फार्म प्रमेय का एक समाधान है। क्या फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय सिद्ध हो गया है? गणितज्ञ किसान की कार्यवाही

17वीं शताब्दी में फ्रांस में एक वकील और अंशकालिक गणितज्ञ पियरे फर्मेट रहते थे, जिन्होंने अपने शौक को लंबे समय तक फुरसत में दिया। एक सर्दियों की शाम, चिमनी के पास बैठे, उन्होंने संख्या सिद्धांत के क्षेत्र से एक सबसे उत्सुक कथन सामने रखा - यह वह था जिसे बाद में फ़र्मेट्स ग्रेट या ग्रेट थ्योरम कहा गया। शायद गणितीय हलकों में उत्साह इतना महत्वपूर्ण नहीं होता अगर एक घटना नहीं हुई होती। गणितज्ञ अक्सर अलेक्जेंड्रिया के डायोफैंटस की पसंदीदा पुस्तक "अरिथमेटिक" (तीसरी शताब्दी) का अध्ययन करते हुए शाम बिताते थे, जबकि इसके हाशिये में महत्वपूर्ण विचारों को लिखते थे - इस दुर्लभता को उनके बेटे द्वारा भावी पीढ़ी के लिए सावधानीपूर्वक संरक्षित किया गया था। इसलिए, इस पुस्तक के व्यापक हाशिये में, फ़र्मेट के हाथ ने यह शिलालेख छोड़ दिया था: "मेरे पास एक बहुत ही आश्चर्यजनक प्रमाण है, लेकिन यह हाशिये पर रखने के लिए बहुत बड़ा है।" यह वह प्रविष्टि थी जिसने प्रमेय के चारों ओर अत्यधिक उत्साह पैदा किया। गणितज्ञों के बीच इस बात में कोई संदेह नहीं था कि महान वैज्ञानिक ने घोषणा की कि उन्होंने अपनी प्रमेय सिद्ध कर दी है। आप शायद सोच रहे हैं: "क्या उसने वास्तव में इसे साबित कर दिया था, या यह एक साधारण झूठ था, या शायद अन्य संस्करण भी हैं, यह प्रविष्टि, जिसने बाद की पीढ़ियों के गणितज्ञों को शांति से सोने की इजाजत नहीं दी, हाशिये पर क्यों आ गई किताब?"।

महान प्रमेय का सार

बल्कि प्रसिद्ध फ़र्मेट की प्रमेय अपने सार में सरल है और इसमें यह तथ्य शामिल है कि, बशर्ते कि n दो से अधिक हो, एक सकारात्मक संख्या, समीकरण X n + Y n \u003d Z n के भीतर शून्य प्रकार के समाधान नहीं होंगे प्राकृतिक संख्याओं की रूपरेखा। इस प्रतीत होने वाले सरल सूत्र में अतुल्य जटिलता छिपी हुई थी, और इसे साबित करने में तीन शताब्दियां लगीं। एक विषमता है - प्रमेय अपने जन्म के साथ देर से आया था, क्योंकि n = 2 के लिए इसका विशेष मामला 2200 साल पहले सामने आया था - यह कोई कम प्रसिद्ध पाइथागोरस प्रमेय नहीं है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रसिद्ध फर्मेट के प्रमेय से संबंधित कहानी बहुत ही शिक्षाप्रद और मनोरंजक है, न कि केवल गणितज्ञों के लिए। सबसे दिलचस्प बात यह है कि विज्ञान वैज्ञानिक के लिए नौकरी नहीं था, बल्कि एक साधारण शौक था, जिसने बदले में किसान को बहुत खुशी दी। वह लगातार एक गणितज्ञ के संपर्क में रहा, और अंशकालिक, एक दोस्त भी, विचारों को साझा करता था, लेकिन अजीब तरह से, उसने अपने काम को प्रकाशित करने की कोशिश नहीं की।

गणितज्ञ किसान की कार्यवाही

जहाँ तक स्वयं किसान के कार्यों की बात है, वे सामान्य अक्षरों के रूप में ठीक-ठीक पाए गए। कुछ जगहों पर पूरे पृष्ठ नहीं थे, और केवल पत्राचार के टुकड़े ही संरक्षित किए गए हैं। अधिक दिलचस्प तथ्य यह है कि तीन शताब्दियों से वैज्ञानिक उस प्रमेय की तलाश में हैं जो फर्मर के लेखन में खोजा गया था।

लेकिन जिसने भी इसे साबित करने की हिम्मत नहीं की, कोशिशों को "शून्य" कर दिया गया। प्रसिद्ध गणितज्ञ डेसकार्टेस ने भी वैज्ञानिक पर शेखी बघारने का आरोप लगाया, लेकिन यह सब सबसे साधारण ईर्ष्या तक उबल गया। बनाने के साथ ही किसान ने अपनी खुद की थ्योरी भी साबित की। सच है, उस मामले के लिए समाधान मिला था जहां n=4 । n=3 के मामले में, गणितज्ञ यूलर ने इसकी पहचान की।

उन्होंने फर्मर के प्रमेय को कैसे सिद्ध करने का प्रयास किया?

उन्नीसवीं शताब्दी की शुरुआत में, यह प्रमेय अस्तित्व में रहा। गणितज्ञों को प्रमेयों के ऐसे कई प्रमाण मिले हैं जो दो सौ के भीतर प्राकृतिक संख्याओं तक सीमित थे।

और 1909 में, जर्मन मूल के एक लाख अंकों के बराबर एक बड़ी राशि लाइन में डाल दी गई थी - और यह सब सिर्फ इस प्रमेय से जुड़ी समस्या को हल करने के लिए। पुरस्कार श्रेणी का फंड मूल रूप से जर्मनी के एक धनी गणित प्रेमी पॉल वोल्फस्केल द्वारा छोड़ा गया था, वैसे, यह वह था जो "खुद पर हाथ रखना" चाहता था, लेकिन फर्मर के प्रमेय में इस तरह की भागीदारी के लिए धन्यवाद, वह चाहता था लाइव। परिणामी उत्साह ने कई "सबूत" को जन्म दिया जिसने जर्मन विश्वविद्यालयों में बाढ़ ला दी, और गणितज्ञों के घेरे में, "फर्मिस्ट" उपनाम का जन्म हुआ, जिसका उपयोग किसी भी महत्वाकांक्षी अपस्टार्ट को कॉल करने के लिए अर्ध-अवमानना ​​​​करने के लिए किया गया था जो स्पष्ट सबूत प्रदान करने में विफल रहा।

जापानी गणितज्ञ युताका तानियामा की परिकल्पना

20वीं सदी के मध्य तक ग्रेट थ्योरम के इतिहास में कोई बदलाव नहीं आया, लेकिन एक दिलचस्प घटना घटी। 1955 में, जापानी गणितज्ञ युताका तानियामा, जो 28 वर्ष के थे, ने दुनिया के सामने एक पूरी तरह से अलग गणितीय क्षेत्र से एक बयान का खुलासा किया - उनकी परिकल्पना, फ़र्मेट के विपरीत, अपने समय से आगे थी। यह कहता है: "प्रत्येक अंडाकार वक्र के लिए एक समान मॉड्यूलर रूप होता है।" यह हर गणितज्ञ के लिए बेतुका लगता है, जैसे कि एक पेड़ में एक निश्चित धातु होती है! अधिकांश अन्य आश्चर्यजनक और सरल खोजों की तरह, विरोधाभासी परिकल्पना को स्वीकार नहीं किया गया था, क्योंकि वे अभी तक बड़े नहीं हुए थे। और युताका तानियामा ने तीन साल बाद आत्महत्या कर ली - एक अकथनीय कार्य, लेकिन, शायद, एक सच्चे समुराई प्रतिभा के लिए सम्मान सबसे ऊपर था।

पूरे एक दशक तक, अनुमान को याद नहीं रखा गया, लेकिन सत्तर के दशक में यह लोकप्रियता के चरम पर पहुंच गया - इसकी पुष्टि उन सभी ने की जो इसे समझ सकते थे, लेकिन, फ़र्मेट के प्रमेय की तरह, यह अप्रमाणित रहा।

तानियामा का अनुमान और फ़र्मेट का प्रमेय कैसे संबंधित है

पंद्रह साल बाद, गणित में एक महत्वपूर्ण घटना घटी, और इसने प्रसिद्ध जापानी अनुमान और फ़र्मेट के प्रमेय को जोड़ दिया। गेरहार्ड ग्रे ने कहा कि जब तानियामा अनुमान सिद्ध हो जाता है, तब फ़र्मेट के प्रमेय के प्रमाण मिल जाएंगे। अर्थात्, उत्तरार्द्ध तानियामा परिकल्पना का परिणाम है, और डेढ़ साल बाद, फ़र्मेट की प्रमेय को कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, केनेथ रिबेट के एक प्रोफेसर द्वारा सिद्ध किया गया था।

समय बीतता गया, प्रतिगमन की जगह प्रगति ने ले ली और विज्ञान तेजी से आगे बढ़ रहा था, खासकर कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के क्षेत्र में। इस प्रकार, n का मान अधिक से अधिक बढ़ने लगा।

20 वीं शताब्दी के अंत में, सबसे शक्तिशाली कंप्यूटर सैन्य प्रयोगशालाओं में थे, प्रसिद्ध फर्मेट समस्या के समाधान के लिए प्रोग्रामिंग की गई थी। सभी प्रयासों के परिणामस्वरूप, यह पता चला कि यह प्रमेय n, x, y के कई मानों के लिए सही है। लेकिन, दुर्भाग्य से, यह अंतिम प्रमाण नहीं बन पाया, क्योंकि इस तरह की कोई विशिष्टता नहीं थी।

जॉन विल्स ने फर्मेट के महान प्रमेय को सिद्ध किया

और अंत में, केवल 1994 के अंत में, इंग्लैंड के एक गणितज्ञ जॉन विल्स ने विवादास्पद फर्मर प्रमेय का एक सटीक प्रमाण पाया और प्रदर्शित किया। फिर, कई सुधारों के बाद, इस विषय पर चर्चा उनके तार्किक निष्कर्ष पर पहुंची।

खंडन एक पत्रिका के सौ से अधिक पृष्ठों पर पोस्ट किया गया था! इसके अलावा, प्रमेय को उच्च गणित के अधिक आधुनिक उपकरण पर सिद्ध किया गया था। और आश्चर्य की बात यह है कि जिस समय किसान ने अपना काम लिखा, उस समय प्रकृति में ऐसा कोई उपकरण मौजूद नहीं था। एक शब्द में कहें तो आदमी को इस क्षेत्र में एक ऐसे जीनियस के रूप में पहचाना जाता था, जिसके साथ कोई बहस नहीं कर सकता था। सब कुछ होने के बावजूद, आज आप सुनिश्चित हो सकते हैं कि महान वैज्ञानिक किसान का प्रस्तुत प्रमेय उचित और सिद्ध है, और सामान्य ज्ञान वाला कोई भी गणितज्ञ इस विषय पर विवाद शुरू नहीं करेगा, जिससे सभी मानव जाति के सबसे कट्टर संशयवादी भी सहमत हैं।

जिस व्यक्ति के नाम पर प्रस्तुत प्रमेय का नाम रखा गया उसका पूरा नाम पियरे डी फर्मर था। उन्होंने गणित के विभिन्न क्षेत्रों में योगदान दिया। लेकिन, दुर्भाग्य से, उनकी अधिकांश रचनाएँ उनकी मृत्यु के बाद ही प्रकाशित हुईं।

FERMAT महान प्रमेय - पियरे फ़र्मेट (एक फ्रांसीसी वकील और अंशकालिक गणितज्ञ) का कथन कि डायोफैंटाइन समीकरण X n + Y n = Z n, एक घातांक n>2 के साथ, जहां n = एक पूर्णांक, सकारात्मक में कोई समाधान नहीं है पूर्णांक। लेखक का पाठ: "एक घन को दो घनों में, या एक द्वि-वर्ग को दो द्वि-वर्गों में, या सामान्य रूप से एक ही घातांक के साथ दो से अधिक घात में दो घातों में विघटित करना असंभव है।"

"फर्मेट एंड हिज़ थ्योरम", अमादेओ मोदिग्लिआनी, 1920

पियरे ने यह प्रमेय 29 मार्च, 1636 को प्रतिपादित किया। और करीब 29 साल बाद उनकी मृत्यु हो गई। लेकिन यहीं से यह सब शुरू हुआ। आखिरकार, वोल्फस्केल के नाम से एक धनी जर्मन गणितज्ञ ने फर्मेट के प्रमेय का पूरा प्रमाण प्रस्तुत करने वाले को एक लाख अंक दिए! लेकिन प्रमेय के आसपास का उत्साह न केवल इससे जुड़ा था, बल्कि पेशेवर गणितीय उत्साह से भी जुड़ा था। फ़र्मेट ने स्वयं गणितीय समुदाय को संकेत दिया था कि वह सबूत जानता था - अपनी मृत्यु से कुछ समय पहले, 1665 में, उन्होंने अलेक्जेंड्रिया के डायोफैंटस "अरिथमेटिक" पुस्तक के हाशिये पर निम्नलिखित प्रविष्टि छोड़ी: "मेरे पास एक बहुत ही अद्भुत प्रमाण है, लेकिन यह है खेतों पर रखे जाने के लिए बहुत बड़ा है।"

यह संकेत था (साथ ही, निश्चित रूप से, एक नकद पुरस्कार) जिसने गणितज्ञों को असफल रूप से प्रमाण की खोज में अपना सर्वश्रेष्ठ वर्ष बिताने के लिए प्रेरित किया (अमेरिकी वैज्ञानिकों के अनुसार, पेशेवर गणितज्ञों ने अकेले इस पर कुल 543 वर्ष बिताए)।

कुछ बिंदु पर (1901 में), फ़र्मेट के प्रमेय पर काम ने "एक सतत गति मशीन की खोज के समान काम" की संदिग्ध प्रसिद्धि हासिल की (एक अपमानजनक शब्द भी था - "फर्मेटिस्ट")। और अचानक, 23 जून, 1993 को कैम्ब्रिज में संख्या सिद्धांत पर एक गणितीय सम्मेलन में, प्रिंसटन विश्वविद्यालय (न्यू जर्सी, यूएसए) के गणित के अंग्रेजी प्रोफेसर एंड्रयू विल्स ने घोषणा की कि उन्होंने अंततः फ़र्मेट को साबित कर दिया है!

हालाँकि, सबूत न केवल जटिल था, बल्कि स्पष्ट रूप से गलत भी था, जैसा कि विल्स ने अपने सहयोगियों द्वारा इंगित किया था। लेकिन प्रोफेसर विल्स ने जीवन भर प्रमेय को सिद्ध करने का सपना देखा, इसलिए यह आश्चर्य की बात नहीं है कि मई 1994 में उन्होंने वैज्ञानिक समुदाय के लिए सबूत का एक नया, बेहतर संस्करण प्रस्तुत किया। इसमें कोई सामंजस्य नहीं था, सौंदर्य नहीं था, और यह अभी भी बहुत जटिल था - तथ्य यह है कि गणितज्ञ पूरे एक साल से इस प्रमाण का विश्लेषण कर रहे हैं (!) यह समझने के लिए कि क्या यह गलत नहीं है, अपने लिए बोलता है!

लेकिन अंत में, विल्स का प्रमाण सही पाया गया। लेकिन गणितज्ञों ने पियरे फ़र्मेट को अंकगणित में उनके बहुत संकेत के लिए माफ नहीं किया, और वास्तव में, वे उन्हें झूठा मानने लगे। वास्तव में, फ़र्मेट की नैतिक अखंडता पर सवाल उठाने वाले पहले व्यक्ति स्वयं एंड्रयू विल्स थे, जिन्होंने टिप्पणी की थी कि "फ़र्मेट के पास ऐसा प्रमाण नहीं हो सकता था। यह बीसवीं सदी का प्रमाण है।" फिर, अन्य वैज्ञानिकों के बीच, यह राय मजबूत हो गई कि फ़र्मेट "अपने प्रमेय को किसी अन्य तरीके से साबित नहीं कर सका, और फ़र्मेट इसे उस तरह से साबित नहीं कर सका जिस तरह से विल्स गया था, उद्देश्यपूर्ण कारणों से।"

वास्तव में, फ़र्मेट, निश्चित रूप से, इसे साबित कर सकता है, और थोड़ी देर बाद इस सबूत को न्यू एनालिटिकल इनसाइक्लोपीडिया के विश्लेषकों द्वारा फिर से बनाया जाएगा। लेकिन - ये "उद्देश्यपूर्ण कारण" क्या हैं?
वास्तव में, ऐसा केवल एक ही कारण है: उन वर्षों में जब फ़र्मेट रहते थे, तानियामा का अनुमान प्रकट नहीं हो सका, जिस पर एंड्रयू विल्स ने अपना प्रमाण बनाया, क्योंकि तानियामा के अनुमान पर चलने वाले मॉड्यूलर कार्यों की खोज केवल 19 वीं शताब्दी के अंत में हुई थी। .

विल्स ने स्वयं इस प्रमेय को कैसे सिद्ध किया? प्रश्न बेकार नहीं है - यह समझने के लिए महत्वपूर्ण है कि फर्मेट स्वयं अपने प्रमेय को कैसे सिद्ध कर सकता है। विल्स ने अपना प्रमाण 1955 में 28 वर्षीय जापानी गणितज्ञ युताका तानियामा द्वारा प्रस्तुत तानियामा के अनुमान के प्रमाण पर बनाया।

अनुमान इस तरह लगता है: "प्रत्येक अंडाकार वक्र एक निश्चित मॉड्यूलर रूप से मेल खाता है।" लंबे समय से ज्ञात अण्डाकार वक्रों का द्वि-आयामी रूप (एक विमान पर स्थित) होता है, जबकि मॉड्यूलर कार्यों का एक चार-आयामी रूप होता है। यही है, तानियामा की परिकल्पना ने पूरी तरह से अलग अवधारणाओं को जोड़ा - सरल सपाट वक्र और अकल्पनीय चार-आयामी रूप। परिकल्पना में भिन्न-भिन्न-आयामी आकृतियों को जोड़ने का तथ्य वैज्ञानिकों को बेतुका लग रहा था, यही वजह है कि 1955 में इसे कोई महत्व नहीं दिया गया।

हालाँकि, 1984 के पतन में, "तानियामा परिकल्पना" को अचानक फिर से याद किया गया, और न केवल याद किया गया, बल्कि इसका संभावित प्रमाण फ़र्मेट के प्रमेय के प्रमाण से जुड़ा था! यह सारब्रुकन गणितज्ञ गेरहार्ड फ्रे द्वारा किया गया था, जिन्होंने वैज्ञानिक समुदाय से कहा था कि "यदि कोई तानियामा के अनुमान को साबित कर सकता है, तो फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय सिद्ध होगा।"

फ्रे ने क्या किया? उन्होंने फ़र्मेट के समीकरण को क्यूबिक में बदल दिया, फिर इस तथ्य की ओर ध्यान आकर्षित किया कि फ़र्मेट के समीकरण को क्यूबिक में परिवर्तित करके प्राप्त एक अण्डाकार वक्र मॉड्यूलर नहीं हो सकता है। हालाँकि, तानियामा के अनुमान में कहा गया है कि कोई भी अण्डाकार वक्र मॉड्यूलर हो सकता है! तदनुसार, फ़र्मेट के समीकरण से निर्मित एक अण्डाकार वक्र मौजूद नहीं हो सकता है, जिसका अर्थ है कि संपूर्ण समाधान नहीं हो सकते हैं और फ़र्मेट का प्रमेय, जिसका अर्थ है कि यह सत्य है। खैर, 1993 में, एंड्रयू विल्स ने तानियामा के अनुमान और इसलिए फ़र्मेट के प्रमेय को सरलता से सिद्ध कर दिया।

हालांकि, फर्मेट के प्रमेय को उसी बहुआयामीता के आधार पर और अधिक सरलता से साबित किया जा सकता है, जिस पर तानियामा और फ्रे दोनों संचालित होते हैं।

शुरू करने के लिए, आइए पियरे फर्मेट द्वारा निर्धारित शर्त पर ध्यान दें - n>2। यह शर्त क्यों जरूरी थी? हाँ, केवल इस तथ्य के लिए कि n=2 के लिए साधारण पाइथागोरस प्रमेय X 2 +Y 2 =Z 2 फ़र्मेट के प्रमेय का एक विशेष मामला बन जाता है, जिसमें अनंत संख्या में पूर्णांक समाधान होते हैं - 3,4,5; 5,12,13; 7.24.25; 8,15,17; 12,16,20; 51,140,149 और इसी तरह। इस प्रकार, पाइथागोरस प्रमेय फ़र्मेट के प्रमेय का अपवाद है।

लेकिन वास्तव में n=2 के मामले में ऐसा अपवाद क्यों होता है? यदि आप डिग्री (एन = 2) और आकृति के आयाम के बीच संबंध देखते हैं तो सब कुछ ठीक हो जाता है। पाइथागोरस त्रिभुज एक द्वि-आयामी आकृति है। आश्चर्य नहीं कि Z (अर्थात कर्ण) को पैरों (X और Y) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो पूर्णांक हो सकते हैं। कोण का आकार (90) कर्ण को एक वेक्टर के रूप में माना जा सकता है, और पैर कुल्हाड़ियों पर स्थित वैक्टर हैं और मूल से आ रहे हैं। तदनुसार, एक द्वि-आयामी सदिश को व्यक्त करना संभव है जो किसी भी अक्ष पर स्थित सदिशों के संदर्भ में नहीं है।

अब, यदि हम तीसरे आयाम पर जाते हैं, और इसलिए n=3 पर, त्रि-आयामी वेक्टर को व्यक्त करने के लिए, दो वैक्टर के बारे में पर्याप्त जानकारी नहीं होगी, और इसलिए Z को Fermat के समीकरण में व्यक्त करना संभव होगा कम से कम तीन पद (निर्देशांक प्रणाली के तीन अक्षों पर क्रमशः तीन सदिश पड़े हुए हैं)।

यदि n=4, तो 4 पद होने चाहिए, यदि n=5, तो 5 पद होने चाहिए, इत्यादि। इस मामले में, पर्याप्त से अधिक संपूर्ण समाधान होंगे। उदाहरण के लिए, 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 और इसी तरह (आप n=3, n=4 आदि के लिए अन्य उदाहरण चुन सकते हैं)।

इस सब से क्या निकलता है? इससे यह पता चलता है कि फ़र्मेट के प्रमेय का वास्तव में n>2 के लिए कोई संपूर्ण समाधान नहीं है - लेकिन केवल इसलिए कि समीकरण ही गलत है! उसी सफलता के साथ, कोई एक समानांतर चतुर्भुज के आयतन को उसके दो किनारों की लंबाई के रूप में व्यक्त करने का प्रयास कर सकता है - बेशक, यह असंभव है (पूरे समाधान कभी नहीं मिलेंगे), लेकिन केवल इसलिए कि एक समानांतर चतुर्भुज की मात्रा को खोजने के लिए , आपको इसके तीनों किनारों की लंबाई जानने की जरूरत है।

जब प्रसिद्ध गणितज्ञ डेविड गिल्बर्ट से पूछा गया कि अब विज्ञान के लिए सबसे महत्वपूर्ण कार्य क्या है, तो उन्होंने उत्तर दिया "चंद्रमा के दूर की ओर एक मक्खी को पकड़ने के लिए।" उचित प्रश्न के लिए "इसकी आवश्यकता किसे है?" उन्होंने इस तरह उत्तर दिया: "किसी को इसकी आवश्यकता नहीं है। लेकिन इस बारे में सोचें कि इसे पूरा करने के लिए आपको कितने महत्वपूर्ण और जटिल कार्यों को हल करने की आवश्यकता है।"

दूसरे शब्दों में, फ़र्मेट (पहली जगह में एक वकील!) ने समस्या के गलत सूत्रीकरण के आधार पर संपूर्ण गणितीय दुनिया पर एक मजाकिया कानूनी मजाक किया। उन्होंने, वास्तव में, सुझाव दिया कि गणितज्ञों को एक उत्तर मिल जाए कि एक मक्खी चंद्रमा के दूसरी तरफ क्यों नहीं रह सकती है, और अंकगणित के हाशिये में वह केवल यह लिखना चाहता था कि चंद्रमा पर बस कोई हवा नहीं है, अर्थात। केवल n>2 के लिए उसके प्रमेय का कोई पूर्णांक हल नहीं हो सकता है क्योंकि n का प्रत्येक मान उसके समीकरण के बाईं ओर एक निश्चित संख्या में पदों के अनुरूप होना चाहिए।

लेकिन क्या यह सिर्फ एक मजाक था? बिल्कुल भी नहीं। फ़र्मेट की प्रतिभा ठीक इस तथ्य में निहित है कि वह वास्तव में एक गणितीय आकृति की डिग्री और आयाम के बीच संबंध को देखने वाले पहले व्यक्ति थे - अर्थात, जो बिल्कुल समतुल्य है, समीकरण के बाईं ओर शब्दों की संख्या। उनके प्रसिद्ध प्रमेय का अर्थ न केवल गणितीय दुनिया को इस संबंध के विचार पर धकेलना था, बल्कि इस संबंध के अस्तित्व के प्रमाण को भी शुरू करना था - सहज रूप से समझने योग्य, लेकिन गणितीय रूप से अभी तक सिद्ध नहीं हुआ है।

फ़र्मेट, किसी और की तरह, यह नहीं समझ पाया कि अलग-अलग वस्तुओं के बीच संबंध स्थापित करना न केवल गणित में, बल्कि किसी भी विज्ञान में भी अत्यंत उपयोगी है। ऐसा संबंध दोनों वस्तुओं में अंतर्निहित कुछ गहरे सिद्धांत की ओर इशारा करता है और उनकी गहरी समझ की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए, शुरू में भौतिकविदों ने बिजली और चुंबकत्व को पूरी तरह से असंबंधित घटना माना, और 19 वीं शताब्दी में, सिद्धांतकारों और प्रयोगकर्ताओं ने महसूस किया कि बिजली और चुंबकत्व निकट से संबंधित थे। परिणाम बिजली और चुंबकत्व दोनों की गहरी समझ थी। विद्युत धाराएँ चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती हैं, और चुम्बक उन कंडक्टरों में बिजली उत्पन्न कर सकते हैं जो चुम्बक के करीब हैं। इससे डायनेमो और इलेक्ट्रिक मोटर का आविष्कार हुआ। अंततः यह पता चला कि प्रकाश चुंबकीय और विद्युत क्षेत्रों के समन्वित हार्मोनिक दोलनों का परिणाम है।

फ़र्मेट के समय के गणित में अज्ञान के समुद्र में ज्ञान के द्वीप शामिल थे। जियोमीटर ने एक द्वीप पर आकृतियों का अध्ययन किया, और गणितज्ञों ने दूसरे द्वीप पर संभाव्यता और संयोग का अध्ययन किया। ज्यामिति की भाषा संभाव्यता सिद्धांत की भाषा से बहुत अलग थी, और बीजगणितीय शब्दावली उन लोगों के लिए अलग थी जो केवल आंकड़ों के बारे में बात करते थे। दुर्भाग्य से, हमारे समय के गणित में लगभग समान द्वीप हैं।

फार्म ने सबसे पहले यह महसूस किया कि ये सभी द्वीप आपस में जुड़े हुए हैं। और उनका प्रसिद्ध प्रमेय - फ़र्मेट का महान प्रमेय - इसकी एक उत्कृष्ट पुष्टि है।

यह संभावना नहीं है कि हमारे संपादकीय कार्यालय के जीवन में कम से कम एक वर्ष फर्मेट के प्रमेय के अच्छे दर्जन प्रमाण प्राप्त किए बिना बीत गया। अब, इस पर "जीत" के बाद, प्रवाह कम हो गया है, लेकिन सूख नहीं गया है।

बेशक, इसे पूरी तरह से सूखने के लिए नहीं, हम इस लेख को प्रकाशित करते हैं। और मेरे अपने बचाव में नहीं - कि, वे कहते हैं, इसलिए हम चुप रहे, हम अभी तक इस तरह की जटिल समस्याओं पर चर्चा करने के लिए परिपक्व नहीं हुए हैं।

लेकिन अगर लेख वास्तव में जटिल लगता है, तो इसके अंत को तुरंत देखें। आपको यह महसूस करना होगा कि जुनून अस्थायी रूप से शांत हो गया है, विज्ञान खत्म नहीं हुआ है, और जल्द ही नए प्रमेयों के नए सबूत संपादकों को भेजे जाएंगे।

ऐसा लगता है कि 20वीं सदी व्यर्थ नहीं गई। सबसे पहले लोगों ने हाइड्रोजन बम से एक क्षण के लिए दूसरा सूर्य बनाया। फिर वे चंद्रमा पर चले और अंत में कुख्यात फर्मेट के प्रमेय को साबित कर दिया। इन तीन चमत्कारों में से, पहले दो हर किसी की जुबान पर हैं, क्योंकि उनके बड़े सामाजिक परिणाम हुए हैं। इसके विपरीत, तीसरा चमत्कार एक अन्य वैज्ञानिक खिलौने की तरह दिखता है - सापेक्षता के सिद्धांत, क्वांटम यांत्रिकी और अंकगणित की अपूर्णता पर गोडेल के प्रमेय के बराबर। हालाँकि, सापेक्षता और क्वांटा ने भौतिकविदों को हाइड्रोजन बम तक पहुँचाया, और गणितज्ञों के शोध ने हमारी दुनिया को कंप्यूटरों से भर दिया। क्या चमत्कारों का यह सिलसिला 21वीं सदी में भी जारी रहेगा? क्या हमारे दैनिक जीवन में अगले वैज्ञानिक खिलौनों और क्रांतियों के बीच संबंध का पता लगाना संभव है? क्या यह संबंध हमें सफल भविष्यवाणियां करने की अनुमति देता है? आइए Fermat के प्रमेय के उदाहरण का उपयोग करके इसे समझने का प्रयास करें।

आइए एक शुरुआत के लिए ध्यान दें कि वह अपने प्राकृतिक कार्यकाल की तुलना में बहुत बाद में पैदा हुई थी। आखिरकार, फ़र्मेट के प्रमेय का पहला विशेष मामला पाइथागोरस समीकरण X 2 + Y 2 = Z 2 है, जो एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई से संबंधित है। पच्चीस शताब्दी पहले इस सूत्र को सिद्ध करने के बाद, पाइथागोरस ने तुरंत खुद से सवाल पूछा: क्या प्रकृति में ऐसे कई त्रिकोण हैं जिनमें दोनों पैरों और कर्ण की पूर्णांक लंबाई होती है? ऐसा लगता है कि मिस्रवासी केवल एक ऐसे त्रिभुज को जानते थे - भुजाओं के साथ (3, 4, 5)। लेकिन अन्य विकल्प खोजना मुश्किल नहीं है: उदाहरण के लिए (5, 12, 13) , (7, 24, 25) या (8, 15, 17) । इन सभी मामलों में, कर्ण की लंबाई का रूप (ए 2 + बी 2) है, जहां ए और बी विभिन्न समता की सहअभाज्य संख्याएं हैं। इस मामले में, पैरों की लंबाई (A 2 - B 2) और 2AB के बराबर होती है।

इन रिश्तों को देखते हुए, पाइथागोरस ने आसानी से साबित कर दिया कि संख्याओं का कोई भी ट्रिपल (X \u003d A 2 - B 2, Y \u003d 2AB, Z \u003d A 2 + B 2) समीकरण X 2 + Y 2 \u003d Z का समाधान है। 2 और पारस्परिक रूप से सरल पक्ष लंबाई के साथ एक आयत सेट करता है। यह भी देखा गया है कि इस प्रकार के विभिन्न त्रिगुणों की संख्या अनंत है। लेकिन क्या पाइथागोरस समीकरण के सभी समाधानों का यह रूप होता है? पाइथागोरस इस तरह की परिकल्पना को साबित या अस्वीकृत करने में असमर्थ था और इस समस्या पर ध्यान दिए बिना इस समस्या को भावी पीढ़ी पर छोड़ दिया। कौन अपनी विफलताओं को उजागर करना चाहता है? ऐसा लगता है कि इसके बाद समकोण त्रिभुजों की समस्या सात शताब्दियों तक गुमनामी में रही - जब तक कि अलेक्जेंड्रिया में डायोफैंटस नामक एक नई गणितीय प्रतिभा दिखाई नहीं दी।

हम उसके बारे में बहुत कम जानते हैं, लेकिन यह स्पष्ट है कि वह पाइथागोरस जैसा कुछ नहीं था। वह ज्यामिति में और उससे भी आगे-चाहे संगीत, खगोल विज्ञान या राजनीति में एक राजा की तरह महसूस करते थे। एक सामंजस्यपूर्ण वीणा के किनारों की लंबाई के बीच पहला अंकगणितीय संबंध, ग्रहों और सितारों को ले जाने वाले संकेंद्रित क्षेत्रों से ब्रह्मांड का पहला मॉडल, केंद्र में पृथ्वी के साथ, और अंत में, इतालवी शहर क्रोटोन में वैज्ञानिकों का पहला गणराज्य - ये पाइथागोरस की व्यक्तिगत उपलब्धियां हैं। डायोफैंटस ऐसी सफलताओं का विरोध क्या कर सकता था - महान संग्रहालय का एक मामूली शोधकर्ता, जो लंबे समय से शहर की भीड़ का गौरव नहीं रहा है?

केवल एक ही चीज है: संख्याओं की प्राचीन दुनिया की बेहतर समझ, जिसके नियमों को पाइथागोरस, यूक्लिड और आर्किमिडीज के पास मुश्किल से महसूस करने का समय था। ध्यान दें कि डायोफैंटस ने अभी तक बड़ी संख्या लिखने की स्थिति प्रणाली में महारत हासिल नहीं की थी, लेकिन वह जानता था कि नकारात्मक संख्याएं क्या हैं और शायद यह सोचने में कई घंटे बिताए कि दो नकारात्मक संख्याओं का गुणनफल सकारात्मक क्यों है। पूर्णांकों की दुनिया को सबसे पहले डायोफैंटस को एक विशेष ब्रह्मांड के रूप में प्रकट किया गया था, जो सितारों, खंडों या पॉलीहेड्रा की दुनिया से अलग था। इस दुनिया में वैज्ञानिकों का मुख्य व्यवसाय समीकरणों को हल करना है, एक सच्चा गुरु सभी संभव समाधान ढूंढता है और साबित करता है कि कोई अन्य समाधान नहीं है। डायोफैंटस ने द्विघात पाइथागोरस समीकरण के साथ यही किया, और फिर उसने सोचा: क्या कम से कम एक समाधान में समान घन समीकरण X 3 + Y 3 = Z 3 है?

डायोफैंटस ऐसा समाधान खोजने में विफल रहा; यह साबित करने का उनका प्रयास भी असफल रहा कि कोई समाधान नहीं है। इसलिए, "अरिथमेटिक" (यह संख्या सिद्धांत पर दुनिया की पहली पाठ्यपुस्तक थी) पुस्तक में अपने काम के परिणामों को चित्रित करते हुए, डायोफैंटस ने पाइथागोरस समीकरण का विस्तार से विश्लेषण किया, लेकिन इस समीकरण के संभावित सामान्यीकरण के बारे में एक शब्द भी संकेत नहीं दिया। लेकिन वह कर सकता था: आखिरकार, यह डायोफैंटस था जिसने सबसे पहले पूर्णांक की शक्तियों के लिए संकेतन का प्रस्ताव रखा था! लेकिन अफसोस: "टास्क बुक" की अवधारणा हेलेनिक विज्ञान और शिक्षाशास्त्र के लिए अलग थी, और अनसुलझी समस्याओं की सूची प्रकाशित करना एक अशोभनीय व्यवसाय माना जाता था (केवल सुकरात ने अलग तरह से काम किया)। यदि आप समस्या का समाधान नहीं कर सकते - चुप रहो! डायोफैंटस चुप हो गया, और यह चुप्पी चौदह शताब्दियों तक चली - नए युग की शुरुआत तक, जब मानव सोच की प्रक्रिया में रुचि पुनर्जीवित हुई।

16वीं-17वीं सदी के मोड़ पर किसने किसी चीज की कल्पना नहीं की थी! अथक कैलकुलेटर केप्लर ने सूर्य से ग्रहों की दूरी के बीच संबंध का अनुमान लगाने की कोशिश की। पाइथागोरस विफल रहा। केप्लर की सफलता तब मिली जब उन्होंने बहुपदों और अन्य सरल कार्यों को एकीकृत करना सीखा। इसके विपरीत, सपने देखने वाले डेसकार्टेस को लंबी गणना पसंद नहीं थी, लेकिन यह वह था जिसने पहले विमान या अंतरिक्ष के सभी बिंदुओं को संख्याओं के सेट के रूप में प्रस्तुत किया था। यह दुस्साहसी मॉडल आंकड़ों के बारे में किसी भी ज्यामितीय समस्या को समीकरणों के बारे में कुछ बीजीय समस्या को कम कर देता है - और इसके विपरीत। उदाहरण के लिए, पाइथागोरस समीकरण के पूर्णांक समाधान शंकु की सतह पर पूर्णांक बिंदुओं के अनुरूप होते हैं। घन समीकरण X 3 + Y 3 = Z 3 के अनुरूप सतह अधिक जटिल दिखती है, इसके ज्यामितीय गुणों ने पियरे फ़र्मेट को कुछ भी नहीं सुझाया, और उसे पूर्णांकों के विल्स के माध्यम से नए मार्ग प्रशस्त करने थे।

1636 में, डायोफैंटस की एक पुस्तक, जिसका ग्रीक मूल से लैटिन में अनुवाद किया गया था, टूलूज़ के एक युवा वकील के हाथों में गिर गई, गलती से कुछ बीजान्टिन संग्रह में बच गई और तुर्की के समय में रोमन भगोड़ों में से एक द्वारा इटली लाया गया। बर्बाद। पाइथागोरस समीकरण की एक सुंदर चर्चा को पढ़ते हुए, फ़र्मेट ने सोचा: क्या ऐसा कोई समाधान खोजना संभव है, जिसमें तीन वर्ग संख्याएँ हों? इस प्रकार की कोई छोटी संख्या नहीं है: गणना द्वारा इसे सत्यापित करना आसान है। बड़े फैसलों का क्या? कंप्यूटर के बिना, Fermat एक संख्यात्मक प्रयोग नहीं कर सकता था। लेकिन उन्होंने देखा कि समीकरण एक्स 4 + वाई 4 = जेड 4 के प्रत्येक "बड़े" समाधान के लिए, एक छोटा समाधान बना सकता है। तो दो पूर्णांकों की चौथी घातों का योग कभी भी तीसरी संख्या के समान घात के बराबर नहीं होता है! दो घनों के योग के बारे में क्या?

डिग्री 4 की सफलता से प्रेरित होकर, फ़र्मेट ने डिग्री 3 के लिए "वंश की विधि" को संशोधित करने का प्रयास किया - और सफल रहा। यह पता चला कि उन एकल घनों से दो छोटे घनों की रचना करना असंभव था जिसमें एक किनारे की पूर्णांक लंबाई वाला एक बड़ा घन अलग हो गया। विजयी फ़र्मेट ने डायोफैंटस की किताब के हाशिये पर एक संक्षिप्त नोट बनाया और अपनी खोज की विस्तृत रिपोर्ट के साथ पेरिस को एक पत्र भेजा। लेकिन उन्हें कोई जवाब नहीं मिला - हालांकि आमतौर पर राजधानी के गणितज्ञों ने टूलूज़ में अपने अकेले सहयोगी-प्रतिद्वंद्वी की अगली सफलता पर तुरंत प्रतिक्रिया व्यक्त की। यहाँ क्या बात है?

काफी सरलता से: 17वीं शताब्दी के मध्य तक, अंकगणित फैशन से बाहर हो गया था। 16वीं शताब्दी के इतालवी बीजगणितविदों की महान सफलताएँ (जब डिग्री 3 और 4 के बहुपद समीकरणों को हल किया गया था) एक सामान्य वैज्ञानिक क्रांति की शुरुआत नहीं हुई, क्योंकि उन्होंने विज्ञान के आसन्न क्षेत्रों में नई उज्ज्वल समस्याओं को हल करने की अनुमति नहीं दी। अब, अगर केप्लर शुद्ध अंकगणित का उपयोग करके ग्रहों की कक्षाओं का अनुमान लगा सकता है ... लेकिन अफसोस, इसके लिए गणितीय विश्लेषण की आवश्यकता है। इसका मतलब है कि इसे विकसित किया जाना चाहिए - प्राकृतिक विज्ञान में गणितीय विधियों की पूर्ण विजय तक! लेकिन विश्लेषण ज्यामिति से बढ़ता है, जबकि अंकगणित निष्क्रिय वकीलों और संख्याओं और आंकड़ों के शाश्वत विज्ञान के अन्य प्रेमियों के लिए खेल का क्षेत्र बना हुआ है।

इसलिए, फ़र्मेट की अंकगणितीय सफलताएँ असामयिक निकलीं और उनकी सराहना नहीं की गई। वे इससे परेशान नहीं हुए: गणितज्ञ की प्रसिद्धि के लिए पहली बार उनके सामने डिफरेंशियल कैलकुलस, एनालिटिकल ज्योमेट्री और प्रायिकता सिद्धांत के तथ्य सामने आए। फ़र्मेट की इन सभी खोजों ने तुरंत नए यूरोपीय विज्ञान के स्वर्ण कोष में प्रवेश किया, जबकि संख्या सिद्धांत एक और सौ वर्षों तक पृष्ठभूमि में फीका रहा - जब तक कि इसे यूलर द्वारा पुनर्जीवित नहीं किया गया।

18वीं शताब्दी का यह "गणितज्ञों का राजा" विश्लेषण के सभी अनुप्रयोगों में एक चैंपियन था, लेकिन उसने अंकगणित की भी उपेक्षा नहीं की, क्योंकि विश्लेषण के नए तरीकों से संख्याओं के बारे में अप्रत्याशित तथ्य सामने आए। किसने सोचा होगा कि प्रतिलोम वर्गों का अनंत योग (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16+…) 2/6 के बराबर होता है? हेलेन्स में से कौन यह अनुमान लगा सकता था कि समान श्रृंखला संख्या की अपरिमेयता को सिद्ध करना संभव बनाती है?

इस तरह की सफलताओं ने यूलर को फ़र्मेट की जीवित पांडुलिपियों को ध्यान से पढ़ने के लिए मजबूर किया (सौभाग्य से, महान फ्रांसीसी का पुत्र उन्हें प्रकाशित करने में कामयाब रहा)। सच है, डिग्री 3 के लिए "बड़े प्रमेय" के प्रमाण को संरक्षित नहीं किया गया है, लेकिन यूलर ने इसे "वंश विधि" की ओर इशारा करते हुए आसानी से बहाल कर दिया, और तुरंत इस विधि को अगली प्राइम डिग्री - 5 में स्थानांतरित करने का प्रयास किया।

यह वहाँ नहीं था! यूलर के तर्क में, जटिल संख्याएँ सामने आईं कि फ़र्मेट नोटिस नहीं करने में कामयाब रहा (यह खोजकर्ताओं का सामान्य समूह है)। लेकिन जटिल पूर्णांकों का गुणनखंडन एक नाजुक मामला है। यहां तक ​​कि यूलर ने भी इसे पूरी तरह से नहीं समझा और "फर्मेट समस्या" को एक तरफ रख दिया, अपने मुख्य काम को पूरा करने की जल्दी में - पाठ्यपुस्तक "फंडामेंटल्स ऑफ एनालिसिस", जिसे हर प्रतिभाशाली युवा को लाइबनिज के बराबर खड़ा करने में मदद करने वाला था और यूलर। पाठ्यपुस्तक का प्रकाशन 1770 में सेंट पीटर्सबर्ग में पूरा हुआ। लेकिन यूलर फ़र्मेट के प्रमेय पर वापस नहीं लौटे, यह सुनिश्चित करते हुए कि उनके हाथ और दिमाग ने जो कुछ भी छुआ, वह नए वैज्ञानिक युवाओं द्वारा नहीं भुलाया जाएगा।

और ऐसा ही हुआ: फ्रांसीसी एड्रियन लीजेंड्रे संख्या सिद्धांत में यूलर के उत्तराधिकारी बन गए। 18वीं शताब्दी के अंत में, उन्होंने डिग्री 5 के लिए फ़र्मेट के प्रमेय का प्रमाण पूरा किया - और हालांकि वे बड़ी प्रमुख शक्तियों के लिए असफल रहे, उन्होंने संख्या सिद्धांत पर एक और पाठ्यपुस्तक संकलित की। इसके युवा पाठक लेखक को उसी तरह से आगे बढ़ाएं जैसे प्राकृतिक दर्शन के गणितीय सिद्धांतों के पाठक महान न्यूटन से आगे निकल गए! लीजेंड्रे का न्यूटन या यूलर से कोई मुकाबला नहीं था, लेकिन उनके पाठकों में दो प्रतिभाएं थीं: कार्ल गॉस और एवरिस्टे गैलोइस।

प्रतिभाओं की इतनी उच्च एकाग्रता को फ्रांसीसी क्रांति द्वारा सुगम बनाया गया, जिसने राज्य पंथ के कारण की घोषणा की। उसके बाद, हर प्रतिभाशाली वैज्ञानिक को कोलंबस या सिकंदर महान की तरह महसूस हुआ, जो एक नई दुनिया की खोज या विजय प्राप्त करने में सक्षम था। कई सफल हुए, इसीलिए 19वीं शताब्दी में वैज्ञानिक और तकनीकी प्रगति मानव जाति के विकास का मुख्य चालक बन गई, और सभी उचित शासकों (नेपोलियन से शुरू) को इस बात की जानकारी थी।

गॉस कोलंबस के चरित्र के करीब था। लेकिन वह (न्यूटन की तरह) सुंदर भाषणों से शासकों या छात्रों की कल्पना को मोहित करना नहीं जानता था, और इसलिए उसने अपनी महत्वाकांक्षाओं को वैज्ञानिक अवधारणाओं के क्षेत्र तक सीमित कर दिया। यहां वह जो चाहे कर सकता था। उदाहरण के लिए, किसी कारण से किसी कोण के ट्रिसेक्शन की प्राचीन समस्या को कम्पास और स्ट्रेटेज से हल नहीं किया जा सकता है। विमान के बिंदुओं को दर्शाने वाली जटिल संख्याओं की मदद से, गॉस इस समस्या का बीजगणित की भाषा में अनुवाद करता है - और कुछ ज्यामितीय निर्माणों की व्यवहार्यता का एक सामान्य सिद्धांत प्राप्त करता है। इस प्रकार, एक ही समय में, एक कम्पास और एक शासक के साथ एक नियमित 7- या 9-गॉन के निर्माण की असंभवता का एक कठोर प्रमाण दिखाई दिया, और एक नियमित 17-गॉन के निर्माण का ऐसा तरीका, जो कि हेलस के सबसे बुद्धिमान जियोमीटर ने किया था का सपना नहीं।

बेशक, ऐसी सफलता व्यर्थ नहीं दी जाती है: किसी को नई अवधारणाओं का आविष्कार करना होगा जो मामले के सार को दर्शाती हैं। न्यूटन ने ऐसी तीन अवधारणाएँ पेश कीं: फ्लक्स (व्युत्पन्न), धाराप्रवाह (अभिन्न) और शक्ति श्रृंखला। वे गणितीय विश्लेषण और यांत्रिकी और खगोल विज्ञान सहित भौतिक दुनिया का पहला वैज्ञानिक मॉडल बनाने के लिए पर्याप्त थे। गॉस ने तीन नई अवधारणाएँ भी पेश कीं: वेक्टर स्पेस, फील्ड और रिंग। उनमें से एक नया बीजगणित विकसित हुआ, जो ग्रीक अंकगणित और न्यूटन द्वारा बनाए गए संख्यात्मक कार्यों के सिद्धांत के अधीन था। यह अरस्तू द्वारा बनाए गए तर्क को बीजगणित के अधीन करने के लिए बना रहा: तब गणनाओं की मदद से स्वयंसिद्धों के इस सेट से किसी भी वैज्ञानिक कथन की कटौती या गैर-व्युत्पन्नता को साबित करना संभव होगा! उदाहरण के लिए, क्या फ़र्मेट का प्रमेय अंकगणित के स्वयंसिद्धों से प्राप्त होता है, या क्या यूक्लिड की समानांतर रेखाओं का अभिधारणा प्लैनिमेट्री के अन्य स्वयंसिद्धों से प्राप्त होता है?

गॉस के पास इस साहसी सपने को साकार करने का समय नहीं था - हालाँकि वह बहुत आगे बढ़ गया और विदेशी (गैर-कम्यूटेटिव) बीजगणित के अस्तित्व की संभावना का अनुमान लगाया। केवल साहसी रूसी निकोलाई लोबचेवस्की पहली गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति का निर्माण करने में कामयाब रहे, और पहले गैर-कम्यूटेटिव बीजगणित (समूह सिद्धांत) का प्रबंधन फ्रांसीसी एवरिस्ट गैलोइस द्वारा किया गया था। और गॉस की मृत्यु के बहुत बाद में - 1872 में - युवा जर्मन फेलिक्स क्लेन ने अनुमान लगाया कि संभावित ज्यामिति की विविधता को संभावित बीजगणित की विविधता के साथ एक-से-एक पत्राचार में लाया जा सकता है। सीधे शब्दों में कहें, प्रत्येक ज्यामिति को उसके समरूपता समूह द्वारा परिभाषित किया जाता है - जबकि सामान्य बीजगणित सभी संभावित समूहों और उनके गुणों का अध्ययन करता है।

लेकिन ज्यामिति और बीजगणित की ऐसी समझ बहुत बाद में आई और गॉस के जीवनकाल में फ़र्मेट के प्रमेय पर हमला फिर से शुरू हो गया। उन्होंने खुद फ़र्मेट के प्रमेय को सिद्धांत से बाहर कर दिया: व्यक्तिगत समस्याओं को हल करना राजा का व्यवसाय नहीं है जो एक उज्ज्वल वैज्ञानिक सिद्धांत में फिट नहीं होते हैं! लेकिन गॉस के छात्रों ने, उनके नए बीजगणित और न्यूटन और यूलर के शास्त्रीय विश्लेषण से लैस होकर, अलग तरह से तर्क दिया। सबसे पहले, पीटर डिरिचलेट ने इस डिग्री की एकता की जड़ों द्वारा उत्पन्न जटिल पूर्णांकों की अंगूठी का उपयोग करके फर्मेट के प्रमेय को डिग्री 7 के लिए सिद्ध किया। तब अर्नस्ट कमर ने डिरिचलेट पद्धति को सभी प्रमुख डिग्री (!) तक बढ़ा दिया - यह उसे जल्दी में लग रहा था, और वह जीत गया। लेकिन जल्द ही एक गंभीर बात सामने आई: सबूत त्रुटिपूर्ण रूप से तभी गुजरता है जब रिंग का प्रत्येक तत्व विशिष्ट रूप से प्रमुख कारकों में विघटित हो जाता है! साधारण पूर्णांकों के लिए, यह तथ्य यूक्लिड को पहले से ही पता था, लेकिन केवल गॉस ने इसका कठोर प्रमाण दिया। लेकिन संपूर्ण सम्मिश्र संख्याओं का क्या?

"सबसे बड़ी शरारत के सिद्धांत" के अनुसार, एक अस्पष्ट कारक हो सकता है और होना चाहिए! जैसे ही कुमेर ने गणितीय विश्लेषण के तरीकों से अस्पष्टता की डिग्री की गणना करना सीखा, उन्होंने 23 की डिग्री के लिए रिंग में इस गंदी चाल की खोज की। गॉस के पास विदेशी कम्यूटेटिव बीजगणित के इस संस्करण के बारे में जानने का समय नहीं था, लेकिन गॉस के छात्र बढ़ गए एक और गंदी चाल के स्थान पर आदर्शों का एक नया सुंदर सिद्धांत। सच है, इससे फ़र्मेट की समस्या को हल करने में बहुत मदद नहीं मिली: केवल इसकी प्राकृतिक जटिलता स्पष्ट हो गई।

19वीं शताब्दी के दौरान, इस प्राचीन मूर्ति ने नए जटिल सिद्धांतों के रूप में अपने प्रशंसकों से अधिक से अधिक बलिदान की मांग की। यह आश्चर्य की बात नहीं है कि 20वीं शताब्दी की शुरुआत तक, विश्वासी निराश और विद्रोही हो गए, उन्होंने अपनी पूर्व मूर्ति को अस्वीकार कर दिया। पेशेवर गणितज्ञों के बीच "फर्मेटिस्ट" शब्द एक अपमानजनक शब्द बन गया है। और यद्यपि फर्मेट के प्रमेय के पूर्ण प्रमाण के लिए काफी पुरस्कार दिया गया था, लेकिन इसके आवेदक ज्यादातर आत्मविश्वासी अज्ञानी थे। उस समय के सबसे मजबूत गणितज्ञ - पोंकारे और हिल्बर्ट - ने इस विषय को टाल दिया।

1900 में, हिल्बर्ट ने फ़र्मेट के प्रमेय को बीसवीं सदी के गणित के सामने आने वाली तेईस प्रमुख समस्याओं की सूची में शामिल नहीं किया। सच है, उन्होंने अपनी श्रृंखला में डायोफैंटाइन समीकरणों की सॉल्वेबिलिटी की सामान्य समस्या को शामिल किया। संकेत स्पष्ट था: गॉस और गैलोइस के उदाहरण का अनुसरण करें, नई गणितीय वस्तुओं के सामान्य सिद्धांत बनाएं! फिर एक दिन ठीक (लेकिन पहले से अनुमान नहीं लगाया जा सकता), पुराना किरच अपने आप गिर जाएगा।

महान रोमांटिक हेनरी पोंकारे ने इस तरह अभिनय किया। कई "शाश्वत" समस्याओं की उपेक्षा करते हुए, उन्होंने अपने पूरे जीवन में गणित या भौतिकी की विभिन्न वस्तुओं के SYMMETRIES का अध्ययन किया: या तो एक जटिल चर के कार्य, या आकाशीय पिंडों की गति के प्रक्षेपवक्र, या बीजीय वक्र या चिकनी कई गुना (ये घुमावदार के बहुआयामी सामान्यीकरण हैं। लाइनें)। उनके कार्यों का मकसद सरल था: यदि दो अलग-अलग वस्तुओं में समान समरूपता है, तो इसका मतलब है कि उनके बीच एक आंतरिक संबंध है, जिसे हम अभी तक समझ नहीं पाए हैं! उदाहरण के लिए, प्रत्येक द्वि-आयामी ज्यामिति (यूक्लिड, लोबाचेवस्की या रीमैन) का अपना समरूपता समूह होता है, जो समतल पर कार्य करता है। लेकिन विमान के बिंदु जटिल संख्याएं हैं: इस तरह किसी भी ज्यामितीय समूह की कार्रवाई जटिल कार्यों की विशाल दुनिया में स्थानांतरित हो जाती है। इन कार्यों में से सबसे सममित का अध्ययन करना संभव और आवश्यक है: AUTOMORPHOUS (जो यूक्लिड समूह के अधीन हैं) और मॉड्यूलर (जो लोबचेवस्की समूह के अधीन हैं)!

समतल में अण्डाकार वक्र भी होते हैं। उनका दीर्घवृत्त से कोई लेना-देना नहीं है, लेकिन Y 2 = AX 3 + BX 2 + CX के रूप के समीकरणों द्वारा दिए गए हैं और इसलिए किसी भी सीधी रेखा के साथ तीन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह तथ्य हमें एक अण्डाकार वक्र के बिंदुओं के बीच गुणन शुरू करने की अनुमति देता है - इसे एक समूह में बदलने के लिए। इस समूह की बीजगणितीय संरचना वक्र के ज्यामितीय गुणों को दर्शाती है; शायद यह अपने समूह द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है? यह प्रश्न अध्ययन करने योग्य है, क्योंकि कुछ वक्रों के लिए हमारे लिए रुचि का समूह मॉड्यूलर निकला, अर्थात यह लोबचेव्स्की ज्यामिति से संबंधित है ...

इस तरह से पोंकारे ने तर्क दिया, यूरोप के गणितीय युवाओं को बहकाया, लेकिन 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में इन प्रलोभनों ने उज्ज्वल प्रमेय या परिकल्पना को जन्म नहीं दिया। यह हिल्बर्ट के आह्वान के साथ अलग तरह से निकला: पूर्णांक गुणांक वाले डायोफैंटाइन समीकरणों के सामान्य समाधानों का अध्ययन करने के लिए! 1922 में, युवा अमेरिकी लुईस मोर्डेल ने इस समीकरण द्वारा दिए गए जटिल वक्र के ज्यामितीय जीनस के साथ इस तरह के समीकरण (यह एक निश्चित आयाम का एक वेक्टर स्थान है) के समाधान के सेट को जोड़ा। मोर्डेल इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि यदि समीकरण की डिग्री पर्याप्त रूप से बड़ी (दो से अधिक) है, तो समाधान स्थान का आयाम वक्र के जीनस के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है, और इसलिए यह आयाम FINITE है। इसके विपरीत - 2 की शक्ति के लिए, पाइथागोरस समीकरण में समाधानों का एक अनंत-आयामी परिवार है!

बेशक, मोर्डेल ने फर्मेट के प्रमेय के साथ अपनी परिकल्पना के संबंध को देखा। यदि यह ज्ञात हो जाता है कि प्रत्येक डिग्री n> 2 के लिए Fermat के समीकरण के संपूर्ण समाधानों का स्थान परिमित-आयामी है, तो इससे यह साबित करने में मदद मिलेगी कि ऐसा कोई समाधान नहीं है! लेकिन मोर्डेल ने अपनी परिकल्पना को साबित करने का कोई तरीका नहीं देखा - और हालांकि उन्होंने एक लंबा जीवन जिया, उन्होंने इस परिकल्पना के फालटिंग्स प्रमेय में परिवर्तन की प्रतीक्षा नहीं की। यह 1983 में, एक पूरी तरह से अलग युग में, कई गुना बीजीय टोपोलॉजी की महान सफलताओं के बाद हुआ।

पोंकारे ने इस विज्ञान को संयोग से बनाया: वह जानना चाहता था कि त्रि-आयामी मैनिफोल्ड क्या हैं। आखिरकार, रीमैन ने सभी बंद सतहों की संरचना का पता लगाया और एक बहुत ही सरल उत्तर प्राप्त किया! यदि त्रि-आयामी या बहुआयामी मामले में ऐसा कोई उत्तर नहीं है, तो आपको कई गुना बीजगणितीय अपरिवर्तनीयों की एक प्रणाली के साथ आने की जरूरत है जो इसकी ज्यामितीय संरचना को निर्धारित करती है। यह सबसे अच्छा है अगर ऐसे अपरिवर्तनीय कुछ समूहों के तत्व हैं - कम्यूटेटिव या गैर-कम्यूटेटिव।

यह अजीब लग सकता है, पोंकारे की यह दुस्साहसी योजना सफल रही: इसे 1950 से 1970 तक कई बड़े भू-गणक और बीजगणितविदों के प्रयासों के लिए धन्यवाद दिया गया था। 1950 तक, कई गुना वर्गीकृत करने के लिए विभिन्न तरीकों का एक शांत संचय था, और इस तिथि के बाद, लोगों और विचारों का एक महत्वपूर्ण द्रव्यमान जमा हुआ और एक विस्फोट हुआ, जो 17 वीं शताब्दी में गणितीय विश्लेषण के आविष्कार के बराबर था। लेकिन विश्लेषणात्मक क्रांति डेढ़ सदी तक चली, जिसमें गणितज्ञों की चार पीढ़ियों की रचनात्मक आत्मकथाएँ शामिल थीं - न्यूटन और लाइबनिज़ से लेकर फूरियर और कॉची तक। इसके विपरीत, 20वीं शताब्दी की टोपोलॉजिकल क्रांति बीस वर्षों के भीतर थी, इसके प्रतिभागियों की बड़ी संख्या के कारण। उसी समय, आत्मविश्वास से भरे युवा गणितज्ञों की एक बड़ी पीढ़ी उभरी है, अचानक अपनी ऐतिहासिक मातृभूमि में बिना काम के रह गई।

सत्तर के दशक में वे गणित और सैद्धांतिक भौतिकी के आसन्न क्षेत्रों में चले गए। कई ने यूरोप और अमेरिका के दर्जनों विश्वविद्यालयों में अपने स्वयं के वैज्ञानिक स्कूल बनाए हैं। अलग-अलग उम्र और राष्ट्रीयताओं के कई छात्र, विभिन्न क्षमताओं और झुकावों के साथ, अभी भी इन केंद्रों के बीच घूमते हैं, और हर कोई किसी न किसी खोज के लिए प्रसिद्ध होना चाहता है। यह इस महामारी में था कि मोर्डेल का अनुमान और फ़र्मेट का प्रमेय अंततः सिद्ध हो गया था।

हालांकि, पहला निगल, अपने भाग्य से अनजान, जापान में युद्ध के बाद के भूखे और बेरोजगार वर्षों में बड़ा हुआ। निगल का नाम युताका तानियामा था। 1955 में, यह नायक 28 साल का हो गया, और उसने जापान में गणितीय शोध को पुनर्जीवित करने के लिए (दोस्तों गोरो शिमुरा और ताकाउजी तमागावा के साथ) का फैसला किया। कहाँ से शुरू करें? बेशक, विदेशी सहयोगियों से अलगाव पर काबू पाने के साथ! इसलिए 1955 में, तीन युवा जापानीों ने टोक्यो में बीजगणित और संख्या सिद्धांत पर पहले अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन की मेजबानी की। स्टालिन द्वारा जमे हुए रूस की तुलना में अमेरिकियों द्वारा पुन: शिक्षित जापान में ऐसा करना स्पष्ट रूप से आसान था ...

सम्मान के मेहमानों में फ्रांस के दो नायक थे: आंद्रे वेइल और जीन-पियरे सेरे। यहां जापानी बहुत भाग्यशाली थे: वेइल फ्रांसीसी बीजगणित के मान्यता प्राप्त प्रमुख और बोर्बाकी समूह के सदस्य थे, और युवा सेरे ने टोपोलॉजिस्ट के बीच एक समान भूमिका निभाई। उनके साथ गरमागरम चर्चा में, जापानी युवाओं के सिर फट गए, उनका दिमाग पिघल गया, लेकिन अंत में, ऐसे विचार और योजनाएँ क्रिस्टलीकृत हुईं जो शायद ही किसी अलग वातावरण में पैदा हो सकती थीं।

एक दिन, तानियामा ने अण्डाकार वक्रों और मॉड्यूलर कार्यों के बारे में एक प्रश्न के साथ वेइल से संपर्क किया। पहले तो फ्रांसीसी को कुछ समझ नहीं आया: तानियामा अंग्रेजी बोलने में उस्ताद नहीं था। तब मामले का सार स्पष्ट हो गया, लेकिन तानियामा अपनी आशाओं को सटीक रूप देने में कामयाब नहीं हुए। युवा जापानी को सभी वेइल जवाब दे सकते थे कि यदि वह प्रेरणा के मामले में बहुत भाग्यशाली थे, तो उनकी अस्पष्ट परिकल्पनाओं से कुछ समझदार निकलेगा। लेकिन जबकि इसके लिए उम्मीद कमजोर है!

जाहिर है, वेइल ने तानियामा की निगाहों में स्वर्गीय आग पर ध्यान नहीं दिया। और आग थी: ऐसा लगता है कि एक पल के लिए स्वर्गीय पोंकारे का अदम्य विचार जापानी में चला गया! तानियामा का मानना ​​​​था कि प्रत्येक अण्डाकार वक्र मॉड्यूलर कार्यों द्वारा उत्पन्न होता है - अधिक सटीक रूप से, यह "एक मॉड्यूलर रूप द्वारा समान" है। काश, यह सटीक शब्द बहुत बाद में पैदा हुआ - तानियामा की अपने दोस्त शिमुरा के साथ बातचीत में। और फिर तानियामा ने अवसाद में आकर आत्महत्या कर ली ... उनकी परिकल्पना बिना मालिक के रह गई: यह स्पष्ट नहीं था कि इसे कैसे साबित किया जाए या इसका परीक्षण कहां किया जाए, और इसलिए किसी ने इसे लंबे समय तक गंभीरता से नहीं लिया। पहली प्रतिक्रिया केवल तीस साल बाद आई - लगभग फ़र्मेट के युग की तरह!

1983 में बर्फ टूट गई, जब सत्ताईस वर्षीय जर्मन गर्ड फाल्टिंग्स ने पूरी दुनिया को घोषणा की: मोर्डेल का अनुमान सिद्ध हो गया था! गणितज्ञ अपने पहरे पर थे, लेकिन फाल्टिंग्स एक सच्चे जर्मन थे: उनके लंबे और जटिल प्रमाण में कोई अंतराल नहीं था। बस समय आ गया है, तथ्य और अवधारणाएं जमा हो गई हैं - और अब एक प्रतिभाशाली बीजगणित, दस अन्य बीजगणित के परिणामों पर भरोसा करते हुए, एक समस्या को हल करने में कामयाब रहा है जो साठ वर्षों से गुरु की प्रतीक्षा कर रहा है। 20वीं सदी के गणित में यह असामान्य नहीं है। यह सेट थ्योरी में धर्मनिरपेक्ष सातत्य समस्या, समूह सिद्धांत में बर्नसाइड के दो अनुमान, या टोपोलॉजी में पोंकारे अनुमान को याद करने योग्य है। अंत में, संख्या सिद्धांत में, पुरानी फसलों की कटाई का समय आ गया है ... विजित गणितज्ञों की श्रृंखला में अगला शीर्ष कौन सा होगा? क्या यूलर की समस्या, रीमैन की परिकल्पना, या फ़र्मेट की प्रमेय ढह जाएगी? यह अच्छा है!

और अब, फाल्टिंग्स के रहस्योद्घाटन के दो साल बाद, जर्मनी में एक और प्रेरित गणितज्ञ दिखाई दिया। उसका नाम गेरहार्ड फ्रे था, और उसने कुछ अजीब होने का दावा किया: कि फर्मेट का प्रमेय तानियामा के अनुमान से निकला है! दुर्भाग्य से, फ्रे की अपने विचारों को व्यक्त करने की शैली उनके स्पष्ट हमवतन फाल्टिंग्स की तुलना में दुर्भाग्यपूर्ण तानियामा की याद दिलाती थी। जर्मनी में, कोई भी फ्रे को नहीं समझता था, और वह विदेश चला गया - प्रिंसटन के शानदार शहर में, जहां आइंस्टीन के बाद, उन्हें ऐसे आगंतुकों की आदत नहीं थी। कोई आश्चर्य नहीं कि एक बहुमुखी टोपोलॉजिस्ट बैरी मजूर, चिकनी मैनिफोल्ड्स पर हालिया हमले के नायकों में से एक, ने वहां अपना घोंसला बनाया। और एक छात्र मजूर - केन रिबेट के बगल में बड़ा हुआ, समान रूप से टोपोलॉजी और बीजगणित की पेचीदगियों में अनुभव किया, लेकिन फिर भी किसी भी तरह से खुद को महिमामंडित नहीं किया।

जब उन्होंने पहली बार फ्रे के भाषणों को सुना, तो रिबेट ने फैसला किया कि यह बकवास और निकट-विज्ञान कथा थी (शायद, वेइल ने तानियामा के खुलासे पर उसी तरह प्रतिक्रिया व्यक्त की)। लेकिन रिबेट इस "फंतासी" को नहीं भूल सका और कई बार मानसिक रूप से इसमें लौट आया। छह महीने बाद, रिबेट का मानना ​​​​था कि फ्रे की कल्पनाओं में कुछ समझदार था, और एक साल बाद उसने फैसला किया कि वह खुद फ्रे की अजीब परिकल्पना को लगभग साबित कर सकता है। लेकिन कुछ "छेद" बने रहे, और रिबेट ने अपने मालिक मजूर को कबूल करने का फैसला किया। उन्होंने छात्र की बात ध्यान से सुनी और शांति से उत्तर दिया: “हाँ, तुमने सब कुछ किया है! यहां आपको परिवर्तन लागू करने की आवश्यकता है , यहां - लेम्मास बी और के का उपयोग करें, और सब कुछ एक त्रुटिहीन रूप ले लेगा! इसलिए रिबेट ने फ्रे और मजूर के व्यक्ति में एक गुलेल का उपयोग करते हुए, अस्पष्टता से अमरता की ओर छलांग लगाई। निष्पक्षता में, उन सभी - स्वर्गीय तानियामा के साथ - को फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का प्रमाण माना जाना चाहिए।

लेकिन यहाँ समस्या है: उन्होंने अपना बयान तानियामा परिकल्पना से लिया है, जो स्वयं सिद्ध नहीं हुआ है! क्या होगा अगर वह बेवफा है? गणितज्ञ लंबे समय से जानते हैं कि "झूठ से कुछ भी होता है", अगर तानियामा का अनुमान गलत है, तो रिबेट का त्रुटिहीन तर्क बेकार है! हमें तत्काल तानियामा के अनुमान को साबित (या अस्वीकृत) करने की आवश्यकता है - अन्यथा फ़ाल्टिंग्स जैसा कोई व्यक्ति फ़र्मेट के प्रमेय को एक अलग तरीके से साबित करेगा। वह हीरो बन जाएगा!

यह संभावना नहीं है कि हम कभी जान पाएंगे कि कितने युवा या अनुभवी बीजगणित फ़ाल्टिंग्स की सफलता के बाद या 1986 में रिबेट की जीत के बाद फ़र्मेट के प्रमेय पर कूद पड़े। उन सभी ने गुप्त रूप से काम करने की कोशिश की, ताकि असफल होने की स्थिति में उन्हें "डमी" -फर्मेटिस्टों के समुदाय में स्थान न दिया जाए। यह ज्ञात है कि सबसे सफल - कैम्ब्रिज के एंड्रयू विल्स - ने 1993 की शुरुआत में ही जीत का स्वाद महसूस किया। यह इतना प्रसन्न नहीं है जितना भयभीत विल्स: क्या होगा यदि तानियामा अनुमान के उनके प्रमाण में त्रुटि या अंतराल दिखाई दे? तब उनकी वैज्ञानिक प्रतिष्ठा नष्ट हो गई! सबूत को ध्यान से लिखना आवश्यक है (लेकिन यह कई दर्जन पृष्ठ होंगे!) और इसे छह महीने या एक साल के लिए बंद कर दें, ताकि बाद में आप इसे ठंडे खून से और सावधानी से फिर से पढ़ सकें ... लेकिन क्या अगर कोई इस दौरान अपना सबूत प्रकाशित करता है? ओह परेशानी...

फिर भी विल्स ने अपने प्रमाण को शीघ्रता से परखने के लिए दोहरा तरीका निकाला। सबसे पहले, आपको अपने विश्वसनीय मित्रों और सहकर्मियों में से एक पर भरोसा करने की जरूरत है और उसे तर्क का पूरा तरीका बताना होगा। बाहर से तो सारी गलतियां ज्यादा नजर आती हैं! दूसरे, स्मार्ट छात्रों और स्नातक छात्रों के लिए इस विषय पर एक विशेष पाठ्यक्रम पढ़ना आवश्यक है: ये स्मार्ट लोग एक भी व्याख्याता की गलती नहीं छोड़ेंगे! बस उन्हें अंतिम क्षण तक पाठ्यक्रम का अंतिम लक्ष्य न बताएं - अन्यथा पूरी दुनिया को इसके बारे में पता चल जाएगा! और निश्चित रूप से, आपको कैम्ब्रिज से दूर ऐसे दर्शकों की तलाश करने की ज़रूरत है - यह इंग्लैंड में भी नहीं, बल्कि अमेरिका में भी बेहतर है ... दूर के प्रिंसटन से बेहतर क्या हो सकता है?

1993 के वसंत में विल्स वहां गए। उनके धैर्यवान मित्र निकलास काट्ज ने विल्स की लंबी रिपोर्ट को सुनने के बाद उसमें कई खामियां पाईं, लेकिन उन सभी को आसानी से ठीक कर लिया गया। लेकिन प्रिंसटन के स्नातक छात्र जल्द ही विल्स के विशेष पाठ्यक्रम से दूर भाग गए, व्याख्याता के सनकी विचार का पालन नहीं करना चाहते थे, जो उन्हें कोई नहीं जानता कि कहां है। अपने काम की ऐसी (विशेष रूप से गहरी नहीं) समीक्षा के बाद, विल्स ने फैसला किया कि यह दुनिया के लिए एक महान चमत्कार प्रकट करने का समय है।

जून 1993 में, कैम्ब्रिज में एक और सम्मेलन आयोजित किया गया, जो "इवासावा सिद्धांत" को समर्पित है - संख्या सिद्धांत का एक लोकप्रिय खंड। विल्स ने अंत तक मुख्य परिणाम की घोषणा किए बिना, उस पर तानियामा अनुमान के अपने प्रमाण को बताने का फैसला किया। रिपोर्ट काफी देर तक चलती रही, लेकिन सफलतापूर्वक पत्रकारों का झुंड धीरे-धीरे आने लगा, जिन्हें कुछ होश आया। अंत में, गड़गड़ाहट हुई: फ़र्मेट की प्रमेय सिद्ध हुई! सामान्य आनंद किसी भी संदेह से ढंका नहीं था: सब कुछ स्पष्ट प्रतीत होता है ... लेकिन दो महीने बाद, काट्ज़ ने विल्स के अंतिम पाठ को पढ़ा, इसमें एक और अंतर देखा। तर्क में एक निश्चित परिवर्तन "यूलर सिस्टम" पर निर्भर था - लेकिन विल्स ने जो बनाया वह ऐसी प्रणाली नहीं थी!

विल्स ने अड़चन की जाँच की और महसूस किया कि उनसे यहाँ गलती हुई थी। इससे भी बदतर: यह स्पष्ट नहीं है कि गलत तर्क को कैसे बदला जाए! इसके बाद विल्स के जीवन के सबसे काले महीने आए। पहले, उन्होंने स्वतंत्र रूप से हाथ में मौजूद सामग्री से एक अभूतपूर्व प्रमाण को संश्लेषित किया। अब वह एक संकीर्ण और स्पष्ट कार्य से बंधा हुआ है - इस निश्चितता के बिना कि इसका एक समाधान है और वह निकट भविष्य में इसे खोजने में सक्षम होगा। हाल ही में, फ्रे उसी संघर्ष का विरोध नहीं कर सका - और अब उसका नाम भाग्यशाली रिबेट के नाम से छिपा हुआ था, हालांकि फ्रे का अनुमान सही निकला। और मेरे अनुमान और मेरे नाम का क्या होगा?

यह कठिन परिश्रम ठीक एक वर्ष तक चला। सितंबर 1994 में, विल्स हार मानने और तानियामा परिकल्पना को अधिक भाग्यशाली उत्तराधिकारियों पर छोड़ने के लिए तैयार थे। ऐसा निर्णय लेने के बाद, उन्होंने धीरे-धीरे अपने प्रमाण को फिर से पढ़ना शुरू किया - शुरू से अंत तक, तर्क की लय को सुनकर, सफल खोजों के आनंद को फिर से अनुभव करना। हालांकि, "शापित" स्थान पर पहुंचने के बाद, विल्स ने मानसिक रूप से एक झूठा नोट नहीं सुना। क्या उनके तर्क का क्रम अभी भी त्रुटिहीन था, और त्रुटि केवल मानसिक छवि के मौखिक विवरण में उत्पन्न हुई थी? अगर यहाँ "यूलर सिस्टम" नहीं है, तो यहाँ क्या छिपा है?

अचानक, मेरे पास एक सरल विचार आया: "यूलर सिस्टम" काम नहीं करता है जहां इवासावा सिद्धांत लागू होता है। क्यों न इस सिद्धांत को सीधे लागू किया जाए - सौभाग्य से, यह स्वयं विल्स के करीब और परिचित है? और उन्होंने शुरू से ही इस दृष्टिकोण की कोशिश क्यों नहीं की, लेकिन समस्या के बारे में किसी और की दृष्टि से प्रभावित हो गए? विल्स अब इन विवरणों को याद नहीं रख सके - और यह बेकार हो गया। उन्होंने इवासावा सिद्धांत के ढांचे के भीतर आवश्यक तर्क को अंजाम दिया और आधे घंटे में सब कुछ हो गया! इस प्रकार - एक वर्ष की देरी से - तानियामा के अनुमान के प्रमाण में अंतिम अंतराल बंद हो गया था। अंतिम पाठ सबसे प्रसिद्ध गणितीय पत्रिका के समीक्षकों के एक समूह की दया के लिए दिया गया था, एक साल बाद उन्होंने घोषणा की कि अब कोई त्रुटि नहीं है। इस प्रकार, 1995 में, फ़र्मेट का अंतिम अनुमान तीन सौ साठ वर्ष की आयु में मर गया, एक सिद्ध प्रमेय में बदल गया जो अनिवार्य रूप से संख्या सिद्धांत पाठ्यपुस्तकों में प्रवेश करेगा।

फ़र्मेट के प्रमेय के इर्द-गिर्द तीन-शताब्दी के उपद्रव को सारांशित करते हुए, हमें एक अजीब निष्कर्ष निकालना होगा: यह वीर महाकाव्य नहीं हो सकता था! दरअसल, पाइथागोरस प्रमेय दृश्य प्राकृतिक वस्तुओं के बीच एक सरल और महत्वपूर्ण संबंध व्यक्त करता है - खंडों की लंबाई। लेकिन Fermat के प्रमेय के बारे में ऐसा नहीं कहा जा सकता है। यह एक वैज्ञानिक आधार पर एक सांस्कृतिक अधिरचना की तरह दिखता है - जैसे पृथ्वी के उत्तरी ध्रुव तक पहुंचना या चंद्रमा पर उड़ान भरना। आइए हम याद करें कि इन दोनों करतबों को लेखकों द्वारा उनके पूरा होने से बहुत पहले गाया गया था - प्राचीन काल में, यूक्लिड के "एलिमेंट्स" की उपस्थिति के बाद, लेकिन डायोफैंटस के "अरिथमेटिक" की उपस्थिति से पहले। तो, तब इस तरह के बौद्धिक कारनामों की सार्वजनिक आवश्यकता थी - कम से कम काल्पनिक! पहले, हेलेनेस के पास होमर की पर्याप्त कविताएँ थीं, जैसे कि फ़र्मेट से सौ साल पहले, फ्रांसीसी के पास पर्याप्त धार्मिक जुनून था। लेकिन फिर धार्मिक जुनून कम हो गया - और विज्ञान उनके बगल में खड़ा हो गया।

रूस में, ऐसी प्रक्रियाएं एक सौ पचास साल पहले शुरू हुईं, जब तुर्गनेव ने येवगेनी बाजारोव को येवगेनी वनगिन के बराबर रखा। सच है, लेखक तुर्गनेव ने वैज्ञानिक बाज़रोव के कार्यों के उद्देश्यों को खराब तरीके से समझा और उन्हें गाने की हिम्मत नहीं की, लेकिन यह जल्द ही वैज्ञानिक इवान सेचेनोव और प्रबुद्ध पत्रकार जूल्स वर्ने द्वारा किया गया। एक सहज वैज्ञानिक और तकनीकी क्रांति को अधिकांश लोगों के दिमाग में घुसने के लिए एक सांस्कृतिक खोल की आवश्यकता होती है, और यहां पहले विज्ञान कथा और फिर लोकप्रिय विज्ञान साहित्य (पत्रिका "ज्ञान शक्ति है" सहित) आता है।

साथ ही, एक विशिष्ट वैज्ञानिक विषय आम जनता के लिए बिल्कुल भी महत्वपूर्ण नहीं है और नायक-कलाकारों के लिए भी बहुत महत्वपूर्ण नहीं है। इसलिए, पीरी और कुक द्वारा उत्तरी ध्रुव की उपलब्धि के बारे में सुनकर, अमुंडसेन ने तुरंत अपने पहले से तैयार अभियान का लक्ष्य बदल दिया - और जल्द ही स्कॉट से एक महीने पहले दक्षिणी ध्रुव पर पहुंच गया। बाद में, यूरी गगारिन के पृथ्वी के सफल परिभ्रमण ने राष्ट्रपति कैनेडी को अमेरिकी अंतरिक्ष कार्यक्रम के पूर्व लक्ष्य को एक अधिक महंगे लेकिन कहीं अधिक प्रभावशाली: चंद्रमा पर लैंडिंग पुरुषों को बदलने के लिए मजबूर किया।

इससे पहले भी, अंतर्दृष्टिपूर्ण हिल्बर्ट ने छात्रों के भोले प्रश्न का उत्तर दिया: "अब किस वैज्ञानिक समस्या का समाधान सबसे उपयोगी होगा"? - एक मजाक के साथ उत्तर दिया: "चाँद के दूर की ओर एक मक्खी पकड़ो!" हैरान करने वाले प्रश्न के लिए: "यह क्यों आवश्यक है?" - उसके बाद एक स्पष्ट उत्तर: "किसी को इसकी आवश्यकता नहीं है! लेकिन वैज्ञानिक तरीकों और तकनीकी साधनों के बारे में सोचें कि हमें इस तरह की समस्या को हल करने के लिए विकसित करना होगा - और रास्ते में हम और कितनी खूबसूरत समस्याएं हल करेंगे!

ठीक ऐसा ही Fermat के प्रमेय के साथ हुआ। यूलर इसे अच्छी तरह से अनदेखा कर सकता था।

इस मामले में, कुछ और समस्या गणितज्ञों की मूर्ति बन जाएगी - शायद संख्या सिद्धांत से भी। उदाहरण के लिए, एराटोस्थनीज की समस्या: क्या जुड़वां अभाज्य संख्याओं (जैसे 11 और 13, 17 और 19, और इसी तरह) का एक सीमित या अनंत सेट है? या यूलर की समस्या: क्या प्रत्येक सम संख्या दो अभाज्य संख्याओं का योग है? या: क्या संख्या और e के बीच कोई बीजीय संबंध है? इन तीनों समस्याओं का समाधान अभी तक नहीं हुआ है, हालांकि 20वीं सदी में गणितज्ञ इनके सार को समझने के करीब पहुंच गए हैं। लेकिन इस सदी ने कई नई, कम दिलचस्प समस्याओं को भी जन्म दिया, विशेष रूप से भौतिकी और प्राकृतिक विज्ञान की अन्य शाखाओं के साथ गणित के चौराहे पर।

1900 में वापस, हिल्बर्ट ने उनमें से एक को चुना: गणितीय भौतिकी के स्वयंसिद्धों की एक पूरी प्रणाली बनाने के लिए! सौ साल बाद, यह समस्या हल होने से बहुत दूर है, यदि केवल इसलिए कि भौतिकी के गणितीय साधनों का शस्त्रागार लगातार बढ़ रहा है, और उन सभी का कठोर औचित्य नहीं है। लेकिन 1970 के बाद सैद्धांतिक भौतिकी दो शाखाओं में बंट गई। एक (शास्त्रीय) न्यूटन के समय से स्थिर प्रक्रियाओं की मॉडलिंग और भविष्यवाणी कर रहा है, दूसरा (नवजात शिशु) अस्थिर प्रक्रियाओं की बातचीत और उन्हें नियंत्रित करने के तरीकों को औपचारिक रूप देने की कोशिश कर रहा है। यह स्पष्ट है कि भौतिकी की इन दो शाखाओं को अलग-अलग स्वयंसिद्ध किया जाना चाहिए।

उनमें से पहला शायद बीस या पचास वर्षों में निपटाया जाएगा ...

और भौतिकी की दूसरी शाखा से क्या गायब है - वह जो सभी प्रकार के विकास का प्रभारी है (बाहरी भग्न और अजीब आकर्षित करने वाले, बायोकेनोज़ की पारिस्थितिकी और गुमिलोव के जुनून के सिद्धांत सहित)? यह हमें जल्द ही समझने की संभावना नहीं है। लेकिन नई मूर्ति के लिए वैज्ञानिकों की पूजा पहले से ही एक सामूहिक घटना बन गई है। संभवत: यहां एक महाकाव्य सामने आएगा, जिसकी तुलना फ़र्मेट के प्रमेय की तीन-शताब्दी की जीवनी से की जा सकती है। इस प्रकार, विभिन्न विज्ञानों के चौराहे पर, नई मूर्तियों का जन्म होता है - धार्मिक लोगों के समान, लेकिन अधिक जटिल और गतिशील ...

जाहिर है, कोई व्यक्ति समय-समय पर पुरानी मूर्तियों को उखाड़े बिना और नई मूर्तियों को बनाए बिना - दर्द में और खुशी के साथ एक व्यक्ति नहीं रह सकता है! पियरे फ़र्मेट भाग्यशाली था कि वह एक नई मूर्ति के जन्म के गर्म स्थान के करीब एक भाग्यशाली क्षण में था - और वह नवजात शिशु पर अपने व्यक्तित्व की छाप छोड़ने में कामयाब रहा। ऐसे भाग्य से कोई ईर्ष्या कर सकता है, और उसका अनुकरण करना पाप नहीं है।

सर्गेई स्मिरनोव
"ज्ञान शक्ति है"

एक बार टोस्ट बनाने के तरीके पर मेलिंग सूची के नए साल के अंक में, मैंने आकस्मिक रूप से उल्लेख किया था कि 20 वीं शताब्दी के अंत में एक भव्य घटना थी जिसे कई लोगों ने नोटिस नहीं किया था - तथाकथित फर्मेट का अंतिम प्रमेय अंततः साबित हुआ था। इस अवसर पर, मुझे प्राप्त पत्रों में, मुझे लड़कियों से दो प्रतिक्रियाएं मिलीं (उनमें से एक, जहां तक ​​मुझे याद है, ज़ेलेनोग्राड से नौवीं कक्षा की वीका है), जो इस तथ्य से हैरान थीं।

और मुझे आश्चर्य हुआ कि आधुनिक गणित की समस्याओं में लड़कियों की कितनी दिलचस्पी है। इसलिए, मुझे लगता है कि न केवल लड़कियां, बल्कि सभी उम्र के लड़के - हाई स्कूल के छात्रों से लेकर पेंशनभोगियों तक, भी महान प्रमेय के इतिहास को सीखने में रुचि लेंगे।

Fermat के प्रमेय का प्रमाण एक महान घटना है। और तबसे यह "महान" शब्द के साथ मजाक करने की प्रथा नहीं है, तो मुझे ऐसा लगता है कि प्रत्येक स्वाभिमानी वक्ता (और हम सभी, जब हम वक्ता कहते हैं) केवल प्रमेय के इतिहास को जानने के लिए बाध्य हैं।

अगर ऐसा हुआ कि आपको गणित उतना पसंद नहीं है जितना मुझे पसंद है, तो कुछ गहनों को सरसरी निगाह से विस्तार से देखें। यह समझते हुए कि हमारी मेलिंग सूची के सभी पाठक गणित के जंगल में भटकने में रुचि नहीं रखते हैं, मैंने कोई सूत्र नहीं देने की कोशिश की (फर्मेट के प्रमेय के समीकरण और कुछ परिकल्पनाओं को छोड़कर) और कुछ विशिष्ट मुद्दों के कवरेज को सरल बनाने के लिए जैसे जितना संभव हो सके।

फ़र्मेट ने दलिया कैसे बनाया

फ्रांसीसी वकील और 17वीं शताब्दी के अंशकालिक महान गणितज्ञ, पियरे फ़र्मेट (1601-1665) ने संख्या सिद्धांत के क्षेत्र से एक जिज्ञासु बयान दिया, जिसे बाद में फ़र्मेट्स ग्रेट (या ग्रेट) प्रमेय के रूप में जाना जाने लगा। यह सबसे प्रसिद्ध और अभूतपूर्व गणितीय प्रमेयों में से एक है। शायद, इसके चारों ओर उत्साह इतना मजबूत नहीं होता अगर अलेक्जेंड्रिया के डायोफैंटस (तीसरी शताब्दी ईस्वी) "अरिथमेटिक" की पुस्तक में, जिसे फ़र्मेट ने अक्सर अध्ययन किया, इसके व्यापक हाशिये पर नोट्स बनाते हुए, और जिसे उनके बेटे सैमुअल ने कृपया भावी पीढ़ी के लिए संरक्षित किया। , महान गणितज्ञ की लगभग निम्नलिखित प्रविष्टि नहीं मिली थी:

"मेरे पास सबूत का एक बहुत ही चौंकाने वाला टुकड़ा है, लेकिन यह हाशिये में फिट होने के लिए बहुत बड़ा है।"

यह वह प्रविष्टि थी जिसने प्रमेय के चारों ओर बाद की भव्य उथल-पुथल का कारण बना।

तो, प्रसिद्ध वैज्ञानिक ने कहा कि उन्होंने अपने प्रमेय को सिद्ध कर दिया है। आइए अपने आप से यह प्रश्न पूछें: क्या उसने वास्तव में इसे साबित कर दिया था या वह झूठ बोल रहा था? या क्या ऐसे अन्य संस्करण हैं जो उस सीमांत प्रविष्टि की उपस्थिति की व्याख्या करते हैं जिसने अगली पीढ़ियों के कई गणितज्ञों को शांति से सोने की अनुमति नहीं दी?

महान प्रमेय का इतिहास समय के साथ एक साहसिक कार्य जितना ही आकर्षक है। फ़र्मेट ने 1636 में कहा कि फॉर्म का एक समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एनघातांक n>2 के साथ पूर्णांकों में कोई हल नहीं है। यह वास्तव में Fermat का अंतिम प्रमेय है। इस प्रतीत होने वाले सरल गणितीय सूत्र में, ब्रह्मांड ने अविश्वसनीय जटिलता को छुपाया है। स्कॉटिश में जन्मे अमेरिकी गणितज्ञ एरिक टेम्पल बेल ने अपनी पुस्तक द फाइनल प्रॉब्लम (1961) में यहां तक ​​​​सुझाव दिया कि शायद फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को साबित करने से पहले मानवता का अस्तित्व समाप्त हो जाएगा।

यह कुछ अजीब है कि किसी कारण से प्रमेय अपने जन्म के साथ देर से आया था, क्योंकि स्थिति लंबे समय से अतिदेय थी, क्योंकि n = 2 के लिए इसका विशेष मामला - एक और प्रसिद्ध गणितीय सूत्र - पाइथागोरस प्रमेय, बाईस सदी पहले उत्पन्न हुआ था। फ़र्मेट के प्रमेय के विपरीत, पाइथागोरस प्रमेय में अनंत संख्या में पूर्णांक समाधान होते हैं, उदाहरण के लिए, ऐसे पाइथागोरस त्रिभुज: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15) ,17) ... (27,36,45) ... (112,384,400) ... (4232, 7935, 8993) ...

ग्रैंड प्रमेय सिंड्रोम

किसने फर्मेट के प्रमेय को सिद्ध करने का प्रयास नहीं किया। कोई भी नवोदित छात्र महान प्रमेय को लागू करना अपना कर्तव्य समझता था, लेकिन कोई भी इसे साबित करने में सक्षम नहीं था। पहले तो यह सौ साल तक काम नहीं करता था। फिर सौ और। और आगे। गणितज्ञों के बीच एक मास सिंड्रोम विकसित होने लगा: "यह कैसा है? फ़र्मेट ने इसे साबित कर दिया, लेकिन क्या होगा अगर मैं नहीं कर सकता, या क्या?" - और उनमें से कुछ शब्द के पूर्ण अर्थ में इस आधार पर पागल हो गए।

प्रमेय का कितना भी परीक्षण किया गया हो, यह हमेशा सच निकला। मैं एक ऊर्जावान प्रोग्रामर को जानता था, जो एक तेज कंप्यूटर (उस समय अधिक सामान्यतः एक कंप्यूटर कहा जाता है) का उपयोग करके पूर्णांकों पर पुनरावृति करके इसके कम से कम एक समाधान (प्रति उदाहरण) को खोजने की कोशिश करके महान प्रमेय को अस्वीकार करने के विचार से ग्रस्त था। वह अपने उद्यम की सफलता में विश्वास करता था और यह कहना पसंद करता था: "थोड़ा और - और एक सनसनी फैल जाएगी!" मुझे लगता है कि हमारे ग्रह के विभिन्न हिस्सों में इस तरह के साहसी साधकों की काफी संख्या थी। बेशक, उसे कोई समाधान नहीं मिला। और कोई भी कंप्यूटर, शानदार गति के साथ भी, कभी भी प्रमेय की जांच नहीं कर सकता, क्योंकि इस समीकरण के सभी चर (घातांक सहित) अनंत तक बढ़ सकते हैं।

प्रमेय को प्रमाण की आवश्यकता है

गणितज्ञ जानते हैं कि यदि कोई प्रमेय सिद्ध नहीं होता है, तो कुछ भी (या तो सत्य या असत्य) उसका अनुसरण कर सकता है, जैसा कि उसने कुछ अन्य परिकल्पनाओं के साथ किया था। उदाहरण के लिए, अपने एक पत्र में, पियरे फ़र्मेट ने सुझाव दिया कि फॉर्म 2 n +1 (तथाकथित फ़र्मेट नंबर) की संख्याएँ आवश्यक रूप से अभाज्य हैं (अर्थात, उनके पास पूर्णांक भाजक नहीं हैं और केवल शेष के बिना विभाज्य हैं) और एक से), यदि n दो की घात है (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, आदि)। फ़र्मेट की परिकल्पना सौ से अधिक वर्षों तक जीवित रही - जब तक लियोनहार्ड यूलर ने 1732 में यह नहीं दिखाया कि

2 32 +1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 641

फिर, लगभग 150 साल बाद (1880), फॉर्च्यून लैंड्री ने निम्नलिखित फर्मेट संख्या को फैक्टर किया:

2 64 +1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 67 280 421 310 721

वे कंप्यूटर की मदद के बिना इन बड़ी संख्याओं के भाजक कैसे खोज सकते थे - भगवान ही जानता है। बदले में, यूलर ने इस परिकल्पना को सामने रखा कि समीकरण x 4 + y 4 + z 4 =u 4 का पूर्णांकों में कोई हल नहीं है। हालाँकि, लगभग 250 साल बाद, 1988 में, हार्वर्ड के नाम एल्किस ने यह पता लगाने में कामयाबी हासिल की (पहले से ही एक कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग करके)

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4

इसलिए, फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को प्रमाण की आवश्यकता थी, अन्यथा यह केवल एक परिकल्पना थी, और यह अच्छी तरह से हो सकता है कि अंतहीन संख्यात्मक क्षेत्रों में कहीं न कहीं महान प्रमेय के समीकरण का समाधान खो गया हो।

18 वीं शताब्दी के सबसे गुणी और विपुल गणितज्ञ, लियोनहार्ड यूलर, जिनके अभिलेखों का संग्रह मानव जाति लगभग एक सदी से छांट रहा है, ने फर्मेट के प्रमेय को 3 और 4 की शक्तियों के लिए साबित कर दिया (या बल्कि, उन्होंने पियरे फ़र्मेट के खोए हुए प्रमाणों को दोहराया) ; संख्या सिद्धांत में उनके अनुयायी, लीजेंड्रे (और स्वतंत्र रूप से डिरिचलेट) - डिग्री 5 के लिए; लंगड़ा - डिग्री के लिए 7. लेकिन सामान्य शब्दों में, प्रमेय अप्रमाणित रहा।

1 मार्च, 1847 को, पेरिस एकेडमी ऑफ साइंसेज की एक बैठक में, दो उत्कृष्ट गणितज्ञों - गेब्रियल लेम और ऑगस्टिन कॉची - ने घोषणा की कि वे ग्रेट थ्योरम के प्रमाण के अंत में आ गए हैं और एक दौड़ की व्यवस्था की है, उनके प्रकाशन भागों में प्रमाण। हालाँकि, उनके बीच द्वंद्व को बाधित किया गया था क्योंकि उनके प्रमाणों में वही त्रुटि खोजी गई थी, जिसे जर्मन गणितज्ञ अर्नस्ट कमर ने इंगित किया था।

20वीं शताब्दी (1908) की शुरुआत में, एक धनी जर्मन उद्यमी, परोपकारी और वैज्ञानिक पॉल वोल्फस्केल ने किसी को भी एक लाख अंक दिए, जो फ़र्मेट के प्रमेय का पूर्ण प्रमाण प्रस्तुत करेगा। गॉटिंगेन एकेडमी ऑफ साइंसेज द्वारा वोल्फस्केल के वसीयतनामा के प्रकाशन के बाद पहले ही वर्ष में, यह गणित के प्रेमियों के हजारों सबूतों से भरा हुआ था, और यह प्रवाह दशकों तक नहीं रुका, लेकिन, जैसा कि आप कल्पना कर सकते हैं, उन सभी में त्रुटियां थीं . वे कहते हैं कि अकादमी ने निम्नलिखित सामग्री के साथ फॉर्म तैयार किए:

प्रिय __________________________!
ऊपर से ____ पृष्ठ ____ लाइन पर Fermat के प्रमेय के आपके प्रमाण में
सूत्र में निम्नलिखित त्रुटि पाई गई:__________________________:,

जिन्हें अशुभ आवेदकों को पुरस्कार के लिए भेजा गया था।

उस समय गणितज्ञों के घेरे में एक अर्ध-घृणित उपनाम प्रकट हुआ - फर्मिस्ट. यह किसी भी आत्मविश्वासी अपस्टार्ट का नाम था, जिसके पास ज्ञान की कमी थी, लेकिन ग्रेट थ्योरम को साबित करने के लिए जल्दबाजी में हाथ आजमाने की महत्वाकांक्षा से अधिक था, और फिर, अपनी गलतियों पर ध्यान न देते हुए, गर्व से अपनी छाती पर थप्पड़ मारते हुए, जोर से घोषणा करते हैं: "मैंने साबित किया पहले Fermat की प्रमेय! हर किसान, चाहे वह दस हजारवें नंबर का ही क्यों न हो, खुद को पहला मानता था - यह हास्यास्पद था। ग्रेट थ्योरम की सरल उपस्थिति ने फर्मिस्टों को आसान शिकार की इतनी याद दिला दी कि वे बिल्कुल भी शर्मिंदा नहीं हुए कि यूलर और गॉस भी इसका सामना नहीं कर सके।

(फर्मिस्ट, अजीब तरह से, आज भी मौजूद हैं। हालांकि उनमें से एक को विश्वास नहीं था कि उसने एक शास्त्रीय फर्मिस्ट की तरह प्रमेय को साबित कर दिया है, लेकिन हाल ही में जब तक उसने प्रयास नहीं किए - उसने मुझ पर विश्वास करने से इनकार कर दिया जब मैंने उसे बताया कि फ़र्मेट का प्रमेय पहले से ही था सिद्ध)।

सबसे शक्तिशाली गणितज्ञों ने, शायद अपने कार्यालयों की चुप्पी में, इस असहनीय छड़ से सावधानी से संपर्क करने की कोशिश की, लेकिन इसके बारे में जोर से बात नहीं की, ताकि फर्मिस्ट के रूप में ब्रांडेड न हों और इस प्रकार, अपने उच्च अधिकार को नुकसान न पहुंचाएं।

उस समय तक, घातांक n के लिए प्रमेय का प्रमाण दिखाई दिया<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.

अजीब परिकल्पना

बीसवीं शताब्दी के मध्य तक, महान प्रमेय के इतिहास में कोई बड़ी प्रगति नहीं देखी गई। लेकिन जल्द ही गणितीय जीवन में एक दिलचस्प घटना घटी। 1955 में, 28 वर्षीय जापानी गणितज्ञ युताका तानियामा ने गणित के एक पूरी तरह से अलग क्षेत्र से एक बयान को आगे बढ़ाया, जिसे तानियामा हाइपोथिसिस (उर्फ द तानियामा-शिमुरा-वील हाइपोथिसिस) कहा जाता है, जो फ़र्मेट के विलंबित प्रमेय के विपरीत, आगे था। अपने समय का।

तानियामा का अनुमान कहता है: "हर अंडाकार वक्र के लिए एक निश्चित मॉड्यूलर रूप से मेल खाता है।" उस समय के गणितज्ञों के लिए यह कथन उतना ही बेतुका लग रहा था जितना कि यह कथन हमारे लिए लगता है: "एक निश्चित धातु प्रत्येक पेड़ से मेल खाती है।" यह अनुमान लगाना आसान है कि एक सामान्य व्यक्ति इस तरह के बयान से कैसे संबंधित हो सकता है - वह इसे गंभीरता से नहीं लेगा, जो हुआ: गणितज्ञों ने सर्वसम्मति से परिकल्पना को नजरअंदाज कर दिया।

एक छोटी सी व्याख्या। लंबे समय से ज्ञात अण्डाकार वक्रों का द्वि-आयामी रूप होता है (एक समतल पर स्थित)। उन्नीसवीं शताब्दी में खोजे गए मॉड्यूलर कार्यों में चार-आयामी रूप होते हैं, इसलिए हम उन्हें अपने त्रि-आयामी दिमाग से कल्पना भी नहीं कर सकते हैं, लेकिन हम उनका गणितीय रूप से वर्णन कर सकते हैं; इसके अलावा, मॉड्यूलर रूप इस मायने में अद्भुत हैं कि उनके पास अधिकतम संभव समरूपता है - उन्हें किसी भी दिशा में अनुवाद (स्थानांतरित) किया जा सकता है, प्रतिबिंबित किया जा सकता है, टुकड़ों की अदला-बदली की जा सकती है, असीम रूप से कई तरीकों से घुमाया जा सकता है - और उनकी उपस्थिति नहीं बदलती है। जैसा कि आप देख सकते हैं, अण्डाकार वक्र और मॉड्यूलर रूपों में बहुत कम समानता है। तानियामा की परिकल्पना में कहा गया है कि एक दूसरे से संबंधित इन दो बिल्कुल अलग गणितीय वस्तुओं के वर्णनात्मक समीकरणों को एक ही गणितीय श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है।

तानियामा की परिकल्पना बहुत विरोधाभासी थी: यह पूरी तरह से अलग अवधारणाओं को जोड़ती है - बल्कि सरल सपाट वक्र और अकल्पनीय चार-आयामी आकार। ऐसा कभी किसी के साथ नहीं हुआ। जब सितंबर 1955 में टोक्यो में एक अंतरराष्ट्रीय गणितीय संगोष्ठी में, तानियामा ने अण्डाकार वक्रों और मॉड्यूलर रूपों के बीच कई पत्राचार का प्रदर्शन किया, तो सभी ने इसे एक अजीब संयोग से ज्यादा कुछ नहीं देखा। तानियामा के मामूली सवाल के लिए: क्या प्रत्येक अण्डाकार वक्र के लिए संबंधित मॉड्यूलर फ़ंक्शन को खोजना संभव है, आदरणीय फ्रांसीसी आंद्रे वेइल, जो उस समय संख्या सिद्धांत में दुनिया के सर्वश्रेष्ठ विशेषज्ञों में से एक थे, ने काफी कूटनीतिक उत्तर दिया, वे क्या कहते हैं , अगर जिज्ञासु तानियामा उत्साह नहीं छोड़ता है, तो शायद वह भाग्यशाली होगा और उसकी अविश्वसनीय परिकल्पना की पुष्टि हो जाएगी, लेकिन यह जल्द ही नहीं होना चाहिए। सामान्य तौर पर, कई अन्य उत्कृष्ट खोजों की तरह, पहले तानियामा की परिकल्पना को नजरअंदाज कर दिया गया था, क्योंकि वे अभी तक बड़े नहीं हुए थे - लगभग कोई भी इसे समझ नहीं पाया। तानियामा के केवल एक सहयोगी, गोरो शिमुरा, अपने अत्यधिक प्रतिभाशाली मित्र को अच्छी तरह से जानते हुए, सहज रूप से महसूस किया कि उनकी परिकल्पना सही थी।

तीन साल बाद (1958), युताका तानियामा ने आत्महत्या कर ली (हालांकि, जापान में समुराई परंपराएं मजबूत हैं)। सामान्य ज्ञान की दृष्टि से - एक समझ से बाहर का कार्य, खासकर जब आप समझते हैं कि बहुत जल्द उसकी शादी होने वाली थी। युवा जापानी गणितज्ञों के नेता ने अपना सुसाइड नोट इस प्रकार शुरू किया: "कल मैंने आत्महत्या के बारे में नहीं सोचा था। हाल ही में, मैंने अक्सर दूसरों से सुना कि मैं मानसिक और शारीरिक रूप से थक गया था। वास्तव में, अब भी मुझे समझ में नहीं आता कि मैं क्यों हूँ यह कर रहा है ..." और इसी तरह तीन शीट पर। यह अफ़सोस की बात है, कि यह एक दिलचस्प व्यक्ति का भाग्य था, लेकिन सभी प्रतिभाएँ थोड़ी अजीब हैं - इसलिए वे प्रतिभाशाली हैं (किसी कारण से, आर्थर शोपेनहावर के शब्द दिमाग में आए: "सामान्य जीवन में, ए जीनियस का उतना ही उपयोग होता है जितना कि एक थिएटर में टेलीस्कोप")। परिकल्पना को छोड़ दिया गया है। कोई नहीं जानता था कि इसे कैसे साबित किया जाए।

दस वर्षों तक, तानियामा की परिकल्पना का शायद ही उल्लेख किया गया था। लेकिन 70 के दशक की शुरुआत में, यह लोकप्रिय हो गया - इसे हर उस व्यक्ति द्वारा नियमित रूप से जांचा गया जो इसे समझ सकता था - और इसकी हमेशा पुष्टि की गई थी (जैसा कि, वास्तव में, फ़र्मेट की प्रमेय), लेकिन, पहले की तरह, कोई भी इसे साबित नहीं कर सका।

दो परिकल्पनाओं के बीच अद्भुत संबंध

एक और 15 साल बीत चुके हैं। 1984 में, गणित के जीवन में एक महत्वपूर्ण घटना हुई जिसने असाधारण जापानी अनुमान को फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के साथ जोड़ दिया। जर्मन गेरहार्ड फ्रे ने एक प्रमेय के समान एक जिज्ञासु कथन प्रस्तुत किया: "यदि तानियामा का अनुमान सिद्ध हो जाता है, तो, फलस्वरूप, फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय सिद्ध हो जाएगा।" दूसरे शब्दों में, फ़र्मेट का प्रमेय तानियामा के अनुमान का परिणाम है। (फ्रे, सरल गणितीय परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, फ़र्मेट के समीकरण को एक अण्डाकार वक्र समीकरण के रूप में कम कर दिया (वही जो तानियामा की परिकल्पना में प्रकट होता है), कमोबेश उनकी धारणा को प्रमाणित करता है, लेकिन इसे साबित नहीं कर सका)। और सिर्फ डेढ़ साल बाद (1986), कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, केनेथ रिबेट के एक प्रोफेसर ने फ्रे के प्रमेय को स्पष्ट रूप से साबित कर दिया।

अब क्या हुआ? अब यह पता चला है कि, चूंकि फ़र्मेट का प्रमेय पहले से ही तानियामा के अनुमान का एक परिणाम है, इसलिए केवल पौराणिक फ़र्मेट के प्रमेय के विजेता की प्रशंसा को तोड़ने के लिए बाद वाले को साबित करने की आवश्यकता है। लेकिन परिकल्पना कठिन निकली। इसके अलावा, सदियों से, गणितज्ञों को फ़र्मेट के प्रमेय से एलर्जी हो गई, और उनमें से कई ने फैसला किया कि तानियामा के अनुमान का सामना करना भी लगभग असंभव होगा।

फ़र्मेट की परिकल्पना की मृत्यु। एक प्रमेय का जन्म

एक और 8 साल बीत चुके हैं। प्रिंसटन यूनिवर्सिटी (न्यू जर्सी, यूएसए) के गणित के एक प्रगतिशील अंग्रेजी प्रोफेसर, एंड्रयू विल्स ने सोचा कि उन्हें तानियामा के अनुमान का प्रमाण मिल गया है। यदि प्रतिभा गंजा नहीं है, तो, एक नियम के रूप में, अव्यवस्थित। विल्स अव्यवस्थित है, इसलिए, एक प्रतिभाशाली की तरह दिखता है। इतिहास में प्रवेश करना, निश्चित रूप से, आकर्षक और बहुत वांछनीय है, लेकिन एक वास्तविक वैज्ञानिक की तरह, विल्स ने खुद की चापलूसी नहीं की, यह महसूस करते हुए कि उनसे पहले के हजारों फर्मिस्टों ने भी भूतिया सबूत देखे थे। इसलिए, दुनिया के सामने अपना सबूत पेश करने से पहले, उन्होंने खुद को सावधानीपूर्वक जांचा, लेकिन यह महसूस करते हुए कि उनके पास एक व्यक्तिपरक पूर्वाग्रह हो सकता है, उन्होंने चेक में दूसरों को भी शामिल किया, उदाहरण के लिए, सामान्य गणितीय कार्यों की आड़ में, उन्होंने कभी-कभी विभिन्न टुकड़े फेंक दिए स्मार्ट स्नातक छात्रों के लिए उनके प्रमाण का। विल्स ने बाद में स्वीकार किया कि उनकी पत्नी के अलावा और कोई नहीं जानता था कि वह महान प्रमेय को साबित करने पर काम कर रहे हैं।

और इसलिए, लंबी जाँच और दर्दनाक चिंतन के बाद, विल्स ने आखिरकार साहस जुटाया, और शायद, जैसा कि उन्होंने खुद सोचा था, अहंकार, और 23 जून, 1993 को कैम्ब्रिज में संख्या सिद्धांत पर एक गणितीय सम्मेलन में, उन्होंने अपनी महान उपलब्धि की घोषणा की।

बेशक, यह एक सनसनी थी। एक अल्पज्ञात गणितज्ञ से ऐसी चपलता की किसी को उम्मीद नहीं थी। फिर प्रेस साथ आया। जलती हुई दिलचस्पी से हर कोई परेशान था। दर्शकों की उत्सुक आंखों के सामने एक सुंदर चित्र के स्ट्रोक की तरह पतले सूत्र दिखाई दिए। असली गणितज्ञ, आखिरकार, वे ऐसे ही हैं - वे सभी प्रकार के समीकरणों को देखते हैं और उनमें संख्या, स्थिरांक और चर नहीं देखते हैं, लेकिन वे संगीत सुनते हैं, जैसे मोजार्ट एक संगीत कर्मचारी को देख रहा है। जैसे जब हम कोई किताब पढ़ते हैं, तो हम अक्षरों को देखते हैं, लेकिन हम उन्हें नोटिस नहीं करते हैं, लेकिन तुरंत ही पाठ का अर्थ समझ लेते हैं।

सबूत की प्रस्तुति सफल लग रही थी - इसमें कोई त्रुटि नहीं पाई गई - किसी ने एक भी झूठा नोट नहीं सुना (हालांकि अधिकांश गणितज्ञों ने उसे पहले ग्रेडर की तरह देखा और कुछ भी नहीं समझा)। सभी ने फैसला किया कि एक बड़े पैमाने पर घटना हुई थी: तानियामा की परिकल्पना सिद्ध हुई, और फलस्वरूप फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय। लेकिन लगभग दो महीने बाद, विल्स के प्रमाण की पांडुलिपि के प्रचलन में जाने से कुछ दिन पहले, यह असंगत पाया गया (विल्स के एक सहयोगी काट्ज़ ने कहा कि तर्क का एक टुकड़ा "यूलर की प्रणाली" पर निर्भर था, लेकिन क्या विल्स द्वारा निर्मित, ऐसी प्रणाली नहीं थी), हालांकि, सामान्य तौर पर, विल्स की तकनीकों को दिलचस्प, सुरुचिपूर्ण और नवीन माना जाता था।

विल्स ने स्थिति का विश्लेषण किया और फैसला किया कि वह हार गया है। कोई कल्पना कर सकता है कि उसने अपने पूरे अस्तित्व के साथ कैसा महसूस किया, इसका क्या अर्थ है "महान से हास्यास्पद एक कदम तक।" "मैं इतिहास में प्रवेश करना चाहता था, लेकिन इसके बजाय मैं जोकरों और हास्य कलाकारों की एक टीम में शामिल हो गया - अभिमानी किसान" - लगभग इस तरह के विचारों ने उन्हें अपने जीवन के उस दर्दनाक दौर में थका दिया। उसके लिए, एक गंभीर गणितज्ञ, यह एक त्रासदी थी, और उसने अपना सबूत बैक बर्नर पर फेंक दिया।

लेकिन एक साल बाद, सितंबर 1994 में, ऑक्सफोर्ड से अपने सहयोगी टेलर के साथ मिलकर सबूत की उस अड़चन के बारे में सोचते हुए, बाद वाले को अचानक यह विचार आया कि "यूलर सिस्टम" को इवासावा सिद्धांत (अनुभाग का खंड) में बदला जा सकता है। संख्या सिद्धांत)। फिर उन्होंने "यूलर सिस्टम" के बिना इवासावा सिद्धांत का उपयोग करने की कोशिश की, और वे सभी एक साथ आए। सबूत का सही संस्करण सत्यापन के लिए प्रस्तुत किया गया था, और एक साल बाद यह घोषणा की गई कि इसमें सब कुछ बिल्कुल स्पष्ट था, बिना किसी गलती के। 1995 की गर्मियों में, प्रमुख गणितीय पत्रिकाओं में से एक में - "गणित के इतिहास" - तानियामा के अनुमान का एक पूर्ण प्रमाण (इसलिए, फ़र्मेट्स ग्रेट (लार्ज) प्रमेय) प्रकाशित हुआ, जिसने पूरे मुद्दे पर कब्जा कर लिया - एक सौ से अधिक पृष्ठ। प्रमाण इतना जटिल है कि दुनिया भर में केवल कुछ दर्जन लोग ही इसे पूरी तरह समझ सकते हैं।

इस प्रकार, 20वीं शताब्दी के अंत में, पूरी दुनिया ने माना कि अपने जीवन के 360वें वर्ष में, फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय, जो वास्तव में इस समय एक परिकल्पना थी, एक सिद्ध प्रमेय बन गई थी। एंड्रयू विल्स ने फर्मेट के महान (महान) प्रमेय को साबित किया और इतिहास में प्रवेश किया।

सोचें कि आपने एक प्रमेय सिद्ध कर दिया है...

खोजकर्ता का सुख हमेशा किसी को ही जाता है - वही है जो हथौड़े के अंतिम प्रहार से ज्ञान के कठोर नट को तोड़ देता है। लेकिन कोई भी पिछले कई प्रहारों को नजरअंदाज नहीं कर सकता है जिन्होंने सदियों से ग्रेट थ्योरम में दरार पैदा की है: यूलर और गॉस (अपने समय के गणित के राजा), एवरिस्टे गैलोइस (जो अपने छोटे 21 में समूहों और क्षेत्रों के सिद्धांत को स्थापित करने में कामयाब रहे। -वर्ष का जीवन, जिनके कार्यों को उनकी मृत्यु के बाद ही शानदार माना गया), हेनरी पोंकारे (न केवल विचित्र मॉड्यूलर रूपों के संस्थापक, बल्कि पारंपरिकवाद - एक दार्शनिक प्रवृत्ति), डेविड गिल्बर्ट (बीसवीं शताब्दी के सबसे मजबूत गणितज्ञों में से एक) , युताकु तानियामा, गोरो शिमुरा, मोर्डेल, फाल्टिंग्स, अर्न्स्ट कमर, बैरी मजूर, गेरहार्ड फ्रे, केन रिबेट, रिचर्ड टेलर और अन्य वास्तविक वैज्ञानिक(मैं इन शब्दों से नहीं डरता)।

फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के प्रमाण को बीसवीं शताब्दी की ऐसी उपलब्धियों के बराबर रखा जा सकता है जैसे कंप्यूटर का आविष्कार, परमाणु बम और अंतरिक्ष उड़ान। हालांकि इसके बारे में इतना व्यापक रूप से ज्ञात नहीं है, क्योंकि यह हमारे क्षणिक हितों के क्षेत्र पर आक्रमण नहीं करता है, जैसे कि टीवी या इलेक्ट्रिक लाइट बल्ब, लेकिन यह एक सुपरनोवा का फ्लैश था, जो सभी अपरिवर्तनीय सत्यों की तरह हमेशा चमकता रहेगा। इंसानियत।

आप कह सकते हैं: "ज़रा सोचिए, आपने किसी प्रकार की प्रमेय सिद्ध कर दी है, इसकी जरूरत किसे है?"। एक उचित प्रश्न। डेविड गिल्बर्ट का उत्तर यहां बिल्कुल फिट होगा। जब, इस प्रश्न पर: "अब विज्ञान के लिए सबसे महत्वपूर्ण कार्य क्या है?", उन्होंने उत्तर दिया: "चंद्रमा के दूर की ओर एक मक्खी को पकड़ने के लिए", उनसे यथोचित रूप से पूछा गया: "लेकिन इसकी जरूरत किसे है?", उसने इस तरह उत्तर दिया:" किसी को इसकी आवश्यकता नहीं है। लेकिन इस बारे में सोचें कि इसे पूरा करने के लिए कितनी महत्वपूर्ण और कठिन समस्याओं को हल करने की आवश्यकता है। "इस बारे में सोचें कि फर्मेट के प्रमेय को सिद्ध करने से पहले मानवता 360 वर्षों में कितनी समस्याओं को हल कर पाई है। इसके प्रमाण की तलाश में, आधुनिक गणित का लगभग आधा हिस्सा की खोज की गई थी। हमें यह भी ध्यान में रखना चाहिए कि गणित विज्ञान का अवांट-गार्डे है (और, वैसे, विज्ञानों में से केवल एक ही गलती के बिना बनाया गया है), और कोई भी वैज्ञानिक उपलब्धियां और आविष्कार यहां से शुरू होते हैं। " .

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और अब हम अपनी कहानी की शुरुआत में वापस जाते हैं, डायोफैंटस की पाठ्यपुस्तक के हाशिये में पियरे फ़र्मेट की प्रविष्टि को याद करें और एक बार फिर अपने आप से पूछें: क्या फ़र्मेट ने वास्तव में अपने प्रमेय को सिद्ध किया था? बेशक, हम इसे निश्चित रूप से नहीं जान सकते हैं, और किसी भी मामले में, विभिन्न संस्करण यहां उत्पन्न होते हैं:

संस्करण 1:फ़र्मेट ने अपनी प्रमेय सिद्ध की। (प्रश्न के लिए: "क्या फ़र्मेट के पास अपने प्रमेय का बिल्कुल वैसा ही प्रमाण था?", एंड्रयू विल्स ने टिप्पणी की: "फ़र्मेट के पास नहीं हो सकता था" इसलिएसबूत। यह 20वीं शताब्दी का प्रमाण है। "हम समझते हैं कि 17वीं शताब्दी में गणित, निश्चित रूप से, 20वीं शताब्दी के अंत के समान नहीं था - उस युग में, डी, विज्ञान की रानी, ​​आर्टाग्नन ने ऐसा नहीं किया। अभी तक उन खोजों (मॉड्यूलर रूप, तानियामा के प्रमेय, फ्रे, आदि) के अधिकारी हैं, जिसने केवल फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को साबित करना संभव बना दिया है। बेशक, कोई यह मान सकता है: क्या मज़ाक नहीं कर रहा है - क्या होगा अगर फ़र्मेट ने एक अलग तरीके से अनुमान लगाया यह संस्करण, हालांकि संभावित है, अधिकांश गणितज्ञों के अनुसार व्यावहारिक रूप से असंभव है);
संस्करण 2:पियरे डी फ़र्मेट को ऐसा लग रहा था कि उन्होंने अपने प्रमेय को सिद्ध कर दिया है, लेकिन उनके प्रमाण में त्रुटियाँ थीं। (अर्थात फ़र्मेट स्वयं भी पहले फ़र्मेटिस्ट थे);
संस्करण 3:फ़र्मेट ने अपने प्रमेय को सिद्ध नहीं किया, लेकिन केवल हाशिये में झूठ बोला।

यदि अंतिम दो संस्करणों में से एक सही है, जिसकी सबसे अधिक संभावना है, तो एक सरल निष्कर्ष निकाला जा सकता है: महान लोग, हालांकि वे महान हैं, वे गलतियाँ भी कर सकते हैं या कभी-कभी झूठ बोलने से भी गुरेज नहीं करते हैं(मूल रूप से, यह निष्कर्ष उन लोगों के लिए उपयोगी होगा जो पूरी तरह से अपनी मूर्तियों और विचारों के अन्य शासकों पर भरोसा करने के इच्छुक हैं)। इसलिए, मानव जाति के आधिकारिक पुत्रों के कार्यों को पढ़ते समय या उनके दयनीय भाषणों को सुनते समय, आपको उनके बयानों पर संदेह करने का पूरा अधिकार है। (कृपया ध्यान दें कि संदेह करना अस्वीकार करना नहीं है).

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विज्ञान और प्रौद्योगिकी की खबर

यूडीसी 51:37;517.958

ए.वी. कोनोव्को, पीएच.डी.

रूस के राज्य अग्निशमन सेवा EMERCOM की अकादमी महान प्रमेय फार्म सिद्ध है। या नहीं?

कई शताब्दियों के लिए, यह साबित करना संभव नहीं हो पाया है कि समीकरण xn+yn=zn n>2 के लिए परिमेय में अघुलनशील है, और इसलिए, पूर्णांक संख्याएं। यह समस्या फ्रांसीसी वकील पियरे फ़र्मेट के लेखकत्व के तहत पैदा हुई थी, जो उसी समय पेशेवर रूप से गणित में लगे हुए थे। उसके समाधान का श्रेय अमेरिकी गणित शिक्षक एंड्रयू विल्स को जाता है। यह मान्यता 1993 से 1995 तक चली।

ग्रेट फर्मा का प्रमेय सिद्ध हो गया है या नहीं?

फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय सिद्ध करने के नाटकीय इतिहास पर विचार किया जाता है। इसमें लगभग चार सौ साल लगे। पियरे फ़र्मेट ने बहुत कम लिखा। उन्होंने संकुचित शैली में लिखा। इसके अलावा उन्होंने अपने शोधों को प्रकाशित नहीं किया। यह कथन कि समीकरण xn+yn=zn सेट पर अघुलनशील है परिमेय संख्याओं और पूर्णांकों के लिए यदि n>2 में फ़र्मेट की टिप्पणी में भाग लिया गया था कि उन्होंने इस कथन के लिए वास्तव में उल्लेखनीय साबित किया है। इस सिद्ध करने से वंशज नहीं पहुंचे। बाद में इस कथन को फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय कहा गया। दुनिया के सर्वश्रेष्ठ गणितज्ञों ने बिना किसी परिणाम के इस प्रमेय पर लांस तोड़ दिया। सत्तर के दशक में पेरिस एकेडमी ऑफ साइंसेज के फ्रांसीसी गणितज्ञ सदस्य आंद्रे वील ने समाधान के लिए नए दृष्टिकोण रखे। 23 जून, 1993 में , कैम्ब्रिज में संख्या सम्मेलन के सिद्धांत पर, प्रिंसटन विश्वविद्यालय के गणितज्ञ एंड्रयू व्हाइल्स ने घोषणा की कि फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय सिद्ध हो गया है। हालाँकि, यह जीत के लिए जल्दी था।

1621 में, फ्रांसीसी लेखक और गणितज्ञ क्लॉड गैसपार्ड बाचे डी मेज़िरियाक ने लैटिन अनुवाद और टिप्पणियों के साथ डायोफैंटस द्वारा ग्रीक ग्रंथ अंकगणित प्रकाशित किया। शानदार, असामान्य रूप से व्यापक मार्जिन के साथ, "अंकगणित", बीस वर्षीय फर्मेट के हाथों में पड़ गया और कई वर्षों तक उनकी संदर्भ पुस्तक बन गई। इसके हाशिये पर, उन्होंने संख्याओं के गुणों के बारे में उनके द्वारा खोजे गए तथ्यों वाली 48 टिप्पणियां छोड़ दीं। यहाँ, अंकगणित के हाशिये पर, फ़र्मेट के महान प्रमेय को तैयार किया गया था: "एक घन को दो घनों में, या एक द्वि-वर्ग को दो द्वि-वर्गों में, या सामान्य रूप से दो से अधिक शक्ति को दो घातों में विघटित करना असंभव है। वही प्रतिपादक; मुझे इसका वास्तव में एक अद्भुत प्रमाण मिला, जो जगह की कमी के कारण इन क्षेत्रों में फिट नहीं हो सकता। वैसे, लैटिन में यह इस तरह दिखता है: "डुओस क्यूबोस में क्यूबम ऑटम, डुओस क्वाड्राटो-क्वाड्रैटोस में ऑटोटो-क्वाड्रैटम, एट जनरलिटर नलम इनफिनिटम अल्ट्रा क्वाड्राटम पोटेस्टेटम इन डुअस इजुस्डेम नॉमिनिस फास एस्ट डिवाइडर; क्यूजस री डेमोंस्टेम मिराबिलेम साने डिटेक्सी। हांक मार्जिनिस एक्ज़िगिटास नॉन कैपरेट।

महान फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे फ़र्मेट (1601-1665) ने क्षेत्रों और आयतनों को निर्धारित करने के लिए एक विधि विकसित की, स्पर्शरेखा और एक्स्ट्रेमा की एक नई विधि बनाई। डेसकार्टेस के साथ, वह विश्लेषणात्मक ज्यामिति के निर्माता बन गए, पास्कल के साथ वे संभाव्यता सिद्धांत के मूल में खड़े थे, असीम विधि के क्षेत्र में उन्होंने भेदभाव के लिए एक सामान्य नियम दिया और सामान्य शब्दों में एक शक्ति समारोह को एकीकृत करने के नियम को साबित किया। ... लेकिन, सबसे महत्वपूर्ण बात, यह नाम सबसे रहस्यमय और नाटकीय कहानियों में से एक के साथ जुड़ा हुआ है जिसने कभी गणित को चौंका दिया - फर्मेट के अंतिम प्रमेय के प्रमाण की कहानी। अब इस प्रमेय को एक साधारण कथन के रूप में व्यक्त किया जाता है: समीकरण xn + yn = zn n>2 के लिए परिमेय में अघुलनशील है, और इसलिए पूर्णांकों में है। वैसे, मामले n = 3 के लिए, मध्य एशियाई गणितज्ञ अल-खोजंडी ने 10 वीं शताब्दी में इस प्रमेय को साबित करने की कोशिश की, लेकिन उनके प्रमाण को संरक्षित नहीं किया गया है।

फ्रांस के दक्षिण के मूल निवासी, पियरे फ़र्मेट ने कानून की डिग्री प्राप्त की और 1631 से टूलूज़ शहर (यानी, सर्वोच्च न्यायालय) की संसद के सलाहकार थे। संसद की दीवारों के भीतर एक कार्य दिवस के बाद, उन्होंने गणित लिया और तुरंत एक पूरी तरह से अलग दुनिया में चले गए। पैसा, प्रतिष्ठा, सार्वजनिक मान्यता - यह सब उसके लिए मायने नहीं रखता था। विज्ञान कभी उसके लिए आय नहीं बना, एक शिल्प में नहीं बदला, हमेशा मन का एक रोमांचक खेल बना रहा, केवल कुछ के लिए समझ में आता है। उनके साथ वह अपना पत्राचार करता था।

फ़र्मेट ने हमारे सामान्य अर्थों में कभी भी वैज्ञानिक पत्र नहीं लिखे। और दोस्तों के साथ उनके पत्राचार में हमेशा कोई न कोई चुनौती होती है, यहां तक ​​कि एक तरह की उत्तेजना भी, और किसी भी तरह से समस्या और उसके समाधान की अकादमिक प्रस्तुति नहीं होती है। इसलिए, उनके कई पत्रों को बाद में एक चुनौती के रूप में जाना जाने लगा।

शायद इसीलिए उन्हें कभी भी संख्या सिद्धांत पर एक विशेष निबंध लिखने के अपने इरादे का एहसास नहीं हुआ। और इस बीच यह उनका गणित का पसंदीदा क्षेत्र था। यह उनके लिए था कि फ़र्मेट ने अपने पत्रों की सबसे प्रेरित पंक्तियों को समर्पित किया। "अंकगणित," उन्होंने लिखा, "इसका अपना क्षेत्र है, पूर्णांक का सिद्धांत। इस सिद्धांत को यूक्लिड द्वारा केवल थोड़ा छुआ गया था और उनके अनुयायियों द्वारा पर्याप्त रूप से विकसित नहीं किया गया था (जब तक कि यह डायोफैंटस के उन कार्यों में निहित नहीं था, जो हम हैं समय की बर्बादी से वंचित। अंकगणित, इसलिए, इसे विकसित और नवीनीकृत करना चाहिए।"

फ़र्मेट खुद समय के कहर से क्यों नहीं डरता था? उन्होंने बहुत कम और हमेशा बहुत संक्षिप्त रूप से लिखा। लेकिन, सबसे महत्वपूर्ण बात, उन्होंने अपना काम प्रकाशित नहीं किया। उनके जीवनकाल के दौरान वे केवल पांडुलिपि के रूप में प्रसारित हुए। इसलिए, यह आश्चर्य की बात नहीं है कि संख्या सिद्धांत पर फर्मेट के परिणाम खंडित रूप में हमारे सामने आए हैं। लेकिन बुल्गाकोव शायद सही थे: महान पांडुलिपियां नहीं जलतीं! फ़र्मेट का काम रह गया। वे अपने दोस्तों को लिखे अपने पत्रों में बने रहे: ल्यों गणित के शिक्षक जैक्स डी बिली, टकसाल कर्मचारी बर्नार्ड फ्रेनिकेल डी बेसी, मार्सेनिस, डेसकार्टेस, ब्लेज़ पास्कल ... डायोफैंटस का "अंकगणित" हाशिये पर उनकी टिप्पणियों के साथ बना रहा, जो फ़र्मेट की मृत्यु के बाद , 1670 में सबसे बड़े बेटे सैमुअल द्वारा प्रकाशित डायोफैंटस के एक नए संस्करण में बाश की टिप्पणियों के साथ दर्ज किया गया। केवल सबूत ही संरक्षित नहीं किया गया है।

अपनी मृत्यु से दो साल पहले, फ़र्मेट ने अपने मित्र कार्कवी को एक वसीयतनामा पत्र भेजा, जिसने "संख्याओं के विज्ञान में नए परिणामों का सारांश" शीर्षक के तहत गणित के इतिहास में प्रवेश किया। इस पत्र में, फ़र्मेट ने मामले n = 4 के लिए अपने प्रसिद्ध दावे को साबित कर दिया। लेकिन फिर, सबसे अधिक संभावना है, वह स्वयं दावे में नहीं, बल्कि उनके द्वारा खोजे गए प्रमाण की विधि में रुचि रखता था, जिसे फर्मेट ने खुद को अनंत या अनिश्चित वंश कहा था।

पांडुलिपियां नहीं जलती हैं। लेकिन, अगर यह सैमुअल के समर्पण के लिए नहीं था, जिन्होंने अपने पिता की मृत्यु के बाद अपने सभी गणितीय रेखाचित्र और छोटे ग्रंथ एकत्र किए, और फिर उन्हें 1679 में "विविध गणितीय कार्य" शीर्षक के तहत प्रकाशित किया, तो विद्वान गणितज्ञों को खोजना होगा। और बहुत कुछ फिर से खोजें। लेकिन उनके प्रकाशन के बाद भी, महान गणितज्ञ द्वारा पेश की गई समस्याएं सत्तर से अधिक वर्षों तक निष्क्रिय रहीं। और यह आश्चर्य की बात नहीं है। जिस रूप में वे प्रिंट में दिखाई दिए, पी। फ़र्मेट के संख्या-सैद्धांतिक परिणाम गंभीर समस्याओं के रूप में विशेषज्ञों के सामने आए, जो हमेशा स्पष्ट से लेकर समकालीनों तक, लगभग कोई सबूत नहीं थे, और उनके बीच आंतरिक तार्किक संबंध के संकेत थे। शायद, एक सुसंगत, सुविचारित सिद्धांत के अभाव में इस प्रश्न का उत्तर निहित है कि फ़र्मेट ने स्वयं संख्या सिद्धांत पर एक पुस्तक प्रकाशित करने का इरादा क्यों नहीं किया। सत्तर साल बाद, एल. यूलर को इन कार्यों में दिलचस्पी हो गई, और यह वास्तव में उनका दूसरा जन्म था...

गणित ने फ़र्मेट के अपने परिणामों को प्रस्तुत करने के अजीबोगरीब तरीके के लिए महंगा भुगतान किया है, जैसे कि जानबूझकर उनके प्रमाणों को छोड़ दिया गया हो। लेकिन, अगर फ़र्मेट ने पहले ही दावा कर दिया था कि उन्होंने इस या उस प्रमेय को सिद्ध कर दिया है, तो बाद में यह प्रमेय अवश्य ही सिद्ध हो गया। हालाँकि, महान प्रमेय के साथ एक अड़चन थी।

रहस्य हमेशा कल्पना को उत्तेजित करता है। मोनालिसा की रहस्यमयी मुस्कान ने पूरे महाद्वीप को जीत लिया था; सापेक्षता का सिद्धांत, अंतरिक्ष-समय कनेक्शन की पहेली की कुंजी के रूप में, सदी का सबसे लोकप्रिय भौतिक सिद्धांत बन गया है। और हम सुरक्षित रूप से कह सकते हैं कि ऐसी कोई अन्य गणितीय समस्या नहीं थी जो __93 . जितनी लोकप्रिय हो

नागरिक सुरक्षा की वैज्ञानिक और शैक्षिक समस्याएं

जो फर्मेट का प्रमेय है। इसे साबित करने के प्रयासों ने गणित की एक व्यापक शाखा का निर्माण किया - बीजगणितीय संख्याओं का सिद्धांत, लेकिन (अफसोस!) प्रमेय स्वयं अप्रमाणित रहा। 1908 में, जर्मन गणितज्ञ वोल्फस्केल ने 100,000 अंक किसी ऐसे व्यक्ति को दिए जो फ़र्मेट की प्रमेय को सिद्ध कर सके। यह उस समय के लिए बहुत बड़ी राशि थी! एक पल में न केवल प्रसिद्ध होना संभव था, बल्कि शानदार रूप से समृद्ध भी! इसलिए, यह आश्चर्य की बात नहीं है कि जर्मनी से दूर रूस के स्कूली बच्चे भी महान प्रमेय को साबित करने के लिए एक-दूसरे के साथ होड़ कर रहे थे। हम पेशेवर गणितज्ञों के बारे में क्या कह सकते हैं! परन्तु सफलता नहीं मिली! प्रथम विश्व युद्ध के बाद, धन का अवमूल्यन हुआ, और छद्म साक्ष्य वाले पत्रों का प्रवाह सूखने लगा, हालाँकि, निश्चित रूप से, यह पूरी तरह से कभी नहीं रुका। ऐसा कहा जाता है कि प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ एडमंड लैंडौ ने फ़र्मेट के प्रमेय के प्रमाणों के लेखकों को वितरण के लिए मुद्रित प्रपत्र तैयार किए: "पृष्ठ पर एक त्रुटि है ..., पंक्ति में ... एक त्रुटि है।" (गलती का पता लगाने के लिए सहायक प्रोफेसर को सौंपा गया था।) इस प्रमेय के प्रमाण से जुड़ी इतनी सारी जिज्ञासाएँ और उपाख्यान थे कि कोई भी उनसे एक किताब बना सकता था। आखिरी किस्सा जासूस ए। मारिनिना के "संयोग" जैसा दिखता है, जिसे जनवरी 2000 में देश के टेलीविजन स्क्रीन पर फिल्माया और प्रसारित किया गया। इसमें, हमारे हमवतन अपने सभी महान पूर्ववर्तियों द्वारा अप्रमाणित एक प्रमेय साबित करते हैं और इसके लिए नोबेल पुरस्कार का दावा करते हैं। जैसा कि आप जानते हैं, डायनामाइट के आविष्कारक ने अपनी वसीयत में गणितज्ञों की उपेक्षा की, इसलिए प्रमाण के लेखक केवल फील्ड्स गोल्ड मेडल का दावा कर सकते थे, जो कि 1936 में गणितज्ञों द्वारा स्वयं स्वीकृत सर्वोच्च अंतर्राष्ट्रीय पुरस्कार था।

उत्कृष्ट रूसी गणितज्ञ A.Ya के क्लासिक काम में। फ़र्मेट के महान प्रमेय के प्रति समर्पित खिनचिन इस समस्या के इतिहास के बारे में जानकारी देते हैं और उस विधि पर ध्यान देते हैं जिसका उपयोग फ़र्मेट अपने प्रमेय को सिद्ध करने में कर सकता है। मामले के लिए एक सबूत n = 4 और अन्य महत्वपूर्ण परिणामों की एक संक्षिप्त समीक्षा दी गई है।

लेकिन जब तक जासूसी कहानी लिखी गई, और इससे भी ज्यादा, जब तक इसे फिल्माया गया, तब तक प्रमेय का सामान्य प्रमाण पहले ही मिल चुका था। 23 जून, 1993 को कैम्ब्रिज में संख्या सिद्धांत पर एक सम्मेलन में, प्रिंसटन गणितज्ञ एंड्रयू विल्स ने घोषणा की कि फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का प्रमाण प्राप्त कर लिया गया है। लेकिन फर्मेट ने खुद "वादा" के रूप में बिल्कुल नहीं। एंड्रयू विल्स द्वारा लिया गया रास्ता किसी भी तरह से प्रारंभिक गणित के तरीकों पर आधारित नहीं था। वह अण्डाकार वक्रों के तथाकथित सिद्धांत में लगे हुए थे।

अण्डाकार वक्रों का अंदाजा लगाने के लिए, तीसरी डिग्री के समीकरण द्वारा दिए गए समतल वक्र पर विचार करना आवश्यक है

Y(x, y) = a30X + a21x2y + ... + a1x + a2y + a0 = 0. (1)

ऐसे सभी वक्रों को दो वर्गों में बांटा गया है। प्रथम श्रेणी में वे वक्र शामिल होते हैं जिनमें पुच्छ बिंदु होते हैं (जैसे अर्ध घन परवलय y2 = a2-X एक पुच्छ बिंदु (0; 0) के साथ), स्व-प्रतिच्छेदन बिंदु (जैसे कार्तीय शीट x3 + y3-3axy = 0, पर बिंदु (0; 0)), साथ ही वक्र जिसके लिए बहुपद कुल्हाड़ी, y) को रूप में दर्शाया गया है

f(x^y)=:fl(x^y)■:f2(x,y),

जहां ^(x, y) और ^(x, y) छोटी डिग्री वाले बहुपद हैं। इस वर्ग के वक्रों को तृतीय अंश का अपक्षयी वक्र कहा जाता है। वक्रों का दूसरा वर्ग गैर-पतित वक्रों द्वारा निर्मित होता है; हम उन्हें अण्डाकार कहेंगे। इनमें शामिल हैं, उदाहरण के लिए, कर्ल एग्नेसी (x2 + a2)y - a3 = 0)। यदि बहुपद (1) के गुणांक परिमेय संख्याएँ हैं, तो अण्डाकार वक्र को तथाकथित विहित रूप में बदला जा सकता है

y2 = x3 + कुल्हाड़ी + ख। (2)

1955 में, जापानी गणितज्ञ वाई। तानियामा (1927-1958), अण्डाकार वक्रों के सिद्धांत के ढांचे के भीतर, एक अनुमान तैयार करने में कामयाब रहे जिसने फ़र्मेट के प्रमेय के प्रमाण का मार्ग प्रशस्त किया। लेकिन तब न तो तानियामा और न ही उनके सहयोगियों को इस पर शक था। लगभग बीस वर्षों तक इस परिकल्पना ने गंभीर ध्यान आकर्षित नहीं किया और 1970 के दशक के मध्य में ही लोकप्रिय हो गया। तानियामा के अनुमान के अनुसार, कोई भी अण्डाकार

परिमेय गुणांक वाला एक वक्र मॉड्यूलर होता है। हालांकि, अब तक, परिकल्पना का निरूपण सावधानीपूर्वक पाठक को बहुत कम बताता है। इसलिए, कुछ परिभाषाओं की आवश्यकता है।

प्रत्येक अण्डाकार वक्र को एक महत्वपूर्ण संख्यात्मक विशेषता के साथ जोड़ा जा सकता है - इसका विवेचक। विहित रूप (2) में दिए गए वक्र के लिए, विवेचक A को सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

ए \u003d - (4a + 27b2)।

ई को समीकरण (2) द्वारा दिया गया कुछ अंडाकार वक्र होने दें, जहां ए और बी पूर्णांक हैं।

एक अभाज्य संख्या p के लिए, तुलना पर विचार करें

y2 = x3 + कुल्हाड़ी + बी (मॉड पी), (3)

जहाँ a और b पूर्णांक a और b को p से विभाजित करने के बाद शेषफल हैं, और np द्वारा इस सर्वांगसमता के हलों की संख्या को निरूपित करते हैं। पूर्णांकों में फॉर्म (2) के समीकरणों की सॉल्वैबिलिटी के प्रश्न का अध्ययन करने में नंबर पीआर बहुत उपयोगी होते हैं: यदि कुछ पीआर शून्य के बराबर है, तो समीकरण (2) का कोई पूर्णांक समाधान नहीं है। हालांकि, केवल दुर्लभ मामलों में ही संख्याओं की गणना करना संभव है। (उसी समय, यह ज्ञात है कि p-n|< 2Vp (теоремаХассе)).

उन अभाज्य संख्याओं p पर विचार करें जो अण्डाकार वक्र (2) के विभेदक A को विभाजित करती हैं। यह सिद्ध किया जा सकता है कि ऐसे p के लिए बहुपद x3 + ax + b को दो में से किसी एक तरीके से लिखा जा सकता है:

x3 + कुल्हाड़ी + बी = (एक्स + ए) 2 (एक्स + ) (मॉड पी)

x3 + कुल्हाड़ी + ख = (x + y)3 (मॉड पी),

जहाँ a, , y p से भाग देने के बाद कुछ शेषफल हैं। यदि सभी प्राइम पी वक्र के विवेचक को विभाजित करने के लिए दो संकेतित संभावनाओं में से पहला महसूस किया जाता है, तो अण्डाकार वक्र को अर्ध-स्थिर कहा जाता है।

विभेदक को विभाजित करने वाली अभाज्य संख्याओं को एक तथाकथित अण्डाकार वक्र कंडक्टर में जोड़ा जा सकता है। यदि E एक अर्ध-स्थिर वक्र है, तो इसका चालक N सूत्र द्वारा दिया जाता है

जहाँ सभी अभाज्य संख्याओं p > 5 A को विभाजित करने पर, घातांक eP 1 के बराबर है। घातांक 82 और 83 की गणना एक विशेष एल्गोरिथ्म का उपयोग करके की जाती है।

संक्षेप में, यह वह सब है जो प्रमाण के सार को समझने के लिए आवश्यक है। हालाँकि, तानियामा के अनुमान में कठिन और, हमारे मामले में, प्रतिरूपकता की प्रमुख अवधारणा है। इसलिए, आइए थोड़ी देर के लिए अण्डाकार वक्रों के बारे में भूल जाते हैं और ऊपरी आधे तल में दिए गए एक जटिल तर्क z के विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन f (अर्थात, एक शक्ति श्रृंखला द्वारा दर्शाया जा सकता है) पर विचार करें।

एच द्वारा ऊपरी जटिल अर्ध-तल को निरूपित करें। मान लीजिए N एक प्राकृत संख्या है और k एक पूर्णांक है। स्तर N के भार k का एक मॉड्यूलर परवलयिक रूप एक विश्लेषणात्मक कार्य f(z) है जो ऊपरी आधे तल में परिभाषित होता है और संबंध को संतुष्ट करता है

एफ = (सीजेड + डी) केएफ (जेड) (5)

किसी भी पूर्णांक a, b, c, d के लिए जैसे कि ae - bc = 1 और c, N से विभाज्य हो। इसके अलावा, यह माना जाता है कि

लिम एफ (आर + यह) = 0,

जहाँ r एक परिमेय संख्या है, और वह

स्तर N के भार k के मॉड्यूलर पुच्छल रूपों का स्थान Sk(N) द्वारा निरूपित किया जाता है। यह दिखाया जा सकता है कि इसका एक सीमित आयाम है।

निम्नलिखित में, हम विशेष रूप से वजन 2 के मॉड्यूलर पुच्छल रूपों में रुचि लेंगे। छोटे एन के लिए, अंतरिक्ष एस 2 (एन) का आयाम तालिका 1 में प्रस्तुत किया गया है। 1. विशेष रूप से,

अंतरिक्ष के आयाम S2(N)

तालिका एक

एन<10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2

यह शर्त (5) से इस प्रकार है कि % + 1) = प्रत्येक रूप f S2(N) के लिए। अतः f एक आवर्त फलन है। इस तरह के एक समारोह के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है

हम S2(N) में एक मॉड्यूलर क्यूस्प फॉर्म A^) को उचित कहते हैं यदि इसके गुणांक पूर्णांक हैं जो संबंधों को संतुष्ट करते हैं:

a r ■ a = a r+1 ■ p ■ c r_1 एक साधारण p के लिए जो संख्या N को विभाजित नहीं करता है; (आठ)

(एपी) एन को विभाजित करने वाले प्राइम पी के लिए;

एटीपी = एक अगर (एम, एन) = 1 पर।

अब हम एक परिभाषा तैयार करते हैं जो Fermat के प्रमेय के प्रमाण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। तर्कसंगत गुणांक और कंडक्टर एन के साथ एक अंडाकार वक्र को मॉड्यूलर कहा जाता है यदि ऐसा कोई ईजेनफॉर्म होता है

f(z) = ^anq" g S2(N),

वह एपी = पी - पीआर लगभग सभी प्राइम पी के लिए। यहाँ np तुलना के हलों की संख्या (3) है।

कम से कम एक ऐसे वक्र के अस्तित्व पर विश्वास करना कठिन है। यह कल्पना करना काफी कठिन है कि एक फ़ंक्शन ए (आर) है जो सूचीबद्ध सख्त प्रतिबंधों (5) और (8) को संतुष्ट करता है, जो एक श्रृंखला (7) में विस्तारित होगा, जिसका गुणांक व्यावहारिक रूप से असंगत संख्याओं से जुड़ा होगा पीआर, काफी कठिन है। लेकिन तानियामा की साहसिक परिकल्पना ने किसी भी तरह से उनके अस्तित्व के तथ्य पर सवाल नहीं उठाया, और समय के साथ संचित अनुभवजन्य सामग्री ने इसकी वैधता की शानदार पुष्टि की। लगभग दो दशकों के लगभग पूर्ण विस्मरण के बाद, तानियामा की परिकल्पना को फ्रांसीसी गणितज्ञ, पेरिस विज्ञान अकादमी के सदस्य, आंद्रे वेइल के कार्यों में दूसरी हवा मिली।

1906 में जन्मे, ए। वेइल अंततः गणितज्ञों के एक समूह के संस्थापकों में से एक बन गए, जिन्होंने छद्म नाम एन। बोर्बाकी के तहत काम किया। 1958 से, ए. वेइल प्रिंसटन इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस्ड स्टडी में प्रोफेसर रहे हैं। और अमूर्त बीजगणितीय ज्यामिति में उनकी रुचि का उदय इसी अवधि से संबंधित है। सत्तर के दशक में, उन्होंने अण्डाकार कार्यों और तानियामा के अनुमान की ओर रुख किया। अण्डाकार कार्यों के लिए समर्पित मोनोग्राफ का अनुवाद यहाँ रूस में किया गया था। वह अपने जुनून में अकेला नहीं है। 1985 में, जर्मन गणितज्ञ गेरहार्ड फ़्री ने सुझाव दिया कि यदि फ़र्मेट का प्रमेय असत्य है, अर्थात, यदि पूर्णांकों a, b, c का त्रिक ऐसा है कि a "+ bn = c" (n > 3), तो अण्डाकार वक्र

y2 \u003d x (x - a") - (x - cn)

मॉड्यूलर नहीं हो सकता, जो तानियामा के अनुमान के विपरीत है। फ्रे स्वयं इस कथन को सिद्ध करने में असफल रहे, लेकिन इसका प्रमाण शीघ्र ही अमेरिकी गणितज्ञ केनेथ रिबेट ने प्राप्त कर लिया। दूसरे शब्दों में, रिबेट ने दिखाया कि फ़र्मेट का प्रमेय तानियामा के अनुमान का परिणाम है।

उन्होंने निम्नलिखित प्रमेय तैयार किया और सिद्ध किया:

प्रमेय 1 (रिबेट)। ई को एक अण्डाकार वक्र होने दें, जिसमें एक विवेचक वाले तर्कसंगत गुणांक हों

और कंडक्टर

मान लीजिए E मॉड्यूलर है और चलो

/ (आर) = क्यू + 2 एएन ई ^ (एन)

संबंधित स्तर eigenform N है। हम एक अभाज्य संख्या £ निर्धारित करते हैं, और

पी: ईपी \u003d 1; - "8 पी

फिर एक परवलयिक रूप होता है

/(आर) = 2 डीएनक्यूएन ई एन)

पूर्णांक गुणांकों के साथ कि अंतर a - dn सभी 1 . के लिए I से विभाज्य हैं< п<ад.

यह स्पष्ट है कि यदि यह प्रमेय किसी घातांक के लिए सिद्ध हो जाता है, तो यह उन सभी घातांकों के लिए सिद्ध हो जाता है जो n के गुणज होते हैं। चूँकि प्रत्येक पूर्णांक n > 2 या तो 4 से या किसी विषम अभाज्य से विभाज्य होता है, इसलिए हम स्वयं को निम्न तक सीमित कर सकते हैं। वह स्थिति जब घातांक या तो 4 या विषम अभाज्य संख्या हो। n = 4 के लिए, फ़र्मेट के प्रमेय का एक प्रारंभिक प्रमाण पहले फ़र्मेट द्वारा प्राप्त किया गया था, और फिर यूलर द्वारा। इस प्रकार, यह समीकरण का अध्ययन करने के लिए पर्याप्त है

a1 + b1 = c1, (12)

जिसमें घातांक I एक विषम अभाज्य संख्या है।

अब Fermat की प्रमेय सरल गणना (2) द्वारा प्राप्त की जा सकती है।

प्रमेय 2। अर्धस्थिर अण्डाकार वक्रों के लिए तानियामा का अनुमान फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का तात्पर्य है।

सबूत। मान लें कि फ़र्मेट का प्रमेय गलत है, और एक समान प्रतिरूप होने दें (जैसा कि ऊपर, यहाँ I एक विषम अभाज्य संख्या है)। आइए हम प्रमेय 1 को अण्डाकार वक्र पर लागू करें

y2 = x (x - ae) (x - c1)।

सरल गणनाओं से पता चलता है कि इस वक्र का संवाहक सूत्र द्वारा दिया गया है

सूत्रों (11) और (13) की तुलना करने पर, हम देखते हैं कि N = 2। इसलिए, प्रमेय 1 के अनुसार, एक परवलयिक रूप है।

अंतरिक्ष में पड़ा हुआ 82(2)। लेकिन संबंध (6) के कारण, यह स्थान शून्य है। इसलिए, सभी n के लिए dn = 0। उसी समय, a^ = 1. इसलिए, अंतर ar - dl = 1 I से विभाज्य नहीं है, और हम एक विरोधाभास पर पहुंचते हैं। इस प्रकार, प्रमेय सिद्ध होता है।

इस प्रमेय ने फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के प्रमाण की कुंजी प्रदान की। और फिर भी परिकल्पना स्वयं अभी भी अप्रमाणित रही।

23 जून, 1993 को घोषित होने के बाद, अर्ध-स्थिर अण्डाकार वक्रों के लिए तानियामा के अनुमान का प्रमाण, जिसमें प्रपत्र (8) के वक्र शामिल हैं, एंड्रयू विल्स ने जल्दबाजी की। गणितज्ञों के लिए जीत का जश्न मनाना जल्दबाजी होगी।

गर्म गर्मी जल्दी समाप्त हो गई, बरसात की शरद ऋतु पीछे छूट गई, सर्दी आ गई। विल्स ने अपने प्रमाण के अंतिम संस्करण को लिखा और फिर से लिखा, लेकिन सावधानीपूर्वक सहयोगियों ने उनके काम में अधिक से अधिक अशुद्धियाँ पाईं। और इसलिए, दिसंबर 1993 की शुरुआत में, विल्स की पांडुलिपि के प्रेस में जाने के कुछ दिन पहले, उसके सबूत में फिर से गंभीर अंतराल पाए गए। और तब विल्स ने महसूस किया कि एक या दो दिनों में वह कुछ भी ठीक नहीं कर सकता। इसके लिए एक बड़े ओवरहाल की आवश्यकता थी। काम का प्रकाशन स्थगित करना पड़ा। विल्स ने मदद के लिए टेलर की ओर रुख किया। "बग पर काम" में एक वर्ष से अधिक समय लगा। टेलर के सहयोग से विल्स द्वारा लिखित तानियामा अनुमान के प्रमाण का अंतिम संस्करण 1995 की गर्मियों तक सामने नहीं आया।

नायक ए। मारिनिना के विपरीत, विल्स ने नोबेल पुरस्कार का दावा नहीं किया, लेकिन, फिर भी ... उन्हें किसी प्रकार के पुरस्कार के साथ नोट किया जाना चाहिए था। बस इतना ही? उस समय विल्स पहले से ही अपने अर्धशतक में थे, और फील्ड्स के स्वर्ण पदक चालीस वर्ष की आयु तक सख्ती से दिए जाते हैं, जबकि रचनात्मक गतिविधि का शिखर अभी तक पारित नहीं हुआ है। और फिर उन्होंने विल्स के लिए एक विशेष पुरस्कार स्थापित करने का फैसला किया - फील्ड कमेटी का सिल्वर बैज। यह बैज उन्हें बर्लिन में गणित पर अगले सम्मेलन में प्रस्तुत किया गया था।

फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का स्थान लेने वाली सभी समस्याओं में से, गेंदों की निकटतम पैकिंग की समस्या की सबसे बड़ी संभावना है। गेंदों की निकटतम पैकिंग की समस्या को इस समस्या के रूप में तैयार किया जा सकता है कि संतरे के पिरामिड को सबसे अधिक आर्थिक रूप से कैसे ढेर किया जाए। युवा गणितज्ञों को यह समस्या जोहान्स केप्लर से विरासत में मिली है। समस्या 1611 में पैदा हुई थी, जब केप्लर ने "हेक्सागोनल स्नोफ्लेक्स पर" एक लघु निबंध लिखा था। पदार्थ के कणों की व्यवस्था और स्व-संगठन में केप्लर की रुचि ने उन्हें एक और मुद्दे पर चर्चा करने के लिए प्रेरित किया - कणों की सबसे घनी पैकिंग, जिसमें वे सबसे छोटी मात्रा पर कब्जा करते हैं। यदि हम मान लें कि कण गोले के रूप में हैं, तो यह स्पष्ट है कि वे अंतरिक्ष में कैसे भी स्थित हों, उनके बीच अंतराल अनिवार्य रूप से रहेगा, और सवाल अंतराल की मात्रा को कम करने का है। काम में, उदाहरण के लिए, यह कहा गया है (लेकिन साबित नहीं हुआ) कि ऐसा आकार एक टेट्राहेड्रोन है, समन्वय अक्ष जिसके अंदर 109o28 का मूल ऑर्थोगोनैलिटी कोण निर्धारित होता है, और 90o नहीं। यह समस्या प्राथमिक कण के लिए बहुत महत्वपूर्ण है भौतिकी, क्रिस्टलोग्राफी, और प्राकृतिक विज्ञान के अन्य खंड।

साहित्य

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