आर्क्सिन ग्राफ और गुण। व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन, उनके ग्राफ़ और सूत्र

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन(गोलाकार फलन, चाप फलन) - गणितीय फलन जो त्रिकोणमितीय फलन के व्युत्क्रम होते हैं।

आर्कसीन(इस रूप में घोषित किया गया आर्कसिन एक्स; आर्कसिन एक्स- यह कोण है पापउसके बराबर एक्स).

आर्कसीन (y = आर्क्सिन x) - व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन पाप (एक्स = पाप वाई), जिसमें एक डोमेन और मानों का एक सेट है . दूसरे शब्दों में, कोण को उसके मान से लौटाता है पाप.

समारोह y=पाप xसतत है और अपनी संपूर्ण संख्या रेखा से घिरा हुआ है। समारोह y=आर्क्सिन x- सख्ती से बढ़ता है.

आर्क्सिन फ़ंक्शन के गुण।

आर्कसीन कथानक.

आर्क्सिन फ़ंक्शन प्राप्त करना।

एक फंक्शन है y = पाप x. परिभाषा के अपने पूरे क्षेत्र में यह टुकड़े-टुकड़े एकरस है, इस प्रकार उलटा पत्राचार है y = आर्क्सिन xकोई फ़ंक्शन नहीं है. इसलिए, हम उस खंड पर विचार करते हैं जिस पर यह केवल बढ़ता है और मानों की श्रेणी के प्रत्येक मान को लेता है -। क्योंकि समारोह के लिए y = पाप xअंतराल पर, फ़ंक्शन के सभी मान तर्क के केवल एक मान से प्राप्त होते हैं, जिसका अर्थ है कि इस अंतराल पर एक व्युत्क्रम फ़ंक्शन होता है y = आर्क्सिन x, जिसका ग्राफ़ फ़ंक्शन के ग्राफ़ के सममित है y = पाप xअपेक्षाकृत सीधे खंड पर वाई = एक्स.

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों से संबंधित समस्याएं अक्सर स्कूल की अंतिम परीक्षाओं और कुछ विश्वविद्यालयों की प्रवेश परीक्षाओं में पेश की जाती हैं। इस विषय का विस्तृत अध्ययन केवल वैकल्पिक कक्षाओं या वैकल्पिक पाठ्यक्रमों में ही प्राप्त किया जा सकता है। प्रस्तावित पाठ्यक्रम प्रत्येक छात्र की क्षमताओं को यथासंभव पूर्ण रूप से विकसित करने और उनकी गणितीय तैयारी में सुधार करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।

कोर्स 10 घंटे तक चलता है:

1.फ़ंक्शन आर्क्सिन एक्स, आर्ककोस एक्स, आर्कटीजी एक्स, आर्कसीटीजी एक्स (4 घंटे)।

2. व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों पर संचालन (4 घंटे)।

3. त्रिकोणमितीय कार्यों पर व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय संचालन (2 घंटे)।

पाठ 1 (2 घंटे) विषय: फलन y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x।

लक्ष्य: इस मुद्दे का संपूर्ण कवरेज.

1.फ़ंक्शन y = आर्क्सिन x.

ए) फ़ंक्शन y = पाप x के लिए खंड पर एक व्युत्क्रम (एकल-मूल्यवान) फ़ंक्शन है, जिसे हम आर्क्साइन कहने और इसे निम्नानुसार निरूपित करने के लिए सहमत हुए हैं: y = आर्क्सिन x। व्युत्क्रम फ़ंक्शन का ग्राफ़ I - III समन्वय कोणों के समद्विभाजक के संबंध में मुख्य फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ सममित है।

फ़ंक्शन के गुण y = आर्क्सिन x।

1) परिभाषा का क्षेत्र: खंड [-1; 1];

2)परिवर्तन का क्षेत्र: खंड;

3)फ़ंक्शन y = आर्क्सिन x विषम: आर्क्सिन (-x) = - आर्क्सिन x;

4) फलन y = आर्क्सिन x एकरस रूप से बढ़ रहा है;

5) ग्राफ मूल बिंदु पर ऑक्स, ओय अक्षों को काटता है।

उदाहरण 1. a = आर्क्सिन ज्ञात कीजिए। इस उदाहरण को इस प्रकार विस्तार से तैयार किया जा सकता है: एक तर्क खोजें a, जो से की सीमा में है, जिसकी ज्या बराबर है।

समाधान। ऐसे अनगिनत तर्क हैं जिनकी ज्या बराबर है, उदाहरण के लिए: वगैरह। लेकिन हम केवल उस तर्क में रुचि रखते हैं जो खंड पर है। यही तर्क होगा. इसलिए, ।

उदाहरण 2. खोजें .समाधान।उदाहरण 1 की तरह ही तर्क करने पर, हम पाते हैं .

बी) मौखिक व्यायाम. खोजें: आर्क्सिन 1, आर्क्सिन (-1), आर्क्सिन, आर्क्सिन(), आर्क्सिन, आर्क्सिन(), आर्क्सिन, आर्क्सिन(), आर्क्सिन 0। नमूना उत्तर: , क्योंकि . क्या भाव समझ में आते हैं: ; आर्कसिन 1.5; ?

ग) आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: आर्क्सिन, आर्क्सिन (-0.3), आर्क्सिन 0.9।

द्वितीय. फलन y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (समान)।

पाठ 2 (2 घंटे) विषय: व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन, उनके ग्राफ़।

उद्देश्य: इस पाठ में त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को निर्धारित करने, डी (वाई), ई (वाई) और आवश्यक परिवर्तनों का उपयोग करके व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के ग्राफ बनाने में कौशल विकसित करना आवश्यक है।

इस पाठ में, संपूर्ण अभ्यास जिसमें परिभाषा के क्षेत्र, प्रकार के कार्यों के मूल्य के डोमेन को ढूंढना शामिल है: y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos।

आपको फ़ंक्शंस के ग्राफ़ बनाने चाहिए: a) y = arcsin 2x; बी) वाई = 2 आर्कसिन 2एक्स; सी) वाई = आर्क्सिन;

घ) y = आर्क्सिन; ई) वाई = आर्क्सिन; ई) वाई = आर्क्सिन; जी) वाई = | आर्कसिन | .

उदाहरण।आइए y = आर्ककोस आलेखित करें

आप अपने होमवर्क में निम्नलिखित अभ्यास शामिल कर सकते हैं: फ़ंक्शंस के ग्राफ़ बनाएं: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | एक्स | .

व्युत्क्रम फलनों के रेखांकन

लक्ष्य: व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए बुनियादी संबंधों को शुरू करके गणितीय ज्ञान का विस्तार करना (गणितीय प्रशिक्षण के लिए बढ़ी हुई आवश्यकताओं के साथ विशिष्टताओं में प्रवेश करने वालों के लिए यह महत्वपूर्ण है)।

पाठ के लिए सामग्री.

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों पर कुछ सरल त्रिकोणमितीय संक्रियाएँ: पाप (आर्क्सिन एक्स) = एक्स, मैं xi? 1; cos (arсcos x) = x, i xi? 1; टीजी (आर्कटग एक्स)= एक्स , एक्स आई आर; सीटीजी (arcctg x) = x , x I R.

व्यायाम.

ए) टीजी (1.5 + आर्कटीजी 5) = - सीटीजी (आर्कटीजी 5) = .

सीटीजी (आर्कटीजी एक्स) = ; टीजी (आर्कसीटीजी एक्स) =।

बी) कॉस (+ आर्क्सिन 0.6) = - कॉस (आर्क्सिन 0.6)। मान लीजिए आर्कसिन 0.6 = ए, पाप ए = 0.6;

कॉस (आर्क्सिन x) = ; पाप (आर्कोस x) = .

ध्यान दें: हम मूल के सामने "+" चिन्ह लेते हैं क्योंकि a = arcsin x संतुष्ट करता है।

ग) पाप (1.5 + आर्क्सिन)। उत्तर: ;

डी) सीटीजी ( + आर्कटीजी 3)। उत्तर: ;

ई) टीजी (-आर्कसीटीजी 4)। उत्तर:।

ई) कॉस (0.5 + आर्ककोस)। उत्तर: ।

गणना करें:

ए) पाप (2 आर्कटान 5) .

माना आर्कटान 5 = ए, तो पाप 2 ए = या पाप (2 आर्कटिक 5) = ;

बी) कॉस (+2 आर्कसिन 0.8)। उत्तर: 0.28।

सी) आर्कटीजी + आर्कटीजी।

माना a = arctg, b = arctg,

तब tg(a + b) = .

घ) पाप (आर्क्सिन + आर्क्सिन)।

ई) सिद्ध करें कि सभी x I के लिए [-1; 1] सच्चा आर्क्सिन x + आर्ककोस x =।

सबूत:

आर्कसिन एक्स = - आर्ककोस एक्स

पाप (आर्क्सिन x) = पाप (- आर्ककोस x)

एक्स = कॉस (आर्कोस एक्स)

इसे स्वयं हल करने के लिए:पाप (आर्ककोस), कॉस (आर्कसिन), कॉस (आर्कसिन ()), पाप (आर्कटीजी (- 3)), टीजी (आर्ककोस), सीटीजी (आर्ककोस)।

घरेलू समाधान के लिए: 1) पाप (आर्क्सिन 0.6 + आर्कटान 0); 2) आर्क्सिन + आर्क्सिन ; 3) सीटीजी (- आर्ककोस 0.6); 4) कॉस (2 आर्कसीटीजी 5) ; 5) पाप (1.5 - आर्क्सिन 0.8); 6) आर्कटीजी 0.5 - आर्कटीजी 3।

लक्ष्य: इस पाठ में, अधिक जटिल अभिव्यक्तियों को बदलने में अनुपातों के उपयोग का प्रदर्शन करें।

पाठ के लिए सामग्री.

मौखिक रूप से:

ए) पाप (आर्कोस 0.6), कॉस (आर्क्सिन 0.8);

बी) टीजी (आर्कटग 5), सीटीजी (आर्कटग 5);

ग) पाप (आर्कटग -3), कॉस (आर्कटग());

डी) टीजी (आर्ककोस), सीटीजी (आर्ककोस())।

लिखित में:

1) कॉस (आर्क्सिन + आर्क्सिन + आर्क्सिन)।

2) कॉस (आर्कटग 5-आर्ककोस 0.8) = कॉस (आर्कटग 5) कॉस (आर्ककोस 0.8) + पाप (आर्कटग 5) पाप (आर्ककोस 0.8) =

3) टीजी (- आर्क्सिन 0.6) = - टीजी (आर्क्सिन 0.6) =

4)

स्वतंत्र कार्य से सामग्री पर महारत के स्तर की पहचान करने में मदद मिलेगी।

होमवर्क के लिए आप सुझाव दे सकते हैं:

1) सीटीजी (आर्कटीजी + आर्कटीजी + आर्कटीजी); 2) पाप 2 (आर्कटग 2 - आर्कक्टग ()); 3) पाप (2 आर्कटग + टैन ( आर्क्सिन )); 4) पाप(2 आर्कटग); 5) टीजी ( (आर्क्सिन ))

लक्ष्य: अध्ययन किए जा रहे सिद्धांत की समझ बढ़ाने पर ध्यान केंद्रित करते हुए, त्रिकोणमितीय कार्यों पर व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय संचालन के बारे में छात्रों की समझ बनाना।

इस विषय का अध्ययन करते समय, यह माना जाता है कि याद की जाने वाली सैद्धांतिक सामग्री की मात्रा सीमित है।

पाठ सामग्री:

आप फ़ंक्शन y = आर्क्सिन (sin x) का अध्ययन करके और उसका ग्राफ़ बनाकर नई सामग्री सीखना शुरू कर सकते हैं।

3. प्रत्येक x I R, y I से संबद्ध है, अर्थात।<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. फलन विषम है: पाप(-x) = - पाप x; आर्क्सिन(sin(-x)) = - आर्क्सिन(sin x).

6. ग्राफ़ y = आर्क्सिन (sin x) पर:

ए) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

बी)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

पाप y = पाप (-x) = पाप x, 0<= - x <= .

इसलिए,

पर y = आर्क्सिन (sin x) का निर्माण करने के बाद, हम [- पर मूल बिंदु के बारे में सममित रूप से जारी रखते हैं; 0], इस फ़ंक्शन की विषमता को देखते हुए। आवधिकता का उपयोग करते हुए, हम संपूर्ण संख्या रेखा के साथ आगे बढ़ते हैं।

फिर कुछ रिश्ते लिखिए: आर्कसिन (पाप ए) = ए यदि<= a <= ; arccos (cos ए ) = ए यदि 0<= a <= ; आर्कटग (टीजी ए) = ए यदि< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

और निम्नलिखित अभ्यास करें:ए) आर्ककोस(पाप 2).उत्तर: 2 - ; बी) आर्क्सिन (कॉस 0.6)। उत्तर:- 0.1; सी) आर्कटीजी (टीजी 2)। उत्तर: 2 - ;

डी) आर्कसीटीजी (टीजी 0.6)। उत्तर: 0.9; ई) आर्ककोस (कॉस (- 2))। उत्तर: 2 - ; ई) आर्क्सिन (पाप (- 0.6))। उत्तर:- 0.6; जी) आर्कटीजी (टीजी 2) = आर्कटीजी (टीजी (2 - )). उत्तर: 2 - ; ज) आर्कटिकजी (टीजी 0.6)। उत्तर:- 0.6; - आर्कटान एक्स; ई) आर्ककोस + आर्ककोस

परिभाषा और संकेतन

आर्क्साइन को कभी-कभी इस प्रकार दर्शाया जाता है:
.

आर्क्साइन फ़ंक्शन का ग्राफ़

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = आर्कसिन एक्स

यदि भुज और कोटि अक्षों की अदला-बदली की जाती है, तो साइन ग्राफ़ से आर्कसाइन ग्राफ़ प्राप्त किया जाता है। अस्पष्टता को खत्म करने के लिए, मूल्यों की सीमा उस अंतराल तक सीमित है जिस पर फ़ंक्शन मोनोटोनिक है। इस परिभाषा को आर्क्साइन का प्रमुख मान कहा जाता है।

आर्ककोसाइन, आर्ककोस

परिभाषा और संकेतन

आर्ककोसाइन को कभी-कभी इस प्रकार दर्शाया जाता है:
.

आर्क कोसाइन फ़ंक्शन का ग्राफ़

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = आर्ककोस एक्स

यदि भुज और कोटि अक्षों की अदला-बदली की जाती है तो चाप कोज्या ग्राफ कोज्या ग्राफ से प्राप्त किया जाता है। अस्पष्टता को खत्म करने के लिए, मूल्यों की सीमा उस अंतराल तक सीमित है जिस पर फ़ंक्शन मोनोटोनिक है। इस परिभाषा को चाप कोज्या का प्रमुख मान कहा जाता है।

समानता

आर्क्साइन फ़ंक्शन विषम है:
आर्क्सिन(- x) = आर्क्सिन(-sin आर्क्सिन x) = आर्क्सिन(पाप(-आर्क्सिन x)) = - आर्क्सिन एक्स

चाप कोज्या फलन सम या विषम नहीं है:
आर्ककोस(- x) = आर्ककोस(-कॉस आर्ककोस x) = आर्ककोस(cos(π-arccos x)) = π - आर्ककोस x ≠ ± आर्ककोस x

गुण-अधिकता, वृद्धि, ह्रास

आर्कसाइन और आर्ककोसाइन फलन अपनी परिभाषा के क्षेत्र में निरंतर हैं (निरंतरता का प्रमाण देखें)। आर्कसाइन और आर्ककोसाइन के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं।

आर्कसाइन और आर्ककोसाइन की तालिका

यह तालिका तर्क के कुछ मूल्यों के लिए, डिग्री और रेडियन में आर्कसाइन और आर्ककोसाइन के मान प्रस्तुत करती है।

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

सूत्रों

योग और अंतर सूत्र

पर या

पर और

पर और

पर या

पर और

पर और

पर

पर

पर

पर

लघुगणक, सम्मिश्र संख्याओं के माध्यम से व्यंजक

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के माध्यम से अभिव्यक्तियाँ

संजात

;
.
आर्क्साइन और आर्ककोसाइन डेरिवेटिव्स की व्युत्पत्ति देखें > > >

उच्च क्रम डेरिवेटिव:
,
घात का बहुपद कहाँ है? यह सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:
;
;
.

आर्कसाइन और आर्ककोसाइन के उच्च क्रम व्युत्पन्न की व्युत्पत्ति देखें > > >

अभिन्न

हम प्रतिस्थापन x = करते हैं सिंट. हम इसे ध्यान में रखते हुए भागों द्वारा एकीकृत करते हैं -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, क्योंकि टी ≥ 0:
.

आइए आर्क कोसाइन को आर्क साइन के माध्यम से व्यक्त करें:
.

शृंखला विस्तार

कब |x|< 1 निम्नलिखित अपघटन होता है:
;
.

उलटा कार्य

आर्कसाइन और आर्ककोसाइन के व्युत्क्रम क्रमशः साइन और कोसाइन हैं।

निम्नलिखित सूत्र परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में मान्य हैं:
पाप(आर्क्सिन एक्स) = एक्स
cos(arccos x) = x .

निम्नलिखित सूत्र केवल आर्कसाइन और आर्ककोसाइन मानों के सेट पर मान्य हैं:
आर्क्सिन(पाप x) = xपर
आर्ककोस(cos x) = xपर ।

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।