अंकगणितीय प्रगति किसे कहते हैं. अंकगणितीय प्रगति कैसे ज्ञात करें? समाधान के साथ अंकगणितीय प्रगति के उदाहरण

बहुत से लोगों ने अंकगणितीय प्रगति के बारे में सुना है, लेकिन हर किसी को इसका अच्छा अंदाज़ा नहीं है कि यह क्या है। इस लेख में हम संबंधित परिभाषा देंगे, और अंकगणितीय प्रगति का अंतर कैसे ज्ञात करें, इस प्रश्न पर भी विचार करेंगे और कई उदाहरण देंगे।

गणितीय परिभाषा

इसलिए, यदि हम अंकगणित या बीजगणितीय प्रगति के बारे में बात कर रहे हैं (ये अवधारणाएं एक ही चीज़ को परिभाषित करती हैं), तो इसका मतलब है कि एक निश्चित संख्या श्रृंखला है जो निम्नलिखित कानून को संतुष्ट करती है: श्रृंखला में प्रत्येक दो आसन्न संख्याएं समान मान से भिन्न होती हैं। गणितीय रूप से इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

यहां n का अर्थ अनुक्रम में तत्व a n की संख्या है, और संख्या d प्रगति का अंतर है (इसका नाम प्रस्तुत सूत्र से आता है)।

अंतर जानने का क्या मतलब है? इसके बारे में कि पड़ोसी संख्याएँ एक दूसरे से कितनी "दूर" हैं। हालाँकि, संपूर्ण प्रगति को निर्धारित (पुनर्स्थापित) करने के लिए डी का ज्ञान एक आवश्यक लेकिन पर्याप्त शर्त नहीं है। एक और संख्या जानना जरूरी है, जो विचाराधीन श्रृंखला का बिल्कुल कोई भी तत्व हो सकता है, उदाहरण के लिए, 4, ए10, लेकिन, एक नियम के रूप में, वे पहले नंबर का उपयोग करते हैं, यानी 1।

प्रगति तत्वों के निर्धारण के लिए सूत्र

सामान्य तौर पर, उपरोक्त जानकारी विशिष्ट समस्याओं को हल करने के लिए आगे बढ़ने के लिए पहले से ही पर्याप्त है। फिर भी, अंकगणितीय प्रगति दिए जाने से पहले, और इसका अंतर ज्ञात करना आवश्यक होगा, हम कुछ उपयोगी सूत्र प्रस्तुत करेंगे, जिससे समस्याओं को हल करने की बाद की प्रक्रिया आसान हो जाएगी।

यह दिखाना आसान है कि संख्या n वाले अनुक्रम का कोई भी तत्व निम्नानुसार पाया जा सकता है:

ए एन = ए 1 + (एन - 1) * डी

दरअसल, कोई भी इस सूत्र को सरल खोज द्वारा जांच सकता है: यदि आप n = 1 प्रतिस्थापित करते हैं, तो आपको पहला तत्व मिलता है, यदि आप n = 2 प्रतिस्थापित करते हैं, तो अभिव्यक्ति पहली संख्या और अंतर का योग देती है, और इसी तरह।

कई समस्याओं की स्थितियाँ इस तरह से बनाई गई हैं कि, संख्याओं की एक ज्ञात जोड़ी को देखते हुए, जिनकी संख्याएँ अनुक्रम में भी दी गई हैं, संपूर्ण संख्या श्रृंखला का पुनर्निर्माण करना आवश्यक है (अंतर और पहला तत्व खोजें)। अब हम इस समस्या का समाधान सामान्य रूप में करेंगे।

तो, मान लीजिए संख्या n और m वाले दो तत्व दिए गए हैं। ऊपर प्राप्त सूत्र का उपयोग करके, आप दो समीकरणों की एक प्रणाली बना सकते हैं:

ए एन = ए 1 + (एन - 1) * डी;

ए एम = ए 1 + (एम - 1) * डी

अज्ञात मात्राओं को खोजने के लिए, हम ऐसी प्रणाली को हल करने के लिए एक प्रसिद्ध सरल तकनीक का उपयोग करेंगे: बाएँ और दाएँ पक्षों को जोड़े में घटाएँ, समानता वैध रहेगी। हमारे पास है:

ए एन = ए 1 + (एन - 1) * डी;

ए एन - ए एम = (एन - 1) * डी - (एम - 1) * डी = डी * (एन - एम)

इस प्रकार, हमने एक अज्ञात (ए 1) को बाहर कर दिया है। अब हम d निर्धारित करने के लिए अंतिम अभिव्यक्ति लिख सकते हैं:

डी = (ए एन - ए एम) / (एन - एम), जहां एन > एम

हमें एक बहुत ही सरल सूत्र प्राप्त हुआ: समस्या की स्थितियों के अनुसार अंतर डी की गणना करने के लिए, केवल तत्वों और उनके क्रम संख्या के बीच अंतर का अनुपात लेना आवश्यक है। एक महत्वपूर्ण बिंदु पर ध्यान दिया जाना चाहिए: अंतर "वरिष्ठ" और "कनिष्ठ" सदस्यों के बीच लिया जाता है, अर्थात, n > m ("वरिष्ठ" का अर्थ अनुक्रम की शुरुआत से आगे खड़ा होना है, इसका पूर्ण मूल्य या तो हो सकता है अधिक या कम अधिक "कनिष्ठ" तत्व)।

पहले पद का मान प्राप्त करने के लिए समस्या को हल करने की शुरुआत में अंतर डी प्रगति के लिए अभिव्यक्ति को किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए।

कंप्यूटर प्रौद्योगिकी विकास के हमारे युग में, कई स्कूली बच्चे इंटरनेट पर अपने असाइनमेंट का समाधान खोजने का प्रयास करते हैं, इसलिए अक्सर इस प्रकार के प्रश्न उठते हैं: ऑनलाइन अंकगणितीय प्रगति का अंतर ढूंढें। ऐसे अनुरोध के लिए, खोज इंजन कई वेब पेज लौटाएगा, जिस पर जाकर आपको स्थिति से ज्ञात डेटा दर्ज करना होगा (यह या तो प्रगति के दो पद हो सकते हैं या उनमें से एक निश्चित संख्या का योग हो सकता है) ) और तुरंत उत्तर प्राप्त करें। हालाँकि, समस्या को हल करने का यह दृष्टिकोण छात्र के विकास और उसे सौंपे गए कार्य के सार की समझ के संदर्भ में अनुत्पादक है।

सूत्रों का उपयोग किए बिना समाधान

आइए दिए गए किसी भी सूत्र का उपयोग किए बिना पहली समस्या को हल करें। मान लीजिए श्रृंखला के तत्व दिए गए हैं: a6 = 3, a9 = 18. अंकगणितीय प्रगति का अंतर ज्ञात कीजिए।

ज्ञात तत्व एक पंक्ति में एक दूसरे के करीब खड़े हैं। सबसे बड़ा पाने के लिए अंतर d को सबसे छोटे में कितनी बार जोड़ना होगा? तीन बार (पहली बार d जोड़ने पर, हमें 7वां तत्व मिलता है, दूसरी बार - आठवां, अंत में, तीसरी बार - नौवां)। 18 प्राप्त करने के लिए कौन सी संख्या को तीन में तीन बार जोड़ना होगा? ये पांचवा नंबर है. वास्तव में:

इस प्रकार, अज्ञात अंतर d = 5.

बेशक, समाधान उचित फॉर्मूले का उपयोग करके किया जा सकता था, लेकिन ऐसा जानबूझकर नहीं किया गया। समस्या के समाधान का एक विस्तृत विवरण अंकगणितीय प्रगति क्या है इसका एक स्पष्ट और स्पष्ट उदाहरण बनना चाहिए।

पिछले वाले के समान ही एक कार्य

आइए अब इसी तरह की समस्या का समाधान करें, लेकिन इनपुट डेटा बदलें। तो, आपको पता लगाना चाहिए कि क्या a3 = 2, a9 = 19 है।

बेशक, आप फिर से "हेड-ऑन" समाधान पद्धति का सहारा ले सकते हैं। लेकिन चूंकि श्रृंखला के तत्व दिए गए हैं, जो एक दूसरे से अपेक्षाकृत दूर हैं, इसलिए यह विधि पूरी तरह से सुविधाजनक नहीं होगी। लेकिन परिणामी सूत्र का उपयोग करने से हमें तुरंत उत्तर मिल जाएगा:

डी = (ए 9 - ए 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17/6 ≈ 2.83

यहां हमने अंतिम संख्या को पूर्णांकित कर दिया है। इस पूर्णांकन के कारण किस हद तक त्रुटि हुई, इसका अंदाजा परिणाम की जाँच से लगाया जा सकता है:

ए 9 = ए 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 = 18.98

यह परिणाम शर्त में दिए गए मान से केवल 0.1% भिन्न है। इसलिए, निकटतम सौवें तक प्रयुक्त पूर्णांकन को एक सफल विकल्प माना जा सकता है।

किसी पद के लिए सूत्र लागू करने से जुड़ी समस्याएँ

आइए अज्ञात d को निर्धारित करने के लिए एक समस्या के क्लासिक उदाहरण पर विचार करें: यदि a1 = 12, a5 = 40 है तो अंकगणितीय प्रगति का अंतर ज्ञात करें।

जब किसी अज्ञात बीजगणितीय अनुक्रम की दो संख्याएँ दी गई हों, और उनमें से एक तत्व a 1 हो, तो आपको अधिक समय तक सोचने की आवश्यकता नहीं है, बल्कि तुरंत a n पद के लिए सूत्र लागू करना चाहिए। इस मामले में हमारे पास है:

ए 5 = ए 1 + डी * (5 - 1) => डी = (ए 5 - ए 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

विभाजित करते समय हमें सटीक संख्या प्राप्त हुई, इसलिए गणना किए गए परिणाम की सटीकता की जांच करने का कोई मतलब नहीं है, जैसा कि पिछले पैराग्राफ में किया गया था।

आइए इसी तरह की एक और समस्या हल करें: हमें एक अंकगणितीय प्रगति का अंतर ज्ञात करना होगा यदि a1 = 16, a8 = 37 है।

हम पिछले वाले के समान दृष्टिकोण का उपयोग करते हैं और प्राप्त करते हैं:

ए 8 = ए 1 + डी * (8 - 1) => डी = (ए 8 - ए 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

अंकगणितीय प्रगति के बारे में आपको और क्या जानना चाहिए?

किसी अज्ञात अंतर या व्यक्तिगत तत्वों को खोजने की समस्याओं के अलावा, किसी अनुक्रम के पहले पदों के योग की समस्याओं को हल करना अक्सर आवश्यक होता है। इन समस्याओं पर विचार करना लेख के दायरे से परे है, हालाँकि, जानकारी की पूर्णता के लिए, हम एक श्रृंखला में n संख्याओं के योग के लिए एक सामान्य सूत्र प्रस्तुत करते हैं:

∑ एन आई = 1 (ए आई) = एन * (ए 1 + ए एन) / 2

सूत्र का मुख्य सार क्या है?

यह सूत्र आपको खोजने की अनुमति देता है कोई उसके नंबर से " एन" .

बेशक, आपको पहला पद भी जानना होगा एक 1और प्रगति अंतर डी, ठीक है, इन मापदंडों के बिना आप एक विशिष्ट प्रगति नहीं लिख सकते।

इस सूत्र को याद रखना (या दोहराना) पर्याप्त नहीं है। आपको इसके सार को समझने और विभिन्न समस्याओं में सूत्र को लागू करने की आवश्यकता है। और यह भी कि सही समय पर न भूलें, हाँ...) कैसे भूलना नहीं- मुझें नहीं पता। और यहां कैसे याद रखेंयदि आवश्यक हुआ तो मैं तुम्हें अवश्य सलाह दूँगा। उन लोगों के लिए जो पाठ को अंत तक पूरा करते हैं।)

तो, आइए अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के सूत्र को देखें।

सामान्यतः सूत्र क्या है? वैसे, अगर आपने इसे नहीं पढ़ा है तो देख लें। वहां सब कुछ सरल है. यह पता लगाना बाकी है कि यह क्या है नौवाँ पद.

सामान्यतः प्रगति को संख्याओं की एक श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है:

ए 1, ए 2, ए 3, ए 4, ए 5, ......

एक 1- अंकगणितीय प्रगति के पहले पद को दर्शाता है, एक 3- तीसरा सदस्य, एक 4- चौथा, इत्यादि। यदि हम पांचवें कार्यकाल में रुचि रखते हैं, तो मान लें कि हम साथ काम कर रहे हैं एक 5, यदि एक सौ बीसवाँ - एस एक 120.

हम इसे सामान्य शब्दों में कैसे परिभाषित कर सकते हैं? कोईएक अंकगणितीय प्रगति की अवधि, के साथ कोईसंख्या? बहुत सरल! इस कदर:

एक

यह वही है अंकगणितीय प्रगति का nवाँ पद।अक्षर n सभी सदस्य संख्याओं को एक साथ छुपाता है: 1, 2, 3, 4, इत्यादि।

और ऐसा रिकॉर्ड हमें क्या देता है? जरा सोचिए, उन्होंने एक नंबर की जगह एक पत्र लिख दिया...

यह अंकन हमें अंकगणितीय प्रगति के साथ काम करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण प्रदान करता है। अंकन का उपयोग करना एक, हम जल्दी से पा सकते हैं कोईसदस्य कोईअंकगणितीय प्रगति। और अन्य प्रगति समस्याओं का एक समूह हल करें। आगे आप खुद ही देख लेंगे.

अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के सूत्र में:

एक 1- अंकगणितीय प्रगति का पहला पद;

एन- सदस्य संख्या।

सूत्र किसी भी प्रगति के प्रमुख मापदंडों को जोड़ता है: एक ; ए 1 ; डीऔर एन. प्रगति की सभी समस्याएँ इन्हीं मापदंडों के इर्द-गिर्द घूमती हैं।

nवें पद सूत्र का उपयोग किसी विशिष्ट प्रगति को लिखने के लिए भी किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समस्या यह कह सकती है कि प्रगति शर्त द्वारा निर्दिष्ट है:

ए एन = 5 + (एन-1) 2.

ऐसी समस्या एक गतिरोध हो सकती है... इसमें न तो कोई श्रृंखला है और न ही कोई अंतर... लेकिन, सूत्र के साथ स्थिति की तुलना करने पर, यह समझना आसान है कि इस प्रगति में ए 1 =5, और डी=2.

और यह और भी बुरा हो सकता है!) यदि हम भी वही स्थिति लें: ए एन = 5 + (एन-1) 2,हाँ, कोष्ठक खोलो और समान कोष्ठक लाओ? हमें एक नया सूत्र मिलता है:

ए एन = 3 + 2एन.

यह केवल सामान्य नहीं, बल्कि एक विशिष्ट प्रगति के लिए। यहीं पर ख़तरा छिपा है। कुछ लोग सोचते हैं कि पहला पद तीन है। हालाँकि वास्तव में पहला पद पाँच है... थोड़ा नीचे हम ऐसे संशोधित सूत्र के साथ काम करेंगे।

प्रगति समस्याओं में एक और संकेतन है - ए एन+1. जैसा कि आपने अनुमान लगाया, यह प्रगति का "एन प्लस प्रथम" पद है। इसका अर्थ सरल और हानिरहित है।) यह प्रगति का एक सदस्य है जिसकी संख्या संख्या n से एक अधिक है। उदाहरण के लिए, यदि हम किसी समस्या में लेते हैं एकफिर पाँचवाँ कार्यकाल ए एन+1छठे सदस्य होंगे. वगैरह।

बहुधा पदनाम ए एन+1पुनरावृत्ति सूत्रों में पाया गया. इस डरावने शब्द से डरो मत!) यह अंकगणितीय प्रगति के सदस्य को व्यक्त करने का एक तरीका है पिछले वाले के माध्यम से.मान लीजिए कि हमें आवर्ती सूत्र का उपयोग करके इस रूप में एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है:

ए एन+1 = ए एन +3

ए 2 = ए 1 + 3 = 5+3 = 8

ए 3 = ए 2 + 3 = 8+3 = 11

चौथा - तीसरे के माध्यम से, पाँचवाँ - चौथे के माध्यम से, और इसी तरह। हम बीसवें पद को तुरंत कैसे गिन सकते हैं? एक 20? लेकिन कोई रास्ता नहीं है!) जब तक हमें 19वाँ ​​पद नहीं मिल जाता, हम 20वाँ पद नहीं गिन सकते। यह आवर्ती सूत्र और nवें पद के सूत्र के बीच मूलभूत अंतर है। आवर्ती के माध्यम से ही कार्य करता है पहले कापद, और nवें पद का सूत्र है पहलाऔर अनुमति देता है तुरंतकिसी भी सदस्य को उसके नंबर से खोजें। क्रम में संख्याओं की पूरी श्रृंखला की गणना किए बिना।

अंकगणितीय प्रगति में, आवर्ती सूत्र को नियमित सूत्र में बदलना आसान है। लगातार पदों की एक जोड़ी गिनें, अंतर की गणना करें डी,यदि आवश्यक हो, तो पहला पद खोजें एक 1, सूत्र को उसके सामान्य रूप में लिखें, और उसके साथ काम करें। राज्य विज्ञान अकादमी में अक्सर ऐसे कार्य सामने आते हैं।

अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के लिए सूत्र का अनुप्रयोग।

सबसे पहले, आइए सूत्र के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग को देखें। पिछले पाठ के अंत में एक समस्या थी:

एक अंकगणितीय प्रगति (a n) दी गई है। यदि 1 =3 और d=1/6 है तो 121 ज्ञात कीजिए।

इस समस्या को बिना किसी सूत्र के, केवल अंकगणितीय प्रगति के अर्थ के आधार पर हल किया जा सकता है। जोड़ें और जोड़ें... एक या दो घंटे।)

और फॉर्मूले के मुताबिक समाधान में एक मिनट से भी कम समय लगेगा. आप इसे समयबद्ध कर सकते हैं।) आइए निर्णय लें।

शर्तें सूत्र का उपयोग करने के लिए सभी डेटा प्रदान करती हैं: ए 1 =3, डी=1/6.यह पता लगाना बाकी है कि बराबर क्या है एन।कोई बात नहीं! हमें खोजने की जरूरत है एक 121. तो हम लिखते हैं:

कृपया ध्यान दीजिए! एक सूचकांक के बजाय एनएक विशिष्ट संख्या दिखाई दी: 121. जो काफी तार्किक है।) हम अंकगणितीय प्रगति के सदस्य में रुचि रखते हैं एक सौ इक्कीस नंबर.ये हमारा होगा एन।यही मतलब है एन= 121 हम आगे सूत्र में कोष्ठक में स्थानापन्न करेंगे। हम सभी संख्याओं को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और गणना करते हैं:

ए 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

इतना ही। उतनी ही तेजी से कोई पांच सौ दसवां पद, और हजार तीसरा, कोई भी पा सकता है। हम इसके बजाय डालते हैं एनअक्षर की अनुक्रमणिका में वांछित संख्या " ए"और कोष्ठक में, और हम गिनते हैं।

मैं आपको बात याद दिला दूं: यह सूत्र आपको खोजने की अनुमति देता है कोईअंकगणितीय प्रगति पद उसके नंबर से " एन" .

आइए समस्या को और अधिक चालाकी से हल करें। आइए निम्नलिखित समस्या से परिचित हों:

अंकगणितीय प्रगति (a n) का पहला पद ज्ञात कीजिए, यदि a 17 =-2; d=-0.5.

यदि आपको कोई कठिनाई हो तो मैं आपको पहला कदम बताऊंगा। एक अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के लिए सूत्र लिखिए!हां हां। अपने हाथों से लिखें, सीधे अपनी नोटबुक में:

और अब, सूत्र के अक्षरों को देखकर, हम समझते हैं कि हमारे पास कौन सा डेटा है और क्या गायब है? उपलब्ध d=-0.5,सत्रहवाँ सदस्य है... क्या यही है? यदि आप सोचते हैं कि बस इतना ही, तो आप समस्या का समाधान नहीं कर पाएंगे, हाँ...

हमारे पास अभी भी एक नंबर है एन! इस शर्त ए 17 =-2छिपा हुआ दो पैरामीटर.यह सत्रहवें पद (-2) और उसकी संख्या (17) दोनों का मान है। वे। एन=17.यह "ट्रिफ़ल" अक्सर सिर के पीछे से निकल जाता है, और इसके बिना, ("ट्रिफ़ल" के बिना, सिर नहीं!) समस्या का समाधान नहीं किया जा सकता है। हालाँकि... और बिना सिर के भी।)

अब हम मूर्खतापूर्ण ढंग से अपने डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

ए 17 = ए 1 + (17-1)·(-0.5)

ओह हां, एक 17हम जानते हैं कि यह -2 है। ठीक है, आइए प्रतिस्थापित करें:

-2 = ए 1 + (17-1)·(-0.5)

मूलतः बस इतना ही। यह सूत्र से अंकगणितीय प्रगति के पहले पद को व्यक्त करने और उसकी गणना करने के लिए बना हुआ है। उत्तर होगा: ए 1 = 6.

यह तकनीक - एक सूत्र लिखना और ज्ञात डेटा को बस प्रतिस्थापित करना - सरल कार्यों में एक बड़ी मदद है। बेशक, आपको एक सूत्र से एक चर को व्यक्त करने में सक्षम होना चाहिए, लेकिन क्या करें!? इस कौशल के बिना, गणित का अध्ययन बिल्कुल भी नहीं किया जा सकता है...

एक और लोकप्रिय पहेली:

अंकगणितीय प्रगति (a n) का अंतर ज्ञात करें, यदि a 1 =2; ए 15 =12.

हम क्या कर रहे हैं? आपको आश्चर्य होगा, हम सूत्र लिख रहे हैं!)

आइए विचार करें कि हम क्या जानते हैं: ए 1 =2; ए 15 =12; और (मैं विशेष रूप से प्रकाश डालूँगा!) एन=15. बेझिझक इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

12=2 + (15-1)डी

हम अंकगणित करते हैं।)

12=2 + 14 दिन

डी=10/14 = 5/7

यह सही जवाब है।

तो, के लिए कार्य ए एन, ए 1और डीफैसला किया। जो कुछ बचा है वह यह सीखना है कि संख्या कैसे ज्ञात करें:

संख्या 99 अंकगणितीय प्रगति (ए एन) का सदस्य है, जहां 1 =12; घ=3. इस सदस्य का नंबर ढूंढें.

हम ज्ञात मात्राओं को nवें पद के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

ए एन = 12 + (एन-1) 3

पहली नज़र में, यहाँ दो अज्ञात मात्राएँ हैं: ए एन और एन.लेकिन एक- यह एक संख्या के साथ प्रगति का कुछ सदस्य है एन...और हम प्रगति के इस सदस्य को जानते हैं! यह 99 है। हम इसकी संख्या नहीं जानते। एन,तो यह संख्या वह है जिसे आपको खोजने की आवश्यकता है। हम प्रगति 99 के पद को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

99 = 12 + (एन-1) 3

हम सूत्र से व्यक्त करते हैं एन, हमें लगता है कि। हमें उत्तर मिलता है: एन=30.

और अब उसी विषय पर एक समस्या, लेकिन अधिक रचनात्मक):

निर्धारित करें कि क्या संख्या 117 अंकगणितीय प्रगति (ए एन) का सदस्य है:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

चलिए फिर से सूत्र लिखते हैं. क्या, कोई पैरामीटर नहीं हैं? हम्म... हमें आंखें क्यों दी गई हैं?) क्या हम प्रगति का पहला पद देखते हैं? हम देखते हैं। यह -3.6 है. आप सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं: ए 1 = -3.6.अंतर डीक्या आप श्रृंखला से बता सकते हैं? यदि आप जानते हैं कि अंकगणितीय प्रगति का अंतर क्या है तो यह आसान है:

डी = -2.4 - (-3.6) = 1.2

तो, हमने सबसे सरल काम किया। अज्ञात नंबर से निपटना बाकी है एनऔर समझ से परे संख्या 117। पिछली समस्या में, कम से कम यह ज्ञात था कि यह प्रगति का पद था जो दिया गया था। लेकिन यहाँ तो हमें पता ही नहीं... क्या करें!? खैर, कैसे बनें, कैसे बनें... अपनी रचनात्मक क्षमताओं को चालू करें!)

हम कल्पना करनावह 117, आख़िरकार, हमारी प्रगति का एक सदस्य है। एक अज्ञात नंबर के साथ एन. और, पिछली समस्या की तरह, आइए इस संख्या को खोजने का प्रयास करें। वे। हम सूत्र लिखते हैं (हाँ, हाँ!)) और अपनी संख्याएँ प्रतिस्थापित करते हैं:

117 = -3.6 + (एन-1) 1.2

पुनः हम सूत्र से व्यक्त करते हैंएन, हम गिनते हैं और प्राप्त करते हैं:

उफ़! नंबर निकला आंशिक!एक सौ डेढ़. और भिन्नात्मक संख्याएँ प्रगति में हैं हो नहीं सकता।हम क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं? हाँ! संख्या 117 क्या नहीं हैहमारी प्रगति का सदस्य. यह एक सौ पहले और एक सौ दूसरे शब्दों के बीच कहीं है। यदि संख्या प्राकृतिक निकली, अर्थात्। एक धनात्मक पूर्णांक है, तो संख्या पाई गई संख्या के साथ प्रगति का सदस्य होगी। और हमारे मामले में, समस्या का उत्तर होगा: नहीं।

GIA के वास्तविक संस्करण पर आधारित एक कार्य:

एक अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है:

ए एन = -4 + 6.8एन

प्रगति के पहले और दसवें पद ज्ञात कीजिए।

यहां प्रगति को असामान्य तरीके से निर्धारित किया गया है। किसी प्रकार का सूत्र... ऐसा होता है।) हालाँकि, यह सूत्र (जैसा कि मैंने ऊपर लिखा है) - अंकगणितीय प्रगति के nवें पद का सूत्र भी!वह इजाजत भी देती है प्रगति के किसी भी सदस्य को उसकी संख्या से खोजें।

हम पहले सदस्य की तलाश कर रहे हैं. जो सोचता है. यह कि पहला पद शून्य से चार है, घातक रूप से गलत है!) क्योंकि समस्या में सूत्र संशोधित है। इसमें अंकगणितीय प्रगति का पहला पद छिपा हुआ।यह ठीक है, हम इसे अभी ढूंढ लेंगे।)

पिछली समस्याओं की तरह, हम स्थानापन्न करते हैं एन=1इस सूत्र में:

ए 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8

यहाँ! पहला पद 2.8 है, -4 नहीं!

हम दसवें पद को इसी प्रकार देखते हैं:

ए 10 = -4 + 6.8 10 = 64

इतना ही।

और अब, उन लोगों के लिए जिन्होंने इन पंक्तियों को पढ़ा है, वादा किया गया बोनस।)

मान लीजिए, राज्य परीक्षा या एकीकृत राज्य परीक्षा की कठिन स्थिति में, आप अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के लिए उपयोगी सूत्र भूल गए हैं। मुझे कुछ याद है, लेकिन किसी तरह अनिश्चित रूप से... या एनवहाँ, या n+1, या एन-1...हो कैसे!?

शांत! यह सूत्र प्राप्त करना आसान है. यह बहुत सख्त नहीं है, लेकिन यह आत्मविश्वास और सही निर्णय के लिए निश्चित रूप से पर्याप्त है!) निष्कर्ष निकालने के लिए, अंकगणितीय प्रगति के प्रारंभिक अर्थ को याद रखना और कुछ मिनटों का समय पर्याप्त है। आपको बस एक चित्र बनाना है. विस्तृत जानकारी के लिए।

एक संख्या रेखा खींचिए और उस पर पहली रेखा अंकित कीजिए। दूसरा, तीसरा, आदि सदस्य. और हम अंतर नोट करते हैं डीसदस्यों के बीच. इस कदर:

हम चित्र को देखते हैं और सोचते हैं: दूसरा पद किसके बराबर है? दूसरा एक डी:

ए 2 =ए 1 + 1 डी

तीसरा पद क्या है? तीसरापद प्रथम पद प्लस के बराबर है दो डी.

ए 3 =ए 1 + 2 डी

आपको समझ आया? यह अकारण नहीं है कि मैं कुछ शब्दों को मोटे अक्षरों में उजागर करता हूँ। ठीक है, एक और कदम)।

चौथा पद क्या है? चौथीपद प्रथम पद प्लस के बराबर है तीन डी.

ए 4 =ए 1 + 3 डी

यह समझने का समय आ गया है कि अंतरालों की संख्या, अर्थात्। डी, हमेशा आप जिस सदस्य की तलाश कर रहे हैं उसकी संख्या से एक कम एन. यानी संख्या को n, रिक्त स्थान की संख्याइच्छा एन-1.इसलिए, सूत्र होगा (बिना किसी बदलाव के!):

सामान्य तौर पर, दृश्य चित्र गणित की कई समस्याओं को हल करने में बहुत सहायक होते हैं। चित्रों की उपेक्षा न करें. लेकिन अगर चित्र बनाना मुश्किल है, तो... केवल एक सूत्र!) इसके अलावा, nवें पद का सूत्र आपको गणित के संपूर्ण शक्तिशाली शस्त्रागार को समाधान से जोड़ने की अनुमति देता है - समीकरण, असमानताएं, सिस्टम, आदि। आप समीकरण में कोई चित्र सम्मिलित नहीं कर सकते...

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य।

तैयारी करना # तैयार होना:

1. अंकगणितीय प्रगति में (ए एन) ए 2 =3; ए 5 =5.1. एक 3 खोजें.

संकेत: चित्र के अनुसार, समस्या को 20 सेकंड में हल किया जा सकता है... सूत्र के अनुसार, यह अधिक कठिन हो जाता है। लेकिन सूत्र में महारत हासिल करने के लिए, यह अधिक उपयोगी है।) धारा 555 में, इस समस्या को चित्र और सूत्र दोनों का उपयोग करके हल किया गया है। फर्क महसूस करो!)

और यह अब वार्म-अप नहीं है।)

2. अंकगणितीय प्रगति में (ए एन) ए 85 =19.1; a 236 =49, 3. a 3 खोजें।

क्या, आप चित्र नहीं बनाना चाहते?) बिल्कुल! सूत्र के अनुसार बेहतर, हाँ...

3. अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है:ए 1 = -5.5; ए एन+1 = ए एन +0.5. इस प्रगति का एक सौ पच्चीसवाँ पद ज्ञात कीजिए।

इस कार्य में, प्रगति को आवर्ती तरीके से निर्दिष्ट किया जाता है। लेकिन एक सौ पच्चीसवें पद तक गिनती करते हुए... हर कोई ऐसी उपलब्धि हासिल करने में सक्षम नहीं है।) लेकिन एनवें पद का सूत्र हर किसी के वश में है!

4. एक अंकगणितीय प्रगति (a n) दी गई है:

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

प्रगति के सबसे छोटे सकारात्मक पद की संख्या ज्ञात कीजिए।

5. कार्य 4 की शर्तों के अनुसार, प्रगति के सबसे छोटे सकारात्मक और सबसे बड़े नकारात्मक शब्दों का योग ज्ञात कीजिए।

6. बढ़ती अंकगणितीय प्रगति के पांचवें और बारहवें पदों का गुणनफल -2.5 के बराबर है, और तीसरे और ग्यारहवें पदों का योग शून्य के बराबर है। एक 14 खोजें.

सबसे आसान काम नहीं, हां...) "उंगलियों की नोक" विधि यहां काम नहीं करेगी। आपको सूत्र लिखने होंगे और समीकरण हल करने होंगे।

उत्तर (अव्यवस्था में):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

घटित? यह अच्छा है!)

सब कुछ काम नहीं करता? ह ाेती है। वैसे आखिरी टास्क में एक सूक्ष्म बात है. समस्या पढ़ते समय सावधानी की आवश्यकता होगी। और तर्क.

इन सभी समस्याओं के समाधान पर धारा 555 में विस्तार से चर्चा की गई है। और चौथे के लिए कल्पना का तत्व, और छठे के लिए सूक्ष्म बिंदु, और एनवें पद के सूत्र से जुड़ी किसी भी समस्या को हल करने के लिए सामान्य दृष्टिकोण - सब कुछ वर्णित है। मेरा सुझाव है।

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वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

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आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

अंकगणितीय प्रगति का योग.

अंकगणितीय प्रगति का योग एक साधारण बात है। अर्थ और सूत्र दोनों में. लेकिन इस विषय पर सभी प्रकार के कार्य हैं। बुनियादी से लेकर काफी ठोस तक.

सबसे पहले राशि का अर्थ और सूत्र समझते हैं। और फिर हम फैसला करेंगे. आपकी अपनी खुशी के लिए।) राशि का अर्थ एक मू जितना सरल है। किसी अंकगणितीय प्रगति का योग ज्ञात करने के लिए, आपको बस उसके सभी पदों को सावधानीपूर्वक जोड़ना होगा। यदि ये पद कम हैं, तो आप बिना किसी सूत्र के जोड़ सकते हैं। लेकिन अगर बहुत कुछ है, या बहुत... जोड़ना कष्टप्रद है।) इस मामले में, सूत्र बचाव में आता है।

राशि का सूत्र सरल है:

आइए जानें कि सूत्र में किस प्रकार के अक्षर शामिल हैं। इससे काफी कुछ चीजें साफ हो जाएंगी.

एस एन - अंकगणितीय प्रगति का योग। अतिरिक्त परिणाम सब लोगसदस्यों, के साथ पहलाद्वारा अंतिम।क्या यह महत्वपूर्ण है। वे बिल्कुल जोड़ते हैं सभीसदस्यों को एक पंक्ति में, बिना छोड़े या छोड़े। और, ठीक है, से शुरू हो रहा है पहला।तीसरे और आठवें पदों का योग, या पाँचवें से बीसवें पदों का योग ज्ञात करने जैसी समस्याओं में, सूत्र का सीधा प्रयोग निराश करेगा।)

एक 1 - पहलाप्रगति का सदस्य. यहां सब कुछ स्पष्ट है, सरल है पहलापंक्ति नंबर।

एक- अंतिमप्रगति का सदस्य. शृंखला का अंतिम अंक. यह बहुत परिचित नाम नहीं है, लेकिन जब इसे राशि पर लागू किया जाए तो यह बहुत उपयुक्त है। फिर आप खुद ही देख लेंगे.

एन - अंतिम सदस्य की संख्या. यह समझना जरूरी है कि सूत्र में यह संख्या है जोड़े गए शब्दों की संख्या के साथ मेल खाता है।

आइए अवधारणा को परिभाषित करें अंतिमसदस्य एक. पेचीदा सवाल: कौन सा सदस्य होगा? अंतिम एकयदि दिया गया अनंतअंकगणितीय प्रगति?)

आत्मविश्वास से उत्तर देने के लिए, आपको अंकगणितीय प्रगति के प्रारंभिक अर्थ को समझने की आवश्यकता है और... कार्य को ध्यान से पढ़ें!)

अंकगणितीय प्रगति का योग ज्ञात करने के कार्य में, अंतिम पद हमेशा प्रकट होता है (प्रत्यक्ष या अप्रत्यक्ष रूप से), जो सीमित होना चाहिए.अन्यथा, एक अंतिम, विशिष्ट राशि बस अस्तित्व में नहीं है.समाधान के लिए, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि प्रगति दी गई है: परिमित या अनंत। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह कैसे दिया गया है: संख्याओं की एक श्रृंखला, या nवें पद के लिए एक सूत्र।

सबसे महत्वपूर्ण बात यह समझना है कि सूत्र प्रगति के पहले पद से लेकर संख्या वाले पद तक काम करता है एन।दरअसल, सूत्र का पूरा नाम इस तरह दिखता है: अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग।इन सबसे पहले सदस्यों की संख्या, यानी एन, केवल कार्य द्वारा निर्धारित होता है। किसी कार्य में, यह सारी बहुमूल्य जानकारी अक्सर एन्क्रिप्ट की जाती है, हाँ... लेकिन कोई बात नहीं, नीचे दिए गए उदाहरणों में हम इन रहस्यों को उजागर करते हैं।)

अंकगणितीय प्रगति के योग पर कार्यों के उदाहरण।

सबसे पहले, उपयोगी जानकारी:

अंकगणितीय प्रगति के योग से जुड़े कार्यों में मुख्य कठिनाई सूत्र के तत्वों के सही निर्धारण में निहित है।

कार्य लेखक असीम कल्पना के साथ इन्हीं तत्वों को एन्क्रिप्ट करते हैं।) यहां मुख्य बात डरने की नहीं है। तत्वों के सार को समझना, उन्हें समझना ही काफी है। आइए कुछ उदाहरणों को विस्तार से देखें। आइए वास्तविक GIA पर आधारित एक कार्य से शुरुआत करें।

1. अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है: a n = 2n-3.5। इसके प्रथम 10 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

अच्छा काम। आसान।) सूत्र का उपयोग करके राशि निर्धारित करने के लिए, हमें क्या जानने की आवश्यकता है? प्रथम सदस्य एक 1, पिछला कार्यकाल एक, हाँ अंतिम सदस्य की संख्या एन।

मुझे अंतिम सदस्य का नंबर कहां मिल सकता है? एन? हाँ, वहीं, शर्त पर! यह कहता है: योग ज्ञात करो पहले 10 सदस्य.अच्छा, यह किस नंबर का होगा? अंतिम,दसवां सदस्य?) आप विश्वास नहीं करेंगे, उसका नंबर दसवां है!) इसलिए, के बजाय एकहम सूत्र में स्थानापन्न करेंगे एक 10, और इसके बजाय एन- दस। मैं दोहराता हूं, अंतिम सदस्य की संख्या सदस्यों की संख्या से मेल खाती है।

यह तय करना बाकी है एक 1और एक 10. इसकी गणना nवें पद के सूत्र का उपयोग करके आसानी से की जाती है, जो समस्या विवरण में दिया गया है। यह नहीं जानते कि यह कैसे करें? पिछले पाठ में भाग लें, इसके बिना कोई रास्ता नहीं है।

एक 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

एक 10=2·10 - 3.5 =16.5

एस एन = एस 10.

हमने अंकगणितीय प्रगति के योग के लिए सूत्र के सभी तत्वों का अर्थ पता लगा लिया है। जो कुछ बचा है वह उन्हें प्रतिस्थापित करना और गिनना है:

इतना ही। उत्तर: 75.

जीआईए पर आधारित एक अन्य कार्य। थोड़ा और जटिल:

2. एक अंकगणितीय प्रगति (a n) दी गई है, जिसका अंतर 3.7 है; ए 1 =2.3. इसके प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

हम तुरंत योग सूत्र लिखते हैं:

यह सूत्र हमें किसी भी पद का मान उसकी संख्या से ज्ञात करने की अनुमति देता है। हम एक सरल प्रतिस्थापन की तलाश में हैं:

ए 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

अंकगणितीय प्रगति के योग के लिए सूत्र में सभी तत्वों को प्रतिस्थापित करना और उत्तर की गणना करना बाकी है:

उत्तर: 423.

वैसे, अगर इसके बजाय योग सूत्र में एकहम बस nवें पद के लिए सूत्र प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

आइए हम समान सूत्र प्रस्तुत करें और अंकगणितीय प्रगति के पदों के योग के लिए एक नया सूत्र प्राप्त करें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यहां nवें पद की आवश्यकता नहीं है एक. कुछ समस्याओं में ये फॉर्मूला बहुत मदद करता है, हां... आप इस फॉर्मूले को याद रख सकते हैं. या आप इसे यहाँ की तरह, सही समय पर आसानी से प्रदर्शित कर सकते हैं। आख़िरकार, आपको योग का सूत्र और nवें पद का सूत्र हमेशा याद रखना होगा।)

अब कार्य संक्षिप्त एन्क्रिप्शन के रूप में):

3. उन सभी सकारात्मक दो अंकों की संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो तीन के गुणज हैं।

बहुत खूब! न आपका पहला सदस्य, न आपका अंतिम, न ही कोई प्रगति... कैसे जियें!?

आपको अपने दिमाग से सोचना होगा और स्थिति से अंकगणितीय प्रगति के योग के सभी तत्वों को बाहर निकालना होगा। हम जानते हैं कि दो अंकीय संख्याएँ क्या होती हैं। इनमें दो संख्याएं होती हैं।) दो अंकों वाली संख्या कौन सी होगी पहला? 10, संभवतः।) ए आखिरी बातदोहरे अंक वाली संख्या? निःसंदेह, 99! तीन अंक वाले उसका अनुसरण करेंगे...

तीन के गुणज... हम्म... ये वे संख्याएँ हैं जो यहाँ तीन से विभाज्य हैं! दस तीन से विभाज्य नहीं है, 11 विभाज्य नहीं है... 12... विभाज्य है! तो, कुछ तो उभर रहा है. आप समस्या की स्थितियों के अनुसार पहले से ही एक श्रृंखला लिख ​​सकते हैं:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

क्या यह श्रृंखला एक अंकगणितीय प्रगति होगी? निश्चित रूप से! प्रत्येक पद पिछले एक से सख्ती से तीन से भिन्न होता है। यदि आप किसी पद में 2 या 4 जोड़ते हैं, तो परिणाम कहें, अर्थात। नई संख्या अब 3 से विभाज्य नहीं है। आप तुरंत अंकगणितीय प्रगति का अंतर निर्धारित कर सकते हैं: डी = 3.यह सुविधाजनक होगा!)

इसलिए, हम कुछ प्रगति मापदंडों को सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं:

संख्या क्या होगी? एनअंतिम सदस्य? जो कोई भी यह सोचता है कि 99, वह बुरी तरह गलत है... संख्याएँ हमेशा एक पंक्ति में चलती हैं, लेकिन हमारे सदस्य तीन से आगे निकल जाते हैं। वे मेल नहीं खाते.

यहां दो समाधान हैं. एक रास्ता अति परिश्रमी लोगों के लिए है। आप प्रगति, संख्याओं की पूरी श्रृंखला लिख ​​सकते हैं, और अपनी उंगली से सदस्यों की संख्या गिन सकते हैं।) दूसरा तरीका विचारशील लोगों के लिए है। आपको nवें पद का सूत्र याद रखना होगा। यदि हम अपनी समस्या पर सूत्र लागू करते हैं, तो हम पाते हैं कि 99 प्रगति का तीसवां पद है। वे। एन = 30.

आइए अंकगणितीय प्रगति के योग के सूत्र को देखें:

हम देखते हैं और आनंदित होते हैं।) हमने समस्या विवरण से राशि की गणना करने के लिए आवश्यक सभी चीजें निकाल लीं:

एक 1= 12.

एक 30= 99.

एस एन = एस 30.

जो कुछ बचा है वह प्रारंभिक अंकगणित है। हम संख्याओं को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और गणना करते हैं:

उत्तर: 1665

अन्य प्रकार की लोकप्रिय पहेली:

4. एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

बीसवें से चौंतीसवें तक पदों का योग ज्ञात कीजिए।

हम राशि के लिए सूत्र देखते हैं और... हम परेशान हो जाते हैं।) सूत्र, मैं आपको याद दिला दूं, राशि की गणना करता है पहले सेसदस्य। और समस्या में आपको योग की गणना करने की आवश्यकता है बीसवीं सदी से...फॉर्मूला काम नहीं करेगा.

बेशक, आप संपूर्ण प्रगति को एक श्रृंखला में लिख सकते हैं, और 20 से 34 तक पद जोड़ सकते हैं। लेकिन... यह किसी तरह से बेवकूफी है और इसमें लंबा समय लगता है, है ना?)

एक और अधिक सुंदर समाधान है. आइए अपनी श्रृंखला को दो भागों में विभाजित करें। पहला भाग होगा पहले कार्यकाल से उन्नीसवें तक.दूसरा हिस्सा - बीस से चौंतीस तक.यदि हम पहले भाग के पदों के योग की गणना करें तो यह स्पष्ट है एस 1-19, आइए इसे दूसरे भाग की शर्तों के योग के साथ जोड़ें एस 20-34, हमें पहले पद से चौंतीसवें तक की प्रगति का योग मिलता है एस 1-34. इस कदर:

एस 1-19 + एस 20-34 = एस 1-34

इससे हम देख सकते हैं कि योग ज्ञात कीजिए एस 20-34साधारण घटाव द्वारा किया जा सकता है

एस 20-34 = एस 1-34 - एस 1-19

दाहिनी ओर की दोनों राशियों पर विचार किया जाता है पहले सेसदस्य, यानी मानक योग सूत्र उन पर काफी लागू होता है। आएँ शुरू करें?

हम समस्या कथन से प्रगति पैरामीटर निकालते हैं:

डी = 1.5.

एक 1= -21,5.

पहले 19 और पहले 34 पदों का योग निकालने के लिए हमें 19वें और 34वें पदों की आवश्यकता होगी। हम nवें पद के सूत्र का उपयोग करके उनकी गणना करते हैं, जैसा कि समस्या 2 में है:

एक 19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5

एक 34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28

कुछ नहीं बचा है। 34 पदों के योग में से 19 पदों का योग घटाएँ:

एस 20-34 = एस 1-34 - एस 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

उत्तर: 262.5

एक महत्वपूर्ण नोट! इस समस्या के समाधान के लिए एक बहुत ही उपयोगी ट्रिक है। प्रत्यक्ष गणना के बजाय आपको क्या चाहिए (एस 20-34),हमने गिना कुछ ऐसा जिसकी आवश्यकता प्रतीत नहीं होती - एस 1-19।और फिर उन्होंने निश्चय किया एस 20-34, संपूर्ण परिणाम से अनावश्यक को हटा देना। इस प्रकार का "कानों से बोलना" अक्सर आपको बुरी समस्याओं में बचाता है।)

इस पाठ में हमने उन समस्याओं पर ध्यान दिया जिनके लिए अंकगणितीय प्रगति के योग का अर्थ समझना पर्याप्त है। खैर, आपको कुछ सूत्र जानने की जरूरत है।)

प्रायोगिक उपकरण:

अंकगणितीय प्रगति के योग से संबंधित किसी भी समस्या को हल करते समय, मैं इस विषय से तुरंत दो मुख्य सूत्र लिखने की सलाह देता हूं।

nवें पद के लिए सूत्र:

ये सूत्र आपको तुरंत बता देंगे कि समस्या को हल करने के लिए क्या देखना है और किस दिशा में सोचना है। मदद करता है।

और अब स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य।

5. उन सभी दो अंकों की संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो तीन से विभाज्य नहीं हैं।

बढ़िया?) संकेत समस्या 4 के नोट में छिपा है। खैर, समस्या 3 मदद करेगी।

6. अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है: a 1 = -5.5; ए एन+1 = ए एन +0.5. इसके प्रथम 24 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

असामान्य?) यह एक आवर्ती सूत्र है. आप इसके बारे में पिछले पाठ में पढ़ सकते हैं। लिंक को नजरअंदाज न करें, स्टेट एकेडमी ऑफ साइंसेज में अक्सर ऐसी समस्याएं पाई जाती हैं।

7. वास्या ने छुट्टियों के लिए पैसे बचाए। 4550 रूबल जितना! और मैंने अपने पसंदीदा व्यक्ति (खुद को) को कुछ दिनों की खुशी देने का फैसला किया)। अपने आप को किसी भी चीज से वंचित किए बिना खूबसूरती से जिएं। पहले दिन 500 रूबल खर्च करें, और प्रत्येक अगले दिन पिछले दिन से 50 रूबल अधिक खर्च करें! जब तक पैसा ख़त्म न हो जाये. वास्या को कितने दिनों की ख़ुशी मिली?

क्या यह कठिन है?) समस्या 2 से अतिरिक्त सूत्र मदद करेगा।

उत्तर (अव्यवस्थित): 7, 3240, 6.

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आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। त्वरित सत्यापन के साथ परीक्षण। आइए जानें - रुचि के साथ!)

आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

यदि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए एन एक वास्तविक संख्या का मिलान करें एक , तो वे कहते हैं कि दिया गया है संख्या क्रम :

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . , एक , . . . .

तो, संख्या अनुक्रम प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है।

संख्या ए 1 बुलाया अनुक्रम का पहला पद , संख्या ए 2 — अनुक्रम का दूसरा पद , संख्या ए 3 — तीसरा और इसी तरह। संख्या एक बुलाया अनुक्रम का nवाँ सदस्य , और एक प्राकृतिक संख्या एन — उसका नंबर .

दो निकटवर्ती सदस्यों से एक और एक +1 अनुक्रम सदस्य एक +1 बुलाया बाद का (की ओर एक ), ए एक — पहले का (की ओर एक +1 ).

अनुक्रम को परिभाषित करने के लिए, आपको एक विधि निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है जो आपको किसी भी संख्या के साथ अनुक्रम के सदस्य को ढूंढने की अनुमति देती है।

अक्सर अनुक्रम का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जाता है nवाँ पद सूत्र , अर्थात्, एक सूत्र जो आपको अनुक्रम के एक सदस्य को उसकी संख्या से निर्धारित करने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए,

सूत्र द्वारा सकारात्मक विषम संख्याओं का अनुक्रम दिया जा सकता है

एक= 2एन- 1,

और प्रत्यावर्तन का क्रम 1 और -1 - सूत्र

बीएन = (-1)एन +1 . ◄

क्रम निर्धारित किया जा सकता है आवर्तक सूत्र, यानी, एक सूत्र जो अनुक्रम के किसी भी सदस्य को, कुछ से शुरू करके, पिछले (एक या अधिक) सदस्यों के माध्यम से व्यक्त करता है।

उदाहरण के लिए,

अगर ए 1 = 1 , ए एक +1 = एक + 5

ए 1 = 1,

ए 2 = ए 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ए 3 = ए 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ए 4 = ए 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ए 5 = ए 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

अगर एक 1= 1, एक 2 = 1, एक +2 = एक + एक +1 , तब संख्यात्मक अनुक्रम के पहले सात पद निम्नानुसार स्थापित किए जाते हैं:

एक 1 = 1,

एक 2 = 1,

एक 3 = एक 1 + एक 2 = 1 + 1 = 2,

एक 4 = एक 2 + एक 3 = 1 + 2 = 3,

एक 5 = एक 3 + एक 4 = 2 + 3 = 5,

ए 6 = ए 4 + ए 5 = 3 + 5 = 8,

ए 7 = ए 5 + ए 6 = 5 + 8 = 13. ◄

अनुक्रम हो सकते हैं अंतिम और अनंत .

अनुक्रम कहा जाता है अंतिम , यदि इसमें सदस्यों की संख्या सीमित है। अनुक्रम कहा जाता है अनंत , यदि इसमें अपरिमित रूप से अनेक सदस्य हों।

उदाहरण के लिए,

दो अंकों वाली प्राकृतिक संख्याओं का क्रम:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

अंतिम।

अभाज्य संख्याओं का क्रम:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

अनंत। ◄

अनुक्रम कहा जाता है की बढ़ती , यदि इसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले वाले से बड़ा है।

अनुक्रम कहा जाता है घटते , यदि इसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले वाले से छोटा है।

उदाहरण के लिए,

2, 4, 6, 8, . . . , 2एन, . . . — बढ़ता क्रम;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /एन, . . . -घटता क्रम. ◄

वह अनुक्रम जिसके तत्वों की संख्या बढ़ने पर घटती नहीं है, या, इसके विपरीत, बढ़ती नहीं है, कहलाता है नीरस क्रम .

मोनोटोनिक अनुक्रम, विशेष रूप से, बढ़ते क्रम और घटते क्रम हैं।

अंकगणितीय प्रगति

अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले वाले के बराबर होता है, जिसमें वही संख्या जोड़ी जाती है।

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . , एक, . . .

यदि किसी प्राकृत संख्या के लिए यह एक अंकगणितीय प्रगति है एन शर्त पूरी होती है:

एक +1 = एक + डी,

कहाँ डी - एक निश्चित संख्या.

इस प्रकार, किसी दिए गए अंकगणितीय प्रगति के अगले और पिछले पदों के बीच का अंतर हमेशा स्थिर रहता है:

एक 2 - ए 1 = एक 3 - ए 2 = . . . = एक +1 - एक = डी.

संख्या डी बुलाया अंकगणितीय प्रगति का अंतर.

एक अंकगणितीय प्रगति को परिभाषित करने के लिए, इसके पहले पद और अंतर को इंगित करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए,

अगर ए 1 = 3, डी = 4 , तो हम अनुक्रम के पहले पांच पद इस प्रकार पाते हैं:

एक 1 =3,

एक 2 = एक 1 + डी = 3 + 4 = 7,

एक 3 = एक 2 + डी= 7 + 4 = 11,

एक 4 = एक 3 + डी= 11 + 4 = 15,

ए 5 = ए 4 + डी= 15 + 4 = 19. ◄

पहले पद के साथ अंकगणितीय प्रगति के लिए ए 1 और अंतर डी उसकी एन

एक = एक 1 + (एन- 1)डी।

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति का तीसवाँ पद ज्ञात कीजिए

1, 4, 7, 10, . . .

एक 1 =1, डी = 3,

एक 30 = एक 1 + (30 - 1)डी = 1 + 29· 3 = 88. ◄

एक एन-1 = एक 1 + (एन- 2)डी,

एक= एक 1 + (एन- 1)डी,

एक +1 = ए 1 + रा,

तो जाहिर है

अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पूर्ववर्ती और बाद के सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

संख्याएँ a, b और c कुछ अंकगणितीय प्रगति के क्रमिक पद हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक अन्य दो के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

उदाहरण के लिए,

एक = 2एन- 7 , एक अंकगणितीय प्रगति है।

आइए उपरोक्त कथन का उपयोग करें। हमारे पास है:

एक = 2एन- 7,

एक एन-1 = 2(एन- 1) - 7 = 2एन- 9,

ए एन+1 = 2(एन+ 1) - 7 = 2एन- 5.

इस तरह,

◄

ध्यान दें कि एन अंकगणितीय प्रगति का वां पद न केवल के माध्यम से पाया जा सकता है ए 1 , लेकिन कोई पिछला भी एक क

एक = एक क + (एन- क)डी.

उदाहरण के लिए,

के लिए ए 5 लिखा जा सकता है

एक 5 = एक 1 + 4डी,

एक 5 = एक 2 + 3डी,

एक 5 = एक 3 + 2डी,

एक 5 = एक 4 + डी. ◄

एक = एक एन-के + केडी,

एक = ए एन+के - केडी,

तो जाहिर है

अंकगणितीय प्रगति का कोई भी सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, इस अंकगणितीय प्रगति के समान दूरी वाले सदस्यों के योग के आधे के बराबर होता है।

इसके अलावा, किसी भी अंकगणितीय प्रगति के लिए निम्नलिखित समानता है:

ए एम + ए एन = ए के + ए एल,

एम + एन = के + एल.

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति में

1) ए 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ए 9 + ए 11 )/2;

2) 28 = एक 10 = एक 3 + 7डी= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) एक 10= 28 = (19 + 37)/2 = (ए 7 + ए 13)/2;

4) ए 2 + ए 12 = ए 5 + ए 9, क्योंकि

ए 2 + ए 12= 4 + 34 = 38,

ए 5 + ए 9 = 13 + 25 = 38. ◄

एस एन= ए 1 + ए 2 + ए 3 +। . .+ एक,

पहला एन एक अंकगणितीय प्रगति के पद चरम पदों के आधे योग और पदों की संख्या के गुणनफल के बराबर होते हैं:

यहाँ से, विशेष रूप से, यह इस प्रकार है कि यदि आपको शर्तों का योग करने की आवश्यकता है

एक क, एक क +1 , . . . , एक,

तो पिछला सूत्र अपनी संरचना बरकरार रखता है:

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति में 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

एस 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = एस 10 - एस 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

यदि एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है, तो मात्राएँ ए 1 , एक, डी, एनऔरएस एन दो सूत्रों से जुड़ा:

इसलिए, यदि इनमें से तीन मात्राओं का मान दिया गया है, तो अन्य दो मात्राओं के संबंधित मान इन सूत्रों से निर्धारित किए जाते हैं, जिन्हें दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली में जोड़ा जाता है।

एक अंकगणितीय प्रगति एक मोनोटोनिक अनुक्रम है। जिसमें:

• अगर डी > 0 , तो यह बढ़ रहा है;
• अगर डी < 0 , तो यह घट रहा है;
• अगर डी = 0 , तो अनुक्रम स्थिर होगा।

ज्यामितीय अनुक्रम

ज्यामितीय अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, उसी संख्या से गुणा किए गए पिछले सदस्य के बराबर होता है।

बी 1 , बी 2 , बी 3 , . . . , बी एन, . . .

यदि किसी प्राकृतिक संख्या के लिए यह एक ज्यामितीय प्रगति है एन शर्त पूरी होती है:

बी एन +1 = बी एन · क्यू,

कहाँ क्यू ≠ 0 - एक निश्चित संख्या.

इस प्रकार, किसी दिए गए ज्यामितीय प्रगति के अगले पद का पिछले पद से अनुपात एक स्थिर संख्या है:

बी 2 / बी 1 = बी 3 / बी 2 = . . . = बी एन +1 / बी एन = क्यू.

संख्या क्यू बुलाया ज्यामितीय प्रगति का भाजक.

एक ज्यामितीय प्रगति को परिभाषित करने के लिए, इसके पहले पद और हर को इंगित करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए,

अगर बी 1 = 1, क्यू = -3 , तो हम अनुक्रम के पहले पांच पद इस प्रकार पाते हैं:

बी 1 = 1,

बी 2 = बी 1 · क्यू = 1 · (-3) = -3,

बी 3 = बी 2 · क्यू= -3 · (-3) = 9,

बी 4 = बी 3 · क्यू= 9 · (-3) = -27,

बी 5 = बी 4 · क्यू= -27 · (-3) = 81. ◄

बी 1 और हर क्यू उसकी एन वां पद सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

बी एन = बी 1 · क्यू.एन -1 .

उदाहरण के लिए,

ज्यामितीय प्रगति का सातवाँ पद ज्ञात कीजिए 1, 2, 4, . . .

बी 1 = 1, क्यू = 2,

बी 7 = बी 1 · क्यू 6 = 1 2 6 = 64. ◄

बी एन-1 = बी 1 · क्यू.एन -2 ,

बी एन = बी 1 · क्यू.एन -1 ,

बी एन +1 = बी 1 · क्यू.एन,

तो जाहिर है

बी एन 2 = बी एन -1 · बी एन +1 ,

ज्यामितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पूर्ववर्ती और बाद के सदस्यों के ज्यामितीय माध्य (आनुपातिक) के बराबर है।

चूँकि इसका विपरीत भी सत्य है, निम्नलिखित कथन मान्य है:

संख्याएँ a, b और c कुछ ज्यामितीय प्रगति के क्रमिक पद हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक का वर्ग अन्य दो के गुणनफल के बराबर है, अर्थात, संख्याओं में से एक अन्य दो का ज्यामितीय माध्य है।

उदाहरण के लिए,

आइए सिद्ध करें कि सूत्र द्वारा दिया गया क्रम बी एन= -3 2 एन , एक ज्यामितीय प्रगति है। आइए उपरोक्त कथन का उपयोग करें। हमारे पास है:

बी एन= -3 2 एन,

बी एन -1 = -3 2 एन -1 ,

बी एन +1 = -3 2 एन +1 .

इस तरह,

बी एन 2 = (-3 2 एन) 2 = (-3 2 एन -1 ) · (-3 · 2 एन +1 ) = बी एन -1 · बी एन +1 ,

जो वांछित कथन को सिद्ध करता है। ◄

ध्यान दें कि एन एक ज्यामितीय प्रगति का वां पद न केवल के माध्यम से पाया जा सकता है बी 1 , लेकिन कोई पिछला सदस्य भी बी के , जिसके लिए सूत्र का उपयोग करना पर्याप्त है

बी एन = बी के · क्यू.एन - क.

उदाहरण के लिए,

के लिए बी 5 लिखा जा सकता है

ख 5 = बी 1 · क्यू 4 ,

ख 5 = बी 2 · प्रश्न 3,

ख 5 = बी 3 · प्रश्न 2,

ख 5 = बी 4 · क्यू. ◄

बी एन = बी के · क्यू.एन - क,

बी एन = बी एन - क · क्यू के,

तो जाहिर है

बी एन 2 = बी एन - क· बी एन + क

किसी ज्यामितीय प्रगति के किसी भी पद का वर्ग, दूसरे से प्रारंभ करके, इस प्रगति के उससे समदूरस्थ पदों के गुणनफल के बराबर होता है।

इसके अलावा, किसी भी ज्यामितीय प्रगति के लिए समानता सत्य है:

बी एम· बी एन= बी के· बी एल,

एम+ एन= क+ एल.

उदाहरण के लिए,

ज्यामितीय प्रगति में

1) बी 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = बी 5 · बी 7 ;

2) 1024 = बी 11 = बी 6 · क्यू 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) बी 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = बी 4 · बी 8 ;

4) बी 2 · बी 7 = बी 4 · बी 5 , क्योंकि

बी 2 · बी 7 = 2 · 64 = 128,

बी 4 · बी 5 = 8 · 16 = 128. ◄

एस एन= बी 1 + बी 2 + बी 3 + . . . + बी एन

पहला एन हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्य क्यू ≠ 0 सूत्र द्वारा गणना:

और जब क्यू = 1 - सूत्र के अनुसार

एस एन= नायब 1

ध्यान दें कि यदि आपको शर्तों का योग करने की आवश्यकता है

बी के, बी के +1 , . . . , बी एन,

तब सूत्र का उपयोग किया जाता है:

उदाहरण के लिए,

ज्यामितीय प्रगति में 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

एस 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = एस 10 - एस 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

यदि एक ज्यामितीय प्रगति दी गई है, तो मात्राएँ बी 1 , बी एन, क्यू, एनऔर एस एन दो सूत्रों से जुड़ा:

इसलिए, यदि इनमें से किन्हीं तीन मात्राओं का मान दिया गया है, तो अन्य दो मात्राओं के संगत मान इन सूत्रों से निर्धारित किए जाते हैं, जिन्हें दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली में जोड़ा जाता है।

पहले पद के साथ ज्यामितीय प्रगति के लिए बी 1 और हर क्यू निम्नलिखित घटित होता है एकरसता के गुण :

• यदि निम्नलिखित में से कोई एक शर्त पूरी होती है तो प्रगति बढ़ रही है:

बी 1 > 0 और क्यू> 1;

बी 1 < 0 और 0 < क्यू< 1;

• यदि निम्नलिखित में से कोई एक शर्त पूरी होती है तो प्रगति कम हो रही है:

बी 1 > 0 और 0 < क्यू< 1;

बी 1 < 0 और क्यू> 1.

अगर क्यू< 0 , तो ज्यामितीय प्रगति बारी-बारी से होती है: विषम संख्याओं वाले इसके पदों का चिह्न इसके पहले पद के समान होता है, और सम संख्याओं वाले पदों का विपरीत चिह्न होता है। यह स्पष्ट है कि एक वैकल्पिक ज्यामितीय प्रगति मोनोटोनिक नहीं है।

पहले का उत्पाद एन ज्यामितीय प्रगति की शर्तों की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

पी एन= बी 1 · बी 2 · बी 3 · . . . · बी एन = (बी 1 · बी एन) एन / 2 .

उदाहरण के लिए,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति एक अनंत ज्यामितीय प्रगति कहलाती है जिसका हर मापांक कम होता है 1 , वह है

|क्यू| < 1 .

ध्यान दें कि अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति घटता क्रम नहीं हो सकता है। यह अवसर के अनुकूल है

1 < क्यू< 0 .

ऐसे हर के साथ, क्रम बदल रहा है। उदाहरण के लिए,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग उस संख्या का नाम बताएं जिस तक प्रथम संख्याओं का योग बिना किसी सीमा के पहुंचता है एन संख्या में असीमित वृद्धि के साथ एक प्रगति के सदस्य एन . यह संख्या सदैव परिमित होती है और सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है

उदाहरण के लिए,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति के बीच संबंध

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति निकट से संबंधित हैं। आइए केवल दो उदाहरण देखें।

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . डी , वह

बी ० ए 1 , बी ० ए 2 , बी ० ए 3 , . . . बी डी .

उदाहरण के लिए,

1, 3, 5, . . . - अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति 2 और

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - हर के साथ ज्यामितीय प्रगति 7 2 . ◄

बी 1 , बी 2 , बी 3 , . . . - हर के साथ ज्यामितीय प्रगति क्यू , वह

लॉग ए बी 1, लॉग ए बी 2, लॉग ए बी 3, . . . - अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति लॉग एक्यू .

उदाहरण के लिए,

2, 12, 72, . . . - हर के साथ ज्यामितीय प्रगति 6 और

एलजी 2, एलजी 12, एलजी 72, . . . - अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति एलजी 6 . ◄

चित्रकला और कविता की तरह ही गणित का भी अपना सौंदर्य है।

रूसी वैज्ञानिक, मैकेनिक एन.ई. ज़ुकोवस्की

गणित में प्रवेश परीक्षाओं में बहुत आम समस्याएं अंकगणितीय प्रगति की अवधारणा से संबंधित समस्याएं हैं। ऐसी समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको अंकगणितीय प्रगति के गुणों का अच्छा ज्ञान होना चाहिए और उनके अनुप्रयोग में कुछ कौशल होना चाहिए।

आइए सबसे पहले अंकगणितीय प्रगति के मूल गुणों को याद करें और सबसे महत्वपूर्ण सूत्र प्रस्तुत करें, इस अवधारणा से जुड़ा है.

परिभाषा। संख्या क्रम, जिसमें प्रत्येक आगामी पद पिछले पद से समान संख्या में भिन्न होता है, अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है। इस मामले में संख्याप्रगति अंतर कहा जाता है।

अंकगणितीय प्रगति के लिए, निम्नलिखित सूत्र मान्य हैं:

, (1)

कहाँ । सूत्र (1) को अंकगणितीय प्रगति के सामान्य पद का सूत्र कहा जाता है, और सूत्र (2) अंकगणितीय प्रगति की मुख्य संपत्ति का प्रतिनिधित्व करता है: प्रगति का प्रत्येक पद उसके पड़ोसी पदों के अंकगणितीय माध्य के साथ मेल खाता है।

ध्यान दें कि इस गुण के कारण ही विचाराधीन प्रगति को "अंकगणित" कहा जाता है।

उपरोक्त सूत्र (1) और (2) को इस प्रकार सामान्यीकृत किया गया है:

(3)

राशि की गणना करने के लिएपहला अंकगणितीय प्रगति की शर्तेंसूत्र आमतौर पर प्रयोग किया जाता है

(5) कहां और .

यदि हम सूत्र को ध्यान में रखते हैं (1), फिर सूत्र (5) से यह अनुसरण करता है

यदि हम निरूपित करें, तो

कहाँ । चूँकि, सूत्र (7) और (8) संबंधित सूत्र (5) और (6) का सामान्यीकरण हैं।

विशेष रूप से , सूत्र (5) से यह अनुसरण करता है, क्या

अधिकांश छात्रों को अंकगणितीय प्रगति के गुण के बारे में बहुत कम जानकारी है, जिसे निम्नलिखित प्रमेय के माध्यम से तैयार किया गया है।

प्रमेय.तो अगर

सबूत।तो अगर

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण के लिए , प्रमेय का उपयोग करना, ऐसा दिखाया जा सकता है

आइए "अंकगणितीय प्रगति" विषय पर समस्याओं को हल करने के विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1।जाने भी दो। खोजो ।

समाधान।सूत्र (6) को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं। चूँकि तथा , तब अथवा .

उदाहरण 2.मान लीजिए कि यह तीन गुना अधिक है, और जब भागफल से विभाजित किया जाता है, तो परिणाम 2 होता है और शेषफल 8 होता है। निर्धारित करें और।

समाधान।उदाहरण की शर्तों से, समीकरणों की प्रणाली निम्नानुसार है

चूँकि , , और , तो समीकरणों की प्रणाली से (10) हम प्राप्त करते हैं

समीकरणों की इस प्रणाली का समाधान है और।

उदाहरण 3.यदि और खोजें।

समाधान।सूत्र (5) के अनुसार हमारे पास या है। हालाँकि, संपत्ति (9) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं।

चूँकि और , तब समता से समीकरण इस प्रकार हैया ।

उदाहरण 4.खोजें यदि .

समाधान।सूत्र (5) के अनुसार हमारे पास है

हालाँकि, प्रमेय का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं

यहां से और सूत्र (11) से हम प्राप्त करते हैं।

उदाहरण 5. दिया गया: । खोजो ।

समाधान।के बाद से। मगर इसलिए।

उदाहरण 6.चलो , और . खोजो ।

समाधान।सूत्र (9) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं। इसलिए, यदि , तब या .

चूँकि और तो यहाँ हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली है

जिसे हल करने पर हमें तथा प्राप्त होता है।

समीकरण का प्राकृतिक मूलहै ।

उदाहरण 7.यदि और खोजें।

समाधान।चूँकि सूत्र (3) के अनुसार हमारे पास वह है, तो समीकरणों की प्रणाली समस्या की स्थितियों का अनुसरण करती है

यदि हम अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करते हैंसिस्टम के दूसरे समीकरण में, तो हमें मिलता है या .

द्विघात समीकरण की जड़ें हैंऔर ।

आइए दो मामलों पर विचार करें।

1. तो चलो . चूँकि और , तब .

इस मामले में, सूत्र (6) के अनुसार, हमारे पास है

2. यदि , तब , और

उत्तर: और.

उदाहरण 8.यह ज्ञात है कि और. खोजो ।

समाधान।सूत्र (5) और उदाहरण की स्थिति को ध्यान में रखते हुए, हम लिखते हैं और।

इसका तात्पर्य समीकरणों की प्रणाली से है

यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को 2 से गुणा करें और फिर इसे दूसरे समीकरण में जोड़ें, तो हमें मिलता है

सूत्र (9) के अनुसार हमारे पास है. इस संबंध में, यह (12) से निम्नानुसार हैया ।

चूँकि और , तब .

उत्तर: ।

उदाहरण 9.यदि और खोजें।

समाधान।चूंकि , और शर्त के अनुसार , तब या .

सूत्र (5) से ज्ञात होता है, क्या । के बाद से।

इस तरह , यहां हमारे पास रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है

यहां से हमें और मिलता है। सूत्र (8) को ध्यान में रखते हुए, हम लिखते हैं।

उदाहरण 10.प्रश्न हल करें।

समाधान।दिए गए समीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि. आइए मान लें कि , , और . इस मामले में ।

सूत्र (1) के अनुसार हम या लिख ​​सकते हैं।

चूँकि, तब समीकरण (13) का एकमात्र उपयुक्त मूल है।

उदाहरण 11.अधिकतम मान ज्ञात कीजिए बशर्ते कि तथा।

समाधान।चूँकि, विचाराधीन अंकगणितीय प्रगति घट रही है। इस संबंध में, अभिव्यक्ति अपना अधिकतम मान तब लेती है जब यह प्रगति के न्यूनतम सकारात्मक पद की संख्या होती है।

आइए हम सूत्र (1) और तथ्य का उपयोग करें, वह और . तब हमें वह मिलता है या .

तब से, तब से या . हालाँकि, इस असमानता मेंसबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या, इसीलिए ।

यदि , और के मानों को सूत्र (6) में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो हमें प्राप्त होता है।

उत्तर: ।

उदाहरण 12.सभी दो अंकों वाली प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करें, जिन्हें संख्या 6 से विभाजित करने पर 5 शेष बचता है।

समाधान।आइए हम सभी दो अंकों वाली प्राकृत संख्याओं के समुच्चय से निरूपित करें, अर्थात् . इसके बाद, हम समुच्चय के उन तत्वों (संख्याओं) से मिलकर एक उपसमुच्चय का निर्माण करेंगे, जिसे संख्या 6 से विभाजित करने पर 5 शेष बचता है।

इन्सटाल करना आसान, क्या । ज़ाहिर तौर से , सेट के तत्वएक अंकगणितीय प्रगति बनाएं, जिसमें और .

सेट की कार्डिनैलिटी (तत्वों की संख्या) स्थापित करने के लिए, हम मानते हैं कि। चूंकि और, यह सूत्र (1) या से अनुसरण करता है। सूत्र (5) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं।

समस्या समाधान के उपरोक्त उदाहरण किसी भी तरह से संपूर्ण होने का दावा नहीं कर सकते। यह लेख किसी दिए गए विषय पर विशिष्ट समस्याओं को हल करने के आधुनिक तरीकों के विश्लेषण के आधार पर लिखा गया है। अंकगणितीय प्रगति से संबंधित समस्याओं को हल करने के तरीकों के अधिक गहन अध्ययन के लिए, अनुशंसित साहित्य की सूची का संदर्भ लेना उचित है।

1. कॉलेजों/एड के आवेदकों के लिए गणित में समस्याओं का संग्रह। एम.आई. स्कैनवी. - एम.: शांति और शिक्षा, 2013. - 608 पी।

2. सुप्रुन वी.पी. हाई स्कूल के छात्रों के लिए गणित: स्कूल पाठ्यक्रम के अतिरिक्त खंड। - एम.: लेनानंद/यूआरएसएस, 2014. - 216 पी।

3. मेडिंस्की एम.एम. समस्याओं और अभ्यासों में प्रारंभिक गणित का संपूर्ण पाठ्यक्रम। पुस्तक 2: संख्या अनुक्रम और प्रगति। - एम.: एडिटस, 2015. - 208 पी।

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