बलों की एक मनमाना स्थानिक प्रणाली को केंद्र में लाने के विशेष मामले। बलों की एक समतल प्रणाली के संतुलन समीकरणों के सरलतम रूप में कमी के मामले

मान लीजिए विभिन्न तलों में कार्य करने वाले आघूर्णों वाले कई युग्म बलों को एक कठोर पिंड पर एक साथ लागू किया जाता है। क्या जोड़े की इस प्रणाली को सरल रूप में कम करना संभव है? यह पता चला है कि यह संभव है, और इसका उत्तर दो जोड़ों को जोड़ने पर निम्नलिखित प्रमेय द्वारा सुझाया गया है।

प्रमेय. विभिन्न तलों में कार्य करने वाले बलों के दो जोड़े, बलों के एक जोड़े के बराबर होते हैं जिनका क्षण दिए गए जोड़ों के क्षणों के ज्यामितीय योग के बराबर होता है।

मान लीजिए कि जोड़े को उनके क्षणों और (चित्र 36, ए) द्वारा परिभाषित किया गया है। आइए इन सदिशों (जोड़ियों की क्रिया का तल) के लंबवत दो विमानों का निर्माण करें और, दोनों जोड़ों के लिए आम कंधे के लिए विमानों के चौराहे की रेखा पर एक निश्चित खंड एबी का चयन करें, हम संबंधित जोड़े का निर्माण करेंगे: (छवि) 36, बी).

किसी जोड़े के क्षण की परिभाषा के अनुसार हम लिख सकते हैं

बिंदु A और B पर हमारे पास अभिसरण बल हैं। बलों के समांतर चतुर्भुज के नियम (स्वयंसिद्ध 3) को लागू करने पर, हमें प्राप्त होगा:

दिए गए जोड़े दो बलों के बराबर बनते हैं, जो एक जोड़ी भी बनाते हैं। इस प्रकार, प्रमेय का पहला भाग सिद्ध होता है। प्रमेय का दूसरा भाग परिणामी जोड़ी के क्षण की प्रत्यक्ष गणना द्वारा सिद्ध होता है:

यदि युग्मों की संख्या अनेक हो तो उन्हें इस प्रमेय के अनुसार युग्मों में जोड़कर किसी भी युग्मों की संख्या को एक युग्म में घटाया जा सकता है। परिणामस्वरूप, हम निम्नलिखित निष्कर्ष पर पहुंचते हैं: एक बिल्कुल कठोर शरीर पर लागू बलों के जोड़े का एक सेट (प्रणाली) सभी दिए गए जोड़ों के क्षणों के ज्यामितीय योग के बराबर एक पल के साथ एक जोड़े में कम किया जा सकता है।

गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

चित्र में. चित्र 37 परिणामी निष्कर्ष का एक ज्यामितीय चित्रण देता है।

बल युग्मों के संतुलन के लिए, यह आवश्यक है कि परिणामी युग्म का क्षण शून्य के बराबर हो, जो समानता की ओर ले जाता है

इस स्थिति को ज्यामितीय एवं विश्लेषणात्मक रूप में व्यक्त किया जा सकता है। बलों के युग्मों के संतुलन के लिए ज्यामितीय स्थिति: बलों के युग्मों की एक प्रणाली के संतुलन में होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि सभी युग्मों के क्षणों से निर्मित वेक्टर बहुभुज बंद हो।

बल युग्मों के संतुलन के लिए विश्लेषणात्मक स्थिति: बल युग्मों की एक प्रणाली के संतुलन में होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि मनमाने ढंग से चुने गए समन्वय अक्ष ऑक्सीज़ पर सभी युग्मों के क्षण वैक्टर के अनुमानों का बीजगणितीय योग शून्य के बराबर हो:

यदि सभी जोड़े एक ही विमान में स्थित हैं, यानी, वे जोड़े की एक सपाट प्रणाली बनाते हैं, तो केवल एक विश्लेषणात्मक संतुलन स्थिति प्राप्त होती है - जोड़े के बीजगणितीय क्षणों का योग शून्य के बराबर है।

स्व-परीक्षण प्रश्न

1. बल बहुभुज नियम क्या है? बल बहुभुज का उपयोग किसके लिए किया जाता है?

2. विश्लेषणात्मक रूप से अभिसरण बलों का परिणाम कैसे ज्ञात करें?

3. अभिसरण बलों के संतुलन के लिए ज्यामितीय स्थिति क्या है? इसी स्थिति को विश्लेषणात्मक रूप से कैसे तैयार किया जाता है?

4. तीन बल प्रमेय बताएं।

5. कौन सी स्थैतिक समस्याओं को स्थैतिक रूप से परिभाषित कहा जाता है और किसे स्थैतिक रूप से अनिश्चित कहा जाता है? स्थैतिक रूप से अनिश्चित समस्या का एक उदाहरण दीजिए।

6. बलों का युग्म किसे कहते हैं?

7. बलों के युग्म का आघूर्ण (वेक्टर-मोमेंट) क्या कहलाता है? उस क्षण की दिशा, परिमाण और अनुप्रयोग बिंदु क्या हैं?

8. युग्म का बीजगणितीय क्षण क्या कहलाता है?

9. अंतरिक्ष में मनमाने ढंग से स्थित जोड़ियों को जोड़ने के लिए एक नियम बनाएं।

10. बलों के जोड़े की प्रणाली के संतुलन के लिए वेक्टर, ज्यामितीय और विश्लेषणात्मक स्थितियां क्या हैं?

किसी दिए गए केंद्र में बलों की एक मनमानी प्रणाली लाने के बारे में सांख्यिकी का मुख्य प्रमेय: बलों की कोई भी समतल प्रणाली किसी बिंदु (कमी के केंद्र) पर लागू प्रणाली के मुख्य वेक्टर के बराबर एक बल और बलों की एक जोड़ी के बराबर होती है, जिसका क्षण सापेक्ष प्रणाली के बलों के मुख्य क्षण के बराबर होता है कमी के केंद्र के लिए.

प्रमेय का प्रमाण निम्नलिखित अनुक्रम में किया जाता है: एक निश्चित बिंदु का चयन करें (उदाहरण के लिए, एक बिंदु के बारे में) कमी के केंद्र के रूप में और प्रत्येक बल को इस बिंदु पर स्थानांतरित करें, समानांतर बल स्थानांतरण पर प्रमेय के अनुसार, बलों के संबंधित जोड़े जोड़ें। परिणामस्वरूप, बिंदु पर लागू अभिसरण बलों की एक प्रणाली प्राप्त होती है के बारे में, कहां , और अतिरिक्त बल युग्मों की एक प्रणाली जिसके क्षण हैं . फिर अभिसरण बलों की प्रणाली को सिस्टम के मुख्य वेक्टर के बराबर परिणामी द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और बलों के जोड़े की प्रणाली को केंद्र के सापेक्ष सिस्टम के मुख्य क्षण के बराबर एक पल के साथ बलों की एक जोड़ी द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। कमी . परिणामस्वरूप, हमें वह ~ प्राप्त होता है। अतः प्रमेय सिद्ध है।

बलों की स्थानिक प्रणाली को सरलतम रूप में कम करने के मामले:

1, ए - सिस्टम के मुख्य क्षण के बराबर एक पल के साथ सिस्टम बलों की एक जोड़ी तक कम हो जाता है, और सिस्टम के मुख्य क्षण का मूल्य कमी के केंद्र की पसंद पर निर्भर नहीं करता है।

2, ए - बलों की प्रणाली प्रणाली के मुख्य वेक्टर के बराबर परिणामी तक कम हो जाती है, जिसकी कार्रवाई की रेखा कमी के केंद्र ओ से होकर गुजरती है।

3, और - बलों की ऐसी प्रणाली एक परिणामी तक कम हो जाती है, जो सिस्टम के मुख्य वेक्टर के बराबर होती है, जिसकी कार्रवाई की रेखा कमी के पिछले केंद्र से एक दूरी से स्थानांतरित हो जाती है।

4 यदि मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण हैं, तो बलों की प्रणाली संतुलित होगी, अर्थात। ~0.

2.1.5 बलों की एक समतल प्रणाली के लिए संतुलन की स्थितियाँ

किसी भी समतल बलों की प्रणाली के संतुलन के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थितियाँ समीकरणों द्वारा निर्धारित की जाती हैं:

बलों की एक समतल प्रणाली के मुख्य वेक्टर का परिमाण निर्भरता द्वारा निर्धारित किया जाता है:, और निर्भरता द्वारा मुख्य क्षण।

मुख्य सदिश तभी शून्य के बराबर होगा जब एक साथ . नतीजतन, संतुलन की स्थिति तब संतुष्ट होती है जब निम्नलिखित विश्लेषणात्मक समीकरण संतुष्ट होते हैं:

ये समीकरण बुनियादी हैं ( पहला ) बलों की एक मनमानी समतल प्रणाली के संतुलन के लिए विश्लेषणात्मक स्थितियों का रूप, जो निम्नानुसार तैयार की गई हैं: बलों की एक मनमानी समतल प्रणाली के संतुलन के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि दोनों समन्वय अक्षों में से प्रत्येक पर सभी बलों के प्रक्षेपण का योग और विमान के किसी भी बिंदु के सापेक्ष इन बलों के क्षणों का बीजगणितीय योग हो। बलों की क्रिया शून्य के बराबर है.

ध्यान दें कि सामान्य स्थिति में बलों की एक मनमानी समतल प्रणाली के लिए संतुलन समीकरणों की संख्या तीन है। इन्हें विभिन्न रूपों में प्रस्तुत किया जा सकता है।

बलों की एक मनमानी समतल प्रणाली के लिए संतुलन समीकरण के दो और रूप हैं, जिनकी पूर्ति संतुलन की स्थिति को व्यक्त करती है ()।

दूसराविश्लेषणात्मक संतुलन की स्थिति का रूप प्रदान करता है: बलों की एक मनमानी समतल प्रणाली के संतुलन के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि दो बिंदुओं के सापेक्ष सभी बलों के क्षणों का योग और एक अक्ष पर इन बलों के प्रक्षेपण का योग, जो इनके माध्यम से खींची गई सीधी रेखा के लंबवत नहीं है। अंक शून्य के बराबर हैं:

(रेखा अबअक्ष के लंबवत नहीं ओह)

आइए सूत्रबद्ध करें तीसरा विचाराधीन बलों की प्रणाली के संतुलन के लिए विश्लेषणात्मक स्थितियों का रूप: बलों की एक मनमानी समतल प्रणाली के संतुलन के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि एक ही सीधी रेखा पर न पड़ने वाले किन्हीं तीन बिंदुओं के सापेक्ष प्रणाली के बलों के क्षणों का योग शून्य के बराबर हो:

समानांतर बलों की समतल प्रणाली के मामले में, आप अक्ष को निर्देशित कर सकते हैं कहांव्यवस्था की शक्तियों के समानांतर। फिर सिस्टम के प्रत्येक बल का अक्ष पर प्रक्षेपण ओहशून्य के बराबर होगा. परिणामस्वरूप, समानांतर बलों की एक समतल प्रणाली के लिए दो प्रकार की संतुलन स्थितियाँ बनी रहेंगी।

समानांतर बलों की एक समतल प्रणाली के संतुलन के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि उनके समानांतर अक्ष पर सभी बलों के प्रक्षेपण का योग और किसी भी बिंदु के सापेक्ष सभी बलों के क्षणों का योग शून्य के बराबर हो:

समानांतर बलों की एक समतल प्रणाली के लिए विश्लेषणात्मक संतुलन स्थितियों का यह पहला रूप समीकरणों () से अनुसरण करता है।

हम समीकरणों () से समानांतर बलों की एक समतल प्रणाली के लिए संतुलन की स्थिति का दूसरा रूप प्राप्त करते हैं।

समानांतर बलों की एक समतल प्रणाली के संतुलन के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि दो बिंदुओं के सापेक्ष प्रणाली के सभी बलों के क्षणों का योग जो बलों के समानांतर एक सीधी रेखा पर नहीं हैं, शून्य के बराबर है:

जैसा कि § 12 में दिखाया गया है, किसी भी एक को सामान्य मामले में मुख्य वेक्टर आर के बराबर बल में कम किया जाता है और एक मनमाना केंद्र ओ पर लागू किया जाता है, और मुख्य क्षण के बराबर एक पल के साथ एक जोड़ी में (चित्र 40, बी देखें) ). आइए जानें कि संतुलन में नहीं रहने वाले बलों की एक स्थानिक प्रणाली को किस सरलतम रूप में कम किया जा सकता है। परिणाम उन मानों पर निर्भर करता है जो इस प्रणाली में मात्राओं R और के लिए हैं

1. यदि बलों की किसी दी गई प्रणाली के लिए, तो इसे बलों की एक जोड़ी में घटा दिया जाता है जिसका क्षण बराबर होता है और सूत्र (50) का उपयोग करके गणना की जा सकती है। इस मामले में, जैसा कि § 12 में दिखाया गया था, मान केंद्र O की पसंद पर निर्भर नहीं करता है।

2. यदि बलों की दी गई प्रणाली के लिए, तो इसे R के बराबर परिणामी में घटा दिया जाता है, जिसकी क्रिया की रेखा केंद्र O से होकर गुजरती है। R का मान सूत्र (49) का उपयोग करके पाया जा सकता है।

3. यदि बलों की किसी दी गई प्रणाली के लिए, लेकिन तब यह प्रणाली भी R के बराबर परिणामी तक कम हो जाती है, लेकिन केंद्र O से होकर नहीं गुजरती है।

दरअसल, जब सदिश द्वारा निरूपित जोड़ा और बल R एक ही तल में स्थित होते हैं (चित्र 91)।

फिर, मापांक आर में जोड़ी की ताकतों को बराबर चुनना और उन्हें चित्र में दिखाए अनुसार व्यवस्थित करना। 91, हम पाते हैं कि बल परस्पर संतुलित होंगे, और सिस्टम को एक परिणामी क्रिया रेखा द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा जो बिंदु O से होकर गुजरती है (देखें, § 15, पैराग्राफ 2, बी)। दूरी ) सूत्र (28) द्वारा निर्धारित की जाती है, जहां

यह सत्यापित करना आसान है कि विचार किया गया मामला, विशेष रूप से, हमेशा एक ही विमान में स्थित समानांतर बलों या बलों की किसी भी प्रणाली के लिए घटित होगा, यदि इस प्रणाली का मुख्य वेक्टर यदि बलों की दी गई प्रणाली के लिए है और वेक्टर समानांतर है आर (चित्र 92, ए), इसका मतलब है कि बलों की प्रणाली बल आर और एक जोड़ी पी, पी के संयोजन में कम हो जाती है जो बल के लंबवत विमान में स्थित है (चित्र 92, बी)। बल और युग्म के ऐसे संयोजन को गतिशील पेंच कहा जाता है, और जिस सीधी रेखा के साथ वेक्टर आर निर्देशित होता है वह पेंच की धुरी होती है। बलों की इस प्रणाली का और अधिक सरलीकरण असंभव है। वास्तव में, यदि हम किसी अन्य बिंदु C को कमी के केंद्र के रूप में लेते हैं (चित्र 92, a), तो वेक्टर को बिंदु C पर मुक्त रूप में स्थानांतरित किया जा सकता है, और जब बल R को बिंदु C पर स्थानांतरित किया जाता है (§ 11 देखें) , वेक्टर आर के लंबवत क्षण के साथ एक और जोड़ी, और इसलिए। परिणामस्वरूप, परिणामी युग्म का आघूर्ण संख्यात्मक रूप से अधिक होगा, इसलिए केंद्र O पर लाए जाने पर इस मामले में परिणामी युग्म के आघूर्ण का मान सबसे छोटा होगा। बलों की इस प्रणाली को एक बल (परिणामी) या एक जोड़े तक कम नहीं किया जा सकता है।

यदि जोड़ी के बलों में से एक, उदाहरण के लिए पी, को बल आर में जोड़ा जाता है, तो विचाराधीन बलों की प्रणाली को दो क्रॉसिंग बलों द्वारा भी प्रतिस्थापित किया जा सकता है, यानी, बल क्यू और एक ही विमान में झूठ नहीं बोल रहे हैं (चित्र) .93). चूंकि बलों की परिणामी प्रणाली एक गतिशील पेंच के बराबर होती है, इसलिए इसका कोई परिणामी भी नहीं होता है।

5. यदि बलों की किसी प्रणाली के लिए और एक ही समय में वेक्टर और आर एक दूसरे के लंबवत नहीं हैं और समानांतर नहीं हैं, तो बलों की ऐसी प्रणाली भी एक गतिशील पेंच में बदल जाती है, लेकिन पेंच की धुरी नहीं होगी केंद्र O से गुजरें.

इसे सिद्ध करने के लिए, आइए हम वेक्टर को घटकों में विघटित करें: आर के अनुदिश निर्देशित, और आर के लंबवत (चित्र 94)। इस मामले में, वेक्टर और आर कहां हैं। वेक्टर और बल आर द्वारा दर्शाया गया जोड़ा हो सकता है, जैसा कि चित्र में दिखाए गए मामले में है। 91, बिंदु O पर लागू एक बल R द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा। फिर बलों की इस प्रणाली को एक बल और समानांतर टॉर्क की एक जोड़ी द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा, और एक मुक्त वेक्टर के रूप में वेक्टर को बिंदु O पर भी लागू किया जा सकता है। परिणाम वास्तव में होगा एक गतिशील पेंच बनें, लेकिन बिंदु से गुजरने वाली एक धुरी के साथ

यदि, बलों की स्थानिक प्रणाली को चयनित केंद्र O पर लाने के बाद, मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण शून्य के बराबर हैं, अर्थात।

बलों की व्यवस्था संतुलित है. बलों की ऐसी प्रणाली के प्रभाव में, ठोस शरीर संतुलन में होगा। यह स्पष्ट है कि सामान्य स्थिति में, दो वेक्टर समीकरण (4.1) छह अदिश समीकरणों के अनुरूप होते हैं, जो चुने हुए समन्वय प्रणाली (उदाहरण के लिए, कार्टेशियन) के अक्षों पर इन वैक्टरों के अनुमानों के शून्य की समानता को दर्शाते हैं।

यदि, बलों की स्थानिक प्रणाली को चयनित केंद्र O पर लाने के बाद, मुख्य वेक्टर शून्य के बराबर है, और मुख्य क्षण शून्य के बराबर नहीं है, अर्थात।

बलों का एक परिणामी युग्म शरीर पर कार्य करता है, उसे घुमाने की प्रवृत्ति रखता है। ध्यान दें कि इस मामले में कटौती केंद्र का चुनाव परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।

यदि, बलों की स्थानिक प्रणाली को चयनित केंद्र O पर लाने के बाद, मुख्य वेक्टर शून्य के बराबर नहीं है, और मुख्य क्षण शून्य के बराबर है, अर्थात।

शरीर पर बलों की परिणामी प्रणाली द्वारा कार्य किया जाता है जो कमी के केंद्र से होकर गुजरती है और शरीर को उसकी कार्रवाई की रेखा के साथ स्थानांतरित करती है। यह स्पष्ट है कि संबंध (4.3.) परिणामी की क्रिया रेखा के सभी बिंदुओं के लिए मान्य हैं।

ध्यान दें कि अभिसरण बलों की एक प्रणाली की कार्रवाई इस मामले में कम हो जाती है यदि सिस्टम की ताकतों की कार्रवाई की रेखाओं के चौराहे के बिंदु को कमी के केंद्र के रूप में लिया जाता है (क्योंकि इस बिंदु के सापेक्ष बलों के क्षण बराबर होते हैं) शून्य तक)।

यदि, बलों की स्थानिक प्रणाली को चयनित केंद्र O पर लाने के बाद, मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण शून्य के बराबर नहीं हैं, और उनकी दिशाएँ एक समकोण बनाती हैं, अर्थात।

तब बलों की ऐसी प्रणाली को परिणामी में भी कम किया जा सकता है, लेकिन कमी के दूसरे केंद्र - बिंदु से गुजरते हुए। इस ऑपरेशन को करने के लिए, हम पहले चित्र में दिखाए गए समतुल्य बल प्रणालियों पर विचार करते हैं। 4.2.बी और अंजीर। 4.1. जाहिर है, अगर हम नोटेशन बदलते हैं (बिंदु बी को केंद्र ओ कहा जाता है, बिंदु ए को केंद्र कहा जाता है), हमारे सामने आने वाले कार्य को बल के समानांतर हस्तांतरण पर लेम्मा में किए गए ऑपरेशन के विपरीत करने की आवश्यकता होती है। उपरोक्त को ध्यान में रखते हुए, बिंदु, सबसे पहले, केंद्र O से गुजरने वाले मुख्य क्षण के वेक्टर के लंबवत एक विमान में स्थित होना चाहिए, और, दूसरी बात, मुख्य वेक्टर की कार्रवाई की रेखा के समानांतर एक रेखा पर स्थित होना चाहिए। बल और उससे h के बराबर दूरी पर अलग हो गए

मिली दो पंक्तियों में से, आपको उन बिंदुओं के लिए एक को चुनना चाहिए जिनके मुख्य क्षण का वेक्टर शून्य के बराबर है (नए केंद्र के सापेक्ष बलों के मुख्य वेक्टर का क्षण परिमाण में बराबर और दिशा में विपरीत होना चाहिए) बिंदु O के सापेक्ष बलों की प्रणाली का मुख्य क्षण)।

सामान्य स्थिति में, बलों की स्थानिक प्रणाली को चयनित केंद्र O पर लाने के बाद, मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण, जो शून्य के बराबर नहीं हैं, एक दूसरे के साथ समकोण नहीं बनाते हैं (चित्र 4.5.ए)।

यदि मुख्य क्षण को दो घटकों में विघटित किया जाता है - मुख्य बल वेक्टर के साथ और उसके लंबवत, तो, (4.5) के अनुसार, एक कमी केंद्र पाया जा सकता है जिसके लिए मुख्य क्षण का लंबवत घटक शून्य के बराबर हो जाता है, और मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण के पहले घटकों के परिमाण और दिशाएँ समान रहती हैं (चित्र 4.5.बी)। सदिशों के संग्रह को कहा जाता है शक्ति पेंचया डाइनेमो.

इससे अधिक सरलीकरण संभव नहीं है.

चूंकि कमी के केंद्र में इस तरह के बदलाव के साथ, केवल मुख्य क्षण का प्रक्षेपण बलों की प्रणाली के मुख्य वेक्टर के लंबवत दिशा में बदलता है, इन वैक्टरों के स्केलर उत्पाद का मूल्य अपरिवर्तित रहता है, यानी।

इस अभिव्यक्ति को कहा जाता है दूसरा अपरिवर्तनीय

स्थिति-विज्ञान.

उदाहरण 4.1. भुजाओं वाले एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज के शीर्षों पर बल कार्य करते हैं और (चित्र 4.6 देखें)। बल प्रणाली की कमी के केंद्र के रूप में चित्र में दर्शाए गए कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के निर्देशांक की उत्पत्ति को लेते हुए, मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण के अनुमानों के लिए अभिव्यक्ति लिखें।

आइए कोण निर्धारित करने के लिए त्रिकोणमितीय संबंध लिखें:

अब हम मुख्य वेक्टर के अनुमानों और सिस्टम की ताकतों के मुख्य क्षण के लिए अभिव्यक्ति लिख सकते हैं:

ध्यान दें: समन्वय अक्षों पर वेक्टर प्रक्षेपणों का ज्ञान, यदि आवश्यक हो, तो इसके परिमाण और दिशा कोसाइन की गणना करने की अनुमति देगा।

जैसा कि ऊपर सिद्ध किया गया था, अंतरिक्ष में मनमाने ढंग से स्थित बलों की एक मनमानी प्रणाली को सिस्टम के मुख्य वेक्टर के बराबर एक बल में कम किया जा सकता है और एक मनमाना कमी केंद्र पर लागू किया जा सकता है के बारे में, और एक ही केंद्र के सापेक्ष सिस्टम के मुख्य क्षण के बराबर एक क्षण वाला एक जोड़ा। इसलिए, भविष्य में, बलों की एक मनमानी प्रणाली को दो वैक्टरों के समतुल्य सेट द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है - एक बिंदु पर लागू बल और क्षण के बारे में. कमी के केंद्र की स्थिति बदलते समय के बारे मेंमुख्य वेक्टर परिमाण और दिशा बनाए रखेगा, लेकिन मुख्य क्षण बदल जाएगा। आइए हम सिद्ध करें कि यदि मुख्य सदिश अशून्य है और मुख्य क्षण के लंबवत है, तो बलों की प्रणाली एक बल में कम हो जाती है, जिसे इस मामले में हम परिणामी कहेंगे (चित्र 8)। मुख्य क्षण को कंधे के साथ बलों (,) की एक जोड़ी द्वारा दर्शाया जा सकता है, फिर बल और मुख्य वेक्टर दो की एक प्रणाली बनाते हैं

शून्य के बराबर बल, जिसे त्यागा जा सकता है। मुख्य के समानांतर एक सीधी रेखा पर कार्य करने वाला एक बल रहेगा

वेक्टर के लिए चित्र 8 और कुछ दूरी पर गुजर रहा है

एच= सदिशों द्वारा निर्मित तल से तथा . विचाराधीन मामले से पता चलता है कि यदि हम शुरू से ही सीधी रेखा पर कमी का केंद्र चुनते हैं एल,तब बलों की प्रणाली को तुरंत परिणामी पर लाया जाएगा, मुख्य क्षण शून्य के बराबर होगा। अब हम यह साबित करेंगे कि यदि मुख्य वेक्टर गैर-शून्य है और मुख्य क्षण के लंबवत नहीं है, तो ऐसे बिंदु को कमी केंद्र के रूप में चुना जा सकता है के बारे में* कि इस बिंदु के सापेक्ष मुख्य क्षण और मुख्य वेक्टर एक ही सीधी रेखा पर स्थित होंगे। इसे साबित करने के लिए, आइए हम क्षण को दो घटकों में विघटित करें - एक मुख्य वेक्टर के साथ निर्देशित, और दूसरा मुख्य वेक्टर के लंबवत। इस प्रकार, बलों की जोड़ी को क्षणों के साथ दो जोड़े में विघटित किया जाता है: और, और पहली जोड़ी का विमान लंबवत होता है, फिर दूसरी जोड़ी का विमान, वेक्टर के लंबवत होता है (चित्र 9) में वेक्टर होता है। एक क्षण और एक बल के साथ युग्म का संयोजन बलों की एक प्रणाली बनाता है, जिसे बिंदु O* से गुजरते हुए एक बल (चित्र 8) में घटाया जा सकता है। इस प्रकार (चित्र 9), बिंदु पर मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण का संयोजन के बारे मेंएक बिंदु से गुजरने वाले बल में कम हो गया के बारे में*, और इस रेखा के समानांतर एक क्षण वाला एक युग्म, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता थी। एक बल और एक युग्म का संयोजन, जिसका तल बल की क्रिया की रेखा के लंबवत होता है, गतिशीलता कहलाता है (चित्र 10)। बलों की एक जोड़ी को समान परिमाण के दो बलों (,) द्वारा दर्शाया जा सकता है, जैसा कि चित्र 10 में दिखाया गया है। लेकिन दो बलों को जोड़ने पर, हम उनका योग और शेष बल प्राप्त करते हैं, जिससे यह निम्नानुसार होता है (चित्र 10) ) कि बिंदु में मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण का संयोजन के बारे में, को दो गैर-प्रतिच्छेदी बलों और में घटाया जा सकता है।

आइए बलों की प्रणाली में कमी के कुछ मामलों पर विचार करें।

1. बलों की समतल प्रणाली। निश्चितता के लिए, सभी बलों को समतल में रहने दें ऑक्सी. फिर सबसे सामान्य मामले में

मुख्य वेक्टर शून्य नहीं है, मुख्य क्षण शून्य नहीं है, उनका डॉट उत्पाद वास्तव में शून्य है

इसलिए, मुख्य वेक्टर मुख्य क्षण के लंबवत है: बलों की समतल प्रणाली परिणामी तक कम हो जाती है।

2. समानांतर बलों की प्रणाली. निश्चितता के लिए, सभी बलों को अक्ष के समानांतर होने दें आउंस. फिर सबसे सामान्य मामले में

यहां भी मुख्य वेक्टर शून्य के बराबर नहीं है, मुख्य क्षण शून्य के बराबर नहीं है, और उनका अदिश उत्पाद वास्तव में शून्य के बराबर है

इसलिए, इस मामले में, मुख्य वेक्टर मुख्य क्षण के लंबवत है: समानांतर बलों की प्रणाली परिणामी तक कम हो जाती है। विशेष मामले में, यदि शून्य के बराबर है, तो बलों का मुख्य वेक्टर शून्य के बराबर है, और बलों की प्रणाली बलों की एक जोड़ी में कम हो जाती है, जिसका क्षण वेक्टर विमान में है ऑक्सी. आइए अब हम विचार किए गए मामलों को व्यवस्थित करें। आइए हम याद करें: एक कठोर शरीर पर लागू बलों की एक मनमाना स्थानिक प्रणाली सांख्यिकीय रूप से शरीर के एक मनमाना बिंदु (कमी के केंद्र) पर लागू मुख्य वेक्टर के बराबर बल के बराबर होती है, और एक क्षण के बराबर बलों की एक जोड़ी होती है कमी के निर्दिष्ट केंद्र के सापेक्ष बलों की प्रणाली का मुख्य क्षण।