प्रतिनिधित्व में, योग वेक्टर शब्दों के संबंधित निर्देशांकों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है:

ज्यामितीय रूप से एक योग वेक्टर का निर्माण करने के लिए, विभिन्न नियमों (विधियों) का उपयोग किया जाता है, लेकिन वे सभी एक ही परिणाम देते हैं। समस्या के समाधान के लिए किसी न किसी नियम का प्रयोग उचित है।

त्रिभुज नियम

स्थानांतरण के रूप में वेक्टर की समझ से त्रिभुज नियम सबसे स्वाभाविक रूप से अनुसरण करता है। यह स्पष्ट है कि एक निश्चित बिंदु पर क्रमिक रूप से दो स्थानांतरणों को लागू करने का परिणाम एक बार में इस नियम के अनुरूप एक स्थानांतरण को लागू करने के समान होगा। नियम के अनुसार दो वेक्टर जोड़ना त्रिकोणइन दोनों वैक्टरों को स्वयं के समानांतर स्थानांतरित किया जाता है ताकि उनमें से एक की शुरुआत दूसरे के अंत के साथ मेल खाए। फिर योग वेक्टर परिणामी त्रिभुज की तीसरी भुजा द्वारा दिया जाता है, और इसकी शुरुआत पहले वेक्टर की शुरुआत के साथ मेल खाती है, और इसका अंत दूसरे वेक्टर के अंत के साथ मेल खाता है।

इस नियम को किसी भी संख्या में वैक्टरों को जोड़ने के लिए सीधे और स्वाभाविक रूप से सामान्यीकृत किया जा सकता है टूटा हुआ लाइन नियम:

बहुभुज नियम

दूसरे वेक्टर की शुरुआत पहले के अंत के साथ मेल खाती है, तीसरे की शुरुआत दूसरे के अंत के साथ मेल खाती है, और इसी तरह, वैक्टर का योग एक वेक्टर है, शुरुआत पहले की शुरुआत के साथ मेल खाती है, और अंत वें के अंत के साथ मेल खाता है (अर्थात, यह टूटी हुई रेखा को बंद करने वाले एक निर्देशित खंड द्वारा दर्शाया गया है)। इसे टूटी हुई रेखा नियम भी कहा जाता है।

समांतर चतुर्भुज नियम

दो वैक्टर जोड़ने के लिए और नियम के अनुसार चतुर्भुजइन दोनों वैक्टरों को स्वयं के समानांतर स्थानांतरित किया जाता है ताकि उनकी उत्पत्ति मेल खाए। फिर योग वेक्टर उनके सामान्य मूल से शुरू करके, उन पर बने समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा दिया जाता है। (त्रिभुज नियम का उपयोग करते समय यह देखना आसान है कि यह विकर्ण त्रिभुज की तीसरी भुजा से मेल खाता है)।

समांतर चतुर्भुज नियम विशेष रूप से सुविधाजनक होता है जब योग वेक्टर को उसी बिंदु पर तुरंत लागू करने की आवश्यकता होती है जिस पर दोनों पद लागू होते हैं - यानी, सभी तीन वैक्टरों को एक सामान्य उत्पत्ति के रूप में चित्रित करना।

वेक्टर योग मापांक

दो सदिशों के योग का मापांकका उपयोग करके गणना की जा सकती है कोसाइन प्रमेय:

सदिशों के बीच के कोण की कोज्या कहाँ है?

यदि सदिशों को त्रिभुज नियम के अनुसार दर्शाया गया है और कोण को चित्र के अनुसार लिया गया है - त्रिभुज की भुजाओं के बीच - जो सदिशों के बीच के कोण की सामान्य परिभाषा से मेल नहीं खाता है, और इसलिए उपरोक्त कोण के साथ मेल नहीं खाता है सूत्र, तो अंतिम पद एक ऋण चिह्न प्राप्त कर लेता है, जो इसके प्रत्यक्ष सूत्रीकरण में कोसाइन प्रमेय से मेल खाता है।

सदिशों की मनमानी संख्या के योग के लिएएक समान सूत्र लागू होता है, जिसमें कोसाइन के साथ अधिक पद होते हैं: सारांशित सेट से वैक्टर की प्रत्येक जोड़ी के लिए एक ऐसा शब्द मौजूद होता है। उदाहरण के लिए, तीन वैक्टरों के लिए सूत्र इस तरह दिखता है:

वेक्टर घटाव

दो सदिश और उनका अंतर सदिश

निर्देशांक रूप में अंतर प्राप्त करने के लिए, आपको सदिशों के संगत निर्देशांकों को घटाना होगा:

एक अंतर वेक्टर प्राप्त करने के लिए, वेक्टर की शुरुआत जुड़ी हुई है और वेक्टर की शुरुआत अंत होगी, और अंत अंत होगा। यदि हम इसे वेक्टर बिंदुओं का उपयोग करके लिखते हैं, तो।

वेक्टर अंतर मॉड्यूल

तीन सदिश, जोड़ की तरह, एक त्रिभुज बनाते हैं, और अंतर मॉड्यूल के लिए अभिव्यक्ति समान है:

सदिशों के बीच के कोण की कोज्या कहाँ है?

योग के मापांक के सूत्र से अंतर कोज्या के सामने के चिह्न में है; इस मामले में, आपको सावधानीपूर्वक निगरानी करने की आवश्यकता है कि कौन सा कोण लिया गया है (बीच के कोण के साथ योग के मापांक के सूत्र का संस्करण) त्रिभुज नियम के अनुसार योग करने पर त्रिभुज की भुजाओं का अंतर मापांक के लिए इस सूत्र से भिन्न नहीं होता है, लेकिन आपको यह ध्यान रखना होगा कि यहां अलग-अलग कोण लिए गए हैं: योग के मामले में, कोण है तब लिया जाता है जब वेक्टर को वेक्टर के अंत में स्थानांतरित किया जाता है; जब एक अंतर मॉडल मांगा जाता है, तो एक बिंदु पर लागू वैक्टर के बीच का कोण लिया जाता है; मापांक के लिए दिए गए अभिव्यक्ति के समान कोण का उपयोग करके योग के मापांक के लिए अभिव्यक्ति अंतर का, कोसाइन के सामने चिह्न में अंतर होता है)।

सबसे पहले, हमें वेक्टर की अवधारणा को समझने की आवश्यकता है। एक ज्यामितीय वेक्टर की परिभाषा पेश करने के लिए, आइए याद रखें कि एक खंड क्या है। आइए निम्नलिखित परिभाषा का परिचय दें।

परिभाषा 1

खंड एक रेखा का एक भाग है जिसमें बिंदुओं के रूप में दो सीमाएँ होती हैं।

एक खंड में 2 दिशाएँ हो सकती हैं। दिशा को दर्शाने के लिए, हम खंड की एक सीमा को उसकी शुरुआत कहेंगे, और दूसरी सीमा को उसका अंत कहेंगे। खंड के आरंभ से अंत तक दिशा का संकेत दिया गया है।

परिभाषा 2

एक वेक्टर या निर्देशित खंड एक ऐसा खंड होगा जिसके लिए यह ज्ञात हो कि खंड की कौन सी सीमा को शुरुआत माना जाता है और कौन सी इसका अंत है।

पदनाम: दो अक्षरों में: $\overline(AB)$ - (जहां $A$ इसकी शुरुआत है, और $B$ इसका अंत है)।

एक छोटे अक्षर में: $\overline(a)$ (चित्र 1)।

आइए अब हम सीधे सदिश लंबाई की अवधारणा का परिचय दें।

परिभाषा 3

वेक्टर $\overline(a)$ की लंबाई खंड $a$ की लंबाई होगी।

संकेतन: $|\overline(a)|$

उदाहरण के लिए, वेक्टर लंबाई की अवधारणा दो वैक्टरों की समानता जैसी अवधारणा से जुड़ी है।

परिभाषा 4

हम दो सदिशों को समान कहेंगे यदि वे दो शर्तों को पूरा करते हैं: 1. वे सह-दिशात्मक हैं; 1. उनकी लंबाई बराबर है (चित्र 2)।

वैक्टर को परिभाषित करने के लिए, एक समन्वय प्रणाली दर्ज करें और दर्ज प्रणाली में वेक्टर के लिए निर्देशांक निर्धारित करें। जैसा कि हम जानते हैं, किसी भी वेक्टर को $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ के रूप में विघटित किया जा सकता है, जहां $m$ और $n$ वास्तविक संख्याएं हैं, और $\overline (i )$ और $\overline(j)$ क्रमशः $Ox$ और $Oy$ अक्ष पर इकाई वेक्टर हैं।

परिभाषा 5

हम वेक्टर के विस्तार गुणांक को $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ को प्रस्तुत समन्वय प्रणाली में इस वेक्टर के निर्देशांक कहेंगे। गणितीय रूप से:

$\overline(c)=(m,n)$

वेक्टर की लंबाई कैसे ज्ञात करें?

किसी मनमाना वेक्टर के निर्देशांक दिए जाने पर उसकी लंबाई की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करने के लिए, निम्नलिखित समस्या पर विचार करें:

उदाहरण 1

दिया गया: वेक्टर $\overline(α)$ निर्देशांक $(x,y)$ के साथ। खोजें: इस वेक्टर की लंबाई।

आइए हम समतल पर एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली $xOy$ का परिचय दें। आइए हम प्रस्तुत समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति से $\overline(OA)=\overline(a)$ को अलग रखें। आइए हम क्रमशः $Ox$ और $Oy$ अक्षों पर निर्मित वेक्टर के प्रक्षेपण $OA_1$ और $OA_2$ का निर्माण करें (चित्र 3)।

हमारे द्वारा बनाया गया वेक्टर $\overline(OA)$ बिंदु $A$ के लिए त्रिज्या वेक्टर होगा, इसलिए, इसमें निर्देशांक $(x,y)$ होंगे, जिसका अर्थ है

$=x$, $[OA_2]=y$

अब हम पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके आवश्यक लंबाई आसानी से पा सकते हैं, हमें मिलता है

$|\overline(α)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

उत्तर: $\sqrt(x^2+y^2)$.

निष्कर्ष:किसी सदिश की लंबाई ज्ञात करने के लिए जिसके निर्देशांक दिए गए हैं, इन निर्देशांकों के योग के वर्ग का मूल ज्ञात करना आवश्यक है।

नमूना कार्य

उदाहरण 2

बिंदु $X$ और $Y$ के बीच की दूरी ज्ञात करें, जिनके निम्नलिखित निर्देशांक हैं: क्रमशः $(-1.5)$ और $(7.3)$।

किन्हीं दो बिंदुओं को वेक्टर की अवधारणा से आसानी से जोड़ा जा सकता है। उदाहरण के लिए, वेक्टर $\overline(XY)$ पर विचार करें। जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, ऐसे वेक्टर के निर्देशांक प्रारंभिक बिंदु ($X$) के संबंधित निर्देशांक को अंतिम बिंदु ($Y$) के निर्देशांक से घटाकर पाया जा सकता है। हमें वह मिल गया