एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण को देखते हुए, खोजें। यादृच्छिक चरों के वितरण का नियम

एक्स; अर्थ एफ(5); संभावना है कि यादृच्छिक चर एक्सखंड से मान लेगा. एक वितरण बहुभुज का निर्माण करें.

1. असतत यादृच्छिक चर का वितरण फलन F(x) ज्ञात है एक्स:

यादृच्छिक चर के वितरण का नियम निर्धारित करें एक्सएक तालिका के रूप में.

1. यादृच्छिक चर के वितरण का नियम दिया गया है एक्स:

1. संभावना है कि स्टोर के पास उत्पादों की पूरी श्रृंखला के लिए गुणवत्ता प्रमाणपत्र हैं, 0.7 है। आयोग ने क्षेत्र की चार दुकानों में प्रमाणपत्रों की उपलब्धता की जाँच की। एक वितरण कानून बनाएं, गणितीय अपेक्षा और उन दुकानों की संख्या के फैलाव की गणना करें जिनमें निरीक्षण के दौरान गुणवत्ता प्रमाण पत्र नहीं पाए गए।

1. 350 समान बक्सों के एक बैच में इलेक्ट्रिक लैंप के औसत जलने का समय निर्धारित करने के लिए, प्रत्येक बॉक्स से एक इलेक्ट्रिक लैंप को परीक्षण के लिए लिया गया था। नीचे दिए गए संभावना से अनुमान लगाएं कि चयनित विद्युत लैंप की औसत जलने की अवधि पूरे बैच की औसत जलने की अवधि से 7 घंटे से कम समय तक भिन्न होती है, यदि यह ज्ञात हो कि विद्युत लैंप की जलने की अवधि का मानक विचलन प्रत्येक बॉक्स 9 घंटे से कम का है।

1. एक टेलीफोन एक्सचेंज में, 0.002 की संभावना के साथ एक गलत कनेक्शन होता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 500 ​​कनेक्शनों के बीच निम्नलिखित घटित होगा:

एक यादृच्छिक चर का वितरण फलन ज्ञात कीजिए एक्स. फ़ंक्शंस और के ग्राफ़ बनाएं। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, विचरण, बहुलक और माध्यिका की गणना करें एक्स.

1. एक स्वचालित मशीन रोलर बनाती है। ऐसा माना जाता है कि उनका व्यास 10 मिमी के औसत मान के साथ एक सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर है। मानक विचलन क्या है यदि, 0.99 की संभावना के साथ, व्यास 9.7 मिमी से 10.3 मिमी तक है।

नमूना ए: 6 9 7 6 4 4

नमूना बी: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

विकल्प 17.

1. 35 भागों में से 7 अमानक हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छिक रूप से लिए गए दो भाग मानक निकलेंगे।

1. तीन पासे फेंके जाते हैं. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि गिराए गए पक्षों पर अंकों का योग 9 का गुणज है।

1. "एडवेंचर" शब्द कार्डों से बना है, प्रत्येक कार्ड पर एक अक्षर लिखा होता है। कार्डों को मिलाया जाता है और बिना वापस लौटाए एक-एक करके निकाल लिया जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि दिखने के क्रम में निकाले गए अक्षर शब्द बनाते हैं: ए) एडवेंचर; बी) कैदी।

1. एक कलश में 6 काली और 5 सफेद गेंदें हैं। 5 गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उनमें से हैं:
1. 2 सफेद गेंदें;
2. 2 से कम सफेद गेंदें;
3. कम से कम एक काली गेंद.

1. एएक परीक्षण में 0.4 के बराबर है. निम्नलिखित घटनाओं की संभावनाएँ ज्ञात कीजिए:
1. आयोजन ए 7 स्वतंत्र परीक्षणों की श्रृंखला में 3 बार प्रकट होता है;
2. आयोजन ए 400 परीक्षणों की श्रृंखला में 220 से कम नहीं और 235 से अधिक बार दिखाई देगा।

1. प्लांट ने बेस पर 5,000 अच्छी गुणवत्ता वाले उत्पाद भेजे। पारगमन में प्रत्येक उत्पाद के क्षतिग्रस्त होने की संभावना 0.002 है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यात्रा के दौरान 3 से अधिक उत्पाद क्षतिग्रस्त नहीं होंगे।

1. पहले कलश में 4 सफेद और 9 काली गेंदें हैं, और दूसरे कलश में 7 सफेद और 3 काली गेंदें हैं। पहले कलश से 3 गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं, और दूसरे कलश से 4 गेंदें। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाली गई सभी गेंदें एक ही रंग की हैं।

1. यादृच्छिक चर के वितरण का नियम दिया गया है एक्स:

इसकी गणितीय अपेक्षा और विचरण की गणना करें।

1. बॉक्स में 10 पेंसिलें हैं। 4 पेंसिलें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं। यादृच्छिक मूल्य एक्स- चयनित लोगों में नीली पेंसिलों की संख्या। इसके वितरण का नियम, दूसरे और तीसरे क्रम के प्रारंभिक और केंद्रीय क्षण ज्ञात कीजिए।

1. तकनीकी नियंत्रण विभाग दोषों के लिए 475 उत्पादों की जाँच करता है। उत्पाद के ख़राब होने की प्रायिकता 0.05 है। संभावना 0.95 के साथ, वह सीमाएँ खोजें जिनके भीतर परीक्षण किए गए उत्पादों में से दोषपूर्ण उत्पादों की संख्या समाहित होगी।

1. एक टेलीफोन एक्सचेंज में, 0.003 की संभावना के साथ एक गलत कनेक्शन होता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 1000 कनेक्शनों के बीच निम्नलिखित घटित होगा:
1. कम से कम 4 गलत कनेक्शन;
2. दो से अधिक गलत कनेक्शन।

1. यादृच्छिक चर वितरण घनत्व फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट किया गया है:

एक यादृच्छिक चर का वितरण फलन ज्ञात कीजिए एक्स. फ़ंक्शंस और के ग्राफ़ बनाएं। यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा, विचरण, बहुलक और माध्यिका की गणना करें।

1. यादृच्छिक चर वितरण फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट किया गया है:

1. नमूने से एनिम्नलिखित समस्याओं का समाधान करें:
1. एक विविधता श्रृंखला बनाएं;

· नमूना औसत;

· नमूना विचरण;

मोड और माध्यिका;

नमूना ए: 0 0 2 2 1 4

1. विविधता श्रृंखला की संख्यात्मक विशेषताओं की गणना करें:

· नमूना औसत;

· नमूना विचरण;

मानक नमूना विचलन;

· मोड और माध्यिका;

नमूना बी: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

विकल्प 18.

1. 10 लॉटरी टिकटों में से 2 विजेता हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छिक रूप से लिए गए पाँच टिकटों में से एक विजेता होगा।

1. तीन पासे फेंके जाते हैं. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि लुढ़के हुए अंकों का योग 15 से अधिक है।

1. शब्द "PERIMETER" कार्डों से बना है, जिनमें से प्रत्येक पर एक अक्षर लिखा होता है। कार्डों को मिलाया जाता है और बिना वापस लौटाए एक-एक करके निकाल लिया जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाले गए अक्षर शब्द बनाते हैं: a) PERIMETER; बी) मीटर.

1. एक कलश में 5 काली और 7 सफेद गेंदें हैं। 5 गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उनमें से हैं:
1. 4 सफेद गेंदें;
2. 2 से कम सफेद गेंदें;
3. कम से कम एक काली गेंद.

1. किसी घटना के घटित होने की संभावना एएक परीक्षण में 0.55 के बराबर है. निम्नलिखित घटनाओं की संभावनाएँ ज्ञात कीजिए:
1. आयोजन ए 5 चुनौतियों की श्रृंखला में 3 बार दिखाई देगा;
2. आयोजन ए 300 परीक्षणों की श्रृंखला में 130 से कम और 200 से अधिक बार दिखाई नहीं देगा।

1. डिब्बाबंद सामान के डिब्बे के टूटने की प्रायिकता 0.0005 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 2000 डिब्बों में से दो में रिसाव होगा।

1. पहले कलश में 4 सफेद और 8 काली गेंदें हैं, और दूसरे कलश में 7 सफेद और 4 काली गेंदें हैं। पहले कलश से दो गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं और दूसरे कलश से तीन गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाली गई सभी गेंदें एक ही रंग की हैं।

1. असेंबली के लिए आने वाले पुर्जों में से पहली मशीन से 0.1%, दूसरी से 0.2%, तीसरी से 0.25% और चौथी से 0.5% ख़राब हैं। मशीन उत्पादकता अनुपात क्रमशः 4:3:2:1 है। यादृच्छिक रूप से लिया गया भाग मानक निकला। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह भाग पहली मशीन पर बनाया गया था।

1. यादृच्छिक चर के वितरण का नियम दिया गया है एक्स:

इसकी गणितीय अपेक्षा और विचरण की गणना करें।

1. एक इलेक्ट्रीशियन के पास तीन प्रकाश बल्ब हैं, जिनमें से प्रत्येक में 0.1 की संभावना के साथ खराबी है। प्रकाश बल्बों को सॉकेट में पेंच किया जाता है और करंट चालू कर दिया जाता है। जब करंट चालू किया जाता है, तो दोषपूर्ण प्रकाश बल्ब तुरंत जल जाता है और उसके स्थान पर दूसरा बल्ब लगा दिया जाता है। परीक्षण किए गए प्रकाश बल्बों की संख्या का वितरण नियम, गणितीय अपेक्षा और फैलाव ज्ञात करें।

1. 900 स्वतंत्र शॉट्स में से प्रत्येक के लिए लक्ष्य को भेदने की संभावना 0.3 है। चेबीशेव की असमानता का उपयोग करते हुए, इस संभावना का अनुमान लगाएं कि लक्ष्य कम से कम 240 बार और अधिकतम 300 बार मारा जाएगा।

1. एक टेलीफोन एक्सचेंज में, 0.002 की संभावना के साथ एक गलत कनेक्शन होता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 800 कनेक्शनों के बीच निम्नलिखित घटित होगा:
1. कम से कम तीन गलत कनेक्शन;
2. चार से अधिक गलत कनेक्शन।

1. यादृच्छिक चर वितरण घनत्व फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट किया गया है:

यादृच्छिक चर X का वितरण फ़ंक्शन ढूंढें। फ़ंक्शन के ग्राफ़ बनाएं और। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, विचरण, बहुलक और माध्यिका की गणना करें एक्स।

1. यादृच्छिक चर वितरण फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट किया गया है:

1. नमूने से एनिम्नलिखित समस्याओं का समाधान करें:
1. एक विविधता श्रृंखला बनाएं;
2. सापेक्ष और संचित आवृत्तियों की गणना करें;
3. एक अनुभवजन्य वितरण फ़ंक्शन संकलित करें और उसे प्लॉट करें;
4. विविधता श्रृंखला की संख्यात्मक विशेषताओं की गणना करें:

· नमूना औसत;

· नमूना विचरण;

मानक नमूना विचलन;

· मोड और माध्यिका;

नमूना ए: 4 7 6 3 3 4

1. नमूना बी का उपयोग करके, निम्नलिखित समस्याओं को हल करें:
1. एक समूहीकृत विविधता श्रृंखला बनाएं;
2. एक हिस्टोग्राम और आवृत्ति बहुभुज बनाएं;
3. विविधता श्रृंखला की संख्यात्मक विशेषताओं की गणना करें:

· नमूना औसत;

· नमूना विचरण;

मानक नमूना विचलन;

· मोड और माध्यिका;

नमूना बी: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

विकल्प 19.

1. साइट पर 16 महिलाएं और 5 पुरुष काम कर रहे हैं। 3 लोगों को उनके कर्मियों की संख्या का उपयोग करके यादृच्छिक रूप से चुना गया था। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि सभी चयनित व्यक्ति पुरुष होंगे।

2. चार सिक्के उछाले गए। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि केवल दो सिक्कों पर "हथियारों का कोट" होगा।

3. शब्द "PSYCHOLOGY" कार्डों से बना है, जिनमें से प्रत्येक पर एक अक्षर लिखा हुआ है। कार्डों को मिलाया जाता है और बिना वापस लौटाए एक-एक करके निकाल लिया जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाले गए अक्षर एक शब्द बनाते हैं: a) मनोविज्ञान; बी) कर्मचारी।

4. कलश में 6 काली और 7 सफेद गेंदें हैं। 5 गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उनमें से हैं:

एक। 3 सफेद गेंदें;

बी। 3 से कम सफेद गेंदें;

सी। कम से कम एक सफेद गेंद.

5. किसी घटना के घटित होने की संभावना एएक परीक्षण में 0.5 के बराबर है. निम्नलिखित घटनाओं की संभावनाएँ ज्ञात कीजिए:

एक। आयोजन ए 5 स्वतंत्र परीक्षणों की श्रृंखला में 3 बार प्रकट होता है;

बी। आयोजन ए 50 परीक्षणों की श्रृंखला में कम से कम 30 और 40 से अधिक बार दिखाई देगा।

6. एक ही शक्ति की 100 मशीनें हैं, जो एक ही मोड में एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से काम करती हैं, जिनमें उनकी ड्राइव 0.8 कार्य घंटों के लिए चालू रहती है। क्या संभावना है कि किसी भी समय 70 से 86 मशीनें चालू हो जाएंगी?

7. पहले कलश में 4 सफेद और 7 काली गेंदें हैं, और दूसरे कलश में 8 सफेद और 3 काली गेंदें हैं। पहले कलश से 4 गेंदें और दूसरे से 1 गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाली गई गेंदों में से केवल 4 काली गेंदें हैं।

8. कार बिक्री शोरूम में प्रतिदिन तीन ब्रांडों की कारें आती हैं: "मोस्कविच" - 40%; "ओका" - 20%; "वोल्गा" - सभी आयातित कारों का 40%। मोस्कविच कारों में, 0.5% में चोरी-रोधी उपकरण है, ओका - 0.01%, वोल्गा - 0.1% है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निरीक्षण के लिए ली गई कार में चोरी-रोधी उपकरण है।

9. खंड पर संख्याएँ यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि ये संख्याएँ असमानताओं को संतुष्ट करती हैं।

10. यादृच्छिक चर के वितरण का नियम दिया गया है एक्स:

एक यादृच्छिक चर का वितरण फलन ज्ञात कीजिए एक्स; अर्थ एफ(2); संभावना है कि यादृच्छिक चर एक्सअंतराल से मान लेगा. एक वितरण बहुभुज का निर्माण करें.

जैसा कि ज्ञात है, अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक परिवर्तनशील मात्रा कहलाती है जो मामले के आधार पर कुछ निश्चित मान ले सकती है। यादृच्छिक चर को लैटिन वर्णमाला (X, Y, Z) के बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, और उनके मान संबंधित छोटे अक्षरों (x, y, z) द्वारा दर्शाए जाते हैं। यादृच्छिक चर को असंतत (असतत) और निरंतर में विभाजित किया गया है।

असतत यादृच्छिक चर एक यादृच्छिक चर है जो कुछ गैर-शून्य संभावनाओं के साथ मूल्यों का केवल एक सीमित या अनंत (गणनीय) सेट लेता है।

असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम एक फ़ंक्शन है जो एक यादृच्छिक चर के मानों को उनकी संबंधित संभावनाओं से जोड़ता है। वितरण कानून को निम्नलिखित में से किसी एक तरीके से निर्दिष्ट किया जा सकता है।

1 . वितरण कानून तालिका द्वारा दिया जा सकता है:

जहां λ>0, k = 0, 1, 2,…।

वी)का उपयोग करके वितरण फलन F(x) , जो प्रत्येक मान x के लिए संभावना निर्धारित करता है कि यादृच्छिक चर X, x से कम मान लेगा, अर्थात। एफ(एक्स) = पी(एक्स< x).

फ़ंक्शन के गुण F(x)

3 . वितरण कानून को रेखांकन द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है – वितरण बहुभुज (बहुभुज) (समस्या 3 देखें)।

ध्यान दें कि कुछ समस्याओं को हल करने के लिए वितरण कानून को जानना आवश्यक नहीं है। कुछ मामलों में, एक या कई संख्याओं को जानना पर्याप्त है जो वितरण कानून की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं को दर्शाते हैं। यह एक संख्या हो सकती है जिसमें यादृच्छिक चर के "औसत मान" का अर्थ होता है, या एक संख्या जो यादृच्छिक चर के औसत मूल्य से विचलन के औसत आकार को दर्शाती है। इस प्रकार की संख्याओं को यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएँ कहा जाता है।

असतत यादृच्छिक चर की बुनियादी संख्यात्मक विशेषताएँ :

• गणितीय अपेक्षा एक असतत यादृच्छिक चर का (औसत मान)। एम(एक्स)=Σ एक्स आई पी आई.
  द्विपद वितरण के लिए M(X)=np, पॉइसन वितरण के लिए M(X)=λ
• फैलाव असतत यादृच्छिक चर डी(एक्स)=एम2या डी(एक्स) = एम(एक्स 2)− 2. अंतर X-M(X) को गणितीय अपेक्षा से यादृच्छिक चर का विचलन कहा जाता है।
  द्विपद वितरण के लिए D(X)=npq, पॉइसन वितरण के लिए D(X)=λ
• मानक विचलन (मानक विचलन) σ(X)=√D(X).

"असतत यादृच्छिक चर के वितरण का नियम" विषय पर समस्याओं को हल करने के उदाहरण

कार्य 1।

1000 लॉटरी टिकट जारी किए गए: उनमें से 5 500 रूबल जीतेंगे, 10 100 रूबल जीतेंगे, 20 50 रूबल जीतेंगे, 50 10 रूबल जीतेंगे। यादृच्छिक चर X - प्रति टिकट जीत की संभाव्यता वितरण का नियम निर्धारित करें।

समाधान। समस्या की स्थितियों के अनुसार, यादृच्छिक चर X के निम्नलिखित मान संभव हैं: 0, 10, 50, 100 और 500।

बिना जीते टिकटों की संख्या 1000 है - (5+10+20+50) = 915, फिर पी(एक्स=0) = 915/1000 = 0.915।

इसी तरह, हम अन्य सभी संभावनाएँ पाते हैं: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01, P(X =500) = 5/1000=0.005. आइए परिणामी कानून को एक तालिका के रूप में प्रस्तुत करें:

आइए मान X की गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5

कार्य 3.

डिवाइस में तीन स्वतंत्र रूप से संचालित होने वाले तत्व होते हैं। एक प्रयोग में प्रत्येक तत्व की विफलता की संभावना 0.1 है। एक प्रयोग में विफल तत्वों की संख्या के लिए एक वितरण कानून बनाएं, एक वितरण बहुभुज का निर्माण करें। वितरण फ़ंक्शन F(x) ढूंढें और इसे प्लॉट करें। असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन ज्ञात करें।

समाधान। 1. असतत यादृच्छिक चर दो तत्व विफल रहे) और x 4 =3 (तीन तत्व विफल रहे)।

तत्वों की विफलता एक दूसरे से स्वतंत्र होती है, प्रत्येक तत्व की विफलता की संभावनाएँ समान होती हैं, इसलिए यह लागू होता है बर्नौली का सूत्र . यह ध्यान में रखते हुए, शर्त के अनुसार, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, हम मानों की संभावनाएँ निर्धारित करते हैं:
पी 3 (0) = सी 3 0 पी 0 क्यू 3-0 = क्यू 3 = 0.9 3 = 0.729;
पी 3 (1) = सी 3 1 पी 1 क्यू 3-1 = 3*0.1*0.9 2 = 0.243;
पी 3 (2) = सी 3 2 पी 2 क्यू 3-2 = 3*0.1 2 *0.9 = 0.027;
पी 3 (3) = सी 3 3 पी 3 क्यू 3-3 = पी 3 =0.1 3 = 0.001;
जांचें: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.

इस प्रकार, एक्स के वांछित द्विपद वितरण कानून का रूप है:

हम x i के संभावित मानों को भुज अक्ष के अनुदिश और संबंधित संभावनाओं p i को कोटि अक्ष के अनुदिश आलेखित करते हैं। आइए बिंदु M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001) बनाएं। इन बिंदुओं को सीधी रेखा खंडों से जोड़कर, हम वांछित वितरण बहुभुज प्राप्त करते हैं।

3. आइए वितरण फलन F(x) = Р(Х) ज्ञात करें

फ़ंक्शन का ग्राफ़ F(x)

4. द्विपद बंटन X के लिए:
- गणितीय अपेक्षा एम(एक्स) = एनपी = 3*0.1 = 0.3;
- विचरण डी(एक्स) = एनपीक्यू = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- मानक विचलन σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.

वितरण का नियम और विशेषताएँ

यादृच्छिक चर

यादृच्छिक चर, उनका वर्गीकरण और वर्णन के तरीके।

यादृच्छिक मात्रा वह मात्रा है जो प्रयोग के परिणामस्वरूप एक या दूसरा मान ले सकती है, लेकिन कौन सा मान पहले से ज्ञात नहीं होता है। इसलिए, एक यादृच्छिक चर के लिए, आप केवल मान निर्दिष्ट कर सकते हैं, जिनमें से एक वह निश्चित रूप से प्रयोग के परिणामस्वरूप लेगा। निम्नलिखित में हम इन मानों को यादृच्छिक चर के संभावित मान कहेंगे। चूँकि एक यादृच्छिक चर मात्रात्मक रूप से किसी प्रयोग के यादृच्छिक परिणाम की विशेषता बताता है, इसे एक यादृच्छिक घटना की मात्रात्मक विशेषता के रूप में माना जा सकता है।

यादृच्छिक चर को आमतौर पर लैटिन वर्णमाला के बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए, X..Y..Z, और उनके संभावित मानों को संबंधित छोटे अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है।

यादृच्छिक चर तीन प्रकार के होते हैं:

पृथक; निरंतर; मिश्रित।

अलगएक यादृच्छिक चर है जिसके संभावित मानों की संख्या एक गणनीय सेट बनाती है। बदले में, वह समुच्चय जिसके तत्वों को क्रमांकित किया जा सकता है, गणनीय कहलाता है। शब्द "असतत" लैटिन डिस्क्रेटस से आया है, जिसका अर्थ है "असंतत, अलग-अलग हिस्सों से मिलकर बना"।

उदाहरण 1. एक असतत यादृच्छिक चर nproducts के एक बैच में दोषपूर्ण भागों X की संख्या है। दरअसल, इस यादृच्छिक चर के संभावित मान 0 से n तक पूर्णांकों की एक श्रृंखला हैं।

उदाहरण 2. एक असतत यादृच्छिक चर लक्ष्य पर पहली हिट से पहले शॉट्स की संख्या है। यहां, उदाहरण 1 की तरह, संभावित मानों को क्रमांकित किया जा सकता है, हालांकि सीमित मामले में संभावित मान एक असीम रूप से बड़ी संख्या है।

निरंतरएक यादृच्छिक चर है जिसके संभावित मान लगातार संख्यात्मक अक्ष के एक निश्चित अंतराल को भरते हैं, जिसे कभी-कभी इस यादृच्छिक चर के अस्तित्व का अंतराल भी कहा जाता है। इस प्रकार, अस्तित्व के किसी भी सीमित अंतराल पर, निरंतर यादृच्छिक चर के संभावित मानों की संख्या असीम रूप से बड़ी होती है।

उदाहरण 3. एक सतत यादृच्छिक चर एक उद्यम की मासिक बिजली खपत है।

उदाहरण 4. एक सतत यादृच्छिक चर एक अल्टीमीटर का उपयोग करके ऊंचाई मापने में त्रुटि है। अल्टीमीटर के ऑपरेटिंग सिद्धांत से ज्ञात हो कि त्रुटि 0 से 2 मीटर तक की सीमा में होती है। इसलिए, इस यादृच्छिक चर के अस्तित्व का अंतराल 0 से 2 मीटर तक का अंतराल है।

यादृच्छिक चरों के वितरण का नियम.

एक यादृच्छिक चर को पूरी तरह से निर्दिष्ट माना जाता है यदि इसके संभावित मान संख्यात्मक अक्ष पर इंगित किए जाते हैं और वितरण कानून स्थापित किया जाता है।

यादृच्छिक चर के वितरण का नियम एक ऐसा संबंध है जो एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और संबंधित संभावनाओं के बीच संबंध स्थापित करता है।

एक यादृच्छिक चर को किसी दिए गए कानून के अनुसार, या किसी दिए गए वितरण कानून के अधीन वितरित किया जाता है। वितरण कानूनों के रूप में कई संभावनाओं, वितरण फ़ंक्शन, संभाव्यता घनत्व और विशेषता फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है।

वितरण कानून एक यादृच्छिक चर का पूर्ण संभावित विवरण देता है। वितरण नियम के अनुसार, कोई प्रयोग से पहले निर्णय ले सकता है कि यादृच्छिक चर के कौन से संभावित मान अधिक बार दिखाई देंगे और कौन से कम।

एक असतत यादृच्छिक चर के लिए, वितरण कानून को एक तालिका के रूप में, विश्लेषणात्मक रूप से (सूत्र के रूप में) और ग्राफिक रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है।

असतत यादृच्छिक चर के वितरण कानून को निर्दिष्ट करने का सबसे सरल रूप एक तालिका (मैट्रिक्स) है, जो यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों और उनकी संबंधित संभावनाओं को आरोही क्रम में सूचीबद्ध करता है, अर्थात।

ऐसी तालिका को असतत यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला कहा जाता है। 1

घटनाएँ X 1, X 2,..., X n, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि परीक्षण के परिणामस्वरूप, यादृच्छिक चर असंगत और एकमात्र संभव (चूंकि तालिका एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों को सूचीबद्ध करती है), यानी। एक पूरा समूह बनाएं. इसलिए, उनकी संभावनाओं का योग 1 के बराबर है। इस प्रकार, किसी भी असतत यादृच्छिक चर के लिए

(यह इकाई किसी तरह यादृच्छिक चर के मूल्यों के बीच वितरित की जाती है, इसलिए "वितरण" शब्द)।

यदि यादृच्छिक चर के मानों को एब्सिस्सा अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, और उनकी संबंधित संभावनाओं को ऑर्डिनेट अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, तो वितरण श्रृंखला को ग्राफिक रूप से चित्रित किया जा सकता है। प्राप्त बिंदुओं का कनेक्शन एक टूटी हुई रेखा बनाता है जिसे बहुभुज या संभाव्यता वितरण का बहुभुज कहा जाता है (चित्र 1)।

उदाहरणलॉटरी में शामिल हैं: 5,000 डेन की कीमत वाली एक कार। इकाइयाँ, 250 डेन की लागत वाले 4 टीवी। इकाइयाँ, 200 डेन मूल्य के 5 वीडियो रिकॉर्डर। इकाइयां 7 दिनों के लिए कुल 1000 टिकट बिके। इकाइयां एक टिकट खरीदने वाले लॉटरी प्रतिभागी द्वारा प्राप्त शुद्ध जीत के लिए एक वितरण कानून बनाएं।

समाधान. यादृच्छिक चर X के संभावित मान - प्रति टिकट शुद्ध जीत - 0-7 = -7 पैसे के बराबर हैं। इकाइयां (यदि टिकट नहीं जीता), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 डेन। इकाइयां (यदि टिकट पर क्रमशः वीसीआर, टीवी या कार की जीत दर्ज है)। यह मानते हुए कि 1000 टिकटों में से गैर-विजेताओं की संख्या 990 है, और संकेतित जीत क्रमशः 5, 4 और 1 है, और संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं।

असतत यादृच्छिक चर की एक वितरण श्रृंखला दी गई है। लुप्त प्रायिकता ज्ञात कीजिए और वितरण फलन आलेखित कीजिए। इस मात्रा की गणितीय अपेक्षा और विचरण की गणना करें।

यादृच्छिक चर X केवल चार मान लेता है: -4, -3, 1 और 2. यह इनमें से प्रत्येक मान को एक निश्चित संभावना के साथ लेता है। चूँकि सभी संभावनाओं का योग 1 के बराबर होना चाहिए, लुप्त संभावना इसके बराबर है:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

आइए यादृच्छिक चर X के वितरण फलन की रचना करें। यह ज्ञात है कि वितरण फलन, तब:

इस तरह,

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें एफ(एक्स) .

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा यादृच्छिक चर के मूल्य और संबंधित संभाव्यता के उत्पादों के योग के बराबर है, अर्थात।

हम सूत्र का उपयोग करके एक असतत यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात करते हैं:

आवेदन

कॉम्बिनेटरिक्स के तत्व यहाँ:- किसी संख्या का भाज्य

घटनाओं पर कार्रवाई घटना कोई भी तथ्य है जो किसी अनुभव के परिणामस्वरूप घटित हो भी सकता है और नहीं भी। घटनाओं का विलय एऔर में- यह आयोजन साथजिसमें कोई उपस्थिति या घटना शामिल हो ए, या घटनाएँ में, या दोनों घटनाएँ एक साथ। पद का नाम: ; क्रॉसिंग इवेंट एऔर में- यह आयोजन साथ, जिसमें दोनों घटनाओं का एक साथ घटित होना शामिल है। पद का नाम: ;

संभाव्यता की क्लासिक परिभाषा घटना की संभावना एप्रयोगों की संख्या का अनुपात है , किसी घटना के घटित होने के लिए अनुकूल ए, प्रयोगों की कुल संख्या तक :

संभाव्यता गुणन सूत्र घटना की संभावना सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है: - घटना की संभावना ए, - घटना की संभावना में, - घटना की संभावना मेंबशर्ते कि घटना एपहले ही हो चुका है. यदि घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं (एक की घटना दूसरे की घटना को प्रभावित नहीं करती है), तो घटना की संभावना बराबर है:

संभावनाओं को जोड़ने का सूत्र किसी घटना की प्रायिकता सूत्र का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है: घटना की संभावना ए, घटना की संभावना में, - घटनाओं के सह-घटने की संभावना एऔर में. यदि घटनाएँ A और B असंगत हैं (एक साथ घटित नहीं हो सकतीं), तो घटना की संभावना बराबर है:

कुल संभाव्यता सूत्र चलो घटना एकिसी एक घटना के साथ-साथ घटित हो सकता है , , …, -आइए हम उन्हें परिकल्पनाएँ कहें। भी जाना हुआ - निष्पादन की संभावना मैं-वें परिकल्पना और - निष्पादित करते समय घटना ए के घटित होने की संभावना मैं-वीं परिकल्पना. फिर घटना की प्रायिकता एसूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

बर्नौली योजना स्वतंत्र परीक्षण होने दीजिए। किसी घटना के घटित होने (सफलता) की संभावना एउनमें से प्रत्येक स्थिर और समान है पी, विफलता की संभावना (अर्थात घटना घटित न होना ए) क्यू = 1 - पी. फिर घटित होने की संभावना कमें सफलता एनबर्नौली के सूत्र का उपयोग करके परीक्षण पाए जा सकते हैं: सफलताओं की सबसे अधिक संभावना संख्या बर्नौली योजना में, यह एक निश्चित घटना की घटनाओं की संख्या है जिसकी संभावना सबसे अधिक है। सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

यादृच्छिक चर असतत सतत (उदाहरण के लिए, 5 बच्चों वाले परिवार में लड़कियों की संख्या) (उदाहरण के लिए, केतली के ठीक से काम करने का समय) असतत यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएँ मान लीजिए एक वितरण श्रृंखला द्वारा एक पृथक मात्रा दी गई है: एक्स आर , , …, - एक यादृच्छिक चर के मान एक्स; , , …, संगत संभाव्यता मान हैं। वितरण समारोह एक यादृच्छिक चर का वितरण कार्य एक्ससंपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित एक फ़ंक्शन है और इसकी प्रायिकता के बराबर है एक्सकम होगा एक्स:

परीक्षा के लिए प्रश्न

आयोजन। यादृच्छिक घटनाओं पर संचालन.

किसी घटना की संभाव्यता की अवधारणा.

संभावनाओं को जोड़ने और गुणा करने के नियम। सशर्त संभावनाएँ।

कुल संभाव्यता सूत्र. बेयस का सूत्र.

बर्नौली योजना.

यादृच्छिक चर, इसका वितरण कार्य और वितरण श्रृंखला।

वितरण फ़ंक्शन के मूल गुण।

अपेक्षित मूल्य। गणितीय अपेक्षा के गुण.

फैलाव. फैलाव के गुण.

एक आयामी यादृच्छिक चर की संभाव्यता वितरण घनत्व।

वितरण के प्रकार: एकसमान, घातीय, सामान्य, द्विपद और पॉइसन वितरण।

मोइवरे-लाप्लास के स्थानीय और अभिन्न प्रमेय।

दो यादृच्छिक चरों की प्रणाली का नियम और वितरण कार्य।

दो यादृच्छिक चरों की एक प्रणाली का वितरण घनत्व।

वितरण के सशर्त नियम, सशर्त गणितीय अपेक्षा।

आश्रित और स्वतंत्र यादृच्छिक चर। सहसंबंध गुणांक।

नमूना। नमूना प्रसंस्करण. बहुभुज और आवृत्ति हिस्टोग्राम। अनुभवजन्य वितरण समारोह.

वितरण मापदंडों के आकलन की अवधारणा। मूल्यांकन के लिए आवश्यकताएँ. विश्वास अंतराल। गणितीय अपेक्षा और मानक विचलन के आकलन के लिए अंतराल का निर्माण।

सांख्यिकीय परिकल्पनाएँ. सहमति मानदंड.

संभाव्यता सिद्धांत के अनुप्रयोगों में, प्रयोग की मात्रात्मक विशेषताएं प्राथमिक महत्व की हैं। एक मात्रा जिसे मात्रात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है और जो एक प्रयोग के परिणामस्वरूप मामले के आधार पर विभिन्न मान ले सकती है, कहलाती है अनियमित परिवर्तनशील वस्तु।

यादृच्छिक चर के उदाहरण:

1. एक पासे को दस बार उछालने पर सम संख्या में अंक कितनी बार आते हैं।

2. एक निशानेबाज द्वारा निशाने पर लगाए गए प्रहारों की संख्या, जो श्रृंखलाबद्ध तरीके से गोलियाँ दागता है।

3. विस्फोटित गोले के टुकड़ों की संख्या।

दिए गए प्रत्येक उदाहरण में, यादृच्छिक चर केवल पृथक मान ले सकता है, अर्थात वे मान जिन्हें संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला का उपयोग करके क्रमांकित किया जा सकता है।

ऐसा यादृच्छिक चर, जिसके संभावित मान अलग-अलग पृथक संख्याएँ हैं, जिन्हें यह चर कुछ संभावनाओं के साथ लेता है, कहलाता है पृथक.

असतत यादृच्छिक चर के संभावित मानों की संख्या परिमित या अनंत (गणनीय) हो सकती है।

वितरण का नियमएक असतत यादृच्छिक चर इसके संभावित मूल्यों और उनकी संबंधित संभावनाओं की एक सूची है। असतत यादृच्छिक चर के वितरण कानून को एक तालिका (संभावना वितरण श्रृंखला), विश्लेषणात्मक और ग्राफिक रूप से (संभावना वितरण बहुभुज) के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है।

किसी प्रयोग को करते समय, अध्ययन किए जा रहे मूल्य का "औसतन" मूल्यांकन करना आवश्यक हो जाता है। एक यादृच्छिक चर के औसत मान की भूमिका एक संख्यात्मक विशेषता द्वारा निभाई जाती है जिसे कहा जाता है गणितीय अपेक्षा,जो सूत्र द्वारा निर्धारित होता है

कहाँ एक्स 1 , एक्स 2 ,.. , एक्स एन- यादृच्छिक चर मान एक्स, ए पी 1 ,पी 2 , ... , पी एन- इन मूल्यों की संभावनाएँ (ध्यान दें पी 1 + पी 2 +…+ पी एन = 1).

उदाहरण। लक्ष्य पर निशानेबाजी की जाती है (चित्र 11)।

I में एक हिट तीन अंक देता है, II में - दो अंक, III में - एक अंक। एक निशानेबाज द्वारा एक शॉट में बनाए गए अंकों की संख्या के रूप में वितरण कानून होता है

निशानेबाजों के कौशल की तुलना करने के लिए, प्राप्त अंकों के औसत मूल्यों की तुलना करना पर्याप्त है, अर्थात। गणितीय अपेक्षाएँ एम(एक्स) और एम(वाई):

एम(एक्स) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

एम(वाई) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

दूसरा शूटर औसतन कुछ अधिक अंक देता है, यानी। बार-बार फायर करने पर यह बेहतर परिणाम देगा।

आइए गणितीय अपेक्षा के गुणों पर ध्यान दें:

1. किसी स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा स्वयं स्थिरांक के बराबर होती है:

एम(सी) =सी.

2. यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा पदों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है:

एम =(एक्स 1 + एक्स 2 +…+ एक्स एन)= एम(एक्स 1)+ एम(एक्स 2)+…+ एम(एक्स एन).

3. परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा कारकों की गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है

एम(एक्स 1 एक्स 2 … एक्स एन) = एम(एक्स 1)एम(एक्स 2)… एम(एक्स एन).

4. द्विपद वितरण का गणितीय निषेध परीक्षणों की संख्या और एक परीक्षण में घटित होने वाली घटना की संभावना के उत्पाद के बराबर है (कार्य 4.6)।

एम(एक्स) = जनसंपर्क.

यह आकलन करने के लिए कि एक यादृच्छिक चर "औसतन" अपनी गणितीय अपेक्षा से कैसे विचलित होता है, अर्थात संभाव्यता सिद्धांत में यादृच्छिक चर के मूल्यों के प्रसार को चिह्नित करने के लिए, फैलाव की अवधारणा का उपयोग किया जाता है।

झगड़ाअनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सवर्ग विचलन की गणितीय अपेक्षा कहलाती है:

डी(एक्स) = एम[(एक्स - एम(एक्स)) 2 ].

फैलाव एक यादृच्छिक चर के फैलाव की एक संख्यात्मक विशेषता है। परिभाषा से यह स्पष्ट है कि एक यादृच्छिक चर का फैलाव जितना छोटा होता है, उसके संभावित मान उतने ही करीब गणितीय अपेक्षा के आसपास स्थित होते हैं, अर्थात, यादृच्छिक चर के मान उतने ही बेहतर होते हैं जो उसकी गणितीय अपेक्षा से चित्रित होते हैं। .

परिभाषा से यह पता चलता है कि विचरण की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

.

किसी अन्य सूत्र का उपयोग करके विचरण की गणना करना सुविधाजनक है:

डी(एक्स) = एम(एक्स 2) - (एम(एक्स)) 2 .

फैलाव में निम्नलिखित गुण हैं:

1. स्थिरांक का प्रसरण शून्य है:

डी(सी) = 0.

2. अचर गुणनखंड को विचरण चिह्न से वर्गित करके निकाला जा सकता है:

डी(सीएक्स) = सी 2 डी(एक्स).

3. स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रसरण पदों के प्रसरण के योग के बराबर है:

डी(एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 +…+ एक्स एन)= डी(एक्स 1)+ डी(एक्स 2)+…+ डी(एक्स एन)

4. द्विपद वितरण का विचरण परीक्षणों की संख्या और एक परीक्षण में किसी घटना के घटित होने और न होने की संभावना के उत्पाद के बराबर है:

डी(एक्स) = एनपीक्यू.

संभाव्यता सिद्धांत में, एक यादृच्छिक चर के विचरण के वर्गमूल के बराबर एक संख्यात्मक विशेषता का उपयोग अक्सर किया जाता है। इस संख्यात्मक विशेषता को माध्य वर्ग विचलन कहा जाता है और इसे प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है

.

यह एक यादृच्छिक चर के औसत मूल्य से विचलन के अनुमानित आकार को दर्शाता है और इसका आयाम यादृच्छिक चर के समान है।

4.1. निशानेबाज़ लक्ष्य पर तीन गोलियाँ चलाता है। प्रत्येक शॉट के साथ लक्ष्य को भेदने की संभावना 0.3 है।

हिट की संख्या के लिए एक वितरण श्रृंखला का निर्माण करें।

समाधान. हिट की संख्या एक अलग यादृच्छिक चर है एक्स. प्रत्येक मान एक्स एन अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सएक निश्चित संभावना से मेल खाता है पी एन .

इस मामले में एक असतत यादृच्छिक चर का वितरण कानून निर्दिष्ट किया जा सकता है निकट वितरण.

इस समस्या में एक्सबर्नौली के सूत्र के अनुसार मान 0, 1, 2, 3 लेता है

,

आइए यादृच्छिक चर के संभावित मानों की संभावनाएं खोजें:

आर 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

आर 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

आर 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

आर 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

यादृच्छिक चर के मानों को व्यवस्थित करके एक्सबढ़ते क्रम में, हम वितरण श्रृंखला प्राप्त करते हैं:

ध्यान दें कि राशि

इसका मतलब है कि यादृच्छिक चर की संभावना एक्ससंभावित मानों में से कम से कम एक मान लेगा, और इसलिए यह घटना विश्वसनीय है

.

4.2 कलश में 1 से 4 तक संख्याओं वाली चार गेंदें हैं। दो गेंदें निकाली जाती हैं। यादृच्छिक मूल्य एक्स– गेंद संख्या का योग. एक यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला का निर्माण करें एक्स.

समाधान।यादृच्छिक चर मान एक्स 3, 4, 5, 6, 7 हैं। आइए संगत प्रायिकताएँ ज्ञात करें। यादृच्छिक चर मान 3 एक्सइसे केवल उसी स्थिति में स्वीकार किया जा सकता है जब चयनित गेंदों में से एक का नंबर 1 और दूसरे का 2 हो। संभावित परीक्षण परिणामों की संख्या दो के चार (गेंदों के संभावित जोड़े की संख्या) के संयोजन की संख्या के बराबर है।

शास्त्रीय संभाव्यता सूत्र का उपयोग करने पर हमें प्राप्त होता है

वैसे ही,

आर(एक्स= 4) =आर(एक्स= 6) =आर(एक्स= 7) = 1/6.

योग 5 दो स्थितियों में प्रकट हो सकता है: 1 + 4 और 2 + 3, इसलिए

.

एक्सइसका रूप है:

वितरण फलन ज्ञात कीजिए एफ(एक्स) अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सऔर इसकी साजिश रचें. के लिए गणना करें एक्सइसकी गणितीय अपेक्षा और विचरण।

समाधान. एक यादृच्छिक चर का वितरण कानून वितरण फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है

एफ(एक्स) =पी(एक्स एक्स).

वितरण समारोह एफ(एक्स) संपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित एक गैर-घटता हुआ, बाएं-निरंतर फ़ंक्शन है, जबकि

एफ (- )= 0,एफ (+ )= 1.

असतत यादृच्छिक चर के लिए, यह फ़ंक्शन सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

.

इसलिए इस मामले में

वितरण फ़ंक्शन ग्राफ़ एफ(एक्स) एक चरणबद्ध रेखा है (चित्र 12)

अपेक्षित मूल्यएम(एक्स) मानों का भारित अंकगणितीय औसत है एक्स 1 , एक्स 2 ,……एक्स एनअनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सतराजू के साथ ρ 1, ρ 2, …… , ρ एन और इसे यादृच्छिक चर का माध्य मान कहा जाता है एक्स. सूत्र के अनुसार

एम(एक्स)= एक्स 1 ρ 1 + एक्स 2 ρ 2 +……+ एक्स एन ρ एन

एम(एक्स) = 3·0.14+5·0.2+7·0.49+11·0.17 = 6.72.

फैलावएक यादृच्छिक चर के मूल्यों के उसके औसत मूल्य से फैलाव की डिग्री को दर्शाता है और दर्शाया गया है डी(एक्स):

डी(एक्स)=एम[(एचएम(एक्स)) 2 ]= एम(एक्स 2) –[एम(एक्स)] 2 .

असतत यादृच्छिक चर के लिए, विचरण का रूप होता है

या इसकी गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

समस्या के संख्यात्मक डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:

एम(एक्स 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

डी(एक्स) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. दो पासे एक ही समय में दो बार फेंके जाते हैं। असतत यादृच्छिक चर के वितरण का द्विपद नियम लिखिए एक्स- दो पासों पर अंकों की सम कुल संख्या के घटित होने की संख्या।

समाधान. आइए एक यादृच्छिक घटना का परिचय दें

ए= (दो पासों को एक बार फेंकने पर कुल अंक सम संख्या में प्राप्त हुए)।

संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा का उपयोग करते हुए हम पाते हैं

आर(ए)= ,

कहाँ एन - संभावित परीक्षण परिणामों की संख्या नियम के अनुसार पाई जाती है

गुणा:

एन = 6∙6 =36,

एम - आयोजन का समर्थन करने वाले लोगों की संख्या एपरिणाम - बराबर

एम= 3∙6=18.

इस प्रकार, एक परीक्षण में सफलता की संभावना है

ρ = पी(ए)= 1/2.

बर्नौली परीक्षण योजना का उपयोग करके समस्या का समाधान किया जाता है। यहां एक चुनौती दो पासों को एक बार घुमाने की होगी। ऐसे परीक्षणों की संख्या एन = 2. यादृच्छिक चर एक्ससंभावनाओं के साथ मान 0, 1, 2 लेता है

आर 2 (0) =,आर 2 (1) =∙,आर 2 (2) =

यादृच्छिक चर का आवश्यक द्विपद वितरण एक्सवितरण श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है:

4.5 . छह भागों के एक बैच में चार मानक होते हैं। तीन भागों को यादृच्छिक रूप से चुना गया। एक असतत यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण बनाएं एक्स- चयनित भागों में से मानक भागों की संख्या और इसकी गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें।

समाधान।यादृच्छिक चर मान एक्ससंख्याएँ 0,1,2,3 हैं। यह स्पष्ट है कि आर(एक्स=0)=0, चूँकि केवल दो गैर-मानक भाग हैं।

आर(एक्स=1) =
=1/5,

आर(एक्स= 2) =
= 3/5,

आर(एक्स=3) =
= 1/5.

यादृच्छिक चर का वितरण नियम एक्सआइए इसे वितरण श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत करें:

अपेक्षित मूल्य

एम(एक्स)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . सिद्ध कीजिए कि असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्स- घटना की घटनाओं की संख्या एवी एनस्वतंत्र परीक्षण, जिनमें से प्रत्येक में किसी घटना के घटित होने की संभावना बराबर होती है ρ - एक परीक्षण में किसी घटना के घटित होने की संभावना द्वारा परीक्षणों की संख्या के उत्पाद के बराबर, यानी यह साबित करने के लिए कि द्विपद वितरण की गणितीय अपेक्षा

एम(एक्स) =एन . ρ ,

और फैलाव

डी(एक्स) =एन.पी. .

समाधान।यादृच्छिक मूल्य एक्समान ले सकते हैं 0, 1, 2..., एन. संभावना आर(एक्स= k) बर्नौली के सूत्र का उपयोग करके पाया जाता है:

आर(एक्स=क)= आर एन(के)= ρ को (1-ρ ) एन-को

एक यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला एक्सइसका रूप है:

कहाँ क्यू= 1- ρ .

गणितीय अपेक्षा के लिए हमारे पास अभिव्यक्ति है:

एम(एक्स)=ρq एन - 1 +2 ρ 2 क्यू एन - 2 +…+.एन ρ एन

एक परीक्षण के मामले में, अर्थात्, साथ में एन=यादृच्छिक चर के लिए 1 एक्स 1 - घटना के घटित होने की संख्या ए- वितरण श्रृंखला का रूप है:

एम(एक्स 1)= 0∙q + 1 ∙ पी = पी

डी(एक्स 1) = पी – पी 2 = पी(1- पी) = पी क्यू.

अगर एक्स k - घटना के घटित होने की संख्या एफिर किस परीक्षा में आर(एक्स को)= ρ और

एक्स=एक्स 1 +एक्स 2 +...+एक्स एन .

यहीं से हमें मिलता है

एम(एक्स)=एम(एक्स 1 )+एम(एक्स 2)+ … +एम(एक्स एन)= nρ,

डी(एक्स)=डी(एक्स 1)+डी(एक्स 2)+ ... +डी(एक्स एन)=npq.

4.7. गुणवत्ता नियंत्रण विभाग मानकता के लिए उत्पादों की जाँच करता है। उत्पाद के मानक होने की प्रायिकता 0.9 है। प्रत्येक बैच में 5 उत्पाद होते हैं। असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए एक्स- बैचों की संख्या, जिनमें से प्रत्येक में 4 मानक उत्पाद होंगे - यदि 50 बैच निरीक्षण के अधीन हैं।

समाधान. प्रत्येक यादृच्छिक रूप से चयनित बैच में 4 मानक उत्पाद होने की संभावना स्थिर है; आइए इसे निरूपित करें ρ .तब यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्सके बराबर होती है एम(एक्स)= 50∙ρ.

आइए संभाव्यता ज्ञात करें ρ बर्नौली के सूत्र के अनुसार:

ρ=पी 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

एम(एक्स)= 50∙0,32=16.

4.8 . तीन पासे फेंके जाते हैं. गिराए गए अंकों के योग की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।

समाधान।आप एक यादृच्छिक चर का वितरण पा सकते हैं एक्स- गिराए गए अंकों का योग और फिर उसकी गणितीय अपेक्षा। हालाँकि, यह रास्ता बहुत कठिन है। यादृच्छिक चर का प्रतिनिधित्व करने वाली किसी अन्य तकनीक का उपयोग करना आसान है एक्स, जिसकी गणितीय अपेक्षा की गणना कई सरल यादृच्छिक चरों के योग के रूप में की जानी चाहिए, जिसकी गणितीय अपेक्षा की गणना करना आसान है। यदि यादृच्छिक चर एक्स मैं- यह गिराए गए अंकों की संख्या है मैं–वें हड्डियाँ ( मैं= 1, 2, 3), तो अंकों का योग एक्सरूप में व्यक्त किया जायेगा

एक्स = एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 .

मूल यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा की गणना करने के लिए, जो कुछ बचा है वह गणितीय अपेक्षा की संपत्ति का उपयोग करना है

एम(एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 )= एम(एक्स 1 )+ एम(एक्स 2)+ एम(एक्स 3 ).

यह तो स्पष्ट है

आर(एक्स मैं = के)= 1/6, को= 1, 2, 3, 4, 5, 6, मैं= 1, 2, 3.

इसलिए, यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्स मैंकी तरह लगता है

एम(एक्स मैं) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

एम(एक्स) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. परीक्षण के दौरान विफल हुए उपकरणों की संख्या की गणितीय अपेक्षा निर्धारित करें यदि:

ए) सभी उपकरणों के लिए विफलता की संभावना समान है आर, और परीक्षण के तहत उपकरणों की संख्या के बराबर है एन;

बी) विफलता की संभावना मैं – डिवाइस के बराबर है पी मैं , मैं= 1, 2, … , एन.

समाधान।चलो यादृच्छिक चर एक्सतो, विफल उपकरणों की संख्या है

एक्स = एक्स 1 + एक्स 2 +… + एक्स एन ,

एक्स मैं =

यह स्पष्ट है कि

आर(एक्स मैं = 1)= आर मैं , आर(एक्स मैं = 0)= 1– आर मैं ,मैं= 1, 2, … ,एन।

एम(एक्स मैं)= 1∙आर मैं + 0∙(1-आर मैं)=पी मैं ,

एम(एक्स)=एम(एक्स 1)+एम(एक्स 2)+… +एम(एक्स एन)=पी 1 +पी 2 +… + पी एन .

मामले "ए" में डिवाइस विफलता की संभावना समान है, अर्थात

आर मैं =पी,मैं= 1, 2, … ,एन.

एम(एक्स)= एन.पी..

यह उत्तर तुरंत प्राप्त किया जा सकता है यदि हम ध्यान दें कि यादृच्छिक चर एक्समापदंडों के साथ एक द्विपद वितरण है ( एन, पी).

4.10. दो पासे एक साथ दो बार फेंके जाते हैं। असतत यादृच्छिक चर के वितरण का द्विपद नियम लिखिए एक्स -दो पासों पर सम संख्या में अंकों को घुमाने की संख्या।

समाधान। होने देना

ए=(पहले पासे पर एक सम संख्या घुमाना),

बी =(दूसरे पासे पर एक सम संख्या घुमाने पर)।

एक बार में दोनों पासों पर सम संख्या प्राप्त करना गुणनफल द्वारा व्यक्त किया जाता है एबी.तब

आर (अब) = आर(ए)∙आर(में) =
.

दो पासों को दूसरी बार फेंकने का परिणाम पहले पर निर्भर नहीं करता है, इसलिए बर्नौली का सूत्र कब लागू होता है

एन = 2,पी = 1/4, क्यू = 1– पी = 3/4.

यादृच्छिक मूल्य एक्समान 0, 1, 2 ले सकते हैं , जिसकी संभाव्यता बर्नौली के सूत्र का उपयोग करके पाई जा सकती है:

आर(एक्स= 0)= पी 2 (0) = क्यू 2 = 9/16,

आर(एक्स= 1)= पी 2 (1)= सी ,आर∙क्यू = 6/16,

आर(एक्स= 2)= पी 2 (2)= सी , आर 2 = 1/16.

एक यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला एक्स:

4.11. डिवाइस में बड़ी संख्या में स्वतंत्र रूप से काम करने वाले तत्व होते हैं और समय के साथ प्रत्येक तत्व की विफलता की बहुत कम संभावना होती है टी. समय के साथ इनकारों की औसत संख्या ज्ञात कीजिए टीतत्व, यदि संभावना है कि इस समय के दौरान कम से कम एक तत्व विफल हो जाएगा 0.98 है।

समाधान। समय के साथ इनकार करने वाले लोगों की संख्या टीतत्व - यादृच्छिक चर एक्स, जो पॉइसन के नियम के अनुसार वितरित किया जाता है, क्योंकि तत्वों की संख्या बड़ी है, तत्व स्वतंत्र रूप से काम करते हैं और प्रत्येक तत्व की विफलता की संभावना छोटी है। किसी घटना के घटित होने की औसत संख्या एनपरीक्षण बराबर हैं

एम(एक्स) = एन.पी..

असफलता की संभावना के बाद से कोसे तत्व एनसूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है

आर एन (को)
,

कहाँ  = एन.पी., तो संभावना है कि समय के दौरान एक भी तत्व विफल नहीं होगा टी हम पहुंच गए के = 0:

आर एन (0)= ई -  .

इसलिए, विपरीत घटना की संभावना समय में है टी कम से कम एक तत्व विफल रहता है - 1 के बराबर - इ -  . समस्या की स्थितियों के अनुसार, यह संभावना 0.98 है। Eq से.

1 - इ -  = 0,98,

इ -  = 1 – 0,98 = 0,02,

यहाँ से  = -एल.एन 0,02  4.

तो, समय में टीडिवाइस के संचालन में, औसतन 4 तत्व विफल हो जाएंगे।

4.12 . पासों को तब तक घुमाया जाता है जब तक कि "दो" न आ जाएँ। थ्रो की औसत संख्या ज्ञात कीजिए।

समाधान. आइए एक यादृच्छिक चर का परिचय दें एक्स- हमारे लिए रुचि की घटना घटित होने तक किए जाने वाले परीक्षणों की संख्या। संभावना यह है कि एक्स= 1 इस प्रायिकता के बराबर है कि पासे को एक बार फेंकने पर "दो" दिखाई देंगे, अर्थात

आर(एक्स= 1) = 1/6.

आयोजन एक्स= 2 का अर्थ है कि पहले परीक्षण में "दो" सामने नहीं आए, लेकिन दूसरे में आए। घटना की संभावना एक्स= 2 स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं को गुणा करने के नियम से पाया जाता है:

आर(एक्स= 2) = (5/6)∙(1/6)

वैसे ही,

आर(एक्स= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, आर(एक्स= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

वगैरह। हमें संभाव्यता वितरणों की एक श्रृंखला प्राप्त होती है:

थ्रो (परीक्षण) की औसत संख्या गणितीय अपेक्षा है

एम(एक्स) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + को (5/6) को -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + को (5/6) को -1 + …)

आइए श्रृंखला का योग ज्ञात करें:

कोजी को -1 = (जी को) जी 
.

इस तरह,

एम(एक्स) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

इस प्रकार, आपको "दो" आने तक पासों को औसतन 6 बार उछालना होगा।

4.13. घटना के घटित होने की समान संभावना के साथ स्वतंत्र परीक्षण किए जाते हैं एहर परीक्षा में. किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ए, यदि तीन स्वतंत्र परीक्षणों में किसी घटना की घटनाओं की संख्या का अंतर 0.63 है .

समाधान।तीन परीक्षणों में किसी घटना के घटित होने की संख्या एक यादृच्छिक चर है एक्स, द्विपद नियम के अनुसार वितरित। स्वतंत्र परीक्षणों में किसी घटना के घटित होने की संख्या का अंतर (प्रत्येक परीक्षण में घटना के घटित होने की समान संभावना के साथ) घटना के घटित होने और न होने की संभावनाओं द्वारा परीक्षणों की संख्या के उत्पाद के बराबर होता है। (समस्या 4.6)

डी(एक्स) = एनपीक्यू.

शर्त से एन = 3, डी(एक्स) = 0.63, तो आप कर सकते हैं आरसमीकरण से खोजें

0,63 = 3∙आर(1-आर),

जिसके दो समाधान हैं आर 1 = 0.7 और आर 2 = 0,3.