चेकमेट अपेक्षा का निर्धारण कैसे करें. एक सतत यादृच्छिक चर की अपेक्षा
- 10 नवजात शिशुओं में लड़कों की संख्या।
यह बिल्कुल स्पष्ट है कि यह संख्या पहले से ज्ञात नहीं है, और जन्म लेने वाले अगले दस बच्चों में शामिल हो सकते हैं:
या लड़के - एक और केवल एकसूचीबद्ध विकल्पों में से.
और, आकार में बने रहने के लिए, थोड़ी शारीरिक शिक्षा:
- लंबी कूद दूरी (कुछ इकाइयों में).
यहां तक कि खेल का कोई मास्टर भी इसकी भविष्यवाणी नहीं कर सकता :)
हालाँकि, आपकी परिकल्पनाएँ?
2) सतत यादृच्छिक चर - स्वीकार करता है सभीकिसी परिमित या अनंत अंतराल से संख्यात्मक मान।
टिप्पणी : संक्षिप्ताक्षर DSV और NSV शैक्षिक साहित्य में लोकप्रिय हैं
सबसे पहले, आइए असतत यादृच्छिक चर का विश्लेषण करें, फिर - निरंतर.
असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम
- यह पत्र-व्यवहारइस मात्रा के संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के बीच। प्रायः, कानून एक तालिका में लिखा जाता है: 
यह शब्द अक्सर सामने आता है पंक्ति
वितरण, लेकिन कुछ स्थितियों में यह अस्पष्ट लगता है, और इसलिए मैं "कानून" पर कायम रहूंगा।
और अब बहुत महत्वपूर्ण बिंदु: यादृच्छिक चर के बाद से अनिवार्य रूप सेस्वीकार करेंगे मूल्यों में से एक, तो संबंधित घटनाएँ बनती हैं पूरा समूहऔर उनके घटित होने की संभावनाओं का योग एक के बराबर है:
या, यदि संक्षेप में लिखा गया हो:
इसलिए, उदाहरण के लिए, पासे पर लुढ़के अंकों के संभाव्यता वितरण के नियम का निम्नलिखित रूप है: 
कोई टिप्पणी नहीं।
आप इस धारणा के तहत हो सकते हैं कि एक अलग यादृच्छिक चर केवल "अच्छे" पूर्णांक मान ही ले सकता है। आइए भ्रम दूर करें - वे कुछ भी हो सकते हैं:
उदाहरण 1
कुछ गेम में निम्नलिखित विजयी वितरण नियम होता है: 
...आपने शायद लंबे समय से ऐसे कार्यों का सपना देखा है :) मैं आपको एक रहस्य बताता हूँ - मैं भी। खासकर काम खत्म करने के बाद क्षेत्र सिद्धांत.
समाधान: चूंकि एक यादृच्छिक चर तीन मानों में से केवल एक मान ले सकता है, इसलिए संबंधित घटनाएं बनती हैं पूरा समूह, जिसका अर्थ है कि उनकी संभावनाओं का योग एक के बराबर है: 
"पक्षपातपूर्ण" को उजागर करना: 
- इस प्रकार, पारंपरिक इकाइयाँ जीतने की संभावना 0.4 है।
नियंत्रण: हमें यही सुनिश्चित करना था।
उत्तर:
यह असामान्य बात नहीं है जब आपको स्वयं वितरण कानून बनाने की आवश्यकता होती है। इसके लिए वे उपयोग करते हैं संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा, घटना संभावनाओं के लिए गुणन/जोड़ प्रमेयऔर अन्य चिप्स टेवेरा:
उदाहरण 2
बॉक्स में 50 लॉटरी टिकट हैं, जिनमें से 12 जीत रहे हैं, और उनमें से 2 प्रत्येक 1000 रूबल जीतते हैं, और बाकी - 100 रूबल प्रत्येक। एक यादृच्छिक चर के वितरण के लिए एक कानून बनाएं - जीत का आकार, यदि एक टिकट बॉक्स से यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है।
समाधान: जैसा कि आपने देखा, एक यादृच्छिक चर के मान आमतौर पर रखे जाते हैं बढ़ते क्रम में. इसलिए, हम सबसे छोटी जीत, अर्थात् रूबल से शुरुआत करते हैं।
ऐसे कुल 50 टिकट हैं - 12 = 38, और के अनुसार शास्त्रीय परिभाषा:
- संभावना है कि बेतरतीब ढंग से निकाला गया टिकट हारा हुआ होगा।
अन्य मामलों में सब कुछ सरल है. रूबल जीतने की संभावना है:
जांचें:- और यह ऐसे कार्यों का विशेष रूप से सुखद क्षण है!
उत्तर: जीत के वितरण का वांछित कानून: 
निम्नलिखित कार्य आपको स्वयं हल करना है:
उदाहरण 3
संभावना यह है कि निशानेबाज निशाने पर लगेगा। एक यादृच्छिक चर के लिए एक वितरण कानून बनाएं - 2 शॉट्स के बाद हिट की संख्या।
...मुझे पता था कि तुम उससे चूक गए :) चलो याद करते हैं गुणन और जोड़ प्रमेय. समाधान और उत्तर पाठ के अंत में हैं।
वितरण कानून पूरी तरह से एक यादृच्छिक चर का वर्णन करता है, लेकिन व्यवहार में इसमें से केवल कुछ को जानना उपयोगी (और कभी-कभी अधिक उपयोगी) हो सकता है संख्यात्मक विशेषताएँ .
एक असतत यादृच्छिक चर की अपेक्षा
सरल शब्दों में, यह है औसत अपेक्षित मूल्यजब परीक्षण कई बार दोहराया जाता है. यादृच्छिक चर को संभावनाओं के साथ मान लेने दें 
क्रमश। तब इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा बराबर होती है उत्पादों का योगसंबंधित संभावनाओं के लिए इसके सभी मान:
या ढह गया: 
आइए, उदाहरण के लिए, एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा की गणना करें - एक पासे पर लुढ़के अंकों की संख्या:
आइए अब हमारे काल्पनिक खेल को याद करें: 
सवाल उठता है कि क्या यह गेम खेलना बिल्कुल भी लाभदायक है? ...किसकी कोई धारणा है? तो आप इसे "ऑफ़हैंड" नहीं कह सकते! लेकिन इस प्रश्न का उत्तर गणितीय अपेक्षा की गणना करके आसानी से दिया जा सकता है, अनिवार्य रूप से - भारित औसतजीतने की संभावना से:
इस प्रकार, इस खेल की गणितीय अपेक्षा हार.
अपने इंप्रेशन पर भरोसा न करें - संख्याओं पर भरोसा करें!
हां, यहां आप लगातार 10 या 20-30 बार भी जीत सकते हैं, लेकिन लंबे समय में, अपरिहार्य बर्बादी हमारा इंतजार कर रही है। और मैं आपको ऐसे गेम खेलने की सलाह नहीं दूंगा :) ठीक है, शायद केवल मजे के लिए.
उपरोक्त सभी से यह निष्कर्ष निकलता है कि गणितीय अपेक्षा अब कोई यादृच्छिक मान नहीं है।
स्वतंत्र अनुसंधान के लिए रचनात्मक कार्य:
उदाहरण 4
मिस्टर एक्स निम्नलिखित प्रणाली का उपयोग करके यूरोपीय रूलेट खेलते हैं: वह लगातार "रेड" पर 100 रूबल का दांव लगाते हैं। एक यादृच्छिक चर के वितरण का नियम बनाएं - इसकी जीत। जीत की गणितीय अपेक्षा की गणना करें और इसे निकटतम कोपेक तक पूर्णांकित करें। कितने औसतक्या खिलाड़ी प्रत्येक सौ दांव पर हार जाता है?
संदर्भ : यूरोपीय रूलेट में 18 लाल, 18 काले और 1 हरा सेक्टर ("शून्य") शामिल हैं। यदि "लाल" दिखाई देता है, तो खिलाड़ी को दांव का दोगुना भुगतान किया जाता है, अन्यथा यह कैसीनो की आय में चला जाता है
कई अन्य रूलेट प्रणालियाँ हैं जिनके लिए आप अपनी स्वयं की संभाव्यता तालिकाएँ बना सकते हैं। लेकिन यह वह स्थिति है जब हमें किसी वितरण कानून या तालिकाओं की आवश्यकता नहीं होती है, क्योंकि यह निश्चित रूप से स्थापित किया गया है कि खिलाड़ी की गणितीय अपेक्षा बिल्कुल वैसी ही होगी। केवल एक चीज है जो सिस्टम दर सिस्टम बदलती रहती है
प्रत्येक व्यक्तिगत मूल्य पूरी तरह से उसके वितरण कार्य द्वारा निर्धारित होता है। इसके अलावा, व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए, कई संख्यात्मक विशेषताओं को जानना पर्याप्त है, जिसके लिए यादृच्छिक चर की मुख्य विशेषताओं को संक्षिप्त रूप में प्रस्तुत करना संभव हो जाता है।
इन मात्राओं में मुख्य रूप से शामिल हैं अपेक्षित मूल्यऔर फैलाव .
अपेक्षित मूल्य- संभाव्यता सिद्धांत में एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य। इस रूप में घोषित किया गया ।
सबसे सरल तरीके से, एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्स(डब्ल्यू), ढूंढें कैसे अभिन्नलेब्सग्यूसंभाव्यता माप के संबंध में आर मूल संभाव्यता स्थान
आप किसी मान की गणितीय अपेक्षा भी पा सकते हैं लेब्सग इंटीग्रलसे एक्ससंभाव्यता वितरण द्वारा आर एक्समात्रा एक्स:
सभी संभावित मानों का सेट कहां है एक्स.
यादृच्छिक चर से कार्यों की गणितीय अपेक्षा एक्सवितरण के माध्यम से पाया गया आर एक्स. उदाहरण के लिए, अगर एक्स- और में मानों के साथ एक यादृच्छिक चर एफ(एक्स)- असंदिग्ध बोरेल कासमारोह एक्स , वह:
अगर एफ(एक्स)- वितरण समारोह एक्स, तो गणितीय अपेक्षा प्रतिनिधित्व योग्य है अभिन्नलेबेस्गुए - स्टिल्टजेस (या रीमैन - स्टिल्टजेस):
इस मामले में अभिन्नता एक्सके अनुसार ( * ) अभिन्न की परिमितता से मेल खाता है
विशिष्ट मामलों में, यदि एक्ससंभावित मानों के साथ एक पृथक वितरण है एक्स क, क=1, 2, . , और संभावनाएँ, फिर
अगर एक्ससंभाव्यता घनत्व के साथ बिल्कुल निरंतर वितरण होता है पी(एक्स), वह
इस मामले में, गणितीय अपेक्षा का अस्तित्व संबंधित श्रृंखला या अभिन्न के पूर्ण अभिसरण के बराबर है।
एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के गुण।
- एक स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा इस मान के बराबर है:
सी- स्थिर;
- एम=सी.एम[एक्स]
- यादृच्छिक रूप से लिए गए मानों के योग की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है:
- स्वतंत्र यादृच्छिक रूप से लिए गए चरों के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा = उनकी गणितीय अपेक्षाओं का उत्पाद:
एम=एम[एक्स]+एम[वाई]
अगर एक्सऔर वाईस्वतंत्र।
यदि श्रृंखला अभिसरित होती है:
गणितीय अपेक्षा की गणना के लिए एल्गोरिदम।
असतत यादृच्छिक चर के गुण: उनके सभी मानों को प्राकृतिक संख्याओं द्वारा पुनः क्रमांकित किया जा सकता है; प्रत्येक मान को एक गैर-शून्य संभावना निर्दिष्ट करें।
1. जोड़ियों को एक-एक करके गुणा करें: एक्स मैंपर पी मैं.
2. प्रत्येक जोड़ी का गुणनफल जोड़ें एक्स आई पी आई.
उदाहरण के लिए, के लिए एन = 4 :
असतत यादृच्छिक चर का वितरण कार्यचरणबद्ध रूप से, यह उन बिंदुओं पर अचानक बढ़ जाता है जिनकी संभावनाओं पर सकारात्मक संकेत होता है।
उदाहरण:सूत्र का उपयोग करके गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें।
अपेक्षा एक यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण है
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गणितीय अपेक्षा परिभाषा है
गणितीय सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक, एक यादृच्छिक चर के मूल्यों या संभावनाओं के वितरण की विशेषता। आमतौर पर इसे यादृच्छिक चर के सभी संभावित मापदंडों के भारित औसत के रूप में व्यक्त किया जाता है। तकनीकी विश्लेषण, संख्या श्रृंखला के अध्ययन और निरंतर और समय लेने वाली प्रक्रियाओं के अध्ययन में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह जोखिमों का आकलन करने, वित्तीय बाजारों पर व्यापार करते समय मूल्य संकेतकों की भविष्यवाणी करने में महत्वपूर्ण है, और जुए के सिद्धांत में रणनीतियों और गेमिंग रणनीति के तरीकों को विकसित करने में इसका उपयोग किया जाता है।
गणितीय अपेक्षा हैएक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य, एक यादृच्छिक चर की संभाव्यता वितरण को संभाव्यता सिद्धांत में माना जाता है।
गणितीय अपेक्षा हैसंभाव्यता सिद्धांत में एक यादृच्छिक चर के औसत मूल्य का एक माप। एक यादृच्छिक चर की अपेक्षा एक्सद्वारा चिह्नित एम(एक्स).
गणितीय अपेक्षा है
गणितीय अपेक्षा हैसंभाव्यता सिद्धांत में, सभी संभावित मानों का एक भारित औसत जो एक यादृच्छिक चर ले सकता है।
गणितीय अपेक्षा हैएक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों और इन मूल्यों की संभावनाओं के उत्पादों का योग।
गणितीय अपेक्षा हैकिसी विशेष निर्णय से औसत लाभ, बशर्ते कि ऐसे निर्णय को बड़ी संख्या और लंबी दूरी के सिद्धांत के ढांचे के भीतर माना जा सकता है।
गणितीय अपेक्षा हैजुए के सिद्धांत में, प्रत्येक दांव पर एक खिलाड़ी औसतन कितनी जीत हासिल कर सकता है या कितना हार सकता है। जुए की भाषा में, इसे कभी-कभी "खिलाड़ी की बढ़त" (यदि यह खिलाड़ी के लिए सकारात्मक है) या "घर की बढ़त" (यदि यह खिलाड़ी के लिए नकारात्मक है) कहा जाता है।
गणितीय अपेक्षा हैप्रति जीत लाभ का प्रतिशत औसत लाभ से गुणा किया जाता है, हानि की संभावना को औसत हानि से गुणा किया जाता है।
गणितीय सिद्धांत में एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा
यादृच्छिक चर की महत्वपूर्ण संख्यात्मक विशेषताओं में से एक इसकी गणितीय अपेक्षा है। आइए हम यादृच्छिक चरों की एक प्रणाली की अवधारणा का परिचय दें। आइए यादृच्छिक चर के एक सेट पर विचार करें जो एक ही यादृच्छिक प्रयोग के परिणाम हैं। यदि सिस्टम के संभावित मूल्यों में से एक है, तो घटना एक निश्चित संभावना से मेल खाती है जो कोलमोगोरोव के सिद्धांतों को संतुष्ट करती है। यादृच्छिक चर के किसी भी संभावित मान के लिए परिभाषित फ़ंक्शन को संयुक्त वितरण कानून कहा जाता है। यह फ़ंक्शन आपको किसी भी घटना की संभावनाओं की गणना करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, यादृच्छिक चर का संयुक्त वितरण कानून और, जो सेट से मान लेते हैं और, संभावनाओं द्वारा दिया जाता है।
शब्द "गणितीय अपेक्षा" पियरे साइमन मार्क्विस डी लाप्लास (1795) द्वारा पेश किया गया था और यह "जीत के अपेक्षित मूल्य" की अवधारणा से आया है, जो पहली बार 17वीं शताब्दी में ब्लेज़ पास्कल और क्रिस्टियान के कार्यों में जुए के सिद्धांत में दिखाई दिया था। ह्यूजेन्स। हालाँकि, इस अवधारणा की पहली पूर्ण सैद्धांतिक समझ और मूल्यांकन पाफ़नुटी लावोविच चेबीशेव (19वीं शताब्दी के मध्य) द्वारा दिया गया था।
यादृच्छिक संख्यात्मक चर का वितरण कानून (वितरण फ़ंक्शन और वितरण श्रृंखला या संभाव्यता घनत्व) पूरी तरह से एक यादृच्छिक चर के व्यवहार का वर्णन करता है। लेकिन कई समस्याओं में, पूछे गए प्रश्न का उत्तर देने के लिए अध्ययन के तहत मात्रा की कुछ संख्यात्मक विशेषताओं (उदाहरण के लिए, इसका औसत मूल्य और इससे संभावित विचलन) को जानना पर्याप्त है। यादृच्छिक चर की मुख्य संख्यात्मक विशेषताएँ गणितीय अपेक्षा, विचरण, बहुलक और माध्यिका हैं।
एक असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा उसके संभावित मूल्यों और उनकी संबंधित संभावनाओं के उत्पादों का योग है। कभी-कभी गणितीय अपेक्षा को भारित औसत कहा जाता है, क्योंकि यह बड़ी संख्या में प्रयोगों में यादृच्छिक चर के देखे गए मूल्यों के अंकगणितीय माध्य के लगभग बराबर होता है। गणितीय अपेक्षा की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि इसका मान किसी यादृच्छिक चर के सबसे छोटे संभावित मान से कम नहीं है और सबसे बड़े से अधिक नहीं है। यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक गैर-यादृच्छिक (स्थिर) चर है।
गणितीय अपेक्षा का एक सरल भौतिक अर्थ है: यदि आप एक इकाई द्रव्यमान को एक सीधी रेखा पर रखते हैं, एक निश्चित द्रव्यमान को कुछ बिंदुओं पर रखते हैं (एक अलग वितरण के लिए), या इसे एक निश्चित घनत्व के साथ "स्मीयर" करते हैं (बिल्कुल निरंतर वितरण के लिए) , तो गणितीय अपेक्षा के अनुरूप बिंदु "गुरुत्वाकर्षण का केंद्र" का समन्वय सीधा होगा।
एक यादृच्छिक चर का औसत मान एक निश्चित संख्या है जो कि, जैसा कि यह था, इसका "प्रतिनिधि" है और इसे लगभग अनुमानित गणनाओं में प्रतिस्थापित करता है। जब हम कहते हैं: "औसत लैंप परिचालन समय 100 घंटे है" या "प्रभाव का औसत बिंदु लक्ष्य के सापेक्ष 2 मीटर दाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है," हम एक यादृच्छिक चर की एक निश्चित संख्यात्मक विशेषता का संकेत दे रहे हैं जो इसके स्थान का वर्णन करता है संख्यात्मक अक्ष पर, अर्थात "स्थिति विशेषताएँ"।
संभाव्यता सिद्धांत में किसी स्थिति की विशेषताओं में से, सबसे महत्वपूर्ण भूमिका एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा द्वारा निभाई जाती है, जिसे कभी-कभी यादृच्छिक चर का औसत मूल्य भी कहा जाता है।
यादृच्छिक चर पर विचार करें एक्स, संभावित मान होना X1, x2, …, xnसंभावनाओं के साथ पी1, पी2,…, पी.एन. हमें एक्स-अक्ष पर एक यादृच्छिक चर के मानों की स्थिति को कुछ संख्या के साथ चिह्नित करने की आवश्यकता है, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि इन मानों की अलग-अलग संभावनाएं हैं। इस प्रयोजन के लिए, मूल्यों के तथाकथित "भारित औसत" का उपयोग करना स्वाभाविक है क्सी, और औसत के दौरान प्रत्येक मान xi को इस मान की संभावना के आनुपातिक "वजन" के साथ ध्यान में रखा जाना चाहिए। इस प्रकार, हम यादृच्छिक चर के औसत की गणना करेंगे एक्स, जिसे हम निरूपित करते हैं एम |एक्स|:
इस भारित औसत को यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा कहा जाता है। इस प्रकार, हमने संभाव्यता सिद्धांत की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक - गणितीय अपेक्षा की अवधारणा - पर विचार किया। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों और इन मूल्यों की संभावनाओं के उत्पादों का योग है।
एक्सबड़ी संख्या में प्रयोगों पर यादृच्छिक चर के देखे गए मूल्यों के अंकगणितीय माध्य के साथ एक अजीब निर्भरता से जुड़ा हुआ है। यह निर्भरता आवृत्ति और संभाव्यता के बीच निर्भरता के समान प्रकार की है, अर्थात्: बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ, एक यादृच्छिक चर के देखे गए मूल्यों का अंकगणितीय माध्य इसकी गणितीय अपेक्षा के करीब (संभावना में परिवर्तित) होता है। आवृत्ति और संभाव्यता के बीच संबंध की उपस्थिति से, कोई परिणाम के रूप में अंकगणितीय माध्य और गणितीय अपेक्षा के बीच एक समान संबंध की उपस्थिति का अनुमान लगा सकता है। दरअसल, यादृच्छिक चर पर विचार करें एक्स, एक वितरण श्रृंखला द्वारा विशेषता:
इसका उत्पादन होने दीजिए एनस्वतंत्र प्रयोग, जिनमें से प्रत्येक में मूल्य एक्सएक निश्चित मूल्य लेता है। चलिए मान लेते हैं कि मान x1दिखाई दिया एम1समय, मूल्य x2दिखाई दिया एम2समय, सामान्य अर्थ क्सीकई बार दिखाई दिया। आइए मान X के देखे गए मानों के अंकगणितीय माध्य की गणना करें, जो गणितीय अपेक्षा के विपरीत है एम|एक्स|हम निरूपित करते हैं एम*|एक्स|:
प्रयोगों की संख्या बढ़ती जा रही है एनआवृत्तियों अनुकरणीयसंगत संभावनाओं तक पहुँचेगा (संभावना में अभिसरण)। नतीजतन, यादृच्छिक चर के देखे गए मानों का अंकगणितीय माध्य एम|एक्स|प्रयोगों की संख्या में वृद्धि के साथ यह अपनी गणितीय अपेक्षा के करीब पहुंच जाएगा (संभावना में अभिसरण)। ऊपर दिए गए अंकगणित माध्य और गणितीय अपेक्षा के बीच संबंध बड़ी संख्या के कानून के रूपों में से एक की सामग्री का गठन करता है।
हम पहले से ही जानते हैं कि बड़ी संख्या के नियम के सभी रूप इस तथ्य को बताते हैं कि कुछ औसत बड़ी संख्या में प्रयोगों पर स्थिर होते हैं। यहां हम समान मात्रा के अवलोकनों की एक श्रृंखला से अंकगणितीय माध्य की स्थिरता के बारे में बात कर रहे हैं। कम संख्या में प्रयोगों के साथ, उनके परिणामों का अंकगणितीय माध्य यादृच्छिक होता है; प्रयोगों की संख्या में पर्याप्त वृद्धि के साथ, यह "लगभग गैर-यादृच्छिक" हो जाता है और, स्थिर होकर, एक स्थिर मूल्य - गणितीय अपेक्षा के करीब पहुंचता है।
बड़ी संख्या में प्रयोगों पर औसत की स्थिरता को प्रयोगात्मक रूप से आसानी से सत्यापित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, जब किसी पिंड को प्रयोगशाला में सटीक तराजू पर तौला जाता है, तो तौलने के परिणामस्वरूप हमें हर बार एक नया मूल्य प्राप्त होता है; अवलोकन त्रुटि को कम करने के लिए, हम शरीर को कई बार तौलते हैं और प्राप्त मूल्यों के अंकगणितीय माध्य का उपयोग करते हैं। यह देखना आसान है कि प्रयोगों (वजन) की संख्या में और वृद्धि के साथ, अंकगणितीय माध्य इस वृद्धि पर कम से कम प्रतिक्रिया करता है और, पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ, व्यावहारिक रूप से बदलना बंद हो जाता है।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यादृच्छिक चर की स्थिति की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता - गणितीय अपेक्षा - सभी यादृच्छिक चर के लिए मौजूद नहीं है। ऐसे यादृच्छिक चर के उदाहरण बनाना संभव है जिनके लिए गणितीय अपेक्षा मौजूद नहीं है, क्योंकि संबंधित योग या अभिन्न विचलन होता है। हालाँकि, ऐसे मामले अभ्यास के लिए महत्वपूर्ण रुचि के नहीं हैं। आमतौर पर, जिन यादृच्छिक चरों से हम निपटते हैं उनमें संभावित मूल्यों की एक सीमित सीमा होती है और निश्चित रूप से, गणितीय अपेक्षा होती है।
यादृच्छिक चर की स्थिति की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं के अलावा - गणितीय अपेक्षा - व्यवहार में, स्थिति की अन्य विशेषताओं का कभी-कभी उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से, यादृच्छिक चर का मोड और माध्यिका।
किसी यादृच्छिक चर का बहुलक उसका सबसे संभावित मान होता है। शब्द "अतिसंभावित मूल्य" सख्ती से कहें तो केवल असंतुलित मात्राओं पर लागू होता है; किसी सतत मात्रा के लिए, मोड वह मान है जिस पर संभाव्यता घनत्व अधिकतम होता है। आंकड़े क्रमशः असंतत और निरंतर यादृच्छिक चर के लिए मोड दिखाते हैं।
यदि वितरण बहुभुज (वितरण वक्र) में एक से अधिक अधिकतम हैं, तो वितरण को "मल्टीमॉडल" कहा जाता है।
कभी-कभी ऐसे वितरण होते हैं जिनमें अधिकतम के बजाय मध्य में न्यूनतम होता है। ऐसे वितरणों को "एंटी-मॉडल" कहा जाता है।
सामान्य स्थिति में, यादृच्छिक चर का मोड और गणितीय अपेक्षा मेल नहीं खाती है। विशेष मामले में, जब वितरण सममित और मोडल है (यानी एक मोड है) और गणितीय अपेक्षा है, तो यह वितरण के मोड और समरूपता के केंद्र के साथ मेल खाता है।
एक अन्य स्थिति विशेषता का अक्सर उपयोग किया जाता है - एक यादृच्छिक चर का तथाकथित माध्यिका। यह विशेषता आमतौर पर केवल निरंतर यादृच्छिक चर के लिए उपयोग की जाती है, हालांकि इसे औपचारिक रूप से एक असंतत चर के लिए परिभाषित किया जा सकता है। ज्यामितीय रूप से, माध्यिका उस बिंदु का भुज है जिस पर वितरण वक्र से घिरा क्षेत्र आधे में विभाजित होता है।
सममित मोडल वितरण के मामले में, माध्य गणितीय अपेक्षा और मोड के साथ मेल खाता है।
गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य है - एक यादृच्छिक चर की संभाव्यता वितरण की एक संख्यात्मक विशेषता। सबसे सामान्य तरीके से, एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्स(डब्ल्यू)संभाव्यता माप के संबंध में लेबेस्ग इंटीग्रल के रूप में परिभाषित किया गया है आरमूल संभाव्यता स्थान में:
गणितीय अपेक्षा की गणना लेबेस्ग इंटीग्रल के रूप में भी की जा सकती है एक्ससंभाव्यता वितरण द्वारा पिक्सलमात्रा एक्स:
अनंत गणितीय अपेक्षा वाले यादृच्छिक चर की अवधारणा को प्राकृतिक तरीके से परिभाषित किया जा सकता है। एक विशिष्ट उदाहरण कुछ यादृच्छिक सैर का वापसी समय है।
गणितीय अपेक्षा का उपयोग करते हुए, वितरण की कई संख्यात्मक और कार्यात्मक विशेषताओं को निर्धारित किया जाता है (एक यादृच्छिक चर के संबंधित कार्यों की गणितीय अपेक्षा के रूप में), उदाहरण के लिए, उत्पन्न करने वाला फ़ंक्शन, विशेषता फ़ंक्शन, किसी भी क्रम के क्षण, विशेष रूप से फैलाव, सहप्रसरण .
गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर (इसके वितरण का औसत मूल्य) के मूल्यों के स्थान की एक विशेषता है। इस क्षमता में, गणितीय अपेक्षा कुछ "विशिष्ट" वितरण पैरामीटर के रूप में कार्य करती है और इसकी भूमिका यांत्रिकी में स्थैतिक क्षण की भूमिका के समान है - द्रव्यमान वितरण के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का समन्वय। स्थान की अन्य विशेषताओं से, जिनकी सहायता से वितरण को सामान्य शब्दों में वर्णित किया जाता है - माध्यिका, मोड, गणितीय अपेक्षा अधिक मूल्य में भिन्न होती है जो कि यह और संबंधित बिखरने वाली विशेषता - फैलाव - संभाव्यता सिद्धांत की सीमा प्रमेयों में होती है। गणितीय अपेक्षा का अर्थ बड़ी संख्या के कानून (चेबीशेव की असमानता) और बड़ी संख्या के मजबूत कानून द्वारा पूरी तरह से प्रकट होता है।
एक असतत यादृच्छिक चर की अपेक्षा
मान लीजिए कि कुछ यादृच्छिक चर हैं जो कई संख्यात्मक मानों में से एक ले सकते हैं (उदाहरण के लिए, पासा फेंकने पर अंकों की संख्या 1, 2, 3, 4, 5 या 6 हो सकती है)। अक्सर व्यवहार में, ऐसे मूल्य के लिए, सवाल उठता है: बड़ी संख्या में परीक्षणों के साथ "औसतन" क्या मूल्य होता है? प्रत्येक जोखिम भरे लेनदेन से हमारी औसत आय (या हानि) क्या होगी?
मान लीजिए कि किसी प्रकार की लॉटरी है। हम यह समझना चाहते हैं कि इसमें भाग लेना लाभदायक है या नहीं (या बार-बार, नियमित रूप से भाग लेना भी)। मान लीजिए कि हर चौथा टिकट विजेता है, पुरस्कार 300 रूबल होगा, और किसी भी टिकट की कीमत 100 रूबल होगी। असीम रूप से बड़ी संख्या में भागीदारी के साथ, यही होता है। तीन चौथाई मामलों में हम हारेंगे, हर तीन नुकसान पर 300 रूबल का खर्च आएगा। हर चौथे मामले में हम 200 रूबल जीतेंगे। (पुरस्कार घटा लागत), यानी, चार भागीदारी के लिए हम औसतन 100 रूबल खो देते हैं, एक के लिए - औसतन 25 रूबल। कुल मिलाकर, हमारे बर्बाद होने की औसत दर 25 रूबल प्रति टिकट होगी।
हम पासा फेंकते हैं. यदि यह धोखा नहीं है (गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को स्थानांतरित किए बिना, आदि), तो एक समय में हमारे पास औसतन कितने अंक होंगे? चूँकि प्रत्येक विकल्प समान रूप से संभावित है, हम केवल अंकगणितीय माध्य लेते हैं और 3.5 प्राप्त करते हैं। चूँकि यह औसत है, इसलिए इस बात से नाराज़ होने की कोई ज़रूरत नहीं है कि कोई भी विशिष्ट रोल 3.5 अंक नहीं देगा - ठीक है, इस घन में ऐसी संख्या वाला कोई फलक नहीं है!
आइए अब हमारे उदाहरणों को संक्षेप में प्रस्तुत करें:
आइए अभी दिए गए चित्र को देखें। बायीं ओर यादृच्छिक चर के वितरण की एक तालिका है। मान X n संभावित मानों में से एक ले सकता है (शीर्ष पंक्ति में दिखाया गया है)। इसका कोई और अर्थ नहीं हो सकता. प्रत्येक संभावित मान के अंतर्गत उसकी प्रायिकता नीचे लिखी गई है। दाईं ओर सूत्र है, जहाँ M(X) को गणितीय अपेक्षा कहा जाता है। इस मान का अर्थ यह है कि बड़ी संख्या में परीक्षणों (बड़े नमूने के साथ) के साथ, औसत मान इसी गणितीय अपेक्षा की ओर प्रवृत्त होगा।
चलिए फिर से उसी प्लेइंग क्यूब पर लौटते हैं। फेंकते समय अंकों की संख्या की गणितीय अपेक्षा 3.5 है (यदि आप मुझ पर विश्वास नहीं करते हैं तो सूत्र का उपयोग करके इसकी गणना स्वयं करें)। मान लीजिए कि आपने इसे एक-दो बार फेंका। परिणाम 4 और 6 थे। औसत 5 था, जो 3.5 से बहुत दूर है। उन्होंने इसे एक बार और फेंका, उन्हें 3 मिला, यानी औसतन (4 + 6 + 3)/3 = 4.3333... गणितीय अपेक्षा से कुछ दूर। अब एक अनोखा प्रयोग करें - घन को 1000 बार घुमाएँ! और भले ही औसत बिल्कुल 3.5 न भी हो, यह उसके करीब ही होगा।
आइए ऊपर वर्णित लॉटरी के लिए गणितीय अपेक्षा की गणना करें। प्लेट इस तरह दिखेगी:
तब गणितीय अपेक्षा होगी, जैसा कि हमने ऊपर स्थापित किया है:
दूसरी बात यह है कि अगर अधिक विकल्प होते तो इसे "उंगलियों पर" बिना किसी फॉर्मूले के करना मुश्किल होता। ठीक है, मान लीजिए कि 75% हारने वाले टिकट होंगे, 20% जीतने वाले टिकट होंगे और 5% विशेष रूप से जीतने वाले होंगे।
अब गणितीय अपेक्षा के कुछ गुण।
यह साबित करना आसान है:
स्थिर कारक को गणितीय अपेक्षा के संकेत के रूप में निकाला जा सकता है, अर्थात:
यह गणितीय अपेक्षा की रैखिकता संपत्ति का एक विशेष मामला है।
गणितीय अपेक्षा की रैखिकता का एक और परिणाम:
अर्थात्, यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा यादृच्छिक चरों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है।
माना कि X, Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, तब:
यह सिद्ध करना भी आसान है) कार्य XYस्वयं एक यादृच्छिक चर है, और यदि प्रारंभिक मान ले सकते हैं एनऔर एमतदनुसार मान XYएनएम मान ले सकते हैं। प्रत्येक मान की संभावना की गणना इस तथ्य के आधार पर की जाती है कि स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाएं कई गुना बढ़ जाती हैं। परिणामस्वरूप, हमें यह मिलता है:
एक सतत यादृच्छिक चर की अपेक्षा
निरंतर यादृच्छिक चर में वितरण घनत्व (संभावना घनत्व) जैसी विशेषता होती है। यह अनिवार्य रूप से उस स्थिति को दर्शाता है कि एक यादृच्छिक चर वास्तविक संख्याओं के सेट से कुछ मान अधिक बार लेता है, और कुछ कम बार लेता है। उदाहरण के लिए, इस ग्राफ़ पर विचार करें:
यहाँ एक्स- वास्तविक यादृच्छिक चर, एफ(एक्स)- वितरण घनत्व. इस ग्राफ को देखते हुए, प्रयोगों के दौरान मूल्य एक्सअक्सर शून्य के करीब एक संख्या होगी. संभावनाएँ पार हो गई हैं 3 या छोटा हो -3 बल्कि विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक.
उदाहरण के लिए, एक समान वितरण हो:
यह सहज समझ के साथ काफी सुसंगत है। मान लीजिए, यदि हमें प्रत्येक खंड में एक समान वितरण के साथ कई यादृच्छिक वास्तविक संख्याएँ प्राप्त होती हैं |0; 1| , तो अंकगणितीय माध्य लगभग 0.5 होना चाहिए।
असतत यादृच्छिक चर के लिए लागू गणितीय अपेक्षा के गुण - रैखिकता, आदि, यहां भी लागू होते हैं।
गणितीय अपेक्षा और अन्य सांख्यिकीय संकेतकों के बीच संबंध
सांख्यिकीय विश्लेषण में, गणितीय अपेक्षा के साथ, अन्योन्याश्रित संकेतकों की एक प्रणाली होती है जो घटनाओं की एकरूपता और प्रक्रियाओं की स्थिरता को दर्शाती है। भिन्नता संकेतकों का अक्सर कोई स्वतंत्र अर्थ नहीं होता है और इनका उपयोग आगे के डेटा विश्लेषण के लिए किया जाता है। अपवाद भिन्नता का गुणांक है, जो डेटा की एकरूपता को दर्शाता है, जो एक मूल्यवान सांख्यिकीय विशेषता है।
सांख्यिकीय विज्ञान में प्रक्रियाओं की परिवर्तनशीलता या स्थिरता की डिग्री को कई संकेतकों का उपयोग करके मापा जा सकता है।
किसी यादृच्छिक चर की परिवर्तनशीलता को दर्शाने वाला सबसे महत्वपूर्ण संकेतक है फैलाव, जो गणितीय अपेक्षा से सबसे निकट और सीधे संबंधित है। यह पैरामीटर अन्य प्रकार के सांख्यिकीय विश्लेषण (परिकल्पना परीक्षण, कारण-और-प्रभाव संबंधों का विश्लेषण, आदि) में सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। औसत रैखिक विचलन की तरह, विचरण भी माध्य मान के आसपास डेटा के प्रसार की सीमा को दर्शाता है।
संकेतों की भाषा को शब्दों की भाषा में अनुवाद करना उपयोगी है। इससे पता चलता है कि विचरण विचलनों का औसत वर्ग है। अर्थात्, पहले औसत मूल्य की गणना की जाती है, फिर प्रत्येक मूल और औसत मूल्य के बीच का अंतर लिया जाता है, वर्ग किया जाता है, जोड़ा जाता है, और फिर जनसंख्या में मूल्यों की संख्या से विभाजित किया जाता है। व्यक्तिगत मूल्य और औसत के बीच का अंतर विचलन के माप को दर्शाता है। इसे वर्गित किया जाता है ताकि सभी विचलन विशेष रूप से सकारात्मक संख्याएं बन जाएं और उन्हें जोड़ते समय सकारात्मक और नकारात्मक विचलनों के पारस्परिक विनाश से बचा जा सके। फिर, वर्ग विचलनों को देखते हुए, हम केवल अंकगणितीय माध्य की गणना करते हैं। औसत - वर्ग - विचलन. विचलनों का वर्ग किया जाता है और औसत की गणना की जाती है। जादुई शब्द "फैलाव" का उत्तर केवल तीन शब्दों में है।
हालाँकि, इसके शुद्ध रूप में, जैसे कि अंकगणितीय माध्य, या सूचकांक, फैलाव का उपयोग नहीं किया जाता है। यह बल्कि एक सहायक और मध्यवर्ती संकेतक है जिसका उपयोग अन्य प्रकार के सांख्यिकीय विश्लेषण के लिए किया जाता है। इसमें माप की कोई सामान्य इकाई भी नहीं है. सूत्र के आधार पर, यह मूल डेटा की माप की इकाई का वर्ग है।
आइए एक यादृच्छिक चर को मापें एनउदाहरण के लिए, हम हवा की गति को दस बार मापते हैं और औसत मान ज्ञात करना चाहते हैं। औसत मान वितरण फलन से किस प्रकार संबंधित है?
या हम पासे को बड़ी संख्या में पलटेंगे। प्रत्येक फेंके गए पासे पर दिखाई देने वाले अंकों की संख्या एक यादृच्छिक चर है और 1 से 6 तक कोई भी प्राकृतिक मान ले सकती है। सभी पासे फेंकने के लिए गणना किए गए गिराए गए बिंदुओं का अंकगणितीय माध्य भी एक यादृच्छिक चर है, लेकिन बड़े के लिए एनयह एक बहुत ही विशिष्ट संख्या - गणितीय अपेक्षा की ओर प्रवृत्त होता है एमएक्स. इस स्थिति में एमएक्स = 3.5.
आपको यह मूल्य कैसे मिला? भीतर आएं एनपरीक्षण एन 1एक बार जब आपको 1 अंक मिल जाए, एन 2एक बार - 2 अंक वगैरह। फिर उन परिणामों की संख्या जिनमें एक अंक गिरा:
इसी तरह परिणामों के लिए जब 2, 3, 4, 5 और 6 अंक रोल किए जाते हैं।
आइए अब मान लें कि हम यादृच्छिक चर x के वितरण नियम को जानते हैं, अर्थात, हम जानते हैं कि यादृच्छिक चर x संभावनाओं p1, p2, ..., के साथ x1, x2, ..., xk मान ले सकता है। पी.के.
एक यादृच्छिक चर x की गणितीय अपेक्षा Mx इसके बराबर है:
गणितीय अपेक्षा हमेशा कुछ यादृच्छिक चर का उचित अनुमान नहीं होती है। इस प्रकार, औसत वेतन का अनुमान लगाने के लिए, माध्यिका की अवधारणा का उपयोग करना अधिक उचित है, अर्थात्, ऐसा मान कि माध्यिका से कम और अधिक वेतन पाने वाले लोगों की संख्या मेल खाती है।
प्रायिकता p1 कि यादृच्छिक चर x, x1/2 से कम होगा, और प्रायिकता p2 कि यादृच्छिक चर x, x1/2 से अधिक होगा, समान हैं और 1/2 के बराबर हैं। सभी वितरणों के लिए माध्यिका विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं की जाती है।
मानक या मानक विचलनसांख्यिकी में, औसत मूल्य से अवलोकन डेटा या सेट के विचलन की डिग्री को कहा जाता है। s या s अक्षरों से दर्शाया जाता है। एक छोटा मानक विचलन इंगित करता है कि डेटा क्लस्टर माध्य के आसपास हैं, जबकि एक बड़ा मानक विचलन इंगित करता है कि प्रारंभिक डेटा इससे दूर स्थित है। मानक विचलन विचरण नामक मात्रा के वर्गमूल के बराबर होता है। यह प्रारंभिक डेटा के वर्ग अंतर के योग का औसत है जो औसत मूल्य से विचलित होता है। एक यादृच्छिक चर का मानक विचलन विचरण का वर्गमूल है:
उदाहरण। किसी लक्ष्य पर शूटिंग करते समय परीक्षण स्थितियों के तहत, यादृच्छिक चर के फैलाव और मानक विचलन की गणना करें:
उतार-चढ़ाव- जनसंख्या की इकाइयों के बीच किसी विशेषता के मूल्य में उतार-चढ़ाव, परिवर्तनशीलता। अध्ययनाधीन जनसंख्या में पाई जाने वाली किसी विशेषता के व्यक्तिगत संख्यात्मक मूल्यों को मूल्यों के प्रकार कहा जाता है। जनसंख्या को पूरी तरह से चित्रित करने के लिए औसत मूल्य की अपर्याप्तता हमें संकेतकों के साथ औसत मूल्यों को पूरक करने के लिए मजबूर करती है जो हमें अध्ययन की जा रही विशेषता की परिवर्तनशीलता (भिन्नता) को मापकर इन औसतों की विशिष्टता का आकलन करने की अनुमति देती है। भिन्नता के गुणांक की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
भिन्नता की सीमा(आर) अध्ययन की जा रही आबादी में विशेषता के अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों के बीच अंतर का प्रतिनिधित्व करता है। यह संकेतक अध्ययन की जा रही विशेषता की परिवर्तनशीलता का सबसे सामान्य विचार देता है, क्योंकि यह केवल विकल्पों के अधिकतम मूल्यों के बीच अंतर दिखाता है। किसी विशेषता के चरम मूल्यों पर निर्भरता भिन्नता के दायरे को एक अस्थिर, यादृच्छिक चरित्र प्रदान करती है।
औसत रैखिक विचलनविश्लेषण की गई जनसंख्या के सभी मूल्यों के उनके औसत मूल्य से पूर्ण (मॉड्यूलो) विचलन के अंकगणितीय माध्य का प्रतिनिधित्व करता है:
जुआ सिद्धांत में गणितीय अपेक्षा
गणितीय अपेक्षा हैकिसी जुआरी द्वारा दिए गए दांव पर जीतने या हारने की औसत राशि। यह खिलाड़ी के लिए एक बहुत ही महत्वपूर्ण अवधारणा है क्योंकि यह अधिकांश गेमिंग स्थितियों के मूल्यांकन के लिए मौलिक है। बुनियादी कार्ड लेआउट और गेमिंग स्थितियों का विश्लेषण करने के लिए गणितीय अपेक्षा भी इष्टतम उपकरण है।
मान लीजिए कि आप किसी मित्र के साथ सिक्के का खेल खेल रहे हैं और हर बार समान रूप से $1 का दांव लगा रहे हैं, चाहे कुछ भी आए। टेल्स का मतलब है कि आप जीत गए, हेड्स का मतलब है कि आप हार गए। संभावनाएँ एक-से-एक हैं कि यह सिर पर आएगा, इसलिए आप $1 से $1 तक का दांव लगाएं। इस प्रकार, आपकी गणितीय अपेक्षा शून्य है, क्योंकि गणितीय दृष्टिकोण से, आप यह नहीं जान सकते कि आप दो थ्रो के बाद नेतृत्व करेंगे या हारेंगे या 200 के बाद।
आपका प्रति घंटा लाभ शून्य है. प्रति घंटे की जीत वह रकम है जो आप एक घंटे में जीतने की उम्मीद करते हैं। आप एक सिक्के को एक घंटे में 500 बार उछाल सकते हैं, लेकिन आप जीतेंगे या हारेंगे नहीं क्योंकि... आपकी संभावनाएँ न तो सकारात्मक हैं और न ही नकारात्मक। अगर देखा जाए तो एक गंभीर खिलाड़ी के नजरिए से यह सट्टेबाजी प्रणाली खराब नहीं है। लेकिन यह महज़ समय की बर्बादी है।
लेकिन मान लीजिए कि कोई व्यक्ति उसी गेम पर आपके $1 के बदले $2 का दांव लगाना चाहता है। तब आपको तुरंत प्रत्येक दांव से 50 सेंट की सकारात्मक उम्मीद हो जाती है। 50 सेंट क्यों? औसतन, आप एक शर्त जीतते हैं और दूसरी हार जाते हैं। पहले डॉलर पर दांव लगाएं और आप $1 खो देंगे, दूसरे पर दांव लगाएं और आप $2 जीत जाएंगे। आप दो बार $1 का दांव लगाते हैं और $1 से आगे रहते हैं। तो आपके प्रत्येक एक-डॉलर के दांव ने आपको 50 सेंट दिए।
यदि एक सिक्का एक घंटे में 500 बार दिखाई देता है, तो आपकी प्रति घंटा जीत पहले से ही $250 होगी, क्योंकि... औसतन, आपने 250 बार एक डॉलर खोया और 250 बार दो डॉलर जीते। $500 घटा $250 बराबर $250, जो कुल जीत है। कृपया ध्यान दें कि अपेक्षित मूल्य, जो आपके द्वारा प्रति दांव जीतने वाली औसत राशि है, 50 सेंट है। आपने 500 बार एक डॉलर का दांव लगाकर 250 डॉलर जीते, जो प्रति दांव 50 सेंट के बराबर है।
गणितीय अपेक्षा का अल्पकालिक परिणामों से कोई लेना-देना नहीं है। आपका प्रतिद्वंद्वी, जिसने आपके खिलाफ $2 का दांव लगाने का फैसला किया है, वह आपको लगातार पहले दस रोल में हरा सकता है, लेकिन 2 से 1 सट्टेबाजी का लाभ होने पर, अन्य सभी चीजें बराबर होने पर, आप किसी भी $1 के दांव पर 50 सेंट अर्जित करेंगे। परिस्थितियाँ। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप एक दांव जीतते हैं या हारते हैं या कई दांव, जब तक आपके पास आराम से लागतों को कवर करने के लिए पर्याप्त नकदी है। यदि आप इसी तरह से दांव लगाना जारी रखते हैं, तो लंबी अवधि में आपकी जीत व्यक्तिगत थ्रो में उम्मीदों के योग के करीब पहुंच जाएगी।
हर बार जब आप सबसे अच्छा दांव लगाते हैं (एक ऐसा दांव जो लंबे समय में लाभदायक हो सकता है), जब हालात आपके पक्ष में होते हैं, तो आप उस पर कुछ न कुछ जीतने के लिए बाध्य होते हैं, चाहे आप इसे हारें या नहीं। दिया गया हाथ. इसके विपरीत, यदि आप अंडरडॉग दांव (एक ऐसा दांव जो लंबे समय में लाभहीन है) लगाते हैं, जब परिस्थितियां आपके खिलाफ होती हैं, तो आप कुछ हारते हैं, भले ही आप जीतें या हार जाएं।
यदि आपकी अपेक्षा सकारात्मक है तो आप सर्वोत्तम परिणाम के साथ दांव लगाते हैं, और यदि संभावनाएँ आपके पक्ष में हैं तो यह सकारात्मक है। जब आप सबसे खराब परिणाम वाला दांव लगाते हैं, तो आपकी नकारात्मक अपेक्षा होती है, जो तब होता है जब परिस्थितियां आपके विरुद्ध होती हैं। गंभीर खिलाड़ी केवल सर्वोत्तम परिणाम पर दांव लगाते हैं; यदि सबसे खराब होता है, तो वे दांव लगा देते हैं। आपके पक्ष में संभावनाओं का क्या मतलब है? हो सकता है कि आप वास्तविक बाधाओं से अधिक जीत हासिल करें। लैंडिंग हेड की वास्तविक संभावना 1 से 1 है, लेकिन संभावना अनुपात के कारण आपको 2 से 1 मिलता है। इस मामले में, हालात आपके पक्ष में हैं। प्रति दांव 50 सेंट की सकारात्मक उम्मीद के साथ आपको निश्चित रूप से सर्वोत्तम परिणाम मिलेगा।
यहां गणितीय अपेक्षा का एक अधिक जटिल उदाहरण दिया गया है। एक मित्र एक से पाँच तक की संख्याएँ लिखता है और आपके $1 के बदले $5 की शर्त लगाता है कि आप संख्या का अनुमान नहीं लगा पाएंगे। क्या आपको ऐसी शर्त के लिए सहमत होना चाहिए? यहाँ क्या अपेक्षा है?
औसतन आप चार बार गलत होंगे। इसके आधार पर, आपके द्वारा संख्या का अनुमान लगाने की संभावना 4 से 1 है। एक प्रयास में आपके एक डॉलर खोने की संभावना है। हालाँकि, आप 5 से 1 जीतते हैं, 4 से 1 हारने की संभावना के साथ। इसलिए संभावनाएँ आपके पक्ष में हैं, आप दांव लगा सकते हैं और सर्वोत्तम परिणाम की आशा कर सकते हैं। यदि आप यह दांव पांच बार लगाते हैं, तो औसतन आप चार बार $1 हारेंगे और एक बार $5 जीतेंगे। इसके आधार पर, सभी पांच प्रयासों के लिए आप प्रति दांव 20 सेंट की सकारात्मक गणितीय अपेक्षा के साथ $1 अर्जित करेंगे।
एक खिलाड़ी जो जितना दांव लगाता है उससे अधिक जीतने वाला है, जैसा कि ऊपर दिए गए उदाहरण में है, वह जोखिम ले रहा है। इसके विपरीत, जब वह दांव से कम जीतने की उम्मीद करता है तो वह अपने मौके बर्बाद कर देता है। एक दांव लगाने वाले की या तो सकारात्मक या नकारात्मक अपेक्षा हो सकती है, जो इस पर निर्भर करता है कि वह जीतता है या बाधाओं को बर्बाद कर देता है।
यदि आप जीतने की 4 से 1 संभावना के साथ $10 जीतने के लिए $50 का दांव लगाते हैं, तो आपको $2 की नकारात्मक उम्मीद मिलेगी क्योंकि औसतन, आप चार बार $10 जीतेंगे और एक बार $50 हारेंगे, जो दर्शाता है कि प्रति दांव हानि $10 होगी। लेकिन यदि आप $10 जीतने के लिए $30 का दांव लगाते हैं, 4 से 1 जीतने की समान संभावना के साथ, तो इस मामले में आपको $2 की सकारात्मक उम्मीद है, क्योंकि आप फिर से $10 के लाभ के लिए चार बार $10 जीतते हैं और एक बार $30 खोते हैं। ये उदाहरण बताते हैं कि पहला दांव ख़राब है और दूसरा अच्छा है।
गणितीय अपेक्षा किसी भी गेमिंग स्थिति का केंद्र है। जब एक सट्टेबाज फुटबॉल प्रशंसकों को $10 जीतने के लिए $11 का दांव लगाने के लिए प्रोत्साहित करता है, तो उसे प्रत्येक $10 पर 50 सेंट की सकारात्मक उम्मीद होती है। यदि कैसीनो पास लाइन से भी पैसे का भुगतान करता है, तो कैसीनो की सकारात्मक उम्मीद प्रत्येक $100 के लिए लगभग $1.40 होगी, क्योंकि इस गेम को इस तरह से संरचित किया गया है कि जो कोई भी इस लाइन पर दांव लगाता है वह औसतन 50.7% हारता है और कुल समय का 49.3% जीतता है। निस्संदेह, यह न्यूनतम सकारात्मक अपेक्षा ही है जो दुनिया भर के कैसीनो मालिकों को भारी मुनाफा दिलाती है। जैसा कि वेगास वर्ल्ड कैसीनो के मालिक बॉब स्टुपक ने कहा, "लंबी दूरी पर एक प्रतिशत नकारात्मक संभावना का एक हजारवां हिस्सा दुनिया के सबसे अमीर आदमी को बर्बाद कर देगा।"
पोकर खेलते समय अपेक्षा
पोकर का खेल गणितीय अपेक्षा के सिद्धांत और गुणों का उपयोग करने के दृष्टिकोण से सबसे अधिक उदाहरणात्मक और उदाहरणात्मक उदाहरण है।
पोकर में अपेक्षित मूल्य किसी विशेष निर्णय से औसत लाभ है, बशर्ते कि इस तरह के निर्णय को बड़ी संख्या और लंबी दूरी के सिद्धांत के ढांचे के भीतर माना जा सकता है। एक सफल पोकर गेम हमेशा सकारात्मक अपेक्षित मूल्य के साथ चालों को स्वीकार करना है।
पोकर खेलते समय गणितीय अपेक्षा का गणितीय अर्थ यह है कि निर्णय लेते समय हम अक्सर यादृच्छिक चर का सामना करते हैं (हम नहीं जानते कि प्रतिद्वंद्वी के हाथ में कौन से कार्ड हैं, सट्टेबाजी के बाद के दौर में कौन से कार्ड आएंगे)। हमें प्रत्येक समाधान पर बड़ी संख्या सिद्धांत के दृष्टिकोण से विचार करना चाहिए, जो बताता है कि पर्याप्त बड़े नमूने के साथ, यादृच्छिक चर का औसत मूल्य इसकी गणितीय अपेक्षा के अनुरूप होगा।
गणितीय अपेक्षा की गणना के लिए विशेष सूत्रों में, निम्नलिखित पोकर में सबसे अधिक लागू होता है:
पोकर खेलते समय, दांव और कॉल दोनों के लिए अपेक्षित मूल्य की गणना की जा सकती है। पहले मामले में, फ़ोल्ड इक्विटी को ध्यान में रखा जाना चाहिए, दूसरे में, बैंक की अपनी बाधाओं को। किसी विशेष चाल की गणितीय अपेक्षा का आकलन करते समय, आपको याद रखना चाहिए कि एक तह की हमेशा शून्य अपेक्षा होती है। इस प्रकार, किसी भी नकारात्मक कदम की तुलना में कार्ड को त्यागना हमेशा अधिक लाभदायक निर्णय होगा।
अपेक्षा आपको बताती है कि आप अपने जोखिम वाले प्रत्येक डॉलर के लिए क्या उम्मीद कर सकते हैं (लाभ या हानि)। कैसीनो पैसा कमाते हैं क्योंकि उनमें खेले जाने वाले सभी खेलों की गणितीय अपेक्षा कैसीनो के पक्ष में होती है। गेम की पर्याप्त लंबी श्रृंखला के साथ, आप उम्मीद कर सकते हैं कि ग्राहक अपना पैसा खो देगा, क्योंकि "संभावनाएं" कैसीनो के पक्ष में हैं। हालाँकि, पेशेवर कैसीनो खिलाड़ी अपने खेल को कम समय तक सीमित रखते हैं, जिससे संभावनाएँ उनके पक्ष में हो जाती हैं। निवेश के लिए भी यही बात लागू होती है। यदि आपकी अपेक्षा सकारात्मक है, तो आप कम समय में कई ट्रेड करके अधिक पैसा कमा सकते हैं। प्रत्याशा प्रति जीत आपके लाभ का प्रतिशत है जो आपके औसत लाभ से गुणा किया जाता है, आपके नुकसान की संभावना को आपके औसत नुकसान से गुणा किया जाता है।
पोकर को गणितीय अपेक्षा के दृष्टिकोण से भी माना जा सकता है। आप मान सकते हैं कि एक निश्चित कदम लाभदायक है, लेकिन कुछ मामलों में यह सर्वोत्तम नहीं हो सकता है क्योंकि दूसरा कदम अधिक लाभदायक है। मान लीजिए कि आपने पांच-कार्ड ड्रा पोकर में पूरा घर हासिल कर लिया। आपका प्रतिद्वंद्वी दांव लगाता है. आप जानते हैं कि यदि आप दांव बढ़ाते हैं, तो वह जवाब देगा। इसलिए, उठाना सबसे अच्छी युक्ति प्रतीत होती है। लेकिन यदि आप दांव बढ़ाते हैं, तो शेष दो खिलाड़ी निश्चित रूप से दांव लगा देंगे। लेकिन यदि आप कॉल करते हैं, तो आपको पूरा विश्वास है कि आपके पीछे के अन्य दो खिलाड़ी भी ऐसा ही करेंगे। जब आप अपना दांव बढ़ाते हैं तो आपको एक यूनिट मिलती है, और जब आप कॉल करते हैं तो आपको दो यूनिट मिलती हैं। इस प्रकार, कॉल करने से आपको उच्च सकारात्मक अपेक्षित मूल्य मिलता है और यह सबसे अच्छी रणनीति होगी।
गणितीय अपेक्षा यह भी अंदाजा दे सकती है कि कौन सी पोकर रणनीति कम लाभदायक हैं और कौन सी अधिक लाभदायक हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप एक निश्चित हैंड से खेलते हैं और आपको लगता है कि आपका नुकसान औसतन 75 सेंट का होगा, जिसमें एंटी भी शामिल है, तो आपको उस हैंड से खेलना चाहिए क्योंकि जब कीमत 1 डॉलर हो तो यह फोल्ड करने से बेहतर है।
अपेक्षित मूल्य की अवधारणा को समझने का एक और महत्वपूर्ण कारण यह है कि यह आपको मानसिक शांति का एहसास देता है, चाहे आप शर्त जीतें या नहीं: यदि आपने अच्छा दांव लगाया है या सही समय पर मोड़ा है, तो आपको पता चल जाएगा कि आपने कमाई कर ली है या नहीं एक निश्चित धनराशि बचाई जिसे कमजोर खिलाड़ी नहीं बचा सका। यदि आप इस बात से परेशान हैं कि आपके प्रतिद्वंद्वी ने एक मजबूत हाथ खींचा है तो इसे मोड़ना बहुत कठिन है। इन सबके साथ, सट्टेबाजी न खेलकर आप जो पैसा बचाते हैं, वह रात या महीने के लिए आपकी जीत में जोड़ दिया जाता है।
बस याद रखें कि यदि आपने अपना हाथ बदल दिया, तो आपके प्रतिद्वंद्वी ने आपको बुलाया होगा, और जैसा कि आप पोकर के मौलिक सिद्धांत लेख में देखेंगे, यह आपके फायदों में से एक है। ऐसा होने पर आपको खुश होना चाहिए. आप एक हाथ खोने का आनंद लेना भी सीख सकते हैं क्योंकि आप जानते हैं कि आपकी स्थिति में अन्य खिलाड़ियों ने बहुत अधिक खोया होगा।
जैसा कि शुरुआत में सिक्का खेल के उदाहरण में बताया गया है, लाभ की प्रति घंटा दर गणितीय अपेक्षा से जुड़ी हुई है, और यह अवधारणा पेशेवर खिलाड़ियों के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। जब आप पोकर खेलने जाएं तो आपको मानसिक रूप से अनुमान लगाना चाहिए कि आप एक घंटे के खेल में कितना जीत सकते हैं। ज्यादातर मामलों में आपको अपने अंतर्ज्ञान और अनुभव पर भरोसा करने की आवश्यकता होगी, लेकिन आप कुछ गणित का भी उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप ड्रॉ लोबॉल खेल रहे हैं और आप देखते हैं कि तीन खिलाड़ी $10 का दांव लगाते हैं और फिर दो कार्डों का व्यापार करते हैं, जो एक बहुत ही खराब रणनीति है, आप यह समझ सकते हैं कि हर बार जब वे $10 का दांव लगाते हैं, तो वे लगभग $2 हार जाते हैं। उनमें से प्रत्येक प्रति घंटे आठ बार ऐसा करता है, जिसका अर्थ है कि उन तीनों को प्रति घंटे लगभग $48 का नुकसान होता है। आप शेष चार खिलाड़ियों में से एक हैं जो लगभग बराबर हैं, इसलिए इन चार खिलाड़ियों (और उनमें से आपको) को $48 विभाजित करना होगा, प्रत्येक को $12 प्रति घंटे का लाभ होगा। इस मामले में आपकी प्रति घंटा संभावना एक घंटे में तीन खराब खिलाड़ियों द्वारा खोई गई धनराशि में आपके हिस्से के बराबर है।
लंबी अवधि में, खिलाड़ी की कुल जीत व्यक्तिगत हाथों में उसकी गणितीय अपेक्षाओं का योग होती है। आप जितने अधिक हाथों से सकारात्मक उम्मीद के साथ खेलेंगे, उतना अधिक आप जीतेंगे, और इसके विपरीत, जितने अधिक हाथों से आप नकारात्मक उम्मीद के साथ खेलेंगे, उतनी अधिक आप हारेंगे। परिणामस्वरूप, आपको ऐसा खेल चुनना चाहिए जो आपकी सकारात्मक प्रत्याशा को अधिकतम कर सके या आपकी नकारात्मक प्रत्याशा को नकार सके ताकि आप अपनी प्रति घंटा जीत को अधिकतम कर सकें।
गेमिंग रणनीति में सकारात्मक गणितीय अपेक्षा
यदि आप कार्ड गिनना जानते हैं, तो आपको कैसीनो पर लाभ हो सकता है, जब तक कि वे नोटिस न करें और आपको बाहर न फेंक दें। कैसीनो नशे में धुत खिलाड़ियों को पसंद करते हैं और कार्ड गिनने वाले खिलाड़ियों को बर्दाश्त नहीं करते हैं। एक लाभ आपको समय के साथ हारने की तुलना में अधिक बार जीतने की अनुमति देगा। अपेक्षित मूल्य गणनाओं का उपयोग करके अच्छा धन प्रबंधन आपको अपनी बढ़त से अधिक लाभ निकालने और अपने नुकसान को कम करने में मदद कर सकता है। लाभ के बिना, आपके लिए पैसा दान में देना बेहतर है। स्टॉक एक्सचेंज पर गेम में, गेम सिस्टम द्वारा लाभ दिया जाता है, जो नुकसान, मूल्य अंतर और कमीशन की तुलना में अधिक लाभ पैदा करता है। किसी भी प्रकार का धन प्रबंधन खराब गेमिंग सिस्टम को नहीं बचा सकता।
सकारात्मक अपेक्षा को शून्य से अधिक मान के रूप में परिभाषित किया गया है। यह संख्या जितनी बड़ी होगी, सांख्यिकीय अपेक्षा उतनी ही मजबूत होगी। यदि मान शून्य से कम है तो गणितीय अपेक्षा भी ऋणात्मक होगी। ऋणात्मक मान का मॉड्यूल जितना बड़ा होगा, स्थिति उतनी ही खराब होगी। यदि परिणाम शून्य है, तो प्रतीक्षा ब्रेक-ईवन है। आप केवल तभी जीत सकते हैं जब आपके पास सकारात्मक गणितीय अपेक्षा और उचित खेल प्रणाली हो। अंतर्ज्ञान से खेलना विनाश की ओर ले जाता है।
गणितीय अपेक्षा और स्टॉक ट्रेडिंग
वित्तीय बाजारों में विनिमय व्यापार करते समय गणितीय अपेक्षा काफी व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला और लोकप्रिय सांख्यिकीय संकेतक है। सबसे पहले, इस पैरामीटर का उपयोग ट्रेडिंग की सफलता का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि यह मूल्य जितना अधिक होगा, अध्ययन किए जा रहे व्यापार को सफल मानने के उतने ही अधिक कारण होंगे। बेशक, किसी व्यापारी के काम का विश्लेषण अकेले इस पैरामीटर का उपयोग करके नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, परिकलित मूल्य, कार्य की गुणवत्ता का आकलन करने के अन्य तरीकों के संयोजन में, विश्लेषण की सटीकता में काफी वृद्धि कर सकता है।
गणितीय अपेक्षा की गणना अक्सर ट्रेडिंग खाता निगरानी सेवाओं में की जाती है, जो आपको जमा पर किए गए कार्य का त्वरित मूल्यांकन करने की अनुमति देती है। अपवादों में ऐसी रणनीतियाँ शामिल हैं जो "बाहर बैठना" लाभहीन व्यापार का उपयोग करती हैं। एक व्यापारी कुछ समय के लिए भाग्यशाली हो सकता है, और इसलिए उसके काम में कोई घाटा नहीं होगा। इस मामले में, केवल गणितीय अपेक्षा द्वारा निर्देशित होना संभव नहीं होगा, क्योंकि कार्य में उपयोग किए जाने वाले जोखिमों को ध्यान में नहीं रखा जाएगा।
बाज़ार व्यापार में, किसी भी व्यापारिक रणनीति की लाभप्रदता की भविष्यवाणी करते समय या किसी व्यापारी की पिछली ट्रेडिंग के सांख्यिकीय डेटा के आधार पर उसकी आय की भविष्यवाणी करते समय गणितीय अपेक्षा का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।
धन प्रबंधन के संबंध में, यह समझना बहुत महत्वपूर्ण है कि नकारात्मक उम्मीदों के साथ व्यापार करते समय, ऐसी कोई धन प्रबंधन योजना नहीं है जो निश्चित रूप से उच्च लाभ ला सके। यदि आप इन परिस्थितियों में शेयर बाजार में खेलना जारी रखते हैं, तो चाहे आप अपने पैसे का प्रबंधन कैसे भी करें, आप अपना पूरा खाता खो देंगे, चाहे वह शुरुआत में कितना भी बड़ा क्यों न हो।
यह सिद्धांत न केवल नकारात्मक अपेक्षा वाले खेलों या व्यापारों के लिए सत्य है, बल्कि यह समान अवसरों वाले खेलों के लिए भी सत्य है। इसलिए, आपके पास लंबी अवधि में लाभ कमाने का एकमात्र मौका तभी है जब आप सकारात्मक अपेक्षित मूल्य के साथ व्यापार करते हैं।
नकारात्मक अपेक्षा और सकारात्मक अपेक्षा के बीच का अंतर जीवन और मृत्यु के बीच का अंतर है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि अपेक्षा कितनी सकारात्मक या कितनी नकारात्मक है; मायने यह रखता है कि यह सकारात्मक है या नकारात्मक। इसलिए, धन प्रबंधन पर विचार करने से पहले, आपको सकारात्मक उम्मीद वाला खेल ढूंढना चाहिए।
यदि आपके पास वह गेम नहीं है, तो दुनिया का सारा धन प्रबंधन आपको नहीं बचा पाएगा। दूसरी ओर, यदि आपकी कोई सकारात्मक अपेक्षा है, तो आप उचित धन प्रबंधन के माध्यम से इसे तेजी से वृद्धि समारोह में बदल सकते हैं। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि सकारात्मक अपेक्षा कितनी छोटी है! दूसरे शब्दों में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि एकल अनुबंध पर आधारित ट्रेडिंग सिस्टम कितना लाभदायक है। यदि आपके पास एक ऐसा सिस्टम है जो प्रति ट्रेड (कमीशन और स्लिपेज के बाद) प्रति अनुबंध 10 डॉलर जीतता है, तो आप इसे उस सिस्टम की तुलना में अधिक लाभदायक बनाने के लिए धन प्रबंधन तकनीकों का उपयोग कर सकते हैं, जो प्रति ट्रेड औसतन $1,000 (कमीशन और स्लिपेज की कटौती के बाद) जीतता है।
महत्वपूर्ण बात यह नहीं है कि सिस्टम कितना लाभदायक था, बल्कि यह है कि सिस्टम भविष्य में कम से कम न्यूनतम लाभ दिखाने के लिए कितना निश्चित कहा जा सकता है। इसलिए, एक व्यापारी के लिए सबसे महत्वपूर्ण तैयारी यह सुनिश्चित करना है कि सिस्टम भविष्य में सकारात्मक अपेक्षित मूल्य दिखाएगा।
भविष्य में सकारात्मक अपेक्षित मूल्य पाने के लिए, यह बहुत महत्वपूर्ण है कि आप अपने सिस्टम की स्वतंत्रता की डिग्री को सीमित न करें। यह न केवल अनुकूलित किए जाने वाले मापदंडों की संख्या को समाप्त या कम करके प्राप्त किया जाता है, बल्कि यथासंभव अधिक से अधिक सिस्टम नियमों को कम करके भी प्राप्त किया जाता है। आपके द्वारा जोड़ा गया प्रत्येक पैरामीटर, आपके द्वारा बनाया गया प्रत्येक नियम, आपके द्वारा सिस्टम में किया गया प्रत्येक छोटा परिवर्तन स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या को कम कर देता है। आदर्श रूप से, आपको एक काफी आदिम और सरल प्रणाली बनाने की आवश्यकता है जो लगभग किसी भी बाजार में लगातार छोटे लाभ उत्पन्न करेगी। फिर, आपके लिए यह समझना महत्वपूर्ण है कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि सिस्टम कितना लाभदायक है, जब तक वह लाभदायक है। ट्रेडिंग में आप जो पैसा कमाएंगे वह प्रभावी धन प्रबंधन के माध्यम से बनाया जाएगा।
एक ट्रेडिंग सिस्टम बस एक उपकरण है जो आपको सकारात्मक अपेक्षित मूल्य देता है ताकि आप धन प्रबंधन का उपयोग कर सकें। ऐसी प्रणालियाँ जो केवल एक या कुछ बाज़ारों में काम करती हैं (कम से कम न्यूनतम मुनाफ़ा दिखाती हैं), या अलग-अलग बाज़ारों के लिए अलग-अलग नियम या पैरामीटर रखती हैं, वे संभवतः वास्तविक समय में लंबे समय तक काम नहीं करेंगी। अधिकांश तकनीकी रूप से उन्मुख व्यापारियों के साथ समस्या यह है कि वे ट्रेडिंग सिस्टम के विभिन्न नियमों और पैरामीटर मूल्यों को अनुकूलित करने में बहुत अधिक समय और प्रयास खर्च करते हैं। इससे बिल्कुल विपरीत परिणाम मिलते हैं. ट्रेडिंग सिस्टम के मुनाफ़े को बढ़ाने पर ऊर्जा और कंप्यूटर का समय बर्बाद करने के बजाय, अपनी ऊर्जा को न्यूनतम लाभ प्राप्त करने की विश्वसनीयता के स्तर को बढ़ाने के लिए निर्देशित करें।
यह जानते हुए कि धन प्रबंधन केवल एक संख्या का खेल है जिसमें सकारात्मक अपेक्षाओं के उपयोग की आवश्यकता होती है, एक व्यापारी स्टॉक ट्रेडिंग के "पवित्र कब्र" की खोज करना बंद कर सकता है। इसके बजाय, वह अपनी ट्रेडिंग पद्धति का परीक्षण शुरू कर सकता है, पता लगा सकता है कि यह पद्धति कितनी तार्किक है और क्या यह सकारात्मक उम्मीदें देती है। उचित धन प्रबंधन विधियां, किसी भी, यहां तक कि बहुत ही औसत दर्जे की व्यापारिक विधियों पर भी लागू की जाती हैं, बाकी काम स्वयं ही कर लेंगी।
किसी भी व्यापारी को अपने काम में सफल होने के लिए, उसे तीन सबसे महत्वपूर्ण कार्यों को हल करने की आवश्यकता है:। यह सुनिश्चित करने के लिए कि सफल लेनदेन की संख्या अपरिहार्य गलतियों और गलत अनुमानों से अधिक हो; अपना ट्रेडिंग सिस्टम स्थापित करें ताकि आपको जितनी बार संभव हो पैसा कमाने का अवसर मिले; अपने कार्यों से स्थिर सकारात्मक परिणाम प्राप्त करें।
और यहां, हम कामकाजी व्यापारियों के लिए, गणितीय अपेक्षा बहुत मददगार हो सकती है। यह शब्द संभाव्यता सिद्धांत में प्रमुख शब्दों में से एक है। इसकी सहायता से आप कुछ यादृच्छिक मूल्य का औसत अनुमान दे सकते हैं। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के समान है, यदि आप विभिन्न द्रव्यमान वाले बिंदुओं के रूप में सभी संभावित संभावनाओं की कल्पना करते हैं।
किसी व्यापारिक रणनीति के संबंध में, इसकी प्रभावशीलता का मूल्यांकन करने के लिए लाभ (या हानि) की गणितीय अपेक्षा का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। इस पैरामीटर को लाभ और हानि के दिए गए स्तरों के उत्पादों और उनके घटित होने की संभावना के योग के रूप में परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, विकसित ट्रेडिंग रणनीति मानती है कि सभी लेनदेन का 37% लाभ लाएगा, और शेष भाग - 63% - लाभहीन होगा। उसी समय, एक सफल लेनदेन से औसत आय $7 होगी, और औसत हानि $1.4 होगी। आइए इस प्रणाली का उपयोग करके व्यापार की गणितीय अपेक्षा की गणना करें:
इस अंक का क्या अर्थ है? इसमें कहा गया है कि, इस प्रणाली के नियमों का पालन करते हुए, हमें प्रत्येक बंद लेनदेन से औसतन $1,708 प्राप्त होंगे। चूँकि परिणामी दक्षता रेटिंग शून्य से अधिक है, ऐसी प्रणाली का उपयोग वास्तविक कार्य के लिए किया जा सकता है। यदि, गणना के परिणामस्वरूप, गणितीय अपेक्षा नकारात्मक हो जाती है, तो यह पहले से ही औसत नुकसान का संकेत देता है और इस तरह के व्यापार से बर्बादी होगी।
प्रति लेनदेन लाभ की राशि को % के रूप में सापेक्ष मूल्य के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:
– प्रति 1 लेनदेन आय का प्रतिशत - 5%;
– सफल ट्रेडिंग संचालन का प्रतिशत - 62%;
– प्रति 1 लेनदेन हानि का प्रतिशत - 3%;
- असफल लेनदेन का प्रतिशत - 38%;
यानी औसत व्यापार 1.96% लाएगा।
एक ऐसी प्रणाली विकसित करना संभव है, जो लाभहीन व्यापारों की प्रबलता के बावजूद, सकारात्मक परिणाम देगी, क्योंकि इसका MO>0 है।
हालाँकि, अकेले इंतज़ार करना पर्याप्त नहीं है। यदि सिस्टम बहुत कम ट्रेडिंग सिग्नल देता है तो पैसा कमाना मुश्किल है। इस मामले में, इसकी लाभप्रदता बैंक ब्याज के बराबर होगी। मान लीजिए कि प्रत्येक ऑपरेशन से औसतन केवल 0.5 डॉलर का उत्पादन होता है, लेकिन क्या होगा यदि सिस्टम में प्रति वर्ष 1000 ऑपरेशन शामिल हों? अपेक्षाकृत कम समय में यह बहुत महत्वपूर्ण राशि होगी। इससे तार्किक रूप से यह पता चलता है कि एक अच्छी ट्रेडिंग प्रणाली की एक और विशिष्ट विशेषता पदों पर बने रहने की एक छोटी अवधि मानी जा सकती है।
स्रोत और लिंक
dic.academic.ru - अकादमिक ऑनलाइन शब्दकोश
गणित.आरयू - गणित में शैक्षिक वेबसाइट
nsu.ru - नोवोसिबिर्स्क स्टेट यूनिवर्सिटी की शैक्षिक वेबसाइट
webmath.ru छात्रों, आवेदकों और स्कूली बच्चों के लिए एक शैक्षिक पोर्टल है।
exponenta.ru शैक्षिक गणितीय वेबसाइट
ru.tradimo.com - मुफ़्त ऑनलाइन ट्रेडिंग स्कूल
क्रिप्टो.hut2.ru - बहुविषयक सूचना संसाधन
पोकर-विकी.ru - पोकर का निःशुल्क विश्वकोश
sernam.ru - चयनित प्राकृतिक विज्ञान प्रकाशनों का वैज्ञानिक पुस्तकालय
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संभाव्यता सिद्धांत और इसके कई अनुप्रयोगों में, यादृच्छिक चर की विभिन्न संख्यात्मक विशेषताओं का बहुत महत्व है। मुख्य हैं गणितीय अपेक्षा और विचरण।
1. एक यादृच्छिक चर और उसके गुणों की गणितीय अपेक्षा।
आइए पहले निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें। पौधे को एक बैच प्राप्त करने दें एनबियरिंग्स. जिसमें:
मी 1 एक्स 1,
मी 2- बाहरी व्यास वाले बीयरिंगों की संख्या एक्स 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
एम एन- बाहरी व्यास वाले बीयरिंगों की संख्या एक्स एन,
यहाँ एम 1 +एम 2 +...+एम एन =एन. आइए अंकगणितीय माध्य ज्ञात करें x औसतबेयरिंग का बाहरी व्यास. ज़ाहिर तौर से,
यादृच्छिक रूप से निकाले गए बेयरिंग के बाहरी व्यास को मान लेने वाला एक यादृच्छिक चर माना जा सकता है एक्स 1, एक्स 2, ..., एक्स एन, संगत संभावनाओं के साथ पी 1 =एम 1 /एन, पी 2 =एम 2 /एन, ..., पी एन =एम एन /एन, संभावना के बाद से पी मैंबाहरी व्यास वाले बेयरिंग की उपस्थिति एक्स मैंके बराबर एम मैं /एन. इस प्रकार, अंकगणित माध्य x औसतसंबंध का उपयोग करके बेयरिंग का बाहरी व्यास निर्धारित किया जा सकता है 
किसी दिए गए संभाव्यता वितरण कानून के साथ एक असतत यादृच्छिक चर बनें
मान
एक्स 1
एक्स 2
. . .
एक्स एन
संभावनाओं
पी 1
पी2
. . .
पी एन
गणितीय अपेक्षा असतत यादृच्छिक चरएक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों के युग्मित उत्पादों का योग उनकी संगत संभावनाओं द्वारा होता है, अर्थात। *
इस मामले में, यह माना जाता है कि समानता के दाईं ओर अनुचित अभिन्न अंग (40) मौजूद है।
आइए गणितीय अपेक्षा के गुणों पर विचार करें। इस मामले में, हम खुद को केवल पहले दो गुणों के प्रमाण तक सीमित रखेंगे, जिन्हें हम असतत यादृच्छिक चर के लिए करेंगे।
1°. स्थिरांक C की गणितीय अपेक्षा इस स्थिरांक के बराबर है.
सबूत।स्थिर सीइसे एक यादृच्छिक चर के रूप में सोचा जा सकता है जो केवल एक मान ले सकता है सीएक के बराबर संभावना के साथ. इसीलिए 
2°. स्थिर कारक को गणितीय अपेक्षा के चिह्न से परे ले जाया जा सकता है, अर्थात। 
सबूत।संबंध (39) का उपयोग करते हुए, हमारे पास है 
3°. कई यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा इन चरों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है:
अपेक्षित मूल्य- एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य (एक स्थिर यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण) जब नमूनों की संख्या या माप की संख्या (कभी-कभी परीक्षणों की संख्या कहा जाता है) अनंत तक जाती है।
परीक्षणों की एक सीमित संख्या के एक-आयामी यादृच्छिक चर का अंकगणितीय माध्य आमतौर पर कहा जाता है गणितीय अपेक्षा अनुमान. चूँकि एक स्थिर यादृच्छिक प्रक्रिया के परीक्षणों की संख्या अनंत हो जाती है, गणितीय अपेक्षा का अनुमान गणितीय अपेक्षा की ओर जाता है।
गणितीय अपेक्षा संभाव्यता सिद्धांत में बुनियादी अवधारणाओं में से एक है)।
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✪ अपेक्षा और भिन्नता - बेज़बॉटवी
✪ संभाव्यता सिद्धांत 15: अपेक्षा
✪ गणितीय अपेक्षा
✪ अपेक्षा और भिन्नता। लिखित
✪ ट्रेडिंग में गणितीय अपेक्षा
उपशीर्षक
परिभाषा
मान लीजिए एक संभाव्यता स्थान दिया गया है (Ω , A , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathfrak (A)),\mathbb (P)))और उस पर एक यादृच्छिक चर परिभाषित किया गया है एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स). अर्थात्, परिभाषा के अनुसार, X: Ω → R (\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb (R) )- मापने योग्य कार्य। यदि कोई लेबेस्ग इंटीग्रल मौजूद है एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)अंतरिक्ष द्वारा Ω (\displaystyle \ओमेगा ), तो इसे गणितीय अपेक्षा, या औसत (अपेक्षित) मान कहा जाता है और दर्शाया जाता है एम [एक्स] (\डिस्प्लेस्टाइल एम[एक्स])या ई [एक्स] (\displaystyle \mathbb (ई) [एक्स]).
एम [ एक्स ] = ∫ Ω एक्स (ω) पी (डी ω) . (\displaystyle M[X]=\int \limits _(\Omega )\!X(\omega)\,\mathbb (P) (d\omega).)गणितीय अपेक्षा के लिए बुनियादी सूत्र
एम [एक्स] = ∫ − ∞ ∞ एक्स डी एफ एक्स (एक्स) ; x ∈ R (\displaystyle M[X]=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!x\,dF_(X)(x);x\in \mathbb (R) ).
असतत वितरण की गणितीय अपेक्षा
P (X = x i) = p i , ∑ i = 1 ∞ p i = 1 (\displaystyle \mathbb (P) (X=x_(i))=p_(i),\;\sum \limits _(i=1 )^(\infty )p_(i)=1),तो यह सीधे तौर पर लेबेस्ग इंटीग्रल की परिभाषा का अनुसरण करता है
M [.पूर्णांक मान की अपेक्षा
पी (एक्स = जे) = पी जे, जे = 0, 1,। . . ; ∑ j = 0 ∞ p j = 1 (\displaystyle \mathbb (P) (X=j)=p_(j),\;j=0,1,...;\quad \sum \limits _(j=0 )^(\infty )p_(j)=1)तब इसकी गणितीय अपेक्षा अनुक्रम के जनक फलन के माध्यम से व्यक्त की जा सकती है ( पी आई ) (\displaystyle \(p_(i)\))
P (s) = ∑ k = 0 ∞ p k s k (\displaystyle P(s)=\sum _(k=0)^(\infty )\;p_(k)s^(k))एकता में प्रथम व्युत्पन्न के मूल्य के रूप में: एम [एक्स] = पी ′ (1) (\displaystyle एम[एक्स]=पी"(1)). यदि गणितीय अपेक्षा एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)तो फिर अनंत काल तक lim s → 1 P ′ (s) = ∞ (\displaystyle \lim _(s\to 1)P"(s)=\infty )और हम लिखेंगे पी ′ (1) = एम [ एक्स ] = ∞ (\displaystyle पी"(1)=एम[एक्स]=\infty )
अब जनरेटिंग फ़ंक्शन लेते हैं Q(s) (\displaystyle Q(s))वितरण पूँछों का क्रम ( q k ) (\displaystyle \(q_(k)\))
क्यू के = पी (एक्स > के) = ∑ जे = के + 1 ∞ पी जे ; Q(s) = ∑ k = 0 ∞ q k s k . (\displaystyle q_(k)=\mathbb (P) (X>k)=\sum _(j=k+1)^(\infty )(p_(j));\quad Q(s)=\sum _(k=0)^(\infty )\;q_(k)s^(k).)यह जनरेटिंग फ़ंक्शन पहले से परिभाषित फ़ंक्शन से संबंधित है पी (एस) (\डिस्प्लेस्टाइल पी(एस))संपत्ति: Q(s) = 1 − P(s) 1 − s (\displaystyle Q(s)=(\frac (1-P(s))(1-s)))पर | एस |< 1 {\displaystyle |s|<1} . इससे, माध्य मान प्रमेय से, यह निष्कर्ष निकलता है कि गणितीय अपेक्षा एकता में इस फ़ंक्शन के मान के बराबर है:
एम [एक्स] = पी ′ (1) = क्यू (1) (\displaystyle एम[एक्स]=पी"(1)=क्यू(1))बिल्कुल सतत वितरण की गणितीय अपेक्षा
M [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x f ).एक यादृच्छिक वेक्टर की गणितीय अपेक्षा
होने देना X = (X 1 , … , X n) ⊤ : Ω → R n (\displaystyle X=(X_(1),\dots ,X_(n))^(\top )\colon \Omega \to \mathbb ( आर)^(एन))- यादृच्छिक वेक्टर. फिर परिभाषा के अनुसार
एम [एक्स] = (एम [एक्स 1 ], …, एम [एक्स एन]) ⊤ (\displaystyle एम[एक्स]=(एम,\डॉट्स,एम)^(\टॉप )),अर्थात्, एक वेक्टर की गणितीय अपेक्षा घटक दर घटक निर्धारित होती है।
एक यादृच्छिक चर के परिवर्तन की उम्मीद
होने देना g: R → R (\displaystyle g\colon \mathbb (R) \to \mathbb (R) )एक बोरेल फ़ंक्शन है जैसे कि यादृच्छिक चर Y = g (X) (\displaystyle Y=g(X))एक सीमित गणितीय अपेक्षा है। फिर इसके लिए फॉर्मूला मान्य है
M [ g (X) ] = ∑ i = 1 ∞ g (x i) p i , (\displaystyle M\left=\sum \limits _(i=1)^(\infty )g(x_(i))p_( मैं),)अगर एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)एक पृथक वितरण है;
M [ g (X) ] = ∫ − ∞ ∞ g (x) f X (x) d x , (\displaystyle M\left=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!g(x )f_(X)(x)\,dx,)अगर एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)बिल्कुल सतत वितरण है.
यदि वितरण पी एक्स (\displaystyle \mathbb (पी)^(एक्स))अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)सामान्य दृश्य, फिर
एम [ जी (एक्स) ] = ∫ - ∞ ∞ जी (एक्स) पी एक्स (डी एक्स)। (\displaystyle M\left=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!g(x)\,\mathbb (P) ^(X)(dx).)विशेष मामले में जब g (X) = X k (\displaystyle g(X)=X^(k)), अपेक्षित मूल्य एम [जी (एक्स)] = एम [एक्स के] (\डिस्प्लेस्टाइल एम=एम)बुलाया के (\डिस्प्लेस्टाइल के)- यादृच्छिक चर का क्षण।
गणितीय अपेक्षा के सबसे सरल गुण
- किसी संख्या की गणितीय अपेक्षा संख्या ही होती है।
- गणितीय अपेक्षा रैखिक है, अर्थात्
