बहुभुज का शीर्ष क्या है. बहुभुज का शीर्ष है

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APEX, गणित में, वह बिंदु जिस पर एक त्रिभुज या अन्य बहुभुज की दो भुजाएँ मिलती हैं, या एक पिरामिड या अन्य बहुफलक की तीन या अधिक भुजाएँ एक दूसरे को काटती हैं। शंकु के शीर्ष बिंदु को शीर्ष भी कहा जाता है... वैज्ञानिक और तकनीकी विश्वकोश शब्दकोश

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यह जाँचना कि क्या कोई दिया गया बिंदु किसी दिए गए बहुभुज से संबंधित है। एक बहुभुज और एक बिंदु एक समतल पर दिए गए हैं। बहुभुज या तो उत्तल या गैर-उत्तल हो सकता है। यह प्रश्न हल करना आवश्यक है कि कोई बिंदु बहुभुज से संबंधित है या नहीं। इस तथ्य के लिए धन्यवाद कि... ...विकिपीडिया

समतल बहुभुजों की एक सीमित संख्या के संग्रह से घिरा अंतरिक्ष का एक भाग (ज्यामिति देखें) इस तरह से जुड़ा हुआ है कि किसी भी बहुभुज की प्रत्येक भुजा बिल्कुल एक अन्य बहुभुज की एक भुजा होती है (जिसे... कहा जाता है) कोलियर का विश्वकोश

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बहुभुज क्या है इस प्रश्न पर लेखक ने पूछा यूरोपीयसबसे अच्छा उत्तर है

सपाट बंद टूटी हुई रेखा;


बहुभुज के प्रकार
तीन शीर्षों वाले बहुभुज को त्रिभुज कहा जाता है, चार शीर्षों वाले को चतुर्भुज, पाँच शीर्षों वाले को पंचभुज आदि कहा जाता है।
n शीर्षों वाले बहुभुज को n-गॉन कहा जाता है।
एक समतल बहुभुज एक आकृति है जिसमें एक बहुभुज और उसके द्वारा सीमित क्षेत्र का एक सीमित भाग होता है।
एक बहुभुज को उत्तल कहा जाता है यदि निम्नलिखित में से कोई एक (समतुल्य) शर्त पूरी होती है:
यह अपने पड़ोसी शीर्षों को जोड़ने वाली किसी भी सीधी रेखा के एक तरफ स्थित है। (अर्थात्, बहुभुज की भुजाओं का विस्तार उसकी अन्य भुजाओं को नहीं काटता);
यह कई अर्ध-तलों का प्रतिच्छेदन (अर्थात् सामान्य भाग) है;
प्रत्येक विकर्ण बहुभुज के अंदर स्थित है;
बहुभुज से संबंधित बिंदुओं पर समाप्त होने वाला कोई भी खंड पूरी तरह से उसी का होता है।
एक उत्तल बहुभुज को नियमित कहा जाता है यदि सभी भुजाएँ समान हों और सभी कोण समान हों, उदाहरण के लिए, एक समबाहु त्रिभुज, एक वर्ग और एक नियमित पंचभुज।
स्व-प्रतिच्छेदन वाले एक नियमित बहुभुज को तारा बहुभुज कहा जाता है, उदाहरण के लिए, नियमित पाँच-नुकीले और आठ-नुकीले तारे।
एक उत्तल बहुभुज को एक वृत्त में अंकित कहा जाता है यदि इसके सभी शीर्ष एक ही वृत्त पर स्थित हों।
एक उत्तल बहुभुज को एक वृत्त के चारों ओर परिचालित कहा जाता है यदि इसकी सभी भुजाएं किसी वृत्त को छूती हैं।
किसी बहुभुज के शीर्षों को आसन्न कहा जाता है यदि वे उसकी किसी एक भुजा के सिरे हों।
बहुभुज के गैर-आसन्न शीर्षों को जोड़ने वाले खंड विकर्ण कहलाते हैं।
किसी दिए गए शीर्ष पर बहुभुज का कोण (या आंतरिक कोण) वह कोण होता है जो उसकी भुजाओं के इस शीर्ष पर एकत्रित होने और बहुभुज के आंतरिक क्षेत्र में स्थित होने से बनता है। विशेष रूप से, यदि बहुभुज गैर-उत्तल है तो कोण 180° से अधिक हो सकता है।
किसी दिए गए शीर्ष पर उत्तल बहुभुज का बाहरी कोण इस शीर्ष पर बहुभुज के आंतरिक कोण से सटा हुआ कोण होता है। सामान्य तौर पर, बाहरी कोण 180° और आंतरिक कोण के बीच का अंतर होता है; यह -180° से 180° तक मान ले सकता है।

उत्तर से माइक्रोस्कोप[गुरु]
बहुभुज एक ज्यामितीय आकृति है, जिसे आमतौर पर एक बंद टूटी हुई रेखा के रूप में परिभाषित किया जाता है।

बहुभुज को परिभाषित करने के लिए तीन अलग-अलग विकल्प हैं:
सपाट बंद टूटी हुई रेखा;
स्व-प्रतिच्छेदन के बिना एक सपाट बंद टूटी हुई रेखा;
एक बंद पॉलीलाइन से घिरा विमान का हिस्सा।

किसी भी स्थिति में, बहुभुज के शीर्षों को बहुभुज के शीर्ष कहा जाता है, और खंडों को बहुभुज की भुजाएँ कहा जाता है।

उत्तर से व्लादिस्लाव बोरोविक[नौसिखिया]
बहुभुज एक आकृति है जिसमें कई भुजाएँ और कोण होते हैं।

उत्तर से शादी[नौसिखिया]
मल्टी-गॉन वह है जहां कई कोण होते हैं

उत्तर से साशा सेफेनराइडर[नौसिखिया]
बहु-कोण वह है जहां कई कोण होते हैं

बहुभुज की अवधारणा. बहुभुज क्या है

बहुभुजएक ज्यामितीय आकृति है जो एक बंद टूटी हुई रेखा है।

बहुभुज को परिभाषित करने के लिए तीन विकल्प हैं:

• बहुभुज एक सपाट बंद टूटी हुई रेखा है;
• बहुभुज स्व-प्रतिच्छेदन के बिना एक सपाट बंद टूटी हुई रेखा है;
• बहुभुज एक समतल का एक भाग है जो एक बंद पॉलीलाइन से घिरा होता है।

टूटी हुई रेखा के शीर्ष कहलाते हैं बहुभुज के शीर्ष, और खंड - बहुभुज के किनारे.

चोटियोंबहुभुज कहलाते हैं पड़ोसी, यदि वे इसके किसी एक पक्ष के सिरे हैं।

बहुभुज के गैर-आसन्न शीर्षों को जोड़ने वाले रेखाखंड कहलाते हैं विकर्णों.

बहुभुज का कोण (या आंतरिक कोण)।किसी दिए गए शीर्ष पर, बहुभुज के आंतरिक क्षेत्र में स्थित उसकी भुजाओं के इस शीर्ष पर एकत्रित होने से बनने वाले कोण को कहा जाता है।

उत्तल बहुभुज का बाहरी कोनाकिसी दिए गए शीर्ष पर बहुभुज के आंतरिक कोण से सटे कोण को कहा जाता है। सामान्य तौर पर, बाहरी कोण 180° और आंतरिक कोण के बीच का अंतर होता है

बहुभुज कहलाता है उत्तल, बशर्ते कि निम्नलिखित में से एक शर्त सत्य हो:

• एक उत्तल बहुभुज अपने आसन्न शीर्षों को जोड़ने वाली किसी भी रेखा के एक तरफ स्थित होता है;
• एक उत्तल बहुभुज कई अर्ध-तलों का प्रतिच्छेदन है;
• उत्तल बहुभुज से संबंधित बिंदुओं पर समाप्त होने वाला कोई भी खंड पूरी तरह से उसी का होता है।

उत्तल बहुभुज कहलाता है सही, यदि सभी भुजाएँ समान हैं और सभी कोण समान हैं, उदाहरण के लिए, एक समबाहु त्रिभुज, एक वर्ग और एक नियमित पंचभुज।

एक उत्तल बहुभुज को एक वृत्त में अंकित कहा जाता है यदि इसके सभी शीर्ष एक ही वृत्त पर स्थित हों।

एक उत्तल बहुभुज को एक वृत्त के चारों ओर परिचालित कहा जाता है यदि इसकी सभी भुजाएं किसी वृत्त को छूती हैं।

बहुभुजों का वर्गीकरण (प्रकार)।

प्रकार के आधार पर बहुभुजों का वर्गीकरण कई गुणों पर आधारित हो सकता है, जिनमें से सबसे महत्वपूर्ण हैं:

• शीर्षों की संख्या
• उत्तल
• सही
• किसी वृत्त को अंकित करने या उसका वर्णन करने की क्षमता

एक उत्तल बहुभुज हमेशा उस रेखा के एक तरफ स्थित होता है जिसमें उसकी कोई भी भुजा होती है। (ऊपर देखें)

एक नियमित बहुभुज की सभी भुजाएँ और कोण बराबर होते हैं। इसके कारण उनमें कुछ विशेष गुण होते हैं (देखें वर्ग)।

स्व-प्रतिच्छेदी बहुभुज नियमित भी हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक पेंटाग्राम ("पांच-नक्षत्र सितारा")।

बहुभुजों को बहुभुज में फिट होने या बहुभुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करने की क्षमता के संबंध में भी प्रतिष्ठित किया जा सकता है। ऐसे बहुभुज हो सकते हैं जिनके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करना और एक को अंकित करना भी असंभव है। साथ ही, किसी भी त्रिभुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करना हमेशा संभव होता है।

बहुभुज गुण

• एन-गॉन के आंतरिक कोणों का योग (n - 2)π है।
• एक नियमित n-गॉन के आंतरिक कोणों का योग 180(n − 2) होता है।
• किसी भी बहुभुज के विकर्णों की संख्या n(n − 3)/2 है, जहाँ n भुजाओं की संख्या है।

कोई भी विकर्ण दो बहुभुजों में विभाजित होता है और. के लिये तथा हम क्रमशः तथा में शीर्षों की संख्या को निरूपित करते हैं। एक बहुभुज -मोनोटोनिक है यदि इसमें शीर्ष विभाजित या विलय नहीं है।

APOINT - गणित में, वह बिंदु जिस पर किसी त्रिभुज या अन्य बहुभुज की दो भुजाएँ मिलती हैं, या किसी पिरामिड या अन्य बहुफलक की तीन या अधिक भुजाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। बहुभुज में एक बिंदु के लिए एल्गोरिदम - यह जांचना कि क्या कोई दिया गया बिंदु किसी दिए गए बहुभुज से संबंधित है। एक बहुभुज और एक बिंदु एक विमान पर दिए गए हैं। बहुभुज या तो उत्तल या गैर-उत्तल हो सकता है।

विकर्ण - (ग्रीक, व्यास से, और गोनिया कोण से)। 1) एक सीधी रेखा में दो कोणों के शीर्षों को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होती है। परिभाषा। बहुभुज एक ज्यामितीय आकृति है जो सभी तरफ से एक बंद टूटी हुई रेखा से घिरी होती है, जिसमें तीन या अधिक खंड (लिंक) होते हैं। एक बंद टूटी हुई रेखा के खंड (लिंक) को बहुभुज की भुजाएँ कहा जाता है, और दो खंडों के उभयनिष्ठ बिंदु इसके शीर्ष होते हैं।

परिभाषा। चतुर्भुज एक सपाट ज्यामितीय आकृति है जिसमें चार बिंदु (चतुर्भुज के शीर्ष) और उन्हें जोड़ने वाले चार लगातार खंड (चतुर्भुज की भुजाएँ) होते हैं। किसी चतुर्भुज के तीन शीर्ष कभी भी एक ही रेखा पर नहीं होते। आयत एक चतुर्भुज है जिसके सभी कोण समकोण हैं। एक बहुभुज स्व-प्रतिच्छेदन और नियमित तारा बहुभुज के साथ एक बंद टूटी हुई रेखा हो सकता है।

रेखाएँ और बहुभुज

1) एक β-पक्ष या γ-पक्ष के साथ एक एन-गॉन का β जिसके अनुसार कोण इसके बाएं छोर से सटा हुआ है (जब अंदर से देखा जाता है)। यदि यह ABC से भिन्न दिशा में उन्मुख है, तो इसकी ऊपरी भुजा, AB के बराबर और समानांतर, भुजा P है, और फिर n सम है (नियमित विषम त्रिभुज में कोई समानांतर भुजाएँ नहीं होती हैं)।

बहुभुज को एक पॉलीलाइन द्वारा परिभाषित किया गया है

आइए हम सिद्ध करें कि बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष से कम से कम दो विकर्ण होते हैं। लेकिन फिर एन-गॉन की प्रत्येक भुजा एक विभाजन त्रिभुज में स्थित होती है जिसमें इसकी एक और भुजा होती है। एक उत्तल बहुभुज दिया गया है, जिसकी कोई भी दो भुजाएँ समानांतर नहीं हैं।

इस प्रकार, विभिन्न भुजाओं के संगत कोण ओवरलैप नहीं होते हैं। हम m के समानांतर एक रेखा खींचेंगे और बहुभुज द्वारा उस पर काटे गए खंड की लंबाई देखेंगे।

बहुभुज रंग भरें

किसी भी बहुभुज का त्रिभुज अद्वितीय नहीं है। इसे चित्र में दिए गए उदाहरण से देखा जा सकता है। एक साधारण बहुभुज एक बंद पॉलीलाइन से घिरी हुई एक आकृति है जिसकी भुजाएँ एक दूसरे को नहीं काटती हैं।

बहुभुज शैली सेट करें

किसी भी सरल-शीर्ष बहुभुज में हमेशा एक त्रिभुज होता है, और इसमें त्रिभुजों की संख्या त्रिभुज से स्वतंत्र होती है। सामान्य स्थिति में, एक मनमाने ढंग से -गॉन में विकर्णों के निर्माण के लिए केवल संभावित विकल्प होते हैं। बहुभुजों के कुछ वर्गों के लिए पिछले अनुमान में सुधार किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि बहुभुज उत्तल है, तो आपको बस इसके एक शीर्ष का चयन करना होगा और इसे इसके पड़ोसियों को छोड़कर अन्य सभी से जोड़ना होगा।

फिर हम साबित करते हैं कि इसमें स्प्लिट और मर्ज वर्टिस शामिल हैं। एक बहुभुज को मोनोटोनिक बनाने के लिए, आपको ऐसे शीर्षों से असंयुक्त डिगोनल्स खींचकर विभाजन और विलय शीर्षों से छुटकारा पाना होगा। आइए एक क्षैतिज व्यापक रेखा पर विचार करें और इसे उस तल के साथ ऊपर से नीचे की ओर ले जाएं जिस पर मूल बहुभुज स्थित है। हम इसे बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष पर रोकेंगे।

मानचित्र में बहुभुज जोड़ना

मान लीजिए कि यह विभाजित शीर्ष के सापेक्ष निकटतम बाएँ और दाएँ किनारे हैं, जिसे यह वर्तमान में प्रतिच्छेद करता है। संग्रहीत शीर्ष का प्रकार कोई मायने नहीं रखता। इस प्रकार, एक विभाजित शीर्ष के लिए एक विकर्ण बनाने के लिए, आपको इसके बाएं किनारे के सूचक को संदर्भित करने की आवश्यकता है, जो वर्तमान में प्रतिच्छेद करता है।

ऊपर वर्णित दृष्टिकोण में, स्वीपिंग लाइन और बहुभुज के बाएं किनारों के प्रतिच्छेदन को ढूंढना आवश्यक है। आइए शीर्षों की एक प्राथमिकता कतार बनाएं, जिसमें प्राथमिकता शीर्ष का -निर्देशांक होगी। यदि दो शीर्षों के निर्देशांक समान हैं, तो बाएं शीर्ष की प्राथमिकता अधिक होती है। स्वीपिंग लाइन के "स्टॉप्स" पर कोने जोड़े जाएंगे।

यहां से यह किसी भी पक्ष को बाहरी बिंदुओं पर नहीं काटता है। चूँकि कोई भी शीर्ष अंदर नहीं हो सकता है, और पहले जोड़े गए किसी भी विकर्ण के दोनों सिरे ऊपर होने चाहिए, विकर्ण पहले जोड़े गए किसी भी विकर्ण को नहीं काट सकता है।

हम बहुभुज के शीर्षों के साथ ऊपर से नीचे तक जाएंगे, जहां संभव हो विकर्ण बनाएंगे। परिणामस्वरूप, हमारा बहुभुज सीमा b और c वाली एक पट्टी में स्थित है, जिससे हमें पता चलता है कि P, भुजा a वाली रेखा b से सबसे दूर बहुभुज का शीर्ष है।

बहुभुज. शीर्ष, कोने, भुजाएँ और विकर्ण
बहुभुज. बहुभुज का परिमाप.
सरल बहुभुज. उत्तल बहुभुज.
उत्तल बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग.

खंडों की बंद शृंखला से बनी सपाट आकृति कहलाती है बहुभुज. कोणों की संख्या के आधार पर, एक बहुभुज एक त्रिभुज हो सकता है, चतुष्कोष, पंचकोण, षट्भुजवगैरह। चित्र 17 षट्भुज ABCDEF को दर्शाता है। बिंदु A, B, C, D, E, F - शीर्ष

बहुभुज; कोण A, B, C, D, E, F - बहुभुज कोण; खंड एसी, एडी, बीई, आदि। - विकर्ण; एबी, बीसी, सीडी, डीई, ईएफ, एफए - बहुभुज की भुजाएँ; भुजाओं AB + BC + ... + FA की लंबाई के योग को परिधि कहा जाता है और इसे p से दर्शाया जाता है (कभी-कभी - 2p से दर्शाया जाता है, तो p अर्ध-परिधि है)। प्रारंभिक ज्यामिति में, केवल सरल बहुभुजों पर विचार किया जाता है, जिनकी आकृतियों में स्व-प्रतिच्छेद नहीं होते हैं, जैसा कि चित्र 18 में दिखाया गया है। यदि सभी विकर्ण बहुभुज के अंदर स्थित हों, तो इसे उत्तल कहा जाता है। चित्र 17 में षट्भुज उत्तल है; चित्र 19 में पंचभुज ABCDE उत्तल नहीं है, क्योंकि इसका विकर्ण AD बाहर स्थित है। उत्तल बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग 180º (n - 2) होता है, जहाँ n बहुभुज के कोणों (या भुजाओं) की संख्या है।

समांतर चतुर्भुज. समांतर चतुर्भुज के गुण और विशेषताएँ।

आयत। एक आयत के मूल गुण. रोम्बस.

वर्ग . समलम्बाकार। समलम्ब और त्रिभुज की मध्य रेखाएँ।

एक समांतर चतुर्भुज (एबीसीडी, चित्र 32) एक चतुर्भुज है जिसकी सम्मुख भुजाएँ जोड़े में समानांतर होती हैं।

किसी समांतर चतुर्भुज की किन्हीं दो विपरीत भुजाओं को उसका आधार कहा जाता है, और उनके बीच की दूरी को उसकी ऊँचाई कहा जाता है (BE, चित्र 32)।

समांतर चतुर्भुज के गुण.

1. समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं(एबी = सीडी, एडी = बीसी)।

2. समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं(ए=सी, बी=डी)।

3. समांतर चतुर्भुज के विकर्ण उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर द्विभाजित होते हैं।(एओ = ओसी, बीओ = ओडी)।

4. समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग वर्गों के योग के बराबर होता हैइसकी चार भुजाएँ हैं:

AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD².

समांतर चतुर्भुज के लक्षण.

यदि निम्नलिखित में से एक स्थिति सत्य है तो एक चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है:

1. जोड़े में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं(एबी = सीडी, एडी = बीसी)।

2. सम्मुख कोण जोड़े में बराबर होते हैं(ए=सी, बी=डी)।

3. दो विपरीत भुजाएँ समान एवं समान्तर होती हैं(एबी = सीडी, एबी || सीडी)।

4.विकर्ण अपने प्रतिच्छेदन बिंदु पर समद्विभाजित करते हैं(एओ = ओसी, बीओ = ओडी)।

आयत।

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यदि समांतर चतुर्भुज का एक कोण समकोण है, तो अन्य सभी कोण भी समकोण होते हैं (क्यों?)। ऐसे समांतर चतुर्भुज को आयत कहा जाता है (चित्र 33)।

एक आयत के मूल गुण.

एक आयत की भुजाएँ भी उसकी ऊँचाई होती हैं।

आयत के विकर्ण बराबर हैं:एसी = बीडी.

एक आयत के विकर्ण का वर्ग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है(ऊपर पाइथागोरस प्रमेय देखें):

एसी 2 = एडी 2 + डीसी 2.

रोम्बस. यदि किसी समांतर चतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर हों तो यह समांतर चतुर्भुज कहलाता हैडायमंड (चित्र 34) .

एक समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंबवत (AC BD) होते हैं और उनके कोणों को समद्विभाजित करते हैं (डीसीए = बीसीए, एबीडी = सीबीडी, आदि)।

वर्ग है समकोण और समान भुजाओं वाला समांतर चतुर्भुज (चित्र 35)। एक वर्ग एक ही समय में एक आयत और एक समचतुर्भुज का एक विशेष मामला है; इसलिए, इसमें उपरोक्त सभी गुण हैं।

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चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसकी सम्मुख भुजाएँ एक सौ हैंरोन समानांतर हैं(चित्र 36)।

यहाँ AD || ईसा पूर्व समानान्तर भुजाएँ कहलाती हैंकारण ट्रेपेज़ॉइड, और अन्य दो (एबी और सीडी) हैंपक्ष.आधारों के बीच की दूरी (BM) हैऊंचाई। मध्यबिंदु E और F को जोड़ने वाला रेखा खंड EF

पार्श्व भुजाओं को समलंब की मध्य रेखा कहा जाता है। समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा आधारों के योग के आधे के बराबर है:

और उनके समानांतर:ईएफ || एडी और ईएफ || ईसा पूर्व

समान भुजाओं (AB = CD) वाले समलम्ब चतुर्भुज को समद्विबाहु कहा जाता है कोई समलंब नहीं. एक समबाहु समलम्ब चतुर्भुज में, प्रत्येक आधार पर कोण बराबर होते हैं(ए=डी, बी=सी)।

एक समांतर चतुर्भुज को समलम्ब चतुर्भुज का एक विशेष मामला माना जा सकता है।

त्रिभुज की मध्य रेखा- यह एक खंड है मध्यबिंदुओं को जोड़नात्रिभुज की पार्श्व भुजाएँ. त्रिभुज की मध्य रेखा आधे के बराबर होती हैवां आधार और उसके समानांतर। o संपत्ति पिछले वाले से अनुसरण करती है

बिंदु, चूँकि एक त्रिभुज को एक समलम्ब चतुर्भुज के अध: पतन का मामला माना जा सकता है, जब इसका एक आधार एक बिंदु में बदल जाता है।

एक वृत्त में अंकित बहुभुज.

एक वृत्त के चारों ओर परिचालित बहुभुज।

वर्णित बहुभुज के चारों ओर एक वृत्त है.

खुदा एक बहुभुज वृत्त में.

एक त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या.

एक त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या .
नियमित बहुभुज।

एक नियमित बहुभुज का केंद्र और एपोथेम।
नियमित बहुभुजों की भुजाओं और त्रिज्याओं का अनुपात.

एक वृत्त में अंकितबहुभुज कहा जाता है जिसके शीर्ष चित्र 54 में वृत्त पर स्थित हैं।एक वृत्त के चारों ओर वर्णित नोगोन कहा जाता हैजिनकी भुजाएँ वृत्त की स्पर्शरेखा हैं

(चित्र 55)।

क्रमश, बहुभुज के शीर्षों से होकर गुजरने वाला वृत्त(चित्र 54), कहा जाता हैबहुभुज के बारे में बताया गया है; वृत्त, के लिए जिसमें बहुभुज की भुजाएँ स्पर्शरेखा होती हैं (चित्र 55), परबहुभुज में अंकित कहलाता है. मनमानी के लिए इसमें एक बहुभुज फिट करना और उसके चारों ओर एक वृत्त बनाना असंभव है. त्रिकोण के लिए निक यह हमेशा संभव है.

RADIUS अंकित वृत्त का आरपक्षों के माध्यम से व्यक्त किया गयाए, बी, सी त्रिकोण:

वर्णित की त्रिज्या आरघेरा सूत्र द्वारा व्यक्त:

एक वृत्त को एक चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है यदि उसकी सम्मुख भुजाओं का योग बराबर हो।समांतर चतुर्भुज के लिए, यह केवल समचतुर्भुज (वर्ग) के लिए ही संभव है। अंकित वृत्त का केंद्र विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्थित है।एक चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है यदि उसका योग होसम्मुख कोण बराबर होते हैं 180º. समांतर चतुर्भुज के लिए, यह केवल एक आयत (वर्ग) के लिए संभव है। परिचालित वृत्त का केंद्र विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्थित है।आप एक समलम्ब चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन कर सकते हैं यदि यह समबाहु है।r />

नियमित बहुभुज समान भुजाओं और कोणों वाला बहुभुज होता है।

चित्र 56 एक नियमित षट्भुज दिखाता है, और चित्र 57 एक नियमित अष्टभुज दिखाता है। एक नियमित चतुर्भुज एक वर्ग है; एक नियमित त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज होता है। एक नियमित बहुभुज का प्रत्येक कोण 180º (n – 2)/n के बराबर होता है, जहाँ n इसके कोणों की संख्या है। एक नियमित बहुभुज के अंदर एक बिंदु O (चित्र 56) होता है, जो इसके सभी शीर्षों (OA = OB = OC = ... = OF) से समान दूरी पर होता है, जिसे नियमित बहुभुज का केंद्र कहा जाता है। एक नियमित बहुभुज का केंद्र भी उसकी सभी भुजाओं से समान दूरी पर होता है (OP = OQ = OR = ...)। खंड OP, OQ, OR, ... को एपोथेम कहा जाता है; खंड OA, OB, OC, ... एक नियमित बहुभुज की त्रिज्याएँ हैं। एक नियमित बहुभुज में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है और उसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है। अंकित और परिबद्ध वृत्तों के केंद्र एक नियमित बहुभुज के केंद्र के साथ मेल खाते हैं। परिवृत्त की त्रिज्या एक नियमित बहुभुज की त्रिज्या है, और अंकित वृत्त की त्रिज्या इसका एपोथेम है। नियमित बहुभुजों की भुजाओं और त्रिज्याओं का अनुपात:

अधिकांश नियमित बहुभुजों के लिए, बीजीय सूत्र का उपयोग करके उनकी भुजाओं और त्रिज्याओं के बीच संबंध को व्यक्त करना असंभव है।

उदाहरण क्या एक वृत्त से 30 सेमी भुजा वाला एक वर्ग काटना संभव है?

व्यास 40 सेमी?

समाधान: एक वृत्त में घिरा सबसे बड़ा वर्ग एक उत्कीर्ण है

वर्ग। उपरोक्त सूत्र के अनुसार, यह

भुजा इसके बराबर है:

इसलिए, 30 सेमी भुजा वाला एक वर्ग नहीं काटा जा सकता है

40 सेमी व्यास वाले एक वृत्त से।