नोक खोजने के लिए नंबर। दो या दो से अधिक संख्याओं के लिए लघुत्तम समापवर्तक, nok कैसे ज्ञात करें

एनओसी ढूंढी जा रही है

खोजने के क्रम में आम विभाजक विभिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ते और घटाते समय, आपको पता होना चाहिए और गणना करने में सक्षम होना चाहिए लघुत्तम समापवर्त्य (एलसीएम)।

A का गुणज एक ऐसी संख्या है जो बिना किसी शेषफल के a से विभाज्य होती है।
वे संख्याएँ जो 8 के गुणज हैं (अर्थात्, ये संख्याएँ बिना किसी शेषफल के 8 से विभाज्य हैं): ये संख्याएँ 16, 24, 32 हैं...
9 के गुणज: 18, 27, 36, 45...

एक ही संख्या के विभाजक के विपरीत, किसी दी गई संख्या a के अनंत गुणज होते हैं। भाजक की एक सीमित संख्या होती है।

दो प्राकृत संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणज एक ऐसी संख्या होती है जो इन दोनों संख्याओं से विभाज्य होती है।

• दो या दो से अधिक प्राकृतिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है जो इनमें से प्रत्येक संख्या से विभाज्य होती है।

एनओसी कैसे पाएं
एलसीएम को दो तरीकों से पाया और लिखा जा सकता है।

LOC खोजने का पहला तरीका
इस विधि का प्रयोग आमतौर पर छोटी संख्याओं के लिए किया जाता है।
1. प्रत्येक संख्या के गुणजों को एक पंक्ति में तब तक लिखें जब तक आपको ऐसा गुणज न मिल जाए जो दोनों संख्याओं के लिए समान हो।
2. a के गुणज को बड़े अक्षर "K" से दर्शाया जाता है।

के(ए) = (...,...)
उदाहरण। एलओसी 6 और 8 खोजें।
के (6) = (12, 18, 24, 30, ...)

के(8) = (8, 16, 24, 32, ...)

एलसीएम(6, 8) = 24

एलओसी खोजने का दूसरा तरीका
तीन या अधिक संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करने के लिए इस विधि का उपयोग करना सुविधाजनक है।
1. दी गई संख्याओं को भागों में विभाजित करें सरलमल्टीप्लायरों आप सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी) कैसे खोजें विषय में अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडन के नियमों के बारे में अधिक पढ़ सकते हैं।

2. विस्तार में सम्मिलित कारकों को एक पंक्ति में लिखिए सबसे बड़ा संख्याओं का, और इसके नीचे शेष संख्याओं का अपघटन है।

• संख्याओं के अपघटन में समान कारकों की संख्या भिन्न हो सकती है।

60 = 2 . 2 . 3 . 5

24 = 2 . 2 . 2 . 3
3. विघटन पर जोर दें कमसंख्याएँ (छोटी संख्याएँ) कारक जो बड़ी संख्या के विस्तार में शामिल नहीं थे (हमारे उदाहरण में यह 2 है) और इन कारकों को बड़ी संख्या के विस्तार में जोड़ें।
एलसीएम(24,60) = 2. 2. 3. 5 . 2
4. परिणामी उत्पाद को उत्तर के रूप में लिखें।
उत्तर: एलसीएम (24, 60) = 120

आप निम्न प्रकार से लघुत्तम समापवर्त्य (एलसीएम) ज्ञात करने को भी औपचारिक बना सकते हैं। आइए एलओसी (12, 16, 24) खोजें।

24 = 2 . 2 . 2 . 3

16 = 2 . 2 . 2 . 2

12 = 2 . 2 . 3

जैसा कि हम संख्याओं के अपघटन से देखते हैं, 12 के सभी गुणनखंड 24 (संख्याओं में सबसे बड़ी) के अपघटन में शामिल होते हैं, इसलिए हम संख्या 16 के अपघटन से एलसीएम में केवल एक 2 जोड़ते हैं।
एलसीएम(12, 16, 24) = 2. 2. 2. 3. 2=48
उत्तर: एलसीएम (12, 16, 24) = 48

एनओसी खोजने के विशेष मामले
1. यदि इनमें से एक संख्या अन्य संख्याओं से विभाज्य है, तो इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य इस संख्या के बराबर होता है।
उदाहरण के लिए, एलसीएम (60, 15) = 60
2. चूँकि अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याओं में उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं होते हैं, इसलिए उनका लघुत्तम समापवर्तक इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है।
उदाहरण।
एलसीएम(8,9) = 72

आइए निम्नलिखित समस्या को हल करने पर विचार करें। लड़के का कदम 75 सेमी है, और लड़की का कदम 60 सेमी है। वह न्यूनतम दूरी ज्ञात करना आवश्यक है जिस पर वे दोनों पूर्णांक संख्या में कदम उठाते हैं।

समाधान।जिस पूरे रास्ते से लोग गुजरेंगे वह 60 और 70 से विभाज्य होना चाहिए, क्योंकि उनमें से प्रत्येक को पूर्णांक संख्या में कदम उठाने होंगे। दूसरे शब्दों में, उत्तर 75 और 60 दोनों का गुणज होना चाहिए।

सबसे पहले, हम संख्या 75 के सभी गुणजों को लिखेंगे। हमें मिलता है:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

आइए अब उन संख्याओं को लिखें जो 60 के गुणज होंगे। हमें मिलता है:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

अब हम वे संख्याएँ ज्ञात करते हैं जो दोनों पंक्तियों में हैं।

• संख्याओं का सामान्य गुणज 300, 600 आदि होगा।

उनमें से सबसे छोटी संख्या 300 है। इस स्थिति में, इसे संख्याओं 75 और 60 का सबसे छोटा समापवर्त्य कहा जाएगा।

समस्या की स्थिति पर लौटते हुए, सबसे छोटी दूरी जिस पर लड़के पूर्णांक संख्या में कदम उठाएंगे वह 300 सेमी होगी। लड़का इस रास्ते को 4 चरणों में तय करेगा, और लड़की को 5 कदम उठाने होंगे।

लघुत्तम समापवर्त्य का निर्धारण

• दो प्राकृत संख्याओं a और b का लघुत्तम समापवर्तक वह सबसे छोटी प्राकृत संख्या है जो a और b दोनों का गुणज है।

दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, इन संख्याओं के सभी गुणजों को एक पंक्ति में लिखना आवश्यक नहीं है।

आप निम्न विधि का उपयोग कर सकते हैं.

लघुत्तम समापवर्त्य कैसे ज्ञात करें?

सबसे पहले आपको इन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना होगा।

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

आइए अब पहली संख्या (2,2,3,5) के विस्तार में मौजूद सभी कारकों को लिखें और दूसरी संख्या (5) के विस्तार में लुप्त सभी कारकों को इसमें जोड़ें।

परिणामस्वरूप, हमें अभाज्य संख्याओं की एक श्रृंखला प्राप्त होती है: 2,2,3,5,5। इन संख्याओं का गुणनफल इन संख्याओं के लिए सबसे कम सामान्य कारक होगा। 2*2*3*5*5 = 300.

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने की सामान्य योजना

• 1. संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें।
• 2. उन प्रमुख कारकों को लिखिए जो उनमें से किसी एक का हिस्सा हैं।
• 3. इन कारकों में वे सभी कारक जोड़ें जो दूसरों के विस्तार में हैं, लेकिन चयनित में नहीं।
• 4. सभी लिखित कारकों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

यह विधि सार्वभौमिक है. इसका उपयोग किसी भी प्राकृतिक संख्या का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।

दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य सीधे तौर पर उन संख्याओं के सबसे बड़े समापवर्तक से संबंधित होता है। यह जीसीडी और एनओसी के बीच संबंधनिम्नलिखित प्रमेय द्वारा निर्धारित किया जाता है।

प्रमेय.

दो धनात्मक पूर्णांकों a और b का लघुत्तम समापवर्तक a और b के सबसे बड़े उभयनिष्ठ विभाजक द्वारा विभाजित a और b के गुणनफल के बराबर है, अर्थात, एलसीएम(ए, बी)=ए बी:जीसीडी(ए, बी).

सबूत।

होने देना M, संख्याओं a और b का कुछ गुणज है। अर्थात्, M, a से विभाज्य है, और विभाज्यता की परिभाषा के अनुसार, कुछ पूर्णांक k है जैसे कि समानता M=a·k सत्य है। लेकिन M, b से भी विभाज्य है, तो a·k, b से विभाज्य है।

आइए gcd(a, b) को d के रूप में निरूपित करें। तब हम समानताएँ a=a 1 ·d और b=b 1·d लिख सकते हैं, और a 1 =a:d और b 1 =b:d अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ होंगी। नतीजतन, पिछले पैराग्राफ में प्राप्त शर्त कि a · k, b से विभाज्य है, को निम्नानुसार पुनर्निर्मित किया जा सकता है: a 1 · d · k को b 1 · d से विभाजित किया गया है, और यह, विभाज्यता गुणों के कारण, स्थिति के बराबर है कि a 1 · k, b 1 से विभाज्य है।

आपको विचारित प्रमेय से दो महत्वपूर्ण परिणाम भी लिखने होंगे।

दो संख्याओं के सामान्य गुणज उनके लघुत्तम समापवर्त्य के गुणजों के समान होते हैं।

यह वास्तव में मामला है, क्योंकि संख्याओं ए और बी के एम के किसी भी सामान्य गुणक को कुछ पूर्णांक मान टी के लिए समानता एम = एलएमके (ए, बी)·टी द्वारा निर्धारित किया जाता है।

परस्पर अभाज्य धनात्मक संख्याओं a और b का लघुत्तम समापवर्तक उनके गुणनफल के बराबर है।

इस तथ्य का तर्क बिल्कुल स्पष्ट है। चूँकि a और b अपेक्षाकृत अभाज्य हैं, तो gcd(a, b)=1, इसलिए, GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने को क्रमिक रूप से दो संख्याओं का LCM ज्ञात करने तक कम किया जा सकता है। यह कैसे किया जाता है यह निम्नलिखित प्रमेय में दर्शाया गया है। a 1 , a 2 , …, a k संख्याओं m k-1 और a k के सामान्य गुणजों के साथ मेल खाता है, इसलिए, संख्या m k के सामान्य गुणजों के साथ मेल खाता है। और चूँकि संख्या m k का सबसे छोटा धनात्मक गुणज संख्या m k ही है, तो संख्याओं a 1, a 2, ..., a k का सबसे छोटा सामान्य गुणज m k है।

ग्रंथ सूची.

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• कुलिकोव एल.वाई.ए. और अन्य। बीजगणित और संख्या सिद्धांत में समस्याओं का संग्रह: भौतिकी और गणित के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक। शैक्षणिक संस्थानों की विशिष्टताएँ।

गुणज वह संख्या है जो किसी दी गई संख्या से बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती है। संख्याओं के समूह का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) वह सबसे छोटी संख्या है जो समूह की प्रत्येक संख्या से बिना कोई शेष बचे विभाज्य होती है। लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, आपको दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने होंगे। एलसीएम की गणना कई अन्य तरीकों का उपयोग करके भी की जा सकती है जो दो या दो से अधिक संख्याओं के समूहों पर लागू होती हैं।

कदम

गुणकों की शृंखला

इन नंबरों को देखिए.यहां वर्णित विधि का सबसे अच्छा उपयोग तब किया जाता है जब दो संख्याएं दी जाती हैं, जिनमें से प्रत्येक 10 से कम होती है। यदि बड़ी संख्याएं दी जाती हैं, तो एक अलग विधि का उपयोग करें।

• उदाहरण के लिए, 5 और 8 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए। ये छोटी संख्याएँ हैं, इसलिए आप इस पद्धति का उपयोग कर सकते हैं।

1. गुणज वह संख्या है जो किसी दी गई संख्या से बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती है। गुणन सारणी में गुणज पाए जा सकते हैं।

   • उदाहरण के लिए, वे संख्याएँ जो 5 के गुणज हैं: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40।

2. संख्याओं की एक श्रृंखला लिखिए जो पहली संख्या के गुणज हों।संख्याओं के दो सेटों की तुलना करने के लिए इसे पहली संख्या के गुणजों के अंतर्गत करें।

   • उदाहरण के लिए, वे संख्याएँ जो 8 के गुणज हैं: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 और 64।

3. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो गुणजों के दोनों सेटों में मौजूद हो।कुल संख्या ज्ञात करने के लिए आपको गुणजों की लंबी श्रृंखला लिखनी पड़ सकती है। गुणजों के दोनों सेटों में मौजूद सबसे छोटी संख्या सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

   • उदाहरण के लिए, 5 और 8 के गुणजों की श्रृंखला में आने वाली सबसे छोटी संख्या 40 है। इसलिए, 40, 5 और 8 का सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

   मुख्य गुणनखंड प्रक्रिया

   1. इन नंबरों को देखिए.यहां वर्णित विधि का सबसे अच्छा उपयोग तब किया जाता है जब दो संख्याएं दी जाती हैं, जिनमें से प्रत्येक 10 से बड़ी होती है। यदि छोटी संख्याएं दी जाती हैं, तो एक अलग विधि का उपयोग करें।

      • उदाहरण के लिए, संख्या 20 और 84 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए। प्रत्येक संख्या 10 से बड़ी है, इसलिए आप इस पद्धति का उपयोग कर सकते हैं।

   2. अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंड करें पहला नंबर.अर्थात्, आपको ऐसी अभाज्य संख्याएँ ढूँढ़नी होंगी, जिन्हें गुणा करने पर एक निश्चित संख्या प्राप्त होगी। एक बार जब आपको मुख्य कारक मिल जाएं, तो उन्हें समानता के रूप में लिखें।

      दूसरी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।इसे उसी तरह से करें जैसे आपने पहली संख्या का गुणनखंड किया था, यानी ऐसी अभाज्य संख्याएँ खोजें जिन्हें गुणा करने पर दी गई संख्या प्राप्त हो।

      दोनों संख्याओं में उभयनिष्ठ गुणनखंड लिखिए।ऐसे कारकों को गुणन संक्रिया के रूप में लिखिए। जैसे ही आप प्रत्येक गुणनखंड लिखते हैं, उसे दोनों अभिव्यक्तियों में काट दें (ऐसी अभिव्यक्तियाँ जो संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडन का वर्णन करती हैं)।

      गुणन संक्रिया में शेष गुणनखंड जोड़ें।ये ऐसे कारक हैं जिन्हें दोनों अभिव्यक्तियों में नहीं काटा गया है, यानी वे कारक जो दोनों संख्याओं के लिए सामान्य नहीं हैं।

      लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करें।ऐसा करने के लिए, लिखित गुणन संक्रिया में संख्याओं को गुणा करें।

   सामान्य कारक ढूँढना

   टिक-टैक-टो के खेल की तरह एक ग्रिड बनाएं।इस तरह के ग्रिड में दो समानांतर रेखाएं होती हैं जो अन्य दो समानांतर रेखाओं के साथ (समकोण पर) प्रतिच्छेद करती हैं। इससे आपको तीन पंक्तियाँ और तीन कॉलम मिलेंगे (ग्रिड काफी हद तक # आइकन जैसा दिखता है)। पहली पंक्ति और दूसरे कॉलम में पहला नंबर लिखें। पहली पंक्ति और तीसरे कॉलम में दूसरा नंबर लिखें।

   • उदाहरण के लिए, संख्या 18 और 30 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए। पहली पंक्ति और दूसरे कॉलम में संख्या 18 लिखें, और पहली पंक्ति और तीसरे कॉलम में संख्या 30 लिखें।

   1. दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात कीजिए।इसे पहली पंक्ति और पहले कॉलम में लिखें। अभाज्य कारकों की तलाश करना बेहतर है, लेकिन यह कोई आवश्यकता नहीं है।

      • उदाहरण के लिए, 18 और 30 सम संख्याएँ हैं, इसलिए उनका सार्व गुणनखंड 2 है। इसलिए पहली पंक्ति और पहले कॉलम में 2 लिखें।

   2. प्रत्येक संख्या को प्रथम भाजक से विभाजित करें।प्रत्येक भागफल को उचित संख्या के अंतर्गत लिखें। भागफल दो संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम है।

      दोनों भागफलों में उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात कीजिए।यदि ऐसा कोई भाजक नहीं है, तो अगले दो चरणों को छोड़ दें। अन्यथा, विभाजक को दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में लिखें।

      • उदाहरण के लिए, 9 और 15 3 से विभाज्य हैं, इसलिए दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में 3 लिखें।

   3. प्रत्येक भागफल को उसके दूसरे भाजक से विभाजित करें।प्रत्येक भाग के परिणाम को संगत भागफल के अंतर्गत लिखें।

      यदि आवश्यक हो, तो ग्रिड में अतिरिक्त सेल जोड़ें।वर्णित चरणों को तब तक दोहराएँ जब तक कि भागफल में एक उभयनिष्ठ भाजक न आ जाए।

      ग्रिड के पहले कॉलम और आखिरी पंक्ति में संख्याओं पर गोला बनाएं।फिर चयनित संख्याओं को गुणन संक्रिया के रूप में लिखें।

   यूक्लिड का एल्गोरिदम

   डिवीजन ऑपरेशन से जुड़ी शब्दावली याद रखें।लाभांश वह संख्या है जिसे विभाजित किया जा रहा है। भाजक वह संख्या है जिससे विभाजित किया जा रहा है। भागफल दो संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम है। शेषफल वह संख्या है जो दो संख्याओं को विभाजित करने पर बचती है।

   एक अभिव्यक्ति लिखिए जो शेषफल के साथ विभाजन की क्रिया का वर्णन करती है।अभिव्यक्ति: लाभांश = भाजक × भागफल + शेष (\displaystyle (\text(लाभांश))=(\text(भाजक))\times (\text(quotient))+(\text(शेष))). इस अभिव्यक्ति का उपयोग दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिदम लिखने के लिए किया जाएगा।

   दो संख्याओं में से बड़ी संख्या को लाभांश मानें।दोनों संख्याओं में से छोटी संख्या को भाजक मानें। इन संख्याओं के लिए, एक अभिव्यक्ति लिखें जो शेषफल के साथ विभाजन की संक्रिया का वर्णन करता है।

   पहले विभाजक को नए लाभांश में बदलें।शेषफल को नए भाजक के रूप में उपयोग करें। इन संख्याओं के लिए, एक अभिव्यक्ति लिखें जो शेषफल के साथ विभाजन की संक्रिया का वर्णन करता है।

आइए लघुत्तम समापवर्त्य के बारे में बातचीत जारी रखें, जिसे हमने "एलसीएम - लघुत्तम समापवर्त्य, परिभाषा, उदाहरण" खंड में शुरू किया था। इस विषय में, हम तीन या अधिक संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करने के तरीकों पर गौर करेंगे, और हम इस प्रश्न पर भी गौर करेंगे कि किसी ऋणात्मक संख्या का एलसीएम कैसे खोजा जाए।

जीसीडी के माध्यम से न्यूनतम सामान्य गुणक (एलसीएम) की गणना

हम पहले ही लघुत्तम समापवर्त्य और सबसे बड़े समापवर्तक के बीच संबंध स्थापित कर चुके हैं। आइए अब सीखें कि जीसीडी के माध्यम से एलसीएम कैसे निर्धारित करें। सबसे पहले, आइए जानें कि सकारात्मक संख्याओं के लिए यह कैसे करें।

परिभाषा 1

आप सूत्र एलसीएम (ए, बी) = ए · बी: जीसीडी (ए, बी) का उपयोग करके सबसे बड़े सामान्य भाजक के माध्यम से सबसे छोटा सामान्य गुणक पा सकते हैं।

उदाहरण 1

आपको संख्या 126 और 70 का एलसीएम ज्ञात करना होगा।

समाधान

आइए a = 126, b = 70 लें। आइए सबसे बड़े सामान्य भाजक एलसीएम (ए, बी) = ए · बी: जीसीडी (ए, बी) के माध्यम से सबसे छोटे सामान्य गुणक की गणना के लिए सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करें।

संख्या 70 और 126 की जीसीडी ढूँढता है। इसके लिए हमें यूक्लिडियन एल्गोरिदम की आवश्यकता है: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, इसलिए जीसीडी (126 , 70) = 14 .

आइए एलसीएम की गणना करें: एलसीडी (126, 70) = 126 70: जीसीडी (126, 70) = 126 70: 14 = 630।

उत्तर:एलसीएम(126, 70) = 630.

उदाहरण 2

संख्या 68 और 34 ज्ञात कीजिए।

समाधान

इस मामले में जीसीडी ढूंढना मुश्किल नहीं है, क्योंकि 68, 34 से विभाज्य है। आइए सूत्र का उपयोग करके लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करें: एलसीएम (68, 34) = 68 34: जीसीडी (68, 34) = 68 34: 34 = 68।

उत्तर:एलसीएम(68, 34) = 68.

इस उदाहरण में, हमने धनात्मक पूर्णांक a और b का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए नियम का उपयोग किया: यदि पहली संख्या दूसरी से विभाज्य है, तो उन संख्याओं का LCM पहली संख्या के बराबर होगा।

संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके एलसीएम ज्ञात करना

आइए अब एलसीएम ज्ञात करने की विधि देखें, जो संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने पर आधारित है।

परिभाषा 2

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, हमें कई सरल कदम उठाने होंगे:

• हम उन संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल बनाते हैं जिनके लिए हमें एलसीएम खोजने की आवश्यकता होती है;
• हम उनके परिणामी उत्पादों से सभी प्रमुख कारकों को बाहर कर देते हैं;
• सामान्य अभाज्य गुणनखंडों को हटाने के बाद प्राप्त उत्पाद दी गई संख्याओं के एलसीएम के बराबर होगा।

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने की यह विधि समानता एलसीएम (ए, बी) = ए · बी: जीसीडी (ए, बी) पर आधारित है। यदि आप सूत्र को देखें, तो यह स्पष्ट हो जाएगा: संख्याओं a और b का गुणनफल उन सभी कारकों के गुणनफल के बराबर है जो इन दो संख्याओं के अपघटन में भाग लेते हैं। इस मामले में, दो संख्याओं की जीसीडी उन सभी अभाज्य कारकों के उत्पाद के बराबर है जो इन दो संख्याओं के गुणनखंडों में एक साथ मौजूद हैं।

उदाहरण 3

हमारे पास दो संख्याएँ 75 और 210 हैं। हम उन्हें इस प्रकार कारक बना सकते हैं: 75 = 3 5 5और 210 = 2 3 5 7. यदि आप दो मूल संख्याओं के सभी गुणनखंडों का गुणनफल बनाते हैं, तो आपको मिलता है: 2 3 3 5 5 5 7.

यदि हम संख्या 3 और 5 दोनों के लिए सामान्य कारकों को हटा दें, तो हमें निम्नलिखित रूप का उत्पाद मिलता है: 2 3 5 5 7 = 1050. यह उत्पाद संख्या 75 और 210 के लिए हमारा एलसीएम होगा।

उदाहरण 4

संख्याओं का LCM ज्ञात करें 441 और 700 , दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना।

समाधान

आइए शर्त में दी गई संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

हमें संख्याओं की दो शृंखलाएँ मिलती हैं: 441 = 3 3 7 7 और 700 = 2 2 5 5 7।

इन संख्याओं के अपघटन में भाग लेने वाले सभी कारकों का उत्पाद इस प्रकार होगा: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. आइए सामान्य कारक खोजें। यह संख्या 7 है. आइए इसे कुल उत्पाद से बाहर करें: 2 2 3 3 5 5 7 7. पता चला कि एन.ओ.सी (441, 700) = 2 2 3 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

उत्तर:एलओसी(441,700) = 44,100।

आइए हम संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करके एलसीएम ज्ञात करने की विधि का एक और सूत्रीकरण दें।

परिभाषा 3

पहले, हमने दोनों संख्याओं में समान कारकों की कुल संख्या को बाहर रखा था। अब हम इसे अलग तरीके से करेंगे:

• आइए दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें:
• पहली संख्या के अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल में दूसरी संख्या के लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें;
• हम उत्पाद प्राप्त करते हैं, जो दो संख्याओं का वांछित एलसीएम होगा।

उदाहरण 5

आइए संख्या 75 और 210 पर वापस लौटें, जिसके लिए हम पहले ही पिछले उदाहरणों में से एक में एलसीएम की तलाश कर चुके हैं। आइए उन्हें सरल कारकों में विभाजित करें: 75 = 3 5 5और 210 = 2 3 5 7. कारक 3, 5 और के उत्पाद के लिए 5 संख्या 75 लुप्त गुणनखंडों को जोड़ती है 2 और 7 संख्या 210. हम पाते हैं: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .यह संख्या 75 और 210 का LCM है।

उदाहरण 6

संख्या 84 और 648 के एलसीएम की गणना करना आवश्यक है।

समाधान

आइए स्थिति से संख्याओं को सरल गुणनखंडों में विभाजित करें: 84 = 2 2 3 7और 648 = 2 2 2 3 3 3 3. आइए गुणनखंड 2, 2, 3 और को गुणनफल में जोड़ें 7 संख्या 84 लुप्त गुणनखंड 2, 3, 3 और
3 संख्या 648. हमें उत्पाद मिलता है 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.यह 84 और 648 का सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

उत्तर:एलसीएम(84,648) = 4,536.

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करना

भले ही हम कितनी भी संख्याओं के साथ काम कर रहे हों, हमारे कार्यों का एल्गोरिदम हमेशा समान रहेगा: हम क्रमिक रूप से दो संख्याओं का एलसीएम पाएंगे। इस मामले के लिए एक प्रमेय है.

प्रमेय 1

आइए मान लें कि हमारे पास पूर्णांक हैं ए 1 , ए 2 , … , ए के. अनापत्ति प्रमाण पत्र एम केये संख्याएँ क्रमिक रूप से m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k - 1, a k) की गणना करके पाई जाती हैं।

अब आइए देखें कि विशिष्ट समस्याओं को हल करने के लिए प्रमेय को कैसे लागू किया जा सकता है।

उदाहरण 7

आपको चार संख्याओं 140, 9, 54 और के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करने की आवश्यकता है 250 .

समाधान

आइए हम संकेतन का परिचय दें: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250।

आइए एम 2 = एलसीएम (ए 1, ए 2) = एलसीएम (140, 9) की गणना करके शुरुआत करें। आइए संख्या 140 और 9 की जीसीडी की गणना करने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिदम लागू करें: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4। हमें मिलता है: जीसीडी (140, 9) = 1, जीसीडी (140, 9) = 140 9: जीसीडी (140, 9) = 140 9: 1 = 1,260। इसलिए, एम 2 = 1,260.

आइए अब उसी एल्गोरिदम एम 3 = एलसीएम (एम 2, ए 3) = एलसीएम (1 260, 54) का उपयोग करके गणना करें। गणना के दौरान हमें m 3 = 3 780 प्राप्त होता है।

हमें बस m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) की गणना करनी है। हम उसी एल्गोरिदम का पालन करते हैं। हमें m 4 = 94 500 प्राप्त होता है।

उदाहरण स्थिति से चार संख्याओं का एलसीएम 94500 है।

उत्तर:एनओसी (140, 9, 54, 250) = 94,500।

जैसा कि आप देख सकते हैं, गणनाएँ सरल हैं, लेकिन काफी श्रम-गहन हैं। समय बचाने के लिए आप दूसरा रास्ता अपना सकते हैं।

परिभाषा 4

हम आपको क्रियाओं का निम्नलिखित एल्गोरिदम प्रदान करते हैं:

• हम सभी संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं;
• पहली संख्या के गुणनखंडों के गुणनफल में हम दूसरी संख्या के गुणनखंड से लुप्त गुणनखंड जोड़ते हैं;
• पिछले चरण में प्राप्त उत्पाद में हम तीसरी संख्या आदि के लुप्त गुणनखंड जोड़ते हैं;
• परिणामी उत्पाद शर्त से सभी संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणक होगा।

उदाहरण 8

आपको पांच संख्याओं 84, 6, 48, 7, 143 का एलसीएम ज्ञात करना होगा।

समाधान

आइए सभी पांच संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13। अभाज्य संख्याएँ, जो संख्या 7 है, को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित नहीं किया जा सकता है। ऐसी संख्याएँ अभाज्य गुणनखंडों में उनके अपघटन के साथ मेल खाती हैं।

आइए अब संख्या 84 के अभाज्य गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 का गुणनफल लें और उनमें दूसरी संख्या के लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें। हमने संख्या 6 को 2 और 3 में विघटित कर दिया। ये गुणनखंड पहले संख्या के गुणनफल में पहले से ही मौजूद हैं। इसलिए, हम उन्हें छोड़ देते हैं.

हम लुप्त गुणकों को जोड़ना जारी रखते हैं। आइए संख्या 48 पर चलते हैं, जिसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल से हम 2 और 2 लेते हैं। फिर हम चौथी संख्या से 7 का अभाज्य गुणनखंड और पाँचवीं के 11 और 13 का गुणनखंड जोड़ते हैं। हमें मिलता है: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048। यह मूल पांच संख्याओं में से सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

उत्तर:एलसीएम(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048।

ऋणात्मक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना

ऋणात्मक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, इन संख्याओं को पहले विपरीत चिह्न वाली संख्याओं से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, और फिर उपरोक्त एल्गोरिदम का उपयोग करके गणना की जानी चाहिए।

उदाहरण 9

एलसीएम (54, − 34) = एलसीएम (54, 34) और एलसीएम (− 622, − 46, − 54, − 888) = एलसीएम (622, 46, 54, 888)।

यदि हम इसे स्वीकार करते हैं तो ऐसे कार्यों की अनुमति है एऔर − ए-विपरीत संख्याएँ,
फिर किसी संख्या के गुणजों का समुच्चय एकिसी संख्या के गुणजों के समुच्चय से मेल खाता है − ए.

उदाहरण 10

ऋणात्मक संख्याओं का LCM ज्ञात करना आवश्यक है − 145 और − 45 .

समाधान

आइए संख्याओं को बदलें − 145 और − 45 उनके विपरीत संख्याओं के लिए 145 और 45 . अब, एल्गोरिदम का उपयोग करके, हम एलसीएम (145, 45) = 145 · 45: जीसीडी (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305 की गणना करते हैं, पहले यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग करके जीसीडी निर्धारित करते हैं।

हम पाते हैं कि संख्याओं का LCM - 145 है और − 45 के बराबर होती है 1 305 .

उत्तर:एलसीएम (- 145, - 45) = 1,305।

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