फ़ंक्शन y 4x x 2 का अध्ययन। कुज़नेत्सोव एल के संग्रह से समस्याएं

सॉल्वर कुज़नेत्सोव।
तृतीय चार्ट

कार्य 7. फ़ंक्शन का संपूर्ण अध्ययन करें और उसका ग्राफ़ बनाएं।

इससे पहले कि आप अपने विकल्पों को डाउनलोड करना शुरू करें, विकल्प 3 के लिए नीचे दिए गए उदाहरण के अनुसार समस्या को हल करने का प्रयास करें। कुछ विकल्प .rar प्रारूप में संग्रहीत हैं

        7.3 फ़ंक्शन का पूर्ण अध्ययन करें और उसे प्लॉट करें

समाधान।

        1) परिभाषा का दायरा:         या        , अर्थात        .
.
इस प्रकार:        ।

        2) ऑक्स अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन का कोई बिंदु नहीं है। दरअसल, समीकरण का कोई हल नहीं है।
ओए अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन का कोई बिंदु नहीं है, क्योंकि        ।

        3) फलन न तो सम है और न ही विषम है। कोटि अक्ष के बारे में कोई समरूपता नहीं है। उत्पत्ति के विषय में भी कोई समरूपता नहीं है। क्योंकि
.
हम देखते हैं कि                  ।

        4) फ़ंक्शन परिभाषा के क्षेत्र में निरंतर है
.

; .

; .
नतीजतन, बिंदु दूसरे प्रकार का असंततता (अनंत असंततता) का एक बिंदु है।

5) लंबवत अनंतस्पर्शी:       

आइए तिरछा अनंतस्पर्शी खोजें। यहाँ

;
.
नतीजतन, हमारे पास एक क्षैतिज अनंतस्पर्शी है: y=0. कोई परोक्ष अनंतस्पर्शी नहीं हैं.

        6) आइए पहला व्युत्पन्न खोजें। पहला व्युत्पन्न:
.
और यही कारण है
.
आइए स्थिर बिंदु खोजें जहां व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, अर्थात
.

        7) आइए दूसरा व्युत्पन्न खोजें। दूसरा व्युत्पन्न:
.
और यह सत्यापित करना आसान है, क्योंकि

किसी फ़ंक्शन का अध्ययन कैसे करें और उसका ग्राफ़ कैसे बनाएं?

ऐसा लगता है कि मैं 55 खंडों में संकलित रचनाओं के लेखक, विश्व सर्वहारा के नेता के आध्यात्मिक रूप से अंतर्दृष्टिपूर्ण चेहरे को समझने लगा हूं... लंबी यात्रा की शुरुआत बुनियादी जानकारी के साथ हुई फ़ंक्शन और ग्राफ़, और अब एक श्रम-गहन विषय पर काम एक तार्किक परिणाम के साथ समाप्त होता है - एक लेख फ़ंक्शन के संपूर्ण अध्ययन के बारे में. लंबे समय से प्रतीक्षित कार्य इस प्रकार तैयार किया गया है:

विभेदक कैलकुलस विधियों का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करें और अध्ययन के परिणामों के आधार पर उसका ग्राफ़ बनाएं

या संक्षेप में: फ़ंक्शन की जांच करें और एक ग्राफ़ बनाएं।

अन्वेषण क्यों करें?साधारण मामलों में, हमारे लिए प्राथमिक कार्यों को समझना, इसका उपयोग करके प्राप्त ग्राफ बनाना मुश्किल नहीं होगा प्राथमिक ज्यामितीय परिवर्तनऔर इसी तरह। हालाँकि, अधिक जटिल कार्यों के गुण और चित्रमय निरूपण स्पष्ट नहीं हैं, यही कारण है कि एक संपूर्ण अध्ययन की आवश्यकता है।

समाधान के मुख्य चरणों को संदर्भ सामग्री में संक्षेपित किया गया है कार्य अध्ययन योजना, यह अनुभाग के लिए आपकी मार्गदर्शिका है। डमी को किसी विषय की चरण-दर-चरण व्याख्या की आवश्यकता होती है, कुछ पाठक नहीं जानते कि अपना शोध कहाँ से शुरू करें या कैसे व्यवस्थित करें, और उन्नत छात्र केवल कुछ बिंदुओं में रुचि ले सकते हैं। लेकिन आप जो भी हों, प्रिय आगंतुक, विभिन्न पाठों के संकेतों के साथ प्रस्तावित सारांश आपको तुरंत रुचि की दिशा में उन्मुख और मार्गदर्शन करेगा। रोबोटों ने आँसू बहाए =) मैनुअल को एक पीडीएफ फ़ाइल के रूप में रखा गया और पृष्ठ पर अपना उचित स्थान ले लिया गणितीय सूत्र और तालिकाएँ.

मैं किसी फ़ंक्शन के शोध को 5-6 बिंदुओं में विभाजित करने का आदी हूं:

6) शोध परिणामों के आधार पर अतिरिक्त बिंदु और ग्राफ़।

अंतिम कार्रवाई के संबंध में, मुझे लगता है कि सब कुछ सभी के लिए स्पष्ट है - यह बहुत निराशाजनक होगा यदि कुछ ही सेकंड में इसे काट दिया जाए और कार्य को पुनरीक्षण के लिए वापस कर दिया जाए। एक सही और सटीक ड्राइंग समाधान का मुख्य परिणाम है! यह विश्लेषणात्मक त्रुटियों को "छिपाने" की संभावना है, जबकि एक गलत और/या लापरवाह कार्यक्रम पूरी तरह से आयोजित अध्ययन के साथ भी समस्याएं पैदा करेगा।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अन्य स्रोतों में अनुसंधान बिंदुओं की संख्या, उनके कार्यान्वयन का क्रम और डिजाइन शैली मेरे द्वारा प्रस्तावित योजना से काफी भिन्न हो सकती है, लेकिन ज्यादातर मामलों में यह काफी पर्याप्त है। समस्या के सबसे सरल संस्करण में केवल 2-3 चरण होते हैं और इसे कुछ इस तरह तैयार किया जाता है: "व्युत्पन्न का उपयोग करके फ़ंक्शन की जांच करें और एक ग्राफ़ बनाएं" या "पहले और दूसरे डेरिवेटिव का उपयोग करके फ़ंक्शन की जांच करें, एक ग्राफ़ बनाएं।"

स्वाभाविक रूप से, यदि आपका मैनुअल किसी अन्य एल्गोरिदम का विस्तार से वर्णन करता है या आपका शिक्षक सख्ती से मांग करता है कि आप उसके व्याख्यानों का पालन करें, तो आपको समाधान में कुछ समायोजन करना होगा। चेनसॉ काँटे को चम्मच से बदलने से अधिक कठिन कुछ नहीं है।

आइए सम/विषम के लिए फ़ंक्शन की जाँच करें:

इसके बाद एक टेम्पलेट उत्तर दिया गया है:
, जिसका अर्थ है कि यह फ़ंक्शन सम या विषम नहीं है।

चूंकि फ़ंक्शन निरंतर चालू है, इसलिए कोई लंबवत अनंतस्पर्शी नहीं हैं।

कोई तिरछा स्पर्शोन्मुख भी नहीं हैं।

टिप्पणी : मैं तुम्हें याद दिलाता हूँ कि उच्चतर विकास क्रम, से , इसलिए अंतिम सीमा बिल्कुल " है प्लसअनंत।"

आइए जानें कि फ़ंक्शन अनंत पर कैसे व्यवहार करता है:

दूसरे शब्दों में, यदि हम दाईं ओर जाते हैं, तो ग्राफ़ असीम रूप से ऊपर चला जाता है, यदि हम बाईं ओर जाते हैं, तो यह असीम रूप से नीचे चला जाता है। हाँ, एक ही प्रविष्टि के अंतर्गत दो सीमाएँ भी हैं। यदि आपको संकेतों को समझने में कठिनाई हो रही है, तो कृपया इसके बारे में पाठ देखें अतिसूक्ष्म कार्य.

तो समारोह ऊपर से सीमित नहींऔर नीचे से सीमित नहीं. यह मानते हुए कि हमारे पास कोई ब्रेकप्वाइंट नहीं है, यह स्पष्ट हो जाता है फ़ंक्शन रेंज: - कोई वास्तविक संख्या भी।

उपयोगी तकनीकी तकनीक

कार्य का प्रत्येक चरण फ़ंक्शन के ग्राफ़ के बारे में नई जानकारी लाता है, इसलिए, समाधान के दौरान एक प्रकार के LAYOUT का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। आइए एक ड्राफ्ट पर कार्टेशियन समन्वय प्रणाली बनाएं। क्या पहले से ही निश्चित रूप से ज्ञात है? सबसे पहले, ग्राफ़ में कोई अनंतस्पर्शी रेखाएँ नहीं हैं, इसलिए सीधी रेखाएँ खींचने की कोई आवश्यकता नहीं है। दूसरे, हम जानते हैं कि फलन अनंत पर कैसे व्यवहार करता है। विश्लेषण के अनुसार, हम पहला अनुमान लगाते हैं:

कृपया ध्यान दें कि के कारण निरंतरताफ़ंक्शन चालू है और तथ्य यह है कि ग्राफ़ को कम से कम एक बार अक्ष को पार करना होगा। या हो सकता है कि प्रतिच्छेदन के कई बिंदु हों?

3) फलन के शून्य और अचर चिह्न के अंतराल।

सबसे पहले, आइए कोटि अक्ष के साथ ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। यह आसान है। फ़ंक्शन के मान की गणना करना आवश्यक है:

समुद्र तल से डेढ़ ऊपर.

अक्ष (फ़ंक्शन के शून्य) के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु खोजने के लिए, हमें समीकरण को हल करने की आवश्यकता है, और यहां एक अप्रिय आश्चर्य हमारा इंतजार कर रहा है:

अंत में एक स्वतंत्र सदस्य छिपा हुआ है, जो कार्य को और अधिक कठिन बना देता है।

ऐसे समीकरण का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है और प्रायः यह मूल अपरिमेय होता है। सबसे खराब परी कथा में, तीन छोटे सूअर हमारा इंतजार कर रहे हैं। समीकरण तथाकथित का उपयोग करके हल करने योग्य है कार्डानो सूत्र, लेकिन कागज को हुआ नुकसान लगभग पूरे अध्ययन के बराबर है। इस संबंध में, मौखिक रूप से या ड्राफ्ट में कम से कम एक का चयन करने का प्रयास करना बुद्धिमानी है। साबुतजड़। आइए देखें कि क्या ये संख्याएँ हैं:
- उपयुक्त नहीं;
- वहाँ है!

यहाँ भाग्यशाली हूँ. विफलता की स्थिति में, आप परीक्षण भी कर सकते हैं, और यदि ये संख्याएँ फिट नहीं होती हैं, तो मुझे डर है कि समीकरण के लाभदायक समाधान की संभावना बहुत कम है। फिर अनुसंधान बिंदु को पूरी तरह से छोड़ देना बेहतर है - शायद अंतिम चरण में कुछ स्पष्ट हो जाएगा, जब अतिरिक्त बिंदुओं को तोड़ दिया जाएगा। और यदि जड़ें स्पष्ट रूप से "खराब" हैं, तो संकेतों की स्थिरता के अंतराल के बारे में विनम्रतापूर्वक चुप रहना और अधिक सावधानी से आकर्षित करना बेहतर है।

हालाँकि, हमारे पास एक सुंदर जड़ है, इसलिए हम बहुपद को विभाजित करते हैं बिना किसी शेष के:

एक बहुपद को एक बहुपद से विभाजित करने के एल्गोरिदम पर पाठ के पहले उदाहरण में विस्तार से चर्चा की गई है जटिल सीमाएँ.

परिणामस्वरूप, मूल समीकरण का बाईं ओर उत्पाद में विघटित हो जाता है:

और अब स्वस्थ जीवन शैली के बारे में थोड़ा। निःसंदेह, मैं इसे समझता हूं द्विघातीय समीकरणइसे हर दिन हल करने की आवश्यकता है, लेकिन आज हम एक अपवाद बनाएंगे: समीकरण इसकी दो वास्तविक जड़ें हैं.

आइए पाए गए मानों को संख्या रेखा पर आलेखित करें और अंतराल विधिआइए फ़ंक्शन के संकेतों को परिभाषित करें:


और इस प्रकार, अंतराल पर शेड्यूल स्थित है
x-अक्ष के नीचे, और अंतराल पर - इस अक्ष के ऊपर.

निष्कर्ष हमें अपने लेआउट को परिष्कृत करने की अनुमति देते हैं, और ग्राफ़ का दूसरा सन्निकटन इस तरह दिखता है:

कृपया ध्यान दें कि किसी फ़ंक्शन में एक अंतराल पर कम से कम एक अधिकतम और एक अंतराल पर कम से कम एक न्यूनतम होना चाहिए। लेकिन हम अभी तक नहीं जानते कि शेड्यूल कितनी बार, कहां और कब लूप होगा। वैसे, एक फ़ंक्शन में अपरिमित रूप से अनेक हो सकते हैं चरम.

4)कार्य का बढ़ना, घटना और चरम होना।

आइए महत्वपूर्ण बिंदु खोजें:

इस समीकरण की दो वास्तविक जड़ें हैं। आइए उन्हें संख्या रेखा पर रखें और अवकलज के चिह्न निर्धारित करें:


इसलिए, फ़ंक्शन बढ़ जाता है और घट जाती है.
इस बिंदु पर फ़ंक्शन अपने अधिकतम तक पहुँच जाता है: .
इस बिंदु पर फ़ंक्शन न्यूनतम तक पहुँच जाता है: .

स्थापित तथ्य हमारे टेम्पलेट को काफी कठोर ढांचे में ले जाते हैं:

कहने की जरूरत नहीं है, डिफरेंशियल कैलकुलस एक शक्तिशाली चीज़ है। आइए अंततः ग्राफ़ के आकार को समझें:

5) उत्तलता, अवतलता और विभक्ति बिंदु।

आइए दूसरे व्युत्पन्न के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें:

आइए संकेतों को परिभाषित करें:


फ़ंक्शन का ग्राफ उत्तल और अवतल है। आइए विभक्ति बिंदु की कोटि की गणना करें: .

लगभग सब कुछ स्पष्ट हो गया है.

6) अतिरिक्त बिंदु ढूंढना बाकी है जो आपको अधिक सटीक रूप से ग्राफ बनाने और आत्म-परीक्षण करने में मदद करेंगे। इस मामले में उनमें से कुछ हैं, लेकिन हम उनकी उपेक्षा नहीं करेंगे:

आइए चित्र बनाएं:

विभक्ति बिंदु को हरे रंग में चिह्नित किया गया है, अतिरिक्त बिंदुओं को क्रॉस के साथ चिह्नित किया गया है। एक घन फलन का ग्राफ उसके विभक्ति बिंदु के बारे में सममित होता है, जो हमेशा अधिकतम और न्यूनतम के बीच में स्थित होता है।

जैसे-जैसे कार्य आगे बढ़ा, मैंने तीन काल्पनिक अंतरिम चित्र उपलब्ध कराए। व्यवहार में, एक समन्वय प्रणाली बनाना, पाए गए बिंदुओं को चिह्नित करना और अनुसंधान के प्रत्येक बिंदु के बाद मानसिक रूप से अनुमान लगाना पर्याप्त है कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसा दिख सकता है। अच्छे स्तर की तैयारी वाले छात्रों के लिए इस तरह के विश्लेषण को किसी ड्राफ्ट को शामिल किए बिना केवल अपने दिमाग में करना मुश्किल नहीं होगा।

इसे स्वयं हल करने के लिए:

उदाहरण 2

फ़ंक्शन का अन्वेषण करें और एक ग्राफ़ बनाएं।

यहां सब कुछ तेज़ और अधिक मज़ेदार है, पाठ के अंत में अंतिम डिज़ाइन का एक अनुमानित उदाहरण।

भिन्नात्मक तर्कसंगत कार्यों के अध्ययन से कई रहस्य उजागर होते हैं:

उदाहरण 3

किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करने के लिए विभेदक कैलकुलस विधियों का उपयोग करें और, अध्ययन के परिणामों के आधार पर, इसका ग्राफ़ बनाएं।

समाधान: परिभाषा क्षेत्र में एक छेद के अपवाद के साथ, अध्ययन का पहला चरण कुछ भी उल्लेखनीय नहीं है:

1) फ़ंक्शन बिंदु को छोड़कर संपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित और निरंतर है, कार्यक्षेत्र: .

, जिसका अर्थ है कि यह फ़ंक्शन सम या विषम नहीं है।

यह स्पष्ट है कि कार्य गैर-आवधिक है।

फ़ंक्शन का ग्राफ बाएं और दाएं आधे-तल में स्थित दो निरंतर शाखाओं का प्रतिनिधित्व करता है - यह शायद बिंदु 1 का सबसे महत्वपूर्ण निष्कर्ष है।

2) अनंतस्पर्शी, अनंत पर किसी फ़ंक्शन का व्यवहार।

ए) एक तरफा सीमाओं का उपयोग करते हुए, हम एक संदिग्ध बिंदु के पास फ़ंक्शन के व्यवहार की जांच करते हैं, जहां स्पष्ट रूप से एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी होना चाहिए:

वास्तव में, कार्य कायम रहते हैं अंतहीन अंतरालबिंदु पर
और सीधी रेखा (अक्ष) है ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोटललित कलाएं ।

बी) आइए जांचें कि क्या तिरछी अनंतस्पर्शी मौजूद हैं:

हाँ, यह सीधा है परोक्ष अनंतस्पर्शीग्राफ़िक्स, यदि.

सीमाओं का विश्लेषण करने का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि यह पहले से ही स्पष्ट है कि फ़ंक्शन अपने तिरछे अनंतस्पर्शी को अपनाता है ऊपर से सीमित नहींऔर नीचे से सीमित नहीं.

दूसरे शोध बिंदु से फ़ंक्शन के बारे में बहुत सी महत्वपूर्ण जानकारी प्राप्त हुई। आइए एक मोटा स्केच बनाएं:

निष्कर्ष संख्या 1 स्थिर चिह्न के अंतराल से संबंधित है। "माइनस इनफिनिटी" पर फ़ंक्शन का ग्राफ स्पष्ट रूप से एक्स-अक्ष के नीचे स्थित होता है, और "प्लस इनफिनिटी" पर यह इस अक्ष के ऊपर होता है। इसके अलावा, एकतरफ़ा सीमाओं ने हमें बताया कि बिंदु के बाएँ और दाएँ दोनों ओर फ़ंक्शन शून्य से भी बड़ा है। कृपया ध्यान दें कि बाएं आधे तल में ग्राफ़ को कम से कम एक बार x-अक्ष को पार करना होगा। दाहिने आधे तल में फ़ंक्शन का कोई शून्य नहीं हो सकता है।

निष्कर्ष संख्या 2 यह है कि फ़ंक्शन बिंदु के बायीं ओर बढ़ता है ("नीचे से ऊपर तक जाता है")। इस बिंदु के दाईं ओर, फ़ंक्शन घटता है ("ऊपर से नीचे तक जाता है")। ग्राफ़ की दाहिनी शाखा में निश्चित रूप से कम से कम एक न्यूनतम होना चाहिए। बाईं ओर, चरम की गारंटी नहीं है।

निष्कर्ष संख्या 3 बिंदु के आसपास ग्राफ की समतलता के बारे में विश्वसनीय जानकारी प्रदान करता है। हम अनंत पर उत्तलता/अवतलता के बारे में अभी तक कुछ नहीं कह सकते हैं, क्योंकि एक रेखा को ऊपर और नीचे दोनों से उसके अनंतस्पर्शी की ओर दबाया जा सकता है। सामान्यतया, अभी इसका पता लगाने का एक विश्लेषणात्मक तरीका मौजूद है, लेकिन ग्राफ का आकार बाद के चरण में स्पष्ट हो जाएगा।

इतने सारे शब्द क्यों? बाद के शोध बिंदुओं को नियंत्रित करने और गलतियों से बचने के लिए! आगे की गणना से निकाले गए निष्कर्षों का खंडन नहीं होना चाहिए।

3) निर्देशांक अक्षों के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु, फ़ंक्शन के स्थिर चिह्न के अंतराल।

फ़ंक्शन का ग्राफ़ अक्ष को प्रतिच्छेद नहीं करता है.

अंतराल विधि का उपयोग करके हम संकेत निर्धारित करते हैं:

, अगर ;
, अगर .

इस बिंदु के परिणाम पूरी तरह से निष्कर्ष संख्या 1 के अनुरूप हैं। प्रत्येक चरण के बाद, ड्राफ्ट को देखें, मानसिक रूप से अनुसंधान की जांच करें और फ़ंक्शन का ग्राफ़ पूरा करें।

विचाराधीन उदाहरण में, अंश को हर द्वारा पद दर पद विभाजित किया जाता है, जो विभेदन के लिए बहुत फायदेमंद है:

दरअसल, स्पर्शोन्मुख खोजते समय ऐसा पहले ही किया जा चुका है।

- महत्वपूर्ण बिन्दू।

आइए संकेतों को परिभाषित करें:

से बढ़ जाता है और घट जाती है

इस बिंदु पर फ़ंक्शन न्यूनतम तक पहुँच जाता है: .

निष्कर्ष संख्या 2 के साथ भी कोई विसंगतियाँ नहीं थीं, और, सबसे अधिक संभावना है, हम सही रास्ते पर हैं।

इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र पर अवतल है।

बढ़िया - और आपको कुछ भी खींचने की ज़रूरत नहीं है।

कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं.

अवतलता निष्कर्ष संख्या 3 के अनुरूप है, इसके अलावा, यह इंगित करता है कि अनंत पर (वहां और वहां दोनों) फ़ंक्शन का ग्राफ स्थित है उच्चयह परोक्ष अनंतस्पर्शी है।

6) हम कर्तव्यनिष्ठा से अतिरिक्त बिंदुओं के साथ कार्य को पिन करेंगे। यहीं पर हमें कड़ी मेहनत करनी होगी, क्योंकि हम शोध से केवल दो बिंदु जानते हैं।

और एक तस्वीर जिसकी कल्पना शायद बहुत से लोगों ने बहुत पहले की थी:

कार्य के निष्पादन के दौरान, आपको सावधानीपूर्वक यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि अनुसंधान के चरणों के बीच कोई विरोधाभास न हो, लेकिन कभी-कभी स्थिति अत्यावश्यक या बेहद खराब हो जाती है। विश्लेषण "जोड़ता नहीं है" - बस इतना ही। इस मामले में, मैं एक आपातकालीन तकनीक की अनुशंसा करता हूं: हम ग्राफ़ से संबंधित यथासंभव अधिक से अधिक बिंदु ढूंढते हैं (जितना हमारे पास धैर्य है), और उन्हें समन्वय तल पर चिह्नित करते हैं। अधिकांश मामलों में पाए गए मूल्यों का ग्राफिकल विश्लेषण आपको बताएगा कि सत्य कहां है और झूठ कहां है। इसके अलावा, ग्राफ़ को किसी प्रोग्राम का उपयोग करके पूर्व-निर्मित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, एक्सेल में (बेशक, इसके लिए कौशल की आवश्यकता होती है)।

उदाहरण 4

किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करने और उसका ग्राफ़ बनाने के लिए विभेदक कैलकुलस विधियों का उपयोग करें।

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। इसमें, फ़ंक्शन की समता से आत्म-नियंत्रण बढ़ाया जाता है - ग्राफ़ अक्ष के बारे में सममित है, और यदि आपके शोध में कुछ इस तथ्य का खंडन करता है, तो त्रुटि की तलाश करें।

किसी सम या विषम फ़ंक्शन का अध्ययन केवल पर किया जा सकता है, और फिर ग्राफ़ की समरूपता का उपयोग करें। यह समाधान इष्टतम है, लेकिन, मेरी राय में, यह बहुत ही असामान्य लगता है। व्यक्तिगत रूप से, मैं संपूर्ण संख्या रेखा को देखता हूं, लेकिन मुझे अभी भी केवल दाईं ओर अतिरिक्त बिंदु मिलते हैं:

उदाहरण 5

फ़ंक्शन का संपूर्ण अध्ययन करें और उसका ग्राफ़ बनाएं।

समाधान: चीजें कठिन हो गईं:

1) फ़ंक्शन संपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित और निरंतर है:।

इसका मतलब यह है कि यह फ़ंक्शन विषम है, इसका ग्राफ़ मूल के बारे में सममित है।

यह स्पष्ट है कि कार्य गैर-आवधिक है।

2) अनंतस्पर्शी, अनंत पर किसी फ़ंक्शन का व्यवहार।

चूंकि फ़ंक्शन निरंतर चालू है, इसलिए कोई लंबवत अनंतस्पर्शी नहीं हैं

एक घातांक वाले फ़ंक्शन के लिए, यह विशिष्ट है अलगअनंत के "प्लस" और "माइनस" का अध्ययन, हालांकि, ग्राफ की समरूपता से हमारा जीवन आसान हो जाता है - या तो बाएं और दाएं दोनों पर एक अनंतस्पर्शी है, या कोई नहीं है। अत: दोनों अनंत सीमाएँ एक ही प्रविष्टि के अंतर्गत लिखी जा सकती हैं। समाधान के दौरान हम उपयोग करते हैं एल हॉस्पिटल का नियम:

सीधी रेखा (अक्ष) ग्राफ की क्षैतिज अनंतस्पर्शी रेखा है।

कृपया ध्यान दें कि कैसे मैंने तिरछी अनंतस्पर्शी को खोजने के लिए पूर्ण एल्गोरिदम को चालाकी से टाल दिया: सीमा पूरी तरह से कानूनी है और अनंत पर फ़ंक्शन के व्यवहार को स्पष्ट करती है, और क्षैतिज अनंतस्पर्शी की खोज "मानो एक ही समय में" की गई थी।

निरंतरता और एक क्षैतिज अनंतस्पर्शी के अस्तित्व से यह इस प्रकार है कि कार्य ऊपर से घिरा हुआऔर नीचे बंधा हुआ.

3) निर्देशांक अक्षों के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु, स्थिर चिह्न के अंतराल।

यहां हम समाधान को संक्षिप्त भी करते हैं:
ग्राफ़ मूल बिंदु से होकर गुजरता है।

निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन का कोई अन्य बिंदु नहीं है। इसके अलावा, चिह्न की स्थिरता के अंतराल स्पष्ट हैं, और अक्ष को खींचने की आवश्यकता नहीं है:, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन का चिह्न केवल "x" पर निर्भर करता है:
, अगर ;
, अगर ।

4)कार्य का बढ़ना,घटना,चरम।


- महत्वपूर्ण बिंदु।

बिंदु शून्य के बारे में सममित हैं, जैसा कि होना चाहिए।

आइए हम व्युत्पन्न के संकेत निर्धारित करें:


फलन एक अंतराल पर बढ़ता है और कुछ अंतराल पर घटता है

इस बिंदु पर फ़ंक्शन अपने अधिकतम तक पहुँच जाता है: .

संपत्ति के कारण (फ़ंक्शन की विषमता) न्यूनतम की गणना करने की आवश्यकता नहीं है:

चूंकि फ़ंक्शन अंतराल पर घटता है, तो, जाहिर है, ग्राफ़ "माइनस इनफिनिटी" पर स्थित है अंतर्गतयह स्पर्शोन्मुख है. अंतराल के साथ, फलन भी घटता जाता है, लेकिन यहां विपरीत सत्य है - अधिकतम बिंदु से गुजरने के बाद, रेखा ऊपर से अक्ष के पास पहुंचती है।

उपरोक्त से यह भी पता चलता है कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ "माइनस इनफिनिटी" पर उत्तल है और "प्लस इनफिनिटी" पर अवतल है।

अध्ययन के इस बिंदु के बाद, फ़ंक्शन मानों की सीमा तैयार की गई:

यदि आपको किसी बिंदु के बारे में कोई गलतफहमी है, तो मैं एक बार फिर आपसे आग्रह करता हूं कि आप अपनी नोटबुक में समन्वय अक्ष बनाएं और, अपने हाथों में एक पेंसिल लेकर, कार्य के प्रत्येक निष्कर्ष का दोबारा विश्लेषण करें।

5) ग्राफ की उत्तलता, अवतलता, मोड़।

- महत्वपूर्ण बिंदु।

बिंदुओं की समरूपता संरक्षित है, और, सबसे अधिक संभावना है, हम गलत नहीं हैं।

आइए संकेतों को परिभाषित करें:


फ़ंक्शन का ग्राफ़ उत्तल है और अवतल पर .

चरम अंतराल पर उत्तलता/अवतलता की पुष्टि की गई।

सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं पर ग्राफ़ में गड़बड़ी है। आइए विभक्ति बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करें, और फिर से फ़ंक्शन की विषमता का उपयोग करके गणनाओं की संख्या कम करें:

यदि समस्या के लिए इसके ग्राफ के निर्माण के साथ फ़ंक्शन f (x) = x 2 4 x 2 - 1 का संपूर्ण अध्ययन आवश्यक है, तो हम इस सिद्धांत पर विस्तार से विचार करेंगे।

इस प्रकार की समस्या को हल करने के लिए, आपको बुनियादी प्राथमिक कार्यों के गुणों और ग्राफ़ का उपयोग करना चाहिए। अनुसंधान एल्गोरिदम में निम्नलिखित चरण शामिल हैं:

परिभाषा का क्षेत्र ढूँढना

चूँकि अनुसंधान फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र पर किया जाता है, इसलिए इस चरण से शुरुआत करना आवश्यक है।

उदाहरण 1

दिए गए उदाहरण में हर के शून्य को ODZ से बाहर करने के लिए खोजना शामिल है।

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

परिणामस्वरूप, आप मूल, लघुगणक इत्यादि प्राप्त कर सकते हैं। फिर ODZ को असमानता g (x) ≥ 0 द्वारा, लघुगणक लॉग a g (x) के लिए असमानता g (x) > 0 द्वारा, प्रकार g (x) 4 की एक सम डिग्री की जड़ के लिए खोजा जा सकता है।

ओडीजेड की सीमाओं का अध्ययन करना और ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी खोजना

फ़ंक्शन की सीमाओं पर लंबवत अनंतस्पर्शी रेखाएं होती हैं, जब ऐसे बिंदुओं पर एकतरफा सीमाएं अनंत होती हैं।

उदाहरण 2

उदाहरण के लिए, x = ± 1 2 के बराबर सीमा बिंदुओं पर विचार करें।

फिर एकतरफ़ा सीमा ज्ञात करने के लिए फ़ंक्शन का अध्ययन करना आवश्यक है। तब हमें यह मिलता है: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ लिम x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = लिम x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ लिम x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

इससे पता चलता है कि एकतरफ़ा सीमाएँ अनंत हैं, जिसका अर्थ है कि सीधी रेखाएँ x = ± 1 2 ग्राफ़ की ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी रेखाएँ हैं।

किसी फलन का अध्ययन करना और जानना कि यह सम है या विषम

जब शर्त y (- x) = y (x) संतुष्ट होती है, तो फ़ंक्शन को सम माना जाता है। इससे पता चलता है कि ग्राफ ओए के संबंध में सममित रूप से स्थित है। जब शर्त y (- x) = - y (x) संतुष्ट हो जाती है, तो फ़ंक्शन को विषम माना जाता है। इसका मतलब यह है कि समरूपता निर्देशांक की उत्पत्ति के सापेक्ष है। यदि कम से कम एक असमानता संतुष्ट नहीं होती है, तो हमें सामान्य रूप का एक फलन प्राप्त होता है।

समानता y (- x) = y (x) इंगित करती है कि फलन सम है। निर्माण करते समय यह ध्यान रखना आवश्यक है कि ओय के संबंध में समरूपता हो।

असमानता को हल करने के लिए, क्रमशः f " (x) ≥ 0 और f " (x) ≤ 0 स्थितियों के साथ बढ़ने और घटने के अंतराल का उपयोग किया जाता है।

परिभाषा 1

स्थिर बिंदु- ये वे बिंदु हैं जो व्युत्पन्न को शून्य में बदल देते हैं।

महत्वपूर्ण बिंदु- ये परिभाषा के क्षेत्र से आंतरिक बिंदु हैं जहां फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है या मौजूद नहीं है।

निर्णय लेते समय, निम्नलिखित बातों को ध्यान में रखा जाना चाहिए:

• फॉर्म f "(x) > 0 की बढ़ती और घटती असमानताओं के मौजूदा अंतराल के लिए, समाधान में महत्वपूर्ण बिंदु शामिल नहीं हैं;
• जिन बिंदुओं पर फ़ंक्शन को परिमित व्युत्पन्न के बिना परिभाषित किया गया है, उन्हें बढ़ते और घटते अंतराल में शामिल किया जाना चाहिए (उदाहरण के लिए, y = x 3, जहां बिंदु x = 0 फ़ंक्शन को परिभाषित करता है, इस पर व्युत्पन्न का अनंत का मान होता है) बिंदु, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 बढ़ते अंतराल में शामिल है);
• असहमति से बचने के लिए, शिक्षा मंत्रालय द्वारा अनुशंसित गणितीय साहित्य का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है।

यदि वे फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र को संतुष्ट करते हैं तो बढ़ते और घटते अंतराल में महत्वपूर्ण बिंदुओं को शामिल करना।

परिभाषा 2

के लिए किसी फ़ंक्शन के बढ़ने और घटने के अंतराल को निर्धारित करना, खोजना आवश्यक है:

• व्युत्पन्न;
• महत्वपूर्ण बिंदु;
• महत्वपूर्ण बिंदुओं का उपयोग करके परिभाषा डोमेन को अंतरालों में विभाजित करें;
• प्रत्येक अंतराल पर व्युत्पन्न का चिह्न निर्धारित करें, जहां + वृद्धि है और - कमी है।

उदाहरण 3

परिभाषा के क्षेत्र पर व्युत्पन्न खोजें f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1)2 .

समाधान

हल करने के लिए आपको चाहिए:

• स्थिर बिंदु खोजें, इस उदाहरण में x = 0 है;
• हर के शून्य ज्ञात कीजिए, उदाहरण x = ± 1 2 पर मान शून्य लेता है।

हम प्रत्येक अंतराल पर व्युत्पन्न निर्धारित करने के लिए संख्या अक्ष पर बिंदु रखते हैं। ऐसा करने के लिए, अंतराल से कोई भी बिंदु लेना और गणना करना पर्याप्त है। यदि परिणाम सकारात्मक है, तो हम ग्राफ़ पर + दर्शाते हैं, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन बढ़ रहा है, और - का अर्थ है कि यह घट रहा है।

उदाहरण के लिए, f'' (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, जिसका अर्थ है कि बाईं ओर के पहले अंतराल में + चिह्न है। संख्या रेखा पर विचार करें।

उत्तर:

• फ़ंक्शन अंतराल पर बढ़ता है - ∞; - 1 2 और (- 1 2 ; 0 ] ;
• अंतराल में कमी है [ 0 ; 1 2) और 1 2 ; + ∞ .

आरेख में, + और - का उपयोग करके, फ़ंक्शन की सकारात्मकता और नकारात्मकता को दर्शाया गया है, और तीर कमी और वृद्धि को दर्शाते हैं।

किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदु वे बिंदु होते हैं जहां फ़ंक्शन परिभाषित होता है और जिसके माध्यम से व्युत्पन्न संकेत बदलता है।

उदाहरण 4

यदि हम एक उदाहरण पर विचार करें जहां x = 0 है, तो इसमें फ़ंक्शन का मान f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0 के बराबर है। जब अवकलज का चिह्न + से - में परिवर्तित होता है और बिंदु x = 0 से होकर गुजरता है, तो निर्देशांक (0; 0) वाला बिंदु अधिकतम बिंदु माना जाता है। जब चिह्न - से + में बदलता है, तो हमें एक न्यूनतम बिंदु प्राप्त होता है।

उत्तलता और अवतलता का निर्धारण f "" (x) ≥ 0 और f "" (x) ≤ 0 के रूप की असमानताओं को हल करके किया जाता है। अवतलता के बजाय नीचे की ओर उत्तलता, और उत्तलता के बजाय ऊपर की ओर उत्तलता नाम का आमतौर पर कम उपयोग किया जाता है।

परिभाषा 3

के लिए अवतलता और उत्तलता के अंतराल का निर्धारणज़रूरी:

• दूसरा व्युत्पन्न खोजें;
• दूसरे व्युत्पन्न फ़ंक्शन के शून्य ज्ञात करें;
• परिभाषा क्षेत्र को प्रकट बिंदुओं के साथ अंतरालों में विभाजित करें;
• अंतराल का चिह्न निर्धारित करें.

उदाहरण 5

परिभाषा के क्षेत्र से दूसरा व्युत्पन्न खोजें।

समाधान

एफ "" (एक्स) = - 2 एक्स (4 एक्स 2 - 1) 2 " = = (- 2 एक्स) " (4 एक्स 2 - 1) 2 - - 2 एक्स 4 एक्स 2 - 1 2 " (4 एक्स 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

हम अंश और हर के शून्य पाते हैं, जहां हमारे उदाहरण में हमारे पास है कि हर के शून्य x = ± 1 2

अब आपको संख्या रेखा पर बिंदुओं को आलेखित करने और प्रत्येक अंतराल से दूसरे अवकलज का चिह्न निर्धारित करने की आवश्यकता है। हमें वह मिल गया

उत्तर:

• फ़ंक्शन अंतराल से उत्तल है - 1 2 ; 12 ;
• फलन अंतरालों से अवतल है - ∞ ; - 1 2 और 1 2; + ∞ .

परिभाषा 4

संक्रमण का बिन्दु– यह x 0 के रूप का एक बिंदु है; च (x0) . जब इसकी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा होती है, तो जब यह x 0 से होकर गुजरती है तो फ़ंक्शन का चिह्न विपरीत में बदल जाता है।

दूसरे शब्दों में, यह एक बिंदु है जिसके माध्यम से दूसरा व्युत्पन्न गुजरता है और संकेत बदलता है, और बिंदुओं पर स्वयं यह शून्य के बराबर है या मौजूद नहीं है। सभी बिंदुओं को फ़ंक्शन का डोमेन माना जाता है।

उदाहरण में, यह स्पष्ट था कि कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं, क्योंकि दूसरा व्युत्पन्न बिंदु x = ± 1 2 से गुजरते समय संकेत बदलता है। बदले में, वे परिभाषा के दायरे में शामिल नहीं हैं।

क्षैतिज और तिरछी अनंतस्पर्शी खोजना

किसी फ़ंक्शन को अनंत पर परिभाषित करते समय, आपको क्षैतिज और तिरछे अनंतस्पर्शी को देखने की आवश्यकता होती है।

परिभाषा 5

तिरछा स्पर्शोन्मुखसमीकरण y = k x + b द्वारा दी गई सीधी रेखाओं का उपयोग करके दर्शाया गया है, जहाँ k = lim x → ∞ f (x) x और b = lim x → ∞ f (x) - k x है।

k = 0 और b अनंत के बराबर नहीं होने पर, हम पाते हैं कि तिरछा अनंतस्पर्शी बन जाता है क्षैतिज.

दूसरे शब्दों में, अनंतस्पर्शी रेखाएँ वे रेखाएँ मानी जाती हैं जिन पर किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ अनंत तक पहुँचता है। यह फ़ंक्शन ग्राफ़ के त्वरित निर्माण की सुविधा प्रदान करता है।

यदि कोई अनंतस्पर्शी नहीं हैं, लेकिन फ़ंक्शन को दोनों अनन्तताओं पर परिभाषित किया गया है, तो यह समझने के लिए कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसे व्यवहार करेगा, इन अनन्तताओं पर फ़ंक्शन की सीमा की गणना करना आवश्यक है।

उदाहरण 6

आइये इसे एक उदाहरण के तौर पर समझते हैं

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ वाई = 1 4

एक क्षैतिज अनंतस्पर्शी है. फ़ंक्शन की जांच करने के बाद, आप इसका निर्माण शुरू कर सकते हैं।

मध्यवर्ती बिंदुओं पर किसी फ़ंक्शन के मान की गणना करना

ग्राफ़ को अधिक सटीक बनाने के लिए, मध्यवर्ती बिंदुओं पर कई फ़ंक्शन मान खोजने की अनुशंसा की जाती है।

उदाहरण 7

हमने जिस उदाहरण पर विचार किया है, उससे x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4 बिंदुओं पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करना आवश्यक है। चूँकि फ़ंक्शन सम है, हम पाते हैं कि मान इन बिंदुओं पर मानों से मेल खाते हैं, अर्थात, हमें x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4 मिलता है।

आइए लिखें और हल करें:

एफ (- 2) = एफ (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 एफ (- 1) - एफ (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0, 33 एफ - 3 4 = एफ 3 4 = 3 4 2 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0, 45 एफ - 1 4 = एफ 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

फ़ंक्शन के मैक्सिमा और मिनिमा, विभक्ति बिंदु और मध्यवर्ती बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए, अनंतस्पर्शी का निर्माण करना आवश्यक है। सुविधाजनक पदनाम के लिए, बढ़ने, घटने, उत्तलता और अवतलता के अंतराल दर्ज किए जाते हैं। आइए नीचे दी गई तस्वीर देखें।

चिह्नित बिंदुओं के माध्यम से ग्राफ़ रेखाएँ खींचना आवश्यक है, जो आपको तीरों का अनुसरण करके स्पर्शोन्मुख तक पहुँचने की अनुमति देगा।

इससे फ़ंक्शन की संपूर्ण खोज समाप्त हो जाती है। कुछ प्राथमिक कार्यों के निर्माण के मामले हैं जिनके लिए ज्यामितीय परिवर्तनों का उपयोग किया जाता है।

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उत्तर सरल निकला. आपको कुछ भी मापने की आवश्यकता नहीं है, आप आंखों से आसानी से निर्धारित कर सकते हैं कि आपको किस आकार की आवश्यकता है।

सबसे छोटा बर्नर- यह 145 मिलीमीटर (14.5 सेंटीमीटर) है

मध्य बर्नर- यह 180 मिलीमीटर (18 सेंटीमीटर) है।

और अंत में, सबसे ज्यादा बड़ा बर्नर- यह 225 मिलीमीटर (22.5 सेंटीमीटर) है।

यह आंख से आकार निर्धारित करने और यह समझने के लिए पर्याप्त है कि आपको किस व्यास के बर्नर की आवश्यकता है। जब मुझे यह नहीं पता था, तो मैं इन आयामों के बारे में चिंतित था, मुझे नहीं पता था कि कैसे मापना है, किस किनारे पर नेविगेट करना है, आदि। अब मैं बुद्धिमान हूं :) मुझे आशा है कि मैंने आपकी भी मदद की है!

अपने जीवन में मुझे ऐसी समस्या का सामना करना पड़ा। मुझे लगता है कि मैं अकेला नहीं हूं.