मॉड्यूल परिभाषाएँ. गणित में किसी संख्या का मापांक क्या है?

निर्देश

यदि किसी मॉड्यूल को एक सतत फ़ंक्शन के रूप में दर्शाया जाता है, तो उसके तर्क का मान सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है: |x| = एक्स, एक्स ≥ 0; |x| = - एक्स, एक्स

मापांक शून्य है, और किसी भी धनात्मक संख्या का मापांक है। यदि तर्क नकारात्मक है तो कोष्ठक खोलने पर उसका चिह्न ऋण से धन में बदल जाता है। इसके आधार पर, निष्कर्ष यह निकलता है कि विपरीत के मॉड्यूल बराबर हैं: |-x| = |x| = एक्स.

एक सम्मिश्र संख्या का मापांक सूत्र द्वारा पाया जाता है: |ए| = √b ² + c ², और |a + b| ≤ |ए| + |बी|. यदि तर्क में गुणक के रूप में एक सकारात्मक संख्या शामिल है, तो इसे ब्रैकेट चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है, उदाहरण के लिए: |4*बी| = 4*|बी|

यदि तर्क को एक जटिल संख्या के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, तो गणना की सुविधा के लिए आयताकार कोष्ठक में संलग्न अभिव्यक्ति की शर्तों के क्रम की अनुमति है: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 क्योंकि (2-3) शून्य से कम है।

किसी घात के लिए उठाया गया तर्क एक साथ उसी क्रम की जड़ के चिह्न के अंतर्गत होता है - इसे इसका उपयोग करके हल किया जाता है: √a² = |a| = ±ए.

यदि आपके पास कोई कार्य है जिसमें मॉड्यूल ब्रैकेट का विस्तार करने की स्थिति निर्दिष्ट नहीं है, तो उनसे छुटकारा पाने की कोई आवश्यकता नहीं है - यह अंतिम परिणाम होगा। और यदि आपको उन्हें खोलने की आवश्यकता है, तो आपको ± चिन्ह अवश्य बताना होगा। उदाहरण के लिए, आपको व्यंजक √(2 * (4-b))² का मान ज्ञात करना होगा। उसका समाधान इस तरह दिखता है: √(2 * (4-बी))² = |2 * (4-बी)| = 2* |4-बी| चूँकि अभिव्यक्ति 4-बी का चिन्ह अज्ञात है, इसे कोष्ठक में छोड़ दिया जाना चाहिए। यदि आप कोई अतिरिक्त शर्त जोड़ते हैं, उदाहरण के लिए, |4-बी| >

शून्य का मापांक शून्य के बराबर होता है, और किसी भी धनात्मक संख्या का मापांक स्वयं के बराबर होता है। यदि तर्क नकारात्मक है तो कोष्ठक खोलने पर उसका चिह्न ऋण से धन में बदल जाता है। इसके आधार पर, निष्कर्ष यह निकलता है कि विपरीत संख्याओं के मॉड्यूल बराबर हैं: |-x| = |x| = एक्स.

एक सम्मिश्र संख्या का मापांक सूत्र द्वारा पाया जाता है: |ए| = √b ² + c ², और |a + b| ≤ |ए| + |बी|. यदि तर्क में एक कारक के रूप में एक सकारात्मक पूर्णांक शामिल है, तो इसे ब्रैकेट चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है, उदाहरण के लिए: |4*b| = 4*|बी|

मापांक ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए कोई भी ऋणात्मक संख्या धनात्मक में परिवर्तित हो जाती है: |-x| = एक्स, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2.5| = 2.5.

यदि तर्क एक जटिल संख्या के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, तो गणना की सुविधा के लिए इसे आयताकार कोष्ठक में संलग्न अभिव्यक्ति की शर्तों के क्रम को बदलने की अनुमति है: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 क्योंकि (2-3) शून्य से कम है।

यदि आपके पास कोई कार्य है जिसमें मॉड्यूल ब्रैकेट का विस्तार करने की स्थिति निर्दिष्ट नहीं है, तो उनसे छुटकारा पाने की कोई आवश्यकता नहीं है - यह अंतिम परिणाम होगा। और यदि आपको उन्हें खोलने की आवश्यकता है, तो आपको ± चिन्ह अवश्य बताना होगा। उदाहरण के लिए, आपको व्यंजक √(2 * (4-b))² का मान ज्ञात करना होगा। उसका समाधान इस तरह दिखता है: √(2 * (4-बी))² = |2 * (4-बी)| = 2* |4-बी| चूँकि अभिव्यक्ति 4-बी का चिन्ह अज्ञात है, इसे कोष्ठक में छोड़ दिया जाना चाहिए। यदि आप कोई अतिरिक्त शर्त जोड़ते हैं, उदाहरण के लिए, |4-बी| > 0, तो परिणाम 2 * |4-बी| होगा = 2 *(4 - बी). अज्ञात तत्व को एक विशिष्ट संख्या पर भी सेट किया जा सकता है, जिसे ध्यान में रखा जाना चाहिए यह अभिव्यक्ति के चिन्ह को प्रभावित करेगा।

संख्याओं का मापांकयदि यह संख्या गैर-ऋणात्मक है, तो यह संख्या स्वयं कहलाती है, या यदि यह ऋणात्मक है, तो विपरीत चिह्न वाली वही संख्या कहलाती है।

उदाहरण के लिए, संख्या 5 का मापांक 5 है, और संख्या -5 का मापांक भी 5 है।

अर्थात्, किसी संख्या के मापांक को निरपेक्ष मान के रूप में समझा जाता है, इस संख्या के चिह्न को ध्यान में रखे बिना इसका निरपेक्ष मान।

इस प्रकार दर्शाया गया है: |5|, | एक्स|, |ए| वगैरह।

नियम:

स्पष्टीकरण:

|5| = 5
इसे इस प्रकार पढ़ा जाता है: संख्या 5 का मापांक 5 है।

|–5| = –(–5) = 5
इसे इस प्रकार पढ़ा जाता है: संख्या -5 का मापांक 5 है।

|0| = 0
इसे इस प्रकार पढ़ा जाता है: शून्य का मापांक शून्य है।

मॉड्यूल गुण:

मॉड्यूल का ज्यामितीय अर्थ.

किसी संख्या का मापांक शून्य से उस संख्या की दूरी है।

उदाहरण के लिए, आइए संख्या 5 को फिर से लें। 0 से 5 तक की दूरी 0 से -5 के समान है (चित्र 1)। और जब हमारे लिए केवल खंड की लंबाई जानना महत्वपूर्ण है, तो संकेत का न केवल अर्थ होता है, बल्कि अर्थ भी होता है। हालाँकि, यह पूरी तरह सच नहीं है: हम दूरी को केवल सकारात्मक संख्याओं - या गैर-नकारात्मक संख्याओं से मापते हैं। मान लीजिए हमारे पैमाने का विभाजन मूल्य 1 सेमी है। फिर शून्य से 5 तक खंड की लंबाई 5 सेमी है, शून्य से -5 तक भी 5 सेमी है।

व्यवहार में, दूरी अक्सर शून्य से ही नहीं मापी जाती - संदर्भ बिंदु कोई भी संख्या हो सकती है (चित्र 2)। लेकिन इससे सार नहीं बदलता. फॉर्म का नोटेशन |ए – बी| बिंदुओं के बीच की दूरी को व्यक्त करता है एऔर बीसंख्या रेखा पर.

उदाहरण 1। समीकरण हल करें | एक्स – 1| = 3.

समाधान ।

समीकरण का अर्थ यह है कि बिंदुओं के बीच की दूरी एक्सऔर 1, 3 के बराबर है (चित्र 2)। इसलिए, बिंदु 1 से हम बाईं ओर तीन डिवीजन और दाईं ओर तीन डिवीजन गिनते हैं - और हम दोनों मूल्यों को स्पष्ट रूप से देखते हैं एक्स:
एक्स 1 = –2, एक्स 2 = 4.

हम इसकी गणना कर सकते हैं.

│एक्स – 1 = 3
│एक्स – 1 = –3

│एक्स = 3 + 1
│एक्स = –3 + 1

│एक्स = 4
│ एक्स = –2.

उत्तर : एक्स 1 = –2; एक्स 2 = 4.

उदाहरण 2. अभिव्यक्ति मॉड्यूल खोजें:

समाधान ।

सबसे पहले, आइए जानें कि अभिव्यक्ति सकारात्मक है या नकारात्मक। ऐसा करने के लिए, हम व्यंजक को इस प्रकार रूपांतरित करते हैं कि इसमें सजातीय संख्याएँ शामिल हों। आइए 5 के मूल की तलाश न करें - यह काफी कठिन है। आइए इसे सरल बनाएं: आइए 3 और 10 को मूल तक बढ़ाएं। फिर उन संख्याओं के परिमाण की तुलना करें जो अंतर बनाते हैं:

3 = √9. इसलिए, 3√5 = √9 √5 = √45

10 = √100.

हम देखते हैं कि पहली संख्या दूसरी से कम है। इसका मतलब यह है कि अभिव्यक्ति नकारात्मक है, यानी इसका उत्तर शून्य से कम है:

3√5 – 10 < 0.

लेकिन नियम के अनुसार ऋणात्मक संख्या का मापांक विपरीत चिह्न वाली वही संख्या होती है। हमारी नकारात्मक अभिव्यक्ति है. अतः इसके चिन्ह को विपरीत चिन्ह में बदलना आवश्यक है। 3√5 – 10 के लिए विपरीत अभिव्यक्ति –(3√5 – 10) है। आइए इसमें कोष्ठक खोलें और उत्तर प्राप्त करें:

–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.

उत्तर ।

मॉड्यूल उन चीजों में से एक है जिसके बारे में हर किसी ने सुना है, लेकिन वास्तव में कोई भी वास्तव में नहीं समझता है। इसलिए, आज मॉड्यूल के साथ समीकरणों को हल करने के लिए समर्पित एक बड़ा पाठ होगा।

मैं तुरंत कहूंगा: पाठ कठिन नहीं होगा। और सामान्य तौर पर, मॉड्यूल एक अपेक्षाकृत सरल विषय है। “हाँ, बिल्कुल, यह जटिल नहीं है! यह मुझे हैरत में डाल देता है!" - कई छात्र कहेंगे, लेकिन ये सभी दिमागी दरारें इस तथ्य के कारण होती हैं कि ज्यादातर लोगों के दिमाग में ज्ञान नहीं, बल्कि किसी तरह की बकवास होती है। और इस पाठ का लक्ष्य बकवास को ज्ञान में बदलना है। :)

थोड़ा सिद्धांत

तो चलते हैं। आइए सबसे महत्वपूर्ण बात से शुरू करें: मॉड्यूल क्या है? मैं आपको याद दिला दूं कि किसी संख्या का मापांक बिल्कुल वही संख्या होता है, लेकिन ऋण चिह्न के बिना लिया जाता है। उदाहरण के लिए, $\left| -5 \दाएं|=5$. या $\left| -129.5 \दाएं|=$129.5.

क्या यह इतना आसान है? हाँ, सरल. तो फिर किसी धनात्मक संख्या का निरपेक्ष मान क्या है? यहां यह और भी सरल है: एक धनात्मक संख्या का मापांक स्वयं इस संख्या के बराबर होता है: $\left| 5 \दाएं|=5$; $\बाएं| 129.5 \right|=$129.5, आदि।

यह एक दिलचस्प बात सामने आती है: विभिन्न संख्याओं में एक ही मॉड्यूल हो सकता है। उदाहरण के लिए: $\left| -5 \दाएँ|=\बाएँ| 5 \दाएं|=5$; $\बाएं| -129.5 \दाएं|=\बाएं| 129.5\दाएं|=$129.5. यह देखना आसान है कि ये किस प्रकार की संख्याएँ हैं, जिनके मॉड्यूल समान हैं: ये संख्याएँ विपरीत हैं। इस प्रकार, हम स्वयं ध्यान दें कि विपरीत संख्याओं के मॉड्यूल बराबर हैं:

\[\बाएं| -ए \दाएं|=\बाएं| ए\दाएं|\]

एक अन्य महत्वपूर्ण तथ्य: मापांक कभी ऋणात्मक नहीं होता. हम जो भी संख्या लेते हैं - चाहे वह धनात्मक हो या ऋणात्मक - उसका मापांक सदैव धनात्मक (या चरम मामलों में, शून्य) ही निकलता है। यही कारण है कि मापांक को अक्सर किसी संख्या का निरपेक्ष मान कहा जाता है।

इसके अलावा, यदि हम धनात्मक और ऋणात्मक संख्या के लिए मापांक की परिभाषा को जोड़ते हैं, तो हमें सभी संख्याओं के लिए मापांक की एक वैश्विक परिभाषा प्राप्त होती है। अर्थात्: यदि संख्या धनात्मक (या शून्य) है तो किसी संख्या का मापांक स्वयं संख्या के बराबर होता है, या यदि संख्या ऋणात्मक है तो विपरीत संख्या के बराबर होता है। आप इसे सूत्र के रूप में लिख सकते हैं:

शून्य का भी एक मापांक होता है, लेकिन वह सदैव शून्य के बराबर होता है। इसके अलावा, शून्य ही एकमात्र ऐसी संख्या है जिसका कोई विपरीत नहीं है।

इस प्रकार, यदि हम फ़ंक्शन $y=\left| पर विचार करते हैं x \right|$ और इसका ग्राफ़ बनाने का प्रयास करें, आपको कुछ इस तरह मिलेगा:

मापांक ग्राफ़ और समीकरण को हल करने का उदाहरण

इस चित्र से यह तुरंत स्पष्ट है कि $\left| -एम \दाएं|=\बाएं| m \right|$, और मापांक ग्राफ कभी भी x-अक्ष से नीचे नहीं आता है। लेकिन इतना ही नहीं: लाल रेखा सीधी रेखा $y=a$ को चिह्नित करती है, जो सकारात्मक $a$ के लिए, हमें एक साथ दो मूल देती है: $((x)_(1))$ और $((x) _(2)) $, लेकिन हम इसके बारे में बाद में बात करेंगे। :)

विशुद्ध रूप से बीजगणितीय परिभाषा के अलावा, एक ज्यामितीय परिभाषा भी है। मान लीजिए कि संख्या रेखा पर दो बिंदु हैं: $((x)_(1))$ और $((x)_(2))$। इस मामले में, अभिव्यक्ति $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ केवल निर्दिष्ट बिंदुओं के बीच की दूरी है। या, यदि आप चाहें, तो इन बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड की लंबाई:

इस परिभाषा का यह भी तात्पर्य है कि मापांक हमेशा गैर-नकारात्मक होता है। लेकिन पर्याप्त परिभाषाएँ और सिद्धांत - आइए वास्तविक समीकरणों की ओर बढ़ते हैं। :)

मूल सूत्र

ठीक है, हमने परिभाषा सुलझा ली है। लेकिन इससे यह आसान नहीं हुआ। इसी मॉड्यूल वाले समीकरणों को कैसे हल करें?

शांत, बिल्कुल शांत. आइए सबसे सरल चीज़ों से शुरुआत करें। कुछ इस तरह विचार करें:

\[\बाएं| x\दाएं|=3\]

तो $x$ का मापांक 3 है। $x$ किसके बराबर हो सकता है? खैर, परिभाषा को देखते हुए, हम $x=3$ से काफी खुश हैं। वास्तव में:

\[\बाएं| 3\दाएं|=3\]

क्या अन्य संख्याएँ हैं? ऐसा प्रतीत होता है कि कैप संकेत दे रहा है कि वहाँ है। उदाहरण के लिए, $x=-3$ भी $\left| है -3 \दाएं|=3$, अर्थात्। आवश्यक समानता संतुष्ट है.

तो शायद अगर हम खोजें और सोचें, तो हमें और संख्याएँ मिलेंगी? लेकिन आइए इसका सामना करें: अब और कोई संख्या नहीं है। समीकरण $\बाएँ| x \right|=3$ के केवल दो मूल हैं: $x=3$ और $x=-3$।

अब कार्य को थोड़ा जटिल बनाते हैं। फ़ंक्शन $f\left(x \right)$ को वेरिएबल $x$ के बजाय मापांक चिह्न के नीचे लटकने दें, और दाईं ओर ट्रिपल के स्थान पर एक मनमाना संख्या $a$ डालें। हमें समीकरण मिलता है:

\[\बाएं| f\left(x \right) \right|=a\]

तो हम इसे कैसे हल कर सकते हैं? मैं आपको याद दिला दूं: $f\left(x \right)$ एक मनमाना फ़ंक्शन है, $a$ कोई भी संख्या है। वे। और कुछ भी! उदाहरण के लिए:

\[\बाएं| 2x+1 \दाएं|=5\]

\[\बाएं| 10x-5 \दाएं|=-65\]

आइए दूसरे समीकरण पर ध्यान दें. आप उसके बारे में तुरंत कह सकते हैं: उसकी कोई जड़ें नहीं हैं। क्यों? सब कुछ सही है: क्योंकि इसके लिए आवश्यक है कि मापांक एक ऋणात्मक संख्या के बराबर हो, जो कभी नहीं होता, क्योंकि हम पहले से ही जानते हैं कि मापांक हमेशा एक धनात्मक संख्या या चरम मामलों में शून्य होता है।

लेकिन पहले समीकरण के साथ सब कुछ अधिक मज़ेदार है। दो विकल्प हैं: या तो मापांक चिह्न के नीचे एक सकारात्मक अभिव्यक्ति है, और फिर $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, या यह अभिव्यक्ति अभी भी नकारात्मक है, और फिर $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. पहले मामले में, हमारा समीकरण इस प्रकार फिर से लिखा जाएगा:

\[\बाएं| 2x+1 \दाएं|=5\दायां तीर 2x+1=5\]

और अचानक यह पता चला कि सबमॉड्यूलर अभिव्यक्ति $2x+1$ वास्तव में सकारात्मक है - यह संख्या 5 के बराबर है। हम इस समीकरण को सुरक्षित रूप से हल कर सकते हैं - परिणामी मूल उत्तर का एक भाग होगा:

जो लोग विशेष रूप से अविश्वासी हैं वे मूल समीकरण में पाए गए मूल को प्रतिस्थापित करने का प्रयास कर सकते हैं और सुनिश्चित कर सकते हैं कि मापांक के तहत वास्तव में एक सकारात्मक संख्या है।

आइए अब एक नकारात्मक सबमॉड्यूलर अभिव्यक्ति के मामले को देखें:

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)& \बाएं| 2x+1 \दाएं|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(संरेखित) \दाएं.\दायां तीर -2x-1=5 \दायाँ तीर 2x+1=-5\]

उफ़! फिर, सब कुछ स्पष्ट है: हमने मान लिया कि $2x+1 \lt 0$, और परिणामस्वरूप हमें वह $2x+1=-5$ मिला - वास्तव में, यह अभिव्यक्ति शून्य से कम है। हम परिणामी समीकरण को हल करते हैं, जबकि पहले से ही यह जानते हुए कि पाया गया मूल हमारे लिए उपयुक्त होगा:

कुल मिलाकर, हमें फिर से दो उत्तर प्राप्त हुए: $x=2$ और $x=3$। हाँ, गणनाओं की मात्रा अत्यंत सरल समीकरण $\left| से थोड़ी अधिक निकली x \right|=3$, लेकिन बुनियादी तौर पर कुछ भी नहीं बदला है। तो शायद किसी प्रकार का सार्वभौमिक एल्गोरिदम है?

हां, ऐसा एल्गोरिदम मौजूद है। और अब हम इसका विश्लेषण करेंगे.

मापांक चिन्ह से छुटकारा पाना

आइए हमें समीकरण $\left| दिया जाए f\left(x \right) \right|=a$, और $a\ge 0$ (अन्यथा, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, कोई जड़ें नहीं हैं)। फिर आप निम्नलिखित नियम का उपयोग करके मापांक चिह्न से छुटकारा पा सकते हैं:

\[\बाएं| f\left(x \right) \right|=a\राइटएरो f\left(x \right)=\pm a\]

इस प्रकार, मापांक वाला हमारा समीकरण दो भागों में विभाजित हो जाता है, लेकिन मापांक के बिना। बस इतनी ही है तकनीक! आइए कुछ समीकरणों को हल करने का प्रयास करें। आइए इसी से शुरुआत करें

\[\बाएं| 5x+4 \दाएं|=10\दायां तीर 5x+4=\pm 10\]

आइए दाहिनी ओर दस प्लस होने पर अलग से और माइनस होने पर अलग से विचार करें। हमारे पास है:

\[\begin(संरेखित करें)& 5x+4=10\दायां तीर 5x=6\दायां तीर x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\दायां तीर 5x=-14\दायां तीर x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\end(संरेखित करें)\]

बस इतना ही! हमें दो मूल मिले: $x=1.2$ और $x=-2.8$। संपूर्ण समाधान में वस्तुतः दो पंक्तियाँ थीं।

ठीक है, कोई सवाल नहीं, आइए कुछ और गंभीर बात पर गौर करें:

\[\बाएं| 7-5x\दाएं|=13\]

फिर से हम मॉड्यूल को प्लस और माइनस के साथ खोलते हैं:

\[\begin(संरेखित करें)& 7-5x=13\दायां तीर -5x=6\दायां तीर x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\दायां तीर -5x=-20\दायां तीर x=4. \\\end(संरेखित करें)\]

कुछ पंक्तियाँ फिर से - और उत्तर तैयार है! जैसा कि मैंने कहा, मॉड्यूल के बारे में कुछ भी जटिल नहीं है। आपको बस कुछ नियम याद रखने होंगे। इसलिए, हम आगे बढ़ते हैं और वास्तव में अधिक जटिल कार्यों से शुरुआत करते हैं।

दायीं ओर के चर का मामला

अब इस समीकरण पर विचार करें:

\[\बाएं| 3x-2 \दाएं|=2x\]

यह समीकरण पिछले सभी समीकरणों से मौलिक रूप से भिन्न है। कैसे? और तथ्य यह है कि समान चिह्न के दाईं ओर अभिव्यक्ति $2x$ है - और हम पहले से नहीं जान सकते कि यह सकारात्मक है या नकारात्मक।

ऐसे में क्या करें? सबसे पहले, हमें इसे एक बार और पूरी तरह से समझ लेना चाहिए यदि समीकरण का दाहिना पक्ष नकारात्मक हो जाता है, तो समीकरण की कोई जड़ नहीं होगी- हम पहले से ही जानते हैं कि मॉड्यूल ऋणात्मक संख्या के बराबर नहीं हो सकता।

और दूसरी बात, यदि दाहिना भाग अभी भी सकारात्मक है (या शून्य के बराबर है), तो आप बिल्कुल पहले की तरह ही कार्य कर सकते हैं: बस मॉड्यूल को अलग से प्लस चिह्न के साथ और अलग से ऋण चिह्न के साथ खोलें।

इस प्रकार, हम मनमाने कार्यों $f\left(x \right)$ और $g\left(x \right)$ के लिए एक नियम बनाते हैं:

\[\बाएं| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(संरेखित)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(संरेखित) \right.\]

हमारे समीकरण के संबंध में हमें मिलता है:

\[\बाएं| 3x-2 \दाएं|=2x\दायां तीर \बाएं\( \शुरू(संरेखित)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(संरेखित) \दाएं.\]

खैर, हम किसी तरह $2x\ge 0$ की आवश्यकता का सामना करेंगे। अंत में, हम पहले समीकरण से प्राप्त जड़ों को मूर्खतापूर्ण ढंग से प्रतिस्थापित कर सकते हैं और जांच सकते हैं कि असमानता कायम है या नहीं।

तो आइए समीकरण को स्वयं हल करें:

\[\begin(संरेखित करें)& 3x-2=2\दायां तीर 3x=4\दायां तीर x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\दायां तीर 3x=0\दायां तीर x=0. \\\end(संरेखित करें)\]

खैर, इन दोनों जड़ों में से कौन सी $2x\ge 0$ की आवश्यकता को पूरा करती है? हाँ दोनों! इसलिए, उत्तर दो संख्याएँ होंगी: $x=(4)/(3)\;$ और $x=0$। यही समाधान है। :)

मुझे संदेह है कि कुछ छात्र पहले से ही ऊबने लगे हैं? खैर, आइए एक और अधिक जटिल समीकरण देखें:

\[\बाएं| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

हालाँकि यह बुरा लगता है, वास्तव में यह अभी भी "मापांक बराबर फ़ंक्शन" के रूप का वही समीकरण है:

\[\बाएं| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

और इसे ठीक उसी तरह हल किया जाता है:

\[\बाएं| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \दाएं|=x-((x)^(3))\दायां तीर \बाएं\( \begin(संरेखित करें)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(संरेखित) \right.\]

हम असमानता से बाद में निपटेंगे - यह किसी तरह बहुत बुरा है (वास्तव में, यह सरल है, लेकिन हम इसे हल नहीं करेंगे)। अभी के लिए, परिणामी समीकरणों से निपटना बेहतर है। आइए पहले मामले पर विचार करें - यह तब होता है जब मॉड्यूल को प्लस चिह्न के साथ विस्तारित किया जाता है:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

खैर, यह कोई बड़ी बात नहीं है कि आपको बाईं ओर से सब कुछ इकट्ठा करना होगा, समान चीजें लानी होंगी और देखना होगा कि क्या होता है। और यही होता है:

\[\begin(संरेखित करें)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(संरेखित करें)\]

हम सामान्य गुणनखंड $((x)^(2))$ को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं और एक बहुत ही सरल समीकरण प्राप्त करते हैं:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\दायां तीर \left[ \begin(संरेखित)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(संरेखित करें) \दाएं।\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

यहां हमने उत्पाद की एक महत्वपूर्ण संपत्ति का लाभ उठाया, जिसके लिए हमने मूल बहुपद का गुणनखंड किया: उत्पाद शून्य के बराबर होता है जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर होता है।

आइए अब दूसरे समीकरण से ठीक उसी तरह निपटें, जो मॉड्यूल को ऋण चिह्न के साथ विस्तारित करके प्राप्त किया जाता है:

\[\begin(संरेखित करें)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\end(संरेखित करें)\]

फिर से वही बात: उत्पाद शून्य के बराबर होता है जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर होता है। हमारे पास है:

\[\बाएं[ \शुरू(संरेखित)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\अंत(संरेखित) \दाएं।\]

खैर, हमें तीन मूल मिले: $x=0$, $x=1.5$ और $x=(2)/(3)\;$। खैर, इनमें से कौन सा सेट अंतिम उत्तर में जाएगा? ऐसा करने के लिए, याद रखें कि हमारे पास असमानता के रूप में एक अतिरिक्त बाधा है:

इस आवश्यकता को कैसे ध्यान में रखा जाए? आइए बस पाए गए मूलों को प्रतिस्थापित करें और जांचें कि असमानता इन $x$ के लिए है या नहीं। हमारे पास है:

\[\begin(संरेखित करें)& x=0\दायां तीर x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1.5\दायां तीर x-((x)^(3))=1.5-((1.5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(संरेखित करें)\]

इस प्रकार, मूल $x=1.5$ हमारे लिए उपयुक्त नहीं है। और प्रत्युत्तर में केवल दो जड़ें होंगी:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस मामले में भी कुछ भी जटिल नहीं था - मॉड्यूल वाले समीकरण हमेशा एक एल्गोरिदम का उपयोग करके हल किए जाते हैं। आपको बस बहुपदों और असमानताओं की अच्छी समझ होनी चाहिए। इसलिए, हम अधिक जटिल कार्यों की ओर बढ़ते हैं - वहां पहले से ही एक नहीं, बल्कि दो मॉड्यूल होंगे।

दो मॉड्यूल वाले समीकरण

अब तक, हमने केवल सबसे सरल समीकरणों का अध्ययन किया है - एक मॉड्यूल था और कुछ और। हमने इस "कुछ और" को मॉड्यूल से दूर, असमानता के दूसरे हिस्से में भेज दिया, ताकि अंत में सब कुछ $\left| फॉर्म के समीकरण में कम हो जाए। f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ या इससे भी सरल $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

लेकिन किंडरगार्टन खत्म हो गया है - अब कुछ और गंभीर बातों पर विचार करने का समय आ गया है। आइए इस तरह के समीकरणों से शुरुआत करें:

\[\बाएं| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

यह "मापांक बराबर मापांक" के रूप का एक समीकरण है। एक मौलिक रूप से महत्वपूर्ण बिंदु अन्य नियमों और कारकों की अनुपस्थिति है: बाईं ओर केवल एक मॉड्यूल, दाईं ओर एक और मॉड्यूल - और कुछ नहीं।

अब कोई यह सोचेगा कि हमने अब तक जो अध्ययन किया है उसकी तुलना में ऐसे समीकरणों को हल करना अधिक कठिन है। लेकिन नहीं: इन समीकरणों को हल करना और भी आसान है। यहाँ सूत्र है:

\[\बाएं| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\राइटएरो f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

सभी! हम बस उनमें से किसी एक के सामने प्लस या माइनस चिह्न लगाकर सबमॉड्यूलर अभिव्यक्तियों को बराबर करते हैं। और फिर हम परिणामी दो समीकरणों को हल करते हैं - और जड़ें तैयार हैं! कोई अतिरिक्त प्रतिबंध, कोई असमानता आदि नहीं। सब कुछ बहुत सरल है.

आइए इस समस्या को हल करने का प्रयास करें:

\[\बाएं| 2x+3 \दाएं|=\बाएं| 2x-7 \दाएं|\]

प्राथमिक वाटसन! मॉड्यूल का विस्तार:

\[\बाएं| 2x+3 \दाएं|=\बाएं| 2x-7 \दाएं|\दायां तीर 2x+3=\pm \बाएं(2x-7 \दाएं)\]

आइए प्रत्येक मामले पर अलग से विचार करें:

\[\begin(संरेखित करें)& 2x+3=2x-7\दायां तीर 3=-7\दायां तीर \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\दायां तीर 2x+3=-2x+7. \\\end(संरेखित करें)\]

पहले समीकरण की कोई जड़ नहीं है. क्योंकि $3=-7$ कब है? $x$ के किस मान पर? “$x$ आख़िर क्या है? क्या तुम शराबी हो? वहाँ बिल्कुल भी $x$ नहीं है," आप कहते हैं। और आप सही होंगे. हमने एक समानता प्राप्त की है जो चर $x$ पर निर्भर नहीं करती है, और साथ ही समानता स्वयं गलत है। इसीलिए कोई जड़ें नहीं हैं। :)

दूसरे समीकरण के साथ, सब कुछ थोड़ा अधिक दिलचस्प है, लेकिन बहुत, बहुत सरल भी है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ शाब्दिक रूप से कुछ पंक्तियों में हल हो गया था - हमें रैखिक समीकरण से और कुछ की उम्मीद नहीं थी। :)

परिणामस्वरूप, अंतिम उत्तर है: $x=1$।

तो कैसे? कठिन? बिल्कुल नहीं। आइए कुछ और प्रयास करें:

\[\बाएं| x-1 \दाएं|=\बाएं| ((x)^(2))-3x+2 \दाएं|\]

फिर से हमारे पास $\left| के रूप का एक समीकरण है f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. इसलिए, हम मापांक चिह्न को प्रकट करते हुए तुरंत इसे फिर से लिखते हैं:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

शायद अब कोई पूछेगा: “अरे, क्या बकवास है? "प्लस-माइनस" दाएँ हाथ की अभिव्यक्ति पर क्यों दिखाई देता है और बाईं ओर नहीं?" शांत हो जाओ, मैं अब सब कुछ समझाऊंगा। वास्तव में, अच्छे तरीके से हमें अपने समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखना चाहिए था:

फिर आपको कोष्ठक खोलने होंगे, सभी पदों को समान चिह्न के एक तरफ ले जाना होगा (चूंकि समीकरण, जाहिर है, दोनों मामलों में द्विघात होगा), और फिर मूल खोजें। लेकिन आपको यह स्वीकार करना होगा: जब "प्लस-माइनस" तीन शब्दों से पहले आता है (विशेषकर जब इनमें से एक शब्द एक द्विघात अभिव्यक्ति है), तो यह किसी तरह उस स्थिति से अधिक जटिल लगता है जब "प्लस-माइनस" केवल दो शब्दों से पहले आता है।

लेकिन कोई भी चीज़ हमें मूल समीकरण को इस प्रकार दोबारा लिखने से नहीं रोकती:

\[\बाएं| x-1 \दाएं|=\बाएं| ((x)^(2))-3x+2 \दाएं|\दायां तीर \बाएं| ((x)^(2))-3x+2 \दाएं|=\बाएं| x-1 \दाएं|\]

क्या हुआ? कुछ खास नहीं: उन्होंने बस बाएँ और दाएँ पक्षों की अदला-बदली की। एक छोटी सी चीज़ जो अंततः हमारे जीवन को थोड़ा आसान बना देगी। :)

सामान्य तौर पर, हम प्लस और माइनस वाले विकल्पों पर विचार करके इस समीकरण को हल करते हैं:

\[\begin(संरेखित करें)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\दायां तीर ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(संरेखित करें)\]

पहले समीकरण के मूल $x=3$ और $x=1$ हैं। दूसरा आम तौर पर एक सटीक वर्ग होता है:

\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]

इसलिए, इसका केवल एक ही मूल है: $x=1$। परंतु यह मूल हमें पहले ही प्राप्त हो चुका है। इस प्रकार, अंतिम उत्तर में केवल दो संख्याएँ शामिल होंगी:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

मिशन पूरा! आप शेल्फ से एक पाई ले सकते हैं और खा सकते हैं। उनमें से 2 हैं, आपका बीच वाला है। :)

महत्वपूर्ण लेख. मॉड्यूल के विस्तार के विभिन्न प्रकारों के लिए समान जड़ों की उपस्थिति का मतलब है कि मूल बहुपद गुणनखंडित हैं, और इन कारकों के बीच निश्चित रूप से एक सामान्य होगा। वास्तव में:

\[\शुरू(संरेखित करें)& \बाएं| x-1 \दाएं|=\बाएं| ((x)^(2))-3x+2 \दाएं|; \\& \बाएं| x-1 \दाएं|=\बाएं| \बाएं(x-1 \दाएं)\बाएं(x-2 \दाएं) \दाएं| \\\end(संरेखित करें)\]

मॉड्यूल गुणों में से एक: $\left| a\cdot b \दाएं|=\बाएं| एक \दाएं|\cdot \बाएं| b \right|$ (अर्थात् उत्पाद का मापांक मापांक के गुणनफल के बराबर है), इसलिए मूल समीकरण को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

\[\बाएं| x-1 \दाएं|=\बाएं| x-1 \दाएं|\cdot \बाएं| x-2 \दाएं|\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारे पास वास्तव में एक सामान्य कारक है। अब, यदि आप सभी मॉड्यूल को एक तरफ इकट्ठा करते हैं, तो आप इस कारक को ब्रैकेट से बाहर निकाल सकते हैं:

\[\शुरू(संरेखित करें)& \बाएं| x-1 \दाएं|=\बाएं| x-1 \दाएं|\cdot \बाएं| x-2 \दाएँ|; \\& \बाएं| x-1 \दाएं|-\बाएं| x-1 \दाएं|\cdot \बाएं| x-2 \दाएं|=0; \\& \बाएं| x-1 \दाएं|\cdot \बाएं(1-\बाएं| x-2 \दाएं| \दाएं)=0. \\\end(संरेखित करें)\]

खैर, अब याद रखें कि उत्पाद शून्य के बराबर है जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर है:

\[\बाएं[ \शुरू(संरेखित करें)& \बाएं| x-1 \दाएं|=0, \\& \बाएं| x-2 \दाएं|=1. \\\end(संरेखित करें) \दाएं।\]

इस प्रकार, दो मॉड्यूल वाले मूल समीकरण को दो सरलतम समीकरणों में बदल दिया गया है जिनके बारे में हमने पाठ की शुरुआत में बात की थी। ऐसे समीकरणों को वस्तुतः कुछ पंक्तियों में हल किया जा सकता है। :)

यह टिप्पणी व्यवहार में अनावश्यक रूप से जटिल और अनुपयुक्त लग सकती है। हालाँकि, वास्तव में, आप उन समस्याओं से कहीं अधिक जटिल समस्याओं का सामना कर सकते हैं जिन्हें हम आज देख रहे हैं। उनमें मॉड्यूल को बहुपद, अंकगणितीय मूल, लघुगणक आदि के साथ जोड़ा जा सकता है। और ऐसी स्थितियों में, कोष्ठक से कुछ निकालकर समीकरण की समग्र डिग्री को कम करने की क्षमता बहुत उपयोगी हो सकती है। :)

अब मैं एक और समीकरण देखना चाहूँगा, जो पहली नज़र में अजीब लग सकता है। कई छात्र इस पर अटक जाते हैं, यहां तक ​​कि वे भी जो सोचते हैं कि उन्हें मॉड्यूल की अच्छी समझ है।

हालाँकि, इस समीकरण को हल करना उससे भी आसान है जिसे हमने पहले देखा था। और यदि आप इसका कारण समझते हैं, तो आपको मॉड्यूली के साथ समीकरणों को शीघ्रता से हल करने के लिए एक और तरकीब मिल जाएगी।

तो समीकरण यह है:

\[\बाएं| x-((x)^(3)) \दाएं|+\बाएं| ((x)^(2))+x-2 \दाएं|=0\]

नहीं, यह कोई टाइपो त्रुटि नहीं है: यह मॉड्यूल के बीच एक प्लस है। और हमें यह पता लगाना होगा कि किस $x$ पर दो मॉड्यूल का योग शून्य के बराबर है। :)

आखिर समस्या क्या है? लेकिन समस्या यह है कि प्रत्येक मॉड्यूल एक सकारात्मक संख्या है, या चरम मामलों में, शून्य है। यदि आप दो धनात्मक संख्याएँ जोड़ दें तो क्या होगा? जाहिर है फिर से एक सकारात्मक संख्या:

\[\begin(संरेखित करें)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0.004+0.0001=0.0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(संरेखित)\]

अंतिम पंक्ति आपको एक विचार दे सकती है: मॉड्यूल का योग केवल तभी शून्य होता है जब प्रत्येक मॉड्यूल शून्य होता है:

\[\बाएं| x-((x)^(3)) \दाएं|+\बाएं| ((x)^(2))+x-2 \दाएं|=0\दायां तीर \बाएं\( \begin(संरेखित)& \बाएं| x-((x)^(3)) \दाएं|=0, \\& \बाएं| ((x)^(2))+x-2 \दाएं|=0. \\\end(संरेखित) \दाएं.\]

और मॉड्यूल शून्य के बराबर कब है? केवल एक मामले में - जब सबमॉड्यूलर अभिव्यक्ति शून्य के बराबर है:

\[((x)^(2))+x-2=0\दायां तीर \बाएं(x+2 \दाएं)\बाएं(x-1 \दाएं)=0\दायां तीर \बाएं[ \शुरू(संरेखित)& x=-2 \\& x=1 \\\end(संरेखित) \दाएं.\]

इस प्रकार, हमारे पास तीन बिंदु हैं जिन पर पहला मॉड्यूल शून्य पर रीसेट हो गया है: 0, 1 और -1; साथ ही दो बिंदु जहां दूसरे मॉड्यूल को शून्य पर रीसेट किया जाता है: -2 और 1. हालांकि, हमें एक ही समय में दोनों मॉड्यूल को शून्य पर रीसेट करने की आवश्यकता है, इसलिए पाए गए नंबरों में से हमें उन लोगों को चुनना होगा जो इसमें शामिल हैं दोनों सेट. जाहिर है, ऐसी केवल एक ही संख्या है: $x=1$ - यह अंतिम उत्तर होगा।

विच्छेदन विधि

ख़ैर, हमने पहले ही ढेर सारी समस्याओं को कवर कर लिया है और बहुत सारी तकनीकें सीख ली हैं। क्या आपको लगता है कि बस इतना ही है? लेकिन कोई नहीं! अब हम अंतिम तकनीक को देखेंगे - और साथ ही सबसे महत्वपूर्ण भी। हम मापांक के साथ समीकरणों को विभाजित करने के बारे में बात करेंगे। हम बात भी क्या करेंगे? आइए थोड़ा पीछे जाएं और कुछ सरल समीकरण देखें। उदाहरण के लिए यह:

\[\बाएं| 3x-5 \दाएं|=5-3x\]

सिद्धांत रूप में, हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे समीकरण को कैसे हल किया जाए, क्योंकि यह $\left| फॉर्म का एक मानक निर्माण है f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. लेकिन आइए इस समीकरण को थोड़ा अलग कोण से देखने का प्रयास करें। अधिक सटीक रूप से, मापांक चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति पर विचार करें। मैं आपको याद दिला दूं कि किसी भी संख्या का मापांक स्वयं उस संख्या के बराबर हो सकता है, या यह इस संख्या के विपरीत भी हो सकता है:

\[\बाएं| a \right|=\left\( \begin(संरेखित)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(संरेखित) \right.\]

दरअसल, यह अस्पष्टता ही पूरी समस्या है: चूंकि मापांक के तहत संख्या बदलती है (यह चर पर निर्भर करती है), यह हमारे लिए स्पष्ट नहीं है कि यह सकारात्मक है या नकारात्मक।

लेकिन क्या होगा यदि आपको प्रारंभ में यह आवश्यकता हो कि यह संख्या सकारात्मक हो? उदाहरण के लिए, हमें $3x-5 \gt 0$ की आवश्यकता है - इस मामले में हमें मापांक चिह्न के तहत एक सकारात्मक संख्या प्राप्त करने की गारंटी है, और हम इस मापांक से पूरी तरह से छुटकारा पा सकते हैं:

इस प्रकार, हमारा समीकरण एक रैखिक समीकरण में बदल जाएगा, जिसे आसानी से हल किया जा सकता है:

सच है, ये सभी विचार केवल $3x-5 \gt 0$ की स्थिति के तहत ही समझ में आते हैं - मॉड्यूल को स्पष्ट रूप से प्रकट करने के लिए हमने स्वयं इस आवश्यकता को पेश किया है। इसलिए, आइए पाए गए $x=\frac(5)(3)$ को इस स्थिति में प्रतिस्थापित करें और जांचें:

यह पता चला है कि $x$ के निर्दिष्ट मूल्य के लिए हमारी आवश्यकता पूरी नहीं हुई है, क्योंकि अभिव्यक्ति शून्य के बराबर निकली, और हमें इसकी आवश्यकता शून्य से अधिक होनी चाहिए। उदास। :(

लेकिन कोई बात नहीं! आख़िरकार, एक और विकल्प भी है $3x-5 \lt 0$। इसके अलावा: $3x-5=0$ का मामला भी है - इस पर भी विचार करने की आवश्यकता है, अन्यथा समाधान अधूरा होगा। तो, मामले पर विचार करें $3x-5 \lt 0$:

जाहिर है, मॉड्यूल ऋण चिह्न के साथ खुलेगा। लेकिन फिर एक अजीब स्थिति पैदा होती है: मूल समीकरण में बाईं और दाईं ओर दोनों तरफ एक ही अभिव्यक्ति दिखाई देगी:

मुझे आश्चर्य है कि किस $x$ पर अभिव्यक्ति $5-3x$ अभिव्यक्ति $5-3x$ के बराबर होगी? ऐसे समीकरणों से कैप्टन ओब्विअसनेस का गला भी घुट जाएगा, लेकिन हम जानते हैं: यह समीकरण एक पहचान है, यानी। यह चर के किसी भी मान के लिए सत्य है!

इसका मतलब यह है कि कोई भी $x$ हमारे लिए उपयुक्त होगा। हालाँकि, हमारी एक सीमा है:

दूसरे शब्दों में, उत्तर एक संख्या नहीं, बल्कि एक संपूर्ण अंतराल होगा:

अंततः, विचार करने के लिए एक और मामला बचा है: $3x-5=0$। यहां सब कुछ सरल है: मापांक के अंतर्गत शून्य होगा, और शून्य का मापांक भी शून्य के बराबर है (यह सीधे परिभाषा से अनुसरण करता है):

लेकिन फिर मूल समीकरण $\बाएं| 3x-5 \right|=5-3x$ को इस प्रकार पुनः लिखा जाएगा:

जब हमने $3x-5 \gt 0$ के मामले पर विचार किया तो हमने पहले ही यह मूल प्राप्त कर लिया था। इसके अलावा, यह रूट समीकरण $3x-5=0$ का एक समाधान है - यह वह प्रतिबंध है जिसे हमने स्वयं मॉड्यूल को रीसेट करने के लिए पेश किया था। :)

इस प्रकार, अंतराल के अतिरिक्त, हम इस अंतराल के बिल्कुल अंत में स्थित संख्या से भी संतुष्ट होंगे:

कुल अंतिम उत्तर: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ मापांक के साथ काफी सरल (अनिवार्य रूप से रैखिक) समीकरण के उत्तर में ऐसी बकवास देखना बहुत आम नहीं है, वास्तव में? खैर, इसकी आदत डालें: मॉड्यूल की कठिनाई यह है कि ऐसे समीकरणों में उत्तर पूरी तरह से अप्रत्याशित हो सकते हैं।

कुछ और अधिक महत्वपूर्ण है: हमने मापांक के साथ समीकरण को हल करने के लिए एक सार्वभौमिक एल्गोरिदम का विश्लेषण किया है! और इस एल्गोरिदम में निम्नलिखित चरण शामिल हैं:

1. समीकरण में प्रत्येक मापांक को शून्य के बराबर करें। हमें कई समीकरण मिलते हैं;
2. इन सभी समीकरणों को हल करें और संख्या रेखा पर मूल अंकित करें। परिणामस्वरूप, सीधी रेखा को कई अंतरालों में विभाजित किया जाएगा, जिनमें से प्रत्येक पर सभी मॉड्यूल विशिष्ट रूप से प्रकट होंगे;
3. प्रत्येक अंतराल के लिए मूल समीकरण को हल करें और अपने उत्तरों को संयोजित करें।

बस इतना ही! केवल एक ही प्रश्न बचा है: चरण 1 में प्राप्त जड़ों का क्या करें? मान लीजिए कि हमारी दो जड़ें हैं: $x=1$ और $x=5$। वे संख्या रेखा को 3 टुकड़ों में विभाजित करेंगे:

तो अंतराल क्या हैं? यह स्पष्ट है कि उनमें से तीन हैं:

1. सबसे बाईं ओर वाला: $x \lt 1$ - इकाई स्वयं अंतराल में शामिल नहीं है;
2. सेंट्रल: $1\le x \lt 5$ - यहां एक को अंतराल में शामिल किया गया है, लेकिन पांच को शामिल नहीं किया गया है;
3. सबसे दाहिना: $x\ge 5$ - पाँच केवल यहाँ शामिल है!

मुझे लगता है कि आप पैटर्न को पहले से ही समझ गए हैं। प्रत्येक अंतराल में बायां छोर शामिल है और दायां शामिल नहीं है।

पहली नज़र में, ऐसी प्रविष्टि असुविधाजनक, अतार्किक और आम तौर पर किसी प्रकार की पागलपन भरी लग सकती है। लेकिन मेरा विश्वास करें: थोड़े अभ्यास के बाद, आप पाएंगे कि यह दृष्टिकोण सबसे विश्वसनीय है और मॉड्यूल को स्पष्ट रूप से खोलने में हस्तक्षेप नहीं करता है। हर बार सोचने की तुलना में ऐसी योजना का उपयोग करना बेहतर है: वर्तमान अंतराल को बाएँ/दाएँ छोर दें या इसे अगले में "फेंक" दें।

इससे पाठ समाप्त होता है। स्वयं हल करने के लिए समस्याओं को डाउनलोड करें, अभ्यास करें, उत्तरों से तुलना करें - और मिलते हैं अगले पाठ में, जो मॉड्यूलि के साथ असमानताओं के लिए समर्पित होगा। :)

पहले हम मॉड्यूल चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति चिह्न को परिभाषित करते हैं, और फिर हम मॉड्यूल का विस्तार करते हैं:

• यदि अभिव्यक्ति का मान शून्य से अधिक है, तो हम इसे मापांक चिह्न के नीचे से हटा देते हैं,
• यदि अभिव्यक्ति शून्य से कम है, तो हम इसे मापांक चिह्न के नीचे से हटा देते हैं, चिह्न बदलते हैं, जैसा कि हमने पहले उदाहरणों में किया था।

अच्छा, क्या हम कोशिश करें? आइए मूल्यांकन करें:

(भूल गए, दोहराएँ।)

यदि हाँ, तो इसका क्या चिन्ह है? बेशक, !

और, इसलिए, हम अभिव्यक्ति के चिह्न को बदलकर मॉड्यूल के चिह्न का विस्तार करते हैं:

समझ गया? फिर इसे स्वयं आज़माएँ:

उत्तर:

मॉड्यूल में अन्य कौन से गुण हैं?

यदि हमें मापांक चिह्न के अंदर संख्याओं को गुणा करने की आवश्यकता है, तो हम इन संख्याओं के मापांक को आसानी से गुणा कर सकते हैं!!!

गणितीय शब्दों में, संख्याओं के गुणनफल का मापांक इन संख्याओं के मापांक के गुणनफल के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए:

यदि हमें मापांक चिह्न के अंतर्गत दो संख्याओं (अभिव्यक्तियों) को विभाजित करने की आवश्यकता हो तो क्या होगा?

हाँ, गुणन के समान ही! आइए इसे मापांक चिह्न के अंतर्गत दो अलग-अलग संख्याओं (अभिव्यक्तियों) में विभाजित करें:

बशर्ते कि (चूंकि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते)।

मॉड्यूल की एक और संपत्ति याद रखना उचित है:

संख्याओं के योग का मापांक हमेशा इन संख्याओं के मापांक के योग से कम या उसके बराबर होता है:

ऐसा क्यों? सब कुछ बहुत सरल है!

जैसा कि हमें याद है, मापांक हमेशा सकारात्मक होता है। लेकिन मापांक चिह्न के अंतर्गत कोई भी संख्या हो सकती है: सकारात्मक और नकारात्मक दोनों। आइए मान लें कि संख्याएँ और दोनों सकारात्मक हैं। तब बायाँ अभिव्यक्ति दाएँ अभिव्यक्ति के बराबर होगा।

आइए एक उदाहरण देखें:

यदि मापांक चिह्न के अंतर्गत एक संख्या ऋणात्मक है और दूसरी धनात्मक है, बायीं अभिव्यक्ति सदैव दायें से छोटी होगी:

इस संपत्ति के साथ सब कुछ स्पष्ट लगता है, आइए मॉड्यूल के कुछ और उपयोगी गुणों पर नजर डालें।

यदि हमारे पास यह अभिव्यक्ति हो तो क्या होगा:

हम इस अभिव्यक्ति के साथ क्या कर सकते हैं? x का मान हमारे लिए अज्ञात है, लेकिन हम पहले से ही जानते हैं कि इसका क्या मतलब है।

संख्या शून्य से बड़ी है, जिसका अर्थ है कि आप बस लिख सकते हैं:

तो हम एक अन्य संपत्ति पर आते हैं, जिसे सामान्य तौर पर इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

यह अभिव्यक्ति किसके बराबर है:

इसलिए, हमें मापांक के अंतर्गत चिह्न को परिभाषित करने की आवश्यकता है। क्या यहाँ चिन्ह को परिभाषित करना आवश्यक है?

बिल्कुल नहीं, अगर आपको याद है कि किसी भी संख्या का वर्ग हमेशा शून्य से बड़ा होता है! यदि आपको याद नहीं है तो विषय देखें। तो क्या होता है? यहाँ क्या है:

बहुत बढ़िया, है ना? काफी सुविधाजनक. और अब सुदृढ़ करने के लिए एक विशिष्ट उदाहरण:

खैर, संदेह क्यों? आइए साहसपूर्वक कार्य करें!

क्या आपने यह सब समझ लिया है? फिर आगे बढ़ें और उदाहरणों के साथ अभ्यास करें!

1. अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए यदि।

2. किन संख्याओं का मापांक समान होता है?

3. भावों का अर्थ खोजें:

यदि अभी भी सब कुछ स्पष्ट नहीं है और समाधान में कठिनाइयाँ आ रही हैं, तो आइए इसका पता लगाते हैं:

समाधान 1:

तो, आइए मानों को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें

समाधान 2:

जैसा कि हमें याद है, मापांक में विपरीत संख्याएँ बराबर होती हैं। इसका मतलब है कि मापांक मान दो संख्याओं के बराबर है: और।

समाधान 3:

ए)
बी)
वी)
जी)

क्या आपने सब कुछ पकड़ लिया? तो फिर किसी और अधिक जटिल चीज़ की ओर आगे बढ़ने का समय आ गया है!

आइए अभिव्यक्ति को सरल बनाने का प्रयास करें

समाधान:

इसलिए, हमें याद है कि मापांक मान शून्य से कम नहीं हो सकता। यदि मापांक चिह्न में धनात्मक संख्या है, तो हम केवल चिह्न को त्याग सकते हैं: संख्या का मापांक इस संख्या के बराबर होगा।

लेकिन यदि मापांक चिह्न के नीचे कोई ऋणात्मक संख्या है, तो मापांक मान विपरीत संख्या के बराबर है (अर्थात, "-" चिह्न के साथ ली गई संख्या)।

किसी भी अभिव्यक्ति का मापांक ज्ञात करने के लिए, आपको सबसे पहले यह पता लगाना होगा कि यह सकारात्मक या नकारात्मक मान लेता है या नहीं।

यह पता चला है कि मॉड्यूल के तहत पहली अभिव्यक्ति का मूल्य।

इसलिए, मापांक चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति नकारात्मक है। मापांक चिह्न के अंतर्गत दूसरा भाव सदैव धनात्मक होता है, क्योंकि हम दो धनात्मक संख्याएँ जोड़ रहे हैं।

तो, मापांक चिह्न के तहत पहली अभिव्यक्ति का मान नकारात्मक है, दूसरा सकारात्मक है:

इसका मतलब यह है कि पहली अभिव्यक्ति के मापांक चिह्न का विस्तार करते समय, हमें इस अभिव्यक्ति को "-" चिह्न के साथ लेना होगा। इस कदर:

दूसरे मामले में, हम केवल मापांक चिह्न को त्याग देते हैं:

आइए इस अभिव्यक्ति को इसकी संपूर्णता में सरल बनाएं:

संख्या और उसके गुणों का मॉड्यूल (कठोर परिभाषाएँ और प्रमाण)

परिभाषा:

किसी संख्या का मापांक (पूर्ण मान) वह संख्या ही है, यदि, और संख्या, यदि:

उदाहरण के लिए:

उदाहरण:

अभिव्यक्ति को सरल कीजिये.

समाधान:

मॉड्यूल के मूल गुण

सभी के लिए:

उदाहरण:

संपत्ति क्रमांक 5 सिद्ध करें।

सबूत:

चलिए मान लेते हैं कि ऐसे भी हैं

आइए असमानता के बाएँ और दाएँ पक्षों का वर्ग करें (यह किया जा सकता है, क्योंकि असमानता के दोनों पक्ष हमेशा गैर-नकारात्मक होते हैं):

और यह एक मॉड्यूल की परिभाषा का खंडन करता है।

नतीजतन, ऐसे लोग मौजूद नहीं हैं, जिसका मतलब है कि असमानता सभी के लिए है

स्वतंत्र समाधान के उदाहरण:

1) संपत्ति क्रमांक 6 सिद्ध करें।

2) अभिव्यक्ति को सरल बनायें।

उत्तर:

1) आइए संपत्ति संख्या 3 का उपयोग करें: , और तब से

सरल बनाने के लिए, आपको मॉड्यूल का विस्तार करने की आवश्यकता है। और मॉड्यूल का विस्तार करने के लिए, आपको यह पता लगाना होगा कि मॉड्यूल के अंतर्गत भाव सकारात्मक हैं या नकारात्मक?

एक। आइए संख्याओं की तुलना करें और और:

बी। अब तुलना करते हैं:

हम मॉड्यूल के मान जोड़ते हैं:

किसी संख्या का निरपेक्ष मान. संक्षेप में मुख्य बात के बारे में।

किसी संख्या का मापांक (पूर्ण मान) वह संख्या ही है, यदि, और संख्या, यदि:

मॉड्यूल गुण:

1. किसी संख्या का मापांक एक गैर-ऋणात्मक संख्या है: ;
2. विपरीत संख्याओं के मॉड्यूल बराबर हैं: ;
3. दो (या अधिक) संख्याओं के गुणनफल का मापांक उनके मापांक के गुणनफल के बराबर होता है: ;
4. दो संख्याओं के भागफल का मापांक उनके मापांक के भागफल के बराबर होता है: ;
5. संख्याओं के योग का मापांक हमेशा इन संख्याओं के मापांक के योग से कम या उसके बराबर होता है: ;
6. एक स्थिर धनात्मक गुणक को मापांक चिह्न से निकाला जा सकता है: at;

संख्या का मॉड्यूल गणित में एक नई अवधारणा है। आइए विस्तार से देखें कि संख्या मॉड्यूल क्या है और इसके साथ कैसे काम करें?

आइए एक उदाहरण देखें:

हम दुकान पर जाने के लिए घर से निकले। हम 300 मीटर चले, गणितीय रूप से इस अभिव्यक्ति को +300 के रूप में लिखा जा सकता है, "+" चिह्न से संख्या 300 का अर्थ नहीं बदलेगा। गणित में किसी संख्या की दूरी या मापांक एक ही चीज़ है और इसे इस तरह लिखा जा सकता है: |300|=300. किसी संख्या का मापांक चिह्न दो ऊर्ध्वाधर रेखाओं द्वारा दर्शाया जाता है।

और फिर हम विपरीत दिशा में 200 मीटर चले। गणितीय रूप से, हम रिटर्न पथ को -200 के रूप में लिख सकते हैं। लेकिन हम यह नहीं कहते कि "हम शून्य से दो सौ मीटर नीचे चले गए," हालांकि हम लौट आए, क्योंकि मात्रा के रूप में दूरी सकारात्मक रहती है। इस उद्देश्य के लिए, गणित में एक मॉड्यूल की अवधारणा पेश की गई थी। आप संख्या -200 की दूरी या मापांक इस प्रकार लिख सकते हैं: |-200|=200.

मॉड्यूल गुण.

परिभाषा:
किसी संख्या का मापांक या किसी संख्या का निरपेक्ष मानप्रारंभिक बिंदु से गंतव्य बिंदु तक की दूरी है।

किसी पूर्णांक का मापांक जो शून्य के बराबर नहीं है, हमेशा एक धनात्मक संख्या होती है।

मॉड्यूल इस प्रकार लिखा गया है:

1. किसी धनात्मक संख्या का मापांक स्वयं उस संख्या के बराबर होता है।
| ए|=ए

2. ऋणात्मक संख्या का मापांक विपरीत संख्या के बराबर होता है।
|- ए|=ए

3. शून्य का मापांक शून्य के बराबर होता है।
|0|=0

4. विपरीत संख्याओं के मापांक बराबर होते हैं।
| ए|=|-ए|=ए

संबंधित सवाल:
किसी संख्या का मापांक क्या है?
उत्तर: मापांक प्रारंभिक बिंदु से गंतव्य बिंदु तक की दूरी है।

यदि आप किसी पूर्णांक के सामने "+" चिन्ह लगाते हैं, तो क्या होता है?
उत्तर: संख्या अपना अर्थ नहीं बदलेगी, उदाहरण के लिए, 4=+4.

यदि आप किसी पूर्णांक के आगे "-" चिन्ह लगा दें तो क्या होगा?
उत्तर: संख्या बदल जाएगी, उदाहरण के लिए, 4 और -4।

किन संख्याओं का मापांक समान है?
उत्तर: धनात्मक संख्याओं और शून्य का मापांक समान होगा। उदाहरण के लिए, 15=|15|

किन संख्याओं का मापांक विपरीत संख्या का होता है?
उत्तर: ऋणात्मक संख्याओं के लिए, मापांक विपरीत संख्या के बराबर होगा। उदाहरण के लिए, |-6|=6.

उदाहरण 1:
संख्याओं का मापांक ज्ञात करें: a) 0 b) 5 c) -7?

समाधान:
ए) |0|=0
बी) |5|=5
ग)|-7|=7

उदाहरण #2:
क्या दो अलग-अलग संख्याएँ हैं जिनका मापांक बराबर है?

समाधान:
|10|=10
|-10|=10

विपरीत संख्याओं का मापांक बराबर होता है।

उदाहरण #3:
किन दो विपरीत संख्याओं का मापांक 9 है?

समाधान:
|9|=9
|-9|=9

उत्तर: 9 और -9.

उदाहरण #4:
इन चरणों का पालन करें: a) |+5|+|-3| बी) |-3|+|-8| सी)|+4|-|+1|

समाधान:
ए) |+5|+|-3|=5+3=8
बी) |-3|+|-8|=3+8=11
सी)|+4|-|+1|=4-1=3

उदाहरण #5:
खोजें: a) संख्या 2 का मापांक b) संख्या 6 का मापांक c) संख्या 8 का मापांक d) संख्या 1 का मापांक e) संख्या 0 का मापांक।
समाधान:

a) संख्या 2 के मापांक को |2| के रूप में दर्शाया गया है या |+2| यह एक ही है।
|2|=2

बी) संख्या 6 का मापांक |6| के रूप में दर्शाया गया है या |+6| यह एक ही है।
|6|=6

c) संख्या 8 के मापांक को |8| के रूप में दर्शाया गया है या |+8| यह एक ही है।
|8|=8

d) संख्या 1 के मापांक को |1| के रूप में दर्शाया गया है या |+1| यह एक ही है।
|1|=1

ई) संख्या 0 के मापांक को |0|, |+0| के रूप में दर्शाया गया है या |-0| यह एक ही है।
|0|=0